1 L2 STE. 04/11/2013Statistiques2 Intervalles de confiance & tests statistiques Echantillonnage,...

1

L2 STE

11/04/23 Statistiques 2

Intervalles de confiance & tests statistiques

•Echantillonnage, rappels•Intervalle de confiance

MoyenneVariance et écart typeMédianePourcentage

•Tests usuelsPrincipe (rappels)Théorie de la statistique de décision (rappels)Comparaison de deux moyennes expérimentales (grands et petits échantillons)Comparaison de moyennes de deux échantillons appariés Comparaison de deux fréquences expérimentalesComparaison de deux variances expérimentales

•Tests non-paramétriquesConditions d’utilisationUtilisation des rangsTest de signe Test U de Mann-WhitneyTest de WilcoxonTest de Kolmogorov-Smirnov

Plan

3

Echantillonnage – Estimation d’un paramètre

Extraction de n échantillons d’une population P

Si l’on extrait plusieurs échantillons représentatifs de taille n fixée, les différences observées entre les résultats obtenus sont dues à des fluctuations d’échantillonnage. A partir d’un échantillon, on n’a donc pas de certitudes mais des estimations de paramètres.

L'estimation d'un paramètre peut être faite - par un seul nombre: estimation ponctuelle- par 2 nombres entre lesquels le paramètre peut se trouver: estimation par intervalle

4


Estimation ponctuelle d’une moyenne

1

)(1

2

2

n

xxs

n

ii

x

Estimateur sans biais

n

iixn

x1

1

x barre

n

ss xx Ecart type de la moyenne

5


Pour améliorer la connaissance de la moyenne, il faut augmenter la taille de l’échantillon

6

Intervalle de confiance de la moyenne

Cas des grands échantillons (variance connue):

Soit une population obéissant à une loi normale de moyenne et d’écart type .

1)Pr( 2/2/

nZx

nZx


7


Exemple:

45 hommes de Neandertal males adultes

cm 10

cm 164

x

9.2164

9.166;161

45

1096.1164;

45

1096.1164

à 95% de confiance

8


9

Cas des petits échantillons:

Quand n<30 ou quand la variance est inconnue, on prend la loi de Student.

1)Pr( 2/2/n

stx

n

stx xx


Intervalle de confiance de la moyenne

Finalement on peut toujours utiliser la loi de Student puisque t tend vers la loi normale quand n est grand…

Pour = n-1 degrés de liberté

10

La loi de Student: t()

degrés de liberté

Converge vers la loi Normale quand augment.

11

La probabilité d’obtenir une valeur de t à l’extérieur de l’intervalle (-t/2 et t/2) -> TABLES.

)( 2/ttP

La loi de Student: t()

12


13


Exemple:6 hommes de Neandertal males adultes

cm 11

cm 165

xs

x

12165

177;153

6

1157.2165;

6

1157.2165

à 95% de confiance

Finalement on peut toujours utiliser la loi de Student puisque t tend vers la loi normale quand n est grand…

14


Intervalle de confiance de la variance

Soit une population obéissant à une loi normale de moyenne (inconnue) et d’écart type (inconnu).

1))1()1(

Pr(2

2/

22

2)2/1(

2xx snsn


15

Si Z1, Z2, Zn sont des variables aléatoires normales centrées réduites et indépendantes entres elles, la somme des carrées de ces varaibles aléatoires obéit à la loi du 2 à degrés de libertés

222

21

2 .... ZZZ

La loi du Khi carré: 2

16


17

En fait, les calculs sont fastidueux -> TABLES

)( 22 P


18


19


Intervalle de confiance de l’écart type (idem)

Soit une population obéissant à une loi normale de moyenne et d’écart type .

1))1()1(

Pr(2

2/

2

2)2/1(

2xx snsn


20


Intervalle de confiance de la médiane

Si un échantillon est extrait d’une population approximativement normale, et si son effectif est relativement grand (n>60), la distribution d’échantillonnage de la médiane s’approche de la loi normale.

1)

22Pr( 2/2/ n

sZMeMedianen

sZMe xx

nss xMe 2

21


Estimation ponctuelle d’un pourcentage

La population est formée d’individus ayant ou non un caractère A. Soit p la probabilité pour qu’un individu pris au hasard dans la population présente le caractère A.

1

)1(

/

2

n

pps

nap

p

Quand on dispose d’un seul échantillon de taille n, la meilleure estimation ponctuelle de P est donc la fréquence p observée sur l’échantillon.

22


Grands échantillons (n>30), p ni voisin de 0, ni voisin de 1, (np>5, n(1-p)>5)

La variable fréquence obéit à une loi normale centrée réduite

1))1()1(

Pr( 2/2/ n

ppZpP

n

ppZp

Intervalle de confiance d’un pourcentage

23


Un problème très fréquent!Un quotidien publie tous les mois la cote du chef du gouvernement à partir d'un sondage réalisé sur un échantillon représentatif de 1000 personnes. En janvier, la cote publiée était de 38% d'opinions favorables, en février de 36%. Un journaliste commente alors ces valeurs par "Le chef du gouvernement perd 2 points !!"

En fait: On construit un intervalle de confiance autour des proportions. Avec un seuil de 95%, on obtient respectivement [35;41] et [33;39] pour les valeurs 38% et 36%. Les deux intervalles ayant une intersection non vide, on ne peut pas conclure qu'il y ait eu baisse ou augmentation de la cote du chef de gouvernement.

24

L2 STE

25

On sait qu’un homme de Neandertal mesure en moyenne 165 cm.

Sur un site on trouve 16 hommes avec une moyenne de 167 et un écart type de 8 cm (e.t. échantillon).

Comparaison de la moyenne avec la valeur théorique de 165 cm

Quel est le problème…?

Théorie de la statistique de décision

Possibilités:Moyenne très élevée: Nous pourrons être amenés à croire que ces hommes ont des tailles différentes de 165 cm

Moyenne faiblement plus élevée: on ne pourra pas conclure si c’est significativement supérieur à la norme ou si c’est l’effet du hasard.

26

Question: à partir de quelle limite pouvons nous raisonnablement conclure à une différence?

H0: =165 (il n’y pas de différence)H1: ≠165

Calcul de

Sur la table la probabilité pour que la moyenne d’échantillonnage soit différente celle de la population de plus 2,131 de écart-type est de 5%.

216

8

n

ss xx


27

Les deux risques d’erreur dans un test.

Décision H0 est vraie H1 est vraie H0 acceptée H0 rejetée

Bonne décision Erreur

Erreur Bonne décision

Erreur de 1ere espèce

Erreur de 2nde espèce (compliquée)1-

1-

A priori on ne sait pas à quel type d’erreur on sera confronté:Le résultat de l’échantillon a révélé 167 cm probablement par pur hasard.On conclue que la moyenne pourrait être 165 cm alors qu’en fait elle est mesurée à 167 cm.


28

H0 : hypothèse nulle ou principaleEx: Les haches de type A présentent les mêmes teneurs en Sn que les haches de type B.

H1 : hypothèse alternative ou contraire …

Soumission à une épreuve de vérité!

Conclusion : différence attribuable aux fluctuations d’échantillonnage???


29

Niveau de signification : un peu arbitraire…significatif : 0.05hautement significatif : 0.01très hautement significatif : 0.001.

Test bilatéral / unilatéral : bilatéral : différence sans se préoccuper du sens.Unilatéral : > ou <. Zone de rejet d’un seul coté de la distribution de probabilité de référence.

Echantillons indépendants ou appariés:Indépendants : aucune influence du 1er ech sur le 2nd.Appariés : prélèvements par paires. Ex : fumeurs H + F.


30

Comparaison des moyennes de 2 grands échantillons indépendants (n1 et n2 >30):

Comparaison de deux moyennes expérimentales–grands échantillons -

2

2

1

2

21

21

n

s

n

s

xxZ

xx

c

Deux échantillons qui suivent des lois normales: 1, 21; 2, 2

2

Si H0 est vraie, Zc suit une loi normale N(0,1)

31

H1 ≠bilatéral


32

H1unilatéral


33

H1 unilatéral


34

H0 H1 Rejet de H0 si = 0.05 = 0.01

1 = 2 1 2

1 > 2

1 < 2

|Zc| |z/2| Zc zZc z

|z/2| = 1.96 z= 1.64 z= 1.64

|z/2| = 2.57 z= 2.33 z= 2.33

Pour résumer:

Maintenant un exemple...


35

Taille des silex sur deux sites

Les moyennes de ces deux échantillons prélevés indépendamment l’un de l’autre diffèrent-elles d’une façon hautement significative?

mms

mms

mmx

n

x

x

09,6

18,37

86,158

50

1

1

22

1

1

mms

mms

mmx

n

x

x

09,5

92,25

46,134

67

2

2

22

2

2


36

n1 et n2 grands -> test sur la loi normale

H0 : a = b

H1 : a b (bilatéral)

2

22

1

21

21

ns

ns

xxZ

xx

c

9.22

6792.25

5018.37

66.13486.158

cZ

= 0.01, Z/2 = 2.57


37

H0 rejetée au seuil de signification de 1%


38

Comparaison d’une moyenne empirique à une moyenne théorique

Même principe que précédemment (quand n est grand):

n

sx

Zx

c0

que l’on teste sur la loi normale N(0,1)

H0: =0

39

Cas des petits échantillons: Test t

Deux populations normales 1 et 2 de même variance (au moins approximativement) 2. Si n1 et n2 sont petits, s2

x1 et s2x2 sont des

estimateurs peu précis de 2.

Dans ce cas, la variable différence centrée réduite n’obéit plus à une loi normale mais à une loi de Student à =n1+n2-2 degrés de liberté.

Comparaison de deux moyennes expérimentales– petits échantillons -

40

La variance de la distribution des différences de moyennes est estimées par s2

D

21

22 11

nnss pdD

2

)1()1(

21

22

212 21

nn

snsns xxpd

avec


41

Ce qui donne…

H0 : a = b

Dc s

xxt 21

Avec = n1 + n2 - 2


42

Si les variances s’avèrent inégales alors test t modifié.

2

2

1

2

21

21

n

s

n

s

xxt

xx

cm

11 2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

21

21

n

n

s

n

n

s

n

s

n

s

xx

xx

avec


43

Comparaison d’une moyenne empirique à une moyenne théorique

Même principe que précédemment. Suivant si n est petit ou grand, on calcule les variables auxiliaires suivantes:

n

sx

tx

c0

n

sx

Zx

c0

que l’on teste sur la loi de Student ou loi normale N(0,1)

H0: =0

44

Fondée sur les différences de chaque paire d’éléments

21 iii xxd

On imagine que la différence obéit à une loi normale, mais en général on utilise une loi de Student à n-1 degrés de liberté:

Comparaison de moyennes de deux échantillons appariés

1

)(et 1

2

n

dds

n

ss

n

ii

dd

d

45

H0 : 1 = 2 ou d = 0

H1: 1 2 , bilatéralH1: 1 > 2 , unilatéralH1: 1 < 2 , unilatéral

d

c s

dt

Comparaison de moyennes de deux échantillons appariés

t calculé pour = n-1 degrés de liberté

46

Comparaison de deux fréquences expérimentales

Comparaison des fréquences de 2 grands échantillons indépendants.

H0 : p1 = p2 = p

Deux échantillons : f1, n1; f2, n2

On approxime la loi binomiale par la loi normale mais:n1>30, n2>30, n1f1>5, n2f2>5, n1(1-f1)>5, n2(1-f2)>5

47

Comparaison de deux fréquences expérimentales

Sous H0 on peut réunir les deux échantillons, et on est conduit à l’estimation de p

21

2211ˆnn

fnfnp

Zc devient

21

21

11)ˆ1(ˆ

nnpp

ffZc

H1: p1≠p2

H1: p1>p2

H1: p1<p2

Test sur la loi normale N(0,1)

48

Comparaison d’une fréquence empirique et d’une fréquence théorique

La différence entre f (mesuré) et p (théorique) est-elle seulement explicable par les aléas dus à l’échantillonnage?

On approxime la loi binomiale par la loi normale mais:n>30, np>5 et nq>5

H0: f = p

npp

pfZc

)1(

H1: f≠pH1: f>pH1: f<p

Test sur la loi normale N(0,1)

49

Comparaison de deux variances expérimentales

Deux échantillons qui suivent des lois normales: 1, 21; 2, 2

2

H0: 21=2

2

calcul de :2

2

B

A

x

xc s

sF

Plus grande variance

Plus petite variance

>1

Si H0 est vraie, Fc suit une loi de Fisher-Snedecor avec 1=n1-1 et 2=n2-1

50

Soit 21 et 2

2, un couple de variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois du 2 à 1 et 2 degrés de libertés.

222

121

/

/

F

Utile pour les tests de variance et de covariance

La loi de Fisher - Snedecor : F(1,2)

51

)(2121 ,, FFP

La loi de Fisher - Snedecor : F(1,2)

52

H1: 21>2

2

Sous H0: Pr(Fc<F)=1-

F

Accept. H0rejet H0


53

H1: 21≠2

2

Sous H0 : Pr(Fc<F)=1-

F

Accept. H0rejet H0

/2


54


Table de Fisher-Snedecor


1. GénéralitésConditions d’applicationUtilisation des rangs

2. Les tests:Le test de signesLe test U de Mann-WhitneyLe test de Wilcoxon Le test de Kolmogorov Smirnov

Plan


Les tests non paramétriques ne font aucune hypothèse sur la distribution sous-jacente des données. On les qualifie souvent de tests distribution free. L’étape préalable consistant à estimer les paramètres des distributions (p.e. moyenne et écart type) avant de procéder au test d’hypothèse proprement dit n’est plus nécessaire.

Quand?:

1. L’échelle des données est ordinale plutôt que sous forme d’intervalles ou de rapports. Dans ce cas les opérations arithmétiques n’ont pas de sens!

2. Les mesures sont sur des échelles d’intervalles ou de rapports mais les distributions de fréquences observées sont très éloignées de la distribution normale.

Pourquoi et quand utiliser des statistiques non-paramétriques?

1. Généralités – Conditions d’application


Données Paramétrique Non-paramétrique

Distribution normale

n grand

Précis et fiable Si H0 est rejeté, le résultat devrait être le même qu’avec le test paramétrique

Si H0 est accepté, le résultat n’est peut être pas fiable

Distribution non normale

n petit

Résultat absolument pas fiable: souvent un rejet de H0 abusif

Meilleur résultat possible avec de telles données

1. Généralités – Conditions d’application


Données Rangs

x1 = 4,3 R(x1) = 5

x2 = 9,3 R(x2) = 8

x3 = 0,3 R(x3) = 1

x4 = 2,9 R(x4) = 3

x5 = 3,2 R(x5) = 4

x6 = 7,7 R(x6) = 7

x7 = 5,0 R(x7) = 6

x8 = 0,4 R(x8) = 2

On pourrait ordonner du plus grand au plus petit. Les rangs seraient différents, mais les tests aboutiraient au mêmes résultats!

Si x2 avait été 1000, x2 aurait eu le même rang (donc perte irrémédiable d’information)!

Maintenant, on ne travaille plus que sur les rangs

1. Généralités – Utilisation des rangs


Données Rangs

x1 = 4,3 R(x1) = 5

x2 = 9,3 R(x2) = 8

x3 = 0,3 R(x3) = 1

x4 = 0,4 R(x4) = 2,5

x5 = 3,2 R(x5) = 4

x6 = 7,7 R(x6) = 7

x7 = 5,0 R(x7) = 6

x8 = 0,4 R(x8) = 2,5

Si 2 valeurs ou plus sont identiques, le rang devient la moyenne des rangs de la paire ou du groupe

En pratique, souvent peu crucial…

1. Généralités – Utilisation des rangs


Si n est impair: médiane = valeur du point avec le rang (n+1)/2 Si n est pair: médiane entre les valeurs des points qui ont les rangs n/2 et (n+2)/2

Valeur pour laquelle la fréquence cumulée est égale à 0.50 ou point qui partage la distribution en 2 parties égales.

2

1nxmed

Pour n impair2

2

2

2

nn xx

med

Pour n pair

1. Généralités – Rappels sur la médiane


Alternative non-paramétrique au test t

Cas d’un petit échantillon

Voyons un exemple: ces mesures de mercure dans les sols sont-elles issues d’une population dont la médiane serait 40 ppm?

Hg ppm

56 42 61 61 42 55 35 42 39 65 44 51 32 82 41

Signe + + + + + + - + - + + + - + +

Résultat : 3 (–) et 12 (+)Question: Est-ce significativement différent de 50% (-) et 50% (+)?Il semble qu’il y ait déséquilibre… à voir…

2. Les tests – Le test des signes (petits échantillons)


Imaginons que (+) soit un succès: p = 0,5. On peut appliquer la distribution binomiale, avec x, le nombre d’apparitions, p, la probabilité de succès, n, le nombre de tentatives:

Probabilité de 7 succès (ou 8) sur 15 essais = 0,19638Probabilité de 6 succès (ou 9) sur 15 essais = 0,15274Probabilité de 5 succès (ou 10) sur 15 essais = 0,09164Probabilité de 4 succès (ou 11) sur 15 essais = 0,04166

La somme de ces probabilités = 0,9648, donc plus de 95% de chances de se retrouver avec de 4 à 11 (+).

xxnxxnxn pq

xxn

npqCxP

!)!(

!)(



On pose les hypothèses:

H0: la médiane = 40 ppm HgH1: la médiane ≠ 40 ppm Hg

Avec 12(+), on rejette H0 car on a déjà plus de 96% de chances de se trouver entre 4 (+) et 11 (+) par le simple fait du hasard. On en conclue donc que la médiane de la population est significativement différente de 40 ppm de Hg.



Quand n est suffisamment grand (n>20), on peut utiliser l’approximation normale de la loi binomiale avec une correction de continuité

2. Les tests – Le test des signes (grands échantillons)

Exemple:Durée de vie supposée d’un foret pétrolier > 250h

271 230 198 275 282 225 284 219253 216 262 288 236 291 253 224264 295 211 252 294 243 272 268

+ - - + + - + -+ - + + - + + -+ + - + + - + +

15(+), 9(-)

H0: médiane de la population = médiane hypothétique spécifiéeH1: médiane de la population > médiane hypothétique spécifiéeAttention test unilatéral


Npq

NpXXZ

Correction de continuité (puisque la loi binomiale est discrète alors que la loi normale est continue): Il faut retrancher 0.5 à X si X>Np et ajouter 0.5 à X si X<Np.

02,15,0.5,0.24

5,0.24)5,015(

Z

Ici c’est un test unilatéral, Z0,05= 1,645. Z<Z0.05, donc H0 n’est pas rejetée. La publicité de la marque n’est pas justifiée!!!

2. Les tests – Le test des signes (grands échantillons)


Alternative non-paramétrique du test t à deux échantillons.

Probablement le test non-paramétrique le plus utilisé dans la littérature.

Il teste l’hypothèse nulle d’égalité des médianes de populations à partir desquelles deux échantillons sont tirés.

H0: médiane de la population x = médiane de la population y H1: médiane de la population x ≠ médiane de la population y

2. Les tests – Le test U de Mann-Whitney


Alliage A (n1=8) Alliage B (n2=10)

18.3 16.4 22.7 17.8 18.9 25.3 16.1 24.2

12.6 14.1 20.5 10.7 15.9 19.6 12.9 15.2 11.8 14.7

3 5 15 1

8 14 4 7

2 6

12 10 16 11

13 18 9 17

Alliage BAlliage A

R1:Somme rangs = 106 R2 : somme rangs = 65

Etape 1: Transformation en rangs

Etape 2

Plus petit effectif = n1

Le plus simple: traiter un exemple

2. Les tests – Le test U de Mann-Whitney (petits échantillons)


111

211 2

)1(R

nnnnU

Pour tester la différence entre les rangs, on utilise la statistique suivante.Calcul de U pour l’échantillon 1 & 2

101062

9.810.8

2

)1(1

11211

R

nnnnU

Ici


222

212 2

)1(R

nnnnU

U = min (U1,U2)

70652

11.1010.8

2

)1(2

22212

R

nnnnU

Donc U=10


Si n1 & n2 < 20:Valeurs limites m fournie par une table telle que sous H0, P(U<m)=

On rejette H0 si U<m

Ici U<17, donc H0 est rejeté. Il y a donc une différence significative entre les deux groupes



Si n1 & n2 > 20, la distribution U peut être approchée par une distribution normale de telle sorte que

U

UUz

Ceci se teste tout naturellement sur la loi normale…

2. Les tests – Le test U de Mann-Whitney (grands échantillons)

Accepter H0 si –Z<Z<Z, sinon rejeter H0

221nn

U

12

)1( 2121

nnnnU

avec


Comparaison de deux échantillons appariés (chaque valeur d’un échantillon est associée à une valeur de l’autre échantillon, les deux ont la même taille).

Question: Existe-t-il une différence entre les 2 échantillons?

H0: Pas de différence entre les deux groupesH1: Une différence entre les deux groupes

M 5 4 2 3 4 3 8 5 4 5

R 6 3 3 1 1 3 4 2 5 7

Diff -1 1 -1 2 3 0 4 3 -1 -2

Calcul de la différencen = nombre de différences non nulles = 9

2. Les tests – Le test de Wilcoxon


Test de Wilcoxon

On classe ensuite les différences par ordre croissant de valeurs absolues

Val. -1 1 -1 -1 2 -2 3 3 4

Rg 2.5 2.5 2.5 2.5 5.5 5.5 7.5 7.5 9

On affecte à chaque différence son rang dans le classement

w+ : somme des rangs des différences positivesw- : somme des rangs des différences négatives

w+ = 2.5 + 5.5 + 7.5 + 7.5 + 9 = 32w- = 2.5 + 2.5 + 2.5 + 5.5 = 13w = min (w+, w-) = 13

2. Les tests – Le test de Wilcoxon (petits échantillons)


2 cas possibles:

Si n<25 (empirique), alors on utilise une table

n

Niveau de signification, test unilatéral

0,025 0,01 0,005

Niveau de signification, test bilatéral

0,05 0,02 0,01

6 0

7 2 0

8 4 2 0

9 6 3 2

10 8 5 3

11 11 7 5

12 14 10 7

13 17 13 10

14 21 16 13

15 25 20 16

16 30 24 20

17 35 28 23

18 40 33 28

19 46 38 32

20 52 43 38

21 59 49 43

22 66 56 49

23 73 62 55

24 81 69 61

25 89 77 68

Sous H0, P(W<w)=avec = 0.05 et = 0.01

On rejette l’hypothèse nulle si w<w

Ici, pour n = 9 et = 0.05, w = 6

w > w0.05 donc on ne peut pas rejeter H0. Il n’y a pas de différence significative entre les deux échantillons.

2. Les tests – Le test de Wilcoxon (petits échantillons)


Si n>25, lorsque H0 est vraie, W suit approximativement une loi normale N(,) avec

4

)1(

nnw 24

)12)(1(

nnn

On calcule la valeur de la variable normale centrée réduite:

ww

Z

La valeur est comparée à la valeur Z de la loi normale. Si –Z<Z<Z on accepte H0

2. Les tests – Le test de Wilcoxon (grands échantillons)


Test non paramétrique de conformité de Kolmogorov Smirnov

Il consiste à calculer les différences existants entre les distributions de fréquences relatives cumulées de deux échantillons et à vérifier si la plus grande différence peut être fortuite ou pas (Dobs).

)()(:

)()(:

21

21

....1

....0

icumrelicumrel

iicumrelicumrel

xfxfH

xxfxfH

Pour au moins une valeur de xi

Simple sur un exemple…

2. Les tests – Le test de Kolmogorov Smirnov


Domaine vital de l’ours noir (F & M) Sexe Domaine vital

(km2)

F

F

M

M

F

M

F

F

M

F

M

M

F

F

F

37

72

94

504

60

173

49

18

560

50

274

168

102

49

20

Question: L’étendue du domaine vital des ours noirs males est-elle différente de celle du domaine des femelles?

Hypothèses:

)()(:

)()(:

....1

....0

FM

FM

icumrelicumrel

iicumrelicumrel

xfxfH

xxfxfH

Pour au moins une valeur de xi



xi Fcum(xiF) Fcum(xiM) Fcum(xiF)/nF

(A)

Fcum(xiM)/nM

(B)

(A)-(B) Dobs

18

20

37

49

50

60

72

94

102

168

173

274

504

560

1

2

3

5

6

7

8

8

9

9

9

9

9

9

0

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

5

6

0,111

0,222

0,333

0,555

0,666

0,777

0,888

0,888

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0,166

0,166

0,333

0,500

0,666

0,833

1

0,111

0,222

0,333

0,555

0,666

0,777

0,888

0,722

0,833

0,666

0,500

0,333

0,166

0

0,888


Freq cum abs. Freq cum rel. Diff. Diff. max.


Taille (km2)

18 20 37 49 50 60 72 94 102 168 173 274 504 560

Fre

q. C

um.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

FM

Dobs = 0,888



Ici cas des petits échantillons nF & nM < 25 (en fait nF=9 et nM=6)

On calcule une variable auxiliaire KS = nF nM Dobs = 9.6.0,888 = 47,952 = 48

Dans la table, la valeur critique s’élève à 39 pour = 0,05

Si KS>KS, alors on rejete H0

(rejet des valeurs trop grandes)

Ici 48>39, donc on rejette H0

Conclusion: L’étendue du domaine vital des mâles diffère significativement de l’étendue du domaine des femelles.



Si au contraire n1 & n2 sont supérieurs à 25 on calcule :

)2/ln(2

1

avec21

21

KS

nn

nnKSD

Si Dobs > D, l’hypothèse H0 est refusée au profit de H1


1 L2 STE. 04/11/2013Statistiques2 Intervalles de confiance & tests statistiques Echantillonnage,...

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