1 Introduzione al problema - Dipartimento di Matematica e ...

INTRODUZIONE AL PROBLEMA 1di Simone BIANCO

1 Introduzione al problema

Lo scopo della tesi svolta e quello di ricalibrare il colore nelle immagini fo-

tografiche, ovvero: si supponga di avere un’immagine fotografica e che i colori

di questa differiscano dagli originali, quello che ci si propone di fare e andare

a correggerli di modo che l’immagine fotografata risulti il piu possibile uguale

all’originale. Si prenda ad esempio la Figura 1.1, dove l’immagine a sinistra e

quella originale e quella a destra quella fotografata:

Figura 1.1: immagine originale e fotografata

da un confronto delle due figure si puo vedere immediatamente che i colori

sono alquanto differenti.

La correzione dei colori nelle immagini fotografate viene effettuata grazie

alla seguente idea: si e pensato di correggere queste immagini con l’ausilio

di una tavola di test di colori (ognuno dei quali rappresentato da una terna


di numeri, ovvero dalle proprie componenti rispetto alla base nello spazio dei

colori costituita da rosso, verde e blu (R,G,B)) procedendo al seguente modo:

al momento della cattura dell’immagine, oltre ad effettuare una fotografia

all’immagine stessa, se ne effettua un’altra alla tavola dei colori di test scelta

per la correzione nelle stesse identiche condizioni ambientali. Si riporta in

Figura 1.2 un esempio di tavola di test da 27 colori:

Figura 1.2: tavola di test da 27 colori

Sia ora C(R,G,B) la matrice contenente i coefficienti dei colori originali

della tavola di test rispetto alla base (R,G,B) e sia C ′(R,G,B) quella con-

tenente i coefficienti dei colori fotografati. Quello che si vuole andare a fare

e costruire una funzione I che mappi i colori originali in quelli fotografati

(I : C(R,G,B) → C ′(R,G,B)), invertirla e applicare I−1 ad ogni colore

dell’immagine fotografata in modo da poter risalire al colore originale.

Da quanto appena esposto e chiaro cosa bisogna implementare nel pro-

gramma: un buon metodo interpolatorio e un metodo di inversione della fun-


zione I.

Per quanto riguarda il metodo interpolatorio si e utilizzato il metodo di

interpolazione lineare di Lagrange; certamente utilizzando il metodo “totale”

i risultati ottenuti sarebbero stati migliori, ma lavorando con set di 125 nodi i

tempi di calcolo sarebbero stati troppo lunghi. Pertanto si e dovuto sviluppare

una modalita per andare a cercare all’interno della tavola di test dei colori i 2

valori migliori per ogni componente tra cui effettuare la suddetta interpolazione

lineare.

Si riportano nel seguente paragrafo 2 alcuni esempi di interpolazione lineare

e totale nel caso mono, bi e tri–dimensionale; per quanto riguarda invece la

ricerca di zeri di sistemi di equazioni non lineari si rimanda al paragrafo 3.

2 ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 4

2 Esempi di interpolazione di Lagrange

2.1 Interpolazione lineare tra due punti (caso monodimensionale)

Siano xi i punti da interpolare e siano yi = f(xi) i rispettivi valori delle y:

x0 = 1 f(x0) = y0 = 2x1 = 2 f(x1) = y1 = 3

si calcolano i polinomi fondamentali di Lagrange:

lj(x) =

n∏i=0,i6=j

(x− xi)

n∏i=0,i6=j

(xj − xi)

(2.1.1)

l0(x) = −x− 2

1− 2= 2− x

(si noti che l0(x) vale 1 per x = x0 e 0 per x = x1)

l1(x) =x− 1

2− 1= x + 1

(in questo caso l1(x) vale 0 per x = x0 e 1 x = x1).

Si calcola il polinomio interpolatore:

Pn(x) =n∑

j=0

yjlj(x) (2.1.2)

P1(x) =1∑

j=0

yjlj(x) = 2(2− x) + 3(x− 1) = x + 1

Andando a rappresentare i nodi e il polinomio interpolatore su un grafico

si ottiene la Figura 2.1.1 (dove i nodi sono rappresentati dai pallini rossi)


Figura 2.1.1: interpolazione monodimensionale di Lagrange su due punti

2.2 Interpolazione monodimensionale su tre punti

In questo caso sono possibili due tipi di interpolazioni: si puo fare un’interpolazione

“totale” su tutti e tre i punti oppure un’interpolazione lineare tra i punti x0 e

x1 e poi tra i punti x1 e x2; siano dati i seguenti nodi e i valori su essi assunti

dalla funzione f :x0 = 1 f(x0) = y0 = 2x1 = 2 f(x1) = y1 = 3x2 = 3 f(x2) = y2 = 1

si inizia con la prima possibilita esposta: innanzitutto si calcono i polinomi

fondamentali di Lagrange con la formula 2.1.1:

l0(x) =(x− 2)(x− 3)

2

(si noti che l0(x) vale 1 per x = x0 e 0 per x = x1 e x = x2)

l1(x) = −(x− 1)(x− 3)


(l1(x) vale 1 per x = x1 e 0 per x = x0 e x = x2)

l2(x) =(x− 1)(x− 2)

2

(l2(x) vale 1 per x = x2 e 0 per x = x0 e x = x1)

Ora si puo procedere e calcolare il polinomio interpolatore con la formula

2.1.2:

P2(x) =2∑

j=0

yjlj(x) =−3x2 + 11x− 4

2


si ottiene la Figura 2.2.1 (dove i nodi sono rappresentati dai pallini rossi):

Figura 2.2.1: interpolazione monodimensionale (totale) di Lagrange su tre punti

Si passi ora alla seconda modalita esposta, ovviamente si ottengono due

polinomi interpolatori lineari diversi per gli intervalli I1 = [x0, x1] e I2 = [x1, x2]

che sono rispettivamente:

P1(I1) = x + 1


e

P1(I2) = 7− 2x



Figura 2.2.1: interpolazione monodimensionale (lineare) di Lagrange su tre punti

2.3 Interpolazione lineare bidimensionale su 22 punti

Ora in nodi non sono piu punti in R ma punti in R2:

f(x0, y0) = f(0, 0) = 1 f(x0, y1) = f(0, 1) = 2f(x1, y0) = f(1, 0) = 1 f(x1, y1) = f(1, 1) = 2

Si procede col calcolare i polinomi fondamentali di Lagrange associati ai nodi

xi come negli esempi precedenti con la formula 2.1.1:

l0(x) = 2− x

l1(x) = x− 1


successivamente si passa a calcolare quelli associati ai nodi yi con la seguente

formula:

lj(y) =

n∏i=0,i6=j

(y − yi)

n∏i=0,i6=j

(yj − yi)

(2.3.1)

e cioe

l0(y) =3− y

2

l1(y) =y − 1

2

A questo punto si calcolano i polinomi li,j(x, y) = li(x)lj(y):

l0,0(x, y) =(2− x)(3− y)

2; l0,1(x, y) =

(2− x)(y − 1)

2

l1,0(x, y) =(x− 1)(3− y)

2; l1,1(x, y) =

(x− 1)(y − 1)

2

Infine si calcola il polinomio interpolatore richiesto con la formula seguente:

Pn,m(x, y) =n∑

i=0

m∑j=0

f(xi, yj)li,j(x, y) (2.3.2)

cioe

P1,1(x, y) = f(x0, y0)l0,0 + f(x0, y1)l0,1 + f(x1, y0)l1,0 + f(x1, y1)l1,1

ovvero nel caso in esame

P1,1(x, y) =1 + y

2.




Figura 2.3.1: interpolazione bidimensionale di Lagrange su 22 punti

Supponiamo invece che i nodi fossero stati i seguenti:

f(x0, y0) = f(0, 0) = 1 f(x0, y1) = f(0, 1) = 3f(x1, y0) = f(1, 0) = 1 f(x1, y1) = f(1, 1) = 2

come polinomio interpolatore si sarebbe ottenuto il seguente:

P1,1(x, y) =3y + x− xy − 1

2.

Andando a rappresentare i nuovi nodi con il nuovo polinomio interpolatore

si ottiene la Figura 2.3.2:


Figura 2.3.2: interpolazione bidimensionale di Lagrange su 22 punti

2.4 interpolazione bidimesionale su 32 punti

Siano assegnati i seguenti nodi con rispettivi valori assunti dalla funzione f

sugli stessi:

f(x0, y0) = f(0, 0) = 1 f(x1, y0) = f(1, 0) = 2 f(x2, y0) = f(2, 0) = 2f(x0, y1) = f(0, 1) = 0 f(x1, y1) = f(1, 1) = 1 f(x2, y1) = f(2, 1) = 1f(x0, y2) = f(0, 2) = 1 f(x1, y2) = f(1, 2) = 2 f(x2, y2) = f(2, 2) = 0

Come nel caso del paragrafo 1.2 si puo procedere in due modi distinti: si puo ef-

fettuare facendo un’interpolazione “totale” su tutti i nodi oppure un’interpolazione

lineare su ogni regione del tipo [xi, xi+1] × [yi, yi+1]; si proceda con il primo

metodo esposto; usando le formule 2.1.1 e 2.3.1 per calcolare i polinomi fon-

damentali di Lagrange si ottengono:

l0(x) =(x− 1)(x− 2)

2; l1(x) = x(2− x); l2(x) =

x(x− 1)

2

e

l0(y) =(y − 1)(y − 2)

2; l1(y) = y(2− y); l2(y) =

y(y − 1)

2.


Da questi si ottengono i seguenti li,j(x, y) = li(x)lj(y):

l0,0(x, y) = (x−1)(x−2)(y−1)(y−2)2

; l1,0(x, y) = x(2−x)(y−1)(y−2)2

;

l2,0(x, y) = x(x−1)(y−1)(y−2)4

; l0,1(x, y) = (x−1)(x−2)y(2−y)2

;

l1,1(x, y) = x(2−x)y(2−y)1

; l2,1(x, y) = x(x−1)y(2−y)2

;

l0,2(x, y) = (x−1)(x−2)y(y−1)4

; l1,2(x, y) = x(2−x)y(2−y)2

;

l2,2(x, y) = x(x−1)y(y−1)4

.

Calcolando il polinomio interpolatore con la formula 2.3.2 si ottiene cosı:

P2,2(x, y) =1

4(−3x2y2 + 5x2y + 5xy2 − 4x2 + 2y2 − 11xy + 12x− 2y)



Figura 2.4.1: interpolazione bidimensionale (totale) di Lagrange su 32 punti

Per il secondo metodo esposto non si riportano i conti ma solamente il

risultato finale nella Figura 1.4.2:


Figura 2.4.2: interpolazione bidimensionale (lineare) di Lagrange su 32 punti

2.5 Iterpolazione lineare tridimensionale su 23 punti

Sia dato il seguente set di dati:

f(x0, y0, z0) = f(0, 0, 0) = 0; f(x0, y0, z1) = f(0, 0, 1) = 0;f(x0, y1, z0) = f(0, 1, 0) = 2; f(x0, y1, z1) = f(0, 1, 1) = 3;f(x1, y0, z0) = f(1, 0, 0) = 1; f(x1, y0, z1) = f(1, 0, 1) = 1;f(x1, y1, z0) = f(1, 1, 0) = 0; f(x1, y1, z1) = f(1, 1, 1) = 2 .

Si calcolino ora i polinomi fondamentali di Lagrange associati ai nodi xi con

la formula 2.1.1:

l0(x) = 1− x; l1(x) = x

quelli associati ai nodi yj con la formula 2.3.1:

l0(y) = 1− y; l1(y) = y


e quelli associati ai nodi zk con la seguente formula:

lj(z) =

n∏i=0,i6=j

(z − zi)

n∏i=0,i6=j

(zj − zi)

(2.5.1)

ovvero:

l0(z) = 1− z; l1(z) = z .

Si procede col calcolare tutti i prodotti seguenti:

li,j,k(x, y, z) = li(x)lj(y)lk(z) (2.5.2)

Infine si calcola il polinomio interpolatore con la seguente formula:

Pn,m,r(x, y, z) =n∑

i=0

m∑j=0

r∑k=0

f(xi, yj, zk)li,j,k(x, y, z) =

=n∑

i=0

m∑j=0

r∑k=0

f(xi, yj, zk)li(x)lj(y)lk(z) (2.5.3)

che nel caso in esame risulta

P1,1,1(x, y, z) = −xyz − 3xy + 3yz + x + 2y .

Facendo disegnare il precedente polinomio su un grafico facendo colorare ogni

punto del cubo (i cui vertici sono i nodi da interpolare) con colori diversi in base

al valore assunto dalla funzione nel determinato punto si ottengono le Figura

2.5.1 e 2.5.2 (dove a colori freddi corrispondono valori minori della funzione e

a colori caldi valori maggiori):


Figura 2.5.1: interpolazione tridimensionale (lineare) di Lagrange su 23 punti (sulla superficie del cubo)

Figura 2.5.2: interpolazione tridimensionale (lineare) di Lagrange su 23 punti (all’interno del cubo)

3 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI 15

3 Risoluzione di equazioni non lineari

Il problema che ci si accinge ad affrontare e la ricerca di soluzioni di equazioni

(e di sistemi di equazioni) non lineari

f(x) = 0 .

Purtroppo la non linearita della f(x) introduce particolari difficolta, soprat-

tutto in relazione al problema della convergenza dei metodi di risoluzione, che

sono necessariamente di tipo iterativo.

Si iniziera la trattazione del problema per una singola equazione non lineare;

si procedera poi col generalizzare gli stessi metodi per sistemi di equazioni non

lineari.

Partendo dall’approssimazione iniziale x0 di una radice dell’equazione non

lineare f(x) = 0, graficamente si puo pensare di generare i valori successivi

x1, x2, . . . , xn nel modo seguente:

Figura 3.1: generazione di una successione {xn} convergente a ξ.

Ossia, si conduce dal punto iniziale (x0, y0), y0 = f(x0), sulla curva y = f(x)


una retta con pendenza k0, e si prende come nuova (e migliore) approssimazione

x1 l’intersezione di questa retta con l’asse x. Si riparte poi dal nuovo punto

(x1, y1), y1 = f(x1), con una seconda retta con pendenza k1, e si determina

l’intersezione x2 di quest’ultima con l’asse x, e cosı via. In altri termini, ad

ogni passo si linearizza localmente il problema iniziale f(x) = 0, e come nuova

approssimazione della radice ξ prendiamo la radice dell’equazione lineare

yn + kn(x− xn) = 0 n = 0, 1, 2, . . .

cioe

xn+1 = xn −f(xn)

kn

n = 0, 1, 2, . . . (3.1)

Le direzioni k0, k1, k2, . . . possono essere scelte in vari modi. Ci si limitera

solamente alla trattazione del metodo di Newton-Raphson (o delle tangenti)

in quanto e quello utilizzato nella risoluzione dei sistemi non lineari di questo

elaborato.

3.1 Metodo delle tangenti o di Newton-Raphson

In questo metodo la scelta delle direzioni kn e data da kn = f ′(xn). Ovviamente

e indispensabile l’esistenza di f ′(xn) per ogni n. Il processo iterativo diviene

pertanto:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)(3.1.1)

La generalizzazione di questo metodo a sistemi di equazioni non lineari

e abbastanza semplice. A tale fine si consideri un’approssimazione x(i) =

(x(i)1 , x

(i)2 , . . . , x

(i)n )T della radice ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn)T . Si supponga che ogni


singola funzione fj del sistemaf1(x1, x2, . . . , xn) = 0f2(x1, x2, . . . , xn) = 0. . .fn(x1, x2, . . . , xn) = 0

sia derivabile due volte, con derivate (parziali) seconde continue, in un intorno

di ξ contenente x(i), in modo che risultino validi i seguenti sviluppi in serie di

Taylor:f1(x

(i)) + (ξ1 − x(i)1 )

(∂f1

∂x1

)x=x(i)

+ · · ·+ (ξ1 − x(i)1 )

(∂f1

∂x1

)x=x(i)

+ term. ord.2 = 0

f2(x(i)) + (ξ1 − x

(i)1 )

(∂f2

∂x1

)x=x(i)

+ · · ·+ (ξ1 − x(i)1 )

(∂f2

∂x1

)x=x(i)

+ term. ord.2 = 0

. . .

fn(x(i)) + (ξ1 − x(i)1 )

(∂fn

∂x1

)x=x(i)

+ · · ·+ (ξ1 − x(i)1 )

(∂fn

∂x1

)x=x(i)

+ term. ord.2 = 0

Trascurando i termini di ordine 2 si ottiene un sistema lineare la cui soluzione,

se unica, non sara ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn)T bensı x(i+1) = (x(i+1)1 , x

(i+1)2 , . . . , x

(i+1)n )T :

J (i)h(i) = −f(x(i))x(i+1) = x(i) + h(i) per i = 0, 1, 2, . . .

(3.1.2)

La matrice

J (i) = J(x(i)) =

(∂f1

∂x1

)x=x(i)

(∂f1

∂x2

)x=x(i)

. . .(

∂f1

∂xn

)x=x(i)(

∂f2

∂x1

)x=x(i)

(∂f2

∂x2

)x=x(i)

. . .(

∂f2

∂xn

)x=x(i)

. . . . . . . . . . . .(∂fn

∂x1

)x=x(i)

(∂fn

∂x2

)x=x(i)

. . .(

∂fn

∂xn

)x=x(i)

e lo Jacobiano del sistema.

Il processo iterativo della formula 3.1.2 definisce il metodo di Newton in

n variabili. Nota un’approssimazione iniziale x(0) sufficientemente buona, il

processo iterativo sopra definito determina una successione di approssimazioni

{x(i)} convergente alla radice incognita ξ. Come nel caso monodimensionale


l’ordine di convergenza e ancora p = 2, dove per ordine di convergenza si

definisce il seguente:

limn→+∞

‖ξ − x(i+1)‖‖ξ − x(i)‖p

= c

Tuttavia, il problema della convergenza (connesso con la possibilita di avere o

determinare un’approssimazione iniziale x(0) sufficientemente buona) nel caso

di un sistema e molto piu delicato. Si osserva inoltre che quando lo Jacobiano

pur non essendo singolare, risulta quasi singolare, il sistema di iterazioni si

rivela mal condizionato. Riassumendo, col metodo di Newton ad ogni itera-

zione si deve:

1. valutare J (i) e f(x(i));

2. risolvere il sistema J (i)h(i) = −f(x(i));

3. porre x(i+1) = x(i) + h(i).

Il processo iterativo diviene pertanto, nel caso di n variabili:

x(i+1) = x(i) − f(x(i))

J (i)(3.1.3)

molto simile al caso unidimensionale, dove al posto dello Jacobiano compare

la derivata.

I punti 1 e 2 risultano pero estremamente dispendiosi, tranne in quei casi

in cui lo Jacobiano e sparso (cioe quando ogni funzione fij dipende da poche

variabili). Un altro inconveniente di questo metodo e la necessita di conoscere

o poter valutare le n2 derivate parziali presenti in J (i). Al fine di ridurre il

“costo” di ogni iterazione del metodo di Newton, sono state proposte diverse

alternative, tutte volte alla ricerca di approssimazioni “efficienti” B(i) dello

Jacobiano J (i).

Si e notato che la matrice risolvente del problema della taratura dei colori in

immagini fotografiche presenta una forma fortemente diagonale; si e pertanto


pensato che fosse molto conveniente (sia in termini di costi che di risultati

ottenuti) procedere con la generalizzazione a n dimensioni del metodo iterativo

ad una dimensione conosciuto come metodo “a farfalla”.

3.2 Il metodo iterativo “a farfalla”

Si supponga di riscrivere l’equazione in esame f(x) = 0 nella forma

x = g(x)

con g(x) derivabile in un intorno I della radice incognita ξ, e tale che ξ = g(ξ)

se e solo se f(ξ) = 0. Nota un’approssimazione iniziale x0 della radice ξ si

utilizza il procedimento iterativo

xn+1 = g(xn), n = 0, 1, 2, . . . (3.2.1)

per costruire la successione {xn}. Se questa converge ad un punto α, allora

ξ ≡ α, cioe f(α) = 0.

Si esamini in Figura 3.2.1 il significato geometrico della precedente formula

iterativa:

y=g(x)

Figura 3.2.1: metodo a farfalla


L’equazione f(x) = 0 puo sempre essere riscritta nella forma x = g(x); anzi,

cio puo essere fatto in un numero infinito di modi. Come si puo osservare nella

Figura 3.2.1 la funzione g(x), e in particolare il valore di g′(x), svolge un ruolo

fondamentale; quest’ultimo e infatti il diretto responsabile della convergenza

o meno della successione {xn}. Infatti la successione {xn} risulta certamente

convergente quando, detto m il valore che soddisfa la seguente disuguaglianza:

|g′(ξ)| ≤ m, i = 0, 1, 2, . . .

dove ξ e un punto (non noto) dell’intervallo con estremi ξ e xi, si viene a

verificare che m < 1, cioe quando la funzione g(x) scelta ha |g′(ξ)| ≤ m < 1

in tutto un intervallo I contenente l’approssimazione iniziale x0 e tale che

g(x) ∈ I per ogni x ∈ I. In tale sistuazione ξ e l’unica radice dell’equazione

f(x) = 0 presente nel suddetto intervallo. Quando invece in tutto un intorno

di ξ risulta |g′(x)| > 1 la successione non puo convergere.

Il metodo descritto viene denominato “a farfalla” in quanto la convergenza

e assicurata se e solo se la funzione g(x) e compresa nella porzione di spazio

per cui vale |g′(x)| < 1, che ha la forma che ricorda le ali di una farfalla (Figura

3.2.2):


y=g(x)

g� (x)=1

g� (x)=-1

Figura 3.2.2: zona di convergenza del metodo a farfalla per la funzione g(x)

L’espressione piu generale per il metodo iterativo a farfalla e la seguente,

facilmente riutilizzabile anche nel caso n-dimensionale:

xi+1 = xi + f(xi)− yi . (3.2.2)

E pero da sottolineare il fatto che nella correzione dei colori nelle immagini

fotografiche avvengono degli errori, la maggior parte dei quali causati dalla

non convergenza del metodo iterativo appena esposto.

Si esaminera piu in dettaglio la situazione nel momento in cui si vedranno

i risultati ottenuti con il programma implementato.

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