1 Introduccion Automatas Finitos

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Teoría Autómatas y Lenguajes Formales. Dr. Víctor Heughes Escobar Jeria. Primer Semestre 2010 e-mail: [email protected] [email protected]

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Para empezar con la teoria de automata.

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  • Teora Autmatas y Lenguajes Formales.Dr. Vctor Heughes Escobar Jeria.Primer Semestre 2010e-mail: [email protected] [email protected]

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  • Descripcin de la asignatura*Esta asignatura proveer al alumno nociones de los fundamentos de la ciencia de la computacin, adems de los elementos necesarios para la elaboracin de un compilador

  • OBJETIVOS* Conocer los fundamentos relacionados con la teora de la computabilidad.

    Conocer los fundamentos tericos y prcticos bsicos de compiladores

  • Contenidos*1.- Fundamentos matemticos - Alfabetos, palabras y lenguajes. - Grafos y rboles. - Induccin matemtica. - Conjuntos y relaciones. 2.- Autmatas finitos: - Autmatas finitos determinsticos. - Autmatas finitos no determinsticos. - Autmatas finitos con transiciones en vaco. - Expresiones regulares. - Autmatas que escriben

    3.- Propiedades de los conjuntos regulares: - Lema de bombeo para conjuntos regulares. - Propiedades de clausura. - Algoritmos de decisin. - Teorema de Myhill-Nerode. - Minimizacin de autmatas finitos

  • Contenidos*4.- Gramticas libres de contexto: - Definiciones. - rboles de derivacin. - Simplificacin de gramticas. -Formas normales. - Lenguajes inherentemente ambiguos

    5.- Autmatas apiladores: Definiciones. Relacin con los lenguajes libres de contexto.

    6.- Propiedades de los lenguajes libres de contexto: - Lema de bombeo para lenguajes libres de contexto. - Propiedades de clausura. - Algoritmos de decisin.

  • Contenidos*7.- Mquinas de Turing: - Modelo de la mquina de Turing. - Lenguajes y funciones computables. - Tcnicas para la construccin de mquinas de Turing.- Extensiones al modelo de las mquinas de Turing. Hiptesis de Church.

    8.- Problemas indecidibles: - Problemas. - Propiedades de los lenguajes recursivos y enumerables recursivamente. La mquina de Turing universal.

    9.- Principios de compiladores: - Ejemplo de un diseo de compilador de una pasada. - Anlisis lxico y sintctico. - Comprobacin de tipos. - Optimacin de cdigo. - Compiladores avanzados para multiprocesadores

  • Evaluacin*

    EvaluacionesFecha%Prueba 114/May20Prueba 219/Jul30Controles-15Trabajos-35

  • Teora Autmatas y Lenguajes Formales: IntroduccinDr. Vctor Heughes Escobar Jeria.Primer Semestre 2010e-mail: [email protected] [email protected]

    *CON LA VENIA DEL TRIBUNAL DAR INICIO A MI PRESENTACIN. Comenzaremos explicando el por qu DE NUESTRO TRABAJO...

  • Introduccin. * El avance de las matemticas permite la utilizacin de nuevas metodologas para la representacin y manejo de la informacin.

    Por otro lado, aparece el intento de los matemticos y cientficos para obtener un procedimiento general para poder resolver cualquier problema (matemtico) claramente formulado. Es lo que se podra llamar El problema de la computacin terica

  • Introduccin. * El avance de la tecnologa y de las matemticas, y ms en concreto de la teora de conjuntos y de la lgica, permiten plantearse aspectos de la computacin en 3 caminos:

    a) Computacin terica. Autmatas, Funciones Recursivas, ...

    b) Ordenadores digitales. Nuevas tecnologas, nuevos lenguajes, ....

    c) Intentos de modelizar el cerebro biolgico1. Redes Neuronales (intentan modelizar el "procesador")2. Conjuntos y Lgica Difusa (representar y manejar la informacin)

  • Introduccin. *Teora de Autmatas.

    Trata del estudio de mquinas de computacin abstractas.Teora de la Computacin.

    Trata del estudio de la computabilidad y de la complejidad.Lenguajes y Gramticas.

    Trata del estudio y formalizacin de los lenguajes.

  • Introduccin. * Diferencia entre los lenguajes naturales (LN) y los lenguajes de programacin (LP), los LP tienen unas reglas de sintaxis y de semntica mucho ms rgidas, lo que les hace manejables en los computadores.

    En los LN se trata pues de "explicar la estructura del lenguaje, y no delimitarla. Esto obliga a reglas muy complejas y que se quedan obsoletas rpidamente

  • Introduccin. Historia (I)En 1930s, A. Turing desarroll una mquina abstracta denominada Mquina de Turing para el estudio de la computabilidad.

    En 1940s y 1950s, se desarrollan unas mquinas simples, en cuanto su funcionamiento, que fueron conocidas como autmatas finitos, para modelar el funcionamiento del cerebro.

    Tambin en los 1950s, N. Chomsky comienza el estudio formal de las gramticas (generadoras de lenguajes). *

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  • Introduccin. Historia (II)En 1969, S. Cook extiende el estudio de Tuning. Cook separa aquellos problemas que pueden ser solucionados de aquellos que en principio pueden ser solucionados pero que en la prctica toman demasiados recursos.

    Autmatas finitos y ciertas clases de gramticas formales son usadas en el diseo y construccin de software.

    La Mquina de Turing ayuda a comprender que es lo que podemos esperar de nuestro software.*

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  • Por qu estudiar TALF?Autmatas Finitos son modelos tiles para muchos elementos hardware y software:

    Software para disear y chequear la conducta de circuitos digitales.El analizador lxico de un compilador.Software para escanear grandes volmenes de texto para encontrar patrones.Software para verificar sistemas que tengan un nmero finito de estados, tales como protocolos de comunicacin o de intercambio seguro de informacin. *

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  • Por qu estudiar TALF?Autmatas son esenciales para el estudio de los lmites de la computacin:

    Qu puede hacer un computador?

    Qu puede hacer un computador eficientemente? *

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  • Por qu estudiar TALF?Los lenguajes nos permiten comunicarnos con la mquina, parte de lo que puede hacer la mquina depende del poder descriptivo del lenguaje.

    Compiladores.Traductores.Diseo de lenguajes de alto nivel.*

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  • Definicin informal de autmataSon sistemas que en todo momento se encuentran en un conjunto finito de estados.El propsito de un estado es recordar la historia del sistema.Puesto que el nmero de estados es finito, el sistema debe ser diseado para recordar aquello que es importante y olvidar lo que no.La ventaja de tener un nmero finito de estados es que el sistema podr ser implementado con un fijo conjunto de recursos.

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  • Ejemplo de Autmata FinitoSistema: Interruptor.El sistema recuerda si est conectado (ON) o desconectado (OFF).El usuario lo presiona.Si est en OFF y es presionado pasa al estado ON.Si est en ON y es presionado pasa al estado OFF.

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  • Gramticas FormalesGramtica regulares.Gramticas independientes de contexto.Gramticas sensibles al contexto.Gramtica sin restricciones o de estructura de frase.

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  • Definicin informal de GramticaEs el mecanismo empleado para establecer la estructura de un lenguaje, es decir las sentencias que lo forman.Consiste de un conjunto de reglas sintcticas que establecen la forma en la que se pueden combinar los smbolos del alfabeto:

    ORACION es un SUJETO y un PREDICADO.SUJETO es una FRASE NOMINAL.FRASE NOMINAL es un GRUPO NOMINAL y un CALIFICATIVO que puede o no estar.GRUPO NOMINAL es un ARTICULO que puede no estar y un NOMBRE.CALIFICATIVO es un ADJETIVO o una CONJUNCIN y una ORACION.

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  • Tipos de GramticasN. Chomsky clasifica las gramticas en cuatro tipos:Gramticas sin restricciones o gramticas de estructura de frases (Tipo 0).Gramticas sensibles al contexto (Tipo 1).Gramticas independientes de contexto (Tipo 2).Gramticas regulares (Tipo 3).

    Tipo 0Tipo 1Tipo 2Tipo 3*

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  • Tipos de LenguajesConforme a la clasificacin de N. Chomsky, los lenguajes se clasifican en cuatro tipos:Lenguajes sin restricciones (Tipo 0).Lenguajes sensibles (o dependientes) al contexto (Tipo 1).Lenguajes independientes de contexto (Tipo 2).Lenguajes regulares (Tipo 3).

    Tipo 0Tipo 1Tipo 2Tipo 3*

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  • Teora de Autmatas - Lenguajes Formales(Mquinas abstractas - Gramticas Formales) *

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  • Teora de Autmatas Lenguajes Formales(Mquinas abstractas - Gramticas Formales) *

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  • *Teora de autmata yLenguajes Formales. Proceso de traduccin que realiza los compiladores.

    - Identificacin de tokens como bloques u objetos individuales contenidos en el diccionarios del lenguaje.Indicadores, palabras claves, operadores, ...

    Mdulo analizador lxicoTransforma el programa fuente en una secuencia de tokensMdulo analizador sintctico- Identificacin de tokensque forman parte de cada instruccin y ver que esta correctamente escrito

    Mdulo generador de cdigo Los dos primeros pasos requieren imperiosamente usar reglas gramaticales claramente definidas en las que apoyarse para la automatizacin del proceso de traduccin. Generalmente se utilizan en estas tares, mquinas (o algoritmos) como los autmatas.

  • Y al final del curso qu?Construir autmatas para modelar sistemas.Desarrollar gramticas para generar un lenguaje dado.Construir mquinas para reconocer sentencias de un determinado lenguaje.Comprobar el tipo de un lenguaje dado.

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  • Dr. Vctor Heughes Escobar Jeria.Primer Semestre 2010

    Teora Autmatas y Lenguajes Formales: Fundamentos Matemticose-mail: [email protected] [email protected]

  • Fundamentos Matemticos. * Repasar brevemente algunas nociones y notaciones que sern necesarias a lo largo de la asignatura.

    Uniformizar la notacin, que varia bastante.

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conjuntos * El fundamento ms importante para el estudio de los lenguajes y autmatas es la Teora de Conjuntos. (Formalizar)

    Los conjuntos pueden expresarse de dos maneras bsicamente:

    En extensin, lo cual quiere decir que citamos explcitamente cada uno de sus elementos, como en el conjunto {1,3, 5} que contiene exactamente los nmeros 1, 3 y 5.

    En intencin o comprensin, dando una descripcin precisa de los elementos que forman parte del conjunto, en vez de citarlos explcitamente. Por ejemplo, el conjunto del punto anterior puede ser visto como {i N| impar(i), i < 6}, donde se supone que los nmeros impares cumplen la condicin impar(i).

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conjuntos * Se representa a los conjuntos con letras maysculas, como en A = {2,4}.

    Los conjuntos pueden contener conjuntos como elementos, como en

    B = {{a}, {b, c}}.

    El conjunto sin elementos (vacio) se representa por o bien por {}.

    La notacin a B significa que a es elemento o est contenido en el conjunto B; por ejemplo, {2,3} {1, {2,3},4}. Para indicar que a no est en B se escribe a B.

    El tamao de un conjunto es el nmero de elementos que contiene, y se representa como |A| para un conjunto A. Por ejemplo, el tamao de {a, b, c} es 3, y el tamao de es cero.

    Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y slo si tienen los mismos elementos, esto es, x A ssi x B. 1 Por ejemplo, {1, {2,3}} = {{3, 2}, 1}. (el orden de los elementos es irrelevante).

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conjuntos * La notacin A B significa que el conjunto A est contenido en el conjunto B, o ms tcnicamente, que A es subconjunto de B.

    Por ejemplo, el conjunto {a, c} es subconjunto de {a, b, c}, indicado como {a, c} {a, b, c}. En otras palabras, A B cuando siempre que x A, tenemos tambin x B. De acuerdo con esta definicin, A A para cualquier conjunto A: todo conjunto es subconjunto de s mismo. Un caso extremo es el conjunto vaco, que es subconjunto de cualquier conjunto.

    Para indicar que un subconjunto contiene menos elementos que otro, es decir, que es un subconjunto propio de ste, se escribe A B. Por ejemplo, {a, c} {a, b, c}. Claramente, A = B ssi A B y B A.

    Obsrvese tambin que si A B, entonces |A| |B|, y si

    A B, entonces |A| < |B|. (Diagrama de Venn)

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conjuntos Diagrama de Venn: los diagramas de Venn permiten visualizar grficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante crculos inscritos en un rectngulo. Los crculos corresponden a los conjuntos dados y el rectngulo al conjunto universal.

    Ejemplo: A B*

  • Fundamentos Matemticos. Conjuntos * Operaciones con conjuntos

    Sean A y B conjuntos. Se definen las siguientes operaciones con los conjuntos: Unin de conjuntos,Interseccin de conjuntos,Diferencia de conjuntosComplemento de un conjunto Potencia de un conjunto A, denotada como 2(A):

    Ej. 2{1,2,3} = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3}}.Producto Cartesiano de dos conjuntos

    {1, 2} {3,4, 5} = {(1,3), (1,4), (1, 5), (2,3), (2,4), (2, 5)}

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conjuntos *Equivalencias de conjuntos Leyes conmutativas

    AB = BA, A B = B A, para los conjuntos A y B.

    Leyes distributivas

    A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C).

    Leyes de De Morgan

    (A B)C = AC BC , (A B)C = AC BC .

    Doble complemento

    (AC )C = A.

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conjuntos * Relaciones .

    Inverso.

    Se llama inverso de una relacin R, denotado por R-1, a aquella en donde se invierte el orden de los pares ordenados, esto es:

    Por ejemplo, el inverso de la relacin {(1, 2), (2,3), (1,3)} es {(2, 1), (3, 2), (3, 1)}.Reflexividad

    Se dice que una relacin binaria en D D es reflexiva cuando contiene todos los pares de la forma (x, x), para x D. Por ejemplo, si D = {1, 2, 3}, la relacin en {1, 2, 3} {1, 2, 3} con los elementos {(2, 2), (2,3), (3,3), (1, 2), (1, 1), (1,3)} es reflexiva, pero {(2, 2), (2,3), (1, 2), (1, 1), (1,3)} no lo es

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conjuntos *Simetra

    Una relacin es simtrica si y slo si siempre que contiene un par (x, y) tambin contiene (y, x).

    Por ejemplo, {(2, 2), (1, 2), (1, 1), (2, 1)} es simtrica, pero {(2, 2), (2,3), (3,3), (1, 2), (1, 1)} no lo es.

    Transitividad

    Una relacin es transitiva cuando siempre que contiene los pares (x, y) y (y, z) tambin contiene (x, z).

    Por ejemplo, la relacin {(2,3), (1, 2), (1, 1), (1,3)} es transitiva, pero {(2,3), (1, 2), (1, 1)} no lo es.

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conjuntos *Cerradura

    Cerradura reflexiva de una relacin R, se le agregan a R los pares ordenados que sean necesarios hasta que se vuelva reflexiva.

    Por ejemplo, la cerradura reflexiva de R1= {(2,3), (1, 2), (1, 1), (1,3)} es {(2,3), (1, 2), (1, 1), (1,3), (2, 2), (3,3)}.

    Cerradura simtrica de una relacin, aadiendo los pares estrictamente necesarios para que se vuelva simtrica.

    Por ejemplo, la cerradura simtrica de {(2,3), (1, 2), (1, 1), (1,3)} es {(2,3), (1, 2), (1, 1), (1,3), (3, 2), (2, 1), (3, 1)}.

    Cerradura transitiva se define de una manera similar.

    Por ejemplo, la cerradura transitiva de la relacin {(1, 2), (3, 1), (2, 1)} es {(1, 2), (3, 1), (2, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 2)}.

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos Clculo proposicional

    Manejo lgico de enunciados.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0).

    Razonamiento Lgico(uso del Clculo proposicional) Algunos de los nmeros son: 2307, 400, 1023

    *

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos Clculo proposicional Implicacin: A B

    Disyuncin : A V B

    Conjuncin: A B

    Otros smbolos lgicos son: doble implicacin, negacin, etc.

    Llamados todos ellos conectivos lgicos.*

    *Del ejemplo anterior lo importante es comprender el significado lgico de la llamada implicacin...

  • Fundamentos Matemticos Clculo proposicional * Una herramienta til para utilizar y comprender

    los conectivos lgicos, son las tablas de verdad.

    Por ejemplo, en la siguiente tabla de verdad se

    define el comportamiento de los conectivos lgicos de conjuncin, disyuncin, negacin e implicacin:

    *1 es verdadero y 0 falso

  • Fundamentos Matemticos. Induccin* La prueba por induccin sirve para probar que una cierta propiedad es vlida para todos los elementos de un conjunto infinito contable.

    Suponer que se quiere probar que una propiedad P es cierta para todos los elementos de un conjunto infinito contable (C).

    Inicialmente se prueba que es cierta para el primer elemento de (C), sea c0 esto es, se verifica P (c0 ). Este paso se llama base de la induccin.

    Despus se supone que la propiedad P es cierta para algn elemento ci de (C), y con base en esta suposicin, llamada hiptesis de induccin, se prueba que P tambin es cierta para el siguiente elemento, ci+1 .

    Con base en los dos pasos anteriores se concluye que la propiedad P es cierta para todos los elementos del conjunto (C)

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Induccin * Ejemplo

    Suponer que se quiere probar que todo nmero natural es menor que el doble de s mismo, esto es, n < 2n, n N.

    (base) Primero se comprueba para el caso del 1 se cumple, pues

    1 < 2. (induccin) Suponiendo que para un nmero i la propiedad se cumple, esto es, i < 2i, Se debe comprobar que tambin se cumple para el siguiente nmero, esto es:

    i+1 < 2(i+1). En efecto, si i < 2i, entonces i+1 < 2i+1, pero 2i+1 < 2i+2 = 2(i+1), por lo que i + 1 < 2(i + 1), como deba probar.

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Grafos

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  • Fundamentos Matemticos. Conceptos * Alfabeto, cadena de caracteres

    La nocin ms primitiva es la de smbolo, que es simplemente una representacin distinguible de cualquier informacin.

    Los smbolos pueden ser cualesquiera, como w, 9, #, etc.,

    Un smbolo es una entidad indivisible.

    Un alfabeto es un conjunto no vaco de smbolos. Ej.. alfabeto del idioma espaol,

    E={a, b, c, . . . , z}, es slo uno de tantos alfabetos posibles. En general utilizaremos la notacin para representar un alfabeto.

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conceptos * Con los smbolos de un alfabeto es posible formar secuencias o cadenas de caracteres, tales como mxzxptlk, balks, r, etc.

    Las cadenas de caracteres son llamadas tambin palabras.

    Un caso particular de cadena es la palabra vaca, la cual no tiene ninguna letra.

    La longitud de una palabra es la cantidad de letras que contiene, contando las repeticiones; se denota por |w| para una palabra w. Por ejemplo, |perro| es 5.

    Varias palabras o caracteres uno a continuacin de otro, se supone que forman una sola palabra (se concatenan). La notacin usada para denotar la concatenacin de dos cadenas a y es a. Por ejemplo, si w = abra y v = cada, entonces wvbra es la palabra abracadabra.

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conceptos * La concatenacin de palabras es asociativa, esto es, (xy)z = x(yz), pero NO conmutativa en el caso general.

    La longitud de una concatenacin cumple la propiedad: |uv | = |u|+ |v |.

    Una palabra v es subcadena de otra w cuando existen cadenas x, y - posiblemente vacas- tales que xvy = w. Por ejemplo, bora es subcadena de vbora, y es subcadena de toda palabra.

    El conjunto de todas las palabras que se pueden formar con un alfabeto es denotado convencionalmente por * Por ejemplo, si = {a, b}, * = {, a, aa, aaa, aaaa, . . . , b, bb,

    . . . , ab, aba, abb, . . .}.

    El conjunto * es infinito, pero enumerable.

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conceptos *Lenguajes, operaciones con lenguajes Un lenguaje es simplemente un conjunto de palabras. Por ejemplo: {abracadabra} es un lenguaje (de una sola palabra), {ali, baba, y, sus, cuarenta, ladrones} es otro, * es otro, etc.

    Puesto que los lenguajes son conjuntos, se pueden efectuar con ellos todas las operaciones de los conjuntos (unin, interseccin, diferencia, etc).

    Concatenacin de lenguajes

    L1L2 , como una extensin de la concatenacin de palabras: LL = {w|w = xy, x L1 , y L2 }.

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Conceptos * Por ejemplo, dados los lenguajes L1={ca, ma} y L2= {nta, sa}, la concatenacin L1L2= {canta, casa, manta, masa}.

    Una operacin ms complicada es la llamada estrella de Kleene o cerradura de Kleene, en honor al matemtico norteamericano S. C. Kleene, quien la propuso.

    Definicin.- Si L es un lenguaje, L*, llamado cerradura de Kleene de L, es el ms pequeo conjunto que contiene:

    La palabra vaca, El conjunto L Todas las palabras formadas por la concatenacin de miembros de L*

    Por ejemplo, si L = {abra, cadabra}, L* = { , abra, abraabra, abracadabra, cadabraabra, . . .}

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Ejercicios*Expresar en extensin el conjunto {x|x N, x
  • Fundamentos Matemticos. Ejercicios *

    Considerar el conjunto de nmeros naturales, tales que si son mayores que 5 o bien terminan en 5, entonces contienen algn 1 2.

    a.) Proponer 3 nmeros que cumplan la condicin y 3 que no cumplan.b.) Exprese el enunciado como una frmula proposicional, donde M significa mayores que 5, T es terminan en 5, U es contienen algn 1 y D es contienen algn 2

    Dar tres ejemplos de lenguajes basados en el alfabeto {a,b,c}

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Fundamentos Matemticos. Ejercicios *

    Calcular la concatenacin del lenguaje { , aba} con {a, bb, }

    Obtener {a, bb}* (los primeros 10 elementos)

    *En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.

  • Teora Autmata: autmata finitoDr. Vctor Heughes Escobar Jeria.Primer Semestre 2010e-mail: [email protected] [email protected]

    *CON LA VENIA DEL TRIBUNAL DAR INICIO A MI PRESENTACIN. Comenzaremos explicando el por qu DE NUESTRO TRABAJO...

  • Identificar los tipos de autmatas existentes

    *OBJETIVO

  • Autmatas Finitos * El modelado de una mquina en lo relacionado con secuencias o ciclos de acciones se aproxima ms al enfoque que nos centraremos.

    Mquinas abstracciones matemticas

    Secuencia de eventosMquinas ms simples = Autmatas finitos relacionados con los lenguajes regulares.

    Modelo de eventos: Estado: es una situacin que se permanece cierto lapso de tiempo. Ej. estado civil. acciones o eventos: para pasar de un estado a otro.

    *El modelado de fenmenos y procesos es una actividad que permite: - Verificar hiptesis sobre dichos procesos;- Efectuar predicciones sobre el comportamiento futuro;- Hacer simulaciones (eventualmente computarizadas); -Hacer experimentos del tipo qe pasara si. . . ?, sin tener que actuar sobre el proceso o fenmeno fsico.

  • Autmatas Finitos.*

    Ej. Modelo discreto de estados civiles de una persona BodaBodaDivorcioBodaMuerte cnyugeSolteroCasadoDivorc.ViudoEjercicio: Realizar un modelo discreto de un telfono

    :Transicin:marca inicialYD: yo descuelgo.YC: yo cuelgoYM: Yo marcoOD: otro descuelga ...:marca inicial

    *El modelado de fenmenos y procesos es una actividad que permite: - Verificar hiptesis sobre dichos procesos;- Efectuar predicciones sobre el comportamiento futuro;- Hacer simulaciones (eventualmente computarizadas); -Hacer experimentos del tipo qe pasara si. . . ?, sin tener que actuar sobre el proceso o fenmeno fsico.

  • Autmatas Finitos.* Estados Finales.

    Propsito de algunos modelos de estados y eventos, es reconocer secuencias de eventos buenos de que se pueden diferenciar de la secuencia malas.

    Ejemplo. Simular el funcionamiento de una mquina automtica vendedora de bebidas en lata. La mquina acepta monedas de 1, 2 y 5 y el precio de cada lata es de 5. Consideraremos que el evento llamado 1 es la accin de introducir una moneda de valor 1 en la mquina, y as con las otras.

    Solucin.

    Estado. Recordar lo que lleva acumulado Inicial. Estado 0

    *1 Los estados son la base de un diseo de los modelos que estamos estudiando, pues recuerdan las situaciones bsicas por las que pasa el proceso

  • *

    0132451211, 2,52,5255512Autmata de una mquina vendedora de bebidas en lata.1

  • Autmatas Finitos.* Mquina de Estados Finitos. (retomemos el ejemplo de la mquina vendedora)

    En ese modelo: Se pudo reconocer secuencias de eventos aceptables como la secuencia 2, 2, 1; como secuencias no aceptables, como 1,1,1.

    Desde ahora utilizaremos caracteres y los eventos se llamarn transiciones. Por ejemplo, en vez de meter 1 vamos a tener una transicin 1 y la secuencia de eventos van a representarse por concatenaciones de caracteres, esto es, por palabra.

    As en el ejemplo de las bebidas la palabra 1121 representa la secuencia de eventos de meter 1, meter 1, meter 2, meter 1

  • Autmatas Finitos.*Visin abstractaUna cinta de entradaUn controlUna cabeza de lectura (y eventual escritura)Ejemplo.

    q0q2q1abaabbTransicin palabra.bb q0 q2q2ab q0 q1q1

  • Autmatas Finitos Determinstico.* Definicin Formal. Una mquina de estados finitos M es un quntuplo

    , donde:

    conjunto de identificadores (smbolos) de estados;

    es el alfabeto de entrada;

    es el estado inicial;

    es un conjunto de estados finales;

    es la funcin de transiciones que a partir de un estado y un smbolo del alfabeto obtiene un nuevo estado.

  • *AUTMATAS FINITOS DETERMINSTICO. Ejemplo.

    q0q2q1abaabb Este AFD puede ser expresado formalmente como:

  • *AUTMATAS FINITOS DETERMINSTICO. se puede expresar mediante una tabla de transiciones, por ejemplo:

    qq0aq1q0bq2q1aq1q1bq1q2aq0q2bq2

  • Trabajo 1. *- Investigar sobre los siguientes temas:BisonYaccFlexLex

    - Comparar Bison v/s Yacc - Comparar Flex v/s LexEl trabajo no debe ser superior a 10 pg. (No incluye ni portada ni bibliografa) y no debe ser inferior a 6 pg. El trabajo es individual y debe ser entregado el da 15 Abril.

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    *CON LA VENIA DEL TRIBUNAL DAR INICIO A MI PRESENTACIN. Comenzaremos explicando el por qu DE NUESTRO TRABAJO...

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    **En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*Del ejemplo anterior lo importante es comprender el significado lgico de la llamada implicacin...*1 es verdadero y 0 falso*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*En el proceso de solucin de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bienporque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretacin. Ms an, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solucin al problema planteado sea ms sencilla.

    Por ejemplo, consideremos el conjunto de nmeros naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algn cero (0). Algunos de estos nmeros son el 2307, el 400, as como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porque el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un nmero cumple la condicin cuando, ya sea contiene algn cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175.*CON LA VENIA DEL TRIBUNAL DAR INICIO A MI PRESENTACIN. Comenzaremos explicando el por qu DE NUESTRO TRABAJO...*El modelado de fenmenos y procesos es una actividad que permite: - Verificar hiptesis sobre dichos procesos;- Efectuar predicciones sobre el comportamiento futuro;- Hacer simulaciones (eventualmente computarizadas); -Hacer experimentos del tipo qe pasara si. . . ?, sin tener que actuar sobre el proceso o fenmeno fsico.*El modelado de fenmenos y procesos es una actividad que permite: - Verificar hiptesis sobre dichos procesos;- Efectuar predicciones sobre el comportamiento futuro;- Hacer simulaciones (eventualmente computarizadas); -Hacer experimentos del tipo qe pasara si. . . ?, sin tener que actuar sobre el proceso o fenmeno fsico.*1 Los estados son la base de un diseo de los modelos que estamos estudiando, pues recuerdan las situaciones bsicas por las que pasa el proceso*