1 Introducción al tratamiento de datos © José Luís Contreras.
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1
Introducción al tratamiento de datos
© José Luís Contreras
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2
Enfoque
Intuitivo (nos falta estadística y tiempo)
Práctico
(queremos trabajar en el laboratorio)
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3
Indice
Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Media ponderada. Regresión lineal. Interpolación. Ejercicios
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4
Medir
Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuantas veces la segunda está contenida en la primera.
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5
Partes de una medida I
Si medimos el largo de una mesa ...
125,634
El resultado podría ser ?
125,634 cm
125,634 ± 17,287 cm
125 ± 17 cm
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6
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor ±incertidumbre
Presentación unidades
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7
Error e incertidumbre I
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
X Xreal
X
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8
Error e incertidumbre II
Xmedido
X Xreal
X
Error = Xreal –Xmedido
XrealXmedido X, Xmedido X)
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9
Nivel de Confianza X depende de lo seguros que queramos estar Nivel de confianza = fracción de las veces que
quiero acertar. 99%, 95%...
Xmedido
X Xreal
X
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10
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2 L1
L2
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11
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos•Aleatorios
• Derivados de los anteriores
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12
Errores sistemáticos
Errores sistemáticos
Limitaciones de los aparatos o métodos
• Precisión• Calibración
731072
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13
Errores aleatorios I
Factores que perturban nuestra medida.• Suma de muchas causas • Tienden a ser simétricos.• Se compensan parcialmente.• Repetir las medidas.• Estadística
medidas
Xreal
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14
Errores aleatorios II
Distribuciones Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios. Tienden a curvas típicas
Xreal
x xx
xx xx
xxx
x x
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15
Cómo estimar el resultado
Frente a errores sistemáticos.
Frente a errores aleatorios.
• Medir correctamente• Calibrar los aparatos
• Se compensan repetir varias veces la medida• La media es el valor más probable
n
i
i
n
XX
1
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16
Indice
Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Media ponderada. Regresión lineal. Interpolación. Ejercicios
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17
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor ±incertidumbre
Presentación unidades
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18
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos•Aleatorios
• Derivados de los anteriores
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19
Incertidumbre
Se suele expresar como:
Se suele descomponer en:
1. Incertidumbre factores sistemáticos: S1S2Destaca la de precisión
2. Incertidumbre factores aleatorios:
1. Absoluta: X
2. Relativa:X
XEr
X
XenEr
100%
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20
Incertidumbre de precisión Es
En casos sencillos la estimaremos como:
A veces depende del experimentador
No es fácil definir su intervalo de confianza
La mitad (?) de la división menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros
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21
Incertidumbre aleatoria EA
Para n medidas
nn
ntEA
11
s = Desviación
típica de las medidas
Desviación típica de la media
Factor de cobertura
t de Student
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22
1
2
2
13
454443
1
2221
2
21
2
n
xxs
n
ii
n 3
2
3
543
xxxs 0
3
)5()4()3(
xxxs
3
2
3
543222
2
xxx
s
s: la dispersión de los datos
Xreal
4X
¿edir la separación con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
¿edir la separación con respecto al valor medio ?
¿Cómo?
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23
s: propiedades
Es la distancia del valor real a la que estará más probablemente un nuevo dato
ctesn
Tiene las mismas unidades que el resultado
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24
Dispersión de la media
SI hiceramos muchos grupos de n medidas... La media es más precisa que cualquier dato, los
errores aleatorios se compensan Pero despacio .... Los errores de precisión no se compensan
n
ssX
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25
t de Student
Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño y
conlleva un nivel de confianza variable multiplicamos por un factor
corrector.
Si es el nivel de confianza p=0.05.
Para pocas medidas s=n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.
¿Quien fue Student ?
X Xs
XsX
nt
)()1( 444 pttt
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26
Coeficientes tn
n 1 2 3 4 5 10 20 40
tn
P=0.1 6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,81 1,72 1,68 1,64
tn
P=0.05 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,23 2,08 2,02 1,96
tn
P=0.01 63,6 9,92 5,84 4,60 4,03 3,16 2,85 2,70 2,58
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27
t de Student
Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño y conlleva un nivel de confianza variable multiplicamos por un factor corrector.
Si es el nivel de confianza p=0.05.
Para pocas medidas s=n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.
¿Quien fue Student ?
X Xs X
sX
nt)()1( 444 pttt
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28
Un poco de Historia:Student
Inglaterra - Irlanda Control de calidad
industrial Extraemos un número
pequeño de muestras de un lote grande.
¿ Representan al producto ?
W. Gosset 1876-1937
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29
Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V Masa
(kg)73 72 74 72 73
kgM 8,725
)7372747273(
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30
Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J VMasa
(kg)73 72 74 72 73
kgM 8,72
15
8,72738,72728,72748,72728,7273 22222
1
n
kgn 837,01
78,241 ttn
kgtE nA 041
5
8370782
51
4 ,,
,
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31
Incertidumbre total
Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
Propiedades
22
21
2 X22SA EEX
ASASA
SASASA
EEEEE
EEEEEE
22
22
,
,
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32
Resumen medidas directas
22SAfinal EEX
SMedia división
mínima nn
ntEA
11
XX final
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33
Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J VMasa
(kg)73 72 74 72 73
kgM 8,72
kgEA 97,0
kgES 50,
kgM 091,15,097,0 22
kgM 091,1800,72 Presentación incorrecta !
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34
Medidas indirectas I
Dependen de otras mediantes expresiones matemáticas
Ej: Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5 cm cm2 , ¿? Recordando derivadas...
LdL
dAA
L
A
LdL
dA
0
lim
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35
Medidas indirectas II
Significado L
Válido si L pequeño
Interpretación geométrica
LLALdL
dA 22
L
L
L
L
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36
Medidas indirectas III
Area de un rectángulo
A = L1 x L2
L1 conocido perfectamente
Y si L1, ,L2 inciertos ?
2112
LLALdL
dA
L2
L2
L1
L2
L1
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37
Medidas indirectas IV
Errores independiente se compensan parcialmente
?1221 LLLLA
L1 x L2L1 x L2
L2 x L1
L2
L1
222
21 LLLLA
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38
Medidas indirectas V
,, 21 XXfY
2
22
2
11
XX
YX
X
YY
Derivada parcial de Y respecto a X1
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39
Derivadas parciales
1X
Y
Como varía Y si varía sólo X1
,, 21 XXfY
EJEMPLOS
zxy 43
32zxy
V
M
hrV 2
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40
Casos simples
21 XXY 222
1 XXY
XcY XcY
21 XXY 2
2
2
2
1
1
X
X
X
XYY
2
1
X
XY
nXY X
XnYY
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41
Ejemplo (casi) completo I
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
V
M
1
23
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42
gEEM AS 282022 .gES 05.0
ggEA 27805
2240782 .
..
Ejemplo (casi) completo II
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
gM 400.14
gM 282040014 ..
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43
Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
3
3
4rV rrr
r
VV
22
4
33,12,4 cmV
r
r
V
VE VR
33.0,
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44
Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
?0335,14377,33cm
g
V
M
22
V
V
M
M
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46
1. NO tengo tanta precisión en como pretendo
2. ¿ Si tengo una incertidumbre de unidades...Por qué doy diezmilésimas en
Presentación de resultados
Los resultados se presentan redondeados
?0335,14377,33cm
g
3)0,14,3(cm
g
?0,14377,33cm
g
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47
Cifras significativas
Cifras significativas Todas salvo los ceros a la izquierda Sobreviven a un cambio de notación
Ejemplos:
c.s. 3 0,670 c.s 2 0,67
c.s. 3 670 c.s. 2 67
s. c. 3 10 123 c.s. 3 0,123
c.s. 3 10 123 c.s. 3 1233-
3
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48
Reglas (arbitrarias) de Redondeo
La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
El valor se expresa con tantos decimales como la incertidumbre.
Valor e incertidumbre se expresan con las mismas unidades y potencia de 10.
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49
Comparación de resultados
Resultados compatibles
Resultado más preciso.
Review of particle porperties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11
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50
Calculadora
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51
Excel