1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez...
Transcript of 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez...
![Page 1: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/1.jpg)
Hipérbole 09 Dez
1
1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva é essa chamada hipérbole.
3. Objetivos:
• Identificar e representar uma hipérbole a partir uma secção em um cone;
• Identificar elementos da hipérbole: focos, vértices e eixos;
• Definir hipérbole;
• Obter a equação reduzida de uma hipérbole
• Associar as medidas dos semi-eixos real e imaginário da hipérbole à
equação reduzida.
![Page 2: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/2.jpg)
Hipérbole 09 Dez
2
1. Tema – INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA HIPÉRBOLE.
2. Título - Que curva é esta chamada hipérbole?
Fotografia ou ilustração do cone de som de um avião supersônico
3. Objetivos: • Identificar e representar uma hipérbole a partir de uma seção de um cone.
• Identificar os elementos da hipérbole – centro, vértices, focos, eixo real e eixo
imaginário.
• Definir hipérbole.
• Obter a equação reduzida de uma hipérbole.
Que curva é essa chamada hipérbole?
A forma hiperbólica aparece nas fotos abaixo.
Fotos de outros objetos ou situações
com forma hiperbólica
Fonte: http://mat.absolutamente.net/recursos/alunos/0102/conicas/catia.pdf
![Page 3: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/3.jpg)
Hipérbole 09 Dez
3
figura 02
A título de introdução ao Estudo da Hipérbole, este experimento pretende resgatar as
proposições de Apolônio a respeito das cônicas, proporcionando ao aluno a oportunidade
de seccionar um cone de massa por um plano, observar a curva obtida, buscar simetrias,
identificar elementos notáveis e identificar nessa curva a propriedade que define a
hipérbole.
A atividade também proporciona uma oportunidade de se aplicar as construções com
régua e compasso de maneira significativa, integrada aos procedimentos de manipulação
e à álgebra.
Pretende-se que a atividade motive os alunos e agregue significado a um posterior estudo
formal da Hipérbole e das demais seções cônicas.
Etapa 1 - Cortando um cone e obtendo uma hipérbole, identificando seu eixo e vértice.
Material necessário – papel cartão (ou um funil), massa para modelar, barbante, papel
manteiga ou vegetal, caneta de ponta porosa, cola, régua e tesoura (figura 01).
A hipérbole será obtida por uma seção em uma
superfície cônica como as da figura ao lado. As
etapas a seguir permitirão que se faça essa
operação com uso de massa para modelar.
figura 01
Ver no texto de apoio ao
professor uma receita caseira
de massa de modelar.
![Page 4: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/4.jpg)
Hipérbole 09 Dez
4
1a. Modelar um cone com o molde (de papel cartão ou funil) utilizando a massa de
modelar(Fig. 03). Retirar da forma (Fig. 04) e colocar sobre uma superfície.
1b. Com o barbante ou uma placa, cortar o cone segundo um plano perpendicular à sua
base, que contenha seu eixo, dividindo-o em duas partes iguais (fig. 05 e 06).
1c.Posicionar as duas partes obtidas, com as seções planas apoiadas numa superfície, de
modo que os vértices e o eixo coincidam (Fig 07).
Observação importante: os cones com abertura maior produzirão resultados mais precisos e mais facilidade na obtenção dos elementos da hipébole e observação das propriedades.
figura 04 figura 03
figura 05 figura 06
figura 07
![Page 5: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/5.jpg)
Hipérbole 09 Dez
5
1d. Com uma linha (ou barbante) bem esticada, fazer um corte na massa, de modo a
atingir as duas seções do cone. Retirar cuidadosamente a linha, mantendo as partes do
cone na mesma posição (Fig 08).
1e. Inserir cuidadosamente um cartão no corte feito pela linha e marcar com uma
caneta de ponta porosa o contorno da interseção da superfície cônica com o cartão
(Fig 09, 10 e 11).
figura 08
figura 10
figura 11
figura 09
As curvas obtidas nesse procedimento são partes
dos ramos de uma hipérbole
![Page 6: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/6.jpg)
Hipérbole 09 Dez
6
1f. Transferir as curvas obtidas para uma folha de papel transparente. Dobrando essa
folha, inserir o cartão com os ramos da hipérbole desenhados (Fig 12) e transferir esses
arcos para o papel transparente (Fig 13).
1g. Retirar o cartão do interior do papel e transferir as linhas obtidas para a outra
metade da dobra, obtendo assim, ao abrir o papel, uma hipérbole cujo eixo é a dobra
do papel (Fig 14 e 15).
figura 14
figura 13
figura 12
figura 15
![Page 7: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/7.jpg)
Hipérbole 09 Dez
7
1h. Para obter a direção do outro eixo da hipérbole, sobreponha os dois ramos
obtidos e faça um vinco na dobra do papel (Fig 16). Destacar os eixos, traçando
retas sobre os vincos (Fig 17 e 18).
Etapa 2 - Obtendo os focos da hipérbole. Para obter os focos da hipérbole, os alunos deverão seguir o roteiro abaixo, utilizando os ramos de hipérbole obtidos ao cortar o cone:
2a. Identifique na hipérbole os pontos V1 e V2, denominados Vértices e o ponto O,
denominado centro da hipérbole.
figura 19
figura 18 figura 17 figura 16
O eixo que contém os pontos
V1 e V2 é denominado eixo real da hipérbole.
A hipérbole tem ainda um
outro eixo, cuja direção é
perpendicular à do eixo real e
que passa pelo ponto O,
denominado eixo imaginário.
![Page 8: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/8.jpg)
Hipérbole 09 Dez
8
2b. Trace por V1 uma perpendicular ao eixo real e marque o ponto A tal que AVOV 11 = ,
obtendo o segmento OA , de medida 21 ×OV . 2c. Marque no eixo real um ponto B, tal que OAOB = . Por B trace uma perpendicular ao
eixo real, que interceptará a hipérbole em P.
2d. Marcar em AV1 o ponto C, tal que PBCV1 = . Com centro em O e raio OC traçar
uma circunferência que interceptará o eixo real nos pontos F1 e F2 que são os focos da
hipérbole.
A justificativa dessa construção encontra-se no texto de apoio ao
professor.
figura 20
figura 21
figura 22
![Page 9: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/9.jpg)
Hipérbole 09 Dez
9
Etapa 3 - Definindo a hipérbole.
Para compreender a condição que define a hipérbole, siga os seguintes passos:
3a. Escolher um ponto P qualquer da hipérbole e medir a distância do ponto P a cada um
dos focos. Utilizar para isto um barbante (fig 23 e 24) ou o compasso (fig 25) ;
Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :
Pedir aos alunos que comparem os valores obtidos nas colunas 21 PFPF − e 21VV
3b. Sobrepor as medidas obtidas, verificando que a diferença entre elas corresponde à
distância entre os vértices.(fig 26 a 29)
figura 24 figura 23
figura 25
figura 26 - Verificação com o barbante
![Page 10: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/10.jpg)
Hipérbole 09 Dez
10
Verificação com o compasso
Repita essa operação para vários pontos da hipérbole e constate que a diferença é constante.
3c. Para confirmar numericamente a constatação do item anterior, preencher a tabela
abaixo, substituindo o barbante e o compasso por uma régua graduada (tomar pelo menos
4 pontos):
Pontos 1PF 2PF
21 PFPF − 21VV
P1
P2
P3
P4
...
Pedir aos alunos que comparem os valores obtidos nas colunas 21 PFPF − e 21VV ,
verificando que seus valores são bastante aproximados.
Ou seja, descontadas as imprecisões de construção e medida, para todos os pontos
escolhidos, a diferença entre as distâncias 1PF e 2PF é constante e tem o mesmo valor
que a distância entre os vértices.
Esta é a condição que define uma hipérbole :
“Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença entre as
distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, é constante.”
figura 27 figura 28 figura 29
![Page 11: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/11.jpg)
Hipérbole 09 Dez
11
Etapa 4 – Obtendo a equação reduzida da hipérbole.
Material necessário – Papel quadriculado, lápis, borracha, régua e compasso.
A atividade deve ser conduzida de modo que os alunos cheguem à equação que representa a hipérbole que obtiveram pelo corte do cone.
4a. Inserir na hipérbole obtida um sistema de eixos cartesianos com origem no centro da
hipérbole e os focos no eixo x. Identificar as coordenadas dos focos e dos vértices,
conforme o exemplo abaixo. Escolher na hipérbole um ponto P qualquer, de coordenadas
(x, y)
4b. Obter a equação, partindo da definição da hipérbole:
distância (P, F2) – distância (P, F1) = 4
Aplicando a formula da distância entre dois pontos
figura 30
Importante: Os alunos deverão trabalhar com os valores correspondentes às hipérboles que construíram. Os valores das coordenadas devem ser expressos em centímetros, com precisão
de uma casa decimal
![Page 12: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/12.jpg)
Hipérbole 09 Dez
12
2 2 2 2(x 3) y (x 3) y 4+ + − − + =
Desenvolvendo a expressão:¨
2 2 2 2(x 3) y (x 3) y 4+ + − − + = ±
( ) ( )2 2
2 2 2 2(x 3) y 4 (x 3) y+ + = ± + − +
( )2 2 2 2 2 2
x 3 y 16 8 (x 3) y (x 3) y+ + = ± − + + − +
2 2 2 2x 6x 9 16 x 6x 9 8 (x 3) y+ + − − + − = ± − +
2 212x 16 8 (x 3) y− = ± − +
( )2
2 2 2(3x 4) 2 (x 3) y− = ± − +
2 2 29x 24x 16 4[(x 3) y ]− + = − +
2 2 29x 24x 16 4x 24x 36 4y− + = − + +
2 25x 4y 20− =
2 25x 4y 20
20 20 20− =
2 2x y
14 5
− =
Etapa 5 - Uma constatação importante.
O uso do módulo é necessário, pois
só estamos interessados no valor
positivos da diferença
Na construção gráfica dos focos da hipérbole,
partimos do segmento 1OV e obtivemos os
segmentos OCeCV1 , que formam um triângulo
retângulo. Denominaremos a, b e c esses
segmentos, conforme a figura ao lado.
Assim, a distância entre o centro e os focos da
hipérbole é a medida da hipotenusa desse
triângulo, indicada por c.
![Page 13: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/13.jpg)
Hipérbole 09 Dez
13
Os alunos devem voltar à figura 22 e medir, para as suas hipérboles os valores de
1OV , que denominamos a:___________
1V C , que denominamos b:___________
OC , que denominamos c:___________
Com uso de uma calculadora, obter os valores de
a2:____________ e b2:____________
Relacionar a equação da hipérbole obtida na etapa 4 com os valores de a2 e b
2 obtidos
acima, verificando que, descontadas as imprecisões de construção, esses valores
correspondem aos denominadores dos termos em x e y da equação da hipérbole,
respectivamente.
Assim, a equação reduzida de uma hipérbole, com centro na origem do sistema
cartesiano, será dada por
2 2
2 2
x y1
a b− =
Os parâmetros a, b e c são, portanto, muito importantes no estudo da hipérbole e têm as
seguintes denominações:
a – medida do semi-eixo real da hipérbole
b – medida do semi-eixo imaginário da hipérbole
c – medida da semi-distância focal da hipérbole.
Uma conseqüência imediata dessa observação é a relação entre esses parâmetros, dada
pelo teorema de Pitágoras:
a2+b2=c2
O texto de apoio ao professor apresenta o estudo analítico da hipérbole. Para desenvolvê-
lo é necessário que o aluno tenha conhecimentos da representação de pontos no plano
cartesiano e do cálculo da distância entre dois pontos. Poderão assim ser deduzidas as
equações reduzidas da hipérbole, para o caso geral, generalizando-se assim as
constatações observadas experimentalmente neste trabalho.
![Page 14: 1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva ... · Fonte: . Hipérbole 09 Dez 3 ... Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020318/5be8152809d3f26f698db638/html5/thumbnails/14.jpg)
Hipérbole 09 Dez
14
FICHA TÉCNICA
Autores - Maria Zoraide M C [email protected]
Miriam Sampieri Santinho [email protected]
Rosa Maria Machado [email protected]
Wilson Roberto Rodrigues [email protected]
Colaboradores: Eduardo Sebastiani Ferreira Maria Lucia B Queiroz, Otilia T . W .
Paques, Eliane Quelho F Rezende, Claudina I. Rodrigues, Maria Ines S. Muniz
Ilustrador
Fotógrafo - Augusto
Revisores:
Matemática
Língua portuguesa
Pedagogia
Avaliadores:
Externos
Professores
alunos