INTERS SIMPLE

INTRODUCCINEl inters es la diferencia que existe entre un monto o capital final y el importe original que lo produjo.

I = f(capital, tasa, tiempo, riesgo, etc.)

1. Clculo del Inters SimpleEn una operacin a Inters Simple, el capital que genera los intereses permanece constante durante el tiempo de vigencia de la transaccin. La capitalizacin que es la adicin del interes ganado al capital original, se produce uncamente al trmino de la operacin.

SIMBOLOGA

IIntersPPrincipal, capital o stock inicial de efectivo, valor presenteSMonto, capital o stock final de efectivo, valor futuronNmero de perodos de tiempo (das, meses, trimestres, etc)iTasa de inters simple por unidad de tiempo, expresado en tanto por uno.

Frmula GeneralPara deducir una frmula que calcule el Inters Simple consideremos un prstamo de S/. 1 000. cobrando una tasa de inters simple del 24% anual (24/100 = 0,24) aplicable exclusivamente sobre el capital original.

Al final del primer ao el inters generado por el Capital Inicial ser:

Inters = 1 000 x 0,24 x 1 = 240Al final del segundo ao el total de intereses generado por el Capital Inicial ser:

Inters = 1 000 x 0,24 x 2 = 480Al final del n-simo ao el total de intereses generado por el Capital Inicial ser:

Inters = 1 000 x 0,24 x n De acuerdo con nuestra simbologa, las ecuacin anterior puede generalizarse:

I = Pin (9)En est formula i es la tasa de una unidad de tiempo y n es el nmero de unidades de tiempo.

De (9) obtenemos:

P = I(10)i = I(11)n = I(12)inPnPi

Ejemplo:Un Banco otorg a una empresa un prstamo de S/. 10 000 para devolverlo dentro de un ao, cobrando una tasa de inters simple del 24% anual. Cul ser el inters que pagar la empresa al vencimiento del plazo?

I = 10 000 x 0,24 x 1 = S/. 2 400Solucin:

1.1 Perodo de tiempo comprendido entre dos fechas

Si una persona deposita y retira de cuenta en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo da, no habr ganado inters alguno.

Para percibir inters es necesario que el dinero haya permanecido en la entidad financiera como mnimo un da, transcurrido entre dos fechas consecutivas.

La operacin es conocida como El Mtodo de los Das Terminales

Ejemplo:Un depsito efectuado el 3 de Abril y retirado el 4 del mismo mes habr percibido inters correspondiente a un da, contando del 3 al 4.

En el clculo del perodo de tiempo comprendido entre dos fechas, para excluir el primer da podemos efectuar lo siguiente:

a) Depsitos y retiros producidos en el propio mes: restar al da de retiro el da de depsito.b) Depsitos y retiros producidos en perodos que incluyen ms de un mes: restar nmero de das del primer mes los das transcurridos desde que se efectu el depsito (incluido ese da) y adicionar los das de los meses siguientes incluyendo el da de retiro. EJEMPLO: Depsito realizado el 3 de abril, retirado el 26 del mismo mes, se contabilizarn 23 das. ( 26 3 = 23)EJEMPLO: Depsito realizado el 26 de mayo, retirado el 7 de Junio, se contabilizarn 12 das.

MAYO = 5 das +JUNIO = 7 das +TOTAL = 12 das +

Excluido Incluido3/44/41 da

1.2 Ao Bancario segn BCRPCuando el Adjetivo anual y el trmino ao no estn asociados a fechas especficas, harn referencia a un ao bancario.De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Per, el Ao Bancario es un perodo de 360 das.

En general los siguientes trminos harn referencia a los siguientes perodos de tiempo:

Nmero de unidades de tiempo en un ao bancario

TRMINOPERODO EN DASAo360Semestre180Cuatrimestre120Trimestre90Bimestre60Mes30Quincena 15Da1

TRMINOPERODO EN DASAo1Semestre2Cuatrimestre3Trimestre4Bimestre6Mes12Quincena 24Da360

Ejemplo:Si la tasa anual de inters es del 18% anual. Cul ser la tasa para el perodo comprendido entre el 1 de Enero de 2008 y el 1 de Enero de 2009?

18% --------------------- 360 dasX% --------------------- 365 dasSolucin:Entre las fechas referidas han transcurrido 365 das. Por regla de tres simple:

X =18.25%

1.3 Inclusin y exclusin de das cuando se producen variaciones de tasaSupongamos que el 15 de Junio, cuando la tasa de inters simple mensual fue 4%, una persona depsito en su cuenta de ahorros S/. 10 000 y los retir el 16 de Junio, fecha en que la tasa subi a 5%. Cmo debe calcularse el inters cuando se producen variaciones de tasas?

Qu tasa de inters debe aplicarse al depsito?

015.06P = 10 000217.06

116.06

I = 4%I = 5%En el grfico observamos que del da 15 al 16 de Junio la persona gan un da de inters a la tasa del 4%. La percepcin de la tasa del 5% corresponder a los depsitos efectuados a partir del da 16 de Junio.

1.4 Variaciones en la Tasa de IntersCuando en el mercado se producen variaciones de tasas, la frmula (9) debe modificarse para incluir dichas variaciones durante los perodos de tiempo de vigencia de la tasa.

Siendo i1 , i2 , i3 , i4 , .. , im las tasas de inters vigentes durante n1 , n2 , n3 , n4 , .. , nm perodos respectivamente, tenemos:I = Pi1n1 + Pi2n2 + Pi3n3 + Pi4n4 + + Pimnm I = P[i1n1 + i2n2 + i3n3 + i4n4 + + imnm ]

I = P ik nk (13)mK = 1La frmula (13) calcula el inters simple con variaciones de tasa.

Ejemplo:Calcular:

a) Calcular el inters simple de un depsito de ahorro de S/. 5 000 colocado en el Banco Norte del 6 de Julio al 30 de setiembre del mismo ao ganando una tasa anual de inters simple del 36%. La tasa anual baj al 24% a partir del 16 de Julio y al 21% a partir del 16 de Setiembre.

b) Con la misma informacin calcule nuevamente el inters, considerando que el banco abona los intereses en la libreta de ahorros cada fin de mes (capitalizacin).

Solucin:a) Inters Simple del 6 de Julio al 30 de Setiembre 6/716/7i1 = 36%n1 = 10 d.16/930/9i2 = 24%i3 = 21%n2 = 62 d.n3 = 14 d. n = 86 d.

Variacin de Tasas

Clculo del inters simple del 6 de Julio al 30 de SetiembreI = 5 000 [(0,36 x 10/360) + (0,24 x 62/360) + (0,21 x 14/360)]I = 5 000 [0,0595] = 297,5 b) Inters simple del 6 de Julio al 30 de Setiembre con abono de inters cada fin de mes.

A partir de iDasAcum.6 Julioi1 = 36 %n1 = 101016 Julioi2 = 24 %n2 = 627216 Setiembrei3 = 21 %n3 = 148630 Setiembre

Julio I = 5 000 [ 0,36 x 10/360 + 0,24 x 15/360] = 100Agosto I = 5 100 [ 0,24 x 31/360 ] = 105,40Setiembre I = 5 205,4 [ 0,24 x 16/360 + 0,21 x 14/360 ] = 98,04Inters total = 100 + 105,40 + 98,04 = 303,44Variacin de Tasas

El conjunto de estas operaciones a inters simple constituye una operacin a inters compuesto.

A partir de iDas6 Julio36 %1016 Julio24 %1531 Julio24 %3131 Agosto24 %1616 Setiembre21 %1430 Setiembre86

1.5 Variaciones en el principal (Numerales)Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc.Cambia constantemente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el clculo del inters simple se efecta usando numerales.

NUMERAL: Es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el nmero de das de permanencia de ese saldo sin movimiento.La siguiente ecuacin muestra el movimiento de una cuenta de ahorros durante un perodo de tiempo:

I = Pi1n1 + Pi2n2 + Pi3n3 + Pi4n4 + + Pimnm (1)Cada sumando de la expresin anterior representa una operacin de inters simple, donde:

P1 , P2 , P3 , son los saldo del capital originaln1 , n2 , n3 , son los das de permanencia de los saldos P1 , P2 , P3 ,

De (1):

I = i [P1n1 + P2n2 + P3n3 + P4n4 + + Pmnm ]Cada sumando de la expresin entre corchetes es un numeral.

I = i Pk nk (14)mK = 1La frmula (14) calcula el inters simple aplicando numerales.

Ejemplo:Una persona abre una libreta de ahorros el 1 de Junio con S/. 1 100 y efecta partir de esa fecha durante todo el mes de junio las operaciones detalladas en el cuadro siguiente Qu inters habr acumulado al 1 de Julio, si la tasa mensual de inters simple fue de 4%?

DepsitosRetiros1 Junio 1 1004 Junio 1506 Junio 20018 Junio 30010 Junio 10027 Junio 63023 Junio 6026 Junio 48028 Junio 100

Solucin:P1 = 1 100 n1 = 3P2 = 950 n2 = 2P3 = 1 150 n3 = 4P4 = 1 250 n4 = 8P5 = 950 n5 = 5P6 = 1 010 n6 = 3P7 = 1 490 n7 = 1P8 = 860 n8 = 1P9 = 960 n9 = 3

I = 0,04/30 [(1 100 x 3) + (950 x 2) + (1 150 x 4) + (1 250 x 8) + (950 x 5) + (1 010 x 3) + (1 490 x 1) + (860 x 1 + (960 x 3)

I = 0,04/30 (32 810)I = 0,001333333 x 32810I = 43,75

D = Depsito R = Retiro I = Inters

DaD/RImporteMovimientoSaldo AcreedorDasNumerales AcreedoresDebeHaber01.06D 1,100.000.001,100.001,100.0033,30004.06R 150.00150.000.00950.0021,90006.06D200.000.00200.001,150.0044,60010.06D100.000.00100.001,250.00810,00018.06R 300.00300.000.00950.0054,75023.06D60.000.0060.001,010.0033,03026.06D480.000.00480.001,490.0011,49027.06R 630.00630.000.00860.00186028.06D100.000.00100.00960.0032,88001.07Totales3032,810Multiplicador fijo 0,04/30 x 32 810 = 43,7501.07I43,750,043,751 003,75

1.6 Numerales con variaciones de tasasCuando existen variaciones de tasas, el clculo del inters simple a travs de numerales debe efectuarse por tramos durante los perodos de tiempo que la tasa tuvo vigencia. Se muestra su aplicacin a travs del siguiente ejemplo.

Ejemplo:El 1 de setiembre cuando la tasa mensual era de 3%, una persona abri una libreta de ahorros con un importe de S/. 2 000 y a partir de esa fecha efectu los siguientes depsitos: S/. 500, 300, y 400 el 6, 9 y 20 de setiembre; asimismo retir: S/. 600 y 200 el 6 y 25 del mismo mes.

Si la tasa baj al 2% a partir del 16 de setiembre y la entidad financiera abona los intereses simples en la cuenta de ahorros del primer da del mes siguiente, Cul es el importe disponible del cliente el 1 de Octubre?

Solucin:D = Depsito R = Retiro I = Inters C = Cambio de Tasa

DaD/RImporteMovimientoSaldo AcreedorDasNumerales AcreedoresTasa diariaIntersDebeHaber01.09D2,000.000.002,000.002,000.00510,0000,0010010,0006.09D500.000.00500.002,500.00000,001000,0006.09R 600.00600.000.001,900.0035,7000,001005,7009.09D300.000.00300.002,200.00715,4000,0010015,4016.09C0.000.000.002,200.0048,8000,000665,8720.09D400.000.00400.002,600.00513,0000,000668,6725.09R 200.00200.000.002,400.00614,4000,000669,6001.10Totales3055,2401.10I55,240,055,242,455.24

2. Monto, capital o stock, valor futuroEl monto o importe capitalizado constituye la suma del capital inicial e inters.

S = P + I (15)S = P + Pin S = P (1 + in) (16)En est frmula la tasa de inters y el tiempo se refieren a una misma unidad de tiempo y (1 + in) es el factor simple de capitalizacin a inters simple.

De la ecuacin (16) despejamos i y n:

i =S/P - 1(17) n =S/P - 1(18)ni

Ejemplo:Qu monto habr acumulado una persona en una cuenta de ahorros, del 4 al 16 de octubre del mismo ao, percibiendo una tasa de inters simple del 3% mensual, si el depsito inicial fue de S/. 2 500?

Solucin:S = ?P = 2 500i = 0,03N = 12/30S = P (1 +in)S = 2 500 (1 + 0,03 X 12/30)S = 2 500 (1,012)S = 2 530

2.1 Monto con variaciones de tasaCuando se producen variaciones de tasa, aplicamos la siguiente frmula:Ejemplo:Un prstamo de S/. 2 000 fue pactado para ser devuelto dentro de 4 meses conjuntamente con los intereses simples generados por el capital original y calculados con la tasa de inflacin mensual ms un punto adicional. Al final del plazo la inflacin fue del 2% y 2,5% para el primer y segundo mes y del 2,2% para los ltimos dos meses. Calcule el monto de esa operacin.

S = P[1 + i1n1 + i2n2 + i3n3 + + imnm ] (19)Solucin:S = ?P = 2 000i1 = 0,03 n1 = 1i2 = 0,035 n2 = 1i3 = 0,032 n3 = 2

S= P[1 + i1n1 + i2n2 + i3n3] S = 2 000 [1 + 0,03 X 1 + 0,035 x 1 + 0,032 x 2]S = 2 000 [1 + 0,129]S = 2 258

3. principal, capital inicial, valor presenteEl valor presente P; de un importe con vencimiento en una fecha futura, es aquel principal que a una tasa dada alcanzar en el periodo de tiempo contado hasta la fecha de vencimiento, un importe igual a su valor futuro.

Se obtiene despejando (P) en (16)

En est frmula la tasa de inters y el tiempo estn expresadas en la misma unidad de tiempo y 1/(1 + in) es el factor simple de actualizacin a inters simple.

P = S1(20)1 + in

Ejemplo:Encontrar el capital que impuesto a una tasa de inters simple mensual del 3% durante 87 das, ha producido un monto de S/. 500

Solucin:P = ?i = 0,03n = 87/30S = 500

P = S11 + in

P = S500 = 459,981 + (0,03 x 87/30)

4. Ecuaciones de valor equivalente a inters simple

Dos o ms importes de dinero ubicados en diferentes momentos de tiempo son equivalentes cuando sus valores presentes calculados con una misma tasa de inters, son iguales.

Si dichos importes coinciden cronolgicamente y estn expresados en la misma unidad monetaria, entonces, en ese punto del tiempo podrn sumarse o restarse.

En el inters simple, si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en otro momento, tal como s ocurre con el inters compuesto.

Ejemplo:Determinar si los importes de S/. 540 y 570 al final de los meses 4 y 7 respectivamente son equivalentes en el presente.Utilice una tasa de inters simple anual del 24%.

Solucin:P = 540/(1 + 0,02 x 4) = 500P = 570/(1 + 0,02 x 7) = 500

S1 y S2 son equivalentes en el momento 0 porque sus valores futuros descontados a la tasa de inters simple del 24% anual originan un mismo valor presente de S/. 500

S1 = 540S2 = 57001234567P = ? Fecha focal

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