1

INT INTEGRALI 0. Differenziale di una funzione

Sia f una funzione reale di dominio A ⊆ IR, derivabile in un punto x0 interno ad A.

Introduciamo due nuovi simboli: ∆f =

deff(x) − f(x0) , ∆x =

defx − x0 (1)

per ogni x ∈ A, che esprimono l'incremento della funzione f relativo a x0 e l'incremento della variabile x.

Ciò premesso, fissiamo nel piano un riferimento cartesiano

ortogonale OXY (fig.1) e prendiamo sulla curva Gr( f ) i pun

ti P0(x0, f(x0)) e P(x0+∆x, f(x0+∆x)), con x0+ ∆x ∈ A.

Si ha subito:

f(x0+∆x) = f(x0) + ∆f (2) Prendiamo poi la funzione affine g tale che la retta Gr(g)

sia la tangente alla curva Gr(f) nel punto P0.

Detto P' il punto di coordinate (x0+∆x, g(x0+∆x)) e indicato

con Q il punto in cui la parallela all'asse X condotta per P0

incontra la parallela all'asse Y condotta per P', si ha: g(x0+∆x) = f(x0) + f'(x0) ⋅ ∆x. (3) Il prodotto f'(x0) ⋅ ∆x viene chiamato differenziale di f nel punto x0 e indicato con df. Allora: df =

def f'(x0) ⋅ ∆x (4)

Quindi la (3) si può scrivere:

g(x0+∆x) = f(x0) + df. (5)

Se ora poniamo:

ε=∆∆−′ xf )x(f 0 (6)

e moltiplichiamo ambo i membri di questa per ∆x, si ottiene f'(x0) ⋅ ∆x − ∆f = ε ⋅ ∆x, ovvero:

df − ∆f = ε ⋅ ∆x (7)

(In fig.1 è df = PQ ′ , ∆f = QP , ε ⋅ ∆x = PP ′ ).

Dalla (6) segue pure 0 lim0x

=ε→∆

, da cui si deduce:

0 xx lim

0x=

∆∆⋅ε

→∆. (8)

La (8) si esprime dicendo che εεεε ⋅⋅⋅⋅ ∆∆∆∆x è un infinitesimo di ordine superiore a ∆∆∆∆x per ∆∆∆∆x →→→→ 0 (cioè ε ⋅ ∆x

tende a zero "più rapidamente" di ∆x quando ∆x tende a zero) e giustifica l'uguaglianza approssimata:

df ≈ ∆f (9)

di cui si fa largo uso nelle applicazioni. E' appena il caso di osservare che questa "uguaglianza" potrà essere

utilizzata con sufficiente approssimazione soltanto per valori di ∆x abbastanza piccoli, perché è solo per tali

valori di ∆x che la quantità ε ⋅ ∆x potrà ritenersi trascurabile rispetto a df.

(fig.1)

X

Y

O x0 x0 + ∆x

df P0

P'

P

Q

Gr(f)

Gr(g)

∆f

2

ESEMPI

� Stimiamo l'incremento della funzione x � ln x quando x varia da 2 a 2,01.

Poiché x0 = 2 e ∆x = 0,01, risulta:

dln = ln'(2) ⋅ 0,01 = 21 ⋅ 0,01 = 0,005.

Incremento esatto: ∆ln = ln (2,01) − ln (2) = ln (2

01,2 ) = 0,00498 …

Errore assoluto commesso: dln − ∆ln = 0,00002. � Stimiamo l'incremento della funzione x � tan x quando x varia da

π/4 a π/4 + 0,01.

Poiché x0 = π/4 e ∆x = 0,01, risulta:

dtan = tan' (4π ) ⋅ 0,01 = 2 ⋅ 0,01 = 0,02.

Incremento esatto: ∆tan = tan (4π + 0,01) − tan (

4π ) = 0,0202.

Errore assoluto commesso: dtan − ∆tan = 0,0002. In particolare, il differenziale della funzione identica viene indicato con dx e chiamato, impropriamente,

differenziale della variabile x. Poiché dx =def

d(x � x) = 1⋅ ∆x = ∆x, la (4) si può scrivere:

df =

def f'(x0) ⋅ dx (10)

A parole: il differenziale della funzione f nel punto x0 è uguale al prodotto della derivata di f in x0 per il differen

ziale della variabile x. Dalla (10) segue la notazione di Leibniz, che consiste nell'indicare la derivata di f in x0 con il simbolo

0xxdxdf

=����

�� e la funzione derivata con

dxdf oppure con )x(f

dxd . La derivata seconda di f, si suole indica

re con uno dei simboli

0

2

2

xxdx

fd

=��

�

�

��

�

�,

2

2

dx

fd , )x(f2

2

dx

d . Analogamente per le derivate successive.

11 Ricorrendo alla relazione df ≈ ∆f, rispondi alle seguenti domande.

(1) Di quanto si accresce l'area di un quadrato se il suo lato, lungo 1 m, aumenta di 1 mm?

(2) Sulla parabola di equazione y = x2 + 3x + 2 si consideri il punto P di ascissa 1. Se l'ascissa

di P aumenta di 10−6, di quanto varia la sua ordinata?

(3) Un piano inclinato lungo 1 m forma con l'orizzontale un angolo α = 60°. Di quanto varia l'altezza

del piano se α aumenta di 1° ?

99 11 (1) 0,002 m2 ; (2) 5⋅10−6 ; (3) 8,7 mm.

EP INT / 0

SOLUZIONI

3

1. Il problema dell'area Sia f una funzione reale limitata e non negativa in un intervallo [a, b].

Si chiama trapezoide di f nell'intervallo [a, b], la figura piana �

delimitata dal grafico di f, dall'asse X e dalle rette di equazione

x = a e x = b (fig.2).

Una questione che spesso si pone è la seguente: determinare un

numero reale non negativo che misuri l'area di �, numero che indi

cheremo con area �.

In casi molto particolari, la definizione di area � è facilitata da con

siderazioni di geometria elementare.

Il trapezoide � di una funzione costante f : x � c, con c ≥ 0, nell'intervallo [a, b], è un rettangolo

di base b−a e altezza c (fig.3). E' allora naturale porre:

area � =

def c ⋅ (b − a) (1)

Se g è la funzione ottenuta dalla funzione costante f : x � c modificando in modo arbitrario le

immagini di un numero finito di punti di [a, b], il trapezoide ���� di g nell'intervallo [a, b] si ottiene da

quello di f aggiungendo o togliendo ad esso un numero finito di segmenti paralleli all'asse Y (fig.4).

Ciascuno di questi segmenti può essere considerato come un rettangolo degenere avente base uguale a

zero, e quindi area nulla. Di conseguenza, appare ancora del tutto ragionevole porre:

area �' =

def c ⋅ (b − a) (2)

Si chiama suddivisione dell'intervallo [a, b], ogni sottoinsieme finito � = { x0, x1, � , xn }

di [a, b] tale che a = x0 < x1 < x2 < � < xn = b. L'insieme di tutte le suddivisioni di [a, b] verrà indicato con �.

Una funzione f : [a, b] → IR si dice a gradini, se esiste una suddivisione � di [a, b] tale che la restrizione di f a

ciascuno degli intervalli aperti ] x k−1, x k [ , per k = 1, � , n, è costante (in fig. 5 abbiamo preso n = 4), men

tre le immagini in f dei punti della suddivisione sono arbitrarie.

����

a b O X

Y

(fig.2)

a b a b

Y

X X

Y

O O

c c

(fig.3) (fig.4)

Y

X

(fig.5)

O a = x0 x1 x2 x3 x4 = b

4

Se f(x) = c k ≥ 0 per ogni x ∈ ] x k−1, x k [, le aree dei rettangoli di base x1 − x0, x2 − x1, � , xn − xn−1 e altez

za c1, c2, � , cn, rispettivamente, sono date da c1 ⋅ (x1 − x0), c2 ⋅ (x2 − x1), � , cn ⋅ (xn − xn−1).

L'area del trapezoide di f nell'intervallo [a, b], è allora:

area � =def

� −=

−

n

1k)xx(c 1kkk (3)

L'unione di un insieme finito di rettangoli con i lati paralleli agli assi coordinati, non sovrapposti, si dice un

plurirettangolo. Pertanto la (3) definisce l'area del trapezoide � come area del plurirettangolo sotteso dal

grafico di f. 2. Integrale di una funzione limitata e non negativa

Sia f una funzione reale limitata e non negativa in un intervallo [a, b] e sia � il trapezoide di f in [a, b].

Per ogni suddivisione � = {x0, x1, � , xn} ∈ �, sia m k l'estremo inferiore e M k l'estremo superiore della restri

zione di f all'intervallo ]x k−1, x k[, per k = 1, � , n 1 .

Alla coppia (f, �) associamo due funzioni a gradini, indicate rispettivamente con g e h, la prima minorante e

la seconda maggiorante rispetto a f, cioè tali che g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) per ogni x ∈ [a, b].

• La funzione g : [a, b] → IR è definita da: • La funzione h : [a, b] → IR è definita da:

g(x) = �

,m),x(f

k

h(x) = �

,M),x(f

k

In fig.6, � include il plurirettangolo sotteso dal In fig.7, � è incluso nel plurirettangolo sotteso

grafico di g. dal grafico di h.

Si chiama somma inferiore di f relativa alla Si chiama somma superiore di f relativa alla suddivisione �, il numero reale: suddivisione �, il numero reale:

s(f, �) = �=

−−⋅n

1i)1ixix(im s (f, �) = �

=−−⋅

n

1i)1ixix(iM

che rappresenta l'area del plurirettangolo sot che rappresenta l'area del plurirettangolo sot

teso dal grafico di g. teso dal grafico di h.

Come subito si riconosce, per ogni � ∈ � risulta:

s(f, �) ≤ s (f, �).

1 Quando f è continua in [a, b], m k è il minimo assoluto e M k è il massimo assoluto di f in [x k−1, x k].

per x∈�� per x∈ ]x k−1, x k[

per x∈�� per x∈ ]x k−1, x k[

, (k = 1, … , n) , (k = 1, … , n)

a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = b O O

Gr(g)

a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = b

Gr(h)

(fig.6) (fig.7)

5

Al variare di � in �, si ottiene l'insieme delle Al variare di � in �, si ottiene l'insieme delle

somme inferiori di f: somme superiori di f:

S = { s(f, �) / � ∈ � } S = { s (f, �) / � ∈ � }

Allora l'insieme S è limitato superiormente. Allora l'insiemeS è limitato inferiormente. Quindi esiste il numero reale sup S. 2 Quindi esiste il numero reale inf S .

La funzione f si dice integrabile (secondo Riemann) in [a, b], se e solo se:

sup S = inf S . Se f è integrabile in [a, b], si pone:

�b

a

dx )x(f =def

sup S = inf S (1)

chiamato integrale di f in [a, b]. L'integrale così definito, spesso indicato semplicemente con �b

a

f , viene

Il simbolo �, proposto da Leibniz nel 1675, non è che una S allungata, iniziale della parola latina summa.

L'intervallo [a, b] si dice intervallo d'integrazione: a e b sono, rispettivamente, l'estremo inferiore e l'estremo

superiore dell'integrale; f è la funzione integranda. Il fattore dx (differenziale della variabile x) appare del

tutto superfluo nella definizione di integrale ma, come vedremo nei paragr. 7 e 8, esso diventa estremamente

utile come artificio di calcolo nel computo effettivo di molti integrali. Il simbolo che figura al primo membro del

la (1) lo chiameremo, per comodità di esposizione, notazione classica di integrale. 3. Integrale di una funzione limitata

Nella definizione di integrale abbiamo supposto che la funzione integranda f fosse limitata e non negativa

nell'intervallo [a, b]. Vediamo ora come sia possibile rimuovere la condizione di non negatività, troppo restritti

va anche per le esigenze più comuni dell'Analisi.

Data una funzione f, diciamo parte positiva e parte negativa di f, le funzioni f+ e f− definite per ogni x ∈ Dom(f)

ponendo:

f+(x) = ��

�

<

≥

0)x(fse,0

0)x(fse),x(f

����������

������ , f−(x) =

��

�

<−

≥

0)x(fse),x(f

0)x(fse,0

������

���������.

Si noti che f+, f− sono funzioni non negative e f = f+ − f−.

Ciò premesso, prendiamo un intervallo [a, b] in cui f risulti limitata.

La funzione f si dice integrabile in [a, b], se f +, f − sono entrambe integrabili

in [a, b]. In questa ipotesi, si pone:

�b

a

f =def

�+

b

a

f − �−

b

a

f

La fig.8 rappresenta il grafico di una funzione f limitata e di segno variabile nell'intervallo [a, b]. Dal grafico

di f è facile ricavare i grafici delle funzioni f+, f− e i rispettivi trapezoidi (fig.9 e 10).

2 Per l'assioma di completezza del campo IR (vedi «Il campo IR» p.4).

assunto come area del trapezoide di f nell'intervallo [a, b].

6

Se f è integrabile in [a, b], il numero �b

a

f è dunque uguale, per definizione, alla differenza delle aree dei trape

zoidi di f + e di f − nell'intervallo [a, b]. La definizione di integrale può essere ulteriormente estesa ponendo:

�a

af =

def 0 , �

b

af =

def�−a

bf

Sorgono ora due problemi fondamentali: � Determinare l'insieme delle funzioni limitate in [a, b] che siano integrabili.

� Data una funzione f integrabile, calcolare �b

af .

Diciamo subito che la soluzione completa del problema �, dovuta a Riemann, va ben oltre i limiti di un cor

so introduttivo. Per la maggior parte delle applicazioni, tuttavia, sono sufficienti le risposte parziali fornite dal

seguente teorema che ci limitiamo ad enunciare: Se la funzione f è continua oppure limitata e generalmente continua oppure monotòna

nell'intervallo [a, b], allora f è integrabile in [a, b].

La soluzione del problema � si basa sul Teorema fondamentale del calcolo integrale, che studieremo nel

paragrafo 6. Questo teorema e le regole di calcolo che da esso si deducono, ci consentiranno di integrare un

numero abbastanza grande di funzioni elementari. 4. Proprietà degli integrali Enunciamo le principali proprietà degli integrali rinunciando, per brevità, alle dimostrazioni. Siano f e g funzioni integrabili in [a, b]. Allora sono integrabili in [a, b] le funzioni f+g e αf,

per ogni α ∈ IR, e risulta:

� +b

a)gf( = �

b

af + �

b

ag , � α

b

a)f ( = �⋅α

b

af (1 − 2)

Le (1) e (2) si dicono rispettivamente proprietà addittiva e proprietà di omogeneità.

Siano f e g funzioni integrabili in [a, b] e sia f(x) ≤ g(x) per ogni x∈ [a, b]. Allora:

�b

af ≤ �

b

ag . (3)

La (3) prende il nome di proprietà di monotonìa.

(fig.8) (fig.9) (fig.10)

Gr( f )

a b a b a b

Gr( f+) Gr( f

−)

7

Sia f una funzione integrabile in [a, b] e sia c∈ [a, b]. Allora:

�b

af = �

c

af + �

b

cf (4)

La (4) si dice proprietà addittiva rispetto all'intervallo d'integrazione.

Se f è una funzione pari integrabile in [−a, a], allora:

�−

a

af = �⋅

a2

0f . (5)

Se f è una funzione dispari integrabile in [−a, a], allora:

�−

a

af = 0. (6)

Un altro risultato notevole è costituito dal teorema della media integrale.

Sia f è una funzione continua nell'intervallo [a, b]. Allora esiste almeno un punto

c∈ [a, b] tale che:

�b

af = (b − a) ⋅ f(c). (7)

Se la funzione f è non negativa, il teorema enunciato ha una

semplicissima interpretazione geometrica (fig.11).

Esso, infatti, assicura l'esistenza di almeno un punto c ∈ [a, b]

tale che l'area del trapezoide di f in [a, b] sia uguale all'area

del rettangolo di base b−a e altezza f(c). Il numero f(c) si dice

media integrale di f in [a, b].

5. Il teorema fondamentale del calcolo integrale Sia f una funzione continua nell'intervallo [a, b].

Si chiama primitiva di f in [a, b], ogni funzione G che sia continua in [a, b], derivabile in ]a, b[ e tale che:

G'(x) = f(x), ∀x ∈ ]a, b[. (1)

Se f ha in [a, b] una primitiva G, essa ha ovviamente anche la primitiva:

x � G(x) + k (2)

dove k rappresenta un numero reale qualsiasi. Meno ovvio è che: Se G è una primitiva di f in [a, b], allora tutte le primitive di f in [a, b] hanno la forma (2).

Dim Siano G1 e G due primitive di f in [a, b]. Si ha, per ipotesi, )x(f)x(G1 =′ e )x(f)x(G =′ .

Pertanto è )x( )GG( 1 ′− = f(x) − f(x) = 0. Ma allora, per il primo corollario al T. di Lagrange,

la funzione G1 − G è costante in [a, b], cioè risulta (G1 − G) (x) = G1(x) − G(x) = k (costante).

Ne segue G1(x) = G(x) + k. � Indicato con x un punto variabile in [a, b], consideriamo ora la funzione F definita da:

F(x) = �x

af (3)

di dominio [a, b], chiamata funzione integrale di f.

Y

X O a b

f(c)

c

(fig.11)

8

Il teorema che segue descrive l'importantissima relazione che lega le funzioni F e f. T. fondamentale del calcolo integrale − La funzione integrale F, definita dalla (3), è una

primitiva di f in [a, b].

Dim Preso un punto qualsiasi x0 ∈ [a, b] (fig.12), per ogni

x ≠ x0 si ha:

F(x) − F(x0) = �x

af − �

0x

af = �

x

x0

f ,

da cui segue:

F(x) − F(x0) = (x − x0) ⋅ 0

x

x

xx

f

0

−

�

.

Per il T. della media integrale, esiste allora almeno un punto c ∈ [x0, x] 3 tale che: F(x) − F(x0) = (x − x0) ⋅ f(c). (0)

• Se x0 = a, essendo F(a) = �a

af = 0, dalla (0) segue F(x) = (x − a) ⋅ f(c).

Allora 0 )c(f)ax(limax

)x(Flimax

=⋅−+→

=+→

.

∴ La funzione F è continua nel punto x0 = a. (1)

• Analogamente, se x0 = b, si ricava )b(F )x(Flimbx

=−→

.

∴ La funzione F è continua nel punto x0 = b. (2)

• Se x0 ∈ ]a, b[, possiamo scrivere la (0) nella forma:

)c(f xx

)x(F)x(F

0

0 =−−

.

Al tendere di x a x0, il punto c tende a x0 e quindi f(c) tende a f(x0).

Allora F'(x0) = f(x0), ∀x0 ∈ ]a, b[.

∴ La funzione F è derivabile in ]a, b[. (3) Dalle (1), (2), (3) congiuntamente, segue che F è una primitiva di f in [a, b]. � Formula di Torricelli - Barrow − Se G è una primitiva qualsiasi di f in [a, b], allora:

�b

af = G(b) − G(a). (4)

Dim Sia G una primitiva qualsiasi di f. Per quanto abbiamo visto, esiste un numero reale k tale che:

G(x) = �x

af + k

Da questa, ponendo x = a, si ricava G(a) = k. Ponendo poi x = b, si ottiene la (4). �

3 Oppure c ∈ [x, x0] se x < x0.

P PO

x0 � x b a

Y

O

(fig.12)

9

La differenza G(b) − G(a), cioè l'incremento che la primitiva G subisce quando la variabile x passa dal valore

a al valore b, si suole indicare con la notazione [ ] ba)x(G � . Avremo pertanto:

�b

af = [ ] b

a)x(G � =def

G(b) − G(a).

ESEMPI (Negli esempi e negli esercizi adotteremo sempre la notazione classica di integrale)

� Calcoliamo l'area del trapezoide � della funzione identica f(x) = x nell'intervallo [a, b], con a > 0.

Si vede subito che � è il trapezio di altezza b−a, base minore a e base maggiore b (fig.13).

area � = �b

a

dx x = b

a

2

2

1 x ��

��� = )ab( 22

2

1 −⋅ . (5)

� Calcoliamo l'area del trapezoide � della funzione quadrato f(x) = x2 nell'intervallo [ a, b ] (fig.14).

area � = �b

a

2 dx x = b

0

3

3

1 x ��

��� = )ab( 33

31 −⋅ . (6)

� Gli integrali che figurano nelle (5) e (6) sono casi particolari del seguente:

�α

b

a

dx x , con [a, b] ⊆ IR + e α ∈ IR.

• Se α ≠ −1, una primitiva della funzione f(x) = xα in [a, b] è G(x) = 1x1

1 +α⋅+α

. Quindi:

�αb

a

dx x = b

a

1x1

1 ��

��� +α⋅

+α =

11+α

⋅ (b

α

+1− a

α

+1). (7)

• Se α = −1, si ha invece:

�−

b

a

1 dx x = �b

a

dx x1 = [ ] b

a xln = )ab( ln . (8)

����

a b a b

(fig.13) (fig.14)

����

Y Y

X X

1 b π

(fig.16) (fig.15)

O

Y Y

X X

���� ����

10

� Per a = 1 e b > 1, la (8) diventa:

�b

1

dx x1 = ln b. (9)

Quindi il logaritmo naturale di un numero reale b > 1 è l'area del trapezoide delimitato dall'iper

bole di equazione x⋅y = 1 nell'intervallo [1,b] (fig.15).

� Calcoliamo l'area della lunetta � delimitata dalla sinusoide nell'intervallo [0, π] (fig.16).

area � = �π

0

dx x sin = [ ] π−0

x cos = −cos π + cos 0 = 2. (10)

� La conoscenza di una primitiva di f in [a, b] risolve dunque il problema del calcolo dell'integrale di f.

Occorre tenere presente, tuttavia, che molte funzioni elementari, come:

xln1 x � ,

2xe x −� ,

xx sin x � , …

hanno primitive che non sono funzioni elementari.

In alcuni di questi casi si conoscono dei procedimenti ingegnosi che consentono di valutare esattamente l'in

tegrale di f senza passare per una primitiva. Quasi sempre però il calcolo si effettua ricorrendo a formule

d'integrazione numerica, che forniscono un valore approssimato dell'integrale. � L'insieme di tutte le primitive di una funzione f prende il nome di integrale indefinito di f e si indica con:

� dx)x(f oppure con � f .

Ad esempio, si ha � dxx1 = lnx + k. Infatti, come subito si riconosce, è:

dxd (lnx+ k) = dx

d ln(x) = x1 , per x > 0; dx

d (lnx+ k) = dxd ln(−x) = x

1− ⋅(−1) = x

1 , per x < 0.

Per contrapposizione, l'integrale di f esteso all'intervallo [a, b] viene chiamato integrale definito.

Poiché dalla definizione di primitiva segue che:

� fdxd = � fdx

d = f (11)

l'operazione di integrazione indefinita può considerarsi come l'operazione inversa della derivazione.

11 Ricorrendo alla formula di Torricelli−Barrow, calcola:

(1) �4

1

dx (2) �−

3

1

dx (3) � ⋅2

0

dx x (4) � ⋅5

1

dx x (5) � ⋅3

0

2 dx x (6) � ⋅−

4

1

2 dx x (7) � ⋅0

2

3 dx x

(8) � ⋅3

1

dx x1 (9) � ⋅

2

12

dx x

1 (10) � ⋅1

41

dx x

1 .

22 Tenendo presenti le proprietà di addizione e di omogeneità dell'integrale definito (paragrafo 4), calcola:

(1) � ⋅+3

1

dx5)(x (2) � ⋅−1

0

dx3)(2x (3) � ⋅−+−

2

1

2 dx )x34x(1 (4) � ⋅−+−

2

2

3 dx )5xx(

(5) � ⋅−+3

232

dx 1 )( x

2 x

1 (6) � ⋅+−1

4

23

21

dx x

1 x x (7) � ⋅−23

1

2 dxx1 x )( (8) � ⋅−

0

1

dx x x x )(32 .

EP INT / 1, … ,5

11

33 Costruisci nel tuo quaderno una tabella che elenchi sulla prima colonna, intestata a f(x), le funzioni

elementari che seguono e, sulla seconda, intestata a � f , le corrispondenti primitive (vedi schema).

(1) c (costante); (2) xα (α ≠ −1); (3) x1 ; (4) ex;

(5) cos x; (6) sin x; (7) xcos

12

; (8) xsin

12

;

(9) 2x 1

1

−; (10)

2x 11

+.

44 Dimostra che, se f, g sono funzioni continue in un intervallo ℑ e α, β ∈ IR, valgono le seguenti proprietà:

� + )gf( = � f + � g (proprietà addittiva); � α )f( = �α f (proprietà di omogeneità).

Successivamente, tenendo presente la tabella degli integrali indefiniti immediati, calcola:

(1) � ⋅+ dx)5x(x (2) � ⋅⋅

dxx x

1 (3) dx3 2x

1 x 3 ⋅�+⋅ (4) dx2

xsin xcos ⋅�− (5) � ⋅�

�

�

�

��

�

�+

−dx2

2x 1

1 .

55 Data una funzione f di classe C1 in un intervallo ℑ e tale che f(x) > 0 per ogni x∈ℑ, verifica che:

� ⋅′⋅α dx)x(f)x(f = 11

1 )x(f +α⋅+α + k (α ≠ −1). (12)

Successivamente, calcola:

(1) � ⋅−−− dx)3x2()1x3x( 32 (2) � ⋅+ dx2x2x (3) � ⋅⋅ dxxcosxsin3 (4) � ⋅+

− dx2

3

x 1

)xtanarc 1( .

66 Data una funzione f di classe C1 in un intervallo ℑ, verifica che:

� ⋅′ dx)x(f)x(f = lnf(x)+ k (13)

Successivamente, calcola:

(1) dx7 x4 x

4 x22

⋅� −++ (2) � ⋅

+dxxe 1

xe (3) � ⋅+

dx1 x

x2

(4) dxxtan ⋅� (5) dxxcot ⋅� .

77 Data una funzione f di classe C1 in un intervallo ℑ, verifica che:

� ⋅′ dx)x(fe )x(f = e

f(x) + k (14) Successivamente, calcola:

(1) � dxe x5 (2) �−

dxex

32

(3) � ⋅ dxx

xe (4) � ⋅⋅ ++ dxe x1 xx xln (5) � ⋅ dxx2sine x2sin (6) � ⋅

+dx2x 1

xtanarce .

88 Data una funzione f di classe C1 in un intervallo ℑ, verifica che:

� ⋅′⋅ dx)x(f)x(fcos = sin f(x) + k ; � ⋅′⋅ dx)x(f)x(f sin = −cos f(x) + k. (15−16)

Successivamente, calcola:

(1) � ⋅⋅ dxxcosx 2 (2) � ⋅ dxx7 sin (3) � ⋅ dxx

xsin (4) � ⋅+ dx)1e( cose xx (5) � ⋅ dxxxlncos .

99 Data una funzione f di classe C1 in un intervallo ℑ, verifica che:

� ⋅′ dx)x(fcos

)x(f2 = tan f(x) + k ; � ⋅′ dx

)x(fsin)x(f

2 = −cot f(x) + k. (17−18)

Successivamente, calcola:

(1) � x3cosdx2

(2) �2xsin

dx2

(3) � ⋅ dx22 xcos

x (4) dxxesin

xe2

⋅� (5) � ⋅ xlnsinxdx

2 (6) � xcosx

dx2

.

f(x) � f

c (costante) cx + k

xα (α ≠ −1) 1

1

1 x +α

+α⋅ + k

x1 lnx+ k

Gli integrali che figurano in questa tabella prendono il

nome di integrali indefiniti immediati.

12

1100 Data una funzione f di classe C1 in un intervallo ℑ, verifica che:

� ⋅−

′ dx2)x(f1

)x(f = arc sin f(x) + k; � ⋅+

′ dx2)x(f 1

)x(f = arc tan f(x) + k. (19−20)

Successivamente, calcola:

(1) �− 2x4 1

dx (2) �− 2x5 1

dx (3) dx4x 1

x ⋅�−

(4) � ⋅+

dxxsin 1

xcos2

(5) dxxe 1

xe2

⋅� + (6) � ⋅

+dx

xsin 1x2 sin4

.

11 (1) 3; (2) 4; (3) 2; (4) 12; (5) 9; (6) 365 ; (7) −4; (8) ln 3; (9) 2

1 ; (10) 1.

22 (1) 14; (2) −2; (3) 0; (4) −20; (5) 185− ; (6) )2ln(3

4 − ; (7) )ln( 49

37 − ; (8) 5

1− .

33 (4) ex + k; (5) sin x + k; (6) −cos x + k; (7) tan x + k; (8) −cot x + k; (9) arc sin x + k; (10) arc tan x + k.

44 (1) k xx xx 3102

52 ++ ; (2) kx4 4 +⋅ ; (3) k x3x 36 5

518 +⋅+⋅ ; (4) 2

xcos xsin + + k;

(5) 2x+ arc sin x + k. 55 (1) k)1x3x( 4241 +−−⋅ ; (2) kx2 22

3x 2 ++⋅+ ; (3) kxsin4

41 +⋅ ;

(4) k )1xtanarc( 441 +−− . 66 (1) k7x4xln 2 +−+ ; (2) k )xe1(ln ++ ; (3) k1xln 2 ++ ;

(4) kxcosln +− ; (5) kxsinln + . 77 (1) ke x551 + ; (2) ke

x32

23 +

−− ; (3) ke2 x + ; (4) ke x xln ++ ;

(5) k e xsin2+ ; (6) k e xtanarc + . 88 (1) k x sin 2

21 + ; (2) k x7 cos7

1 +− ; (3) k x cos2 +− ;

(4) k )1e( sin x ++ ; (5) k xlnsin + . 99 (1) k x3tan31 + ; (2) k cot2 2

x +− ; (3) k x tan 221 + ;

(4) k ecot x +− ; (5) k xlncot +− ; (6) k xtan2 + . 1100 (1) kx2 arcsin21 + ; (2) kx5arcsin

51 + ;

(3) kx arcsin 221 + ; (4) kx sin tanarc + ; (5) kxe tanarc + ; (6) kx sin tanarc 2 + .

6. Integrazione per decomposizione in somma Le proprietà addittiva e di omogeneità degli integrali indefiniti ( vedi EP 4 pag.11 ) possono essere compendia

te nell'unica formula:

� β+α )gf( = �α f + �β g (1)

che esprime una tecnica di calcolo chiamata integrazione per decomposizione in somma. Questa è utile

quando si riesce a scomporre la funzione integranda nella somma di due (o più) funzioni, delle quali è noto

l'integrale indefinito (vedi integrali (1),…,(5) dell'EP 4 p. 11). A volte, come mostrano gli esempi che seguono,

è necessario ricorrere a qualche artificio.

ESEMPI − Calcoliamo per decomposizione in somma i seguenti integrali indefiniti.

� � ⋅+ dx1 xx . Sommando e sottraendo 1 al numeratore, si ha successivamente:

1 xx+ = 1 x

1 1 x+

−+ = 1 x1 x

++

− 1 x1+ = 1 − 1 x

1+ .

Allora � ⋅+ dx1 xx

= � ⋅− + dx 1 ) ( 1 x1

= � dx − � ⋅+ dx1 x1 = x − ln x + 1+ k.

SOLUZIONI

Gli integrali (12), …, (20) prendono il nome di integrali indefiniti quasi immediati. Aggiungili alla ta

bella degli integrali immediati (vedi EP 3).

13

� � ⋅++ dx

1 x3 x

2

2. Scrivendo 1+ 2 in luogo di 3, si ha successivamente:

1 x3 x

2

2

++ =

1 x2 1 x

2

2

+++ =

1 x1 x

2

2

++

+

1 x2

2 + = 1 +

1 x2

2 +.

Allora � ⋅++ dx

1 x3 x

2

2 = dx 1 )(

1 x2

2⋅+� +

= � dx + 2 ⋅ � ⋅+

dx1 x

12

= x + 2 ⋅ arc tan x + k.

� � ⋅ sinx xcosdx . Per la relazione pitagorica, si ha:

sinx xcos1⋅ = sinx xcos

xsin xcos 22

⋅+ = sinx xcos

xcos2

⋅ + sinx xcosxsin2

⋅ = xsinxcos

+ xcosxsin .

Allora � ⋅ sinx xcosdx = � ⋅ dxxsin

xcos − � ⋅− dxxcosxsin

= lnsin x − lncos x + k.

� � ⋅ dxxcos2 . Dalla formula di duplicazione per il coseno, scritta nella forma cos 2x = 2⋅cos2x – 1,

si ricava cos2x = 2x2cos 1 + .

Allora � ⋅ dxxcos2 = dx)x2cos1(2

1 ⋅+� = �⋅ dx(21 + � ⋅⋅ )dxxcos 222

1 = k )xsinx( 22

121 ++ =

= k )xcossinxx(21 +⋅+ .

� � ⋅ dxxtan2 . Dall'identità xcos

12

= xtan1 2+ , segue xtan2 =

xcos1

2 − 1.

Allora � ⋅ dxxtan2 = � ⋅− dx1)(

xcos1

2 = � ⋅ dx

xcos1

2 − � dx = tan x – x + k.

� ⋅ dxxcos3 . Dalla relazione pitagorica, si ricava cos2x = 1− sin2x. Ne segue:

cos3x = cos2x ⋅ cos x = (1− sin2x) ⋅ cos x = cos x − sin2x ⋅ cos x.

Allora � ⋅ dxxcos3 = � ⋅ dxxcos − � ⋅⋅ dxxcosxsin2

= sin x − 31 sin3x + k.

11 Ricorrendo all'integrazione per decomposizione in somma, calcola:

(1) � + dx)xcosxsin( 23 (2) � ⋅+

dx1 x

x2

2 (3) � ⋅+

+ dx2 x5 x (4) � ⋅

++ dx

1 x3 x

2 (5) � ⋅

+−+ dx1 xx x 1

2

62

( 1 − x6 è la differenza di due quadrati … ) (6) � ⋅−− dx

2

2

)1 x(x x2 (7) � ⋅−

+− dx1 xx 1 x 2

(8) � ⋅ xsinxsindx

22

(9) dxx2sin1 ⋅� (10) � ⋅ dxxsin2 (11) � ⋅ dxxcot 2 (12) � ⋅ dxxsin3 (13) � + xe 1

dx (aggiungi e togli ex

al numeratore)

11 (1) −3cos x + 21 sin 2x + k; (2) x – arc tan x + k; (3) x + 3 ⋅ lnx + 2+ k; (4) 2

1 ⋅ ln (x2+ 1) + 3 ⋅ arc tan x + k;

(5) x – 41 x4

+ 31 ⋅ ln1+ x3+ k; (6) x + 1 x

1− + k; (7) 2

1 x2 + lnx − 1+ k; (8) tan x − cot x + k;

(9) 21 lntan x+ k; (10) 2

1 ⋅ (x – sin x ⋅ cos x) + k; (11) − cot x − x + k; (12) −cos x + 31 cos3x + k;

(13) x – ln (1+ ex) + k.

EP INT / 6

SOLUZIONI

14

7. Integrazione per parti Siano f, g due funzioni continue, F una primitiva qualsiasi di f e G una primitiva qualsiasi di g.

Consideriamo l'identità: (F ⋅ G)'(x) = f(x) ⋅ G(x) + F(x) ⋅ g(x).

Integrando ambo i membri di questa, si ottiene:

� ′⋅ dx)x()GF( = � ⋅ dx)x(G)x(f + � ⋅ dx)x(g)x(F

ovvero:

(F ⋅ G)(x) = � dF)x(G + � dG)x(F

da cui segue:

� dG)x(F = (F ⋅ G)(x) − � dF)x(G (1)

chiamata formula d'integrazione per parti.

In pratica, volendo integrare per parti una funzione h, si cerca di determinare F e g in modo che sia:

h(x) = F(x) ⋅ g(x). (2)

Chiameremo F(x) fattore finito e g(x) fattore differenziale.

Se conosciamo una primitiva G del fattore differenziale, dalla (2) segue subito:

� dx)x(h = � dG)x(F

da cui, per la (1), si deduce:

� dx)x(h = (F ⋅ G)(x) − � dF)x(G . (3)

Chiaramente questa tecnica di calcolo è utile solo quando l'integrale che figura al secondo membro della

(3) è più semplice da calcolare dell'integrale originario. Se poi si tratta di integrali definiti, la (3) diventa:

�b

a

dx )x(h = [ ] ba)x(G � − �

b

a

dF )x(G . (4)

ESEMPI − Calcoliamo per parti i seguenti integrali indefiniti.

� � ⋅ dxxcosx . Assumendo F(x) = x e g(x) = cos x, per la (3) si ha:

� ⋅ dxxcosx = x ⋅ sin x − � dxsinx = x ⋅ sin x + cos x + k.

� � dxxln . Assumendo F(x) = ln x e g(x) = 1, per la (3) si ha:

� dxxln = (ln x) ⋅ x − � ⋅ dxx x1

= x ⋅ ln x − x + k.

� � ⋅ dxsinxex . Assumendo F(x) = sin x e g(x) = ex, per la (3) si ha:

� ⋅ dxsinxex = (sin x) ⋅ ex − � ⋅ dxxcosex .

Per calcolare quest'ultimo integrale, eseguiamo una seconda integrazione per parti, prendendo sempre ex come fattore differenziale. Si ha:

� ⋅ dxxcosex = (cos x) ⋅ ex − � −⋅ dx)sinx(ex = ex⋅ cos x + � ⋅ dxsinxex .

Sostituendo poi questo integrale nella formula precedente, si ottiene:

� ⋅ dxsinxex = ex⋅ sin x − ex⋅ cos x − � ⋅ dxsinxex . Allora 2 � ⋅ dxsinxex = ex⋅ (sin x − cos x).

Quindi � ⋅ dxsinxex = 2

1 ex⋅ (sin x − cos x) + k.

15

11 Ricorrendo all'integrazione per parti, calcola:

(1) � ⋅ dxex x (2) � dxxlnx2 (3) � ⋅ dxsinxx (4) � dxxtanarc (5) � ⋅ dxxtanarcx

(6) � dxxsin2 (7) � dxxcos2 (8) � − dxxcose x (9) � dx3xxln (10) � dxxcosx2

(11) � ⋅ dxex x2 (12) � ⋅ dxx2 sinx (13) � ⋅ dxxtanarcx2 (14) � ⋅ dxxlnx (15) � + dx)1xln( 2

(16) � dx)x(lnsin (17) � dxxsin3 (18) � ⋅ dxsinxe x2 (19) � dxxln2 (20) � +− dxtanarc 1 x

1 x

(21) � dxxcos

x2 (22) � ⋅+ dxsin)x1( 2

x (23) � + dxxcos)1x( 2 (24) � ⋅+ dxxlne)x1( x .

22 Data una funzione f di classe C1 in un intervallo ℑ e tale che f(x) > 0 per ogni x∈ℑ, verifica che:

�′ dx

)x(f)x(f

= k)x(f2 + .

(si tratta dell'integrale quasi immediato (12) di pag.11, per α = − 21 ). Successivamente, calcola:

(1) � dxarcsinx (2) � dxxarccos (3) � −dx

x 1xarcsin .

11 (1) k)1x(ex +− ; (2) k)x(lnx 313

31 +− ; (3) kxcosx x sin +⋅− ; (4) k)1xln(xtanarcx 2

21 ++−⋅ ;

(5) kxxtanarc)1x( 212

21 +−⋅+ ; (6) k)xcossinxx(2

1 +− ; (7) k)xcossinxx(21 ++ ;

(8) k)xcossinx(e x21 +−− ; (9) k24x

1 xln2+

−⋅−; (10) ksinx2xcosx2sinxx2 +−+ ;

(11) k)x(e 21x2

21 +− ; (12) kx2sinx2cosx 4

121 ++⋅− ; (13) k)1xln(xxtanarcx 2

612

613

31 +++− ;

(14) k) x(lnx 212

21 +− ; (15) kxtanarc2x2)1xln(x 2 +⋅+−+⋅ ; (16) k)]xcos(ln)x(lnsin[2

x +− ;

(17) kxcosxcos331 +− ; (18) k)sinx(e 2

xcosx252 +− ; (19) k)2xlnx(lnx 22 ++− ;

(20) k1xlntanarcx 21 x1 x ++−⋅ +

− ; (21) kxcoslnxtanx ++ ; (22) ksin4cos)x1(2 2x

2x +++− ;

(23) ksinx2xcos)1x(2sinx)1x( 2 +−+++ (24) k)1xlnx(ex +− .

22 (1) k x1xarcsinx 2 +−+⋅ ; (2) k x1xarcsinx 2 +−−⋅ ; (3) kx2xarcsinx12 ++⋅−− .

8. Integrazione per sostituzione A volte l'integrale indefinito di una funzione f può essere notevolmente semplificato operando la sostituzione:

x = g(t) (1)

dove g è una funzione derivabile e con derivata prima continua scelta opportunamente.

È però subito chiaro che non basta mettere g(t) al posto di x nella funzione integranda: occorre anche sosti

tuire al differenziale di x il differenziale di g(t). Si ha:

dx = dg(t) = g'(t)⋅dt. (2)

Ora, sostituendo le (1) e (2) nell'integrale di f, si ottiene:

� dx)x(f = � ′⋅ dt)t(g))t(g(f (3)

chiamata formula d'integrazione per sostituzione.

EP INT / 7

SOLUZIONI

16

ESEMPI − Calcoliamo per sostituzione i seguenti integrali indefiniti.

� � dxx

x sin . Ponendo x = t2, risulta dx = 2t ⋅ dt. Ne segue:

� dxx

x sin = � ⋅ dtt2t

ints = �⋅ dttsin2 = ktcos2 +− = kxcos2 +− .

� � ⋅ dxxln x1 . Ponendo ln x = t, risulta x = et, dx = et

⋅ dt. Ne segue:

� ⋅ dxxln x1

= � ⋅⋅

dte tt e

1t = ktln + = kxlnln + .

� � −+dxxe xe

1 . Ponendo ex = t, risulta x = ln t , dx = t1 ⋅ dt. Ne segue:

� −+dxxe xe

1 = � ⋅

+dtt

1 t

1

t1 = � +

dt1 t

12 = arc tan t + k = arc tan ex

+ k.

� � −dx

1 xx . Ponendo 1x − = t, cioè x – 1 = t2, risulta x = t2+ 1, dx = 2t ⋅ dt. Ne segue:

� −dx

1 xx

= � ⋅+ dtt2t1 t2

= � +⋅ dt)1 t( 22 = kt)( 3t32 ++⋅ = k1x )( 3

)1 x( 32 +−+⋅ −

=

= k1x1x)1x( 232 +−⋅+−−⋅ .

� � − dxx1 2 . Ponendo x = Sin t (4), risulta dx = cos t ⋅ dt. Ne segue:

� − dxx1 2 = � ⋅− dttcostsin1 2

= � dttcos2 = k)tcosintst(2

1 ++

(l'ultimo integrale è stato calcolato in ES 4 p.13 e anche in EP 1(7) p.15) ed essendo:

t = arc sin x , sin t = x , cos t = tsin1 2− =

2x1− ,

si ha � − dxx1 2 = k)xxarcsin( 2x12

1 +⋅+ − .

Se la funzione g che figura nella (1) è invertibile, dovendo calcolare un integrale definito, non è necessario

tornare alla variabile x. Infatti, si può dimostrare che:

�b

a

dx )x(f = �−

−

′⋅)b(g

)a(g

1

1

dt )t(g))t(g(f (4)

� ⋅+

3

1xtanarc )x 1(

1 dx 2 . Ponendo x = Tan t, risulta dx =

tcos1

2 ⋅ dt. Se Tan t = 1, allora t = arctan 1 =

= 4π ; se Tan t = 3 , allora t = arctan 3 = 3

π , e inversamente. Ne segue:

� ⋅+

3

1xtanarc )x 1(

1 dx 2 = �π

π⋅+

⋅3/

4/tcos

1t )tTan 1(

1 dt 22 = �π

π⋅+

3/

4/t )tsin t(cos

1 dt 22 = �π

π

3/

4/t1 dt =

= [ ln t ] 3/4/

ππ = ln −π

3 ln 4π = ln 3

4 .

4 Ricordiamo che abbiamo indicato con Sin la restrizione della funzione sin all'intervallo [ 22 , ππ− ] in cui essa

è strettamente crescente. Analogamente, abbiamo indicato con Cos la restrizione della funzione cos all'in

tervallo [0,π] e con Tan la restrizione della funzione tan all'intervallo ] 22 , ππ− [ (vedi «Trigonometria piana»

p.10).

17

11 Ricorrendo all'integrazione per sostituzione, calcola:

(1) � +dx

x 11 (2) � −

dxx x

1 (3) � +⋅dx

)x 1( x

1 (4) � dxe x

(5) � −⋅ dx2x3x (6) � +⋅ dx)1x3(x 32 (7) � −dx2)x2 3(

1 (8) � +− dx

5 x4 x

(9) � ++dx

1 x4 21 (10) � +⋅

dx)1 x( x

1 (11) � ++ dx

1 e1 e

x

x3 (12) � −

dx2

2

x 1

x

(13) � −⋅dx

xln 1 x1 (14) � ⋅

dxxln x

1 (15) � +

+⋅ dx2

2

x 1

)x 1exp( x (16) � +dx

1 x

12

22 Ricorrendo all'integrazione per sostituzione, calcola:

(1) �− −

0

1 x 4

1 dx 2

(2) �− −

6/1

6/1 x9 1

1 dx 2

(3) � −

5

11 x2

x dx (4) �−

−⋅+0

1

dx x1)1x(

(5) � +⋅

e

1)xln 1( x

1 dx (6) �+

e

1x

)xln 1( dx 2

(7) � −⋅

e

exln 1 x

1 dx 2

(8) � +1

04,0xe 1 dx

x

(9) � +

4

4

3

1x 1

x dx (10) � −

5,0

0x 1

x dx (11) � −

+1

0 x 4

2 x dx 2

(12) � −

3

2 1 x

1 dx 2

(13) �− −

0

2/1 x 1

x dx 2

(14) � +

1

0e 1

e dx x

x2 (15) � ⋅

e

1)x(lncos x

1 dx 2 (16) �2e

1xxln dx

33 Alcuni integrali particolari hanno funzioni integrande contenenti soltanto cos x o sin x. Essi possono es

sere calcolati introducendo la nuova variabile t = tan 2x e tenendo presenti le formule parametriche

(vedi riquadro) che esprimono cos x e sin x come funzioni razionali fratte della variabile t.

EP INT / 8

Dalla formula di duplicazione per il coseno e dalla relazione pitagorica, segue subito che:

cos 2 2x

= 2x2

2x2

2x2

2x2

sin cos

sin cos

+

−

da cui, dividendo numeratore e denominatore per 2x2cos , per ogni x ∈ �{(2k+1)π / k∈∧}, si ha:

cos x = 2x22x2

tan 1

tan 1

+

− ( 1 )

In modo del tutto analogo, possiamo scrivere:

sin 2 2x

= 2x2

2x2

2x

2x

sin cos

cos 2sin

+

⋅

da cui si deduce:

sin x = 2x2

2x

tan 1

tan2

+

⋅ ( 2 )

Ora, se nelle (1) e (2) poniamo tan 2x = t, si ha rispettivamente:

cos x = 2

2

t 1t 1

+− sin x = 2t 1

t2+

chiamate formule parametriche per il coseno e il seno.

18

Da t = tan 2x , si ricava x = 2 ⋅ arc tan t e dx = 2t 1

2+

dt.

Ciò premesso, calcola:

(1) � dx xsin1 (2) � − dx xcos 1

1 (3) � + dx xsin 11 (4) � ++ dx xcos x sin 1

1 .

11 (1) (poni tx = ), 2 k)x1ln(x( ++− ; (2) k)1xln(2 +−⋅ ; (3) kx14 ++⋅ ; (4) k)1x(xe2 +−⋅ ;

(5) (poni 3 – x2 = t ), k)x3( 3231 +−⋅− ; (6) k)1x3( 42

241 ++⋅ ; (7) k)x2 3(2

1 +−⋅ ;

(8) (poni t5x =+ ), k5x18)5x( 332 ++−+ ; (9) k 1x4 2 ln1x42

1 +++−+ ; (10) 2⋅arc tan x + k;

(11) (poni ex = t), kxee xx221 ++− ; (12) (poni x = cos t), kxarccosx1x )( 2

21 +−⋅ +− ;

(13) (poni ln x = t), kxln12 +−⋅− ; (14) kxln2 +⋅ ; (15) exp( 2x1+ ) + k; (16) (poni 1x 2 + = t – x; poi,

per ricavare x e dx, eleva al quadrato ambo i membri), ln x + 1x 2 + + k.

22 (1) (poni x = 2t), 6π ; (2) (poni 3x = t), 9

π ; (3) (poni t1x2 =− ), 316 ; (4) (poni tx1 =− ), 15

7 282 −⋅ ;

(5) (poni x = et−1), )ln( 23 ; (6) 3

7 ; (7) (poni x = et), 3π ; (8) (poni x = t2), )ee(2 5

54 −+⋅ ; (9) (poni x = t ), 24

π ;

(10) (poni x = sin2t), 42 −π ; (11) (poni x = 2⋅sin t), 323 π++− ; (12) (poni 1x 2 + = t – x), ln (3+ 22 )(2− 3 );

(13) (poni x = sin t), 22 3 − ; (14) (poni x = ln t), e −1− ln( 2

e 1 + ); (15) (poni x = et), tan 1; (16) 4.

33 (1) ln tan 2x + k; (2) −cot 2

x + k; (3) 2x tan 1

2+

− + k; (4) ln 1 + tan 2x + k.

9. Integrazione delle funzioni razionali fratte: decomposizione in fratti semplici Un importante applicazione del metodo d'integrazione per decomposizione in somma, si ha quando la funzio

ne integranda è una funzione razionale fratta g(x)f(x) , essendo f(x) e g(x) polinomi a coefficienti reali, rispettiva

mente di grado m e n. Esaminiamo tre casi.

Se m < n e il polinomio g(x) possiede n zeri reali e distinti x1, … , xn, come prima cosa si cerca di fatto

rizzare g(x) scrivendo: g(x) = a ⋅ (x – x1) ⋅ (x – x2) ⋅ … ⋅ (x – xn) (1)

dove a è il coefficiente direttivo del polinomio g(x).

Se la fattorizzazione ha successo, la funzione integranda viene decomposta nella somma di frazioni

più semplici, chiamate fratti semplici, come segue: )x(g

)x(f = 1

1x x −

α +

22x x −

α + … +

nnx x −

α (2)

dove α1, … , αn sono costanti reali da determinare.

Vediamo, ricorrendo a degli esempi, come si determinano queste costanti. ESEMPI − Calcoliamo i seguenti integrali indefiniti:

� � −−− dx

1 x 2x1 x3

2 . Risulta g(x) = 2x2 – x – 1 = 2(x − 1) ⋅ (x + 21 ).

Cerchiamo allora due costanti α1 e α2 tali che, per ogni x, si abbia:

1 x x2

1 x32 −−

− = 1 x1−

α + 21

2

x +α (o)

Per questo, sviluppiamo il secondo membro della (o).

SOLUZIONI

19

Si ottiene:

1 x1−

α + 21

2

x +α =

) x( )1 x(

)1 x( ) x(

21

221

1

+⋅−

−⋅α++⋅α = … =

) x( )1 x(

x) (

21

2121

21

+⋅−

α−α+⋅α+α =

1 x 2x

2 x) (22

2121

−−

α−α+⋅α+α ,

dove, nell'ultimo passaggio, abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per 2 (coefficiente

direttivo del polinomio g(x)). Ora, l'uguaglianza (o) è verificata se e solo se:

3x – 1 = 2(α1+ α2)x + α1 – 2α2, (1) che si traduce nel sistema lineare:

�

−=α−α=α+α

12322

21

21 (2)

ottenuto uguagliando i termini simili al primo e al secondo membro della (1).

Soluzione del sistema è il vettore di componenti α1 = 32 e α2 = 6

5 .

Sostituendo questi valori nella (o) e integrando ambo i membri, finalmente si ricava:

� −−− dx

1 x 2x1 x3

2 = 32 � − dx1 x

1 + 65 � +

dx21 x

1 = 32 ⋅ lnx – 1 + 6

5 ⋅ lnx + 21 + k. �

� � +−+ dx

6 x7 x3 x

3 . Risulta g(x) = x3 – 7x + 6 = (x + 3) ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2).

Cerchiamo allora tre costanti α1, α2, α3 tali che, per ogni x, si abbia:

6 x7 x

3 x3 +−

+ = 3 x1

+α + 1 x

2−α + 2 x

3−α (o)

Per questo, sviluppiamo il secondo membro della (o), ottenendo:

3 x1

+α + 1 x

2−α + 2 x

3−α = )2 x( )1 x( )3 x(

)3 x2 x( )6 x x( )2 x3 x( 23

22

21

−⋅−⋅+−+α+−+α++−α = …

… = 6 x7 x

3 6 2 x)2 3( x) (3

3213212

321

+−

α−α−α+α+α+α−+α+α+α .

Ora, l'uguaglianza (o) è verificata se e solo se:

x + 3 = (α1+ α2+ α3)x2

+ (−3α1+ α2+ 2α3)x + 2α1 − 6α2 − 3α3 (1) ovvero se e solo se:

��

�

=α−α−α=α+α+α−=α+α+α

33621230

321

321

321

. (2)

Abbiamo così ottenuto un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite α1, α2, α3, che risol

viamo ricorrendo al metodo di eliminazione di Gauss–Jordan. Si ha:

�

�

���

�

�

−−−

336212130111

r

�

�

���

�

�

−− 358015400111

r

�

�

���

�

�

5500

100111

41

45

r

�

�

����

�

� −−

1100

10

01

41

45

41

41

r

�

�

���

�

�

−110

10010

0001.

Pertanto è α1 = 0, α2 = −1, α3 = 1.

Sostituendo questi valori nella (o) e integrando ambo i membri, si ricava:

� +−+ dx

6 x7 x3 x

3 = � −− dx1 x1

+ � − dx2 x1

= k 2x ln 1x ln +−+−− = k ln 1 x2 x +−

− . �

∼ ∼ ∼ ∼

20

Se m < n e il polinomio g(x) ammette uno zero reale xi di molteplicità k (k ≤ n), nella (1) avremo il fat

tore (x – xi)k in luogo di (x – xi). In questo caso, lo zero xi contribuisce alla decomposizione (2) con la

somma:

1i

1

)x x( −

α + 2

i

2

)x x( −

α + … + k

i

k

)x x( −

α .

ESEMPIO − Calcoliamo l'integrale indefinito:

� � +−− dx

2 x3 x1 x2

3

2. Risulta g(x) = x3 – 3x + 2 = (x − 1)2⋅ (x + 2).

Cerchiamo allora tre costanti α1, α2, α3 tali che, per ogni x, si abbia:

2 x3 x

1 x23

2

+−− = 1

1

)1 x( −

α + 22

)1 x( −

α + 2 x3

+α (o)

Per questo, sviluppiamo il secondo membro della (o), ottenendo:

11

)1 x( −

α + 22

)1 x( −

α + 2 x3

+α =

)2 x()1 x(

)1 x( )2 x( )2 x( )1 x(2

2321

+−

−α++α++⋅−α = …

… =

2 x3 x

2 2 x)2 ( x) (3

3213212

31

+−

α+α+α−α−α+α+α+α .

Ora, l'uguaglianza (o) è verificata se e solo se:

2x2− 1 = (α1+ α3)x2

+ (α1+ α2 − 2α3)x − 2α1 + 2α2 + α3 (1) ovvero se e solo se:

��

�

−=α+α+α−=α−α+α=α+α

122022

321

321

31

. (2)

Abbiamo così ottenuto un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite α1, α2, α3 che, risol

to, fornisce α1 = 911 , α2 = 3

1 , α3 = 97 .

Sostituendo questi valori nella (o) e integrando ambo i membri, si ricava:

� +−− dx

2 x3 x1 x2

3

2 = 9

11 lnx − 1 − )1 x(3

1− + 9

7 lnx + 2 + k. �

Se m ≥ n possiamo dividere f(x) per g(x), ottenendo: f(x) = g(x) ⋅ q(x) + r(x) (3) dove q(x) è il quoziente (di grado m – n) e r(x) è il resto (di grado minore di n).

Dalla (3), dividendo ambo i membri per g(x), si ha:

)x(g)x(f = q(x) + )x(g

)x(r (4)

e integrando, si deduce:

� dxg(x))x(f = � dx)x(q + � dxg(x)

)x(r . (5)

L'integrale di )x(g)x(f

viene così decomposto nella somma di due integrali: il primo non presenta alcuna dif

ficoltà, essendo q(x) un polinomio; il secondo è l'integrale di una funzione razionale fratta il cui numera

tore r(x) ha grado inferiore a quello del denominatore g(x). Pertanto, nell'ipotesi che tutti gli zeri di g(x)

siano reali, si è ricondotti ai casi precedentemente studiati.

21

ESEMPIO − Calcoliamo l'integrale indefinito:

� � −+− dx3

24

1) (x 1 x x . Si ha f(x) = x4– x2+ 1 e g(x) = (x – 1)3 = x3– 3x2+ 3x – 1.

Poiché il grado di f(x) è maggiore del grado di g(x), dividiamo f(x) per g(x).

x4 + 0x3

– x2 + 0x + 1 x3– 3x2+ 3x – 1 x4 − 3x3 + 3x2 − x

3x3 − 4x2 + x + 1

3x3 − 9x2 + 9x − 3

5x2 − 8x + 4. Allora q(x) = x + 3, r(x) = 5x2 − 8x + 4 e, per la (4), risulta :

3

24

)1 x(1 x x

−+− = x + 3 + 3

2

1) (x 4 x8 x5

−+− . (0)

Decomponiamo in somma di fratti semplici la frazione al secondo membro della (0). Si ha:

3

2

1) (x 4 x8 x5

−+− = 1

1

1) (x −

α + 22

1) (x −

α + 33

1) (x −

α (1)

e sviluppando il secondo membro, si ottiene:

11

1) (x −

α + 22

1) (x −

α + 33

1) (x −

α = 332

21

1) (x

)1 x( )1 x(

−

α+−α+−α = … = 332121

21

1) (x

)x 2 ( x

−

α+α−α+α+α−+α .

Ora, l'uguaglianza (1) è verificata se e solo se:

5x2 − 8x + 4 = α1x2

+ (−2α1 + α2)x + α1 − α2 + α3.

ovvero se e solo se:

��

�

=α+α−α−=α+α−

=α

4825

321

21

1

. (2)

Abbiamo così ottenuto un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite α1, α2, α3 che, risol

to, fornisce α1 = 5, α2 = 2, α3 = 1.

Integrando ambo i membri della (0), finalmente si ricava:

� −+− dx3

24

1) (x 1 x x = � + dx)3x( + � −

+− dx3

2

1) (x 4 x8 x5

= � + dx)3x( + 5 � − dx1 x1 + 2 � −

dx2)1 x(1 + � −

dx3)1 x(1

= 221 x + 3x + 5⋅lnx − 1 − 1 x

2− − 2)1 x(2

1−

+ k. �

11 Calcola i seguenti integrali di funzioni razionali fratte.

(1) � −dx

9 x1

2 (2) � ++dx

6 x7 x1

2 (3) � −−dx

4 x3 xx

2 (4) � −−dx

2 x3 x2x

2 (5) � −+−− dx

x2 x x1 x3 x

23

2

(6) � +−−+− dx

2 x x2 x3 x5 x4

23

2 (7) � −

dx22) (x x (8) � +

+ dx3

2

1) (x x2 x (9) � ++

dxx x2 x

123 (10) � ++

+− dx4 x3 x

2 x x23

2

x + 3.

EP INT / 9

22

(11) � −+− dx34

3

x x3 x2 x (12) � −

+− dx4

2

2) (x 7 x5 x3 (13) � −

+ dx3 x22 x (14) � −

dx1 x

x2

2 (15) � −+

dx6 x x

x2

2

(16) � +−−− dx

8 x10 3x6 x x3

2

2 (17) � +−

−+− dx6 x5 x

10 x14 x6 x2

23 (18) � +⋅−

dx)1 x()1 x(

x2

5.

22 Calcola i seguenti integrali indefiniti (procedendo per sostituzione, ci si riconduce all'integrale di una funzione

razionale fratta in t… Occorre tornare, infine, alla variabile x, come negli esempi svolti 1, … ,5 di pag.16).

(1) � −dx

)4 x(x4 (2) � +

dx1 2x x

1 (3) � −−+ dx5 x

1 x x (4) � −dx

1 eex2

x (5) � +−

dx2 e3 e

exx2

x

(6) � +dx3x

x2

)1 e(e (7) � +⋅

⋅ dx3x lnx xxln2 (8) � −

+⋅ dx4 x ln4 xln

x1

2

2 (9) � dx xcos

1 (10) � + dxxcos3 sinx41 .

11 (1) k ln61

3 x3 x +⋅ +

− ; (2) k ln 6 x1 x

51 +⋅ +

+ ; (3) k4x ln 1x ln 54

51 +−⋅++⋅ ; (4) kx ln 2x ln 2

1101

52 ++⋅+−⋅ ;

(5) k2x ln1x lnx ln 23

21 ++⋅+−−⋅ ; (6) k2x ln31x ln1x ln2 +−⋅+−−+⋅ ; (7) k2x ln 2 x

2 +−− − ;

(8) k1x ln2)1 x(2

1 +−++

; (9) k ln 1 xx

1 x1 ++ ++ ; (10) k2x ln1x ln )2 x(3

495

94 +−−⋅++⋅ − ;

(11) k1x ln2x ln 2x23

x1 +−⋅+++− ; (12) k

)2 x(3

)2 x(27

2 x3

32 +−

−−

−−− ; (13) k3x2 ln47

2x +−⋅+ ;

(14) k lnx 1 x1 x

21 +⋅+ +

− ; (15) k3x ln2x lnx 59

54 ++⋅−−⋅+ ; (16) k ln2x ln2x 3

4x ++−⋅+ − ;

(17) k2x ln23x ln5x2x2

+−⋅−−⋅+− ; (18) k1x ln1x lnx2 41

49

)1 x(21

2x

3x 23

+−⋅++⋅−−+− + .

22 (1) (poni tx = ), kln22 x2 x +⋅

+− ; (2) kln

1 1x21 1x2 +

++−+ ;

(3) k21x ln321x ln71x21x ++−⋅+−−⋅+−+− ; (4) kln1 e1 e

21

x

x+

+−⋅ ; (5) k ln

1 e2 e

x

x+

−− ;

(6) k2xx )1 e(21

1 e1 +

+++− ; (7) k3xln ln6xln2 ++⋅−⋅ ; (8) k lnxln

2

2 xln2 xln ++ +

− ;

(9) (poni t = tan 2x ), kln

2x2x

tan 1

tan 1 +

−

+; (10) k ln

3 tan

1 tan3

51

2x2x

+⋅−

+.

10. Integrali impropri Riprendiamo lo studio degli integrali definiti considerando il caso in cui vengano a mancare alcune delle ipo tesi del teorema enunciato a pag.6 (paragrafo 3). Il nostro prevalente interesse riguarda il significato da attri

buire all'espressione �b

af quando si verifica almeno una delle seguenti condizioni: (a) l'intervallo d'integrazione

è illimitato, ossia è uno dei seguenti: [ a, +∞ [, ] −∞, b ], ] −∞, +∞ [ ; (b) la funzione f è discontinua in a o in b. Nei casi (a) e (b) si parla, rispettivamente, di integrali impropri di prima e di seconda specie.

•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo [ a, +∞ [. Se esiste finito il �∞+→

x

a x

f lim , la funzione f si dice

integrabile (in senso improprio) nell'intervallo [ a, +∞∞∞∞ [ e si pone:

�+∞

a

f =def

�∞+→

x

a x

f lim (1)

SOLUZIONI

23

•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo ] −∞, b ]. Se esiste finito il �∞−→

b

x x

f lim , la funzione f si dice

integrabile (in senso improprio) nell'intervallo ] −−−−∞∞∞∞, b ] e si pone:

�∞−

b

f =def

�∞−→

b

x x

f lim (2)

Se i limiti che figurano al secondo membro delle (1) e (2) esistono finiti, si dice anche che i corrispondenti in

tegrali sono convergenti; se detti limiti sono infiniti (+∞ o −∞), si parla di integrali divergenti.

•••• Sia f una funzione reale continua in IR. Se f è convergente in entrambi gli intervalli ] −∞, c ] e [ c, +∞ [ ,

dove c è un numero reale qualsiasi, la funzione f si dice integrabile (in senso improprio) in IR e si pone:

�+∞

∞−

f =def

�∞−

c

f + �+∞

c

f (3)

Diremo che l'integrale di f in IR è convergente, se sono convergenti entrambi gli integrali impropri che figura

no al secondo membro della (3); diremo che è divergente, se almeno uno dei detti integrali è divergente.

Per indicare l'incremento che una primitiva G(x) di f subisce al variare di x dall'estremo inferiore all'estremo

superiore dell'intervallo d'integrazione, adottiamo le comode annotazioni [ G(x) ]a

+∞ , [ G(x) ]∞−b , [ G(x) ]

∞−+∞ ,

cioè poniamo:

�+∞

a

f = [ G(x) ]a

+∞ =def

)a(G)x(Glim x

−∞+→

, �∞−

b

f = [ G(x) ]∞−b =

def)x(Glim )b(G

x ∞−→− ,

�+∞

∞−

f = [ G(x) ]∞−

+∞ =def

)x(Glim )x(Glim x x ∞−→∞+→

− .

ESEMPI

� La funzione f(x) = e−λx, con λ > 0, è integrabile nell'intervallo [ 0, +∞ [ (fig.17).

Infatti, si ha �+∞

λ−

0

x dxe = +∞

λλ−− �

���

�

0

te = λλ+∞→+−

λ− 1ex

)(limx

= λ1 . �

� La funzione f(x) = x

1 non è integrabile nell'intervallo [ 1, +∞ [ (fig.18).

Infatti, si ha �+∞

1x1 dx = [ ]+∞

1 xln = 1lnxln lim x

−∞+→

= +∞. �

(fig.17) (fig.18) O

1

O 1 O

1

(fig.19)

24

� La funzione f(x) = 2x 11

+ è integrabile in IR (fig.19).

Infatti, si ha dx 0

x 11

2�+∞

+ = [ ]+∞

0 xtanarc = 0 arctan xtanarclim x

−∞+→

= 2π .

Da questa, tenendo conto che la funzione f è pari, si deduce:

dx 2x 11�

+∞

∞−+

= 2 ⋅ dx 0

x 11

2�+∞

+ = 22 π⋅ = π. �

•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo ] a, b ] e sia a un punto di discontinuità per f. Se esiste

finito il �+→

b

xa xf lim , la funzione f si dice integrabile (in senso improprio) nell'intervallo [ a, b ] e si pone:

�+

b

a

f =def

�+→

b

xa xf lim (4)

•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo [ a, b [ e sia b un punto di discontinuità per f. Se esiste

finito il �−→

x

ab xf lim , la funzione f si dice integrabile (in senso improprio) nell'intervallo [ a, b ] e si pone:

�−b

a

f =def

�−→

x

ab xf lim (5)

Se i limiti che figurano al secondo membro delle (4) e (5) esistono finiti, si dice anche che l'integrale di f in

[ a, b ] è convergente; se detti limiti sono infiniti, si parla di integrali divergenti.

•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo ] a, b [ e siano a e b punti di discontinuità per f. Se gli in

tegrali impropri �+

c

a

f e �−b

c

f , dove c ∈ ] a, b [ è un numero reale qualsiasi, convergono entrambi, la funzione f

si dice integrabile (in senso improprio ) nell'intervallo [ a, b ] e si pone:

�−

+

b

a

f =def

�+

c

a

f + �−b

c

f (6)

Diremo che l'integrale di f in [a, b] è convergente, se sono convergenti entrambi gli integrali impropri che figu

rano al secondo membro della (6); diremo che è divergente, se almeno uno dei detti integrali è divergente.

Per indicare l'incremento che una primitiva G(x) di f subisce al variare di x dall'estremo inferiore all'estremo

superiore dell'intervallo d'integrazione, adottiamo le annotazioni [ ]ba

)x(G + , [ ] −ba)x(G , [ ] −

+ba

)x(G , cioè poniamo:

�+

b

a

f = [ ]ba

)x(G + =def

)x(Glim )b(Ga x +→

− , �−b

a

f = [ ] −ba)x(G =

def )a(G)x(Glim

bx−

−→ ,

�−

+

b

a

f = [ ] −

+ba

)x(G =def

)x(Glim )x(Glimaxbx +− →→

− .

25

Alle funzioni integrabili in senso improprio si estendono tutte le proprietà enunciate nel paragrafo 4 (pag. 6),

ad eccezione del T. della media integrale, e i metodi d'integrazione per decomposizione in somma, per parti

e per sostituzione. ESEMPI

� La funzione f(x) = 32

x−

= 3 2x

1 è integrabile nell'intervallo [ −1, 0[ (fig.20).

Infatti, si ha �−

−

−0

1

dxx 32

= [ 31

x3 ⋅ ]1

0−

− =

31

x3lim0 x

⋅−→

+ 3 = 3. �

� La funzione f(x) =

2x 1

1

− è integrabile nell'intervallo ] −1, 1[ (fig.21).

Infatti, si ha �−

−

1

0 x 1

1 dx2

= [ ]01x arcsin

−= 0 arcsinx arcsinlim

1 x−

−→ = 2

π .

Da questa, tenendo conto che la funzione f è pari, si deduce �−

+−−

1

1x 1

1 dx2

= 2 ⋅ 2π = π. �

La funzione f(x) = x ⋅ ln x è integrabile nell'intervallo ] 0, 1] (fig.22).

Anzitutto, integrando per parti, si trova � ⋅ dxxlnx = .kxxlnx 2241

21 +−

Allora �+

⋅1

0

dxxlnx = [

22 xx 41

21 xln − ] +

0

1 = )xxlnx 2241

21

0 x41 (lim −−−

+→ = 4

1− . �

•••• Supponiamo che la funzione reale f sia discontinua in un punto c interno all'intervallo [ a, b ].

Allora f si dice integrabile (in senso improprio ) nell'intervallo [ a, b ] e si pone:

�b

a

f =def

�−c

a

f + �+

b

c

f (7)

(sempre che entrambi gli integrali impropri che figurano al secondo membro della (7) siano convergenti). Si possono infine considerare delle combinazioni "miste". Vediamone una.

•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo ] a, +∞ [. Se gli integrali impropri �+

c

a

f e �+∞

c

f , dove c ∈ ] a, +∞ [

è un numero qualsiasi, convergono entrambi, la funzione f si dice integrabile (in senso improprio ) nell'in

O (fig.20)

1 −1 −1 (fig.21)

O 1

(fig.22)

26

tervallo [ a, b ] e si pone:

�+∞

+a

f =def

�+

c

a

f + �+∞

c

f (8)

11 Calcola i seguenti integrali impropri di prima specie.

(1) dx 4xe 0�

+∞− (2) dx e

12

x

�∞−

(3) dx 0

xe 1

xe�∞− −

(4) dx e

xln x 1

2�+∞

⋅ (5) dx

1x

xln2�

+∞

(6) dx xe x0

2

�+∞

−⋅ .

22 Calcola i seguenti integrali impropri di seconda specie.

(1) dx 2

0x

1�+

(2) dx 0

24 x

12�

+−−

(3) dx 1

01 x

13�

−

− (4) dx

1

0 x 1

x2�

−

− (5) dx nxl

1

0�+

(6) dx 1x

1nl 2

1�+

−.

11 (1) 41 ; (2) e2 ; (3) (tieni presente l'integrale quasi immediato dell'EP n° 2 pag.15), −2; (4) 1; (5) 1; (6) 2

1 .

22 (1) 22 ; (2) non integrabile; (3) 23− ; (4) 1; (5)−1; (6) 1.

11. Funzione gamma La funzione �������(gamma), nota anche come funzione ���� di Euler, è un prolungamento della funzione fatto

riale !nn � , di dominio �0, all'insieme IR + dei numeri reali positivi. Iniziamo dunque definendo ���per un qual

siasi numero naturale n ≥ 1: ���������������������������������� �(n) =

def (n – 1)! (1)

A parole: gamma di n è uguale, per definizione, al fattoriale del numero che precede n. Così, �(1) = 0! = 1, �

�(2) = 1! = 1, �(3) = 2! = 2,��(4) = 3! = 6 e così via. Si noti che la (1) si può anche scrivere �(n + 1) = n!.

Ora, per definire ���in IR +, è necessario descrivere n! come integrale della funzione:

f(x) = xn e x −⋅ , ∀n ∈ �0

nell'intervallo ] 0, +∞ [. Studio della funzione f(x) = xn e x −⋅ , ∀n ∈ �0

Fissato nel piano un riferimento cartesiano ortogonale OXY, assumiamo come dominio di f l'insieme IR +.

•••• f(x) > 0 ∀x ∈ IR +. Inoltre f è di classe C∞ in IR.

•••• )x(flim0 x +→

= 0. ∴ Il grafico di f "esce" dall'origine degli assi.

•••• )x(flim x ∞+→

= x

n

ex

x lim

∞+→

H= x

1 n

exn

x lim

−⋅∞+→

H= x

2 n

e

x)1 n(n

x lim

−⋅−⋅

∞+→

H= …

H= x

0

e

x !n

x lim ⋅

∞+→ = 0.

∴ Il grafico di f ha un asintoto orizzontale destro di equazione y = 0 (semiasse X+).

EP INT / 10

SOLUZIONI

27

•••• )x(f ′ = )xn( e x x1 n −⋅⋅ −− ∀x ∈ IR +.

•••• )x(f ′ > 0 ⇔ n – x > 0.

Allora )x(f ′��

�

<=>

,0,0 ,0

•••• )x(f ′′ = )nnnx2x( e x 22x2 n −+−⋅⋅ −− ∀x ∈ IR +.

•••• )x(f ′′ > 0 ⇔ 0 nnnx2x 22 >−+− .

Allora )x(f ′′

��

�

<=>

,0,0 ,0

Consideriamo l'integrale improprio:

ℑn = �+∞

−

+

⋅

0

xn dxex (2)

Integrando per parti, prendendo xn come fattore finito e e−x come fattore differenziale, dalla (2) segue:

ℑn = − [ xn e x −⋅ ] ++∞

0 + n �+∞

−−

+

⋅

0

x1 n dxex (3)

Ma [ xn e x −⋅ ] ++∞

0 = 0 (l'incremento che la funzione f subisce nell'intervallo ]0, +∞ [ è nullo). Allora:

ℑn = n ⋅ ℑn−1 (4)

per n ≥ 1. Da questa, assegnando ad n i valori 1, 2, 3, 4, …, si ottiene:

ℑ1 = 1 ⋅ ℑ0 ; ℑ2 = 2 ⋅ ℑ1 = 2 ⋅ 1 ⋅ ℑ0 ; ℑ3 = 3 ⋅ ℑ2 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ ℑ0 ; ℑ4 = 4 ⋅ ℑ3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ ℑ0 … ovvero: ℑn = n ! ⋅ ℑ0 (5)

Ma ℑ0 = �+∞

−

+0

x dxe = [− xe− ] ++∞

0 = )e( lim x

x

−∞+→

− − )e( lim x

0 x

−

→−

+ = 1, e quindi:

ℑn = n ! (6)

per x ∈ ] 0, n [

per x = n

per x ∈ ]n,+∞[

∴ La funzione f è str. crescente nell'intervallo ] 0, n ] e str. decrescente nell'intervallo [ n, +∞ [. Il punto

stazionario n è un punto di massimo relativo per f e risulta f(n) = n

en )( .

per x ∈ ] 0, n − n ] ∪ [n+ n , +∞[

per x ∈ {n − n , n + n } per x ∈ [n − n , n + n ]

∴ La funzione f è str. convessa negli inter

valli ] 0, n − n ], [n+ n , +∞[ e str. conca

va nell'intervallo [n − n , n + n ]. I punti

n − n e n + n sono punti di flesso per f.

O X

Y

n n − n n + n

nen )(

x

f(x)

0 n +∞

+ 0 −

0 nen )( � 0

Tabella di variazione di f Grafico di f (fig.23)

)x(f ′

28

Siamo così giunti all'importante risultato:

n! = �+∞

−

+

⋅

0

xn dxex (7)

che interpreta n! come area del trapezoide della funzione

f nell'intervallo ] 0, +∞ [ (fig.24).

Se, nella (7), al posto di n mettiamo n – 1, per la (1) si ha:

�������������������������� �(n) = �+∞

−−

+

⋅

0

x1 n dxex (8)

Ora, per prolungare a IR + la funzione fattoriale, resta soltanto da sostituire ad n un parametro reale positi

vo �, e porre:

�(�) =def�

+∞−−α

+

⋅

0

x1 dxex (9)

Per α intero ≥ 1, la (9) coincide con la (1); per α reale positivo non intero, si dimostra che l'integrale al secon

do membro è convergente comunque. Pertanto la funzione � ha come dominio l'insieme IR +.

Presentiamo alcune notevoli proprietà omettendo le dimostrazioni. �(� + 1) = � ⋅ �(�) ∀� ∈ IR + ( proprietà fondamentale della funzione Γ )

(10)

�� �( 21 ) = π (11)

�

n! ≈ ( ) n2n

en π⋅ (12)

La (12) è nota in letteratura col nome di formula di Stirling. Si tratta di un'eccellente approssimazione per

difetto di n!, tanto migliore quanto più grande è il numero n. Nella tabella che segue si può osservare come

l'errore percentuale (*) che si commette usando la (12) decresca molto rapidamente al crescere di n, e co

me l'approssimazione sia molto accurata anche per n piccolo.

n n! ( ) n2en n

π⋅

11 Calcola i seguenti integrali riducendoli a particolari valori di �(�) (tieni presenti le proprietà (10) e (11)).

(1) �+∞

+

−

0x

e dxx

(2) �+∞

−

+

⋅

0

x24 dxex (3) �+∞

−

+

⋅

0

x2 dxex2

(4) �+∞

−

+

⋅

0

x5 dxex2

(5) �+∞

−

+0

x dxe3

(6) �+

⋅1

0

22 dxxlnx .

22 Verifica la seguenti uguaglianze.

(1) �+∞

−

+

⋅

0

x dxex3

= )(32

31 Γ (2) �

+∞

α+

α

0

x dx x = 1 )(ln

)1 (+αα

+αΓ .

11 (1) π ; (2) (poni x = t21 ), 4

3 ; (3) (poni x = t ), 4π ; (4) 1; (5) 6; (6) (poni x = 3

te

−), 27

2 .

nn!!

O X

Y

(fig.24)

Errore percentuale

1 1 0,92 8%

2 2 1,92 4%

4 24 23,51 2%

8 40320 39902,40 1%

EP INT / 11

(*) L'errore percentuale si

ottiene moltiplicando per

100 il rapporto fra l'errore

assoluto e il valore esatto.

29

12. Funzione di Gauss standard

Si chiama funzione di Gauss standard, la funzione reale � definita da:

�(x) = 2

21x

e21 −

⋅π

, ∀x ∈ IR.

La funzione � svolge un ruolo di enorme importanza nella teoria della probabilità e nella statistica induttiva.

Fissato nel piano un riferimento cartesiano ortogonale OXY, rileviamo quanto segue.

•••• Dom(�) = IR e �(x) > 0 ∀x ∈ IR . Inoltre � è di classe C∞ in IR.

•••• � è una funzione pari, essendo �(−x) = �(x) ∀x ∈ IR .

•••• )x(lim x

ϕ∞+→

= )x(lim x

ϕ∞−→

= 0. ∴ L'asse X è un asintoto orizzontale per il grafico di �.

•••• )x(ϕ′ = −x ⋅��(x) ∀x ∈ IR .

•••• )x(ϕ′ > 0 ⇔ x < 0.

•••• )x(ϕ ′′ = (x2– 1) ⋅����(x) ∀x ∈ IR .

Allora )x(ϕ ′′��

�

<=>

,0,0 ,0

Il grafico della funzione ϕ (fig.24) viene chiamato curva gaussiana standard. Vediamo alcune proprietà.

�+∞

∞−

−dxe

221x

= π2 . (1)

Dim. Operiamo sull'integrale al primo membro della (1), la sostituzione x2 = 2t.

Si ha subito x = t2 = t2 ⋅ , dx = t2

12 ⋅ dt. Inoltre, al tendere di x a +∞, anche t tende a

+∞; al tendere di x a 0+, anche t tende a 0+. Ne segue:

�+∞

∞−

−dxe

221x

= �+∞

−

+

⋅

0t2

1t dte 22 = �+∞

−−

+

⋅

0

t dtet 21

2 = �+∞

−−

+

⋅

0

t1dtet 2

12 = )( 2

12 Γ⋅ = π2 . �

π21

∴ � è str. crescente nell'intervallo ] −∞, 0 ] e str. decrescente nell'in

tervallo [ 0, +∞ ]. Il punto 0 è un punto di massimo relativo per � e risulta �(0) =

2�1 .

per x ∈ ] −∞, −1 [ ∪ ]1, +∞[

per x ∈ { ±1}

per x ∈ ]−1, 1[

∴ La funzione ������ è str. convessa negli inter valli ] −∞, −1 ], [1, +∞[ e str. concava nell'in

tervallo [−1, 1]. I punti −1 e 1 sono punti di

flesso per � e risulta �(±1) =e2

1π

.

X

x

�(x)

−∞ 0 +∞

+ 0 −

0 2�1 � 0

Tabella di variazione di � Grafico di � (fig.24)

�'(x)

1 −1

Studio della funzione �

30

Da questo risultato, si deduce:

•••• �+∞

∞−

ϕ dx)x( = �+∞

∞−

−

π⋅ dxe

221x

21 = π⋅

π2

21 = 1.

Quindi l'area compresa fra la curva gaussiana standard e l'asse X vale 1. Si esprime questo fatto dicendo

che � è una funzione normalizzata. Il numero π2

1 prende il nome di fattore di normalizzazione di �.

�+∞

+

ϕ⋅

0

n dx)x(x = π

−2

2 n2

⋅ �( 21 n + ) . (2)

Dim. Anzitutto, si ha:

�+∞

+

ϕ⋅

0

n dx)x(x = �+∞

−

π+

⋅

0

xn21 dxex

221

.

Ora, ponendo x2 = 2t come nel caso precedente, si ricava:

�+∞

+

ϕ⋅

0

n dx)x(x = �+∞

−π

+

⋅

0

tn21 dte

t212)t2( = �

+∞−

+

−

⋅π

⋅

0

t dte21n

2n

t 2222 =

=

π

−2

2 n2

⋅ �+∞

−

+

−+

0

t dte1

21n

t = π

−2

2 n2

⋅ �( 21 n + ). �

Dalla (2), in particolare, si deduce:

•••• per n = 1, �+∞

+

ϕ⋅

0

dx)x(x = π2

1 ⋅ �(1) =

π21

⋅ 0! = π2

1 ;

•••• per n = 2, �+∞

+

ϕ⋅

0

dx)x(x2 = π

1 ⋅ �( 23 ) =

π1 ⋅ �( 12

1 + ) = π

1 ⋅ 21 ⋅�( 2

1 ) =

π21 ⋅ π = 2

1 .

Da questi risultati, si ottengono i seguenti integrali notevoli.

�+∞

∞−

ϕ⋅ dx)x(x = 0. (3)

Dim. Poiché la funzione integranda è dispari e l'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto allo

zero, si ha:

�+∞

∞−

ϕ⋅ dx)x(x = �−

∞−

ϕ⋅0

dx)x(x + �+∞

+

ϕ⋅

0

dx)x(x = −

π21 +

π21 = 0. �

�+∞

∞−

ϕ⋅ dx)x(x2 = 1. (4)

Dim. Poiché la funzione integranda è pari e l'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto allo ze

ro, si ha subito:

�+∞

∞−

ϕ⋅ dx)x(x2 = �+∞

+

ϕ⋅

0

2 dx)x(x2 = 2 ⋅ 21 = 1. �