1

IL PROBLEMA DEL CONTROLLO

Cosa si intende per: CONTROLLARE UN SISTEMA (un Impianto o un

Processo)

Controllare un sistema “S” significa imporre all’uscita y(t) di tale sistema un andamento più simile possibile ad uno

desiderato ydes(t).

2

INTRODUZIONEIn genere in un sistema S da controllare

(chiamato anche: impianto o processo) possiamo distinguere:

Se voglio controllare un sistema devo riuscire ad individuare per ogni uscita desiderata ydes(t) un

ingresso x(t) tale che l’uscita y(t) assuma un valore più vicino possibile a quella desiderata ydes(t).

- gli ingressi manipolabili x(t)

- l’uscita y(t)

- gli ingressi non manipolabili z(t)

3

Controllare un sistema significa: riuscire a realizzare un “meccanismo” tale

che per ogni ydes(t) genera automaticamente un ingresso di controllo x(t) il quale produce un’uscita y(t) che si avvicina il più possibile

alla ydes(t)

In pratica

Tale “meccanismo” che produce il particolare ingresso di controllo si chiama “controllore” e

deve essere un dispositivo automatico

4

L’ingresso di controllo deve tenere conto delle caratteristiche dinamiche del sistema, delle sue variazioni nei parametri fondamentali e

deve opporsi agli effetti del disturbo

In genere l’uscita y(t) dipende dall’ingresso manipolabile x(t) e dal disturbo z(t) per cui

passando a Laplace tale dipendenza si può scrivere

Y(s) = G(s) X(s) + Gz(s) Z(s)

NB:La dimostrazione del motivo per cui l’uscita può essere espressa secondo tale semplice formula è difficile e necessita la conoscenza delle equazioni

differenziali (meglio lasciare perdere).

5

Se indico con YD(s) la trasformata dell’uscita desiderata potrei risolvere il problema

risolvendo l’equazione:

Y(s) = G(s) X(s) + Gz(s) Z(s)

Sostituendo YD (s) al posto di Y(s) ricavo il valore dell’ingresso di controllo X(s):

Il valore dell’ingresso x(t) cercato corrisponde all’antritrasformata di X(s):

( ) ( ) ( )( )

( )D ZY s G s Z s

X sG s

6

Per trovare tale ingresso non bisogna valutare nulla dell’uscita (controllo ad anello

aperto) ma presenta i seguenti problemi

Devo avere una conoscenza perfetta del modello del sistema G(s) da controllare e tale sistema non deve variare nel tempo

Devo avere una conoscenza perfetta dei disturbi e di come i disturbi agiscono sul

sistema per valutare Z(s) e Gz(s)

IL SISTEMA DI CONTROLLO IN CATENA APERTA E’ POCO ROBUSTO

7

Esempio pratico: controllo di velocità di un motore

Cm = coppia motrice del motore

Cm

Cr ωB

Cr = coppia resistente (salita)

B = coppia attrito (asfalto o vento)

ω = velocità di rotazione dell’albero

8

Infatti se voglio controllare la velocità di rotazione dell’albero posso agire sulla farfalla del carburatore e generare una coppia Cm

proporzionale all’angolo α della farfalla: Cm= p α

Cm= B ω + Cr

La relazione che lega le grandezze è:

Controllare tale motore significa avere ω = ωdes

Cm è l’ingresso del sistema

ω è l’uscita del sistema

9

Il controllo a catena aperta viene fatto nella seguente maniera:

Ricavo ω

stimo l’attrito B* e la coppia resistente Cr*.

B* ωd + Cr* = B ω + Cr

Sostituisco tale valore di Cm nella formula generale

costruisco la Cm con tali valori

trovo Cm= B* ωd + Cr*

Cm= B ω + Cr

ottengo

10

B ω = B* ωd + Cr* - Cr

solo se

Cioè devo avere una conoscenza perfetta dell’attrito B e della coppia resistente Cr

Tale sistema di controllo non è applicabile

* *r r

d

B C C

B B

d

* *1B B BB

* *0 C Cr r C Cr rB

11

La tecnica di controllo più efficace è la seguente

Misuro la velocità ω con un tachimetro e in base alla differenza tra il valore desiderato e

quello stimato applico una coppia motrice proporzionale alla differenza tra la velocità

desiderata e quella misurata

Cm = K ( ωd - ωmis )

Sostituendo nella relazione generale

Cm= B ω + Cr

12

Il misuratore di velocità commetterà un errore e quindi

K ( ωdes - ωmis ) = B ω + Cr

ωmis = ω - Δ ω

K ( ωdes - ω + Δ ω ) = B ω + Cr

Ricavo ω

K ωdes + K Δ ω - Cr = K ω + B ω

ω (K + B ) = K (ωdes + Δ ω) - Cr

K ωdes + K Δ ω - Cr = ω (K + B )

13

Se K ha un valore elevato:

Quindi se K è elevato

ω = ωdes + Δ ω

Ma se lo strumento di misura è buono Δ ω = 0

ω = ωdes

( ) rdes

K C

K B K B

1K

K B

0rC

K B

14

L’ipotesi di controllo precedente è stata ottenuta senza richiedere nessuna particolare

conoscenza del sistema e del disturbo.

In base a quanto scritto in precedenza il sistema va pilotato con una coppia Cm proporzionale alla

differenza tra uscita desiderata e misurata

Necessita però una conoscenza perfetta dell’uscita ottenuta tramite il misuratore e per questo viene chiamata A CATENA CHIUSA

Cm = K ( ωd - ωmis )

15

L’ingresso al sistema deve essere ottenuto amplificando (con amplificazione K elevata) il

segnale d’errore ( ωd - ωmis )

ωK

ωmis

-

ωd ωd-ωmissistema

misuratore

Occorre precisare che: tutti le grandezze in gioco (tranne l’uscita) vengono trasformate in segnali

elettrici e quindi K è un amplificatore elettronico e il misuratore è un trasduttore.

16

In generale abbiamo

Y(s)

-R(s)

E(s) G(s)

H(s)

G(s) è la f.d.t. del sistema con il controllore (il controllore è spesso ma non sempre un amplificatore)

H(s) è la f.d.t. del trasduttore

R(s) è la trasformata di Laplace dell’ingresso desiderato (di riferimento)

17

Da ora in poi parleremo dei sistemi di controllo che soddisfano alla legge

Y(s)K

-

R(s) E(s)G(s)

Kc

1

E ci riferiremo al seguente schema che riesce a soddisfare alla precedente specifiche di controllo

( ) ( )CY s K R s

18

Analizziamo con il metodo degli schemi a blocchi

Y(s)K

-

R(s) E(s)G(s)

Kc

1

Ottengo per K elevato( )

( )1

1 ( )C

C

KG sW s K

KG sK

( ) ( )CY s K R s

Cioè quello richiesto

19

Vediamo quali sono le caratteristiche (vantaggi) della retroazione

La relazione tra ingresso ed uscita dipende meno dalle variazioni dei parametri del sistema

(diminuisce la sensibilità dell’uscita alle variazioni parametriche di G(s))

L’uscita dipende meno dai disturbi (diminuisce rapporto segnale rumore)

La banda passante si allarga (maggiore prontezza del sistema)

Diminuisce l’errore a regime

20

La relazione tra ingresso ed uscita dipende meno dalle variazioni dei parametri del sistema

(diminuisce la sensibilità dell’uscita alle variazioni parametriche di G(s))

Analizziamo il primo vantaggio

21

Cioè il diagramma di Bode di W(s) cioè del sistema reazionato rimane pressochè lo stesso anche se G(s)

varia da G’(s) a G’’(s)

G’(s) G’’(s)

W(s)

La relazione tra ingresso ed uscita W(s) è

( )( )

11 ( )

C

C

KG sW s K

KG sK

22

Il diagramma di Bode di W(s) varierà comunque molto meno di G(s)

In realtà la formula seguente

G’(s) G’’(s)

W’(s) W’’(s)

( )( )

11 ( )

C

C

KG sW s K

KG sK

è solo un’approssimazione e anche W(s) varierà

23

Il rapporto tra la variazione relativa di W(s) e la variazione relativa di G(s) viene chiamata

“sensibilità parametrica”

La “sensibilità parametrica” S è varia con la pulsazione

G’(s) G’’(s)

W’(s) W’’(s)

24

G’(s) G’’(s)

W’(s) W’’(s)

La “sensibilità parametrica” S vale in generale (si può dimostrare con alcuni passaggi matematici)

G(s)

1( )

11 ( )

C

SK G

K

25

Esempio numerico di “sensibilità parametrica” S

S = 0,001 mi dice che se G(s) si modifica dello 20% per una certa frequenza allora W(s) si

modifica in un rapporto 0,001 più basso e cioè dello 0,02%

generalmente S viene espresso in db e cioè 20log(S)

in tale caso S = 20 log(0,001) =-60db

26

Analizziamo il secondo vantaggio della retroazione

L’uscita dipende meno dai disturbi (diminuisce il rapporto segnale rumore)

27

Si abbia un disturbo dopo l’amplificatore (ricordare che gli amplificatori nei controlli non devono

introdurre rumore e cioè devono essere ben fatti)

Y(s)K

+

D(s)

G(s)

Kc

1

R(s)

-

28

Calcoliamo il valore dell’uscita dovuta al solo rumore

Yd(s)K

+

D(s)

G(s)

Kc

1

-

se K è elevato

Quindi anche Yd(s) = 0

( )( ) 0

11 ( )

D

C

G sW s

KG sK

29

Ovviamente la formula

E’ un’approssimazione

La funzione di trasferimento WD(s), cioè il rapporto tra il segnale d’uscita dovuto al solo rumore ed il

rumore stesso, è quel parametro che viene definito “rapporto segnale rumore” N.

Esso è piccolo, ma non nullo, se

se K è elevato( )

( ) 01

1 ( )D

C

G sW s

KG sK

1( )

C

KG sK

è elevato

30

Valutiamo il rapporto tra segnale e rumore per ogni pulsazione senza l’approssimazione precedente

( )( )

11 ( )

C

GSn

K GK

( )DW s

31

Esempio numerico di “rapporto segnale rumore” N

SN(ω)=0,001 mi dice che se ad una certa frequenza il rumore vale 40mV allora l’uscita è più

piccola di 0,001 e cioè vale 0,04mV

generalmente SN(ω) viene espresso in db e cioè 20log(N)

in tale caso SN(ω) = 20 log(0,001) =-60db

32

Analizziamo il terzo vantaggio della retroazione

La banda passante si allarga (maggiore prontezza del sistema)

33

G(s)

W(s)

20 db

BG BWKc

( )( )

11 ( )

C

C

KG sW s K

KG sK

L’effetto sulla banda passante viene riportato nel seguente grafico

KG(s)

Se KG(s) ha modulo elevato (>20db) W(s) vale circa KC (costante)

1

CK

34

L’allargamento della banda passante porta il vantaggio che il sistema diventa più pronto.

Infatti BG e BW sono legati alla costante di tempo di salita dell’uscita ad un ingresso a gradino

G(s)

W(s)

20 db

BG BWKc

BW > BG dice che il sistema W è più pronto di G

35

In pratica : in un sistema non retroazionato il regime viene raggiunto dopo perché BG> BW

Con la retroazione quindi diminuisce il tempo iniziale in cui segnale di uscita y(t) è molto diverso da quello

desiderato yd(t). Infatti in seguito a variazioni d’ingresso a gradino non possiamo pretendere che anche l’uscita risponda prontamente con variazione

brusca verticale

36

Come già detto una banda passante più larga implica una maggiore prontezza del sistema. La differenza che si ha tra riferimento ed uscita dopo l’applicazione di variazioni brusche in ingresso quindi viene ridotta al minimo con la retroazione

Una pseudo-dimostrazione matematica di quanto detto è nella pag. seguente

37

Calcoliamo la banda passante e la risposta al gradino in un sistema con un solo polo (tipo filtro passa basso RC)

1( )

1G s

s

La risposta al gradino di questo sistema si calcola trovando l’antitrasformata di laplace di

1 1 1( ) ( )

1Y s G s

s s s

( ) 1t

y t e

38

Y(s)K

-

R(s) E(s)G(s)

Kc

1

Mettendo il sistema in retroazione con K=10 e Kc=1

La f.d.t. del sistema vale:

Cioè la costante di tempo è circa 10 volte più piccola

10 1010 10 0,99 11 1( )

10 1 10 111 11( 1) ( 1) ( 1)1 1 11 11 10

s sW ss s

s s

39

Analizziamo il quarto vantaggio

Diminuisce l’errore a regime

40

Possiamo dimostrare che con la retroazione diminuisce l’errore a regime, cioè l’errore che si ha dopo un tempo molto lungo dall’applicazione

del segnale di riferimento

41

Y(s)K

-

R(s) E(s)G(s)

Kc

1

Yd (s) = Kc R(s) invece si ha

Se il controllo fosse senza errori si avrebbe:

Y(s) = W(s) R(s) con( )

( )1

1 ( )C

KG sW s

KG sK

42

L’errore indesiderato sarà la differenza

E(s) = Yd(s) - Y(s)

Sostituendo

Eseguendo i calcoli e semplificando ottengo

( )( ) ( ) ( )

11 ( )

C

C

KG sE s K R s R s

KG sK

( ) ( )1

1 ( )

C

C

KE s R s

KG sK

43

L’errore a regime si ottiene antitrasformando E(s)

Esiste un teorema chiamato teorema del valore finale che ci permette di trovale il valore a regime

di una funzione per t->infinito eseguendo un limite per s->0 della sua trasformata di Laplace

moltiplicata per s

Applichiamo quindi il teorema del valore finale per trovale l’errore a regime

E dopo aver trovato e(t) si fa il limite per t->

( ) ( )1

1 ( )

C

C

KE s R s

KG sK

44

Le caratteristiche che ci servono per calcolare tale limite sono:

Per trovare il valore del limite per s-> 0 di E(s) non è necessario conoscere in maniera precisa G(s) e di R(s) ma solo il valore che assumono

per s->0

Il tipo di ingresso R(s)

Il tipo di sistema G(s)

( ) ( )1

1 ( )

C

C

KE s R s

KG sK

45

Analizziamo il tipo di ingresso R(s)

L’ingresso può essere:

un gradino alto Ro

una rampa di pendenza Ro

una rampa parabolica Ro

Gli ingressi elencati in precedenza sono quelli tipici e si differenziano l’uno dall’altro dall’ordine del polo in zero nella loro trasformata di Laplace.

46

Il tipo di sistema G(s)

Per tipo di sistema si intende il numero di poli in zero

ed in particolare si può avere:

(sistema di tipo 0) nessun polo in zero

(sistema di tipo 1) un polo semplice in zero

(sistema di tipo 2) un polo doppio in zero

I tipi di sistema elencati in precedenza sono quelli che tratteremo. Essi si differenziano l’uno

dall’altro dall’ordine del polo in zero

47

Il tipo di sistema viene valutato dopo avere espresso G(s) nella forma di bode

Se l’esponente i di s vale 0 (cioè non ci sono poli sull’origine) allora il sistema e di TIPO 0 e K viene chiamata costante di posizione e indicata con KP

1

1

( 1)...( )

( 1)...i

sKG s

T ss

1

1

( 1)...( )

( 1)...P

sG s K

T s

48

Se l’esponente i di s vale 1 (cioè c’è un polo semplice sull’origine) allora il sistema e di TIPO 1 e K viene indicata con KV e chiamato costante di velocità

1

1

( 1)...( )

( 1)...VK s

G ss T s

Se l’esponente i vale 2 (cioè c’è un polo doppio sull’origine) allora il sistema e di TIPO 2 e K viene

indicata con KA e chiamato costante di accelerazione

12

1

( 1)...( )

( 1)...AK s

G sT ss

49

Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo zero con ingresso a gradino usando il

teorema del valore finale

Il polo che possiede R(s) si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale

ed inoltre G(0)=KP quindi il risultato (l’errore a regime) è

0 0lim ( ) lim ( )

11 ( )

C

s s

C

sKsE s R s

KG sK

0

0lim

11 ( )

C

s

C

sK R

sKG sK

0

11

C

PC

K R

K KK

20C

C P

K R

K K K

50

Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo zero con ingresso a rampa usando il

teorema del valore finale

Il polo doppio che possiede R(s) non si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore

finale e quindi il risultato è INFINITO

Cioè l’errore a regime aumenta sempre più e l’uscita non può assumere un valore a rampa uguale

all’ingresso

0 0lim ( ) lim ( )

11 ( )

C

s s

C

sKsE s R s

KG sK

020

lim1

1 ( )

C

s

C

sK R

sKG sK

51

Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo zero con ingresso a rampa parabolica

usando il teorema del valore finale

Il polo triplo che possiede R(s) non si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore

finale e quindi il risultato è INFINITO

Cioè l’errore a regime aumenta sempre più e l’uscita non può assumere un valore a rampa parabolica

uguale all’ingresso

0 0lim ( ) lim ( )

11 ( )

C

s s

C

sKsE s R s

KG sK

030

lim1

1 ( )

C

s

C

sK R

sKG sK

52

Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo uno con ingresso a gradino usando il

teorema del valore finale

Il polo che possiede R(s) si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale

ma abbiamo che G(s) a denominatore diverge e quindi il risultato è zero

Cioè l’errore a regime diventa zero e l’uscita assume un valore a rampa uguale all’ingresso

0 0lim ( ) lim ( )

11 ( )

C

s s

C

sKsE s R s

KG sK

0

0lim

11 ( )

C

s

C

sK R

sKG sK

53

Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo uno con ingresso a rampa

Il polo doppio che possiede R(s) si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale e con il polo semplice di G(s) … dopo alcuni passaggi

(sapendo che KV è la costante di Bode di G(s) di tipo1)

L’errore all’ingresso a rampa parabolica è infinito

0 0lim ( ) lim ( )

11 ( )

C

s s

C

sKsE s R s

KG sK

020

lim1

1 ( )

C

s

C

sK R

sKG sK

20C

V

K R

K K

54

L’errore a regime in un sistema di tipo due con ingresso a gradino e rampa vale zero

L’errore a regime in un sistema di tipo due con ingresso a rampa parabolica vale

KA è la costante di Bode della funzione G(s) di tipo 2

20

A

K R

K K

55

Le caratteristiche importanti di G(s) sono riportate nella seguente tabella

1P P

1

1

1

12

1

G(s) forma n.poli origine costante di Bode

( 1)...tipo 0 K 0 K

( 1)...

( 1)...tipo 1 1

( 1)...

( 1)...tipo 2 2

( 1)...

VV

AA

s

T s

K sK

s T s

K sK

s T s

56

Il valore dell’errore a regime è riassunto nella seguente tabella

20

20

20

tipo/ingr. gradino rampa lin. rampa qua.

tipo 0

tipo 1 0

tipo 2 0 0

C

C P

C

V

C

A

K R

K K K

K R

K K

K R

K K

57

STABILITA’ DEL SISTEMA

Una fondamentale caratteristica che deve avere il sistema controllato, tanto importante che se

questa non è presente le altre diventano inutili è la

Un sistema non può funzionare se non è stabile.

Un sistema si dice “asintoticamente stabile” se in assenza di ingresso l’uscita ritorna a essere nulla dopo una perturbazione in ingresso anche molto

forte ma di durata limitata

58

Il sistema precedente è stabile se l’uscita torna a zero dopo l’applicazione di un qualsiasi ingresso

impulsivo.

S

59

La stabilità come espressa in precedenza viene chiamata “asintotica”.

Un sistema è asintoticamente stabile se:

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA NON POSSIEDE POLI CON PARTE

REALE POSITIVA O NULLA

60

La dimostrazione dell’enunciato precedente deriva dal fatto che, se applico in ingresso un impulso allora la trasformata di laplace dell’uscita vale

( ) ( ) ( )Y s G s X sMa se ( ) ( )x t t ( ) 1X s

( ) ( ) 1 = ( )Y s G s G s

Cioè la funzione di trasferimento G(s) di un sistema coincide con la risposta all’impulso

Ma se antitrasformo una funzione in s con poli negativi ottengo esponenziali con esponente

negativo e cioè che tendono a zero

61

In conclusione per controllare la stabilità devo trovare i poli di G(s) e vedere se questi poli sono

tutti negativi

Per il sistema controllato lo stesso discorso va fatto sulla funzione W(s). Per controllare la

stabilità devo trovare i poli di W(s) e vedere se questi poli sono tutti negativi

Y(s)

-R(s)

E(s) G(s)

H(s)

62

Y(s)

-R(s)

E(s) G(s)

H(s)

( )( )

1 ( ) ( )

G sW s

H s G s

1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1H s G s H s G s

Devo controlare il denominatore e vedere se

63

Non consideriamo nessuno dei molti criteri matematici per vedere se esistono radici con

parte reale negativa nell’equazione

1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1H s G s H s G s Tali metodi sono Routh Urwitz

Prendiamo in considerazione il solo metodo grafico semplice dedotto dai grafici di Bode.

64

Y(s)K

-

R(s) E(s)G(s)

Kc

1

Prendiamo il sistema G(s) controllato

Calcoliamo il guadagno d’anello così definito:

1( ) ( )

C

F s KG sK

65

Disegniamo i diagrammi di Bode di F(s)1

( ) ( )C

F s KG sK

margine

di fase m

margine

di ampiezza mA

0db

-180°

66

margine

di fase m

margine

di ampiezza mA

0db

-180°

Il margine d’ampiezza è il valore in db di F(s) quando la fase vale 180° Il margine di fase è la distanza in gradi della fase di F(s) quando

l’ampiezza è 0db

67

Si può dimostrare che il sistema controllato è stabile se il margine d’ampiezza è negativo e il

margine di fase è positivo

Valori tipici dei margini di ampiezza e di fase sono ad esempio:

m 20A db

m 30

Con tali valori il sistema è abbastanza stabile, con valori più bassi si ha rischio di instabilità.

68

Proviamo a vedere cosa succede se aumenta il guadagno K:

margine

di fase m

margine

di ampiezza mA

0db

-180°

IL MARGINE D’AMPIEZZA SI RIDUCE FINO A CAMBIARE SEGNO CIOE’ IL SISTEMA DIVENTA INSTABILE

69

Non è facile vedere cosa succede se aumento i poli sull’origine, ma si intuisce che questa volta si alza abbassa il

diagramma delle fasi

margine

di fase m

margine

di ampiezza mA

0db

-180°

IL MARGINE DI FASE SI RIDUCE FINO A CAMBIARE SEGNO CIOE’ IL SISTEMA DIVENTA INSTABILE