1

I.1. Segnali analogici e digitali

Appendice

A.1. Sistemi di numerazione

A.2. Sistema binario

A.3. Codici

Capitolo I

Introduzione ai circuiti elettronici digitali

G.- F. Dalla Betta, G. Soncini. Appunti di Elettronica 2.

2

Segnale analogico: variabile continuaassume un numero infinito di valori entro l’intervallo di variazione

v

t

inte

rval

lo d

i var

iazi

one

I.1. Segnali analogici e digitali

3Elettronica analogica: sistemi di elaborazione di segnali analogici

Sistema elettronico analogicovi(t) vo(t)=f[vi(t)]

Esempio: amplificatore vo(t)=A·vi(t)

I segnali vi(t) e vo(t) per evitare distorsioni devono rimanere in ogni istante all’interno dell’intervallo di variazione caratteristico del funzionamento lineare del sistema

tinte

rval

lo d

i v

aria

zion

e

vi(t)

vo(t)=A·vi(t)

4Segnale digitale: variabile discretaassume un numero finito di valori entro l’intervallo di variazione

t

vin

terv

allo

di v

aria

zion

e

L’approssimazione migliora al crescere del numero di valori discreti in cui viene suddiviso l’intervallo di variazione e l’intervallo di campionamento temporale

Il segnale digitale approssima il segnale analogico

intervallo di campionamento

5

Sistema elettronico

digitale(elaboratore)C

onve

rtit

ore

A/D

Con

vert

itor

e D

/A

segnaleanalogico

(sensor output)

segnale analogico

(actuator input)

Sistema elettronico

digitale(elaboratore)

Ingressidigitali

Uscitedigitali

Mondo digitale

Per comunicare con il mondo analogico ...

Teorema del campionamento (Nyquist): Ts = 1/(2×fmax)

Discretizzazione del tempo e delle ampiezze dei segnali

Convertitore Analogico/Digitale (A/D)

Sample&HoldA A*

REF

B1

B2

B3

Bn

Quantizzatore

(A/D)

A* Valori continui tempo-discretiB Valori discreti tempo-discreti

Classificazione dei convertitori A/D• a contatore• a integrazione• ad approssimazioni successive • paralleli

Convertitore Digitale/Analogico (D/A)

REF (riferimento analogico)

B1

B2

B3

Bn

D/ASegnale

AnalogicoSegnale

Digitale (binario)

A REF f B ( )

f(B) = caratteristica di conversione (lineare o non lineare)

Caso lineare: f B Bii

i

n

( )

2

1

8

Il segnale binario assume nominalmente due soli valori e costituisce quindi il caso piu’ elementare di segnale discreto. La quasi totalità delle apparecchiature digitali impiega segnali binari.

G

L

H

G

L

H

t

t

Fronte di salita

Fronte di discesa

• Occorrono ovviamente più segnali binari per sostituire un segnale discreto

• La forma d’onda del segnale binarioraramente presenta un’alternanza didue soli valori (continuità della grandezzafisica impiegata, disturbi, …)

• All’interno dell’intervallo di variabilità sono definiti a priori due distinti valori di soglia, H e L; normalmente il valore dei segnali è sopra H o sotto L.

• Il passaggio nella fascia intermedia di valori avviene con rapidi transitori, detti “fronti di salita” e “fronti di discesa”.

9Esempio: controllo livello liquido in un serbatoioa) analogico b) digitale

massa

Vcc

va (t)

Vcc

vd (t)

massa

Vcc

va , vd

t00123

10

Sistema elettronico digitale(elaboratore)

Digit di ingresso

Digit di uscita

• Sistema elettronico digitale combinatorio: il digit di uscita all’istante tdipende dai digit di ingresso allo stesso istante t.• Sistema elettronico digitale sequenziale: il digit di uscita all’istante t dipende e dai digit di ingresso allo stesso istante t e dai digit di ingressoagli istanti precedenti. Presuppone l’esistenza di circuiti di memorizzazione dei dati. I sistemi sequenziali possono essere ulteriormente classificati in:Sistemi asincroni, ovvero privi di ogni riferimento temporale.Sistemi sincroni, nei quali invece i segnali possono cambiare solo in corrispondenza di istanti di tempo prefissati e, di norma, ugualmente intervallati.

11

Vantaggi approssimazione (approccio) digitale:

• maggiore immunità ai disturbi, sia in fase di acquisizione che di trasmissione dei dati

• facilità di elaborazione numerica e di memorizzazione del segnale

• bassi costi dell’elettronica integrata digitale

• versatilità e programmabilità

000 001 010 011 100 101 110 111

margine d’immunità ai disturbi

12APPENDICE A.1. Sistemi di numerazionea) sistema decimale: numerazione a base 10Cifre (digits): Ci0, 1, 2, …9.

Numero10 :

1

010 10

nk

k

kiCN

Esempio (numero intero):0123

10 1091051041033459 unità

decine

centinaiamigliaia

Esiste una infinita possibilità di sviluppare diversi sistemi di numerazionemodificando la scelta della base.

Di fatto si usano un numero limitato di sistemi di numerazione

Esempio (numero frazionario decimale):2101

10 10910510410359.34

decine

unità decimi centesimi

Alla posizione della cifra nel numero è associato un peso decimale

13

b) sistema binario: numerazione a base 2

Cifre Ci0, 1. Binary digit=Bit=informazione elementare

Numero2:

1

02 2

nk

k

kiCN

Esempio (numero intero):

1001234

2 23212121202110111

Esempio (numero frazionario):

1032101

2 875.22121212021111.10

Il sistema binario è particolarmente vantaggioso per semplificare la realizzazione dei circuiti elettronici di elaborazione numerica

e per interfacciarsi con calcolatori e microprocessori

Alla posizione della cifra nel numero è associato un peso binario

14

c) sistema ottale: numerazione a base 8

Cifre Ci0, 1,…, 7.

Numero:

1

08 8

nk

k

kiCN

esempio: 10012

8 113818681161

d) sistema esadecimale: numerazione a base 16

Cifre Ci0, 1,…, 9, A, B, C, D, E, F.

Numero:

1

016 16

nk

k

kiCN

esempio:

100123

16 617861610165161161515 AF

15Conversione fra i diversi sistemi di numerazioneRegola generale: conversione del numero reale a (maggiore di 1) in base b=10nel corrispondente numero reale c in base d.c si ottiene dividendo a per d. I resti ad ogni passo della divisione rappresentano le cifre di c.

Esempio: convertire 2710 nel suo equivalente in base 2in questo caso: c=?; a=27(decimale >1); b=10; d=2

27:2=13 resto 1 ( bit meno significativo: peso 20 )13:2=6 resto 1 ( peso 21 ) 6:2=3 resto 0 ( peso 22 ) 3:2=1 resto 1 ( peso 23 ) 1:2=0 resto 1 ( bit più significativo: peso 24 )

per cui: 2710=110112 (=1 24+ 1 23+ 0 22+ 1 21+ 1 20 )

16

Regola generale: conversione del numero reale a (minore di 1) in base b=10nel corrispondente numero reale c in base d.c si ottiene moltiplicando a per d. Le parti intere ad ogni passo della moltiplicazione rappresentano le cifre di c.

Esempio: convertire 0.37510 nel suo equivalente in base 2in questo caso: c=?; a=0.375(decimale <1); b=10; d=2

0.375×2 = 0.750 parte intera 0; parte frazionaria 0.750; ( peso 2 1 )0.750×2 = 1.500 parte intera 1; parte frazionaria 0.500; ( peso 2 2 )0.500×2 = 1.000 parte intera 1; parte frazionaria 0.000; ( peso 2 3 )

per cui: 0.37510=0.0112 (=0+0 2 1 + 1 2 2 + 1 2 3)

Per convertire un numero frazionario, basta procedere separatamente alla conversione della parte intera e della parte frazionaria

Analogamente per le conversioni da decimale in altri sistemi numerici

17

Esempio 1: convertire 11910 nel suo equivalente in base 8in questo caso: c=?; a=119; b=10; d=8

Esempio 2: convertire 93310 nel suo equivalente in base 16in questo caso: c=?; a=933; b=10; d=16

119:8=14 resto 7 ( bit meno significativo: peso 80 ) 14:8=1 resto 6 ( peso 81 ) 1:8=0 resto 1 ( bit più significativo: peso 82 )

per cui: 11910=1678 ( =1 82+ 6 81+ 7 80 )

933:16=58 resto 5 ( bit meno significativo: peso 160 ) 58:16=3 resto 10A ( peso 161 ) 3:16=0 resto 3 ( bit più significativo: peso 162 )

per cui: 93310=3A516 ( =3 162+ A 161+ 3 160 )

18

Esempio 3: convertire 207.87410 nel suo equivalente in base 2

Parte intera207:2=103 resto 1 ( peso 20 )103:2=51 resto 1 ( peso 21 ) 51:2=25 resto 1 ( peso 22) 25:2=12 resto 1 ( peso 23) 12:2= 6 resto 0 ( peso 24) 6:2= 3 resto 0 ( peso 25) 3:2= 1 resto 1 ( peso 26) 1:2= 0 resto 1 ( peso 27)

per cui: 207.87410=11001111.110111112

... troncamento alla ottava cifra dopo la virgola

Parte frazionaria0.874x2=0.748 parte intera 1 ( peso 2-1 )0.748x2=0.496 parte intera 1 ( peso 2-2)0.496x2=0.992 parte intera 0 ( peso 2-3)0.984x2=0.968 parte intera 1 ( peso 2-4)0.968x2=0.936 parte intera 1 ( peso 2-5)0.936x2=0.872 parte intera 1 ( peso 2-6)0.872x2=0.744 parte intera 1 ( peso 2-7)0.744x2=0.488 parte intera 1 ( peso 2-8)

19

Esempio 4: convertire 40.310 nel suo equivalente in base 16

Parte intera40:16=2 resto 8 ( bit meno significativo: peso 160 ) 2:16=0 resto 2 ( bit più significativo: peso 161 )

Parte frazionaria0.3x16=0.8 parte intera 4 ( bit più significativo: peso 16-1)0.8x16=0.8 parte intera 12 = C ( peso 16-2)0.8x16=0.8 parte intera 12 = C ( peso 16-3) periodico ...... troncamento alla terza cifra dopo la virgola

per cui: 40.310=28.4CC16

20

Esempio 5: convertire il numero binario 10110110010001102 nel suo equivalente in base 8.

Raggruppare le cifre in gruppi di tre partendo da destra, completandol’ultimo terzetto a sinistra con degli zeri se necessario:

001 011 011 001 000 1102

Convertire i terzetti binari nel loro equivalente in base 8:

001 011 011 001 000 1102

1 3 3 1 0 6

10110110010001102 = 1331068

{ { { { { {

21

Esempio 6: convertire il numero binario 10110110010001102 nel suo equivalente in base 16.

Raggruppare le cifre in gruppi di quattro partendo da destra, completando l’ultimo quartetto a sinistra con degli zeri se necessario:

1011 0110 0100 01102

Convertire i quartetti binari nel loro equivalente in base 16:

1011 0110 0100 01102

B 6 4 6

10110110010001102 = B64616

{ { { {

22Appendice A.2. Sistema binariosistema di numerazione a base 2Cifre Ci0, 1. Binary digit=Bit=informazione elementare

Numero2:

1

02 2

nk

k

kiCN

I numeri binari sono convenzionalmente suddivisi in gruppi di 4 bits

Con 4 bits (nibble) si conta da 0 ad 1111 (da 0 a 15 in decimale)

Con 8 bits (byte) si conta da 0 ad 11111111 (da 0 a 255 in decimale)

Con 16 bits (word) si conta da 0 a 1111111111111111 (da 0 a 65535 in decimale)

sequenza ordinata di bits

E’ possibile sviluppare una matematica binaria e definire regole di calcolo in binario in analogia al sistema decimale (Algebra di Boole)

12 nN max. numero decimale rappresentabile con n bit

23Sistema binario: operazioni aritmetiche elementari

a) somma di due numeri binari:

1 0 1+ 1 1 1= 1 1 0 0

Si applicano regole formalmente analoghe al sistema decimale

Esempio: 1012+1112= ?0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0 con riporto 1

b) sottrazione di due numeri binari:

1 0 0 1 – 0 1 1 1= 0 0 1 0

Esempio: 10012 – 1112=?

0 – 0 = 01 – 0 = 11 – 1 = 00 – 1 = 1 con resto 1

1 1 riporto

1 1 prestito

24

c) moltiplicazione di due numeri binari:

1 0 1 1 0 = 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0

Esempio:1012 102=?0 0 = 01 0 = 00 1 = 01 1 = 1

d) La divisione di due numeri binari non e’ immediata e si basa sul seguente procedimento:• si pone il divisore sotto il dividendo in modo che le cifre piu’ significative coincidano;• si confronta il divisore con la porzione del dividendo equivalente; • se questa porzione e’ maggiore o uguale al divindendo, si scrive un 1 nel quoziente e il divisore e’ sottratto alla porzione del dividendo, altrimenti si pone uno zero nel quoziente; altrimenti si scrive uno 0 nel quoziente.

25

Dividendo 1 0 0 1 0 1 1 Quoziente

Esempio: 10012 : 112=?

ADivisore 1 1

• si sposta il divisore di una posizione verso destra e si ripete la procedura finche’ la cifra meno significativa del divisore e’ allineata con la cifra meno significativa del dividendo.

Divisore 1 1Dividend o 1 0 0 1

B

Sottrazione 0 1

Dividend o 0 1 1Divisore 1 1C

Sottrazione 0 Resto

26

Esempi:

1012 102 = 10102 scorrimento a sinistra di una posizione

11102 1002 = 1110002 scorrimento a sinistra di due posizioni

1010102 : 102 = 101012 scorrimento a destra di una posizione

10112 10002 = 1.0112 scorrimento a destra di tre posizioni

La moltiplicazione (divisione) è riconducibile ad una semplice operazione di scorrimento o shift a sinistra (destra) di m posizioni del moltiplicando (dividendo) nel caso in cui il valore del moltiplicatore (divisore) coincida con una potenza intera m della base (2).

27

Rappresentazione numeri negativia) bit di segnorappresentazione modulo preceduta dal bit di segno: 0 per +

1 per –Esempio: +4510 = 0 101101

– 4510 = 1 101101bit

di segnobit di

modulo

Con questa convenzione una parola di 8 bit (di cui uno di segno e sette di modulo) può rappresentare numeri decimali interi nell’intervallo:

1271212712 77 N

28

b) complemento ad 1 di un numero binario

Cambia ogni cifra del numero binario con il suo opposto: 0 per 1 1 per 0

Esempio: N2 = 101101 (= 4510 ); complemento ad 1: 010010 N2 = 100100 (= 3610 ); complemento ad 1: 011011

Il complemento ad 1 di un numero binario N2 ad n cifre si ottiene

sottraendo il numero stesso da (2n–1). In formule:

212 12 NN n

Esempio: N2=101

complemento ad 1: (23–1) – 101= (1000 –1) – 101=111 – 101=010

Esempio: N2 =10110

complemento ad 1: (25–1) – 10110 = 11111 – 10110=01001

29

c) complemento a 2 di un numero binario

Il complemento a 2 di un numero binario N ad n cifre si ottienesottraendo il numero stesso da 2n. In formula:

NN n 22

Si copia ogni cifra del numero binario partendo dall’ultimo bit (bit meno significativo) fino al primo 1 incluso, quindi si procede sostituendo i bit successivi con il loro opposto: 0 per 1 e 1 per 0

Esempio: N2= 101101(= 4510 ); complemento a 2: 010011 N2= 100100(= 3610 ); complemento a 2: 011100

Esempio: N2=101

complemento a 2: 23– 101= 1000 –101= 011

Esempio: N2=10110

complemento ad 1: 25 – 10110 = 100000 - 10110 = 01010

30

Esempio: +1110 = 0 1011 0 1011 – 610 = 1 0110 1 1010

+1010 = 0 1010 0 1010 – 1410 = 1 1110 1 0010

In questa convenzione la somma algebrica tra due numeri binari si effettua sommando i due numeri, incluso il bit di segno

Convenzione:il numero binario negativo viene rappresentato dal suo compl. a 2

Esempio: +1110 = 0 1011 + 1010 = 0 1010 – 610 = 1 1010 – 1410 = 1 0010

+510 = 0 0101 –410 = 1 1100

complemento a 2 di –410

31

Esempio: + 310 = 0 0011 0 0011 – 610 = 1 0110 1 1010

1 1101 complemento a 2 di –310

Esempio: + 710 = 0 0111 0 0111 – 810 = 1 1000 1 1000

1 1111 complemento a 2 di –110

L’utilizzo della rappresentazione convenzionale in complemento a 2 del numero binario negativo si rivela in generale vantaggiosa, poiché semplifica la realizzazione dei circuiti elettronici di elaborazione nel sistema binario (basta realizzare circuiti sommatori).

32

Esempio: – 310 = 1 0011 1 1101 – 510 = 1 0101 1 1011

1 1000 complemento a 2 di –810

Esempio: + 2.7510 = 0 10.11 0 10.11 – 0.5010 = 1 00.10 1 11.10

0 10.01 (=2.2510)

Esempio: + 1.12510 = 0 01.001 0 01.001 – 3.37510 = 1 11.011 1 00.101

1 01.110 complemento a 2 di 1 10.0102 = –2.2510

33Appendice A.3. Codici

E’ denominato Codice Binario ogni regola che stabilisce una funzione dall’insieme formato dalle configurazioni binarie di N bit ad un insieme costituito da simboli, oggetti, o da eventi mutuamente esclusivi. Proprieta’ dei codici binari:• non si devono utilizzare necessariamente tutte le possibili configurazioni di N bit; • la stessa informazione può essere associata a più configurazioni, ma ogni configurazione utilizzata deve avere significato univoco;• per stabilire un codice è necessario che il numero delle configurazioni rese disponibili dagli N bit di codifica sia maggiore o uguale al numero M degli elementi dell’insieme che si vuole rappresentare, ovvero:

NMIN = il più piccolo intero superiore a log2 M MN 2

34

A) codice BCD (Binary Coded Decimal), detto anche 8-4-2-1, dal valore dei pesi: NBCD=b3b2b1b0= 8b3+ 4b2 + 2b1 + 1b0

Le singole cifre decimali vengono rappresentate da 4 cifre binarie

Esempio: 92510 9 2 5

1001 0010 0101

decimale

Codice BCD

B) codice GrayLe singole cifre decimali vengono rappresentate da cifre binarie che variano sempre di un solo bit nel procedere con il conteggio:

Decimale : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Binario: 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001Gray: 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101

Rappresentazioni convenzionali di numeri decimali con numeri binari

Altri codici vengono utilizzati per specifiche applicazioni.

35

Esempio: Calcolatrice tascabile

Ingresso operandi Esecuzione operazione Uscita risultato

Codice 1 su 10 Codice BCD Codice a 7 segmenti

Cifra Codice “1 su 10”9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Codice BCDx y z w

Codice a 7 segmentia b c d e f g

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 13 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 15 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 16 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 17 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 08 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 19 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1

a

g

e

fb

c

d

36Esempio: Position encoders ottici (trasduttori che forniscono in forma digitale ed in parallelo la posizione angolare di un albero rotante).

N corone circolari, 2N tacche opache e trasparenti, disposte secondo il codice Gray (variazione di un solo bit nella codifica di settori contigui)

Valori angolari ConfigurazioneGray a 3 bit

0° - 45° 00045° - 90° 001

90° - 135° 011135° - 180° 010180° - 225° 110225° - 270° 111270° - 315° 101315° - 360° 100

Esempio (3 bit)