1 - Geometria Euclidiana

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A Geometria tem função essencial na formação dos indivíduos, pois ela possibilita uma

interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente de ideias e uma visão mais

equilibrada da Matemática. Com o avanço tecnológico, as formas geométricas, bem como suas

propriedades passam a influenciar não apenas a ciência, mas também em muitos aspectos do cotidiano

(NOGUEIRA, 2005). É uma das áreas de ensino de matemática que proporciona ao aluno desenvolver

um papel ativo, pois permite experimentar e fazer explorações e investigações que vão muito além de

memorizações, há um imenso campo para a escolha de tarefas de natureza exploratória e investigativa,

que podem ser desenvolvidas na sala de aula, sem necessidade de um grande número de pré-requisitos

e evitando, uma visão da Matemática centrada na execução de algoritmos.

A Geometria como ramo matemático surgiu enquanto atividade empírica dos povos antigos para

atender as suas necessidades da época, sendo suas primeiras sistematizações realizadas pelos gregos

que muito contribuíram para esse ramo do saber. A palavra Geometria, de origem grega, significa

medida da Terra (geo = Terra, metria = medida).

Durante a antiguidade clássica, os gregos organizaram e apresentaram, pela primeira vez, a

geometria construída a partir de algumas primeiras sentenças consideradas evidentes. Para os gregos,

axiomas eram afirmações tais que todos os seres pensantes deveriam admitir como verdadeiras, como,

por exemplo, a soma das partes coincide com o todo; enquanto postulados eram verdades particulares

da geometria como: dados dois pontos existe uma única reta que os contém. Euclides procurou

escolher como postulados afirmações que, por sua simplicidade, seriam aceitas por qualquer pessoa de

bom senso e que eram, em certo sentido, evidentes por si mesmas (a Matemática moderna não faz

distinção entre as palavras postulado e axioma).

Mas, é com o matemático grego Euclides que a Geometria recebeu seu grande impulso. Euclides,

que viveu por volta de 300 a.C., está entre os primeiros a apresentar, de maneira sistemática, a

Matemática como ciência dedutiva em sua obra denominada “Os Elementos”, formada por 13 livros.

Por meio de um sistema formado por noções primitivas, definições, axiomas, postulados e teoremas,

Euclides construiu um sistema axiomático.

Euclides buscou o ideal de uma organização axiomática para a geometria, ou seja, que toda

afirmação deveria ser deduzida logicamente de outras afirmações mais simples, e assim

sucessivamente. No começo desta cadeia deveriam existir algumas afirmações não demonstradas, que

Euclides chamou de postulados (FRANCO & GERÔNIMO, 2004. p.1),

Um sistema axiomático, como o elaborado por Euclides, é uma sequência de sentenças ou

proposições, precedidas por definições. As sentenças básicas são os postulados e axiomas. Partindo

delas, são demonstrados os teoremas. Tanto os postulados como os axiomas e os teoremas são as teses

de um sistema axiomático.

Hoje conhecida como geometria euclidiana, o método axiomático de Euclides teve enorme

sucesso por vinte e dois séculos. Esta forma sequencial e dedutiva de tratar a geometria passou a ser

almejada para todas as “outras matemáticas” e mesmo por outras áreas do conhecimento. A geometria

euclidiana estabeleceu um novo paradigma para a Matemática, o qual propiciou motivações para

profundo e intenso desenvolvimento matemático.

Depois da contribuição grega, passamos a várias outras, que impulsionaram mais o

desenvolvimento da Geometria enquanto ramo matemático. Descartes gerou a Geometria Analítica,

Poncelet e Chasles introduziram novas concepções, que contribuíram para o surgimento da Geometria

Projetiva; Cayley introduziu elementos imaginativos às descobertas de Poncelet e Chasles que foram

posteriormente desenvolvidos e unificados por Felix Klein. (Piaget & Garcia, 1987).

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Terminologia

1. Axiomas - Postulados

Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma senteça ou proposição que não é provada

ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção

ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para

dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria).

Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente

derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a

construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por

princípios de dedução e nem são demonstráveis, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto

é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados

teoremas). Em muitos contextos, "axioma", "postulado" e "hipótese" são usados como sinônimos.

Nas teorias das ciências naturais, um axioma é considerado uma verdade evidente que e é

aceita como tal mas que ao rigor da palavra não pode ser demonstrado ou provado uma verdade

absoluta dentro do domínio de sua aplicação; é geralmente derivado de intuição ou de conhecimento

empírico, os quais apoiam-se em todos os fatos científicos até então conhecidos e relevantes à área em

estudo.

Na engenharia, axiomas são aceitos sem provas formais e suas escolhas são negociadas a partir

do ponto de vista utilitário e econômico. Podem também ser considerados como hipóteses na

modelagem e mudados depois da validação do modelo.

2. Teorema.

Em matemática, um teorema é uma afirmação que pode ser provada como verdadeira através de

outras afirmações já demonstradas, como outros teoremas, juntamente com afirmações anteriormente

aceitas, como axiomas. O termo teorema foi introduzido por Euclides, em Elementos, para significar

"afirmação que pode ser provada". O processo de mostrar que um teorema está correto é denominado

“prova”.

Usualmente deixa-se o termo "teorema" apenas para as afirmações que podem ser provadas de

grande importância.

3. Outros tipos de afirmações:

Proposição: é uma sentença não associada a algum outro teorema, de simples prova e de

importância matemática menor.

Lema: é um "pré-teorema", um teorema que serve para ajudar na prova de outro teorema maior. A

distinção entre teoremas e lemas é um tanto quanto arbitrária, uma vez que grandes resultados são

usados para provar outros.

Corolário: é uma conseqüência direta de outro teorema ou de uma definição, muitas vezes tendo

suas demonstrações omitidas, por serem simples.

Alguns outros termos também são usados, por mais que raros e com definição menos rigorosa,

basicamente sendo usados quando não se quer usar a a palavra "teorema":

Regra ou Princípio, norma estabelecida para se impor um padrão, ou seja, disciplina, determinação

a ser seguida.

Lei, que também pode se referir a axiomas, regras de dedução e a distribuições de probabilidade.

Algoritmo (como em Algoritmo da Divisão), muito raro e diferente do conceito com o mesmo

nome que é um dos estudos centrais da Ciência da Computação.

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Paradoxo, usado quando a afirmação vai aparentemente de encontro com alguma outra verdade ou

com alguma noção intuitiva. Entretanto, tal termo também pode ser usado para afirmações falsas

que aparentem ser verdadeiras em um primeiro momento.

Noções básicas de Geometria Para se estudar Geometria é necessário partir de três noções importantes, adotadas sem definição

e por essa razão, chamadas de primitivas geométricas ou entes geométricos: o ponto, a reta e o plano.

O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é

adimensional (que não tem dimensão, tamanho). Em sucessão contínua, os pontos constroem linhas.

As linhas têm uma única dimensão; o comprimento. A reta, na disciplina de Geometria, é

compreendida como um conjunto infinito de pontos. Um plano é uma entidade geométrica formada

por infinitas retas e infinitos pontos. O plano tem duas dimensões, ou seja tem altura e largura ou

altura e comprimento ou largura e comprimento, por isso, é chamado de bidimensional.

Ponto: “A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a idéia do que é um ponto. Toda

figura geométrica é considerada um conjunto de pontos.” (Imenes & Lellis. Microdicionário de

Matemática. São Paulo: Scipione, 1998)

. ponto P

Costuma-se representar pontos por letras maiúsculas do nosso alfabeto.

Reta: uma linha traçada com régua é uma reta. Imagine agora uma linha reta sem começo, sem fim,

sem espessura. É assim que se concebe uma reta em matemática. (Imenes & Lellis. Microdicionário

de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998)

reta r

As retas são representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto.

Plano: A superfície de uma mesa é plana. Imagine que tal superfície, conservando-se plana, se

estenda infinitamente em todas as direções. A nova superfície assim obtida é um plano. (Imenes &

Lellis. Microdicionário de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998)

plano

Os planos são representados por letras gregas minúsculas. Por exemplo: (alfa), (beta) e (gama).

Destaca-se ainda o conceito de Espaço como o conjunto de todos os pontos.

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Postulados e Teoremas

1. Postulados da existência

a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.

Dado um ponto A e uma reta r A r ou A r

b) Num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.

Dado um ponto A e um plano A ou A

2. Postulados da determinação

a) Da reta

Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles.

b) Do plano

Três pontos não colineares determinam um único plano.

3. Postulado da inclusão

Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta esta contida nesse mesmo plano.

4. Postulados de ordem

Se o ponto P está entre A e B, então P, A e B estão em uma mesma reta.

Se o ponto P está entre A e B, então estes pontos são distintos dois a dois.

Se o ponto P está entre A e B, então P está entre B e A.

Se A é distinto de P, então existe B tal que P está entre A e B.

Definições

1. Segmento de reta

Dados dois pontos distintos A e B, chamamos de segmento de reta AB (indicamos AB ) ao conjunto de

pontos cujos elementos são A, B e os pontos que estão entre A e B.

Um segmento de reta é uma parte da reta compreendida entre dois de seus pontos. É representado

pelos dois pontos que o limita chamados de extremos. Costuma-se dizer que um segmento de reta tem

começo e fim.

2. Semi-reta

Escolhendo-se um ponto sobre uma reta, formamos duas semi-retas.

Costuma-se dizer que as semi-retas têm começo (origem), mas não tem fim, já que é uma parte da reta.

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Dados dois pontos distintos A e B, chamamos de semi-reta de origem A que passa por B, ou

simplesmente semi-reta AB (indicamos AB ) ao conjunto de pontos cujos elementos são os

segmentos AB e os pontos P tais que esteja entre A e P.

Analisando a figura

observa-se que:

como dois pontos sempre determinam uma única reta, os pontos A e B determinam a reta t

o ponto A determina duas semi-retas: semi-reta At’ e semi-reta At”.

o ponto B também determina duas semi-retas: semi-reta Bt’ e semi-reta Bt’’.

a semi-reta At’’ tem origem no ponto A e contém o ponto B.

a semi-reta Bt’ tem origem no ponto B e contém o ponto A.

o segmento de reta AB é a intersecção das duas semi-retas, At’’ e Bt’.

os pontos A e B são as extremidades do segmento AB.

os demais pontos do segmento AB são seus pontos internos.

a reta t é a reta suporte do segmento AB.

5. Postulados da separação

a) Separação (ou divisão) da reta

Um ponto P de uma reta t separa esta reta em dois subconjuntos não vazios, aos quais P pertence.

subconjunto de t subconjunto de t

Cada um desses subconjuntos é chamado semi-reta e o ponto P é chamado origem de cada uma

delas.

b) Separação do plano

Uma reta r de um plano separa este plano em dois subconjuntos não vazios, nos quais r está

contida.

Cada um desses subconjuntos é chamado semiplano e a reta r é chamada origem de cada um deles.

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Considerações:

1. Sendo A e B dois pontos distintos, ambos não pertencentes à reta r, se A e B estão em apenas

um dos subconjuntos, então o segmento AB não tem ponto de r.

2. Sendo A e B dois pontos distintos, pertencentes à reta r, se A e B estão cada um em um desses

subconjuntos, então o segmento AB tem ponto de r.

6. Teoremas

a) Por um ponto passam infinitas retas.

b) Se duas retas distintas têm um ponto comum, então elas têm apenas esse ponto comum.

c) Se uma reta que não está contida em um plano tem ponto em comum com este plano, então ela

e o plano têm apenas este ponto em comum.

d) Num plano qualquer há infinitas retas.

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7. Postulado da intersecção de dois planos

Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então eles têm outro ponto, distinto daquele,

também comum.

8. Teoremas

a) Intersecção de dois planos

Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta , e apenas os pontos desta,

em comum.

b) Determinação de plano

Se um ponto não pertence a uma reta, então existe um único plano que passa por esta reta e este

ponto.

Outro enunciado: Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano.

Note que pontos de uma mesma reta (pontos colineares) estão sempre num mesmo plano (são

coplanares).

c) Por uma reta passam infinitos plano.

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EXERCÍCIOS

Os exercícios abaixo foram copilados do livro Exercícios de Matemática, v. 6: Geometria Plana

(Álvaro Z Aranha e Manoel B. Rodrigues)

1. Observe a figura dada e classifique com V (verdadeira) ou F (falsa) cada uma das sentenças a

seguir:

2. Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) s

3. Complete com , , ou :

4. Complete com , , ou :

5. Classifique com V (verdadeira) ou F (falsa) as sentenças:

a) Numa reta há infinitos pontos g) Por um ponto passam infinitas retas

b) Num plano há infinitos pontos h) Por uma reta passam infinitos planos

c) Num plano há infinitas retas i) Por dois pontos passa uma única reta

d) Num segmento há infinitos pontos j) Por três pontos sempre passa uma reta

e) Numa semi-reta há infinitos pontos k) Por três pontos sempre passa um plano

f) Numa reta há infinitos segmentos

6. Quantas semi-retas estão contidas em r, com origem em A ou B, sendo r = AB

7. Considere os pontos distintos A, B, C e D de uma reta r

a) Quantas semi-retas com origem em um desses pontos estão contidas em r?

b) Quantos segmentos cujas extremidades são um desses pontos, esses quatro pontos determinam?

c) Quantas retas esses pontos determinam?

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8. Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso)

9. Complete

a) c d = {....} b) c d = {....}

10. Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso)

a) = i b) r s = {P}

11. Complete

12. Considere 3 pontos A, B e C não colineares:

a) Quantas retas esses pontos determinam? Quais são elas?

b) Quantos segmentos esses pontos determinam? Quais são eles?

c) Quantas semi-retas, contidas nas retas por eles determinadas, com origem em um deles, esses

pontos determinam?

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13. Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso)

14. Complete

GABARITO

1. a) V b) V c) F d) F e) V f) F g) V h) F i) V

2. a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) V h) V i) F j) F k) V l) F

3. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

4. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

5. a) V b) V c) V d) V e) V f) V g) V h) V i) V j) F k) V

6. 4

7. a) 8 b) 6 c) 1

8. a) V b) F c) V d) V e) V f) F g) V h) V i) F j) F

9. a) P b) {A} c) {D} d) e) f) g) a h) b i) {C} j) {D}

10. a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F h) V i) V j) V k) V l) V

11. a) {C} b) {A} c) d) {C} e) {A} f) r g) {P} h) {P} i) {P} j) a k) a l) {P}

m) {P} n) c o) b p) a q) {P}

12. a) 3, AB , AC e BC b) 3, AB , AC e BC c) 12

13. a) V b) V c) V d) V e) V f) V

14. a) DP b) DP c) DQ d) PC e) f) {C} g) AC V h) {P} i) {P} j)

Segmento de Reta

Segmentos colineares

Dois ou mais segmentos são colineares se, e somente se, estão contidos em uma mesma reta.

AB e BC são colineares

AB e AC são colineares

CD e EF são colineares

AB e DE não são colineares.

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Segmentos consecutivos

Dois segmentos são consecutivos se, e somente se, eles têm uma extremidade em comum.

AB e BC são consecutivos

AC e BC são consecutivos

MN e NP são consecutivos

BC e NP não são consecutivos.

Segmentos adjacentes

Dois segmentos são adjacentes se, e somente se, eles têm uma extremidade em comum e apenas este

ponto em comum.

AB e BC são adjacentes

BC e CD são adjacentes

CD e DE são adjacentes e colineares

CD e ED são colineares e são consecutivos mas não adjacentes.

Retas concorrentes, retas paralelas e retas reversas

Retas concorrentes

Retas paralelas

Retas reversas

Referências Bibliográficas:

Aranha, Álvaro Z; Rodrigues, Manoel B. Exercícios de Matemática, v. 6: geometria plana. São Paulo:

Policarpo, 1997.

Biembengut, M. S. et al. Ornamentos e Criatividade : uma alternativa para ensinar geometria plana.

Blumenau: Ed. da FURB, 1996.

Centúrion, Jakubo & Lellis. Matemática na medida certa. 5ª, 6ª e 7ª séries. São Paulo: Scipione, 2003.

Dolce, O. & Pompeo, N. Fundamentos de Matemática Elementar 9: geometria plana. São Paulo:

Atual, 2005.

Feitosa, Hércules de Araujo; Locci, Valter. O fazer matemático. Mimesis, Bauru, v. 22, n. 3, p. 63-81,

2001.

Imenes & Lellis, Geometria dos Mosaicos. Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Scipione, 2005.

Imenes & Lellis. Microdicionário de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998.

pt.wikipedia.org/wiki/