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1
Gabriel DavidFEUP - Rua dos Bragas, 4099 Porto Codex - PORTUGALTel. 351-2-2041842 - Fax: 351-2-2059280
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Programação em Lógica
Programação em Lógica
• Programas em Lógica
• Prolog
• Técnicas de programação
Prolog - 2
Lógica e computadores
Lógica linguagem precisa para a expressão dos objectivos, conhecimento e
assunções fundamento para a dedução de consequências a partir de premissas limitada apenas pela capacidade humana de raciocínio
Computadores também requerem uma formulação precisa de objectivos e
assunções dificuldades iniciais de construção desenho da linguagem de
instrução das máquinas dominada pelo hardware seguiram-se linguagens cada vez mais abstractas, mas
essencialmente baseadas na arquitectura de von Neumann
Prolog - 3
Paradigma
Programação em Lógica derivada de um modelo abstracto, natural para o raciocínio
humano, independente de máquinas concretas exprimir o conhecimento relevante e as assunções como
axiomas lógicos; formalizar o problema como uma expressão lógica a ser provada a partir dos axiomas
Exemplo - conhecimento (dois axiomas):1 humano(Sócrates)
2 x humano(X) mortal(X)
problemamortal(Sócrates)?
Sim! É uma consequência lógica dos axiomas eliminação do universal e modus ponens
Prolog - 4
Fundamento
1965 Robinson: Princípio da Resolução base matemática das provas desenvolvida no contexto dos
sistemas de demonstração de teoremas
Cláusula de Horn A se B1, B2, ..., Bn
Leitura declarativa A é verdadeiro se todos os Bi's forem verdadeiros
Conhecimento: conjunto de cláusulas de Horn Sistema de inferência
prova construtiva de um golo a partir dos axiomas só baseada no algoritmo da unificação e no princípio da
resolução
Prolog - 5
Origens
1970's Kowalski: leitura procedimental da cláusula de Horn: para resolver/executar A, resolver/executar B1 e B2 e ... Bn
A é visto como a cabeça de um procedimento e os Bi's o corpo
1970's Colmerauer (Marselha): implementação sistema demonstrador de teoremas chamado Prolog
(Programmation en Logique)
1978/79 Edinburgo primeiras implementações eficientes de Prolog;
estabelecimento de um estilo
1981 projecto japonês da Quinta Geração de Computadores construir máquinas para executar directamente Prolog
Prolog - 6
Programa em Lógica
Programa em Lógica - conjunto de axiomas ou regras (cláusulas de Horn) que definem relações entre objectos
Computação - dedução de consequências do programa
Significado do programa - conjunto de consequências definido pelo programa
Arte da Programação em Lógica - construir programas concisos e elegantes, que tenham o significado pretendido
Prolog - 7
A interpretação é convencional, mas essencial para a compreensão da formulação do problema.
A interpretação é convencional, mas essencial para a compreensão da formulação do problema.
Factos
relação ou predicado gosta objectos ou indivíduos joao, maria facto gosta( joao, maria ). interpretação O João gosta da Maria.
Notas: nada se diz sobre o recíproco nomes de predicados e de objectos começam com minúscula
(átomos) predicados primeiro, objectos em lista ordenada ponto final
Prolog - 8
soma( 0, 0, 0 ).
soma( 0, 1, 1 ).
soma( 0, 2, 2 );
soma( 1, 0 ,1 ).
soma( 1, 1, 2 ).
Família
Soma
Um conjunto de factos é um programa descreve uma situação.
Um conjunto de factos é um programa descreve uma situação.
Programas simples
pai( terach, abraao ). macho( terach ).
pai( terach, nachor ). macho( abraao ).
pai( terach, haran ). macho( nachor ).
pai( abraao, isaac ). macho( haran ).
pai( haran, lot ). macho( isaac ).
pai( haran, milcah ). macho( lot ).
pai( isaac, jacob ). macho( jacob ).
pai( haran, yiscah ). femea( sara ).
femea( milcah ).
mae( sara, isaac ). femea( yiscah ).
Prolog - 9
Um facto G. afirma que o golo G é verdadeiro.
Uma pergunta G? interroga se o golo é verdadeiro.
Perguntas
pergunta ou golo (goal) sintacticamente semelhante a um facto
gosta( joao, maria )? ou
?- gosta( joao, maria )
sistema responde 'yes' se existir no programa o facto gosta( joao, maria ).
Prolog - 10
Um golo é verdadeiro relativamente a um programa, se for uma sua consequência lógica.
Uma pergunta é uma consequência lógica de um facto idêntico.
Operacionalmente: procurar um facto no programa que seja idêntico à pergunta.
Regra da identidade: de G deduzir GRegra da identidade: de G deduzir G
Regra de dedução 1: identidade
pai( abraao, isaac )pai( abraao, isaac ).
pai( haran, lot ).
…
femea( sara ).
femea( milcah ).
femea( yiscah ).
femea(abraao)
americano( clinton )
programa conclusão
Prolog - 11
Respostas negativas
Resposta 'no' - significa que o golo não é consequência lógica do programa, mas nada diz sobre a sua veracidade.
possível interpretação de 'no': • tanto quanto sei, não, i.e,
• não consegui provar o golo com os factos de que disponho.
Ex: (programa da Família)pai( abraao, isaac )?
yesfemea(abraao )?
noamericano( clinton )?
no
Prolog - 12
Realidade Programa
A se B.C se A.B.
computação
ConclusõesA, B, C
Programas para quê?
Prolog - 13
Interpretação
indivíduos — constantes e termos afirmações — factos e golos
relacionam indivíduos; são verdadeiras ou falsas
Objectivo: se a interpretação I dos factos representados no programa for correcta, então todas as conclusões computadas a partir do programa correspondem, nessa interpretação, a afirmações também verdadeiras mesmo que não directamente observáveis - daí o carácter
inteligente destas
Prolog - 14
Ex: de quem é que Abraão é pai? fazer perguntas com os vários indivíduos até obter uma
resposta 'yes'• pai( abraao, lot )? no• pai( abraao, milcah )? no• pai( abraao, isaac )? yes
ou perguntar• pai( abraao, X )?
significando:• existe algum indivíduo X que faça com que o golo seja uma
consequência lógica do programa? resultado:
• X = isaac
Variável - representa um indivíduo não especificado [não uma posição de memória].
Variável - representa um indivíduo não especificado [não uma posição de memória].
Uma variável resume muitas perguntas.
pergunta existencialvariáveis nas perguntas são implicitamente existenciais
Nota: começa com maiúscula.
Variável lógica
Prolog - 15
1) Constantes e variáveis são termos
2) Termos compostos são termos:functor + lista de argumentos
nome/aridade termos
nome( joao, costa )nome/2
lista( a, lista( b, nil ) ) lista/2
s(0) s/1
arv( arv(nil,3,nil), 5, R) arv/3
• termos base (ground)- sem variáveis
• termos não base (nonground)- com variáveis- estruturas incompletas
arv/3
arv/3 5 R
nil 3 nil
Termos• são a única estrutura de dados• interpretação de um termo é um indivíduo• um predicado é V ou F (não confundir com termo)
Termos
Prolog - 16
Substituição - conjunto finito de pares Xi=ti
Xi variável, ti termo,
Xi Xj para todo o i j e
Xi não ocorre em tj para todo i, j
Substituição - conjunto finito de pares Xi=ti
Xi variável, ti termo,
Xi Xj para todo o i j e
Xi não ocorre em tj para todo i, j
Substituição
Ex: = { X = isaac } e G= pai( abraao, X )
aplicação da substituição aos argumentos de G
G = pai( abraao, X ) = pai( abraao, isaac ). instância de A, a variável X está instanciada não existe a noção de atribuição
Prolog - 17
Exemplos de substituição
Ex: possui( joao, livro( lusiadas, autor( luis, camoes) ) ). livro( lusiadas, autor( luis, camoes) ) é um termo cuja
interpretação dá um indivíduo, um exemplar dos Lusíadas
possui( joao, X )? X= livro( lusiadas, autor( luis, camoes ) )
possui( Nome, livro( Obra, autor( _, camoes ) ) )? Quem possui alguma obra do Camões ? Nome= joao, Obra= lusiadas
o símbolo _ é uma variável anónima e portanto não aparece na resposta.
as respostas dadas pelo Prolog são substituições.
Prolog - 18
Generalização - uma pergunta existencial P é uma consequência lógica de uma sua instância, P, para qualquer substituição .
Generalização - uma pergunta existencial P é uma consequência lógica de uma sua instância, P, para qualquer substituição .
Regra de dedução 2: generalização
de pai( abraao, isaac ) concluir pai( abraao, X ), pois existe um X (X= isaac) que torna este verdadeiro
operacionalmente, para responder a uma pergunta existencial com variáveis, procurar um facto que seja uma instância dessa pergunta; a resposta é essa instância, representada pela substituição respectiva
pai( abraao, X )
pai( abraao, isaac ).programa
conclusão
X= isaac
Prolog - 19
Soluções múltiplas
Podem existir soluções múltiplas: quais as soluções de soma( A, B, 4 )? {A=0, B=4}, {A=1, B=3}, {A=2, B=2}, {A=3, B=1}, {A=4, B=0}
Quais as soluções de soma( A, A, 4 )? a substituição de A na pergunta é feita só de uma vez,
pelo que o significado é qual o número que somado consigo próprio dá 4?,
{A=2}
Prolog - 20
Instanciação - de um facto universalmente quantificado P, deduzir uma sua instância P, para qualquer substituição .
Instanciação - de um facto universalmente quantificado P, deduzir uma sua instância P, para qualquer substituição .
Regra de dedução 3: instanciação
Suponha-se que todos os elementos da Família gostam de maná. gosta( abraao, mana ). gosta( terach, mana ). •••
Em vez disto, pode-se usar um facto universal. gosta( X, mana ).
A variável resume muitos factos. As variáveis nos factos estão universalmente
quantificadas.
Prolog - 21
Exemplos de instanciação
Operacionalmente: pergunta sem variáveis — encontrar um facto de que a
pergunta seja instância Ex: incluir o facto soma( 0, X, X ) no programa significa que o
0 é o elemento neutro da adição.
gosta( abraao, mana )
gosta( X, mana).programa
conclusão
Prolog - 22
Combinação de regras
Operacionalmente: pergunta com variáveis — procurar uma instância comum à
pergunta e ao facto, o que envolve dois passos: instanciação (do facto para a instância) e generalização (da instância para a pergunta)
Ex: soma( 0, 3, Y ), a partir do facto soma( 0, X, X ) e da instância comum soma( 0, 3, 3), responde {Y=3} (substituições sem variáveis da pergunta, não aparecem na resposta)
soma( 0, 3, 3 )
soma( 0, 3, Y ).programa
instância comum
soma( 0, 3, Y )conclusão
Y= 3
Prolog - 23
Perguntas conjuntivas
pergunta conjuntiva é aquela que possui mais do que um golo
• pai( abraao, isaac ), mae( sara, isaac )? vírgula = conjunção resposta a perguntas sem variáveis é a conjunção das respostas
a cada golo
perguntas com variáveis partilhadas por vários golos
• pai( haran, X ), macho (X )?• Haran tem algum filho homem?
o alcance da variável é a pergunta conjuntiva também estas variáveis são existenciais
Prolog - 24
Variáveis partilhadas
operacionalmente, para resolver A1, A2, ..., An? encontrar uma substituição tal que A1 , A2 , ... An sejam instâncias sem variáveis de factos no programa. solução: {X=lot}
Uso: restrição — dentre os filhos de Haran escolher só os machos
• Ex: pai( terach, X), pai( X, Y )? - escolhe os filhos de Terach que por sua vez têm filhos, i.e.,
netos
Prolog - 25
Regra - define uma nova relação em termos das relações existentes.Regra - define uma nova relação em termos das relações existentes.
Regras
dá um nome a uma pergunta conjuntiva; transforma-a numa pergunta simples
• avo( X, Y ) pai( X, Z ), pai( Z, Y ), forma geral das cláusulas de Horn
• (cabeça) (corpo)– facto A – regra A B1, B2, ... Bn
– pergunta B leitura procedimental
a pergunta avo( terach, Y ) é traduzida por pai( terach, Z ), pai( Z, Y ) e reduzida a pai( haran, Y )
{Z=haran} para concluir { Z=haran, Y=lot}
Prolog - 26
Leitura declarativa
• avo( X, Y ) pai( X, Z ), pai( Z, Y ),
regra vista como um axioma lógico denota implicação lógica lê-se: para todo o X, Y e Z, X é avô de Y se X for o pai de Z e
Z o pai de Y as variáveis nas regras (caso particular: factos) são
quantificadas universalmente leitura alternativa: para todo o X e Y, X é avô de Y se existir
um Z tal que X seja o pai de Z e Z o pai de Y
Prolog - 27
Equivalências
• avo( X, Y ) pai( X, Z ), pai( Z, Y ),
justificação da segunda leitura equivalências: a b a ~b; X, p(X) ~x: ~p(X)
X Y Z avo( X, Y) pai( X, Z ), pai( Z, Y ) X Y Z avo( X, Y) ~[ pai( X, Z ), pai( Z, Y )] X Y avo( X, Y) Z ~[ pai( X, Z ), pai( Z, Y )] X Y avo( X, Y) ~Z: [ pai( X, Z ), pai( Z, Y )] X Y avo( X, Y) Z: [ pai( X, Z ), pai( Z, Y )] só as variáveis dos golos da pergunta interessam para a
expressão da substituição
variáveis nas perguntas (cláusulas só com corpo) são portanto existenciais
Prolog - 28
Regra de dedução 4: modus ponens
Lei do modus ponens universal trata das deduções via regras diz que da regra
• R= (A B1, B2, ..., Bn)
e dos factos• B'1. B'2. .... B'n.
se pode deduzir A' se A' B'1, B'2, ..., B'n for uma instância de R.
[identidade e instanciação são casos particulares]
Um programa em lógica é um conjunto finito de regras.
Prolog - 29
Consequência lógica
Um golo quantificado existencialmente G é uma consequência lógica de um programa P, se existir uma cláusula em P com uma instância sem variáveis
A B1, B2, ..., Bn, n0,
tal que B1, B2, ..., Bn sejam consequências lógicas de P e A uma instância de G. responder a perguntas é aplicar (redução) o modus ponens da
frente para trás o número de vezes necessário para ir do golo até aos factos
a) escolhendo uma instância do golo e
b) uma regra para aplicar, recursivamente.
Prolog - 30
Procedimento - colecção de regras com o mesmo predicado na cabeça.Procedimento - colecção de regras com o mesmo predicado na cabeça.
Procedimentos
para obter todos os netos — acrescentar definições em falta ao procedimento do predicado avo/2.
• avo( X, Y ) pai( X, Z ), pai( Z, Y ),
• avo( X, Y ) pai( X, Z ), mae( Z, Y ),
• avo( X, Y ) mae( X, Z ), pai( Z, Y ),
• avo( X, Y ) mae( X, Z ), mae( Z, Y ),
outra representação, mais compacta progenitor( X, Y ) pai( X, Y ),
progenitor( X, Y ) mae( X, Y ),
avo( X, Y ) progenitor( X, Z ), progenitor( Z, Y ), progenitor/2 tem duas alternativas — é uma forma de
representar disjunção
Prolog - 31
resolvente - pergunta conjuntiva com os golos ainda a processar
traço - evolução da computação, com a indicação de
a) golo seleccionado
b) regra escolhida para a redução
c) substituição associada
- resolvente vazia (= true)
Traço de uma execução
avo( X, jacob )
progenitor( X, Z ), progenitor( Z, jacob ) progenitor( X, Z ), pai( Z, jacob)
progenitor( X, isaac ) {Z= isaac }
mae( X, isaac ) {Z= isaac }
{Z= isaac, X= sara}
Prolog - 32
Outro traço de execução
avo( X, jacob ) progenitor( X, Z ), progenitor( Z, jacob ) pai( X, Z ), progenitor( Z, jacob )
progenitor( isaac, jacob ) { X=abraao, Z= isaac }
pai( isaac, jacob ) { X=abraao, Z= isaac }
{ X=abraao, Z= isaac}
Prolog - 33
livro( Titulo, autor( Proprio, camoes), data(1585, Mes, Dia)) )
livro( lusiadas, autor( luis, Apelido), Ano )
= {Titulo=lusiadas, Proprio=luis, Apelido=camoes,
Ano= data(1585, Mes, Dia)}
Unificação
um termo T é uma instância comum de T1 e T2 se existirem substituições 1 e 2 tais que T=T11 e T=T22
um termo S é mais geral do que um termo T, se T for uma instância de S e S não for uma instância de T
um termo S é uma variante de um termo T se se puderem converter um no outro por simples renomeação de variáveis
um unificador de dois termos é uma substituição que torna os dois termos iguais
Prolog - 34
Algoritmo de unificação
o algoritmo de unificação produz o unificador ou reporta falha baseia-se na comparação de functores e na tentativa de unificar
os respectivos argumentos, propagando cada substituição a todas as ocorrências de variáveis
o resultado é o unificador mais geral possível (a respectiva instância é a mais geral de todas as instâncias)
verificação de ocorrência - para unificar uma variável S com um termo T, T não pode conter S [não há unificador mais geral para X e s(X)]
Prolog - 35
Interpretador abstracto
Entrada programa P
golo G
Saída G, se existir, ou falha
Algoritmo inicializar a resolvente para ser o golo G enquanto a resolvente não estiver vazia fazer
• escolher um golo A da resolvente e uma cláusula (renomeada)
A' B1, B2, ..., Bn n0
em P tal que A e A' unifiquem com unificador (sair do ciclo se não existirem tais golo e cláusula)
• remover A da resolvente e adicionar-lhe B1, B2, ..., Bn
• aplicar à resolvente e a G se a resolvente estiver vazia devolver G, se não reportar falha
Prolog - 36
Bases de dados
conjunto de factos = base de dados (BD extensional)
regras = vistas (BD intencional) predicado só com factos = relação
pai( Pai, Filho ), mae( Mae, Filho ), macho( Pessoa ),
femea( Pessoa ) [esquemas] definição de vistas
progenitor( P, Filho ) pai (P, Filho ).
progenitor( P, Filho ) mae( P, Filho ).
irmao( X, Y ) progenitor( P, X ), progenitor( P, Y ), macho( X ), X \=
Y.
tio( Tio, Sob ) irmao( Tio, P ), progenitor( P, Sob ).
antepassado( A, X ) progenitor( A, X ).
antepassado( A, X ) progenitor( A, Y ), antepassado( Y, X ).
Prolog - 37
not G é verdadeiro relativamente a um programa P se G não for uma consequência lógica de P
PL vs BD relacionais
programação em lógica — extensão ao modelo relacional, fornece uma linguagem integrada de acesso aos dados, e de programação de aplicações
operações básicas reunião
r_uniao_s( X1, ..., Xn ) r( X1, ..., Xn )
r_uniao_s( X1, ..., Xn ) s( X1, ..., Xn ) diferença
• requer um predicado de negação
r_menos_s( X1, ..., Xn ) r( X1, ..., Xn ), not s( X1, ..., Xn )
Prolog - 38
Operações da álgebra relacional
produto cartesiano
r_vezes_s( X1, ..., Xm, Xm+1, ..., Xm+n )
r( X1, ..., Xm ), s( Xm+1, ..., Xm+n )
projecção
r13( X1, X3 ) r( X1, X2, X3 )
selecção
r1( X1, X2, X3 ) r( X1, X2, X3 ), X2 > X3
operações derivadas intersecção
r_inter_s( X1, ..., Xn ) r( X1, ..., Xn ), s( X1, ..., Xn ) junção natural
r_join_y( X1, X2, X3 ) r( X1, X2 ), s( X2, X3 )
Prolog - 39
Estilo de programação
dois estilos1) exprimir a informação à custa de relações entre indivíduos
atómicos
2) codificar informação em termos, indivíduos complexos e manipular estruturas
arte: encontrar o adequado nível de abstracção esconder os detalhes da representação — independência dos
dados evidenciar associações entre indivíduos, evitando redundâncias
— normalização
Prolog - 40
Representação de informação
Representar o facto de o João possuir um exemplar dos Lusíadas de Luís de Camões, editado em 1940.
Codificação em termos complexos, com poucos predicados possui( joao, livro( lusiadas, autor( luis, camoes), 1940 ) ).
Quem possui livros editados em 1940?
?- possui( X, livro( _, _, 1940 ) ).
Codificação baseada em predicados, com termos simplesescritor( 1, luis, camoes). livro( 427, lusiadas, 1940 ).
autor( 1, 427). pessoa(1002, joao ).
possui( 1002, 427 ). ?- possui( CodP, CodL), pessoa( CodP, X ), livro(CodL, _, 1940).
Prolog - 41
Tipos
não existe noção independente de tipo; existem predicados que definem implicitamente tipos
tipo — conjunto de termos definição de tipo — (muitas vezes) predicado unário tipo macho definido como o conjunto dos termos X tais que
macho(X) é verdade tipos recursivos simples — definidos por programas em lógica
unários recursivos• inteiros, listas, árvores binárias
inteiros: predicado de tipo% natural( X ) X é um número natural% sn(0) denota nnatural( 0 ).natural( s(X) ) natural( X ).
s(X) representa o sucessor de X
Prolog - 42
relação de ordem% X Y se X e Y são números naturais e X Y (notação infixa de ''( X, Y ) )
0 X natural( X ).
s(X) s(Y) X Y
traço de um golo:
s(s(0)) s(0)
s(0) 0 • este golo não tem redução porque não unifica com nenhuma
cabeça de cláusula — o traço falha ( para suceder teria que terminar em )
Aritmética
Prolog - 43
Adição
operação de adição como relação ternária
% soma( X, Y, Z ) se X, Y e Z são números naturais e Z é a soma de X e Y
soma( 0, X, X ) natural( X ).
soma( s(X), Y, s(Z) ) soma( X, Y, Z ).
definição de tipo recursivo permite forma compacta para a adição, em vez da explícita
Prolog - 44
Múltiplos usos
uso funcionalsoma( s(s(0)), s(0), X )
soma( s(0), s(0), Z1 ) { X = s( Z1) }
soma( 0, s(0), Z2 ) { Z1 = s(Z2), X = s(s(Z2)) }
{ Z2 = s(0), Z1 = s(s(0)), X = s(s(s(0))) }
note como se constrói um termo para devolver em X, à custa de o manter aberto com uma variável e da unificação que causa instanciação parcial
uso invertidosoma( s(0), Y, s(s(s(0)))
soma( 0, Y, s(s(0)) )
{ Y= s(s(0)) } note como se define o resultado e se pergunta as parcelas
Prolog - 45
Várias soluções
Traço com soluções múltiplassoma( X, Y, s(s(s(0))) )
{ X= 0, Y= s(s(s(0))) }
;
soma( X, Y, s(s(s(0))) )
soma( X1, Y, s(s(0)) ) { X= s(X1) }
{ X1= 0, Y= s(s(0)) }
etc.
;
{no}
pede-se uma nova solução com um sinal “;”
Prolog - 46
Significado de um programa P, M(P), é o conjunto dos golos completamente instanciados dedutíveis de P.
Significado de um programa P, M(P), é o conjunto dos golos completamente instanciados dedutíveis de P.
Significado
esquema da relação/predicado descreve o significado pretendido M, também definido em termos de golos na relação relativamente ao significado pretendido
• programa correcto M(P) M
• programa completo M M(P) objectivo: programas correctos e completos ou, pelo menos,
correctos
Prolog - 47
•(a, •(b, []) ) [a | [b | []] ] [a, b]
a
b []
••
cabeça cauda
formal par elementos
.(a,[]) [a|[]] [a]
.(a, .(b, .(c, []))) [a|[b|[c | []] [a, b, c]
.(a, X) [a|X] [a|X]
.(a, .(b, X)) [a | [b | X] ] [a,b| X]
.(a,[]) [a|[]] [a]
.(a, .(b, .(c, []))) [a|[b|[c | []] [a, b, c]
.(a, X) [a|X] [a|X]
.(a, .(b, X)) [a | [b | X] ] [a,b| X]
Listas
Lista — estrutura de dados binária em que o 1º argumento é um elemento e o 2º recursivamente o resto da lista; a base da recursão é a lista vazia []
Representações
b []
Prolog - 48
% lista( Xs ) Xs é uma lista
lista( [] ).
lista([X | Xs] ) lista( Xs ).
definição de tipo
lista( [1,2,3] ) lista( [2,3] )
R: { X= 1, Xs=[2,3] }
membro de uma lista
% member( X, Xs ) X é um elemento da lista Xs
member( X, [X|Xs] ) lista( Xs ).
member(X, [Z| Xs] ) member( X, Xs ).
omite-se
• nomes das variáveis são arbitrários e locais às regras
• mas convém ter uma disciplina
Manipulação de listas
member(b, [a,b,c]).
R: yes
member(X, [a,b,c] )
R: { X= a } ou {X=b} ou {X = c}
member(b, Xs)
R: { Xs= [b]} ou {Xs = [X, b|Z]}
Prolog - 49
Predicados sobre listas
Comprimento de uma lista% comp( Xs, N ) a lista Xs tem N elementos
comp( [], 0 ).
comp( [X| Xs], s(N) ) comp(Xs, N ).
Prefixo e sufixo de uma lista% prefixo(Ps, Xs ) Ps é uma sublista
consecutiva no início da lista Xs
prefixo( [], Xs ) .
prefixo( [X|Xs], [X| Ys] ) prefixo( Xs, Ys ).
sufixo( Xs, Xs ) .
sufixo( Xs, [Y| Ys] ) sufixo( Xs, Ys ).
Prolog - 50
% append( Xs, Ys, Zs ) se Zs for o resultado da concatenacao de Xs e Ys
append( [], Ys, Ys ).
append( [X|Xs], Ys, [X|Zs] ) append( Xs, Ys, Zs ).
% append( Xs, Ys, Zs ) se Zs for o resultado da concatenacao de Xs e Ys
append( [], Ys, Ys ).
append( [X|Xs], Ys, [X|Zs] ) append( Xs, Ys, Zs ).
append( [a,b], [c,d], Zs )
append( [b], [c,d], Zs1 ) { Zs= [a|Zs1] }
append( [], [c,d], Zs2 ) { Zs1= [b|Zs2] }
{ Zs2= [c,d] }
R: Zs = [a,b,c,d]
append( Xs, [c,d], [a,b,c,d] )
append( Xs1, [c,d], [b,c,d] ) { Xs= [a|Xs1] }
append( Xs2, [c,d], [c,d] ) { Xs1= [b|Xs2] }
{ Xs2= [ ] }
R: Xs = [a,b]
programa semelhante em estrutura ao da soma de inteiros, mas assimétrico no primeiro argumento:
Concatenação
partição de uma lista• append( Xs, Ys, [a,b,c,d] )
tem múltiplas soluções e aplicações variadas• member( X, Xs ) append( As, [X|Ys], Xs )
Prolog - 51
Aplicações da concatenação
Sublistas% sublista( Sub, Lista ) Sub é uma sublista de Lista
% prefixo de sufixo
sublista( Sub, Lista ) prefixo( Sub, Xs ), sufixo( Xs, Lista ).
% ou
sublista(Xs, AsXsBs ) append( As, XsBs, AsXsBs ), append( Xs, Bs, XsBs
).
Inverter uma lista% inverte( Lista, Inv ) Inv é o resultado de inverter Lista
% algoritmo ingénuo
inverte( [], [] ).
inverte( [X| Xs], Zs ) inverte( Xs, Ys ), append( Ys, [X], Zs ).
Prolog - 52
inverte( [b,c,d], [d,c,b] )
inverte( [c,d], [d,c] )
inverte( [d], [d] )
inverte( [], [] )
append([d], [c], [d,c] ) append([c], [b], [c,b] )
append([], [d], [d] )
append([d,c], [b], [d,c,b] )
append([], [b], [b] )append([], [c], [c] )
Dimensão da árvore de prova quadrática no número de elementos da lista a inverter.
Árvore de prova
Árvore de prova — os nós são os golos reduzidos durante a computação; a raiz é o golo da pergunta; há arcos de cada nó para todos os nós obtidos daquele por um passo de redução.
Objectivo: mais declarativa do que o traço, mostrar as razões da dedução.
Prolog - 53
• traçoinverte( [b,c,d],[] )
inverte( [c,d], [b] )
inverte( [d], [c,b] )
inverte( [], [d,c,b] )
Evitar a concatenação
Inverter sem concatenação (tentativa)
% inverte( Lista, Inv ) Inv é o resultado de inverter Lista
% algoritmo sem append
inverte( [X| Xs], Acc ) inverte( Xs, [X|Acc] ).
inverte( [], Acc ).
inverteu, mas ... e o resultado?
Prolog - 54
• traçoinverte( [b,c,d],Ys )
inverte( [b,c,d],[], Ys )
inverte( [c,d], [b], Ys )
inverte( [d], [c,b], Ys )
inverte( [], [d,c,b], Ys )
{ Ys= [d,c,b] }
Acumuladores
Inverter sem concatenação usando acumulador para extrair o resultado (por unificação no último passo)% inverte( Lista, Inv ) Inv é o resultado de inverter Lista
% algoritmo com acumulador (argumento suplementar)
inverte( Xs, Ys ) inverte( Xs, [], Ys ).
inverte( [X| Xs], Acc, Ys ) inverte( Xs, [X|Acc], Ys ).
inverte( [], Ys, Ys ).
este traço corresponde a uma árvore de tamanho linear no número de elementos da lista
Prolog - 55
Filtro
% apaga( Lista, X, SemXs ) a lista SemXs é Lista com todos os X removidos
apaga( [X| Xs], X, Ys ) apaga( Xs, X, Ys ).
apaga( [X| Xs], Z, [X|Ys] ) XZ, apaga( Xs, Z, Ys ).
apaga( [], X, [] ).
A condição XZ na segunda regra é essencial para obter resultados correctos
Prolog - 56
Ordenação
% quicksort( Xs, Ys ) a lista Ys é uma permutação ordenada de Xs
quicksort( [X| Xs], Ys )
particao( Xs, X, Pequenos, Grandes ),
quicksort( Pequenos, Ps),
quicksort( Grandes, Gs ),
append( Ps, [X| Gs], Ys ).
quicksort( [], [] ).
particao( [X| Xs ], Y, [X| Ls], Bs ) X Y, particao( Xs, Y, Ls, Bs ).
particao( [X| Xs ], Y, Ls, [X| Bs] ) X > Y, particao( Xs, Y, Ls, Bs ).
particao( [], Y, [], [] ).
Prolog - 57
Árvores
Árvore - estrutura duplamente recursiva% arvore(Arv ) Arv é uma árvore
arvore( void).
arvore( arv(Elem, Esq, Dir) ) arvore( Esq ), arvore( Dir ).
% membro_arv( E, A ) E é um elemento da árvore binária A
membro_arv( X, arv(X,E,D) ).
membro_arv( X, arv(Z,E,D) ) membro_arv(X, E ).
membro_arv( X, arv(Z,E,D) ) membro_arv(X, D ).
% isomorfa(Arv1, Arv2 ) Arv1 e Arv2 são isomorfas
isomorfa( void, void ).
isomorfa( arv(X,Esq1,Dir1), arv(X,Esq2,Dir2) ) isomorfa( Esq1, Esq2), isomorfa(Dir1, Dir2 ).
isomorfa( arv(X,Esq1,Dir1), arv(X,Esq2,Dir2) ) isomorfa( Esq1, Dir2), isomorfa(Dir1, Esq2 ).
% pre_ordem( Arv, Pre ) Pre é uma travessia em preordem da árvore Arv
pre_ordem( arv(X,E,D), Pre ) pre_ordem( E, Es ), pre_ordem( D, Ds ), append( [X| Es], Ds, Pre ).
pre_ordem( void, [] ).
Prolog - 58
Árvore de pesquisa
Árvore de pesquisa de um golo G relativamente a um programa P raiz da árvore: G nós: resolventes, com um golo seleccionado arcos a sair de um nó: um por cada cláusula de P cuja cabeça
unifica com o golo seleccionado no nó cada caminho na árvore, desde a raiz: computação de G por P folhas: nós de sucesso, se corresponderem a resolventes vazias;
nós de falha se o golo selecionado não puder ser reduzido
Prolog - 59
avo( X, jacob )
progenitor( X, Z ), progenitor( Z, jacob )
progenitor( X, Z ), pai( Z, jacob) progenitor( X, Z ), mae( Z, jacob)
{X= abraao}
progenitor( X, isaac )
mae( X, isaac )pai( X, isaac )
{Z= isaac }
{X= sara}
sucessoX=abraao, Z=isaac
sucessoX=sara, Z=isaac
falha
Árvore de pesquisa do Jacob
Prolog - 60
avo( X, jacob )
progenitor( X, Z ), progenitor( Z, jacob )
pai( X, Z ), progenitor( Z, jacob) mae( X, Z ), progenitor( Z, jacob)
{X= abraao}
pai( X, Z ), mae( Z, jacob )
pai( X, Z ), pai( Z, jacob)
sucesso
X=abraao, Z=isaacsucesso
X=sara, Z=isaac
Outra árvore de pesquisa
pai( X, isaac )
{Z= isaac}
falha{X= sara}
pai( X, Z ), mae( Z, jacob )
mae( X, Z ), pai( Z, jacob)
mae( X, isaac )
{Z= isaac}
falha
Prolog - 61
Características destas árvores
árvore de pesquisa: independente do critério de selecção de cláusulas (tem todas as alternativas)
podem existir várias árvores de pesquisa diferentes para o mesmo golo e o mesmo programa, conforme o critério de selecção dos golos
conclusão principal: o número de nós de sucesso é o mesmo em todas elas
uma árvore de pesquisa resume todas as respostas; chama-se de pesquisa porque um interpretador concreto terá que ter uma estratégia para percorrer a árvore em busca de soluções (pesquisa em profundidade, em largura, em paralelo, ...)
Prolog - 62
append( Xs, [c,d], Ys)
append( Xs1, [c,d], Ys1)
{Xs= [], Ys= [c,d]}{Xs= [X|Xs1], Ys= [X|Ys1]}
append( Xs2, [c,d], Ys2)
{Xs1= [], Ys1= [c,d]}{Xs1= [X1|Xs2], Ys1= [X1|Ys2]}
append( Xs3, [c,d], Ys3)
{Xs2= [], Ys2= [c,d]}{Xs2= [X2|Xs3], Ys2= [X2|Ys3]}
°°°
°°°
Computações infinitas
ramos infinitos na árvore correspondem a computações sem fim uma pesquisa em profundidade pode perder-se num ramo infinito avaliar a complexidade de uma pergunta: (interpretadores que
pesquisem sequencialmente toda a árvore) melhor analisar o número de nós da árvore de pesquisa do que da árvore de prova (esta inclui não determinismo)
Prolog - 63
Dedução usando negação por falha: not G é uma consequência de P se G estiver no conjunto de falha finita de P
Dedução usando negação por falha: not G é uma consequência de P se G estiver no conjunto de falha finita de P
Negação por falha os programas em lógica descrevem o que é verdade; o falso é omitido certas relações são mais fáceis de especificar com a negação
disjunto( Xs, Ys ) not ( member( X, Xs ), member( X, Ys ) ) para obter conclusões negativas: assunção do mundo fechado
not G é uma consequência do programa P se G não for uma consequência de P (mesmo que G dê ramo infinito)
árvore de pesquisa finitamente falhada: não contém nós de sucesso nem ramos infinitos
conjunto de falha finita do programa P: conjunto dos golos que têm uma árvore finitamente falhada relativamente a P
árvore finitamente falhada: progenitor( isaac, X ) pai( isaac, X ) mae(isaac,
X) falha falha