1. Estabilidad de Sistemas Lineales y Sistemas...

1. Estabilidad de Sistemas Lineales y Sistemas

Lineales Perturbados

1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos

AMPLIACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

GRADO EN MATEMÁTICAS, Universidad de Sevilla


Conceptos estudiados en la asignatura Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias: De manera general, en esta asignatura se estudió el

llamado Problema de Cauchy o Problema de Valores Iniciales para un

Sistema Diferencial Ordinario (S.D.O.) de primer orden:

(PC)

y = f (t , y),y(t0) = y0,

donde Ω ⊆ RN+1 es un abierto conexo (N ≥ 1 ),

f : (t , y) ∈ Ω −→ f (t , y) ∈ RN ,

una función t.q. f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) y (t0, y0) ∈ Ω.

Liploc(y ,Ω): espacio de funciones localmente lipschitzianas

respecto de la variable y en Ω. Es decir, funciones que satisfacen:

∀(t0, y0) ∈ Ω ∃ε > 0 y L ≥ 0 t.q. B((t0, y0); ε) ⊂ Ω y

|f (t , y1)− f (t , y2)| ≤ L|y1 − y2|, ∀(t , y1), (t , y2) ∈ B((t0, y0); ε).


En la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se

estudió:

1 Algunos métodos elementales de integración de E.D.O.

2 Resultados de existencia y de unicidad de solución local del

Problema de Cauchy (PC). Como resultado importante, se

estudió el Teorema de Picard (existencia y unicidad de

solución local). En la prueba de este resultado se utilizó el

Teorema de Banach del Punto Fijo, otro de los resultados

importantes de la citada asignatura.

3 Resultados de existencia y unicidad de solución global o

solución maximal ϕ(·; t0, y0) de (PC) definida en el intervalo

I(t0, y0) (intervalo de definición de la solución maximal). En

particular, la unicidad de solución global de (PC) fue obtenida

como consecuencia del Lema de Gronwall.

4 Criterios de prolongabilidad de soluciones y caracterización de

soluciones maximales.

5 Ecuaciones y sistemas lineales.


Sean I ⊆ R, un intervalo no degenerado tal que t0 ∈ int (I), y

ϕ : I ⊆ R −→ RN una función. Recordemos que ϕ es solución de

(PC) en I (o solución local de (PC) en I) si ϕ ∈ C1(I;RN) y

Solución local en I(i) (t ,ϕ(t)) ∈ Ω, para cualquier t ∈ I,(ii) ϕ(t) = f (t ,ϕ(t)), para todo t ∈ I, y,

(iii) ϕ(t0) = y0.

Existencia y unicidad de solución local del problema de Cauchy:

Teorema (Teorema de Picard)

Supongamos f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) . Entonces, para cada(t0, y0) ∈ Ω, existe δ > 0 tal que (PC) tiene una única solución localϕ en el intervalo Iδ = [t0 − δ, t0 + δ].

Importante

Resultado consecuencia del Teorema de Banach del Punto Fijo.


Teorema (Teorema de unicidad global)

Supongamos que f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) y (t0, y0) ∈ Ω. Sean(I1,ϕ1) e (I2,ϕ2) dos soluciones locales de (PC). Entonces,

ϕ1(t) = ϕ2(t), ∀t ∈ I1 ∩ I2.

Importante

Este resultado es consecuencia del llamado Lema de Gronwall.

Notación

Dado (t0, y0) ∈ Ω, denotaremos

S(t0, y0) = (I,ϕ) : ϕ es solución de (PC) en I.

El Teorema de Picard implica que S(t0, y0) = ∅.


Definición

Consideremos (t0, y0) ∈ Ω e (I,ϕ) ∈ S(t0, y0).

(a) Diremos que la solución (I,ϕ) de (PC) es prolongable por laderecha, si existe una solución (J,ψ) ∈ S(t0, y0) tal que I ⊂ J ysup I ∈ int (J).

(b) Diremos que (I,ϕ) es prolongable por la izquierda, si existe unasolución (J,ψ) ∈ S(t0, y0) tal que I ⊂ J e inf I ∈ int (J).

(c) Diremos que (I,ϕ) es prolongable, si es prolongable por laderecha o por la izquierda (o ambas cosas a la vez).

(d) Finalmente, diremos que (I,ϕ) es una solución maximal, o unasolución global, de (PC) si (I,ϕ) no es prolongable.


Teorema

Supongamos que f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) . Sea (t0, y0) ∈ Ω e(I,ϕ) ∈ S(t0, y0) una solución local del problema de Cauchy (PC).Entonces, son equivalentes:

1 La solución (I,ϕ) es prolongable por la derecha.2 La semitrayectoria derecha τ+ϕ = (t ,ϕ(t)) : t ∈ I, t ≥ t0 ⊂ Ω

está acotada y dist (τ+ϕ , ∂Ω) > 0.

Teorema (Teorema de existencia y unicidad de solución global)

Supongamos que f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) . Entonces, para cada(t0, y0) ∈ Ω, existe una única solución maximal o global de (PC).Además, el intervalo de definición de la solución maximal es abierto.


Observación

Dado (t0, y0) ∈ Ω, utilizaremos la notación

(I(t0, y0),ϕ(·; t0, y0))

para denotar la única solución maximal del problema de Cauchy (PC). DelTeorema de prolongación podemos deducir cuál es el comportamiento de lasolución maximal en los extremos del intervalo I(t0, y0). Razonando con elextremo superior, se tiene que, o bien que la semitrayectoria positiva τ+ϕ es noacotada, o bien dist (τ+ϕ , ∂Ω) = 0 (es decir, la semitrayectoria “toca” lafrontera de Ω).


S.D.O. LINEALES: Pasemos ahora a recordar ciertos puntos de la

teoría de S.D.O. lineales de primer orden. Fijemos una función

matricial y una función vectorial

A : t ∈ I −→ A(t) ∈ L(RN) y b : t ∈ I −→ b(t) ∈ RN

definidas en I ⊆ R, intervalo no degenerado, tales que

A ∈ C0(I;L(RN)) y b ∈ C0(I;RN). Problema de valores iniciales para

un sistema lineal no homogéneo:

(1)

y = A(t)y + b(t),y(t0) = y0,

donde t0 ∈ I e y0 ∈ RN : f (t , y) = A(t)y + b(t) es una función definida

en Ω = I × RN (podría no ser abierto).


Es posible aplicar la teoría de existencia y unicidad de solución

maximal:

1 Existe una única solución maximal ϕ(·; t0, y0) ∈ C1(I(t0, y0);RN)del problema de valores iniciales (1).

2 I(t0, y0) ≡ I, para cualquier (t0, y0) ∈ I × RN .

Es más, se puede resolver “explícitamente” el problema (1).

Consideramos los s.d.o. lineales homogéneo y no homogéneo:

(2) y = A(t)y t ∈ I,

(3) y = A(t)y + b(t) t ∈ I.

Sean

(4)

W0 = ϕ : ϕ ∈ C1(I;RN) es solución de (2) en I,Wb = ϕ : ϕ ∈ C1(I;RN) es solución de (3) en I.


Proposición

Bajo las condiciones anteriores, se tiene:1 W0 es un subespacio vectorial de C1(I;RN) con dim W0 = N.2 Si b ∈ C0(I;RN) es una función no idénticamente nula, Wb es una

variedad afín de C1(I;RN) con dim Wb = N. De hecho,Wb = ϕb + W0 con ϕb una solución particular en I del sistema nohomogéneo (3).

Importante:

Las bases del espacio W0 tienen N elementos. Supongamos

ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕN ⊂ C1(I;RN) es una base de W0. Entonces la matriz

F (t) = (ϕ1(t) |ϕ2(t) | · · · |ϕN(t)) ∀t ∈ I,

satisface F ∈ C1(I;L(RN)), sus columnas son linealmente

independientes y F (t) = A(t)F (t), ∀t ∈ I.


Definición

Se dice que F ∈ C1(I;L(RN)) es una matriz fundamental (m.f.)asociada al sistema (2) si las columnas de F son linealmenteindependientes en C1(I;RN) y se satisface F (t) = A(t)F (t) paracualquier t ∈ I.

De la definición de matriz fundamental deducimos que sus Ncolumnas son elementos del espacio W0 y forman una base de éste.

Así

W0 = ϕ : ϕ(t) = F (t)a ∀t ∈ I, con a ∈ RN.


Proposición

Sean F una m.f. asociada a (2) y F ∈ C1(I;L(RN)) tal queF(t) = A(t)F (t) ∀t ∈ I. Entonces, ∃C ∈ L(RN) tal que F (·) = F (·)C.

Además, F es una nueva m.f. asociada a (2) si y sólo si det C = 0.

Proposición (Caracterización de m.f.)

Sea F ∈ C1(I;L(RN)) una función matricial tal que F (t) = A(t)F (t),para t ∈ I. Entonces, son equivalentes:

1 F es una m.f. asociada a (2).2 det F (t) = 0, para cualquier t ∈ I.3 det F (t) = 0, para cierto t ∈ I.


Volvemos de nuevo al problema de Cauchy (1). El conocimiento de

una m.f. asociada al sistema homogéneo (2) permite dar una fórmula

explícita de la solución del problema (1):

Proposición

Supongamos dados A ∈ C0(I;L(RN)), b ∈ C0(I;RN) y(t0, y0) ∈ I × RN. Sea F ∈ C1(I;L(RN)) una m.f. asociada a (2).Entonces, la única solución maximal del problema de Cauchy (1)

viene dada por:

(5) ϕ(t ; t0, y0) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t) t

t0F (s)−1b(s) ds, ∀t ∈ I.


CONTINUIDAD RESPECTO DE DATOS INICIALES:

Dependencia de la solución maximal de (PC) respecto de los datos

iniciales

La solución maximal ϕ(·; t0, y0) es continua (derivable) en el intervalo

I(t0, y0) respecto de la variable t . Podríamos ver el dato inicial (t0, y0)((t0, y0) ∈ Ω) también como una variable de la que depende la

solución maximal: Solución maximal ϕ(·; ·, ·) continua respecto de t y

respecto del dato inicial (t0, y0)???

Definición

Definimos el conjunto

Θ := (t , t0, y0) ∈ RN+2 : (t0, y0) ∈ Ω y t ∈ I(t0, y0),

y la función ϕ : (t , t0, y0) ∈ Θ ⊆ RN+2 → ϕ(t ; t0, y0) ∈ RN. La funciónϕ(·; ·, ·) así definida es denominada solución (maximal) del problemade Cauchy (PC) expresada en función de los datos iniciales.


Teorema (Dependencia continua respecto de los datos iniciales)

Bajo las condiciones del Teorema 5, se tiene que el conjunto Θ es unconjunto abierto de RN+2 y la solución maximal ϕ(·; ·, ·) del problemade Cauchy (PC) expresada en función de los datos iniciales escontinua en Θ, es decir, ϕ ∈ C0(Θ;RN).

Observación

1 La prueba de este resultado es técnicamente complicada. Existen variasposibles pruebas, aunque quizá la más sencilla es la desarrollada en [13].Para pruebas alternativas del resultado puede también consultarse [18].

2 Todos los resultados enunciados en esta sección (salvo este último) hansido probados en la asignatura Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

del segundo curso del Grado en Matemáticas por la Universidad deSevilla. En cualquier caso, pueden ser consultados, por ejemplo, en [15]y [13].




1.3. Conceptos de Estabilidad




Dados un abierto conexo no vacío Ω ⊆ RN+1 y una función f :

(1.8)

I × Bρ ⊆ Ω,

f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) y f (t , 0) = 0, ∀t ∈ I,

donde I = (τ,∞) y Bρ = B(0; ρ) ⊆ RN con ρ ∈ (0,∞] y τ ∈ [−∞,∞).Por otro lado, consideramos el s.d.o.

(1.9) y = f (t , y).

Se tiene que la función nula ϕ0 definida por

ϕ0 : t ∈ I −→ ϕ0(t) = 0 ∈ RN ,

es solución de (1.9) en I. De hecho, si consideramos

(PC)

y = f (t , y)y(t0) = 0.

para la función f y dato inicial (t0, 0) ∈ I × Bρ, se tiene,

I(t0, 0) ⊇ I y ϕ(t ; t0, 0) = ϕ0(t) ∀t ∈ I.


Las definiciones de estabilidad que vamos a ver a continuación fueronestablecidas por el matemático ruso Aleksandr Mijáilovich Liapunov(1857–1918). Comenzamos por la definición de equilibrio estable oinestable:

Definición

Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es estable en el sentido deLiapunov (o simplemente que ϕ0 es un equilibrio estable de (1.9)) sipara cualesquiera t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ), existe δ = δ(t0, ε) ∈ (0, ρ) tal que,si |y0| ≤ δ, se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y(b) |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ ε, para cualquier t ∈ [t0,∞).

En caso contrario, se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es inestable.


Observación

La definición anterior es equivalente a:

“Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es estable (en el sentido de Liapunov) sipara cualesquiera t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ), existe δ = δ(t0, ε) ∈ (0, ρ) tal que, si|y0| ≤ δ, se tiene:

(1) |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞)”.

Observación

Obsérvese que el concepto de inestabilidad puede ser reescrito de manera

equivalente como:

“Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es inestable si existen t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ)tal que, para cualquier δ ∈ (0, ρ) existe y0, con |y0| ≤ δ, para el que setiene:

|ϕ(t ; t0, y0)| > ε, para cierto t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞)”.


Definición

Se dice que la solución ϕ0 del s.d.o. (1.9) es uniformemente establecuando el valor δ del concepto de estabilidad en la Definición 1 nodepende de t0, es decir, si para cualesquier ε ∈ (0, ρ), existeδ = δ(ε) ∈ (0, ρ) tal que, si t0 ∈ I e |y0| ≤ δ, se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y(b) |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ ε, para cualquier t ∈ [t0,∞).


Definición

Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) atractivo si paracualquier t0 ∈ I, existe γ = γ(t0) ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ γ, entoncesse tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y(b) lim

t→∞|ϕ(t ; t0, y0)| = 0.

Podemos escribir también el concepto de atractividad uniforme:

Definición

Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) uniformementeatractivo si existe γ ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ γ, se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I;(b) para cualquier ε > 0, existe Tε > 0 verificando |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ ε,

para cualesquiera t0 ∈ I y t ≥ t0 + Tε.


Finalmente,

Definición

1 Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio)asintóticamente estable si es estable y atractivo.

2 Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio)uniformemente asintóticamente estable si es uniformementeestable y uniformemente atractivo.


Definición

Sea D ⊆ RN un abierto conexo no vacío. Se dice que el s.d.o. (1.9) esun sistema autónomo si se tiene

f (t , y) = f (y), ∀t ,

para una función f : D ⊆ RN −→ RN tal que f ∈ C0(D;RN) ∩ Liploc(D).En este caso, el sistema tiene la forma

(1.12) y = f (y),

y el dominio maximal de existencia y unicidad está dado porΩ = R× D.

Observación

Como f no depende de la variable t (caso autónomo), la condiciónf ∈ Liploc(D) en particular implica que f ∈ C0(D;RN). Así, para asegurar laexistencia y unicidad de solución maximal, basta f ∈ Liploc(D).


En el caso del sistema autónomo (1.12), la hipótesis (1.8) setransforma en

Bρ ⊆ D, f ∈ Liploc(D) y f (0) = 0,

con ρ ∈ (0,∞].

Proposición

Consideremos el sistema autónomo (1.12) con f ∈ Liploc(D). Parat0 ∈ R e y0 ∈ D, sea ϕ(·; t0, y0) la solución maximal del problema deCauchy asociado a (1.12). Entonces,

1 I(t0, y0) = t0 + I(0, y0).2 ϕ(t ; t0, y0) = ϕ(t − t0; 0, y0), para cualquier t ∈ I(t0, y0).

UNICIDAD


EjercicioUsando la Proposición anterior, demuéstrese que para el sistemaautónomo (1.12) los conceptos de estabilidad, atractividad y estabilidadasintótica equivalen, respectivamente, a los conceptos de estabilidaduniforme, atractividad uniforme y estabilidad asintótica uniforme.




1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales




Consideremos el s.d.o. lineal homogéneo

(1.14) y = A(t)y ,

donde A ∈ C0(I;L(RN)) e I = (τ,+∞), con τ ∈ [−∞,∞). Obsérvese

que el sistema (1.14) satisface la hipótesis

(1.8)

I × Bρ ⊆ Ω = I × RN , f (t , y) = A(t)y ,f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) y f (t , 0) = 0, ∀t ∈ I,

para ρ = ∞ y Ω = I × RN . Así, tiene sentido plantearse la estabilidad

de la solución nula de (1.14). Se tiene:


Teorema

Sea F (·) una matriz fundamental para el sistema (1.14). Se tiene:

(a) ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14) ⇐⇒ si ∀t0 ∈ I, se tiene

(1) supt∈[t0,+∞)

F (t)s < ∞.

(b) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) asintóticamente estable ⇐⇒

(2) limt→∞

F (t)s = 0.

(c) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) unif. estable ⇐⇒ ∃M > 0 t.q.

(3) F (t)F (t0)−1s ≤ M, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.

(d) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) unif. asint. estable ⇐⇒ ∃C,α > 0t.q.

(4) F (t)F (t0)−1s ≤ Ce−α(t−t0), ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.


Observación

1 Hemos enunciado el Teorema utilizando la norma espectral · s en elespacio L(RN):

Bs = maxx∈RN\0

|Bx ||x | , con B ∈ L(RN).

Evidentemente, todas las normas en L(RN) son equivalentes y, así, elresultado sigue siendo válido si consideramos cualquier otra norma eneste espacio.

2 El resultado anterior y las fórmulas (1)–(4) no dependen de la matrizfundamental F asociada al sistema lineal (1.14) elegida.

Ejercicio

Demuéstrese el segundo punto de la Observación anterior.

PRUEBA: .....


Observación

En los puntos (a) y (b) hemos probado lo siguiente: Hemos visto que si la

solución ϕ0 de (1.14) es atractiva, entonces se tiene (2). Por otro lado,

también hemos visto que (2) implica (1) y, usando el apartado (a) del

teorema, también ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14) . En definitiva, hemos

visto que para el sistema lineal (1.14) se satisface la propiedad

“Si la solución ϕ0 de (1.14) es atractiva, entonces ϕ0 es un equilibrioestable de (1.14)".

Por otro lado, es fácil dar un contraejemplo de sistema (lineal) cuya solución

nula es estable y no es atractiva. Basta considerar el sistema lineal y = 0 en

I = R. Está claro que una matriz fundamental asociada es F (·) ≡ Id y ésta

satisface (1) y no (2).


Obsérvese que en el teorema anterior hemos probado que, para el

sistema lineal (1.14), la estabilidad asintótica uniforme ϕ0 equivale a

la propiedad (4). En el caso de sistemas no lineales, sería posible

dar una nueva definición de estabilidad donde se ponga de manifiesto

la citada propiedad. Esta definición sería:

Definición

Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio)exponencialmente asintóticamente estable si existen constantesC > 0, γ ∈ (0, ρ) y α > 0 tales que

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I e |y0| ≤ γ;(b) |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α(t−t0), para cualesquiera t0 ∈ I, |y0| ≤ γ y

t ≥ t0.


Observación

1 Obsérvese que el apartado (d) del Teorema permite probar la siguiente

equivalencia para el sistema lineal (1.14):

“El equilibrio ϕ0 de (1.14) es u.a.e. si y sólo si ϕ0 esexponencialmente asintóticamente estable”.

2 En el caso de sistemas no lineales, fácil comprobar la siguiente

implicación:

“Si el equilibrio ϕ0 de (1.9) es exponencialmente asintóticamenteestable, entonces ϕ0 es u.a.e.”.

Veremos que, en general, la implicación contraria es falsa (salvo, como

hemos visto, en el caso de sistemas lineales).

Ejercicio

Pruébense los puntos 1 y 2 de la observación anterior.


Observación (Sistemas lineales no homogéneos)

Veamos la estabilidad del s.d.o. lineal no homogéneo:

y = A(t)y + b(t),

donde A ∈ C0(I;L(RN)), b ∈ C(I;RN) e I = (τ,+∞), con τ ∈ [−∞,∞).En este caso nos podríamos plantear la estabilidad de cualquier soluciónϕ1 ∈ C1(I;RN)del sistema en I:

ϕ1(t) = A(t)ϕ1(t) + b(t), ∀t ∈ I.

Basta hacer el cambio z = y − ϕ1(t) y estudiar la estabilidad de la soluciónnula ϕ0 del nuevo sistema. Evidentemente, este nuevo sistema es el sistemahomogéneo (1.14).Conclusión: La estabilidad, atractividad, etc., de cualquier solución ϕ1 delsistema equivale a la correspondiente propiedad de la solución nula ϕ0 delsistema homogéneo asociado; (por abuso de lenguaje, se habla de laestabilidad, atractividad, etc., del sistema lineal (homogéneo o no) sin hacerreferencia a ninguna solución).




1.5. Aplicación al caso de sistemas lineales de coeficientes

constantes



1.5. Aplicación a sistemas lineales de coeficientes constantes

Consideremos el sistema lineal

(1.21) y = Ay ,

donde A ∈ L(RN) está dada.

Es un sistema autónomo: Los conceptos de estabilidad equivalen a

los correspondientes conceptos uniformes.

Objetivo

Reescribir el teorema visto antes al caso del sistema (1.21). Los

conceptos de estabilidad equivalen en este caso a ciertas

propiedades de los autovalores de A. Enunciaremos el resultado

para la solución nula ϕ0 de (1.21) en I = R.


Teorema

Sea λi1≤i≤n ⊂ C el conjunto de autovalores distintos deA ∈ L(RN). Entonces:

(i) La solución ϕ0 de (1.21) es u.a.e. si y sólo si (λi) < 0 para todoi : 1 ≤ i ≤ n.

(ii) La solución ϕ0 de (1.21) es u.e. si y sólo si (λi) ≤ 0 para todoi : 1 ≤ i ≤ n y, si para j : 1 ≤ j ≤ n se tiene (λj) = 0, entonceslas cajas de Jordan asociadas a λj tienen dimensión 1 (lamultiplicidad geométrica y la multiplicidad algebraica de λjcoinciden).


Observación

(1.21) es un sistema autónomo: ϕ0 es inestable (es decir, no es estable) si ysólo si ϕ0 no es u.e. Del apartado (ii) del Teorema deducimos:

“La solución ϕ0 de (1.21) es inestable si y sólo existe λj , con1 ≤ j ≤ n, tal que, o bien (λj) > 0, o bien (λj) = 0 y λj tieneasociada una caja de Jordan de dimensión mayor o igual a dos.”

Prueba: Utilizar como matriz fundamental

F (t) = etAD,

con D ∈ L(RN) tal que ....

Importante:

Si J es la forma canónica real de A, entonces los elementos de A son

de la forma

t je(λi )taij sin((λi)t) + bij cos((λi)t)

con .....


Caso de la e.d.o. lineal de orden n y coeficientes constantes:

(1.22) yn) + a1yn−1) + · · ·+ an−1y + any = 0 en I = R,

con ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. Recordemos que las raíces µi1≤i≤m ⊂ C delpolinomio característico

p(µ) = µn + a1µn−1 + · · ·+ an−1µ+ an

proporcionan un sistema fundamental para (1.22). Se tiene:

Teorema

Sea ϕ0 la solución nula en R de (1.22). Entonces:(a) La solución ϕ0 de (1.22) es e.a.e. si y sólo si (µi) < 0 ∀i .(b) La solución ϕ0 de (1.22) es u.e. si y sólo si (µi) ≤ 0 ∀i y, si para

j se tiene (µj) = 0, entonces µj es simple.




1.6. Estabilidad de perturbaciones de Sistemas Lineales




Consideremos el sistema no lineal

(1.23) y = A(t)y + g(t , y),

donde A ∈ C0(I;L(RN)) y g ∈ C0(Ω;RN) están dadas y, además,

I × B(0; ρ) ⊆ Ω ⊆ I × RN , donde I = (τ,∞),

con τ ∈ [−∞,∞) y ρ ∈ (0,∞] .

Finalmente,

g(t , 0) = 0, ∀t ∈ I.

Objetivo

Propiedades de estabilidad de la solución nula de (1.23)m y relación

con la estabilidad de la solución nula del sistema lineal y = A(t)y .


Teorema (Teorema de estabilidad en primera aproximación)

En las condiciones anteriores, se tiene:(a) Supongamos que

lim|y |→0

|g(t , y)||y | = 0,

uniformemente en I (∀ε > 0, ∃µ ∈ (0, ρ) tal que si |y | ≤ µ se tiene|g(t , y)| ≤ ε|y |, ∀t ∈ I). Así, si ϕ0 es un equilibrio u.a.e. dey = A(t)y, entonces ϕ0 es un equilibrio e.a.e. de (1.23).

(b) Supongamos que |g(t , y)| ≤ α(t)|y |, ∀(t , y) ∈ I × B(0; ρ), conα ∈ C0(I) satisfaciendo

∞

τα(t) dt < ∞.

Así, si ϕ0 es un equilibrio u.e. del sistema lineal y = A(t)y,entonces ϕ0 es un equilibrio u.e. del sistema no lineal (1.23).


Ejercicio

Pruébese el apartado (b) del Teorema anterior.


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