1

Esercizi e complementi di Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2Economia dei Sistemi Industriali 2

(teoria degli oligopoli)

Introduzione alla Teoria dei GiochiIntroduzione alla Teoria dei GiochiParte secondaParte seconda

2

Le scelte dei giocatori vengono effettuate secondo una certa sequenza sequenza temporaletemporale

L'informazione che ciascun giocatore possiede quando è il suo turno di L'informazione che ciascun giocatore possiede quando è il suo turno di sceltascelta è un elemento costitutivo del gioco e svolge un ruolo cruciale nella determinazione della soluzione

PROBLEMA CENTRALE: CREDIBILITÀPROBLEMA CENTRALE: CREDIBILITÀ

descrizione di un gioco non cooperativo

forma normale o strategica

forma estesa

Per i giochi dinamici viene spesso utilizzata la forma estesa

GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETAGIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETA

3

LA DESCRIZIONE IN FORMA ESTESALA DESCRIZIONE IN FORMA ESTESA

specifica i seguenti elementi:

1)1) un insieme di giocatori N =N =1, 2, ..., n1, 2, ..., n

2)2) l'ordine delle mossel'ordine delle mosse del gioco (chi muove e quando)

albero del giocoalbero del gioco costituito da un insieme ordinato di nodi dotati di una relazione di precedenza

attribuzione dei nodi ai giocatoriattribuzione dei nodi ai giocatori che specifica a chi è intestato ciascun nodo

ZZ insieme dei nodi terminali (nodi senza successori) associati ai payoff

3)3) le informazioni disponibili per ciascun giocatore informazioni disponibili per ciascun giocatore iiNN ogni volta che ogni volta che ha dirittoha diritto alla mossa

DDii classe degli insiemi di informazione del giocatore classe degli insiemi di informazione del giocatore ii (partizione dell'insieme dei nodi attribuiti ad i)

ddi i DiDi generico insieme di informazione del giocatore i

4

4)4) le scelte disponibili per ciascun giocatore i N ogni volta che ha diritto alla mossa:

AAi i ((ddi i )) insieme di azioni o mosse ammissibili per il giocatore i in tutti i nodi non terminali dell'albero che appartengono a dii

aaii A Ai i ((ddi i )) generica azione ammissibile per il giocatore i

5)5) i payoff conseguiti da ciascun giocatore in corrispondenza di ogni combinazione di mosse che può essere scelta dai giocatori

una funzione di payoff uuii : Z : Z R R per ciascun giocatore i

N

uui i (z)(z) è il payoff ottenuto dal giocatore i se viene raggiunto il nodo terminale zz Z Z

5

1169

86102

19187

50154

7890

P1

2 2

1

P1

P1 P2

P2P2

P1

2 2

1

P1

P1 P2

P2P2 P1

2 2

1

P1

P1 P2

P2P2 P1

2 2

1

P1

P1 P2

P2P2

1

22

S1S1

S1

S2 S2

S2

28113

24112

26109

10100

16185

15142

81104

96100

55150

54145

39139

ESEMPIO 9ESEMPIO 9

6

P1 P2

P2

P2P1

P1

P1

P2

P1

1169

86102

19187

50154

7890

2 2

1

P1

P2

P2P1

2 2

1

P1

P2

P2P2 P1

2 2

1

P1 P2 P1

2 2

1

P1 P2P2

1

22

S1S1

S1

S2 S2

S2

28113

24112

26109

10100

16185

15142

81104

96100

55150

54145

39139

ESEMPIO 10ESEMPIO 10

7

Una strategia di un giocatore è un piano completo di Una strategia di un giocatore è un piano completo di azione (specifica un'azione ammissibile del giocatore azione (specifica un'azione ammissibile del giocatore per ciascuna circostanza in cui il giocatore può essere per ciascuna circostanza in cui il giocatore può essere chiamato ad agire)chiamato ad agire)

I payoff conseguiti da ciascun giocatore sono indicati I payoff conseguiti da ciascun giocatore sono indicati in corrispondenza dei nodi terminali dell'albero del in corrispondenza dei nodi terminali dell'albero del gioco (in corrispondenza di ogni combinazione di gioco (in corrispondenza di ogni combinazione di mosse che può essere scelta dai giocatori)mosse che può essere scelta dai giocatori)

8

Un'insieme di informazione del giocatore i, ddii DDii , è un insieme di nodi decisionali che soddisfano le seguenti condizioni:

in corrispondenza di ogni nodo dell'insieme informativo il giocatore i ha diritto alla mossa

quando lo svolgimento del gioco raggiunge un nodo dell'insieme informativo, il giocatore i non sa quale nodo dell'insieme informativo è stato raggiunto.

OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE

In ogni nodo decisionale appartenente ad un insieme informativo, il giocatore deve avere lo stesso insieme di azioni ammissibili AAii ((ddi i )) altrimenti sarebbe in grado di capire quale nodo dell’insieme informativo è stato raggiunto.

INSIEMI INFORMATIVIINSIEMI INFORMATIVI

9

Un gioco G è caratterizzato da informazione perfettainformazione perfetta se ogni insieme di informazione è costituito da un singolo nodoinsieme di informazione è costituito da un singolo nodo

Un gioco G è caratterizzato da informazione imperfettainformazione imperfetta se vi è almeno un insieme di informazione composto da più di un nodo

GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETA E GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETA E PERFETTAPERFETTA

Esempio: esempio 10

I giocatori muovono in successione

Tutte le mosse precedenti sono conoscenza comune

Sono conoscenza comune anche i payoff per ogni combinazione di mosse

DEFINIZIONIDEFINIZIONI

10

GIOCHI DINAMICI, CON INFORMAZIONE COMPLETA E GIOCHI DINAMICI, CON INFORMAZIONE COMPLETA E IMPERFETTAIMPERFETTAEsempio: esempio 9

I giocatori muovono in successione Non tutteNon tutte le mosse precedenti sono conoscenza comune

Sono conoscenza comune anche i payoff per ogni combinazione di mosse

11

NOZIONE DI SOTTOGIOCONOZIONE DI SOTTOGIOCO

definizione

Un sottogioco di un gioco in forma estesaUn sottogioco di un gioco in forma estesa è un sottoinsieme sottoinsieme dei nodi dell'alberodei nodi dell'albero che:

comincia da un nodo decisionalecomincia da un nodo decisionale che appartiene ad un insieme informativo di cui è l'unico elemento

comprende tutti i nodi decisionali e terminali successivi (ma nessun nodo che non sia successivo)

mantiene la stessa struttura di insiemi di informazione del gioco a cui si riferisce (non spezza alcun insieme informativo)

Un sottogiocoUn sottogioco si dice proprioproprio se non coincide con il gioco a cui si riferisce

12

P1 P2

P2

P2P1

P1

P1

P2

P1

1169

86102

19187

50154

7890

2 2

1

P1

P2

P2P1

2 2

1

P1

P2

P2P2 P1

2 2

1

P1 P2 P1

2 2

1

P1 P2P2

1

22

S1S1

S1

S2 S2

S2

28113

24112

26109

10100

16185

15142

81104

96100

55150

54145

39139

ESEMPIO 10ESEMPIO 10

13

1169

86102

19187

50154

7890

P1

2 2

1

P1

P1 P2

P2P2

P1

2 2

1

P1

P1 P2

P2P2 P1

2 2

1

P1

P1 P2

P2P2 P1

2 2

1

P1

P1 P2

P2P2

1

22

S1S1

S1

S2 S2

S2

28113

24112

26109

10100

16185

15142

81104

96100

55150

54145

39139

ESEMPIO 9ESEMPIO 9

14

Def. (Selten, 1965) Un equilibrio di Nash è perfetto nei perfetto nei sottogiochisottogiochi se le strategie dei giocatori costituiscono un'equilibrio di Nash in ogni sottogioco.

Un equilibrio perfetto nei sottogiochi aggiunge alla nozione di equilibrio di Nash il requisito che la strategia di ogni giocatore i sia ottimale rispetto a ciò che fanno gli altri anche in ogni sottogioco proprio.

DEFINIZIONEDEFINIZIONE

15

P1

P1 P2

P2

P2P1

P1

P1

P2

P1

1169

86102

19187

50154

7890

2 2

1

P1

P2

P2P1

2 2

1P2

P2P2 P1

2 2

1

P1 P2 P1

2 2

1

P1 P2P2

1

22

S1S1

S1

S2 S2

S2

28113

24112

26109

10100

16185

15142

81104

96100

55150

54145

39139

EQUILIBRIO di NASH nell’esempio 10EQUILIBRIO di NASH nell’esempio 10

16

PROCEDURA RISOLUTIVA:PROCEDURA RISOLUTIVA:Backwards induction (induzione a ritroso)

In un gioco con informazione completa e perfetta la procedura di backwards induction elimina le minacce non credibili.

12

1

22

ss

s

d d

d

31

21

00

17

12

1

s d

21

*1,2

ESITO ,

, ,

2,1

d s

EN d d s

u

12

1

22

ss

s

d d

d

31

21

00

18

RAPPRESENTAZIONE DI UN GIOCO DINAMICO IN FORMA NORMALERAPPRESENTAZIONE DI UN GIOCO DINAMICO IN FORMA NORMALE

12

1

22

ss

s

d d

d

31

21

00

Nel gioco statico strategia strategia ed azioneazione coincidevano

STRATEGIASTRATEGIA di un giocatore è un piano completo di azioneè un piano completo di azione, specifica un’azione ammissibile del giocatore per ciascuna circostanza in cui il giocatore può essere chiamato ad agire

,,EN d d s

19

12

1

22

ss

s

d d

d

31

21

00

1,2 ,

2

, , , ,

S s d

insieme delle strategie di

s s s d d s d d

  s,s s,d d,s d,d

s 3, 1 3, 1 1, 2 1, 2

d 2, 1 0, 0 2, 1 0, 0

*1,2

ESITO ,

, ,

2,1

d s

EN d d s

u

20

12

00

1

22

ss

s

d d

d

31

21

2

1

3,1 1,2

2,1 0,0

Is d

I

s

d

RAPPRESENTAZIONE DI UN GIOCO STATICO IN FORMA ESTESARAPPRESENTAZIONE DI UN GIOCO STATICO IN FORMA ESTESA

*1,2

ESITO ,

,

1,2

s d

EN s d

u