1

Esempio : Utile per considerare l’importanza delle ALTE FREQUENZE nella ricostruzione del segnale , in particolare dei FRONTI di SALITA e di DISCESA (trailing e falling edge).

Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato .

La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante.

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2

Serie di Fourier Complessa

i

eex

eex

ixixixix

2)sin( ;

2)cos(

Riscrivendo lo Sviluppo in Serie di Fourier con le formule di Eulero :

1

)22

(2

)(1111

n

tintin

n

tintin

no

i

eeb

eea

ats

si ottiene : ,... dopo una serie di semplici passaggi algebrici

si può riscrivere la serie in una forma Complessa di maggiore significato (per chiarimenti vedere gli appunti)

tinneCts 1)(

2/

2/

1)(1 T

T

tinn dtets

TC

2

1tie

2

1tie

Re

Im

un Vettore Re somma di due fasori di ampiezza ½ ruotanti in verso opposto con la stessa velocità angolare 1

ottiene si 1 n per 22

)cos(11

1 tintin ee

tn

Motori a Induzione Motori a Induzione (Campo Rotante ) (Campo Rotante )

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1

11 ))sin()cos((2

)(n

nno tnbtna

ats

3

Motori a Induzione Motori a Induzione (Campo Rotante ) (Campo Rotante )

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4

1

1

c-1

c1 coo

1

1

c2

c-2

c3

c-3

1

1

§

§

C+

C-

C+ = c1 + c2 + c3+……..

C- = c-1 + c-2 + c-3+……..C+ + C- ISTANTE PER ISTANTE è UN VETTORE REALEISTANTE PER ISTANTE è UN VETTORE REALE

tinneCts 1)(

Re

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5

Consideriamo un impulso s(t) qualsiasi di durata finita.

Trasformata di Fourier

Supponiamo che ad esso siano associati, in modo virtuale, altri impulsi identici ricorrenti con periodo T

Allora possiamo rappresentare s(t) attraverso la serie in armoniche di Fourier

tinneCts 1)(

con i coefficienti

2/

2/

1)(1 T

T

tinn dtets

TC

Facciamo alcune semplici posizioni :T

21 Prima armonica: 1 nn ; n-sima armonica :

intervallo unitario :Tnn

21 dtets

TC

T

T

ti

nn

2/

2/

)(2

1)

2(

; allora

(n)

: )(2

)(nnC

e la s(t) diventa :

ti

nnets

)(2

)(

Se ora torniamo alla realtà, cioè all’impulso, dobbiamo far tendere T ∞ d, n, n))

Cn

otteniamo la Coppia di Trasformate : l’impulso s(t)s(t) e la corrispondente densità spettrale ))

dets ti)(2

1)(

dtets ti )()( Trasformata Trasformata AntitrasformataAntitrasformata

che Collegano i due mondi del tempo e delle frequenze

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Trucco matematicodi un fisico

Fine del trucco

6

La trasformata e l'antitrasformata ci permettono di trasformare delle funzioni e/o segnali dal dominio delle frequenze [] a quello del tempo [t] e viceversa.

dttf )(

dttff )()(

~

dfdttf

22 )(~

)(

Queste espressioni hanno senso preciso solo se: ed è finito.

In questo caso la trasformata è:

1) Continua

3) Nulla all'infinito per ±∞

2) Limitata

e vale l'identità di Parseval:

Quando è necessario, per esempio se un modello è “difficile” da trattare in un dominio, tramite l’operazione di trasformazione di Fourier si può cambiare dominio.

La rappresentazione nel dominio di , cioè la rappresentazione spettrale del segnale, offre un approccio molto significativo nell'analisi della risposta in una larga fascia di sistemi usati, in generale nell'elettronica,in particolare nelle telecomunicazioni.

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7

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Spettro di un impulso rettangolare

Sia s(t), un segnale con ampiezza A e durata in [-/2,/2] il cui M. M. è :

22 111)(

2

2

2

2

iititi ei

ei

Aei

AdteAs

Ponendo /2 si ha: sin

)( As

Esempio

s(t)= A[(t-/2) - (t+/2)]

Il suo spettro , ovvero la sua trasformata F sarà:

i

eex

ixix

2)sin(

Ricordando Eulero

S() = F[s(t)]

2sin

2)(

As

8

Esempio:Esempio:Trasformata di Fourier di una funzione Impulsiva con Modello Matematico s(t) = (t+/2) – (t-/2)

1. Utile per mettere in evidenza la trasformata della (t) = cost. ( ad una durata infinitesima in t corrisponde una larghezza infinita in

2. Utile per mettere in evidenza il prodotto banda x durata . Assumiamo che la frequenza massima limite di uno spettro sia quella per cui si ha il

" primo " zero nel rapporto |S()| m / |S(0)|= 0 che si ha per : = /2 ossia in termini di frequenza = 2f/2 ; 1=f Allora si ha la seguente relazione di indeterminazione: f up = 1 Il prodotto banda * durata è una costante e dipende solo

dalla forma dell'impulso. Quindi, ad esempio, la (t) che ha una durata infinitesima, ha una banda infinita

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9

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Proprietà della parte reale e della parte immaginaria dello spettro

)( tsPoiché la funzione del tempo t la sua Trasformata: )()()( iBAS C

gode della proprietà che la sua parte è una funzione pari )()( AA

è una funzione disparie quella )()( BB

In generale il suo spettro sarà rappresentato da una funzione complessa:

tdttsitdttsS sin)(cos)()(

Facciamo ora l‘ anti - trasformata cioè ricaviamo la s(t):

dtitiBAts sincos)()(

2

1)(

dtBtsinAitsinBtAts )cos()()()([)]()()cos()(

2

1)(

affinché 0cos)( 0sin)(

tdBtdA

Queste condizioni sono verificate se:A() è pari (infatti il seno è una funzione dispari)B() è dispari (infatti il coseno è una funzione pari)

1. La parte reale A() dello spettro è una funzione pari della frequenza. A() = A(-) 2. La parte immaginaria B() è una funzione dispari della frequenza. B() = -B(-)

)( ts : 0

dimo

10

Spettro di un segnale esponenziale

)(tAe tSia s(t) per> 0 il M. M. del segnale. Calcoliamo il suo Spettro S()

0

)( dteeAS tit

0

)( dteA ti

0

)( tiei

A

i

A

C'è da notare che:1. Lo spettro va a zero solo per ∞∞2. Lo spettro è una funzione complessa:

)()()( ieSS 22)(

AS

tanarc

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Spettro exp

La parte reale A() dello spettro è una funzione pari della frequenza. A() = A(-) La parte immaginaria B() è una funzione dispari della frequenza. B() = -B(-)

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11

Spettro della derivata di un segnale

dteitssedtedt

tds tititi )()(

)()(0)()( Sidtetsidtetsiets tititi

Sia s(t) un segnale e supponiamo che esista la sua trasformata e sia S() , calcoliamo la sua )()( Sitsdt

d

Risolto per parti, si vede che l'integrale si riduce a due termini: il primo svanisce per t ± ∞ in quanto s(t) 0 per la condizionedi integrabilità del segnale s(t)

Spettro dell' integrale di un segnale

Basta osservare che: )()( tsdsdt

d t

In seguito ad una operazione di differenziazione il segnale, nel dominio del tempo, diventa più "rapido", come conseguenza lo spettro della derivata ha maggiori valori nella regione delle alte frequenze.

EsempioEsempio : :

dt

d=

2 0 2 4

0.5

1Mod. Mat. Rampa

4 2 0 2 4

0.5

1Heaviside

)(1

Si

dst

Quindi :

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Spettro di un segnale traslato

Supponiamo che esista, del segnale s(t), la sua trasformata, cioè S()

)(~ottss

La sua trasformata sarà:

dtettsS tio

)()( Ponendo: x = t - to ; allora dt = dx si avrà:

otieS )(

1 otie

otie

Poiché

Questa informazione è contenuta nel fattore di fase

.

Prendiamo un segnale traslato nel tempo della quantità to

dxexsS otxi )()()(

dxeexs otixi )(

dxexse xiti )(0

le ampiezze delle armoniche sono indipendenti

dalla posizione nel tempo del segnale

:

otio eStts )()()()( Sts

13

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Dipendenza dello spettro da un fattore di scala temporale

Supponiamo che il segnale s(t) sia soggetto ad una trasformazione della scala dei

tempi (compressione o espansione) ossia t kt con k ε R

Se k > 1 si ha compressione e se 0 < k < 1 si ha dilatazione

Allora se t kt segue che s(t) s(kt) e il suo spettro

dtektsS ti )()( Ponendo: x = kt ; dx = k dt, si ha:

kS

kdxexs

kS k

xi 1

)(1

)(cioè lo spettro di un segnale, ad esempio, compresso (k > 1) che

mantiene la stessa forma, distribuisce le stesse componenti spettrali su un intervallo più esteso di frequenze con una ampiezza minore ( S/k)

Compressione k > 1

kS minori ampiezze

k allargato spettro

Dilatazione k < 1

k Smaggiori ampiezze

k ristretto spettro

Stringendo temporalmente, si allarga lo Spettro

Le Ampiezze dello Spettro, sono Minori

Allargando temporalmente, si restringe lo Spettro

Le Ampiezze dello Spettro, sono Maggiori

14

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Spettro del prodotto ordinario di due segnali

dtu(t)v(t)e)S( ti

Siano u(t) e v(t) i segnali in t e U() , V() i rispettivi spettri. Sia s(t) = u(t) v(t) il loro prodotto ordinario.

Lo spettro sarà :

deVtv i t)(2

1)(sostituiamo, al posto di v(t) , la sua Anti

dte)e(

2

1)( ti

+

-

ti

dVu(t)S Scambiamo l’ordine di integrazione

ddtu(t)VS

+

-

t)-i(-e)(2

1)(

dVS )-)U((2

1)(Riscriviamo lo spettro : Integrale del Prodotto di Convoluzione

Lo spettro del prodotto ordinario tra i segnali u(t) x v(t) è = al prodotto di convoluzione degli spettri U() * V()

il prodotto ordinario tra gli spettri U() x V() è = al prodotto di convoluzione dei segnali u(t) * v(t)

Ed è anche vero il teorema reciproco che

Concludiamo

delle funzioni V() e U() che si indica anche V() * U()

15

Corso di Laboratorio di Segnali e SistemiUna interessante conseguenza di questo è il teorema della convoluzione.

)()(*)()]()([)]([ SVUtvtuts

Per dimostrarlo riscriviamo in modo sintetico indicando con la trasformata di Fourier F ,

il teorema già dimostrato: se s(t)= u(t)v(t)

se ora facciamo la trasformata (anti) dell'espressione precedente, otteniamo:

)]([)](*)([)()()( 11 SVUtvtuts

se al posto delle due funzioni del tempo u(t)v(t), sostituiamo le loro trasformate F-1 otteniamo

)](*)([)]([)]([ 111 VUVU è ovviamente possibile dimostrare, ed è valido, il teorema inverso:

)](*)([)]([)]([ tvtutvtu

L'importanza di questo teorema è enorme in quanto molti processi fisici si presentano come convoluzione di altri e quindi tramite l'applicazione di questo teorema è possibile risalire ai processi primari. Questo metodo è noto come deconvoluzione (unfolding) delle componenti

la trasformata di Fourier, F, del prodotto di convoluzione

è equivalente al prodotto ordinario delle trasformate

F [U() * V()]

F [U()] F [V()]x

1

16

Spettro della (t)

Sia s(t) = A (t) il Modello Matematico nel dominio del tempo. Il suo spettro S(), ovvero la sua trasformata, sarà:

dtteAS ti )()( Abbiamo già visto le proprietà di " filtro " della (t)

L'integrale è uguale al valore della funzione nel punto in cui la (t) è "concentrata “ In questo caso a t = 0

Quindi S() = A

La trasformata di Fourier di una - function è una funzione indipendente da

Il suo spettro ha una larghezza infinita

con tutte le frequenze con la stessa ampiezza A [ - ∞, + ∞ ]

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17

Spettro di un impulso " armonico"

Spettro di un esponenziale complesso

Spettro di una costante

Spettro di una armonica

Spettro di un segnale arbitrario periodico

Spettro della funzione di Heaviside (t)

Spettro di segnali non integrabili

Spettro della (t