1 ère préparatoire
description
Transcript of 1 ère préparatoire
11èreère préparatoire préparatoire
Les Maths sont plus faciles avecLes Maths sont plus faciles avec MonsieurMonsieur
Emad SabetEmad Sabet
Tel:Tel: 01246652670124665267 – – 2492308724923087
EmadoEmado__mathsmaths@@hotmailhotmail..comcom
EmadoEmado__mathsmaths@@yahooyahoo..comcom
Maths-blog.co.ccMaths-blog.co.cc
Les ensemblesLes ensemblesUn ensemble est: un collection d`objet bien définisLes objets qui forment un ensemble sont appelés les éléments.
Expressions d`un ensemble
-il faut faire la différence entre 5 est {5}. 5 est un élément mais {5} est un ensemble.
1) Par une liste : X= {1, 2, 3, 4, 5} , Y= {a, b}
- on désigne l`ensemble par une lettre majuscule X, Y, Z, A, B,….
- écris les éléments en les séparent par une virgule 1, 2, 3, 4,……- entoure les éléments par des accolades { }-ne répètes pas l`élément. L`ensemble des chiffres de 3272 est {3, 2, 7}
- l`ordre n`a pas d`importance {3,5} = {5,3}
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
2) Par une propriété caractéristique :
X = {a : a est un nombre impair, 1< a <9}
Par une propriété caractéristique: X = {a : a est un nombre pair, 4 ≤ a ≤ 92}
Exemple : L`ensemble des nombres entiers compris entre 1 et 2 est
Exemple : Exprime par une liste puis par une propriété caractéristique l`ensemble des nombres pairs de 4 à 92
SolutionPar une liste : X = {4, 6, 8, 10,
…….90, 92}
3) l`ensemble vide ou phi Ø :ne contient aucun élément { }
{ } ou Ø
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
∩appartenances
se lit appartient à
et utilisent avec les éléments
∩ 7 {2, 7, 5}∩
∩ se lit n`appartient pas à 7 {2, 3, 5}∩
∩ ∩
se lit partie de ou inclus dans
et utilisent avec les ensembles
∩ {7} {2, 7, 5}∩
se lit n`est pas une partie de ou n`est pas inclus dans
{7} {2, 3, 5}∩∩ ∩
Ø est inclus dans n`importe quel autre ensemble.
Ø {2, 7, 5}∩ Ø {a, b}∩
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Exemple :
A B se lit A inter B∩A B = les éléments communs
X Y = {x:x X et x Y}∩ ∩Si A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 5, 6}
Alors A B = {3, 4}
Intersection : ∩
∩
∩
∩
*2
*1
*4
*3
*6
*5
X Ø = Ø∩X Y = Y X∩ ∩
X Y ∩représente Si X = {1, 2, 3} , Y = {4, 5, 6}
alors A B =∩ Ø
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Union
Exemple :
*3 *4*6
*5
*9
∩
A B se lit A union B
∩
A B = tous les éléments de A et B
∩
ne répètes pas les éléments
X Y = {x:x X ou x Y}
∩
∩ ∩Si A = {3,4,6} , B = {4, 5, 6, 9}
Alors A B =
∩
{3, 4, 6, 5, 9}
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
La différence ( - )X – Y = {x:x X , x Y}
X = {1,2,3} ,
alors X – Y = alors Y – X =
Complémentaire X\ , Y\
Ensemble référentiel E ou U: contient tous les éléments X\ = {x:x E , x X}
Exemple : 1 X 3
8 9 4
6 2 7 5
E
E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , X = {2,5,6,7}
X\ =
Y = {2,3,5}
{1} {5}
{1,3,4,8,9}
∩ ∩
∩ ∩Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Les nombres naturels N
0 et 1 ne sont pas nombres premiers
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,……}Remarques:
1) Le plus petit nombre naturel est le2) Les nombres pairs naturels sont
Le plus petit nombre pair est3) Les nombres impairs naturels sont
Le plus petit nombre impair est4)Les nombres premiers sont
Le plus petit nombre premier est
zéro{0,2,4,6,….}
zéro{1,3,5,7,…}
1{2,3,5,7,11,13,17,…}
2
Nombres de compte = {1,2,3,4,…..}
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Les facteurs d`un nombre
alors 3 et 5 chacun est appelé un facteur de 15
Si tous les facteurs sont égaux, alors le produit est appelé Puissances
2 est appelé la base et 4 est appelé la puissance
15 = 3 × 5
par exemple : 16 = 2 × 2 × 2 × 2et on l’écrit sous la forme 16 = 24
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
4×4×4=64
les nombres carrés: C`est les nombres qui peuvent être représentés par des carrés
, 32 = 3×3 = 9
5×5 = 25les nombres cubes:
C`est les nombres qui peuvent être écrits par des cubes
, 23 = 2×2×2=8
12 = 1×1= 1, 22 = 2×2 = 4
4×4 = 16
13 = 1×1×1=1
3×3×3=27
42 = , 52 =
33 = , 43 =
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Quel est le nombre de cubes
de la quatrième figure?
Quel est le nombre de carrés
de la cinquième figure?
133 233 333
1 8 271 4 9 16
122 222 322 422
43 3 = 64 52 2 = 25
tel que (x ≠ 0)Pour tout nombre Pour tout nombre x x ::x0 =1x0 se lit x se lit x puissance zéro. puissance zéro.
il est égal à 1il est égal à 1110 0 = = 11
, 2, 20 0 = 1= 1, 3, 30 0 = 1= 1, 4, 40 0 == , 5, 50 0 ==11 11
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Le plus grand nombre négatif est
Les nombres entiers ZLes nombres entiers Z
ZZ+ + = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …….} nombres = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …….} nombres entiersentiers positifspositifs
, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….}, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….}
Le zéro ni positive ni négatif
ZZ- - = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, ..….} nombres = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, ..….} nombres entiersentiers négatifsnégatifs
ZZ =={……., {……., 00-1,-1,-2,-2,-3,-3,-4,-4,-5,-5,
-1
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
ChoiChoisisi N , Z , Z+ ,
Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z-
, Z+Z-
N, Z
Z , Z-
N , Z+N , Z
Z+
, Z-
, Z+
N, Z , Z-
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
La droite numLa droite numériquerique
0 est l`origine de la droite numérique Les nombres rangements du plus petit au
plus grand de gauche à droite.
(> supérieur à)
-4 < -1
4 < 6(< inférieur à)et 5 > 2, 5 > -2
Les nombres positifs à droite le zéro
Les nombres négatifs à gauche le zéro
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
4) 0 ….. -5 5) -2 ..…. 7 6) 3 .…. 8
La comparaison
c) le nombre positif > le nombre négatifExercices :
1) 3 ..… 0 2) -9 ….. -2 3) 1 ….. -1
, 0 > les nombres négatifs b) le grand nombre négatif est le plus petit
a) Range dans l`ordre croissant 3 , -5 , 7 , -2 , 0 , 1
Solution :
a) 0 < les nombres positifs0 < 3
0 > -2-5
3 > -7
-5 , -2 , 0 , 1 , 3 , 7b) mets le signe convenable < , >
<-2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Les opérations dans Z : 1) L`addition et la soustraction :
a) -2 -3 = , 3 + 4 = , 5a + 2a = , 10X – X =
Si les deux nombres ont les mêmes signes on prend le même signe et on addition.
b) -5 +7 = , 3 – 9 =Si les deux nombres ont des signes différents on prend le signe du plus grand nombre et on soustrait.
c) - 4+4 = , 6 – 6 =
Si les deux nombres sont égaux et ont des signes différentsAlors le résultat est 0
d) -3+5-6+2+7-8= 14 - 17 = - 3
Si on a plusieurs des signes on addition les nombres positifs ensemble et les nombres négatifs ensemble
-5 7 7a 9X
2 -6
0 0
+, –, x, ÷
Monsieur/ Emad Sabet
2) La multiplication et la division :
a) –×– = + , +×+ = + , +×– = – , –×+= –
–2 × –3 = 6 , 4 × 5 = , –3×4 = –12
5×a = 5a , -3×b = -3b , x×Y = XY
20 , 2 ×– 4= –8
b) – ÷ – = + , + ÷ + = + , + ÷ – = – , – ÷ += –
–8 ÷ –2 = 4 , 6 ÷ 3 = 2 , 6 ÷ – 2 = – 3 , –12 ÷ 6 = –2
= 0 = n`a pas de sens = a = X
c) suppression les parenthèses :
(-3) + 5 + (-12) + 8 – (-2) = - 3 + 5 -12 = 0+8 +2 = 15 -15
0- 4
20
9a 9
3X 3
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Si |x|= 5 alors
Le symbole| |est utilisé pour exprimer
Valeur absolue
Le nombre d’unités de 0 à 3 est égal au nombre d’unités de 0 à –3
| |
tandis que 3 et –3 sont dans des sens opposés du nombre zéro.
|3| = 3
et |-3| = 3
x = 5 ou x = -5
la valeur absolue
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
a) |-5|=……b) |-6|+|4|=…..c) –[|-7|-|-1|]=……d) Si |x|= 9 alors x =….. ou ….. e) Si |C|=10 alors C=….. ou …..
Exemble
56
1] =-99
10 -10
-(|-5|+|-1|) =
Complète :
Simplifie:|-6|-|3| = 6 3– = 3 , -|-4|=-4
- 1)(5+ = -6
+4= 10
-[7- -6
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Les nombres Rationnels Q
{ : , , 0}abQ a b Z b
Exemples : 23 ,
Z+={1,2,3,4,5,…..} ,
Z Q*= Q - {0}N Q
Un nombre rationnel peut être écrit sous la forme des nombres entierset b ≠ 0
a
boù a et b sont
341 , 2.3, 5, 0,......
N={0,1,2,3,4,5,6,…..},
Z={……,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…..}
Z-={-1,-2,-3,-4,-5,……},
Z*= Z - {0}
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
représente les nombres rationnels sur la droite numérique
Remarques:1) Chaque nombre rationnel est représente
2) Les nombres rationnels égaux sont représentes par le même point d`une droite numérique
1
2
....... 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ...... X
....... 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ...... X
1 2 3
2 4 6
12
2
X
1
2
12
2par un point unique d`une droite graduée ;
1
22
4
3
6
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
représente les nombres rationnels suivantes sur la droite numérique
6 4 3 2 1 1 2 3 4 6
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2
50 1
X-1
3
4
6 5 3 2 1 1 2 3 5 6
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0 1X-1
2
5
3
4,
0
55
5
5
5
0
4
4
4
4
4
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
1) ,1
aa
32) 2
4
3) 2.3
Remarques:
04)
0nb
5 3 0
4 2 3
4
11,
4
21
3
323
,10
0.25 25
100
1
4
0, 05 0, 0
12 0
5
5,
1
3,
1 0
1
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
6) un nombre rationnel peut s`écrire sous une infinité de forme a a cb b c
ab
est un nombre entier si a est divisible par b,
12
3
7)
5) 0nb = n`a pas de sens, 3 7 0
0 0 0, , n`a pas de sens
Remarques:
Écris quatre nombres égal le nombre
3 24 2
34
a ca c
68 , 3 3 9
4 3 12 , 3 5 15
4 5 20 , 3 10 30
4 10 40
4 ,35
7,5
00
4
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Formes différentes d’un nombre rationnel
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Exemple 1: . .Ecris le nombre 0.581 sous la forme d`un nombre rationnel
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Comparaison et ordre dans Q
45-
c) le nombre positif > le nombre négatif
a) 0 < le nombre positif,
b) le grand nombre négatif est le plus petit <25
-
15
45
->
Range dans l`ordre croissant les nombres:
0 > le nombre négatif
25
0
25
-0
<
>
L`ordre croissant
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
8 6 4 2 0 2 4 6
2 2 2 2 2 2 2 2
0 1-1 2 3-2-3XXXXX
-4
On met le même dénominateurs62
32
52
02
82
- -
l`ordre décroissant 62
32
52
02
82
- -
Exemple1:
7 5 3 1 1 3 5
2 2 2 2 2 2 2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Exemple 2:
On met le même dénominateurs
Entre deux nombres rationnels il y a infinité des nombres Rationnels
Trouve trois nombres rationnels compris entre et
On met le même dénominateurs
45
23
12 15
1015
24 30
2030
21 30
2230
2330
On multiple x 2 Les trois nombres sont
il y a un nombre
Exemple 4:
ab
cd
et a x d b x c>si ab
cd>alors
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
4 3
5 2
a c
b b ,
1 13 2
4 3
a c
b
8 15
10 10 23
10
13 7
4 3 39 28
12 12 11
12
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel
1 2
5 5
2 + 3 =a c
b d ,
2 + 3 + 4 =
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
3
5
3 + 2c a
d b
( ) 2 + 3 + 4 ( )
( ) ( )
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Complète le tableau:
L`opposé de 0 est 0 ,
Le 0 ni positif ni négatif
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
9 13)
2 4a
2 5) 3 2
3 6b
Exemple:
18 13
4 4 5
4
11 17
3 6 22 17
6 6 39
6
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
- X - =- 2 X -3 =
2 4
5 3
a c
b d
1 13 4
8 5
5
1
5 21
8 1
+ ,
+ x + = + ,
- x + = - ,
+ x - = -6 , 2 x 3 = 6 , -2 x 3 = -6 , 2 x -3 = -6a c
b d
ac
bd;a c
b b a c
b b
2
ac
b8
152 6
;3 7
12
21 4
7
25 21
8 5 105
8
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel
1 2
5 3
2 x 3 = 3 x 2a c
b d
2 x 3 x 4 = 2 x 3 x 4
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
1 1a a
b b
2 2.....
3 3
2
15
c a
d b
( ) ( )
( ) ( )
;a
b1
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
2`
3l inverse de est 3
....... 15
5
3
0a
b 0
3;
2
2....... 0
3 0 ,
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
( )a c e
b d f
2 1 3( )
3 4 5
4) (11 16)
9a
3) (8 5 1)
7b
a c
b d a e
b f
2 1
3 4 2 3
3 5
4(27)
912
3(14)
7 6
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
a c
b d 1 3
2 4
5 3)
4 2a 15 4
)4 9
b
,a d
b c
1 4
2 3
4
6
2
3; ; ;
15,
85
3
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
3
43
43
4
13
4
13
4
3
4
5( )
2
5( )
2 3
4
5
25
23
4
10
4
10
4
7
4
4
7 13
7
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
)240(0.125 0.01)b
1000)7216( )
8c
)2163 5d
30 2.4 1 1
240( )8 100 32.4
72161000
8 902 1000 902000
102163
2
22163
10 432,6
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
5 3,
6 2
3 1 5 3( )
2 3 6 2
3 1 5 9( )
2 3 6 6
3 1 2( )
2 3 3 3 2
( )2 9
27 4
18 18
23
18
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Le terme algébrique
(1 facteur numérique ou coéfficient)(1 facteur numérique ou coéfficient)
(5 facteur numérique ou coéfficient)(5 facteur numérique ou coéfficient)
Un terme algébrique est le produit de deux facteurs au moins.Un terme algébrique est le produit de deux facteurs au moins.
2a se compose de deux facteurs 2a se compose de deux facteurs (2 facteur numérique ou coéfficient)(2 facteur numérique ou coéfficient)
- 4X- 4X2Y se compose de quatre facteursY se compose de quatre facteurs
(a facteur algébrique)(a facteur algébrique)
- 4 ,- 4 , X ,X , X ,X , YY
2a , 2a , Sont des termes algébriqueSont des termes algébrique- 4x- 4x22Y ,Y , 3ab ,3ab , X ,X , 55
X se compose de deux facteursX se compose de deux facteurs (car X = 1X)(car X = 1X)
(x facteur algébrique)(x facteur algébrique)
5 5 se compose de deux facteursse compose de deux facteurs 5X5X0(X(X0 = 1) = 1) (5 x 1 = 5)(5 x 1 = 5)
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
55
Le degré d`un termeC`est la somme des puissances des symboles C`est la somme des puissances des symboles
Compléte le tableau :Compléte le tableau :
Termealgébrique
Coéfficient Degré
3
7ab3c
-8X2b
XY2
33
77
-8-8
11
-4x4x22YYXX 2ab2ab
=5X=5X0
Zéro degré ,Zéro degré , premiere degrpremiere degréé , ,X=XX=X1
deuxideuxièème degrme degréé2a2a1b1
troisième degrtroisième degréé , , -3a-3a2bb2 quatrième degréquatrième degré
00
55
33
33
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
L`expression algébrique
5x+2 ,5x+2 ,Sont des expressions algébriqueSont des expressions algébrique
3a3a5b Un termeb Un terme
3X3X2 + Y deux termes + Y deux termes
5X5X3 – 7X + 4 trois termes – 7X + 4 trois termes
Une expression algébrique est la somme de deux termes au moinsUne expression algébrique est la somme de deux termes au moins
Remarques :Remarques :
plus que trois termesplus que trois termes2x2x33 + 3X + 3X2 – X + 5– X + 5
a – 4 ,a – 4 , aa2 +3a - 1 ,+3a - 1 , - 4x- 4x22Y + XYY + XY - X- X
monomemonome
binomebinome
trinometrinome
PolynomePolynome
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
2X2 +x – 3X – 5
X3Y3 – X2Y2 + XY – 2
4X3 – XY + 5
Le degré d`un expression est la plus grand degré des termeLe degré d`un expression
Complete le tableau :Complete le tableau :
Expression algebrique
Nombre de termes
Nom degre
2a2b+3ab2 –a2cb2
X2Y2 – 3XY4
a2b-3ab3+2a3b2+b4
33
22
44
trinometrinome
binomebinome
polynomepolynome
55
55
55
(troisieme degre)
(deuxieme degre)(premiere degre)
(sixieme degre)
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Termes semblablesTermes semblables
Les terLes termes semblables ont même lettre et même puissance mes semblables ont même lettre et même puissance
2X , 4X , X , -3X
a2b, -5a2b, 3ba2
X, X2, X3
ab2, a2b, a2b2
sont des termes semblables
sont des termes semblablesne sont pas des termes semblables
ne sont pas des termes semblables
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Addition et soustraction des termes semblables
Pour additionner ou soustraction des termes semblables
On additionne et soustrait les coeffitions des termes semblables
solution
Exemple 1: Reduis l`expression algebrique
9a – 4b – 2c – 5a + 7b +3c
(9a – 5a) =
Exemple 2:
Dans la figure ci-contre, donne l`expression algebrique qui exprime la somme des aires des rectangles
solutionla somme des aires des rectangles =
3X2 + 2X + 9X + 6 =
+ (– 4b +7b) + (– 2c + 3c) 4a + 3b + c
3X2 + 11X + 6
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Reduis l`expressions algebrique :Exemple :
3X2Y + 4XY2 – 2Y3 + 3 + X2Y + 3Y3 - 4
solution
(3X2Y + X2Y) +
4X2Y +
(- 2Y3 + 3Y3) + (3 – 4)+ 4XY2
4XY2 + Y3 – 1
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
On multiple le signe x le signe lettre x lettre
Remarques:1) - X - = + ,
2) a x a = a2 ,
Multiplication des termes algebriques
5a 3b = 15ab 5X2 3X3 = 15X5 am an = am+n
Pour la multiplication, on additionne les puissances si les bases sont semblables.
X2 X3 = X5 , -2X6 -5X2 = 10X8
Exemple : Un rectangle de 4cm de longueur et 3cm de largeur calcule son aire
solution
2X3×5X2Y×(-3XY3) =
Aire du rectangle = longueur× largeur =
Trouve :
le nombre x le nombre,
+ x + = + , - x + = - , + x - = -
2 x a = 2a , a x b = ab
4X×3X = 12X2 cm2
- 30 X6 Y4
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Dans La figure ci-contre
a) Aire de A = …………….
b) Aire de B = …………….
c) Aire de C = …………….
d) Aires de A + B + C = …..
e) complete: X(X+2Y) =……. + ……..
X x X =
X x Y =
X x Y =
X2 +
2XYX2
Dans La figure ci-contre
a) Aire de A = …………….
b) Aire de B = …………….
c) Aire de A + B = …………….
X x X =
X(3Y-X) =
X2 = 3XY
X2
XY
XY
XY+ XY = X2 +2XY
X2
3XY –X2
+3XY–X2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Pour la division, on soustrait les puissances si les bases sont semblables.
division des termes algebriques
On diviseLettre÷lettre
Remarques:
1) - ÷ - = + ,
2) a5 ÷ a2 = a3,
5
3
X
X
6
2
2
5
X
X
m
n
a
a, ,
Exemples
le signe÷le signe le nombre÷le nombre
+ ÷ + = + , - ÷ + = - , + ÷ - = -
-2a2 ÷ a = -2a , a2 ÷a2 = 1
2X42
5X m na
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Exemple :
On met 3 boules dans une boite comme indique la figure.calcule le rapport entre le volume des 3 boules et la capacite de la boite solutionle diametre est 2r ,la longueur de la boite =
la largeur de la boite =la hauteur de la boite =Volume de la boite = L×l×h =
Le rapport =
= 1 : 2
Capacite de la boite
Volume des 3 boules
2r + 2r + 2r = 6r
2r2r
6r×2r×2r = 24r3
3433 r
6 2 2r r r
34 r324r
3.14
60.52
6
= =
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Addition et soustraction des expressions algebriques
Exemple1: Additionne les expressions algebriques
2X – 5Z + Y
solutionMethode horizontale
2X – 5Z + Y
(2X+7X)+
= 9X
Methode verticale
2X + Y – 5Z
7X + 4Y - 2Z
9X
Exemple 2 : Determine la somme: 3X2 - 4X - 2 et - X2 - 4X+7 solution
2X23X2 - 4X - 2
+ 7X + 4Y – 2Z
(-5Z -2Z)+ (Y + 4Y)
-7Z +5Y +5Z -7Z
- X2 - 4X + 7 = - 8X + 5
et 7X + 4Y – 2Z
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Exemple 3 :
soustrait l`expression -a2-5ab+4b2
solution
Soustrait :- deuxieme – (premiere)
3a2-2ab-2b2 –
3a2-2ab-2b2
= (3a2 +a2 ) +
= 4a2
de l`expression 3a2-2ab-2b2
(-a2-5ab+4b2)=
+ a2 + 5ab - 4b2
(-2ab + 5ab) + (-2b2 - 4b2)
+ 3ab - 6b2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Exemple 4 :
solutionQuelle est l`augmentation de X2 - 5X - 1 à
Augmentation : premiere – (deuxieme)
X2 - 5X - 1 - = X2 - 5X - 1
= - 2X2
Exemple 5 :
solution
Quelle est la diminution de
2X – 8Y - Z à
Diminution : deuxieme – (premiere)
3X – 3Y + Z + 5X
5X – 7Y – 7Z – = 5X – 7Y – 7Z
= 3X
3X2 + 2X - 3
(3X2 + 2X – 3) - 3X2 - 2X + 3
- 7X + 2
3X – 3Y + Z , 2X – 4Y – 8Z ?
2X – 4Y – 8Z = – 7Y – 7Z
(2X – 8Y - Z ) – 2X + 8Y + Z
Deuxieme =
+ Y – 6Z
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
X (3X + 5)X (3X + 5)= = 3X3X2 +5X
2XY (3X2XY (3X2 – 2Y – 2Y2))= = 66 --
--3a (2a + 4b)3a (2a + 4b)= = -- --
Multiplication d`un terme par une expression algebrique
Puis trouve la valeur numerique pour X = -2Puis trouve la valeur numerique pour X = -2
solution
33 =
Simplifie: 3(1 - 2X) – (XSimplifie: 3(1 - 2X) – (X2 - 5X + 3) + 2X(X + 3) - 5X + 3) + 2X(X + 3)
La valeur =
XX3 YY 44 XX YY3
66 aa2 1212 abab
- 6X- 6X - X- X2 + 5X+ 5X - 3- 3+ 2X+ 2X2 + 6X+ 6X XX2 + 5X+ 5X
+ 5 + 5 ×× -2 -2 = 4 – 10 = - 6(-2)(-2)2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
1) deux parenthèses de deux termes semblables et différents au signe de milieu
(X-Y)(X+Y) =
Carré du première - Carré du deuxième
X2 – Y2
(X-5)(X+5) = X2 – 25
)X + 2Y) (X – 2Y=( XX2 - -4Y4Y2
Remarque :(X-Y)(X+Y) = X2 – Y2
(X-Y)(X+Y)
X2 – Y2 =
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
(X-Y)2 = (X+Y)(X+Y)2 = =
2) Carré du binôme (Parenthèse a deux termes au carré)
Carré du premier terme (même signe) 1er x 2eme x 2+ carré du deuxième terme
2= = ) )33+ + XX ( ( 99
1er x 1er même signe
1er x2eme x2 2eme x2eme
++
+
++ X x X
XX2
X x 3 x 2
6X3 x 3
Trouve le produit :
(2X+5)2 = 4X2 + 20X+ 25
(3X-4Y)2
=9X2 -24XY+ 16Y2
X2 X2– 2XY + Y2 + 2XY + Y2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Dans La figure ci-contre
a) Aire de A + Aire de D =………...+ ……………
b) Aire de B + Aire de C = …..…..+ ………...
c) Aire du carre = …………….
X2 Y2
XY XY = 2XY
A+B+C+D =
X2 X2
(X+Y)(X+Y) = X2(X+Y)2 =
+XY+XY+Y2 = +2XY +Y2
+2XY +Y2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
3) deux parenthèses de deux termes différents
1er x1er (produis des moyens + produis des extrême) +2ème x 2ème
= = ))55 ))2X-2X- ( (22 + +3X3X)) 6X6X2 - 10- 10- 11X- 11X
4X-15X-11X-11X
= = ) )22+ + XX ) ( ) (44 + +2X2X ( ( 2X2X2 +8+8+8X+8X
4X4X8X8X
(X+1)(X+2) =X2+3X+2
(X-2)(X-3)
=X2 - 5X +6
(2X-3)(X+5)
=2X2 +7X-15
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Complete :
(3X+2)(2X+5) = ……….. + ….….. + ……… + ……..
= …….. + …….. + …….
3X x 2X
= …….. + …... + ….... + ……..
3X x 5 2 x 2X 2 x 5
6X2 15X 4X 10
6X2 19X 10
Le produit des 3X+2 et 2X+5 represente l`aire du rectangle:
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Compléte:a) (3X+2)(X+7) =a) (3X+2)(X+7) =
b) (3X-2)(X-7) =b) (3X-2)(X-7) =
c) (3X-2)(X+7) =c) (3X-2)(X+7) =
d) (3X+2)(X-7) =d) (3X+2)(X-7) =
e) (X+5Y)(X-5Y) =e) (X+5Y)(X-5Y) =
f) (X-4)(X+4) =f) (X-4)(X+4) =
g) (2X+Y)g) (2X+Y)2 ==
h) (2X-Y)h) (2X-Y)2 ==
Dans La figure ci-contre
Determine l`aire de la partie hachurée
Aire grand rectangle (5X+Y)(3X+Y) =
Aire petit rectangle Y(2X+Y) =
L`aire de la partie hachurée =
15X2 +8XY+Y2 -2XY -Y2 = 15X2 +6XY
2XY+Y2
15X2 +8XY+Y2
3X2 +23X+14
3X2 - 23XY+14
3X2 +19XY-14
3X2 -19XY-14
X2 -25Y2
X2 -16
4X2 +4XY+Y2
4X2 - 4XY+Y2
(5X+Y)(3X+Y) – Y(2X+Y) =
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
a) Aire de A = …………….
b) Aire de D + Aire de C = ……… + ..…….
c) Aire de B + Aire de C + Aire de D =
………..…+ ……….…… +………….
(X-Y)(X-Y)=
Y(X-Y)Y2
=Y2 +XY = XY
XY XY-Y2 Y2 = 2XY
(X-Y)2 = ……...……..X2 - 2XY+Y2
X2 +Y2 = (X-Y)2 + ……..2XY
(X-Y)2 = X2-2XY+Y2
-Y2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Produit de deux expressions
(X+3)(X2+X+1) =La methode horizontale :La methode horizontale :(X+3)(X2+X+1) = X(X2+X+1) +3(X2+X+1)
= X3 + X2 + X + 3X2 + 3X + 3 = X3
La methode verticale :La methode verticale :X2 + X + 1
X + 3
X3
3X2
X3
+ 4X2 + 4X + 3
+ X2 + X
+ 3X + 3
+ 4X2 + 4X + 3
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
On divise chaque terme par ce terme1) X2 + 2XY
X= X2
X+ 2XY
X= 2YX +
2) 2ab + 6ac + 12ad2a
= 2ab 2a
+6ac2a
= 3cb ++12ad2a
+ 6d
X2 + 14X7X
= X2 7X
+ 14X7X
= 2X +7
4) (X2 + X) ÷ X =
5) (15a + 5) ÷ 5 =
6) (15X4 + 5X3) ÷ 5X3 =
X3a
3X
3)
+ 1+ 1
+ 1
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
÷
=b+ 3C+ 6d
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Factorisation par le PGCDOn trouve le PGCD et divise chaque terme par le PGCD
Exemple 1: Factorise 3X2Y3 – 9X3Y4 + 12X3Y2
solutionLe PGCD estOn divise chaque terme par le PGCDOn divise chaque terme par le PGCD
3X2Y3 – 9X3Y4 + 12X3Y2 = 3X2Y2 (
Exemple 2: Factorise 3a(4a + 5b) – 2b(4a + 5b)solution
Le PGCD est (4a + 5b)
3a(4a + 5b) – 2b(4a + 5b) =
3) 21X3) 21X2YY3ZZ2 – 14X – 14X3YY2 + 7XY = + 7XY = 7XY7XY
X2 Y23
Y - 3XY2 + 4X)
(4a + 5b)( 3a – 2b)
(3XY(3XY2ZZ2 – – 2X2X2YY + 1)+ 1)
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Multiplication répètee : an Puissance
baseanSe lit a puissance n
, (5a) 0 = 1
(- a)n +
-Si n est un nombre pair
Si n est un nombre impair
(-2)4 = 24
(-2)5 = -25 =
Dans la multiplication on additionne les puissances d`une même base.
a m - n 24
Dans la division on soustrait les puissances d`une même base
53 – 52 =
25 = 2×2×2×2×2=32
a0 = 1 tel que a ≠ 0 , 50=1 , 20=1 , 5a0 =5×1 =5
=16
-32Remarques :
a) am × an = , 23 × 22 =am+n 25
c) a m + an dans l`addition et la soustraction on calcule chaque terme.
125 , 23 + 24 =– 25 = 100 8 16+ = 24Monsieur/ Emad Sabet
2001 2002 2003 2004 2005
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Mill
iers
des
tet
es
Vaches
Buffes
Moutons
Chevres
Chameaux
Annees
StatistiquesLecture et analyse des donnees Diagramme en batons
Le tableau ci-contre représente le nombre de quelques animaux en Egypte pour la période de 2001 à 2005 Les nombres sont en milliers
On utilise des diagrammes pour éclairer les données pour les analyser facilement
On trace deux axes perpendiculaires
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
sur l`axe vertical on représente le type d`animaux et les années sur l`axe horizontal.
Pièces plantées des produits de l`hiver
Type 2001 2002 2003 2004 2005
Total 6286 6479 6571 6482 6607
2001
2001
2002
2002
2003
2003
2004
2004
Pièces plantPièces plantééeses
6700
6600
6500
6400
6300
6200
6100
2005
2005
Années
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Distribution des touristes selon leur nationalité de 2002 à 2006
Nationalité 2002 2003 2004 2005 2006
Américains 171 188 257 298 340
% 3.3%
angle
Arabe 1128 1322 1496 1703 1922
% 21.7%
angle
Européens 3584 4204 5920 6120 6260
% 69%
angle
AutresNationalités
309 331 431 487 561
% 6%
angle
Total 5192
% 100 100 100 100 100
a) Calcule le nombre des touristes de 2002 à 2006
2003 =188+1322+4204+331=6045
6045 8104 8608
9083
Le tableau ci-contre indique le nombreDe touristes en milliers qui ont visité l`Egypte pendant 5 années
b) Donne les pourcentages à un dixième prés de 2002 à 2006
Le pourcentage est calculé comme suit :
nombre x 100 total
Américains 2003 = 188 x100 = 6045
Arabe 2003 = 1322 x100 =
6045 Européens 2003 = 4204 x100 = 6045
Autres Nationalités 2003 =331 x100 =
6045
3.1%
21.9%
69.5%
5.5%
3.2%
18.5%
73.1%
5.3%
3.5%
19.8%
71.1%
5.7%
3.7%
21.2%
68.9%
6.2%
Secteurs circulaires
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
3.1 %
21.9 %
69.5%
5.5%
Distribution des touristes selon leur nationalité de 2002 à 2006
Nationalité 2002 2003 2004 2005 2006
Américains 171 188 257 298 340
% 3.3%
angle
Arabe 1128 1322 1496 1703 1922
% 21.7%
angle
Européens 3584 4204 5920 6120 6260
% 69%
angle
AutresNationalités
309 331 431 487 561
% 6%
angle
Total 5192
% 100 100 100 100 100
6045 8104 8608 9083
3.1%
21.9%
69.5%
5.5%
3.2%
18.5%
73.1%
5.3%
3.5%
19.8%
71.1%
5.7%
3.7%
21.2%
68.9%
6.2%
c) Transforme les pourcentages à la mesure d`un angle d`un secteur circulaire
La mesure d`angle est calculé comme suit
360 x pourcentage 100
360 x 3.3 100
L`angle des Américains 2002 =
360 x 21.7 100
L`angle d` Arabe 2002 =
360 x 69 100
L`angle des Européens 2002 =
L`angle des Autres Nationalités 2002 =
360 x 6 100
=11.88 = 120
=78.12 = 780
= 248.4 = 2480
=21.6 = 220
120
780
2480
220
110
790
2500
200
11.50
66.50
2630
190
12.50
710
2560
20.50
130
76.50
2480
22.50
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Européens2003
Arabe2003
NationalitésAutres
Nationalités 2003
69.5 % 22% pourcentage
Américains2003
3%
Solution
d) Represente le tableau par des secteurs circulaires
5.5 %
11%Am
Arabe 22 %
Aut
5.5
%
2500790 Angle 200110
Européens 69.5%
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Representation des donnéesLe Mode :
Le tableau d`effectifs suivant indique les poids des élèves
Poids (kg) 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
Nombre d`élèves
1 2 2 4 6 7 4 5 3 2 2 1 1
1) Quel est le poids le plus répandu?2) Quel est le nombre d`d`élèves qui ont le poids le plus répandu?
est la valeur que l`on trouve le plus dans une distribution.
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
876543210
élèves
Kg
mode
Les poids d`d`élèves
Solution1) le poids le plus répandu est 35 kg
2) le nombre d`d`élèves qui ont le poids le plus répandu est 7 élèves
Le mode de 5, 6, 10, 13, 17, 17, 22 est..... a)22 b)13 c)19
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
d)17
Pour déterminer la médiane :1) on range les valeurs dans l`ordre croissant ou décroissant
2) si les nombres impairs on prend la valeur médiane n + 1 2
25, 32, 40, 48, 50, 52, 58La médiane est
3) si les nombres pairs on prend la demi-somme des deux valeurs n n 2 2
2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12 6 + 7 = 2
Médiane
Dans les groupes de 9 élèves la taille médiane sera la 5ème
Dans les groupes de 10 élèves la taille médiane sera la moitié de la somme de la 5ème et 6ème
161 + 162 = 2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
48
et +1
La médiane est 13 2
= 6.5
Taille médiane = 323 = 2
161.5 cm
La moyenne = la somme de valeurs ÷ le nombre de valeurs
Calcule la moyenne de 6, 4, 1, 3, 7 la moyenne = 6 + 4 + 1 + 3 + 7 + 95
= 305
= 6
La moyenne 19.1 + 18.3 + 23 + 23.84
= 84.2 4
= 21.05 ==
Trouve la moyenne arithmétique des températures maximales en Janvier
Moyenne arithmétique
JanvierLe Caire Alexandrie Louxor Assouan
Max Min Max Min Max Min Max Min
19.1 8.6 18.3 9.3 23 5.4 23.8 8
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
21
choisis
1 (Le mode de 5, 6, 15, 5, 10, 13, 15, 15, 22 est.....
1) 22 2) 13 3) 5
2 (La moyenne de 5, 6, 10, 4, 3, 2 est.....
1) 30 2) 6
3 (La médiane de 5, 6, 10, 3, 2 est.....
2) 3 3) 10 4) 6
L`ordre: 2, 3, 5, 6, 10
3 (La médiane de 5, 6, 4, 10, 3, 2 est.....
1) 4
L`ordre: 2, 3, 4, 5, 6, 10
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
4) 15
5 + 6 + 10 + 4 + 3 + 26
3) 5 4) 10
1) 5
4 + 52
3) 5 4) 62) 4.5
= 306
Un segment est un ensemble formé d’une succession de points reliant deux points.
A B
AB BA
les deux points sont appeléés les extréémites du segment
Le segment est notéé AB ou BA
1) Le segment
=
Nous éécrirons: la logueur de AB = 6cm
AB = 6 cmou
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Notions géométriques
2) La droite: 2) La droite:
Une droite est formée d’une succession de points reliant deux points définis ou non définis (a une infinité de points)
A B C A B C
D D
il existe une seule droite passant par deux points.
La droite est notée AB = BA = AC = BD = AD = L
une droite notune droite noté par deux points par deux points quelconques qui lui appartiennent.quelconques qui lui appartiennent.
L
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
3) La demi droite3) La demi droiteUne demi-droite est une partie de la droite
Une demi-droite noté par le point origine et n`importe quel autre point qui lui appartient
A B C A B C
D D
La demi - droite est noté AB = AC = AD
Remarques:
AB AB AB∩ ∩
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
4) L`angle 4) L`angle Un angle c’est la réunion de deux demi-droites de même origine.
CC
BBAA
et les deux demi-droites
L’origine (A) est appelée le sommet de l’angle AB AB
∩
=
BAC
AB ACsont appelées les côtés de l’angle.
,
CAB
ou
Bissectrice d’un angle
Si AD est la bissectrice de ∠BACAlors, A
B
CD
m (∠ BAD) = m (∠ CAD)
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Nature des angles
2) Angle droit :
sa mesure est égale à 900
00 < mesure de l’angle aigu < 900
3) Angle aigu:
900 < mesure de l’angle obtus < 1800
4) Angle obtus :
sa mesure est égale à 0
1) Angle nul :
ses côtés sont confondus
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
sa mesure est égale à 1800 et ses côtés forment une droite
5) Angle plat :
A,B,C sont alignes
A BC
A B
C
1800 < mesure de l’angle rentrant < 3600
6) Angle rentrant :
Trouve l`angle rentrant de l`angle 1500
360 – 150 = 2100
150210
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
relations entre les angles relations entre les angles Deux angles sont adjacents: s’ils ont le même sommet et un côté commun. et les deux autres côtés situés de part et d’autre du côté commun
B
CD
A
BAD
CAD
et ont même sommet AAD est côté commun
les côtés AB , AC situés de part et d’autre du côté commun ADAlors les angles BAD et CAD sont adjacents
1) Angles adjacents:
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
2) Angles complémentairesDeux angles sont complémentaires: si la somme de leurs mesures est égale à 900
Trouve les complémentaires des angles de mesures 400 , 600 Le complémentaire de 40 estLe complémentaire de 60 est3) Angles supplémentairesDeux angles sont supplémentaires: si la somme de leurs mesures est égale à 1800Trouve les supplémentaires des angles de mesures 400 , 600 Le supplémentaire de 40 estLe supplémentaire de 60 est
90 – 40 = 500
90 – 60 = 300
180 – 40 = 1400
180 – 60 = 1200
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
1) Deux angles adjacents formés par l’intersection de demi-droite et une droite………….
Remarques
A BC
DSi m
BAD = 700 CAD
=Alors m
700
CAE = m
2) Si Deux angles adjacents sont supplémentaires alors……..
A BC
D
7001100Si m( BAD) + m( CAD) = 180∠ ∠ 0
Alors AB ACet sont alignes
A BC
D
400
E
sont supplémentaires
180 – 70 = 1100
180 – (40+90) = 180 – 130 = 500
(les deux demi-droite sont alignes)
?
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Angles opposés par le sommet
A
BC
DM
Si deux droites sont sécantes alors
Les angles opposés par le sommet
ont la même mesure.m ( AMD) = m ( CMB) , ∠ ∠
m ( AMC) = m ( DMB)∠ ∠
A
BC
DM
500
Exemple: dans la figure ci contre
Si m( AMC) = ∠ 500
Alors : m ( AMC) = m ( DMB) = ∠ ∠ 500
m( AMD) = m ( CMB) =∠ ∠ 180 – 50 = 1300
500
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Angles formés autour d’un pointLa somme des mesures des angles formés autour
d’un point est égale
A B
CD
E
Si m
CAE = 1300
, m
CAD = 1000
, m DAB = 700
Alors
m BAE =
1300
1000700
360 – ( 110 + 30 + 90) =
AB
CD
E
1100
300
m( CAE) = ∠
3600
360 – ( 130 + 100 + 70) = 360 – 300 = 600
360 – 230 =
?
1300
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Exercices
A BC
D1200
A BC
D
400500
A BC
D
xxxx
1) m( BAD) =∠
2) m( DAE) = ∠E
1800 - (50 + 400 ) =
180 – 90 = 900
E
F3) m( BAD) = m( DAE) = m( EAF) = m( FAC) = .… ∠ ∠ ∠ ∠
= 180 ÷ 4 =
1800 - 120 = 600
450
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
B A
C
D
M
1160
Ex
x
4) AB ∩ CD = {M}est la bissectrice de l`angle AMCME
m( BMC) = ∠ 1160
Trouve: m( AMC) ,∠ m( AMD) ,∠ m( AME)∠
m( AMC) =∠ 180 – 116 =
m( AMD) = ∠ m( CMB) =∠
m( AME) =∠ m( CME) =∠ 64 ÷ 2 =
Solution
B A
B
M
1300500
750
D
Complète:
2) ……. , ……. Sont alignes
1) m( BMD) = ……..∠ 360 – ( 75 + 130 + 50) = 1050
MA MB
640
1160
320
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Constructions géométriques1) Construction la bissectrice d’un angle
B
C
A
D
ABD
CAD
= mm
BD est la bissectrice de
ABC
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
2) Construction la perpendiculaire à une droite
BC
*A
D
L
d’un point à l’extérieur d’elle.
AD ┴ BC
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
3) Construction la médiatrice d`un segment
la médiatrice: c`est la droite perpendiculaire à un segment passe par le milieu
BA
C
D
D AD = DB
CD ┴ ABCD est la médiatrice
de AB Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
4) Construction un angle égale un autre angle
B
C
A
B\
C\
A\
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
1) les côtés correspondants ont même longueur
SuperpositionSuperposition
Les polygones ARBEK et OHCEK sont superposables
Complète :CH =......, EK =......
HO =......, EC =......
KO =......,
m ( C) = m ( ......) ∠ ∠
m ( H) = m ( ......) ,∠ ∠
m ( O) = m ( ......)∠ ∠
A
R
BE
K
O
H
C
Deux polygones sont superposables si :
2) les angles correspondants ont même mesure
commun
m ( OKE) = m ( ......)∠ ∠
KE côté……….….aux polygones
m ( KEC) = m ( ......)∠ ∠
BR EK
RA EB
KA
B
AKE
R KEB
A
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Superposition des trianglesUn triangle a 6 éléments, 3 côtés et 3 angles
Le symbole___est utilisé pour la superposition qui se lit superposable à
Deux triangles ayant deux côtés respectifs de même longueur et l’angle compris entre ces côtés de même mesure, sont superposables.
C
A
BE
D
H
Dans le et le
ABC DHEAB = DHAC = DE
m ( A) = m ( D)∠ ∠
ABCdonc ___ DHE et
BC = HE , m ( B) = m ( H) , ∠ ∠ m ( C) = m ( E)∠ ∠
Premier cas de superposition de deux triangles
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Deux triangles ayant un côté de même longueur et deux angles Respectifs de même mesure, sont superposables.
C
A
BE
D
H
Dans le et le
ABC DHEAC = DE
ABCdonc ___ DHE et
AB = DH ,
m ( A) = m ( D) , ∠ ∠m ( C) = m ( E)∠ ∠
Deuxième cas de superposition de deux triangles
BC = HE , m ( ∠ H) = m ( ∠ B)
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Deux triangles ayant les trois côtés respectifs de même Longueur sont superposables
Troisième cas de superposition de deux triangles
C
A
BE
D
H
Dans le et le
ABC DHEAB = DHAC = DE
m ( A) = m ( D) , ∠ ∠ABCdonc ___ DHE et
BC = HE
m ( B) = m ( H) , ∠ ∠
m ( C) = m ( E)∠ ∠
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Deux triangles rectangles ayant l’hypoténuse de même longueur et Un côté de l’angle droit de même longueur, sont superposables.
Dans le et le
ABC DHEAB = DHAC = DE
m ( ∠ B) = m ( H)∠
ABCdonc___ DHE et
BC = HE , m ( A) = m ( D) , ∠ ∠
m ( C) = m ( E)∠ ∠
Quatrième cas de superposition de deux triangles
C
A
B
E
D
H
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Exercices1) AM = BM , CM = DM
M
A
B C
D
Démontre que ▲ AMC ≡ ▲ BMD
Dans le et le
AMC BMDMC = MDMA = MB
m ( CMA) = m ( BMD)∠ ∠
AMC ≡donc BMDOpposé par le sommet
solution
xx
**
A
BC
D
2) Complète: 1) ABC≡ ………
2) m ( A) = m( …….)∠ ∠ 3) AB = …….
4) ……….. = BD
DCB
D CD
CA
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Dans le et le
ABD ACDAB = ACDB = DC
m ( CAD) = m ( BAD)∠ ∠
ABD ≡donc ACD et
3) AB = AC ,
DB = DC ,
AD cÔté commun
Démontre que AD est la bissectrice BAC∠A
BCD
Donc AD est la bissectrice BAC∠
solution
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
4) AC = AE , AB = DE ,
Trouve:
C
A BD
E
560
m( D) = m( B) = 90∠ ∠ 0
m( BAC) = 56∠ 0 , BC = 5cm
a) m(∠AED) b) la longueur de AD
Dans le et le
ABC ADEAC = AEAB = ED
m ( BAC) = m ( DEA) = 56∠ ∠ 0
ABC ≡donc EDA et
BC = DA = 5cm
m( D) = m( B) = 90∠ ∠ 0
5cm
solution
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Parallélisme 1) Deux droites parallèles ne se coupent pas
2) Si deux droites sont parallèles à une troisième alors
AB
CD
L1L2
L3
Si L 1 // L 3 et L 2 // L 3 alors L 1 // L 2
3) Si une droite coupe l`une de deux droites parallèles Alors
L1L2
L3
Si L1//L2 et L3 coupe L1 alors
elles sont parallèles entre elles.
AB ∩ CD = Ø
elle coupe l`autre .
elle coupe L2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
5) D`un point extérieur a une droite on peut tracer
*A
B CDu point A on peut tracer une seule droite parallèle à la droite BC
L1L2
Si L1 // L2 et L3 ┴ L1 alors
4) Si une droite est perpendiculaire à l`une de deux droitesparallèles alors
L3elle est perpendiculaire à l`autre.
L3 ┴ L2
une seule droite…………………….. parallèle a cette droite.
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
RemarquesSi une droite coupe deux droites parallèles alors
1) les angles alternes internes
ont même mesure (Z) m ( 3) = m ( 5) , ∠ ∠ m ( 4) = m ( 6) ∠ ∠
7
12
4
5
3
6
87
4
5
3
6 5
3
2) les angles correspondantsont même mesure (F) m ( 4) = m ( 8) , ∠ ∠ m ( 3) = m ( 7) , ∠ ∠
m ( 1) = m ( 5) , ∠ ∠ m ( 2) = m ( 6)∠ ∠
8
43
1
5
2
6
3) les angles intérieurs d`un même coté de la sécante
sont supplémentaires (1800) ( )m ( 3) + m ( 6) = ∠ ∠ 1800 , m ( 4) + m ( 5) = ∠ ∠ 1800
3
6
4
5
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Si deux droites coupées par une secante déterminent:
1) Soit deux angles alternes internes de même
mesure alors
2) Soit deux angles correspondants de même mesure alors.
3) Soit deux angles intérieurs d`un même cÔté de la sécante supplémentaires (1800) alors
12
3 4
56
7 8
Si m ( 3) = m ( 5) , ∠ ∠ m ( 4) = m ( 6) ∠ ∠Alors AB // CD
A B
C D
Si m ( 4) = m ( 8) ou ∠ ∠ m ( 3) = m ( 7) , ∠ ∠
Ou m ( 1) = m ( 5) , ∠ ∠ ou m ( 2) = m ( 6)∠ ∠Alors AB // CD
Si m ( 4) + m ( 5) = ∠ ∠ 1800 Ou m ( 3) + m ( 6) = ∠ ∠ 1800 , Alors AB // CD
les droites sont parallèles.
les droites sont parallèles
les droites sont parallèles
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Si des droites parallèles découpent une droite des segments
De même longueur alors
Droites d`autre segments de même longueur.
Si L1 // L2 // L3 // L4
L4
L3
L2
L1
L5 L6
et AB = BC = CD alors
A
B
C
D
X
Y
Z
K
XY = YZ = ZK
elles découpent aussi sur toute autre
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Exercices
A B
D E
*C
F
G
H
1) Détermine tous les angles égale l`angle ABE tel que AC//DF
solution
m ( ABE) = m ( DEH) correspondants ∠ ∠
*m ( ABE) = m ( BEF) alternes internes ∠ ∠ *
m ( ABE) = m ( GBC) opposé par le sommet ∠ ∠
Si m ( ABE) = 62∠ 0 alors m( BED) = ………. ∠ 180 - 620 =
620
*
1180
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
1150
2) Dans la figure ci-contre:
650
Est-ce que Pourquoi ?
solutionA
B
C
DE
m ( C) =∠
m ( D) = m( C) = 65∠ ∠ 0
650
Alternes internes
AB // CD et AC sécante ...
AC // ED
.. .
...
.. .
AB // CD
AC // ED
, m( A) = 115∠ 0
m( D) = 65∠ 0
180 – 115 = 650
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
3) Dans la figure ci-contre : A420
1170
B
CD
EF
AB // CD , EF // CD
m ( A) = 42∠ 0 et m( C) = 117∠ 0
Trouve m ( AEC)∠solution
m ( A) = m ( AEF) = 42∠ ∠ 0
m ( FEC) = 180 - 117 = 63∠ 0
Alternes internes
AB // EF et AE sécante ...
.. .
420
EF // CD et EC sécante ...
.. .
630
intérieurs d`un même cÔté
.. . m ( AEC) =∠ 42 + 63 = 1050
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
4) Dans la figure ci-contre:
AO // DX // EY // BC , AX = XY = YC
, AB = 12cm trouve la longueur de BE
solution
AO
BC
D
E
X
Y...
.. .AO // DX // EY // BC et AX = XY = YC
AD = DE = EB = 12 ÷ 3 =
.. EB = 4cm
4cm
.
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
Théorème de Pythagore
l’aire du carré construit sur l’hypoténuseest égale à la somme des aires des carrés
Dans un triangle rectangle
construits sur les deux autres côtés.
Si ABC est un triangle rectangle en B alors A
BC
AC2 =
AB2 =BC2 =
AB2 + BC2
AC2 - BC2
AC2 - AB2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
25 – 16 = 9 cm2
= (15)2
(x+3)2+ x2 - x2
Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet
h2 =(2500)2 – (1500)2 =6250000 – 2250000 =4000000 m2
précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet