The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

論 文学生論文特集

混合整数計画法 に よ る旅客損失 を最小化する鉄道の 運転整理 と計算

時間短縮式

田村 啓† 佐藤　圭介††a ） 富井 　規 雄†b）

ATrain 　Timetable　Rescheduling　MIP 　Formulation　wi 七h　Addi 七ional　Inequalities

Minimizing　Inconvenience　to　Passengers

Kei　TAMURA † Keisuke　SATO ††a ） and 　Norio　TOMII †b）　 　 　 　 　 　 　 　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，

　あ ら ま し　災害 や 事故 な どで 鉄 道 の 列車 ダ イヤ が 乱 れ る と，事 態 収 束 の た め，一連 の ダ イ ヤ変 更 か らな る 運 転

整理 が 行 わ れ る が，

そ の 量 と複雑 さか ら コ ン ピ ュータ シ ス テ ム の 支 援 が 望 まれ て い る．本 論 文 で は，単 純 な遅 延

の 解 消 で は な く旅客 の 視点 に たつ 運転整理 を 目的 に，一人の 旅客が ダイ ヤ 乱れ時に 被る不便度と平常時 に感 じて

い る不 便 度 と の 差 分 を旅 客損失 と定義 し， そ の 総和 を最小化する ，混合整数計画法に 基 づ い た ア ル ゴ リズ ム と計

算時間短縮式を提案す る．本論文 の 定式化 は，先行研究 と同様 に，運転整理手段 とそれ に 影響 され る運転整理 ダ

イヤ からなる 列車運行部分 と，運転整理 ダ イヤ に対して 定まる旅客の 利用経路 を意味する旅客行動部分 とを，一

体的に 表現する ．列車運行 に つ い て は，運転整理 手段 と して 列車の 順序変更に 加 えて種別 変更 と折 返 し変更が 実

施可能で，旅客行動 に つ い て は，拡張 され た評価指標 を用い る た め，

モ デ ル の 規模 が増大す る が，解空 間を縮小

する 制約式を導入 して計算時間を揶える．実路線を含むデー

タ に対 して，様 々 な運転整理手段を用 い て 旅客 の 存

在 を考慮 した 運転整理 ダ イ ヤが 実時 間で作成で きる こ とを，計算機実験 に よ り示す．

　キーワード　鉄道 の 運 転整 理 ，混 合 整 数計画 問 題，旅客行動，最 短路，解空間

1．　 ま え が き

　鉄道は各列車の 各駅 で の 到着時刻や出発時刻な どか

らなる列車ダイヤ に従 っ て 運行 され る が，災害や事故

などで列車ダイヤ に乱れが生 じる と，事態収束 の ため，

運転整 理 と呼ば れ る一連 の 列車 ダ イ ヤ の 変更が行わ れ

る ［1］．

　現在の とこ ろ ， 列車運行の 予測 シ ミュ レーシ ョ ン 部

分 などは コ ン ピュータ シ ス テ ム の支援があ る が，その

業務の 大半は担当者 の 人力 に委ね られ て い る．業務 の

量 と複雑さから更なる支援が望 まれ て い る が，それ に

は次の よ うな難 しさが あ る．

t 千葉 工業大学 情報科 学部，習志野 市

　 Facu 正ty 　 of 　Information 　 and 　qomputer　Science｝Chiba 　Jnsti−

　 tute　of 　Technolo 菖y，2−17 −1　Tsudanuma ，　Narashino −shi ，275 −

　 0016Japan廿 （公 財）鉄道総 合技術研 究所信号 ・情報技術 研究部，国分 寺市

　 Signalling　 and 　 Transport 　Information 　Technol   gy 　Division，　 Railway 　 Technical　Research 　Ins七itute｝2−8−38　 Hikari −cho 、　 Kokubunji −shi ，185 −8540 　Japan

a ）E −mail ： keisate ◎ rtri ．or ．jpb）E−mail ： tomii ◎ cs 、it−chiba 、ac ．jp

●

●

●

●

ダイヤ変更には様々 な手段と組み合わせがある．

リア ル タ イ ム 性 が 要求 さ れ る．

運行本数が 多い 都市圏で は大規模な問題に な る．

旅客が被る不便 と行動変化を考え る必要があ る．

　なか で も最後の 要件が重要 と考えられ る ．列車の 遅

延を解消す る観点だけ に たつ と，例 えば，列車を運休

させ れ ば そ の 列車 の 遅延 は な くな る が， 旅客が 次の 列

車を待つ 時間が 長 くな る ．また，

全列車に つ い て 遅延

を回復 させ るよう に運行 させれば ， 特定 の 駅 で 列車の

出発間隔 が 不均一に な り， 旅客間で待 ち時間に偏 りが

発生する．こ れらは旅客の被る不便を増 大させ る．

　本論文で は， 旅客が ダイヤ 乱れ時に被る 不便度と平

常時に感 じて い る不便度 との 差分を旅客損失 と し，そ

の 総和を最小化す る運転整理 ア ル ゴ リズ ム ［2］， ［3］と計

算時間短縮の た め の追加制約式を提案する ．こ の ア ル

ゴ リズ ム は，駅 や 配線な どの 施設，平常時 の 所定ダイ

ヤ，旅客 の 需要 ， ダイヤ乱 れ の 各情報を 入力 と して，

混合整数計画問題 圏 に定式化 し，そ の解 を運転整理

ダイヤ と して 出力する ．

　混合整数計画 問題 とする こ とで ，メ タ ヒ ュー

リス

電子 情報通 信学会論 文誌　D 　Vol．」97−D 　NQ．3　pp．393−404　◎

一般 社団 法人電子 情報通 信学会 2014393

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

電子情報通信学会論文誌 2014／3vol．　J97−D　No ・3

テ ィ ク ス で は得 ら れ る保証 の 少ない ，最適解や精度情

報付 き解 の 導出が可能 に な る ．

　定式化は文献［5］と比較 して新たに幾 つ か の ダイヤ

変更手段に対応 して お り，現状の担当者 と同等 の 機能

を備え て い る。旅客の行動に つ い て は，拡張された評

価指標を用 い る こ とで ，現実が よ り正 しく反映 されて

い る．こ の た め モ デル の 規模が増大す る が ， 追加制約

式 の 導入 に よ り計算時間を抑えて 実用に供する ア ル ゴ

リズ ム に し， 実路線 を含 む デー

タを用 い た計算機実験

に より有用性 を確認する ．

2． 運転整理の 現状

　2．1　運転整理 で用い られ る手段

　運転整理 の 実務 で 用 い られる手段 に は，列車の （部

分）運休 ， 種別変更 ， 駅 で の 番線変 更，折 返 し変更，

順序変更，間隔調整な どが ある．主な手段 に つ い て，

図 1 に示す，横軸に時間，縦軸に駅並 びをとり，各列

車の各駅で の到着時刻と出発時刻を線で 結ん だ 列車ダ

イ ヤ 図を用 い て 説 明す る （文献 ［1］も参照 され た い ）．

　種別変更 とは，列車の種類を快速列車か ら普通列車

に す る な ど して ，本来停車 しない 駅 に 停車 さ せ る こ と

で ある ．その よ うな駅 で多数 の 旅客が列車を待 っ て い

る場 合に効果的な手段となる．逆 の 例 も考えられ る．

　番 線変更 とは，列車が駅 で停車な い し通過す る番線

を変更する こ とを指す．

　折返 し変更の 例を図 1 左に示す．1本 目の 列車は A

駅到着後に最寄 りの 車庫に 入庫 し （薄△ 印），2 本 目の

列車は 同駅で折返しを して反対方向の列車と し て運行

され る 予定で あ っ た （薄線）．こ こ で ，2 本 目の 列車が

遅 れ た た め，1 本目 を折 返 し に して 2 本目 を入庫さ せ

て， 遅れを波及 させ な くして い る （黒線，黒 △ 印）．

　順序変更を図 1 右を用 い て 説明する．所定ダ イ ヤ で

は ， Y 駅 で 快速列車 （太薄線）が普通列車 （細黒線）

を追 い 抜 く予定であっ た が，快速列車の Z 駅出発が遅

れ たため，追 い 抜 く駅 を X 駅に 変更 して い る （太黒

S聖a．X 广尸

s竃a．Y

　r广尸

§ta・尸

　　　 図 1　折返 し変更 （左） と順 序変更 （右）

Fig ．1　Change 　of 　turnback （left）and 　 change 　 of 　de−

　　　 parting 　order （right ）．

線）．言 い 換 える と，Y 駅 で の 出発順 序を変更 し，普

通 列車を先に 出発させ て い る．さ もな い と， 普通列車

は Y 駅 で快速列車を待つ こ とに な り，余計な遅延が発

生する．

　実務で は こ れ らの手段を多数の列車に対 して複雑に

組み 合わせ て適用する必要が あ る こ と，また，単に列，

車 の 遅延 を少 な くすれば よい わ けで はな く， 利用者の

数や動 きを念頭 に お い て利用者の 迷惑をな る べ く少な

くす る ような運転整理 ダイヤ を作 らなければな らない

こ と に，運転整理 の 難 し さ が ある．

　2．2　運転整理最適化の 先行研究

　運転整理 の 最適化は これ まで多数研究され て い る ［6］．

近年で は， 遅延時間 を最小化すべ く， 文献 ［7］に お い

て，列車運行の 選択 グ ラ フ に よる表現とメ タ ヒ ュー

リ

ス テ ィ クス を用 い た解法が提案 され て い る．一方で ，

厳密な最適解を得る た め に，混合整数計画問題と して

の定式化が 文献 ［81で なされ て い る．文献 ［9］は運転整

理手段 と して番線変更 と順序変更 を行 う．しか しなが

ら，こ れ らは 旅客 の 視点 を陽 に は 考慮 して い ない ．

　こ れ に対 して ，文献 ［10］は ダイヤ乱 れ に よ り生 じ

る 旅客 の 不 満 を定義 し，メ タ ヒ ュー

リス テ ィ ク ス で 不

満 の 総和 を最小化 して い る．そ の なか で は，列車運行

を pERT （Program 　Evaluation 　and 　Review　Tech−

nique ）で 表現 し，運休を含む多 くの 運転整理手段を

駆使 して い る．旅客視点に よ る混合整数計画モ デ ル と

して ，文献 ［11］で は旅客の 被 る遅延の 総和 を最小化

して い る が，ダイヤ乱 れ に よ り旅客 の 利用経路 は 変 わ

らない とい う仮定を置 い て い る ．旅客行動の変化は文

献 ［12｝で ，列車の1頂序変更は文献 ［13］で それぞれ扱わ

れ て い る が， 両者 は 同時 に は 考慮 さ れ て い な い ．

　順序変更は，旅客に とっ て は 目的地 に早着す る列車

の 変更 で あ る た め， 旅客行動 に大 きく影響す る．そ れ

を考慮 したの が文献 ［5］で提案され た，旅客の旅行時

間増加量 の 総和 を最小化す る混合整数計画 モ デ ル で あ

る．こ の モ デ ル は，運転整理手段 とそれ に影響さ れ る

運転整理 ダイヤ か らな る列車運行部分 と，運転整理 ダ

イヤ に対 して定まる旅客 の 利用経路を意味する旅客行

動部分とを，一

体的に表現 して い る．運転整理手段と

して は順序変更に加え て番線変更に対応 して い る．し

か しな が ら， 列車の 進行方向と し て

一方向の み を対象

とし，旅客 の 乗換は一度 まで と い う仮定 を 置 い て い る．

実時間内に解 くこ との で きる 問題 の サイズ も小 さい ．

394

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

論文／ 混合整数計画法 に よ る旅客損失を最小化す る 鉄道の 運転整理 と計算時間短縮式

耄鬮

＝贐書三

國｝　図 2 配　　 線

Fig2 　　コ匪 ack 呈ayQut ．

3． 研 究の 対象

　 本論文で は，文献 ［5］を発展 させ た， 旅客損失の 総

和 を最小化する混合整数計画モ デ ル ［2］， 圖 と計算時間

短縮の た め の 追加制約式を提案す る．列車運行 に つ い

’て は，順序変更 と番線変更に加えて種別変更と折返 し

変更が実施可能で， 旅客行動に つ い て は，列車の乗換

回数の制限が な く，評価指標は旅行時間か ら乗車時間，

待ち時間，乗換回数 の 重み付 き線形和へ と拡張され て

い る．こ の ため モ デ ル の 規 模が増大するが ， 追加制約

式の 導入 に よ り計算時間を抑え る．

　 本論文で用い る仮定は，実在す る多くの 路線 の 特徴

に基づ き，次の よ うにする．

　 ● 　列車ダイヤ ：快速列車 （快速）と普通列車 （普

通） の 2 種類があ り， 必要に応 じて，快速を普通に ，

普通 を快速に とい う列車の種別変更が で きる．

　 ● 　路線 ：図 2 に示すような配線を対象 とする．2

本 の 線路 が あり， 各線路は どち ら か 一方の進行方向の

列車が走行する （複線）．駅には各方向につ き番線が

一つ か 二 つ あ り，

二 つ あ る 駅 で は 番線変更 と順序変更

が で きる ．終端駅で は折返 しが で きる．

　 ● 　旅客行動 ：旅客は それ ぞ れ が被 る不便度が最小

とな る利用経路 （出発駅から目的駅 まで の 駅 と乗車列

車 の 列）を選択する．目的地と反対方向の 列車に は乗

車 しない ．本論文で は， 旅客が

， ある利用経路で移動

する場合 に感 じる不便度を，次式で 定義する．

（乗車時間 （分））＋ α x （駅 で の 待ち時間 （分））

　　　　　　　　　　　　 ＋ β × （乗換回数）．

こ れ は 文献 ［14］で 定め ら れ広 く利用され て い る式か

ら，列車混雑率に関する項を除 い た もの で あ る．こ こ

で α ＝ 1，β＝ 0 と置 くと旅行時間 になる ，

4． 混合整数計画問題 によ る定式化 と解法

　4．1　記　　 　法

　本論文の モ デ ル で使用する記法を表 1 に示す．こ の な

かで ，旅客の 出発駅 （Origin）と到着駅 （Destination ）

の 組 を OD ペ ア と呼ぶ ．

　4 ．2 　列車運行に関する制約式

　列車運行に関する制約式の うち，まず列車単体に 対

す る もの を記述す る ．最 も基本的な制約は，ある列車

が と りうる種別 （列車種別〉は一つ とい うもの で ある．

Σ e・ ，・ 一・

e∈ E

∀r ∈ R． （1）

同様 に，あ る列車が ある駅 で使用 す る番線 は一

つ で

ある．

Σ 峠 一・ ∀b ∈ B ∀r ∈ Rb ∀・ ∈ s・ 〔2）te∈ K8

列車は終着駅で折返 しを しない か，ある い は，折返 し

をする場合には，一

つ の列車へ と折返 しす る．

Σ 9・、，T2 ≦ ・

r2 ∈RSuc（T 、｝

∀r1 ∈ R ． （3）

折返 しと な る 列車に つ い て， 折返 し元 の 列車は一つ で

ある．

　　　Σ 9・ 、 ，・ 。

− 1rl ∈｛r ∈ R

　l　r2 ∈ RSuc（r ｝｝

∀r2 ∈ Rsuch 　that｛r ∈ Rlr2 ∈ RSuc（r ）｝≠ ・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）

列車 rl の 折返 し列車が r2 な ら ば （9r、，r2 ＝ 1）， 両列

車は終着駅 で 同 じ番線 を使用 す る （諒1一罅2

＝ 0）．

そ うで なけ れ ば番線が異な っ て もかまわな い ．

一（1 − 9r、 ，。 、 ）≦鐐1一瞭2 ≦ 1　一　9。 、，。 2

∀b ∈ B ∀r 、 ∈ R 、 ∀r、 ∈ RSu。（r 、）∀fO∈ κ肝

「m （b）．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5）

到着時刻 α ＃，出発時刻 d＃で表 され る 運転整理 ダイヤ

で は ， 列車 は 所定 ダイヤ の 時刻 A＃，D ＃よ りも早 く運

行する こ とはな い ．列車を どの 時刻まで 遅 らせ て もよ

い か は，問題 の 解空間 を縮小 させ る た め に制 限 を 設け

た い が ， そ の制限が ダイ ヤ乱れ で最低限遅れ て しまう

時間よ りも厳 しい と，混合整数計画問題が実行不可

能になる．そ こ で ，何 らかの 別 の 方法で 求め た 実行可

能な 運転整 理 ダ イ ヤ の 時刻 A ；，DS が ある もの と して

（詳細 は 4．5 で議論する），そ こ に最大許容時間 JM、x

を加えた 時刻まで は列車を遅 らせ て よい もの と す る．

395

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

電子情報通信学会論文誌 2014／3VbL 　J97−D　No．3

　表 1 記　 　 　法

Table 　l　 Notations ．

集合 と　 B

要素 　　　　　OPP （b）　 　 　 　 R

　　　　 Rb

　　　　 R 詈≠　　　　 Rsucfr

｝

　 　 　 　 5

　　　　 Start（b）　　　　 Term （b）

　　　　 Ne × t（b78）

　　　　 磯 ＞

　　　　 ST・a 〔b，の　　　　 TraNext （b，　s ）　　　　KX

　 　 　 　 E　 　 　 　 ES　　　　 ES ・d

　 　 　 　 卜一E　　　　 〜　 　 　 　 T

列車進行 方向集合 （：＝｛t

上 り’，

e

下 り’｝）

b ∈ B の 逆方向 （Opp （c

上 り・）・≡‘下 り・

iOpp （‘下 り・）：

＝‘上 り・）

列車集合

b ∈ B の 方向 に走行 する 列 車の 集合

b ∈ B の 方向 に走行す る 2 本の 異 なる列車 の組 の 集合 （：＝

｛（rl ，r2 ）∈ R 豹 rl ≠ r2 ｝）

r ∈ R の 終着後 の 折返 し候補 となる 列車の 集合

駅集合

b ∈ B の 方向の 始発駅

b ∈ B の 方向の 終着駅

b ∈ B の 方向 に ある s ∈ S の 次駅

b ∈ B の 方 向 に移 動 す る 旅 客の OD ベ ア の 集合

b ∈ B の 方向に移動す る 旅客が乗換可 能な駅集合b ∈ B の 方向 に移動す る 旅客が s ∈ S を出発 した次 に乗換可能 な．駅b ∈ B の 方向 に 進行す る 列車が s ∈ S で 使用可能 な番 線集合

列車種別 集合 （；＝｛c

快速・，‘普通

・｝）

．駅 5 ∈ S に停 車す る列車種 別 の 集合

旅客が d へ 向か うの に s で 乗 車可能 な列 車種別の 集 合 （（s ，d）∈ 3 霧． 〉）

二 つ の 列車種別間の 優等関係 （t

快速，辷

E ‘快速・，‘快速 7

辷E 「

普通・，‘普通・辷

E ‘普通・）

旅客の 出現 離散 時刻集合おゾ

　

むド

ρ

霞2μ

だ．

A（だ

r

ゆ

M

理

数定 所 定 ダイヤ に おけ る r ∈ R の s ∈ S で の 到着 ・出発 時刻

所 定 ダ イ ヤ に お け る t ∈ T で 出 現 す る OD ペ ア （o，d）∈ sZ〈 〉

の 旅客 の不 便度

何 らか の実行可 能な運転整 理 ダ イ ヤ に お け る r ∈ R の s ∈ S で の 到着・出発時刻

事．象間 で 確 保すべ き最小 ある い は 最 大 問 隔

十 分 に大 きな 正 の 数

t ∈ T で 出現 する OD ペ ア （o ，d）∈ 晴　　の 旅客数

変数　 a §，d算　　　　er、e　　　　瞭

　　　　9z ・，’ 2

　　　　臆詔l

　　　　l協　　　　議鞍

『1

　　　　・＃lfr2d

切

丁

δ

ro

ム

7

〃

r ∈ R の s ∈ 3 で の 到着 ・出発時刻

r ∈ R の種別が e ∈ E で あ るか 否か の 0−1 変数

r ∈ Rb が k ∈ K ぎを使 用 す る か 否 か の 0−1 変 数

rl ∈ R の 折返 し列車 が r2 ∈ RSuc〔r1 ）

で ある か否か の 0−1 変数

rl ∈ Rb が．r2 ∈ Rb よ りも先 に s ∈ S ＼｛Term （b）｝を 出発す る か 否か の 0−1 変 数

rl ∈ Rb が r2 ∈ ROpp 

の 出発 よ りも先 に Term （b）に 到着す る か 否か の  一1 変 数

r2 ∈ ROpp〔b）

が r1 ∈ Rb の到 着 よ りも先 に Term （b）を出発 す る か 否か の  一1 変 数

t ∈ T で 出現 する OD ペ ア （o，　d）∈ 曙〈 〉の 旅客 が o で r ∈ Rb に乗車 す るか否か の 0−1 変数

d へ 向か う旅客が S ∈ ST，、（b，d）で r1 ∈ Rb か ら r2 ∈ Rb に乗 換 す るか 否 か

（r1 ＝ r2 の 場 合 は乗車 し続 け るか 否 か）の 0−1 変 数 （（s，d）∈ sZ＜ ＞

＞

旅客が e で r ∈ Rb に乗車 する 時点か ら d まで の 部分利 用経 路で 感 じる 不便度 （（s ，d）∈ sg． 〉

）

t ∈ T で 出現する OD ペ ア （o，d）∈ 5農〉の 旅客が o で r ∈ Rb に乗車 する場合 の 旅 客損失

　　　　　　　A ジ≦ α鼻≦導 ＋ IM。．

　　∀b ∈ B ∀r ∈ Rb ∀s ∈ S ＼｛Start（b）｝， 　 （6）

D ＃≦ d＃≦ D ＃・＋ IM、x

　　∀b∈ B ∀r ∈ Rb ∀s ∈ S ＼｛Term （b）｝．　 （7）

駅 s を出発 して b の 方向 に進 む 列 車が ， 次駅 に 到

着す る ま で に 必要な最小 運転時間 曙，． は ，列車種

別 e に も依存す る．こ の 制 約を論理式で 表現す る と

er，e ＝ 1 ⇒ α   （b’s 〕− d＃≧ Ji，e と な る が （er，e ； 0

ならば制約なし），これを文献 ［4］を参考に して ，十分

に大 きな正 の定数 M を用 い て 線形不等式化 す る ．

　α墜 （b・s）− d塁≧ 嬬，e− M （1　一　er，。 ）

　　∀b ∈ B ∀r ∈ Rb ∀s ∈ S ＼｛Term（b）｝∀e ∈ E ．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （8）

同様に ，列車種別に よ っ て駅に停車するか通過するか

が 変 わ る．駅 3 に停車する種別 な らば，最小停車時間

JS を確保 し （式 （9）），通過する種別な らば，駅 の 到

着と出発を同時刻 に する （式 （10））．

Is乏r，e ≦ dr− a 募∀r ∈ R ∀s ∈ 3 ∀e ∈ ES ， 　（9）

0 ≦ d笋一a ジ≦ M （1 −一　er，e ）

　　　　∀r ∈ R ∀5 ∈ 8 ∀e ∈ E ＼ES．　　 （10）

列車が 終端駅 で 折 返 しする な ら ば， 最小折返 し時間

窺lm  を確保す る：

dl；「m （bL

・」「m （の

≧驫m （b〕一

脚一9r、、。、）

　　　　∀b ∈ B ∀γ・1 ∈ Rb ∀r2 ∈ RSuc（r ユ）

・　（11）

列車が終端駅 で 折返 しするならば，折返 し元と折返 し

396

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

論文／混合整数計画法 に よる 旅客損失 を最小 化 す る鉄 道 の 運 転整 理 と計算時間短縮式

先の 列車の 到着 と出発の時刻 をそれぞれ同 じにする．

こ れは不必 要な制約だが ， 式 （21）， （22）を簡易に記述

する た め に導入する．

一M （1 − 9。 、，。 2 ）≦ ・」；「m 〔b）一

・ll「m （b｝

　≦ ハ∬（1 − 97ユ，r2 ）

　　∀b ∈ B ∀rl ∈ Rb ∀r2 ∈ RSuc（r1 ＞，

− M （1 − 9． 、，T 、）≦ d諏：「m （b）− dl！

「m （b〕

　≦ ハ4‘（1

− 9rl，r2 ）

　　 ∀b ∈ B ∀r1 ∈ Rb ∀r2 ∈ RSuc〔町 ｝・

（12）

（13）

　次 に ，2 本 の 列車間で 生 じる制約を記述する ，終端

駅以外で は，一

方が先 に駅 を出発する．終端駅で は，

列車 の 到着 と反対方向の 列車 の 出発 とで 順序 を考える．

嫡 ，。 、 描 募，，。 、＝ 1

∀b ∈ B ∀（r 、 ，r 、）∈ RZ

≠∀s ∈ S ＼｛T・・m （b）｝，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（14）

mTr「m （b〕

＋　mTe「m 〔b）　＝ 1

「 1 ，P2　 　 　 　 　 「 2 ，「 1

　　　　　　　∀b ∈ B ∀rl ∈ Rb ∀r2 ∈ ROPP（b）・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （15）

種別 e1 が種別 e2 よりも優先度が 同 じか高い 場合を考

える．ある駅におい て， 種別 が e1 の 列車が 種別が e2

の列車よ りも先に出発する ならば，次の．駅 で も同様の

順序関係 とな る．

・騁・5 ）

≧ ・ ；、ガ （2 − e。 、，e 、

− e， 、 ，． 、 ）

∀b ∈ B ∀（r 、 ，r ，）∈ 曝 ∀・ ∈ S ＼｛T ・・m （b）｝

　　　　 such 　that　Next（b，　s）≠ Term （b）

　　 ∀（el ，e2 ）∈ E2　such 　that　el ≧こE　e2 ．　（16）

列車 rl の 折返 し列車が r2 ならば，　 rl の 終端1駅到着 は

r2 の 同駅 出発 よ りも先で ある ．

9， 、，r2 ≦鐔渦b）

　　　　 ∀b ∈ B ∀r・ ∈ Rb ∀r ・ ∈ RSuc（。 、）・ （17）

2 本の 列車の 間 に最小 の 到着間隔 （1蜘（b，s ））と出発

間隔 （JB， ）を確保する・

・呼t〔b・5L

・浄t（b，　s ）≧ 1舷

xt （b，　s ）− M （1

−・ ＃、 ，r 、 ）

∀b ∈ B ∀（r ・，r ・）∈ 曝 ∀s ∈ SX ｛T・ ・m （b）｝，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「（18）

d9、

− d＃、 ≧ IB，− M （1 − xX ，r， ）

∀b∈ B ∀（r 、 ，・，）∈ 鴫 ∀・ ∈ S ＼｛Te・m （b）｝．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（19）

2本の 列車が駅 3 で 同じ番線を使用するため に，前方

列車が出発 して か ら後方列車が到着する まで最小 間隔

壊D を空ける．同方向の列車につ い て は始発駅 の 場合

（式 （20））とそ れ以降の 駅 の 場合 （式 （21））を考 え，

終端駅 で は更に到着列車 と反対方向の 出発列車と の 間

隔 を考える （式 （22））．

　α§a 「t（b）一

（i鼻Ia「t（b＞

　　≧　∬貸冒齔（b）

　−　M （3 弼 都lb）一瞭、

一瞭、）

　　∀b ∈ B ∀（r 、 lr 、）∈ 鴫 ∀k ∈ K 妻ta吐 （b）

， （20）

　α駐（b，s ）一己騨fxt（b・s 》

　　≧ 雄t（b・5LM

（3 − x ；、，

。、

一娩 一・勾

　　　　　　　　　∀b ∈ B ∀（r ・，・・）∈ 鴫

　　　∀・ ∈ SX ｛T ・・m （b）｝∀h ∈ K 歴ψ ，5 ）， 〔21）

・ 」：「m （b）− dP　

「m （b）

　　≧囎醐 一M （1 一耳：慨

b））

　　　　　∀b ∈ jB ∀「1 ∈ Rb ∀「2 ∈ ROpp（b）．　（22）’

列車が 終端駅に到着 して か ら反対方向の 列車が出発す

る まで，最小間隔 ∬訟m  

を確保す る．

dJ；「m （b）一

・1：’m （b）≧ ∫歃

m （b）− M （1一鐔瓢

b｝）

　　　　 ∀b ∈ B ∀「1 ∈ Rb ∀「2 ∈ ROpp（b）・　（23）

　4．3　旅客行動に関する制約式

　表 1 の 変数 裾ノ，魂 告2を用 い て

， 旅客行動に関する

制約式を記述 し，それ に伴 い 発生す る 旅客損失 に 関す

る 変数 τ尹μ

， 瞬ノの 値を定め る ．本論文の 旅客行動を

表す O−1変数の サ イズ は 0 （IS12［TllRl）＋ 0 （IS12［R12）で あ り， 文献 ［5］の O （iS121TllRl）＋ 0 （IS121T［IR12）から大幅に減 っ て い る．

　旅客行動の 基本的な制約 として，旅客は出発駅 にて

1 本の 列車に乗車す る．

Σ潔 司 ∀b ・ B ∀（・，d）・ 畷 〉

∀t∈ T ・

r ∈ Rb

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（24）

旅客は自分の 出現時刻以前 に発車す る 列車に は 乗車 し

ない （d9 く t ⇒ 之£タ＝0）・

397

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

電子情報通信学会論文誌 2014／3vol ．　J97−D 　No ．3

β鯛≦ d雲／t

　　 ∀b ∈ B ∀（・ ，の ∈ 破 〉∀t ∈ T ∀r ∈ Rb．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （25）

列車種別 が旅客の 出発 駅 を 通過す る もの で ある，また

は乗車する と （途中で どう乗換をして も）目的駅 を通

過 して しまうもの な らば，そ の 列車に は乗車 しない ．

z留≦ 1 − ene

　　　　∀bEB ∀（・，d）∈ 畷 〉

∀耗 丁

　　　　　　　∀r ∈ Rb ∀・ ∈ E ＼E ° μ ． （26）

途 中の 乗換可能駅 で も，式 （24）一（26）と同様の制約が

ある．こ こ で JT，a は 乗換 に かか る 時間 で あ る．

Σ ・塩 一・

r2 ∈Rb

　　　∀う∈ B ∀d ∈ s ∀s ∈ ST，。（b，の

　　　　　　　　　　　　∀T1 ∈ Rb，

dジ、

一α算

、≧ IT，、

− M （1一魂1。 2）　　　∀う∈ B ∀d ∈ θ ∀8 ∈ STra

（b，の

　　　　　　　　　∀（・・，・・）∈ 曝 ，

z溜。 2 ≦ 1 − er2，e

　　　∀b ∈ B ∀d ∈ 5 ∀S ∈ STra（b，　d）

　　　∀（rl ，r2 ）∈ Rl ∀θ ∈ E ＼E3 μ．

（27）

（28）

（29）

　旅客の利用経路の うち，出発駅ない し途中駅 s で 列

車 r に乗車する時点か ら，目的駅 d まで の部分経路 で

感 じる不便度 τ尹μ を考え る、そ の値は

，s−d 間 に乗換

可能駅がな い 場合，乗車時間 の み で 構成 され る．

τ声，d ； α砦一鵡

∀b ∈ B ∀（s ，d）∈ θ畫＜ ＞

　 such 　that 　TraNext（b，　s）¢ S 丁「a （bl　d）∀r ∈ Rb・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （30）

こ れ らの 駅 の 問 に乗換可 能駅 Tra　Next（b，　s）があ る場

合 ， 乗換の有無で 不便度は 変 わ る．旅客が 同 じ列車に

乗車 し続ける な らば，げμ の値は，列車 r の 駅 s か

ら Tra　Next（bl　s）まで の乗車時間，　 TraNext（b，　s）で の

（乗車 した状態で の ）停車時間，TraNext（b，　s）以降の

不便度を表す TJ「aNext （b’s ）’d

か ら構成 され る．

7尹・d　≧　a∫

「aNeXt 〔b・5 ）　− d夛

　＋ （dl「aNe 焔 の 一

・」「臼 Next （b ，　

s ））

　＋ ・」「aNext 〔b，　

s 〕・d − M （1 −・贈

N 叡 t（bls ），d）

∀う∈ β ∀（・，の ∈ 8ぎ＜＞

　 such 　that　TraNext（う，　s）∈ STra（b，　d）∀r ∈ Rb ・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （31）

旅客が TraNext（b，　s）で 列車 rl か ら列車 r2 へ 乗換す

るならば，TraNext（b，　s）で の停車時間の代わ りに，待

ち時間 の α 倍 と乗換 ペ ナ ル テ ィβが加算 され る．

舜d≧ ・JlaNext（b，s ）− d；

，

　＋ α × （d募aaNe）（t（b・5 ）一

α瓦aNext （b，

　s ））＋ β

　＋ ・君aNe ×t圓 ・d − M （1

−・騰

×t鯛 ，ら

∀う∈ B ∀（・，の ∈ θぎく ＞

　　　such 　that　Tra　Next（b，　s）∈ STra（b ，d）

　　　　　　　　　　　∀（r ・ ，T ・）∈ 磅≠

． （32）

　時刻 t で出発駅 o に現 れ，列車 r に乗車 して 目的駅

d へ 向か う旅客の 損失は， 弱β：＝ max ｛α × （岬

一t）＋

τ尹μ 一A2’d

，e｝× β鋼で 与え られ る．こ れは，整理 ダ

イ ヤ に お け る o で の 待ち時 間の α 倍 と，

o で r に 乗車

する時点か ら d まで の 不便度の和か ら， 所定ダイヤ で

の 不便度 ASId を引 き，それが負に な る場合は損失 を

0 とみ なす．そ して ，旅客が o で r に乗車するならば，

当該経路 の旅客損失の値を 岨ノに代入 する，こ の式を

線形化す る と次 の よ うにな る．

鰐 ≧ α ・ （d：一オ）＋ 磆，d − A7 ，

d − M （1 一如∀b ∈ B ∀（・，d）∈ 8ぎく〉 ∀tET ∀・ ∈ R 、，（33）

瑠 ≧ o

　∀う∈ B ∀（o ，d）∈ 5詩〈 〉

∀t∈ 1「∀r ∈ Rb．　（34）

　 4．4　 計算時間短縮 の ための 追加制約式

　冗長 だ が解空間 を縮小す る 制約式を導入 して， 計算

時 間を短縮させ る．まず，2 本 の 列車 r1 ，r2 が同種別 で

あり， 時刻 t で 駅 o に 出現 し た 旅客に つ い て t ≦ D 雰1

だ とする．こ の とき，式 （7）よ り，旅客は r1 には乗 り

遅 れ は しな い ．更に，mgi ，。2＝ 1 な らば，式 （16）よ

り，rl は o 以降の駅で も r2 より先に 出発する．よっ

て ，旅客は r2 に 乗車しない ．

398

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

論文／ 混合整数計 画法 に よる旅 客 損 失 を最 小 化す る鉄道の 運転整理 と計算時間短縮式

鶚 ≦ 3 − xg、，。 、

− er、，。

一・e・ ，

・，e

　　　　　　　∀bEB ∀（・ ，d）∈ 磯 〉 ∀t ∈ T

∀（r 、 lr ・ ）∈ 囁 ・u ・hth ・tt ≦ DS、

∀e ∈ E ° ・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（35）

2 本 の 列車が異種別 の ときは ，α ≧ 1，つ ま り列車を

待 つ 不便度が乗車する不便度以上 の 場合に限定して 考

える．列車 rl は O ，　d に停 車し，　 r2 は 0 に停車 し，　 r1

が o と d の 一つ 手前の 駅 で r2 よ り先に出発する な ら

ば，旅客の o で の rl の待ち時間が短 い かつ rl が先に

d に到着す る の で，

r2 に は 乗車し な い ．

・艦 ≦ 4 − m9、lr 、

− xf、，

r、

− e・、，・、

− er、。 2

　　　　　　　　　　　∀b∈ B ∀（・ ，の ∈ 3齧． 〉

　　　　　　　 否 ∈ Ssuch　that　Next（b，3）＝d

　　∀t∈ T ∀（r 、，r、）∈ Rk ・u ・hth ・tt ≦ D ：、

　∀e 、 ∈ E °

∩ Ed ∀・、 ∈ E °

such ・that・e 、 ≠ ・、．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（36）

旅客は 同種別 の 列車に乗換 し な い ．

・脇 ≦2 − er、 1。略 、 ，。

　　　　　∀b ∈ B ．∀d ∈ S ∀S ∈ STra（b，d ）

　　　　　　　∀（r 、 ，r 、）∈ 曝 ∀e ∈ E ． 〔37）

快速 に 乗 っ て 乗換可能．駅まで来た旅客に つ い て，目的

駅が快速停車駅な らば乗換 しない ．

・鵠 、 ≧ e。、，・騰

　∀b∈ B 　∀d ∈ Ssuch 　that ‘・映速 ・

∈ Ed

　　　　　　　　∀s ∈ ST，a （b，、d〕 ∀r ∈ Rb・ （38）

ほ か に 乗換 しな い ケース で は，α ≧ 1，rl

，r2 とも d に

停車し，r1 が r2 よ り先に d に到着する場合が ある．

・鑑 、≦ 3 一魂 。 ，

一  ε、

− e。、，，2

　　　　　∀わ∈ B ∀d ∈ S ∀8 ∈ STra（b，d）

　　　　 百 ∈ Ssuch 　that 　Next（b，ε ）＝ d

　　　　∀（r 、，r、）∈ 瑠≠

∀｛・、，・・｝∈ Ed ． （39）

OD ペ ア （o ，　d1）と （o ，

　d2）に つ い て，　 o に は普通 の み

停車するな どで ，出現駅 で の旅客行動が 同 じになるな

らば，F （O ，

　dl）＝F （O ，　d2）と置 き， 変数をまとめ る．

0 ，dl　 　 　 　 o μ29ちr　　

； Zt，r

∀う∈ B ∀（o ，　di）， （・，

d、）∈ 3号〈 ＞

　　　　　 such 　that　F （o ，dl）；」F「（o ，

　d2）

　　　　　　　　　　　∀孟 ∈ 1「　∀r ∈ Rb．　　（40）

　4．5　目的関数と解法

　混合整数計画問題の 目的関数として，列車運行に関

する変数と制約式の み を用 い て，単純な （到着）遅延

総和最小化 （DMP ）を次の よ うに定義で きる．

mi ・ Σ Σ Σ （・；− A ＃）

　 　 　 　 b ∈Br ∈ Rb 　s ∈ 8＼｛Start（b）｝

s．t． （1）一（23），

　　　　e，，。 ，

u ；・’e

，9。 、，， 、 ，x ＃、，r 、∈ ｛0，

1｝．

こ れ に旅客行動に 関する変数と制約式 を加えた，旅客

損失総和最小化 （PDP ）を次 に示 す．

mln Σ Σ Σ理’d（Σ 勲

　　　b∈B （・ ，d）∈sZ

＜ ＞

t∈T　

「 ∈ Rb

s．t．　　（1）一（40），

　　　偏 u 戴 9w 、 ，媒 、、r 、謂 ，鑑 、∈ ｛O，

1｝・

　 こ れ らを用 い て ，本論文の 主眼で ある旅客損失を最

小 にする運転整理 の解法 と して，次の 手順 を提案す る．

ス テ ッ プ 1 ：　 （所定ダ イヤ で の旅客不便度計算〉

　　各 r ∈ R，s ∈ S に つ い て ，α＃：＝ ノ4乳み ：＝ ：D 鼻

　　 とお く．

　　各 b ∈ B， （O ，

d） ∈ 曙く 〉 ，t ∈ T に つ い て

，

　　A ：’d

：＝0 とお く．

　　（PI）P ）を解 く．

　　各 b ∈ B， （o ，の ∈ 5ξ＜ ＞ 7t ∈ T に つ い て ，

　　A鱈 一Σr ∈。、卿 とお く・

ス テ ッ プ 2 ：　 （遅延最小化）

　　 ダイ ヤ乱れ情報を与える ．

　　各 r ∈ R，s ∈ 5 に つ い て，　A 夛，

D 呉：＝ QO とお く．

　　（D ハ4P ）を解 く．

ス テ ッ プ 3 ：　 （旅客損失最小化〉

　　各 r ∈ R ，s ∈ 3 に つ い て ，（DMP ）の 解か ら　　　　　　　　　　　　　　　　　　A　　．4瓢 ＝ ar

，D ＃：＝ d＃とお く．

　　IM。 x の値 を与え る．

　　（PDP ）を解 く．

399

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

電子 情 報通 信 学 会 論 文 誌 201413vol ．　J97−D 　No ．3

ス テ ッ プ 1 で は，所定ダイ ヤ に お ける旅客の 不便度

A7・d を，ダイヤ乱れ の 前にあ らか じめ計算する．こ れ

に は，列車の 時刻を所定ダ イ ヤ に 固定 して， 不便度 0

か らの 増分を最小化する （PDP ）を解 くこ とで，所定

ダ イ ヤ 上 で の旅客の 利用経路 と不便度 が 求 ま る こ と を

利用する．ス テ ッ プ 2 で は，ダイヤ乱れ の情報を与え

た あ と， 遅延 を ど の 程度回復 で きる かを知る た め に，

式 （6）， （7）の 右辺 を無視 して （DMP ）を解 く．得 られ

た解 は参照用 の 実行可 能な運転整理 ダ イ ヤ とみ な せ る．

ス テ ッ プ 3 で は ，（DMP ）の 解を式 （6）， （7）の ．4馬D 募

に代入 す る ．そ こ に 最大許容時 間 IM。x を 加 え た 時刻

まで 列 車を遅 らせ るこ とを認め て，（PDP ）を解 く．

5． 計算機 実験

　5．1　対象路線 と計算結果

　本論文の 混合整数計画 モ デル を，仮想的な路線 （ケー

ス 1）と JR 中央線の一部区間 （ケー

ス 2）に適用 して，

そ の有用性を検証 する．旅客不便度式の パ ラメー

タは文

献 ［14］に 従 い α ＝ 2，β＝ 10 と し，定数 M の 値は 300

と す る．実験 には， CPU が Core　i7−3930K ，メ モ リ

が 16GB ，　 OS が 64 ビ ッ ト版 windows 　7 の 計算機と，

混合整 数計画 ソ ル バ と して Gurobi　Optimizer　5．5．O

を使用する．

　ケ ース 1 に つ い て ，図 3 左上 に所定ダ イ ヤ を示す．

こ れは 5 駅 と上下方向 8 本ずつ の列車からな り，太線

が 快速 ， 細線 が 普通 を表す．快速 は所 定ダ イ ヤ で は C

駅 で普通を追い 抜 くが ，運転整理 で は 全駅で追 い 抜 き

可能 とす る．A 駅 で 列車 12 が折返 しして 列車 6 に な る

など，幾つ か の列車は終端駅 で折返 しをする．旅客の

OD ペ ア と出現時刻 の 組 （o ，　d

，　t）は 569組 に な り，変

数の 総数は （1）MP ）が 1，447，（PDP ）が 11，639，制

約式の 総数は （DMP ）が 7，505

， （PDP ）が 145，339

に なる （式 （35）一（40）を含む）．

　 こ の 所定ダイヤ に対 して，何らか の 理由 に よっ て （車

1　　 2　　　 3　　 4　　　　 5八 ． ． ． ． 1

． ：． ． ．…　 　 　 　 　 ．． ．

層 ． ．：　 　 　 　 　 　 ．

　 i

．B

11 　　　　　　　　　　　　　　　　．　 　 ．． ． ．．　 　 　 ．旨　　 　　　　 ．　　　　　　 ．

コ　 ．≡ ． ．． ． ． 層 唱． 巴 ． ． ．． ． ．1 引． ． ． ．

C …．　 　 　 　 匚 」 ：． ． ．匚 1 ［ ． ．：　　 　　　　 ．　　　　　　 1 1

：引 ．． ．． ． 三． 」 ． ．　 　 　 　 　 」　 ．

D． … …

　 　 　 ．唱

． 」 「 ．」 引 ． ．． 望． ． ．． 唱． 」 コ． ． ． ． ． ． ． ．． 1i． ． ． 層 ．． ． ．

E題　　　　　　　　　　　　．　　　　　．

斜　　12　　　 13　　興　　　 1 1

Pranned 　timetable Solution　fDr （1ワMP ）

Solution　for（PDP ）with 　IMa、＝5，10 　　　　　　　　　　　Solution　for（PDP ）with 　JMax ＝ 15

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 図 3 ケー

ス 1 の ダ イヤ 図

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Fig．3　Diagram50f 　case 　No ．1．

400

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

論文／ 混 合 整 数 計 画 法 に よ る旅客損失 を最小化する鉄道の 運転整理 と計算時間短縮式

両 の一時的な不具合などを想定）列車 2 の A 駅出発が

30 分遅れる場合 を考え，（DMP ）と，　 IM。x＝ 5

，10

，15

に つ い て の （PDP ）を解 く．

　図 3 右上 に （DMP ），左下に ∬M 、 x ＝ 5 及び 10 の と

きの （PDP ）（結果は同じで あ っ た〉， 右下 に IM、x

＝ 15

の ときの （PPP ）の 解 をそれ ぞ れ示す．（DMP ）の 解

では ， 列車 2 が A 駅 で 30 分番線を占有す る の で， 列

車 3 と列車 4 に つ い て は ，番線を変更 して定刻で 出発

して い る。列車 1 の 折 返 し列車 を列車 2 か ら列車 14

に変更し て，遅延の波及を最小限 に と どめ て い る．順

序変更に よ り， 列車 13 は B 駅 で列車 14 に 追 い 抜か

れ て 遅延 して い る が，折返 しの列車 9 には影響してい

な い ．列車 14 の 折返 し と な る列車 8 の 遅延 も減少 し

て い る．注 目すべ きは ，列車 15 が，列車種別を快速

に 変更 さ れ て，E 駅 を列車 16 よ り後 に 出発 して い る

こ とで ある．列車 15 の 折返 し元 は 列車 1 か ら列車 3

に 変更 に な っ た た め ，E 駅出発が遅延するが，快 速に

な っ た こ とで B 駅で定刻に戻 っ て い る．こ の 運転整理

ダ イヤ で は，普通列車 13 と普通列車 17 の 間隔が空 き

す ぎて い る こ とが 問題 とな る，

　一

方，IM。．＝ 5

，10 の と きの （PDP ）の 解で は，　 E

駅 か ら D 駅や B 駅へ 向か う旅客の 不便度を考慮 して，

列車 15 の 列車種別 は普通 の ままになっ て い る．しか

し，列車 15 の E 駅出発が 列車 16 よ り先 に な っ て お

り，列車 16 の折返 しの列車 10 に軽微 な遅延が残 っ て

い る ．こ れは，IM。、の 値が小 さ く， 列車 15 の B 駅発

車時刻は （DMP ）の 解か ら最大で 10 分まで しか遅 ら

せ ら れ な い が， 種別 が 普通 で あ る た め

， 逆算 して E 駅

の 出発が早 くな っ て い る か らで ある ．ただ し，こ の 問

題 は IMax ＝ 15 の ときに は解決 され て い る ．その ほ か，

（PDP ）で は 列車8 が 列車 7 を D 駅 で 追 い 抜 い て い る，

　ケース 2 で は，中央線の新宿か ら立川 まで に つ い て ，

土 ・休 日の 昼間 の 80 分 間を対象とする ．図 4 左上 に

所定 ダイヤ を示す．太線が特別快速 （特快），細線が

快速と呼ばれ る列車種別だが，特快は 本論 文 の種別 e

で 言 う と こ ろ の 快速に， 快速は普通に相当する．本論

文 で は番線が複数ある こ とで特快が快速 を 追 い 抜 き可

能な駅 の うち，所 定ダイヤ や小規模の ダイヤ乱れ時に

追 い 抜きが 実施さ れ る 中野，三鷹 ， 国分寺 の 各駅で追

い 抜きを可能とする ．こ れ らの特快停車駅 の問の 駅 で

は 列車川頁序が 変わ ら ない ため，記述が煩雑 に なる の を

避ける 目的で ，中野〜三鷹間 にある快速の みの停車駅

の代表を荻窪，三鷹 〜国分寺間 の 代表を東小金井，国

分寺〜立 川間 の 代表を国立 とする ．吉祥寺，武蔵境，

武蔵小金井，西 国分寺と， 土 ・休日の 昼 間は列車が通

過する高円寺 ，阿佐ヶ谷 ， 西荻窪は省略す る，旅客 の

OD ベ ア と出現時刻の組は 1，511 組になり， 変数の総

数は （DMP ）が 2，959 ， （PDP ）が 15

，581， 制約式 の

総数 は （DMP ）が 39，185 ，（PDP ）が 647

，606 にな る

（式 （35）一（40）を含む）．

　こ の 所定ダイヤ に対 して，

な ん らか の 理 由で 列車

2 の 新宿出発が 30分遅れ る場合を考え，（DMP ）と，

IM。x ＝ 1，＿

，6 につ い て の （PDP ）を解 く．

　図 4 右上に （DMP ）， 左下 に IM。 x ＝ 4，5 （結果は同

じで あっ た），右下に ∬M 、，＝ 6 の ときの （PDP ）の解

を示す．（DMP ）の 最適解で は， 列車 3 か ら列車 8 は

番線変更 して新宿 を定刻に発車 して い る．立川か ら新

宿 へ の 列車 も， 遅延の影響がな い た め定刻 で 走行 して

い る．列車 2 は三鷹 で 列車 8 を， 国分寺で列車 7 を追

い 抜 く．列車 9 （特快 ）は， 同 じ く特快 の 列車 2 の す

ぐ後を走行 して い る ため，列車 9 の 乗客が非常に少な

くな っ て い る．こ れ に 対 し て，

IMax ＝ 1，＿

，3 の とき

の （PDP ）の解は， （DMP ）か らわずか に変化しただ

け で， 列車順序は変わ らな い ．こ れ は

， 順序変更をす

る と，IMa、 で定めた，列車を遅 らせ る限界を超えるた

め で あ る．こ の 状 況 が 解 消 され る の は IM。x＝ 4

，5 の

ときで ，国分寺〜立川 間で特快列車 2 と特快列車 9 の

問 に快速列車 7 が走行 して い る．更 に fM。 x＝6 で は ，

列車 10 が新宿 を列車 9 より先 に出発 し，どの駅間で

も特快列車 2 と特快列車 9 の 間に は 1 本の快速が走行

して い る ．

　以上 の実験結果か ら，本論文で 定式化 し た種別変更

や折返 し変更が 正 し く機能 して い る こ とが見 て 取 れ る．

また，旅客損失を最小化する こ とで ，種別ご とに見て

列車の 問隔が 均等に な り，旅客行動 モ デ ル と評価指標

も適切 であるとい える ．特に， 本数の 少な い 同種別の

列車が 続 け て 運行さ れ ない こ とは運転整理 の 実務で も

意識さ れ て い る こ とで あ り， 実験 に よ り得 られ た結果

は実務で も受け入れ られ る もの と考えられ る．

　 5．2 計 算 時 間

　各実験ケー

ス に つ い て ， （DMP ）と IMa．の 値 の 違

い に よ る （PDP ）の 目的関数値 と計算時間 を表 2 に

示す．表内で （PDP ）につ い て は， 本論文で提案 した

計算時間短縮の た め の追加制約式 （35）一（40）を含む場

合，代わ りに文献 ［3］で提案された追加制約式を加え

た場合，式 （35）一（40）を含まない 場合に つ い て，

そ れ

ぞれの 計算時間を記載する．括弧で示 した時間は，全

体の 計算時間 の うち最適解が 発見 さ れ る まで に要した

401

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

電子情報通信学会論文誌 2014／3　vol，　J97−D 　No．3

Shite　4　　2345 　　6　7　　 8　　9 肇Oju 

Naka【臥

曝kube

餓瞼ka

Higaslti一κ6ga麟

Kbku．tRtnii

晦 戉・  c廡

Tachレka糊　 霊1肇2 哩3

銚 恥 1舞kuNaka

陥

oφ一kubd

Miteke

HigashF恥 gand

141516窪718　19　2021　 Planned　timetable

Kdku一加 頭

挿川 卜

tachiTaCh

』

kawa　 l1G213 　　1415161718 　19　2【｝2f

　　　　Solution　for（PDP ）with 　IMe．＝4 ，5

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 図 4

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Fig，4

Shilt，　t　　　345 　　6　7　　8291GjukuNakane

曝kubO

Mitaka

HigashFKogan襃

  kロ．加 呼

瑜廊 ．tac厩

Tacltトkawa　 11霊213 　　捶415161718 　 19　2021

　　　　　　　 Solution　for〔PMP ）

S 厩 鑛＿t 　 345 　67 　 82 窒09iuk驢

Nekene

o 事一

k凵bd

Mitake

Higash ト

KOganci

雛

蠶

朧　 　 　 　 　 fll213 　　1415161 ア18　19 　2G2a

　　　　　　　　 Solution　for （PDP ）with 　IMax ＝ 6

ケース 2 の ダイヤ 図

Diagrams 　of 　case 　No ．2．

時間 で あ り， そ こ か ら計算終了 まで の時間は，そ の解

が最適解で ある こ との証明に費や され て い る．表中の

＊ 印は， 900 秒 で 最適解 の 発見または計算が終了せず，

計算を打ち切 っ て い る こ とを示す．

　どちらの ケース で も，（DMP ）は短時間で 解け て お

り，実行可能な運転整理ダイヤ を得る方法として適当

とい える．一方 で （PDP ）に つ い て は，　 IM、 ． の値が大

きくなる に つ れ， 解空間が広が る の で 計算時間 は 増 え

て い る が，ケー

ス 1 で は 最適解発見まで に かか る時

間 に比べ て 最適性 の 証明 に か か る時間 の 増加量 が大 き

い ．表に は記載 され て い ない が，

ケ ース 2 で も最適解

に非常に 近 い 暫定解は短時間で 導出 されて い る．旅 客

行動 の 0− 1 変数 の うち，旅 客 の 出現 駅 で の 列車選 択

変数 堵ノの サ イ ズ が 0 （IS121TIIRI）と大きい うえに，

式 （25）， （28）， （31）一（34）と目 的関数に よ っ て

， 混合整

数計画 ソ ル バ が問題 を線形緩和 して得る最適解の 下界

が弱い ために，こ の ような現象が発生 して い る．本論

文の 不便度パ ラ メータ 設定値は α ＝＝2，β＝ 10 で あ

り，文献 圖 で の α ＝1，β ；1 よ りも計算 され る 不 便

度 τ〆 ，雪瑠 の 値が大 きくな る ため，定数 ．M の 値を大

きく設定せ ざる を得ない こ と も， 計算時間が か か る 要

因に な っ て い る．式 （35）一（40）が ある こ とで，追加制

402

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

論文／混合整数計画法 に よ る旅客損失 を最 小 化す る鉄道 の 運転整理 と計算時間短縮式

Table 　2

　表 2　目 的関 数値 と計算 時間

Objective 　values 　and 　cornputation 　times ・

ケース 　問題 IMax　　 目的関数値　　　　　　　追加 制約式 ご との 計算時 間 （秒 〉

　　 （DMP ） （PDP ）　式 （35）一（4D ）　 文 献 ［3］の 式 　 　 式な し

1　 （DMP ）　一

　　 （PDP ）　　 5

　　 （PDP ）　 10

　　 （PDP ）　 15

工72　　　4，501210　　　3，586210 　　　3 ，

586

208 　　　3，522

一　　　　　一　　　　一　　　　　一　　　2．2　　　（1．O）　2、4 　　　（2．0）　　 1．8252 、7 　　（15．0）　790．0454．〔）　　（23，  ）　　　　

＊

（1．0）　　　3．7　　　（3．0）（13．0）　　

＊

　　 （＊

）

　 （＊

）　　＊

　　 （＊

）

2　 （DMP ）　一

　　 （PDP ）　　 1

　　 （PDP ）　　 2

　　 （PDP ）　　 3

　　 （PDP ）　 4

　 　 （PDP ＞　 　 5

　　 （PDP ＞　　 6

217 　　19，980226　　15

，140

226　　15，ユ40226　　15，140240 　　15

，020

240 　　15，020261 　　14，620

425

．616．421．688．1434，8

　　一　　　　

一　　　　　

一　　　1．5　　　（1．0）

　（4．0＞　　　3．3　　　（3．0）　　　9．1　　　（9．0）　（5．0＞　　　6．7　　　（6．0）　　95．6　　（76．0）（11．0）　　19．1　　（ユ0，0）　442．2　（437．0）（21 ．0）　　25．2　　（24 ，0）　　　　

＊

　　　　（＊）

（72．0）　218 ．4　（192，0）　　　　＊

　　　　（＊

）

（292 ．0）　　　　＊

　　　　（＊

）　　　　＊

　　　　（＊

）

括弧内 ：最適 解が発見 される まで の 時 間 ＊ ；9DO 秒で 求ま らずに計算打ち切 り

約式がない 場合や 文献 ［3］の 追加制約式 を加えた 場合

に 比べ て，広 い 解空間 に対し て最適解の導出が実 時間

内 にで きてお り， 本論文の追加制約式は非常に有効 と

判断で きる．ソ ル バ が分枝限定処理 で 灸 。 や M ＃1，。 2の

値を 1 に固定したときに ，

一部の 星焙魂事、

の値が 0

に 制限 され，分枝限定木 の 膨張が抑えられ て い る．

　本論文の 手法を計算時間の 点か ら見 る と， 柔軟 な運

転整理 ダイヤ と計算時間 との トレードオ フ を うま くと

る必要 は あ る が， 実務 に も充分に 適用可能 と考え る．

6， む　す　び

　本論文で は，鉄道の 運転整理に対 して，旅客が ダイ

ヤ乱れ時に被る不便度 と平常時の そ れ との 差 で あ る 旅

客損失の 総和 を最小化する，混合整数計画法に基 づ い

た ア ル ゴ リ ズ ム と計算時間短縮式 を提案 した．先行研

究と比較 して ，列車運行の部分で は，列車の 順序変更

に 加え て種別変更と折返 し変更が実施可能 に なり，旅

客行動 の 部分 で は， 列車 の 乗換回数の制限が な くな り，

評価指標が乗車時間，待ち時間，乗換回数の 重み付き

線形和へ と拡張された こ とで ，モ デ ル の規模が増大 し

たが，解空間を縮小する制約式を導入して計算時間の

短縮を図 っ た．実路線を含む データ を対象に した計算

機実験 の 結果 ， 導入 し た追加制約式が適切 に 機能 し，

実時間内で先行研究 よりも広 い 解空間 に 対 して 最適解

が導出 で き，旅客 の 視点に た っ た運転整理 ダイヤが作

成 さ れ る こ とを確認 し た．

　今後の課題 と して ，列車混雑に関連して発生する現

象を混合整数計画 モ デ ル に 反映する こ とが 考えられる ．

過剰な混雑は列車の更なる遅延 を引 き起 こすとともに，

旅客行動 に も影響を与え る が ，そ の定量的な関係 の 解

明か ら取 り組む こ とに なる．また ， 解の探索範囲 を更

に広げた ときで も実時間内 で 解 の 最適性の 証明 が で き

る よ う， 目的関数の 下界を早 く改善させ る策 を講 じる

必要 が ある．

　謝辞　本論文の 改善にあた り2 名の匿名の査読者か

らの 貴重な コ メ ン トに 感謝する．な お， 第三 著者 は科

研費 （C）24510199 の助成を受け て い る．

　　　　　　　　　　文　　　献

　国　電気学会 ・鉄道 におけ る運行計画 ・運行管理業務高度化に

　 　 関 す る調査専門委員会 （編），鉄 道 ダ イヤ 回復 の 技術，オー

　　　ム社，東京，2010 ．

　［2亅 田村　啓，富井規雄，佐藤圭介，」‘旅客損 失 を最小 にす る

　　 混合整数計 画法に よ る運 転整 理 ア ル ゴ リズ ム とそ の 評価，”

　　 平 25 電 学全大，分冊 3，pp ．128−129 ，　March 　2  13 ．

　［3］ K ．Tamura，　 N ．　 Tomii ，　 and 　K ．　 Sato，　

c‘An 　 optimal

　　 rescheduling 　 algorithm 　from 　passengers，

　 viewpoint

　 　 based　 on 　mixed 　integer　progra 皿 ming 　formulation，

”

　 　 PrGc ．5七h 　International 　 Seminar　 on 　Railway　Opera尸

　　 tions　Modelling　and 　Analy5is （RailCopenhagen2013 ），

　　 Copenhagen ，　Denrnark，　May 　2013．

［4］ H ．P ．　Williams （著 ），前田 英次郎 儖 訳），小林英 三 （訳 ），

　　 数 理計画モ デ ル の 作 成法，産業 図 書，・東京，1995 ，

　［5】 千種健二 ，佐藤圭介，古関 隆章，“混 合整数計画法に 基づ

　　　く列 車運行 乱れ 時の 旅行時間増大量 に 主眼 を置 い た 運 転

　　　整理最適 化，）1

電学論 （D ），vol ．132，　 nQ2

，　pp．170 −177 ，

　 　 　 Feb ．2012 ．

　［6］ J，T6rnquistT “Computer −based　decision　support 　for

　　　railway 　traMc 　scheduling 　and 　dispatching： Areview

　 　 ef 　 mede ！s　and 　 algorlthms ，”Proc ．5th　Workshop 　on

　　 Algorithmic　Methods 　and 　Medels　for　Optimization 　of

　　　Railways （ATMOS2005 ），　Palma 　de　MalLorca，　Spain，

　 　 　Sept．2005 ．

　［7］ A ．D ’ArianQ　and 　M ．　Pranzo，“An 　advanced 　real −time

　　 train 　dispatching 　system 　for　minimizing 　the　propaga −

　　　tion　of 　delays　in　a　dispatching　area 　under 　severe 　dis−

　 　 　turbances ，” Networks　and 　Sp乱 tial　Economics ，　 voL9，

　 　 　 no ．1）pp ．63−84，　March 　2009 ．

　［8］ C ，G ，WaIker，　J．N ．Snowdon ，　and 　D ．M ．　Ryan ，‘cSimul ．

403

N 工工一Eleotronio 　Library 　

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co   unioation 　 Engineers

電子 情報通 信学 会論 文 誌 2014／3VoL 　J97−D　No ．3

　 　 taneous 　disruption 　 recovery 　 of 　 a 　train 　 timetable 　 and

　　 crew 　roster 　in　real 　time ，’i　Comput ．　Oper，　Res ．

，vol ．32

，

　 　 no ．8，　pp ．2077 −2094，　Aug ，　2005 ．

［9］　J．T6rnquist 　and 　J，A ．　Persson，“N −tracked 　railway

　　 trafEc　re −scheduling 　during　disturbances，”　Trans−

　　 portation 　Research 　Par 七 B ： Methodological，　 vol ．41，

　 　 no ．3，　pp ．342 −362 ，　March 　2007 ．

［10］ 富井規雄，田代善昭，田部典之，平井　力，村木国満，“利

　　 用者の 不満 を最小 に する 列車運転整理 アル ゴ リズ ム ノ’情処

　　 学論 ：数理 モ デ ル 化 と応用，voL46，　no 、SIG 　2（TOM 　11）1

　 　 pp ．26−38，　Jan ．2005 ．

［11］ A ，Sch6bel，　Optimization　in　Public　T￥ansportation ，　 　 Springer，　 New 　YQrk，2006 ，

［12］ T ．Dollevoet ，　 D ．　 Huisman ，　 M ．　 SchrnidtT　 and 　 A ．

　　 Sch6bel，　‘：Delay　management 　 with 　rerouting 　Qf

　　 Passengers ，

，i　T士ansportation 　Science，　voL46 ，　no ．1，

　 　 pp ．74−89｝Feb ，2012 ．

［13］ M ．Schachtebeck　and 　A ．　Sch6be17 “To 　wait 　or 　not 　to

　 　 wait − and 　who 　goes　first？ Delay　management 　with

　　 priority　decisions，11

野 ansportation 　Science ，　 vol ．44，　　 no ．3，　pp ．307 −321 ，Aug ．2010 ．

［141 国 土 交 通 省 鉄 道 局 （監 修），鉄 道 プ ロ ジ ェ ク トの 評価手法

　 　 マ ニ ュ ア ル 2012 改訂版，運輸 政策研 究機構，東京，20 ⊥2．

　　　　　　（平成 25 年 5 月 22 日受付，8 月 10 日再受付 ）

富井　規雄

　1978 京都大学大 学院工 学研 究科情報 工

学専 攻了，同年 日本 国有鉄 道，1987 （財）

鉄 道 総 合 技 術 研 究所 を 経 て，

2007 よ り千

葉工 業 大学情報科学 部教授，京都大 学博士

（情報学）．情報処理 学会，人工 知能学会，電気学会 ， 日本 OR 学会各会員．著書 とし

て ，列単 ダ イヤの ひ み つ （成 山堂），鉄道 の ス ケ ジ ニL 一リ ン グ

ア ル ゴ リズ ム （NTS 出 版 ）な ど．

田村　　啓

　 2012 千葉 工 業 大学情報 科学 部情報 工学

科卒．現在 同大学院情報科学研究科修士課

程在 学中．鉄道 の 運 転整 理 の 研 究に 従事，

佐藤　圭介　　（正員）

　2006 筑波 大学大学 院 シ ス テ ム 情 報工 学

研究科社会シ ス テ ム 工 学 専攻 修士 号取得．同年 （財）鉄道総合技 術研 究所入所．鉄 道

の運転 整理・運用整理 の 最適化ア ル ゴ リズ

ム の研究開発 に従事．日本 OR 学会会員．

404

N 工工一Eleotronio 　Library