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Derivada de una función.

Aplicaciones

JANNIER EDUARDO ABAD TORRES

Habilidades: . Definir la derivada de una función. . Interpretar geométricamente la derivada

de una función. . Determinar los puntos críticos de una

función. . Determinar los extremos absolutos de

una función continua en un intervalo

cerrado. . Describir el concepto de punto de

inflexión de una gráfica. . Analizar la concavidad de una función a través de su segunda derivada. . Resolver problemas de máximos y

mínimos de una función en una variable.

La Pendiente de una Curva

¿Una curva tiene pendiente?

Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que mas se asemeja (ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0

x

y

0x

)( 0xf)( 0 hxf

hx 0

x

y

0x

)( 0xf )( 0 hxf

hx 0

x

y

0x

)( 0xf )( 0 hxf

hx 0

Tangente 0 h

Observar que para un valor x=a del dominio de la función f(x) en el caso de existir una recta tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)), podemos realizar una relación entre el punto a y el valor de este límite denotado por f ’(a) y llamado derivada de la función f en el punto x=a

De allí que podemos definir la función derivada

Función DerivadaLa derivada de una función f con respecto a la variable x es la función cuyo valor en x en el caso de existir es:

hxfhxf

Limxfh

)()()('

0

REGLAS DE DERIVACIÓN

4. Si f es derivable y c constante, se tiene: xfcxcf

3. Sea f(x) = xn, entonces: 1 nnxxf

n

1. Sea f(x) = k, entonces: 0 xf

k

D (c) = 0

x2. Sea f(x) = x, entonces: 1 xf

5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que:

6. Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto es:

xgxfxgxfxgxf

Reglas de Derivación

xgbxfaxbgxaf

Reglas de Derivación

7. Si f y g son funciones derivables y no es cero, entonces la derivada del cociente es:

)(xg

)()()()()(

)()(

2 xgxgxfxgxf

xgxf

8. Si y , entonces la regla de la cadena se define por:

nxgxf )()(

)()()( 1 xgxgnxf n

n

Derivada de funciones exponencialesi)

ii) Derivada de funciones logarítmicasi)

ii)

Derivada de funciones Trigonométricasi)

ii)

xxfxxf

1)(;ln)(

xgexfexf xgxg )(;)(

)()(

1)(;ln)( xg

xgxfxgxf

xx exfexf )(;)(

Derivadas de funciones EXP, LOG y TRIG.

)´()).(()´( , ))(()( xuxuSenxfxuCosxf

)´()).(()´( , ))(()( xuxuCosxfxuSenxf

LA DERIVADA

EN EL

ANALISIS DE

FUNCIONES

Extremos de una función

Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)

El punto a є D se llama Punto mínimo en D si:

Dxxfaf )()(

Al valor f(a) se le llama mínimo de la función f(x) en D

Ejemplo: f(x)=x2-4x+5

Extremos de una función

Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)

El punto a є D se llama Punto máximo en D si:

Dxxfaf )()(

Al valor f(a) se le llama máximo de la función f(x) en D

Ejemplo: f(x)=4x-x2+2

• Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo

• Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o mínimo de dicha función.

TEOREMA

f ’(c) = 0

Si c es un punto de extremo local de f, entonces

• Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo

• Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o mínimo de dicha función.

OBSERVACIÓN:

PUNTOS CRITICOSDefinición:

Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.Ejemplo: Determinar el punto crítico de:

13)( 23 xxxf

1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]2. Hallar f(c) para cada punto crítico c3. Calcular f(a) y f(b)4. El mayor de los números hallados en 2

y 3 es el máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el mínimo absoluto.

Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b]

Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de:

4;

21

13)( 23 enxxxf

TEOREMASea f continua en [a, b] y derivable en

(a;b), entonces:1. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces

f es estrictamente CRECIENTE en [a,b]

2. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces

f es estrictamente DECRECIENTE en

[a;b]

>

Ejemplo:

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

196)( 23 xxxxf

Criterio de la primera derivada

Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces:

i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c

entonces c es un punto de MÁXIMO local de f

ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c entonces c es un punto de MÍNIMO local

de f

Ejemplo:

Determinar los valores extremos locales de:

196)( 23 xxxxf

abajo

<-

TEOREMASea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:

1. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia

en x = carriba

>

+

2. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia

en x = c

Criterio de la segunda derivada

Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0 entonces:

1.Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local.

2. Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local

PUNTO DE INFLEXIÓN

La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si:1 f es continua en c

2 La gráfica tiene tangente enel punto

sentido en c3 La concavidad cambia de

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXION

i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero o no existe

ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es:• Si f es continua• Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical)• Si f ’’ cambia de signo

Ejemplo:

Determinar:

a) Intervalos de concavidad.

b) Puntos de inflexión

c) Trazar la gráfica de f

Para:

196)( 23 xxxxf

GR

AC

IAS