1

DEFINIZIONE. La circonferenza è l’insieme di tutti e soli i punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto centro.DEFINIZIONE. La circonferenza è l’insieme di tutti e soli i punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

1 La circonferenza e il cerchio

DEFINIZIONE. Il cerchio è la parte di piano costituita dalla circonferenza e dai punti ad essa interni.DEFINIZIONE. Il cerchio è la parte di piano costituita dalla circonferenza e dai punti ad essa interni.

O

cerchio

circonferenza

2

1 La circonferenza e il cerchio

Le parti di una circonferenza

DEFINIZIONE. Presi due punti A e B su una circonferenza, si chiama arco ciascuna delle due parti in cui la circonferenza viene divisa; lo si indica con la scrittura:

AB

I due punti scelti sulla circonferenza vengono detti estremi dell’arco.

DEFINIZIONE. Presi due punti A e B su una circonferenza, si chiama arco ciascuna delle due parti in cui la circonferenza viene divisa; lo si indica con la scrittura:

AB

I due punti scelti sulla circonferenza vengono detti estremi dell’arco.

3

DEFINIZIONE. Si dice corda di una circonferenza ogni segmento che abbia gli estremi appartenenti alla circonferenza.

DEFINIZIONE. Si dice corda di una circonferenza ogni segmento che abbia gli estremi appartenenti alla circonferenza.

1 La circonferenza e il cerchio

DEFINIZIONE. Si dice diametro di una circonferenza ogni corda passante per il centro della circonferenza. Esso divide il cerchio in due parti congruenti dette semicerchi. Gli estremi di un diametro dividono una circonferenza in due semicirconferenze.

DEFINIZIONE. Si dice diametro di una circonferenza ogni corda passante per il centro della circonferenza. Esso divide il cerchio in due parti congruenti dette semicerchi. Gli estremi di un diametro dividono una circonferenza in due semicirconferenze.

PROPRIETÀ. I diametri di una circonferenza sono tutti fra loro congruenti; in particolare d = 2 r.PROPRIETÀ. I diametri di una circonferenza sono tutti fra loro congruenti; in particolare d = 2 r.

4

2 Le proprietà della circonferenza

PROPRIETÀ. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza ad una corda divide tale corda a metà.PROPRIETÀ. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza ad una corda divide tale corda a metà.

PROPRIETÀ. La perpendicolare ad una corda nel suo punto medio (asse della corda) passa per il centro della circonferenza.PROPRIETÀ. La perpendicolare ad una corda nel suo punto medio (asse della corda) passa per il centro della circonferenza.

PROPRIETÀ. In una stessa circonferenza ad archi congruenti corrispondono corde congruenti e viceversa.PROPRIETÀ. In una stessa circonferenza ad archi congruenti corrispondono corde congruenti e viceversa.

TEOREMA. Due corde congruenti di una stessa circonferenza hanno la stessa distanza dal centro.TEOREMA. Due corde congruenti di una stessa circonferenza hanno la stessa distanza dal centro.

5

3 Le parti di un cerchio

DEFINIZIONE. Si chiama settore circolare ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da due suoi raggi.DEFINIZIONE. Si chiama settore circolare ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da due suoi raggi.

DEFINIZIONE. Si chiama segmento circolare ad una base ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una sua corda.DEFINIZIONE. Si chiama segmento circolare ad una base ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una sua corda.

DEFINIZIONE. Si chiama segmento circolare a due basi la parte di cerchio compresa fra due corde parallele. La distanza fra le due basi si chiama altezza.

DEFINIZIONE. Si chiama segmento circolare a due basi la parte di cerchio compresa fra due corde parallele. La distanza fra le due basi si chiama altezza.

rO

s

6

4 Le posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza

DEFINIZIONE. Una retta è esterna ad una circonferenza se non ha con essa alcun punto in comune.DEFINIZIONE. Una retta è esterna ad una circonferenza se non ha con essa alcun punto in comune.

DEFINIZIONE. Una retta è tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con essa; questo è detto punto di tangenza.DEFINIZIONE. Una retta è tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con essa; questo è detto punto di tangenza.

1. Primo caso OP > r

Pr

O

2. Secondo caso OP = r

s

P

PROPRIETÀ. La tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.PROPRIETÀ. La tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.

rO

s

7

4 Le posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza

DEFINIZIONE. Una retta è secante ad una circonferenza se ha due punti distinti in comune con essa.DEFINIZIONE. Una retta è secante ad una circonferenza se ha due punti distinti in comune con essa.

3. Terzo casco OP < r

P

A

B

PROPRIETÀ. Se da un punto esterno ad una circonferenza conduciamo le tangenti a quest’ultima, otteniamo due segmenti di tangente tra loro congruenti.

PROPRIETÀ. Se da un punto esterno ad una circonferenza conduciamo le tangenti a quest’ultima, otteniamo due segmenti di tangente tra loro congruenti.

T1

T2

O

PROPRIETÀ. La semiretta che congiunge il punto esterno con il centro della circonferenza è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti stesse.

PROPRIETÀ. La semiretta che congiunge il punto esterno con il centro della circonferenza è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti stesse.

P

8

5

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono esterne l’una all’altra se la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei loro raggi:

OO’ > r + r’

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono esterne l’una all’altra se la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei loro raggi:

OO’ > r + r’

1. Primo caso

r

O

Le posizioni di due circonferenze

r’

O’

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono tangenti esternamente se la distanza dei loro centri è congruente alla somma dei loro raggi:

OO’ = r + r’

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono tangenti esternamente se la distanza dei loro centri è congruente alla somma dei loro raggi:

OO’ = r + r’

2. Secondo caso

r

O

r’

O’

P

9

5

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono secanti se la distanza dei loro centri è minore della somma dei loro raggi e maggiore della loro differenza:

OO’ < r + r’; OO’ > r – r’

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono secanti se la distanza dei loro centri è minore della somma dei loro raggi e maggiore della loro differenza:

OO’ < r + r’; OO’ > r – r’

3. Terzo caso

rO

Le posizioni di due circonferenze

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono tangenti internamente se la distanza dei loro centri è congruente alla differenza dei loro raggi:

OO’ = r – r’

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono tangenti internamente se la distanza dei loro centri è congruente alla differenza dei loro raggi:

OO’ = r – r’

4. Quarto caso

r

Or’

O’

A

r’

O’

A

B

10

5

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono una interna all’altra se la distanza dei loro centri è minore della differenza dei loro raggi:

OO’ < r – r’

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono una interna all’altra se la distanza dei loro centri è minore della differenza dei loro raggi:

OO’ < r – r’

5. Quinto caso

Le posizioni di due circonferenze

DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono concentriche se hanno lo stesso centro.DEFINIZIONE. Due circonferenze si dicono concentriche se hanno lo stesso centro.

r

Or’

O’

DEFINIZIONE. La parte di piano delimitata da due circonferenze concentriche di raggi disuguali è detta corona circolare.DEFINIZIONE. La parte di piano delimitata da due circonferenze concentriche di raggi disuguali è detta corona circolare.

r

O O’

11

6

DEFINIZIONE. Si chiama angolo al centro di una circonferenza ogni angolo avente il vertice nel suo centro.DEFINIZIONE. Si chiama angolo al centro di una circonferenza ogni angolo avente il vertice nel suo centro.

Gli angoli al centro e alla circonferenza

PROPRIETÀ. Angoli al centro congruenti insistono su archi congruenti e viceversa ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti.

PROPRIETÀ. Angoli al centro congruenti insistono su archi congruenti e viceversa ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti.

12

6

DEFINIZIONE. Si chiama angolo alla circonferenza un angolo convesso con il vertice su di essa e i lati entrambi secanti la circonferenza.

DEFINIZIONE. Si chiama angolo alla circonferenza un angolo convesso con il vertice su di essa e i lati entrambi secanti la circonferenza.

Gli angoli al centro e alla circonferenza

DEFINIZIONE. Si chiama angolo alla circonferenza un angolo convesso con il vertice su di essa e un lato secante e uno tangente la circonferenza.

DEFINIZIONE. Si chiama angolo alla circonferenza un angolo convesso con il vertice su di essa e un lato secante e uno tangente la circonferenza.

DEFINIZIONE. Si chiama angolo alla circonferenza un angolo convesso con il vertice su di essa e entrambi i lati tangenti la circonferenza.

DEFINIZIONE. Si chiama angolo alla circonferenza un angolo convesso con il vertice su di essa e entrambi i lati tangenti la circonferenza.

Area 4 - Capitolo 1 - PAG. 306

13

6 Gli angoli al centro e alla circonferenza

PROPRIETÀ. Ad ogni angolo alla circonferenza corrisponde un solo arco sul quale insiste; viceversa ad ogni arco corrispondono infiniti angoli alla circonferenza.

PROPRIETÀ. Ad ogni angolo alla circonferenza corrisponde un solo arco sul quale insiste; viceversa ad ogni arco corrispondono infiniti angoli alla circonferenza.

14

6 Gli angoli al centro e alla circonferenza

TEOREMA. Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro. TEOREMA. Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.

Relazione tra angoli al centro e angoli alla circonferenza

PROPRIETÀ. Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno steso arco sono fra loro congruenti. PROPRIETÀ. Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno steso arco sono fra loro congruenti.

15

6 Gli angoli al centro e alla circonferenza

PROPRIETÀ. Tutti i triangoli aventi un vertice sulla circonferenza e un lato coincidente con il diametro sono triangoli rettangoli.

PROPRIETÀ. Tutti i triangoli aventi un vertice sulla circonferenza e un lato coincidente con il diametro sono triangoli rettangoli.

PROPRIETÀ. In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa.PROPRIETÀ. In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa.

PROPRIETÀ. Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto.PROPRIETÀ. Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto.