1

Come cominciare una discussione di fisica?

Esempi:

1. prima di aver studiato che cosa sia il tempo, non possiamo dire niente della sua natura e perciò non possiamo sapere in che modo discuterlo.

2. Se non sappiamo a cosa serve il momento lineare, perchè inventarlo? E come?

Perciò cominceremo a parlare di fisica in un modo qualsiasi – forse non nel modo giusto – e di consequenza dobbiamo aspettarci di fare un certo numero di errori (gli stessi che hanno fatto Galileo, Newton et al.)

La cosa interessante è, che – procedendo - riusciremo a correggere i nostri errori!

2

2) Spazio e tempo I

Inventiamo un modello del mondo, altrimenti non sappiamo neanche di cosa e come parlare. Immaginiamoci allora che:

• Ci sia uno spazio 3-dimensionale intorno a noi

• Descriviamo tale spazio con un metro.

• Facciamo finta di poter approssimare un corpo fisico con un punto (il suo centro di massa) e pensiamo che:

- il metro definisca la posizione di questo punto e la distanza fra due punti

- le proprietà del metro non dipendano da noi.

• Pensiamo che il “tempo” sia definito e misurato da un orologio, che ci permetta di dire a che tempo un certo punto occupa una certa posizione – anche qui la misura non dipenda da noi.

3

Se il movimento di un corpo è descritto dalla funzione r(t), chiamiamo

dr/dt la sua “velocità”, v

dv/dt la sua “accelerazione”, a.

Dato un certo sistema di riferimento, da r si ricavano v e a in modo non ambiguo

(però, in sistemi diversi r, v, a saranno diversi)

Partendo da v ed a si può calcolare r a meno di una costante

Esempi:

quiete, moto uniforme, caduta libera, oscillazione

Il movimento del punto è descritto dalla funzione )(tr

(Spesso è possibile scegliere le coordinate in modo tale, che il corpo risulti muoversi lungo una sola coordinata, in questo modo il problema diventa uni-dimensionale)

4

quiete .)( 1 constrtr 0)( dt

drtv 0)(

dt

dvta

Moto uniforme .)( 1 constvtv dttvtr )()(

0)( dt

dvta

Caduta libera: si trova

(più in avanti spieghiamo perchè)

28.9.)(s

mgconstta

tgdttatv )()(

221)()( tgdttvtr

Esempi:

per =0

In generale: ttgdttgdttvtr 221)()()(

5

r

0 0)0( tr

0021 g

0

se

tgtv )( 221)( tgtr e rgtggv 2)(2 2

21

tggdtdttatv )()(

221)()( tgdttvtr

La pietra comincia cadere a t=0

=> v(0)=0 => =0

)()()()( 122

1

2

1

xFxFxFdxxf xx

x

x

con )()( xfxF

Ci ricordiamo:

E: pietra cadente (forse in un computer game realistico)

6

E: Un’ automobile accelera da 0 a 90 km/h in 5s netti. Calcolare l’accelerazione media e confrontarla con l’ accelerazione di gravità.

Prima di tutto passiamo la quantità nel Si: 90km/h 25,0 ms-1

gag

msa

51,051,08,9

0,50,5

0,50,5

0,25 2

7

Un automobilista buca una ruota. Viaggia quindi con il ruotino di scorta da A a B alla velocità costante di 70 km/h. Con la gomma nuova, ritorna a 170 km/h, ed è convinto di aver fatto il viaggio andata e ritorno alla media di 120 km/h. A che media ha invece viaggiato alla fine?

hkmv /701 hkmv /1702

1

11 t

lv

2

22 t

lv

lll 21

21

21

tt

llv

1

2

1

2

2

1

t

t

lt

tl

v

v

2

112 v

vtt

hkmvt

l

t

l

tt

l

vv

tt

lv /99

24

34

24

172

17242

17070

221

1111

2

111

8

E: Un vaso di fiori cade dal IV piano di un palazzo (12 m dal suolo)Quanto tempo ci mette ad arrivare al suolo?Quanto vale la velocità con cui tocca il terreno?

Le equazioni vettoriali, indipendenti dal sistema di riferimento che descrivono il moto sono:

o

o

vtgr

rtvtgr

0

2

2

1

Con v0 velocità iniziale, g = accelerazione di gravità, r0 = posizione iniziale

Occorre:- definire il sistema di riferimento

- determinare le componenti dei vettori che servono in questo sistema - risolvere le equazioni che ne risultano

9

Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano in cui l’asse y sia orientato dall’ basso verso l’altoIl moto avviene lungo la verticale con equazione:

gty

hgty

2

2

1

x

y

0

Al suolo: y= 0

13,1522

56,12

msghg

hgy

sg

ht

10

Un vaso di fiori cade dal IV piano di un palazzo (12 m dal suolo), lanciato verso il basso con una velocità di 30 km/h

Quanto tempo ci mette ad arrivare al suolo?Quanto vale la velocità con cui tocca il terreno?

Le equazioni vettoriali, indipendenti dal sistema di riferimento che descrivono il moto sono:

o

o

vtgr

rtvtgr

0

2

2

1

0

02

2

1

vgty

htvgty

Al suolo: y= 0

g

ghvvt

htvgt

2

02

1

200

02

11

con v0 = 30 km/h = 8,33 ms-1

s

st

63,2

93.0

81,9

0,1281,9233,833,8 2

la soluzione con il tempo negativo va scartata!!

11733.893.08.9 sms

my 0vgty

12

Riflettete! :

1) La trasparenza precedente era piena di

La ragione è che non abbiamo introdotto nessun nuovo concetto di fisica, ma abbiamo solo applicato della matematica

L’ unico concetto di fisica introdotto finora sta nell’ affermazione: “c’e uno spazio tri-dimensionale che descriviamo con un metro…”

2) In questo modello del mondo non possiamo assegnare una velocità assoluta ad un corpo, in quanto la sua velocità dipende dal moto dell’ osservatore.

in

La costante dipende dal sistema di riferimento dell’ osservatore.

Senza fare riferimento ad un certo osservatore, possiamo assegnare solamente una velocità relativa ad un corpo rispetto ad un altro corpo.Questa velocita’ relativa potrebbe essere anche infinita (sinora non abbiamo posto nessun limite sulle velocita’)

""

tgdttatv )()(

13

La matematica ci dice anche, che non è importante il modo con il quale si descrivono i vettori spaziali – i modi possibili sono diversi, e tutti vanno uqualmente bene

Il sistema di coordinate usate finora è detto cartesiano (Renè Descartes “cogito ergo sum”, 1596-1650)

Per esempio, invece di descrivere la posizione di un punto usando un righello dritto (che misura centimetri) possiamo anche usarne uno curvo (che misura gradi). In questo caso parliamo di coordinate polari

La scelta del sistema di coordinate è solo una questione di convenienza

14

Esempio:

La rotazione di un punto intorno ad un’ asse (r=cost.) può anche essere descritto nel sistema cartesiano:

x

y

)sin,cos()( rrtr

In tal caso per la velocita del punto si trova:

xx

yvv

22yx vvv con

sin)1(sin0)(cos

cos dt

dr

dt

dr

dt

dr

dt

dxvx e simile per vy

dt

dr

dt

dr

dt

drv

222

222 cossin

15

Diventa molto più semplice in coordinate radiali:

“velocità angolare”

r

),( r

dt

drv

r

d drr

drdrdrd

0

)tan(

:

dt

d

rv

posizione

velocità ,0,

dt

d

dt

dr

con

traduzione:

16

A questo punto ci si potrebbe chiedere, quali valori di r(t), v(t), a(t) sono possibili?

t

rPossibile?

E’ una macchina del tempo!

r

t

300.000 km

1 sec

Possibile?

17

r

t

Possibile?

dt

drv

t

dt

dva

Quali moti sono possibili?

Perchè I corpi si muovono?

E se non si muovono, perchè non si muovono?

18

Se vogliamo rispondere a queste domande, incontriamo un problema:

A prima vista potrebbe sembrare molto “scientifico” descrivere il movimento di un corpo con la sua velocità e con la derivata e l’integrale della velocità.

Però: la velocità di un corpo materiale è come un fantasma: va e viene, ad un certo istante c’è e dopo non c’è più, senza che si possa dire dove è andata...

Perciò è difficile arrivare a qualcosa di concreto, basandosi solo sulla velocità.

19

Conservazione del momento

Lanciamo una palla da biliardo contro un’ altra, e contro palle più grandi o più piccole.

Cosa fa la palla da biliardo ovviamente dipende da “quanta” palla c’è.

“quanto c’e” di una cosa, la chiameremo “massa”, m, e la misureremo usando il grammo come unità.

Le masse di palle diverse (fatte dello stesso materiale) si potrebbero paragonare contando il numero di atomi. Dopo troveremo un metodo più generale.

20

Cerchiamo di formare una variabile fisica da m e , che funzioni meglio della sola .

Ovviamente non possiamo fare una somma di m [grammi] e [m/sec],

Facciamo allora un prodotto, e chiamiamolo “momento lineare”,

vmp

v

v

v

p

21

Il momento lineare del mondo non cambia mai.

Il momento lineare che perde un corpo, va sempre in un altro corpo.

0)( mondop

22

Fv

Tv

0 TF vv

FFF vmp

Nell’ esempio in seguito basta considerare solo v

TTT vmp

,/200 hkmvF con

hkmhkmkg

kgv

m

mv F

T

FT /1033/200

100,6

1000 2124

FT pp

kgmT24100,6

La Ferrari è ferma

La Ferrari accelera alla velocita vF, spingendo la terra alla velocita vT.

Tp

Fp

kgmF 1000

23

forza

F

Cosa è la forza? - Come per spazio e tempo diamo una definizione preliminare, che basta per cominciare a ragionare:

La forza viene misurata con una molla.

a) La forza F e’ proporzionale all’ allungamento l.

Come viene trasmesso il momento lineare ?

Con la

l l

b) Due molle stesso allungamento

=> Forza doppia

F

2

24

Seconda legge di NewtontFp

Nei prossimi lucidi vorrei far vedere che è ragionevole assumere che:Il momento lineare trasmesso, p, 1) è proporzionale a F ed2) è proporzionale all’ intervallo di tempo, t, per il quale agisce F.

E se (1) e (2) sono vere, segue necessariamente che:

25

Esempio:

Due Ferrari, entrambe di massa m, vengono accelerate

dal loro motore, entrambe con forza F, e dopo un certo

tempo raggiungono la velocità ,

Cosi’ che ognuno aumenta il suo momento lineare della

quantità

m

m

F

F

m

m

F

F

vm

Adesso colleghiamo le due Ferrari con un tubo molto leggero, creando una SuperFerrari di massa

e ripetiamo l’ esperimento:

la forza totale porterà la Superferrari di massa alla stessa velocita di prima, .

m2

v

F2v

La doppia forza ( invece di )

crea il doppio aumento di momento lineare ( invece di )

l’ aumento del momento lineare e’ proporzionale alla forza

vm2

F2 F

vm

m2

26

Può essere vero, che il trasferimento di momento lineare sia proporzionale all’ intervallo di tempo t durante il quale agisce la forza?

Sia dato un corpo di massa m, e velocita 0

Si applichi una forza F per un tempo t

Come consequenza il corpo assume una velocità v, ed un momento lineare pari a mv.

Dopo, in un secondo istante, si lasci un’ altra volta agire la stessa forza sullo stesso corpo (che adesso ha velocita v ), e ci si chieda per quale intervallo di tempo t’ la forza deve essere applicata, per portare il corpo alla velocita 2v

Visto che il corpo avrà velocità 2v, il suo momento lineare sarà 2mv.

deve perciò essere trasferito un momento lineare addizionale pari a mv – come prima.

Visto che nel primo e nel secondo istante la stessa forza agisce sullo stesso corpo (di massa m) e deve trasferire lo stesso momento lineare, t deve essere uguale a t’.

In un intervallo di tempo doppio, la forza trasferisce un doppio momento lineare

l’ aumento di momento lineare è proporzionale all’ intervallo di tempo

27

tFp

Si può anche scrivere (per m=const.) come

amt

vm

t

pF

seconda legge di Newton

Riassumendo

28

F

29

F

Cosa succede se tagliamo la corda?

Si interrompe la catena di forza e contro forza!

Rimane la sola forza del motore? – non può essere perchè una forza senza controforza crea momento lineare dal niente!

La Ferrari accelera, la accelerazione “produce” la

controforza – forza di inerzia, F= -ma

Vietato !(non si riesce nemmeno ad immaginare “una sola forza”)

amF F

30

Altro esempio:

ramo

mela

Forza peso

g descrive la forza della gravità terrestre, g=9.81 m/sec2

Mela in caduta libera Massa m accelera

con accelerazione g

gmF

gmamF

Forza di inerzia

gm

31

E ovviamente, se 0F 0 mFa .constv

In assenza di una forza, un corpo mantiene la sua velocità 1.Legge di Newton

32

Una strada alternativa

t

pF

Nelle trasparenze precedenti ho cercato di spiegarvi le leggi di Newton in modo piu’ comprensibile.

Ci sono comunque altri modi per spiegare tali leggi.

Spesso si trova la seguente spiegazione:

A) “L’ accelerazione è causata dalla forza” (Halliday, p.82)

Certamente ci si può esprime anche cosi’ – ma nel passato ho visto che qualcuno può male interpretare una frase del genere, come se la legge di Newton dicesse

invece dit

pF

E addirittura come se fosse implicata una sequenza temporale fra la forza e la accelerazione.

Giusto è dire: Forza e accelerazione vanno sempre insieme, allo stesso tempo

33

p ”…è uguale alle forze … esterne, che agiscono sul corpo” (Wolfson, p.71)

E si trovano disegni esplicativi come questo:

F

a

C’è il pericolo, che qualcuno potrebbe capire male che ci sia una forza solo, nel qual caso si avrebbe una violazione della conservazione di momento lineare!

In più si deve distinguere fra forze esterne ed interne.

In piu’ non si puo’ immaginare bene la situazione: per esempio, se tiro la estremita’ di una molla, non riesco neanche immaginarmi, che non tiri qualcuno al altra estremita’.

34

C) A volte la terza legge (forza e controforza sono uguali) viene spiegata riferendosi a due corpi distintii:

terra

mela

Non si deve pero’ pensare che si riferisca unicamente e solamente a due corpi diversi –

Nascerebbe il problema, di dover definire quando un corpo e’ qualcosa di diverso e quando no : l’autista è parte della macchina o è qualcosa di diverso dalla macchina?

E serve uno sforzo addizionale per discutere casi con un corpo: per esempio un missile nello spazio vuoto

Il gas di combustione uscito dal missile non crea nessuna forza

terra

35

Misurare massa e forza

A) Misura della massa utilizzando la forza peso

Misura relativa: bilancia o molla

Masse identiche

Scala relativa

Forza misurata: gm

Molla ideale:

xF

x

36

valore assoluto:

“la definizione delle unità di misura è un atto politico” (H.Wegener)

Una volta: 1kg è pari ad un litro d’acqua

Oggi sistema SI: 1 kg è pari alla massa di un cilindro di metallo custodito in un istituto a Parigi.

Altre unita’ di base: secondo (s)

metro (m)

Ampere (A)

Forza : massa per accelerazione =: N (Newton)

Energia: forza per distanza =: J (Joule)

Potenza: energia per tempo =: W (Watt)

2smkg

3

2

smkg

2

2

smkg

37

B) Determinare la massa utilizzando la forza di inerzia

m

0x

Molla ideale: xF (positivo o negativo)

Visto che )()( inerziaFmollaF (3. Legge di Newton)

amx 0 xmx

xx cos)(sin (*) ricordiamoci: xx sin)(cos bbaba )()(

Soluzione generale: )cos()( tAtx m con (*)

Misurando e , si puo’ determinare m

38

Le Forze

Oggi conosciamo 4 diverse forze:

1) gravitazionale / inerziale

2) elettromagnetica (fotoni) (precedentemente forze elettrica e magnetica)

3) Debole (Bosoni W e Z)

4) Forte (Gluoni)

Esiste però una unica teoria per (2)-(4), il “Modello Standard”

La fisica ha veramente a che fare solo con due forze: (1) e (2-4).

Goal finale della Fisica: mettere insieme (1-4) in un unico quadro. Ma fino ad oggi non e’ stato possibile.

Esempi: tagliare della carta, frenare = forza elettromagnetica

riscaldare acqua = forza elettromagnetica + forza di inerzia

39

Come abbiamo visto, per casi molto semplici, la formula basta per determinare la cinematica.

Per casi più complicati può invece non essere sufficiente:

Stato iniziale:

Stato finale: o ?

Ogni sfera ha massa m

In tutte e due casi si avrebbe

ptF

1v 01 v

1)( vminizialep

02 v 12 vv 12

12 vv 12

12 vv

1)( vmfinalep

=> Il momento lineare e la sua conservazione sono importanti, ma non bastano per ordinare il moto in natura