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Codifica e Rappresentazione dell’informazione

• Cosa vedremo :Rappresentazione binaria

Codifica dei numeri

Codifica dei caratteri

Codifica delle immagini

Compressione dei dati

Codifica dei suoni

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Come vengono rappresentati dati e programmi ? ..

• L’architettura di Von Neumann

Memoria(RAM,dischi, etc)

Mantiene Dati e Programmi

Processore(CPU)

E’ un esecutore capacedi interpretare i singoli passirichiesti dai programmi (istruzioni elementari)

Sottosistemadi Interfaccia

Permette di comunicare dati e programmi alla macchina e di ottenere i risultati (tastiera, micr., stampante, schermo, )

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Rappresentazione binaria

• Tutta l’informazione interna ad un computer è codificata con sequenze di due soli simboli : 0 e 1– è facile realizzare dispositivi elettronici che

discriminano fra due stati, molto meno se gli stati sono tanti

• L’unità elementare di informazione si chiama bit da‘binary digit’

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Rappresentazione binaria (2)

• Vedremo prima come rappresentare i numeri sequenze di 0 e 1

• Poi discuteremo la rappresentazione di insiemi di oggetti finiti (caratteri, giorni della settimana, operazioni elementari etc…)

• Infine discuteremo la rappresentazione di insiemi infiniti (es. i naturali), e continui (i reali, immagini, suoni)

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Notazione posizionale in base 10 • Un numero (es. 5) può essere rappresentato in molti modi :

– cinque, five, 5, V,

• Rappresentazioni diverse hanno proprietà diverse – moltiplicare due numeri in notazione romana è molto più difficile che moltiplicare due numeri in notazione decimale ….

• Noi siamo abituati a lavorare con numeri rappresentati in notazione posizionale in base 10

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Notazione posizionale in base 10 (2) • La rappresentazione di un numero intero in base 10 è una sequenza di cifre scelte fra 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9:

– es: 23, 118, 4

• Il valore di una rappresentazione cN…c0 è dato da

cN * 10N + cN-1 * 10N-1 ….+ c1 * 101 + c0 * 100

esempi :

– 23 = 2*101 + 3 * 100 = 20 + 3

– 118 = 1*102 + 1*101 + 8 * 100 = 100 + 10 + 8

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Notazione posizionale in base 10 (3) Vediamo alcune proprietà di questa notazione :

• Il massimo numero rappresentabile con N cifre è 99….9 (N volte 9, la cifra che vale di più), pari a 10N-1– es: su tre cifre il massimo numero rappresentabile è 999 pari a 103-1 =1000-1

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Notazione posizionale in base 10 (4) Vediamo alcune proprietà di questa notazione (cont.):• Quindi se voglio rappresentare K diverse configurazioni (cioè 0 1 2 …K-1) mi servono almeno almeno x cifre dove 10x

è la più piccola potenza di 10 che supera K– es : se voglio 25 configurazioni diverse mi servono almeno 2 cifre perché 102=100 è la più piccola potenza di 10 maggiore di 25

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Notazione posizionale in base 2 • La rappresentazione di un numero intero in base 2 è una sequenza di cifre scelte fra 0 1 :

– es: 10, 110, 1

• Il valore di una rappresentazione cN…c0 è dato da

cN * 2N + cN-1 * 2N-1 ….+ c1 * 21 + c0 * 20

esempi :– 10 = 1*21 + 0 *20 = 2

– 110 = 1*22 + 1*21 + 0 * 20 = 4 + 2 + 0 = 6

– 1 = 1 *20 = 1

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Notazione posizionale in base 2 (2) Per la base due valgono proprietà analoghe a quelle viste per la base 10 :

• Il massimo numero rappresentabile con N cifre è 11….1 (N volte 1, la cifra che vale di più), pari a 2N-1– es: su tre cifre il massimo numero rappresentabile è 111 pari a 23-1 = 8 - 1 = 7

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Notazione posizionale in base 2 (3) Per la base due valgono proprietà analoghe a quelle viste per la base 10 (cont.):• Quindi se voglio rappresentare K diverse configurazioni (cioè 0 1 2 …K-1) mi servono almeno almeno x cifre dove 2x è

la più piccola potenza di 2 che supera K– es : se voglio 25 configurazioni diverse mi servono almeno 5 cifre perché 25=32 è la più piccola potenza di 2 maggiore di 25

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Conversione da base 10 a base 2Dato un numero X si cerca cN…c0 sua rappresentazione in base 2

• Conversione per divisione :– si divide ripetutamente X per 2

– il resto ottenuto nella divisione i-esima è la i-esima cifra (ci) della rappresentazione binaria

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Conversione da base 10 a base 2 (2)

Come si converte X nella sua rappresentazione in base 2 cN…c0 usando il metodo della divisione

• Es : convertiamo il numero 13– 13 / 2 da quoziente 6 e resto 1 (c0)

– 6 / 2 da quoziente 3 e resto 0 (c1)

– 3 / 2 da quoziente 1 e resto 1 (c2)

– 1 / 2 da quoziente 0 e resto 1 (c3)

• La rappresentazione di 13 è 1101

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Le basi 8 e 16 (ottale ed esadecimale)• Vengono spesso usate per dare una rappresentazione compatta della codifica binaria• Ottale, cifre 0 1 2 3 4 5 6 7

– 8 = 23 – vale la seguente proprietà

011011111111010100

011 011 111 111 010 100

3 3 7 7 2 4

337724

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Le basi 8 e 16 (ottale ed esadecimale)• esadecimale cifre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

– 16 = 24 – vale la seguente proprietà

011011111111010100

01 1011 1111 1101 0100

1 B F D 4

1BFD4– usato per rappresentare indirizzi e contenuto delle celle di memoria (32 bit!!!)

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer

• Usa la notazione binaria • Ogni numero viene rappresentato con un numero finito di cifre binarie (bit) • Numeri di ‘tipo’ diverso hanno rappresentazioni diverse

– es. interi positivi, interi (pos. e neg.), razionali, reali, complessi

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (2)

• Alcuni termini utili:– byte : una sequenza di 8 bit– word (parola) : 2 o 4 byte (dipende dalla macchina) unità minima che può essere fisicamente letta o scritta nella memoria– abbreviazioni kappa, mega, giga :

• K = 210, M = 220 , G = 230

• Tipicamente gli interi positivi si rappresentano usando 2 o 4 byte

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (3)

• Alcuni punti importanti: – se uso 4 byte (32 bit) posso rappresentare solo i numeri positivi da 0 a 2 32-1, che sono molti ma non tutti !– se moltiplico o sommo due numeri molto elevati posso ottenere un numero che non è rappresentabile

• es: vediamo cosa succede in base 10 con solo 3 cifre :

500 + 636 = 1136 risultato 136

se uso solo 3 cifre non ho lo spazio fisico per scrivere la prima cifra (1) che viene ‘persa’, è un fenomeno chiamato overflow

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (4)

• Interi positivi e negativi :– es. il tipo int in C usa di solito 4 byte– ci sono diverse convenzioni di rappresentazione

• es: modulo e segno in cui il primo bit viene riservato al segno (1 negativo, 0 positivo) e gli altri 31 al modulo• quella usata in realtà è la rappresentazione in complemento a 2 (in cui non ci addentriamo…)

– rimane il problema dell’overflow

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (5)

• Razionali – numero finito di cifre periodiche dopo la virgola (ad esempio 3.12 oppure 3.453– rappresentazione solitamente su 4/8 byte– rappresentazione in virgola fissa : riservo X bit per la parte frazionaria

– es : con 3 bit per la parte intera e 2 per quella frazionaria 011.11, 101.01

Parte intera Parte frazionaria

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (6)

• Come si converte in base 10 una rappresentazione in virgola fissa – es :

101.01 = 1* 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 0 * 2-1 + 1 * 2-2 =

= 4 + 1+ 0.25 = 5.25

dove 2-1 = 1/2 = 0.5, 2-2 = 1/22 = 0.25

e in generale 2-n = 1/2n

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (7)

• Problemi della rappresentazione in virgola fissa – overflow

– undeflow quando si scende al di sotto del minimo numero rappresentabile• es. vediamo in base 10, con 2 cifre riservate alla parte frazionaria 0.01 / 2 = 0.005 non rappresentabile usando solo due cifre

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (8)

• Problemi della rappresentazione in virgola fissa (cont.)– spreco di bit per memorizzare molti ‘0’ quando lavoro con numeri molto piccoli o molto grandi

• es. vediamo in base 10, con 5 cifre per la parte intera e 2 cifre riservate alla parte frazionaria

10000.00 oppure 00000.02

– i bit vengono usati più efficientemente con la notazione esponenziale o floating point (virgola mobile)

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (9)

• Rappresentazione in virgola mobile– idea : quando lavoro con numeri molto piccoli uso tutti i bit disponibili per rappresentare le cifre dopo la virgola e quando lavoro con numeri molto grandi le uso

tutte per rappresentare le cifre in posizioni elevate

– questo permette di rappresentare numeri piccoli con intervalli minori fra loro rispetto ai numeri grandi

– questo riduce gli errori nel calcolo a parità di bit utilizzati

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (10)

• Rappresentazione in virgola mobile (cont.)0

Numeri rappresentabili in virgola fissa

0

Numeri rappresentabili in virgola mobile

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (11)

• Rappresentazione in virgola mobile (cont.)– ogni numero N è rappresentato da una coppia

(mantissa M, esponente E) con il seguente significato

N = M * 2E

– esempi: 1. in base 10, con 3 cifre per la mantissa e 2 cifre per l’esponente riesco a rappresentare

349 000 000 000 = 3.49 * 1011

con la coppia (3.49,11) perché M = 3.49 ed E = 11

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La rappresentazione dei numeri all’interno di un computer (12)

• Rappresentazione in virgola mobile (cont.)– esempi:

2. in base 10, con 3 cifre per la mantissa e 2 per l’esponente riesco a rappresentare

0.000 000 002 = 2.0 * 10-9

con la coppia (2.0,-9) perché M = 2.0 ed E = -9

– sia 0.000 000 002 che 349 000 000 000 non sono rappresentabili in virgola fissa usando solo 5 cifre decimali !!!

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Rappresentazione di un insieme finito di oggetti

• Vogliamo rappresentare i giorni della settimana : {Lu, Ma, Me, Gio, Ve, Sa, Do}

usando sequenze 0 e 1

• Questo significa costruire un ‘codice’, cioè una tabella di corrispondenza che ad ogni giorno associa una opportuna sequenza

• In principio possiamo scegliere in modo del tutto arbitrario….

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Rappresentazione di un insieme finito di oggetti (2)

Lunedì 0100010001Martedì 001Mercoledì 1100000Giovedì 1Venerdì 101010Sabato 111111Domenica 000001

• Una possibile codifica binaria per i giorni della settimana

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Rappresentazione di un insieme finito di oggetti (3)

• Problema : la tabellina di corrispondenza fra codifiche tutte di lunghezza diversa– spreco di memoria– devo capire come interpretare una sequenza di

codifiche– 110000011 = Me Gio Gio– 110000011 = Gio Gio Do Gio

• Di solito si usa un numero di bit uguale per tutti : il minimo indispensabile

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Rappresentazione di un insieme finito di oggetti (4)

• Per rappresentare 7 oggetti diversi servono almeno 3 bit (minima potenza di due che supera 7 è 8= 23) quindi :000 Lunedì 110 Domenica

001 Martedì 111 non ammesso

010 Mercoledì

011 Giovedì

100 Venerdì

101 Sabato

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Rappresentazione di caratteri e stringhe

• I caratteri sono un insieme finito di oggetti e seguono la strategia vista per i giorni della settimana

• Perché due diversi calcolatori si possano parlare correttamente è necessario che usino lo stesso codice

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Rappresentazione di caratteri e stringhe (2)

• Codifiche di uso comune : – il codice ASCII (American Standard code For Information Interchange) su 7 o 8 bit– il codice UNICODE su 16 bit (più recente, permette di rappresentare anche alfabeti

diversi e simboli per la scrittura di lingua orientali)

• Le stringhe sono generalmente sequenze di caratteri terminate in modo particolare

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Rappresentazione di immagini

• Le immagini sono un ‘continuo’ e non sino formate da sequenze di oggetti ben definiti come i numeri e le stringhe

• Bisogna quindi prima ‘discretizzarle’ ovvero trasformarle in un insieme di parti distinte che possono essere codificate separatamente con sequenze di bit

• Consideriamo prima immagini fisse (foto etc …)

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Rappresentazione di immagini (2)

• Immagini ‘bitmap’ : 1. l’immagina viene scomposta in una griglia di

elementi detti pixel (da picture element)

000000000000000000000000000000000011111111000000000000000010000010000000000000000010000100000000000000000010001000000000000000000010010000000000000000000010100000000000000000000011000000000000000000000010000000000000

immaginecodifica

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Rappresentazione di immagini (3)

• Immagini ‘bitmap’ : 2. Ogni pixel è rappresentato da uno o più bit

000000000000000000000000000000000011111111000000000000000010000010000000000000000010000100000000000000000010001000000000000000000010010000000000000000000010100000000000000000000011000000000000000000000010000000000000

Rappresentazionedi un pixel

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Rappresentazione di immagini (4)

• Rappresentazioni dei pixel : – la rappresentazione in ‘toni di grigio’ : un byte per pixel, con 256 gradazioni di grigio per ogni punto

(immagini bianco e nero), o più byte per pixel, per avere più gradazioni possibili– rappresentazione a colori RGB (red, green,blu) : comunemente 3 byte per pixel che definiscono

l’intensità di ciascun colore base. In questo modo ho circa 16 milioni di colori diversi definibili

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Rappresentazione di immagini (5)

• Problema : – la rappresentazione accurata di una immagine dipende

• dal numero di pixel (definizione)

• dalla codifica del pixel

– … e richiede generalmente molta memoria, ad esempio :tipo defin numero colori num. Byte

imm. televisiva 720x625 256 440 KB

SVGA 1024x768 65536 1.5 MB

foto 15000x10000 16milioni 430 MB

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Rappresentazione di immagini (6)• Quindi si cerca di ‘risparmiare’ memoria :

– con l’uso di una ‘tavolozza’ (palette) che contiene il sottoinsieme dei colori rappresentabili che compare in una foto• ogni pixel codifica un indice all’interno della tavolozza

– con tecniche di compressione che non codificano ogni pixel in modo autonomo ma cercano di raggruppare i le aree che hanno caratteristiche comuni

• Formati più usati : TIFF (tagged image file format), GIF (graphics interchange format), JPEG (Joint photographers expert group)

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Compressione di dati• Algoritmi lossless (senza perdita di informazione) : operano un cambiamento di codifica dei dati che permette di diminuire il

numero di bit necessari alla rappresentazione– esempio : sequenza di 1 milione di caratteri, A=00, B=01, C=10, D=11, totale 2 milioni di bit di codifica – se A compare il 90% delle volte posso ‘comprimere’ la codifica nel seguente modo A=0, B=100, C=110, D=111 ottenendo una lunghezza di :

900 000 * 1 + 100 000 * 3 = 1 200 000 bit

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Compressione di dati (2)• Algoritmi lossy (che perdono informazione)

– generalmente sono specifici di un certo campo e sfruttano le caratteristiche degli oggetti da rappresentare per ‘buttare via’ informazione poco importanti

– gli algoritmi di compressione usati nei formati GIF e JPEG per immagini fisse sfruttano la caratteristica dell’occhio umano di essere poco sensibile a lievi cambiamenti di colore in punti contigui, e quindi eliminano questi lievi cambiamenti appiattendo il colore dell’immagine

– generalmente è possibile specificare quanto siamo disposti a perdere attraverso alcuni parametri

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Rappresentazione di immagini (7)• Immagini in movimento (video …)

– il movimento è rappresentato già in modo discreto nei media : con un numero abbastanza alto di fotogrammi fissi (24-30 al secondo) l’occhio umano percepisce il movimento come un continuo

– potrei in principio codificare separatamente ogni fotogramma come immagine fissa, ma lo spazio di memoria richiesto sarebbe enorme (650 MB, un intero CD per un minuto di proiezione …)

– sono stati quindi sviluppati metodi di codifica che economizzano, codificando solo le ‘differenze’ fra un fotogramma e l’altro (MPEG)

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Rappresentazione di suoni• Caratteristiche dell’audio (e dei segnali analogici)

tempo

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Rappresentazione di suoni (2)• Campionamento dell’audio ad intervalli di tempo

fissi

tempo

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Rappresentazione di suoni (3)• Campionamento dell’audio ad intervalli di tempo

fissi

tempo

Ogni campione vienerappresentato con un numero finito di bit (quantizzazione)

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Rappresentazione di suoni (4)• L’accuratezza della ricostruzione dipende :

– da quanto sono piccoli gli intervalli di campionamento– da quanti bit uso per descrivere il suono in ogni campione nella fase di quantizzazione– al solito … maggiore accuratezza significa maggior quantità di memoria occupata!

• Anche per i suoni si possono utilizzare tecniche di compressione per migliorare l’occupazione di memoria della sequenza di campioni

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Rappresentazione di suoni (5)• Algoritmi lossy per suoni : sfruttano il fatto che per l’orecchio umano suoni a basso

volume sovrapposti ad altri di volume maggiore sono poco udibili e possono essere eliminati– è quello che accade nello standard MPEG Layer 3 , detto anche MP3

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Lo standard MIME

• MIME (Multipurpose Internet Mail Extension) è uno standard che permette riconoscere correttamente la

codifica di dati di natura diversa (testo, immagini, suoni etc.)

• Una codifica MIME comprende – un preambolo, in cui viene specificato in modo standard

il tipo del dato che stiamo codificando (text/plain,image/jpeg,image/gif)

– un corpo (body), che contiene la codifica vera e propria

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Lo standard MIME (2)

• MIME è utilizzato ad esempio per – messaggi di posta elettronica– decodifica corretta di pagine web

• In entrambi i casi il l’applicazione che legge la posta (evolution, eudora, outlook) o l’applicazione che naviga su Web (mozilla, galeon, explorer) utilizza il preambolo per decodificare e presentare i dati in modo corretto

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Esercizi, domande etc...

– Dare la rappresentazione binaria di 26– Convertire 110011 in decimale– Qual è il massimo numero rappresentabile in

binario su 6 cifre?– A quanti bit corrisponde una memoria di 2KB?– È possibile rappresentare l’insieme completo

dei reali all’interno di un computer?

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Esercizi, domande etc…(2)

– A cosa corrisponde il fenomeno dell’overflow ?– È possibile dare una codifica non ambigua dei

mesi dell’anno usando 3 bit?– È più accurata una rappresentazione del suono

analogica o digitale?– Cosa si intende per compressione?