1 CAS í GeoGebru

Frá og með útgáfu 4.2 er svokallaður CAS-gluggi í GeoGebru. CAS stendurfyrir Computer Algebra System og er hugbúnaður sem getur framkvæmt táknreikn-inga (symbólska reikninga). Dæmi um slíka reikninga er að leysa jöfnur meðrótarúrdrætti (nákvæm gildi), þátta margliður, heilda og diffra, reikna summuro.s.frv.

Í GeoGebra 4.2 fæst CAS gluggi með því að haka við hann undir Skoða á valmynd-inni:

Sýnidæmi 1

Þáttum margliðuna x4 − x3 − 5x2 − x− 6.

Lausn:Við skrifum margliðuna inn i CAS gluggann og smellum á Þáttunar-verkfæriðá verkfærastikunni. Við fáum eftirfarandi útkomu:

Mynd 1: Það er einfalt að þátta með því að skrifa inn stæðuna og smella áþáttunarverkfærið.

1

1.1 Verkfærastikan í CAS glugganum

Í sýnidæmi 1 notuðum við eitt af verkfærunum í CAS glugganum Verkfærið lengsttil vinstri í CAS glugganum er Nákvæmt gildi . Með þessu verkfæri er nákvæmtgildi inntaksins reiknað. Ef til dæmis skrifað er inn 1/2+1/3 og smellt á fæstsvarið 5

6 . Ef hins vegar er smellt á Tölulegt mat fæst svarið 0,8333. Ef smellt er áóbreytt inntak gerist ekki neitt með inntakið sem skrifað var inn. Í sýnidæminu1/2+1/3 fæst svarið 1

2 +13 .

Mynd 2: Þið fáið mismunandi form á svari eftir því hvaða verkfæri er valið.

Takið eftir að þið getið annað hvort skrifað inn inntakið og smellt svo á verkfærinsem lýst er hér fyrir ofan eða virkjað verkfæri, skrifað inn inntakið og smellt svo áenter. Ef þið hafið t.d. virkjað verkfærið Tölulegt mat og skrifað inn 4/7 þá fáið þiðsvarið 0,5714.

Næsta verkfæri á verkfærastikunni er Þáttun . Í sýnidæmi 1 notuðum við þaðtil að þátta margliðu. Það er líka hægt að nota það til að þátta heilar tölur.

Mynd 3: Þáttun á heilum tölum í GeoGebru.

Næst til hægri á verkfærastikunni finnum við verkfærið Liðun . Við notum þaðtil að láta GeoGebru margfalda upp úr svigum osfrv.

Sýnidæmi 2

Margfaldið upp úr (a + b)5

2

Lausn:Við skrifum inn (a+b)^5 og smellum á :

Mynd 4: Það getur verið tímafrekt að margfalda upp úr svigum (a + b)5 ef tvíliðu-reglan er ekki notuð . . .

Næsta verkfæri er Innsetning . Með þessu verkfæri er hægt að setja inn breytureða tölur í stað breyta sem koma fyrir.

Sýnidæmi 3

Skrifið inn formúluna F = m · a í CAS og finnið a þegar F = 12 og m = 55.

Lausn:Við skrifum inn F=m*a og smellum á . Þá opnast gluggi þar sem við getumskrifað inn þau gildi sem við viljum setja inn:

Mynd 5: Við setjum inn 12 sem gildi á F og 55 sem gildi á m með því að notaInnsetningar-verkfærið

3

Ef við smellum á fáum við svarið 12 = 55a. Við leysum jöfnuna með því aðnota verkfærið Lausn . Þetta er gert með því að ná í fyrra úttak og smella á .Það er einfalt að afrita fyrra úttak með þvi að slá á bilstöng lyklaborðs. Smellið þvínæst á (Lausn) og fáið a = 12

55 . Ef við viljum fá tugabrot sláum við á bilstönginaaftur og því næst á .

Mynd 6: Við fáum að a ≈ 0,2182 þegar F = 12 og m = 55.

Lengst til hægri á verkfærastikunni eru tvö verkfæri: Afleiða og Heildi . Þessiverkfæri eru notuð þannig að skrifuð er inn stæða og smellt á verkfærið. Stæðansem skrifuð er inn þarf ekki nauðsynlega að innihalda breytu með nafnið x. Eft.d. skrifað er inn a4b2, þá diffrar GeoGebra með tilliti til a. Almennt þá diffrarGeoGebra með tilliti til fyrstu breytunnar á listanum x, y, z, a, b, . . . v, w semstæðan inniheldur.

Mynd 7: Diffrun og heildun í CAS.

4

Verkefni 1 Notið CAS til að reikna

a) 2 + 133 − 12 · 43

b)122√

9

c)

√2 +√

6√2 +√

3

Verkefni 2 Leysið upp úr svigunum: (a + b + c)3.

Verkefni 3 Finnið nákvæm gildi á rótum jöfnunnar x3 + 8x2 − 2x− 16 = 0

Verkefni 4 Reiknið afleiðu fallsins f (x) = x4 ln(x).

Verkefni 5 Finnið heildið∫

x4 · sin(2x)dx

1.2 CAS-skipanir

Hingað til höfum við séð hvernig hægt er að nota CAS-verkfærin við ýmsa reikn-inga. Ef vel er að gáð sést að til flestra verkfæra heyrir samsvarandi skipun. Þegarleyst er upp úr (a + b)5 með því að nota Liða fæst sama niðurstaða með skipuninniLiða.

Mynd 8: Verkfærið Liðun er það sama og skipunin Liða

Í stað þess að nota verkfærið Liðun getum við með gefið skipunina Liðun beint:

Mynd 9: Hægt að leysa upp úr svigum með því að nota skipunina Liðun

5

Það eru rúmlega 100 slíkar skipanir í GeoGebra og nánari upplýsingar um þærer að finna á vefsíðunni http://wiki.geogebra.org/en/CAS_Commands. Valdarskipanir er að finna í töflunni hér á eftir. 1

Skipun Útskýring

Tvíliðustuðull[a, b] Reiknar út (ab)

Stofnbrot[<Fall>] Gefur liðun í stofnbrotfyrir fallið ef það erhægt.

Afleiða[<Stæða>] Gefur afleiðustæðunnar.

Afleiða[<Stæða>, <Breyta>] Gefur hlutafleiðu meðtilliti til breytunnarsem gefin er.

Afleiða[<Stæða>, <Breyta>,n] Gefur n-tu hlutafleiðumeð tilliti tilbreytunnar sem gefiner.

Þættir[<Margliða>] Þáttar margliðuna.Krossmargfeldi[{a,b,c},{d,e,f}] Reiknar út

krossmargfeldið[a, b, c]× [d, e, f ].

Lausnir[< Listi af jöfnum >, <Listi af breytum>] Leysir jöfnuhneppið íbreytunum sem gefnareru.

Nefnari[<Stæða>] Gefur nefnara eðasamnefnara stæðunnar.

TölulegaLeysa[<Jafna>] Finnur tölulega lausn ájöfnunni.

TölulegaLeysa[<Jafna>, <Breyta>] Finnur tölulega lausn ájöfnunni með tilliti tilbreytunnar.

TölulegarLausnir[<Listi af jöfnum>, <Listi af breytum>] Finnur tölulega lausn ájöfnuhneppinu íbreytunum sem gefnareru.

Rót[ <Margliða> Finnur ræturmargliðunnar.

Depilfeldi[ <Vigur>, <Vigur>] Gefur depilfeldivigranna.

Summa[<Stæða>, <Breyta>, a, b] Reiknar út ∑ba (stæða)

Tafla 1: Nokkrar skipanir sem hægt er að nota í CAS

6

Þrátt fyrir að sumar skipanirnar i CAS séu þær sömu og þær sem slegnar eru inn íinntaksreitinn gildir þetta ekki um allar skipanir. Til dæmis er ekki hægt að notaskipunina Útgildi[ ] i CAS. Það er ekki heldur hægt að nota allar CAS skipanirí inntaksreitinn, t.d. er ekki hægt að skrifa Summa[(1/2)^k ,k, 1, Infinity] íinntaksreitinn en i CAS fæst rétta svarið 1.

Sýnidæmi 4

Þáttum margliðuna 2x3 + 3x2 − 32x + 15.

Lausn:Við skrifum inn Þættir[2x^3+3x^2-32x+15] og ýtum á enter. Við fáum

2x3 + 3x2 − 32x + 15 = (2x− 1)(x + 5)(x− 3)

Sýnidæmi 5

Leysum jöfnuna sin(x) + cos(x) = 1.

Lausn:Við skrifum inn skipunina Lausn[sin(x)+cos(x)=1] og fáum:

Takið eftir að GeoGebra notar radíana sem mælikvarða á horn í CAS. Ef við viljumleysa jöfnuna í gráðum þarf að skrifa x◦ eins og sýnt er á myndinni hér fyrir ofan.

Við sjáum að x = 2π · n + π2 eða x = 2nπ.

Sýnidæmi 6

Finnið, ef til eru, hágildi og lággildi fyrir fallið f (x) = xex.

7

Lausn:Við skilgreinum fall í CAS með því að skrifa inn í CAS gluggann

f(x):=x*e^x

Athugið að ekki er hægt að nota venjulegt e þegar þetta er skrifað inn heldurverður annað hvort að ná i e-ið gegnum α-að til hægri í inntaksreit eða með því aðgera Alt +e.

Við setjum tvípunkt fyrir framan jafnaðarmerkið þegar við erum að skilgreinafall í CAS. Við skrifum því næst inn Afleiða[f(x)] og fáum xex + ex sem svar.Við viljum finna hvenær þessi afleiða er núll. Við þurfum ekki að skrifa afleiðunainn aftur heldur er hægt að láta GeoGebra skrifa sjálfkrafa útkomur úr öðrumlínum. Ef línan er auð nægir að ýta á bilstöng lyklaborðs og þá skrifar GeoGebrasjálfkrafa inn síðustu útkomu í næstu línu. Hér viljum við nota útkomu úr næstulínu á undan sem inntak í skipun. Það er gert með því að skrifa inn táknið ]. Viðfinnum hvenær afleiðan er núll með því að skrifa skipunina Lausn[] = 0] Þá birtistí línunni:

Lausn[x e^x+e^x=0]

Við fáum að x = −1 er lausnin á þessari jöfnu. Næst viljum við finna punktinn ágrafinu. Þar sem við vorum þegar búin að skilgreina f (x) getum við nú skrifaðf (−1) og fengið lággildið (−1,−1/e).

8

Mynd 10: Við fundum nákvæm gildi í CAS.

Verkefni 6 Leysum jöfnuhneppið

2y− x2 + 2x = ay− 2x = 3

Fyrir hvaða gildi á a hefur jöfnuhneppið

– eina lausn– tvær lausnir– enga lausn

Sýnidæmi 7

Látum f vera þriðjastigsfall með ræturnar a, b og c. Lát T vera snertil við graf f í

d =a + b

2. Hvað er hægt að segja um þennan snertil?

Lausn:Áður en við leysum sjálft verkefnið í CAS skulum við skoða það aðeins beturfyrir ákveðin gildi, t.d. f (x) = (x− 1)(x− 3)(x− 4). Hér er d = 2 og við getumteiknað grafið og fundið snertilinn með því að skrifa skipunina Snertill[2,f] íinntaksreitinn.

9

−1 1 2 3 4 5 6 7 x

1

2

3

y

0

fT

Ef horft er á þessa mynd vakna grunsemdir um að snertillinn gangi gegnumnúllstöðina í c. Við viljum sannreyna þetta með því að nota CAS!

Við byrjum á að skilgreina fallið með því að skrifa inn

f(x):=(x-a)(x-b)(x-c)

Við finnum snertilinn í(

a+b2 , f

(a+b

2

))út frá þessum punkti og hallatölu. Við

þurfum því að reikna gildið f(

a+b2

)og hallatöluna f ′

(a+b

2

). Hið síðarnefnda

fæst með því að nota verkfærið Innsetning eftir að afleiðan hefur verið reiknuð. Viðfáum að snertillinn hefur jöfnuna

y =−a3 + a2(b + 2c) + a(b2 − 4ac)− b3 + 2b2c

8+−a2 + 2ab− b2

4

(x− a + b

2

)

Í línu 5 á mynd 11 skilgreinum við þetta sem fallið g(x). Við getum því reiknaðg(c) beint og sjáum að svarið er 0 eins og við bjuggumst við!

10

Mynd 11: Snertill við f í meðalgildi núllstöðvanna tveggja gengur alltaf gegnumþriðju núllstöðina!

Verkefni 7 Í þessu verkefni skoðum við 10 metra langan stiga sem reistur er uppvið vegg. Við vegginn stendur kassi sem ekki er hægt að flytja. Kassinn er 1 metriá hæð og 1 metri á breidd. Hver er hæsti punkturinn sem stiginn getur náð upp íá veggnum? Sjá mynd 12.

10m

x m

1 m

Mynd 12: Stigavandamál í verkefni 7

11

1.3 Meira um inntak og úttak i CAS

Þegar verið er að leysa stærri verkefni eins og í sýnidæmi 7 getur verið mikilvægtað ná ákveðnum vinnuhraða og spara sér innslátt. Við nefndum áður að það erekki nauðsynlegt að skrifa inn stæður sem þegar hafa verið reiknaðar út i CAS.Hér fyrir neðan eru nokkrar flýtileiðir:

– Jafnaðarmerki (=) skrifar inn fyrra inntak

– Bilstöng skrifar inn fyrra úttak

– Hægrisvigi ) skrifar inn fyrra úttak innan sviga.

– Hægt er að vísa til fyrra úttaks með því að skrifa annað hvort $ (fyrirkvikt úttak) eða # (fyrir fast úttak). Einnig er hægt að vísa til úttaks íákveðinni línu n með því að skrifa $n (fyrir kvikt úttak) og #n (fyrir fastúttak). Munurinn á þessu tvennu er að ef gildi er breytt þannig að úttakí línu n breytist þá fæst líka breyting í línunni þar sem skrifað var $n enengin breyting verður í línunni þar sem skrifað var #n.

Sýnidæmi 8

Látum f vera þriðja stigs fall sem hefur eitt hágildi og eitt lággildi. Látum ` veralínu sem gengur gegnum hágildispunktinn og lággildispunktinn á grafi fallsins.Látum t vera snertilínu við grafið í punktinum (m, f (m)) þar sem m er meðaltalx-hnita hágildis- og lággildispunktanna.Sýnið að hlutfallið milli hallatalna ` og t er 2

3

Lausn:Við vitum að almennt má skrifa slík föll sem f (x) = k(x − a)(x − b)(x − c) + d.Við getum gert ráð fyrir að k = 1 og d = 0 (Hvers vegna?).

Við skilgreinum f (x):

Við skrifum inn f(x) og smellum svo á verkfærið Afleiða til að finna f ′(x):

Ýtið á bilstöng og notið verkfærið Lausn til að finna hvenær afleiðan er núll:

12

Úttakið er listi af gerðinni {x = . . . , x = . . . }. Við viljum reikna meðaltalið afstæðunum í hægrihliðunum tveimur í listanum. Til að gera þetta búum við til listasem samanstendur af hægrihliðunum í úttaki í línu 3:

Næst viljum við finna meðaltal þessar tveggja talna. Það gerum við með því aðnota skipunina Meðaltal:

Til að reikna gildi afleiðunnar fyrir þetta gildi á x notum við skipunina Innsetningtil að skipta út x með (a+ b+ c)/3 (sem er úttakið í línu 5). Við finnum þá hallatölusnertilsins t:

Við reiknum hallatölu línunnar ` gegnum há-og lággildispunktana:

Að lokum reiknum við út hlutfallið milli hallatalnanna. Þær eru úttak í línum 7 og8. Við skrifum því inn $8/$7:

Við sjáum að hlutfallið milli hallatalna t og ` er alltaf 23 .

1.4 Verkefni

Verkefni 8 Notið CAS til að einfalda stæðurnar:

a)x12 − 1

x4 − x2 + 1

b)√(x + 1)3 − x

√x + 1

Verkefni 9 Leysið jöfnurnar

a) x2 + 2x− 3 = 0

13

b) e2x − e + 1 = 10

c)√

x + 18 +√

x + 3−√

x + 14−√

x + 5 = 0

Verkefni 10 Leysið jöfnuhneppið

x + y + 3√

x + y = 18

x− y− 2√

x− y = 15

Verkefni 11 Notið CAS til að þátta margliðurnar:

a) P(x) = 2x4 − 7x3 + x2 + 14x− 10

b) Q(x) = x12 − 1

c) h(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

Verkefni 12 Fermatfrumtala er frumtala á forminu Fn = 22n+ 1.

a) Sýnið að Fn er frumtala fyrir n er 1, 2, 3 og 4.

b) Sýnið að Fn er ekki frumtala fyrir n er 5, 6, 7, 8, 9 og 10.

Í þessu verkefni getur skipunin ErFrumtala[<tala>] komið að góðum notum.

Verkefni 13 Í þessu verkefni skoðum við margliðuna P(x) = x2 − x + 41.

a) Kannið hvort P(n) er frumtala fyrir n ∈ {1, 2, 3, . . . , 10}.

b) Finnið minnstu náttúrulegu töluna n þannig að P(n) sé ekki frumtala.

Verkefni 14 Finnið jöfnu snertils í beygjuskilapunkti fallsins f (x) = x3 − ax + b.

14