BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan kita ...
salamsalenda.files.wordpress.com · 1 BAB I TEORI GRUP Mengawali bab ini, kita kembali menengok ke...
Transcript of salamsalenda.files.wordpress.com · 1 BAB I TEORI GRUP Mengawali bab ini, kita kembali menengok ke...
1
BAB I
TEORI GRUP
Mengawali bab ini, kita kembali menengok ke belakang pada bab
sebelumnya. Misalkan S himpunan yang tak kosong, kita definisikan A(S)
himpunan semua pemetaan satu-satu dari S pada S. Untuk sebarang f,g di
A(S) kita kenakan operasi perkalian fog yaitu komposisi dari fungsi f dan g.
Berdasarkan penyelidikan, kita telah peroleh fakta berikut.
1. Jika f,g A(S), maka fog juga dalam A(S). Fakta ini mengatakan bahwa
dengan operasi komposisi fungsi, A(S) bersifat tertutup.
2. Untuk sebarang tiga unsur f,g,h A(S), berlaku fo(goh) = (fog)oh. Fakta ini
mengatakan bahwa operasi komposisi dalam A(S) memenuhi sifat
asosiatif.
3. Terdapat idS unsur yang sangat khas dalam A(S) yang memenuhi, idSof = f
= foidS untuk setiap fA(S). idS ini disebut unsur identitas untuk A(S)
relatif terhadap operasi komposisi dalam A(S).
4. Untuk setiap fA(S), terdapat unsur f –1 juga dalam A(S) sedemikian
sehingga fof –1 = idS = f –1of. Fakta ini menunjukkan bahwa setiap unsur
dalam A(S) memiliki invers yang juga dalam A(S).
Berdasarkan penyelidikan di A(S) khususnya apabila S mempunyai 3
unsur atau lebih, maka dapat kita temukan unsur-unsur f dan g dalam A(S)
sedemikian sehingga fog gof.
Fakta-fakta yang dapat kita peroleh dalam A(S) sebagaimana
dikemukakan di atas merupakan salah satu contoh yang mengilhami adanya
konsep grup seperti disajikan pada Definisi 1.1 berikut.
2
1.1. DEFINISI. Suatu himpunan G yang tak kosong dikatakan
membentuk grup, jika dalam G dapat didefinisikan suatu operasi biner, yang
dinamakan operasi perkalian, ditulis “.” sedemikian sehingga
(1). a.bG, untuk setiap a,bG
(2). a.(b.c) = (a.b).c, untuk semua a,b,cG
(3). Terdapat unsur eG sedemikian sehingga a.e = e.a = a, untuk setiap
aG
(4). Untuk setiap aG, terdapat a-1G sedemikian sehingga a.a-1 = a-1.a =
e.
Selanjutnya, suatu grup G dikatakan Abelian (Komutatif), jika untuk
setiap a,bG berlaku a.b = b.a. Grup yang tidak komutatif disebut Grup Non-
Abelian.
Setelah memperhatikan Definisi 1.1, maka secara mudah kita dapat
menyimpulkan bahwa A(S) dengan operasi komposisi di dalamnya seperti
dikemukakan di atas (sebelum Definisi 1.1) merupakan grup, meskipun bukan
grup Abelian. Jika S himpunan hingga dan memiliki n unsur, maka grup A(S)
akan disimbol dengan Sn.
Hal lain yang menjadi karakteristik suatu grup adalah jumlah unsurnya.
Jumlah unsur dari suatu grup G, disimbol o(G), dan disebut orde dari G.
Tentu saja, jika kita ingin membicarakan ciri ini, maka hanya akan menarik
apabila o(G) hingga (finite). Grup G yang o(G) hingga, disebut grup hingga.
1.2. CONTOH-CONTOH : (a). Misalkan G himpunan bilangan bulat, dan
kita artikan operasi biner a.b untuk a,bG adalah penjumlahan pada bilangan
bulat, yaitu a.b = a + b. Maka segera dapat ditunjukkan bahwa G bersifat
tertutup dengan operasi ini, karena hasil penjumlahan dua bilangan bulat juga
3
merupakan bilangan bulat. Demikian juga sifat asosiatif dengan operasi ini
pada bilangan bulat, jelas dipenuhi. Selanjutnya, yang berperan sebagai e
dalam G adalah 0 karena untuk setiap aG, berlaku a + 0 = a = 0 + a, dan
setiap unsur aG mempunyai a-1 = -a juga unsur dalam G.
(b). Misalkan G = {1,-1} dibawah operasi perkalian pada bilangan real.
Perhatikan Tabel berikut:
1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
Berdasarkan Tabel di atas dapat dilihat bahwa G bersifat tertutup, dapat
ditunjukkan bahwa operasinya memenuhi sifat asosiatif, unsur identitasnya
adalah e = 1. Selanjutnya, 1-1 = 1 dan (–1)-1 = -1. Lebih dari itu, dapat juga
ditunjukkan bahwa G membentuk grup komutatif dengan o(G) = 2
(c). Jika S = {x1,x2,x3}. S3 adalah himpunan semua fungsi 1-1 dari S
pada S, diberikan operasi komposisi pada fungsi-fungsi, maka
S3 = {e, f, g, fog, g2, gof}
dengan
f : x1 x2 g : x1 x2
x2 x1 x2 x3
x3 x3 x3 x1
o e f g fog g2 gof
e e f g fog g2 gof
f f e fog g gof g2
4
g g gof g2 f e fog
fog fog g2 gof e f g
g2 g2 fog e gof g f
gof gof g f g2 fog e
Dengan memperhatikan tabel di atas, maka S3 dengan operasi komposisi
fungsi bersifat tertutup, sifat asosiatif dalam S3 dengan operasi ini dipenuhi
sebagai sifat warisan operasi komposisi fungsi-fungsi sebarang, kemudian
dengan operasi ini S3 memiliki unsur identitas, yaitu pemetaan identitas e, dan
setiap unsur dalam G memiliki invers dalam S3 juga, yaitu: e-1 = e S3, f-1 =
f S3, g-1 = g2 S3, (fog)-1 = fog S3, (g2)-1 = g S3, dan (gof)-1 = gof S3, Dari
sini berarti bahwa S3 membentuk grup. Karena gof fog maka S3 bukan grup
Abelian. Dengan demikian S3 membentuk grup hingga non-Abelian dengan
o(S3) = 6.
Untuk menyederhanakan bentuk, selanjutnya untuk sebarang a,bG
akan digunakan notasi a.b = ab. Kemudian kita juga akan menyatakan, a0 = e,
a1 = a, a2 = aa, a3 = aa2, … , ak = aak-1. Demikian juga kita nyatakan, a-2 = (a-
1)2, a-3 = (a-1)3, … , a-k = (a-1)k.
(d). Misalkan n sebarang bilangan bulat positif. Kita konstruksi suatu
grup orde n sebagai berikut. G = {aii = 0,1, … ,n}, dengan mendefinisikan
a0 = e, aiaj = ai+j jika i + j < n, dan aiaj = ai+j-n, jika i + j n. Dapat dengan
mudah dibuktikan bahwa G membentuk grup. Grup ini disebut grup siklik
orde n.
Untuk memperjelas contoh ini, misalkan n = 5, maka kita mempunyai
G = {e, a, a2, a3, a4}. Selanjutnya perhatikan Tabel berikut.
5
. e a a2 a3 a4
e e a a2 a3 a4
a a a2 a3 a4 e
a2 a2 a3 a4 e a
a3 a3 a4 e a a2
a4 a4 e a a2 a3
Jelas, dengan operasi yang diberikan, G bersifat tertutup. Selanjutnya
dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa dengan operasi ini, dalam G berlaku
sifat asosiatif. Kemudian, bahwa dalam G terdapat unsur identitas, yaitu e,
dan setiap unsur dalam G memiliki invers dalam G yaitu: e-1 = eG, a-1 = a4
G, (a2)-1 = a3 G, (a3)-1 = a2 G, dan (a4)-1 = a G. Lebih dari itu, bahwa
jika ai dan aj sebarang dalam G, maka aiaj = ai+j = aj+i = ajai untuk i + j < 5
dan aiaj = ai+j = aj+i = ajai untuk i + j 5, dengan demikian dalam G berlaku
sifat komutatif. Jadi, G merupakan grup Abelian (periksa!).
(e) Misalkan G = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} dan dalam G dilengkapi
dengan operasi perkalian, dengan hasil lengkap dari pengoperasian unsur-
unsur dalam G, disajikan pada tabel berikut.
. 1 -1 i -i j -j k -k
1 1 -1 i -i j -j k -k
-1 -1 1 -i i -j j -k k
i i -i -1 1 k -k -j j
-i -i i 1 -1 -k k j -j
j j -j -k k -1 1 i -i
-j -j j k -k 1 -1 -i i
k k -k j -j -i i -1 1
6
-k -k k -j j i -i 1 -1
Dengan memperhatikan tabel di atas, maka G dengan operasi perkalian
bersifat tertutup. Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa operasi dalam G
memenuhi sifat asosiatif. Unsur identitas dalam G adalah 1. Untuk setiap
unsur dalam G memiliki invers dalam G juga, yaitu: 1-1 = 1 G, -1-1 = -1G,
i-1 = -iG, (-i)-1 = iG, j-1 = -jG, (-j)-1 = jG, i-1 = -kG dan (-k)-1 = kG.
Dari sini berarti bahwa G membentuk grup. Karena ij ji, maka G bukan
grup Abelian. Dengan demikian G membentuk grup hingga non-Abelian
dengan o(G) = 8. Grup ini dikenal grup Quaternion.
(f) Misalkan G =
0,,,, bcaddcba
dc
baR dengan operasi
perkalian matriks dalam G, yaitu jika A =
dc
badan B =
zy
xwmatriks-
matriks sebarang dalam G, maka ad – bc 0 dan wz – xy 0. Sekarang,
perhatikan bahwa
AB =
dzcxdycw
bzaxbyaw
zy
xw
dc
ba.
Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real.
Kemudian,
(aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy) 0.
Ini menunjukkan bahwa, ABG.
Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G, karena
jika A =
dc
ba, B =
sr
qp, dan C =
zy
xwmatriks-matriks sebarang
dalam G, maka
7
A(BC)=
dc
ba
zy
xw
sr
qp=
dc
ba
szrxsyrw
qzpxqypw
=
szrxdqzpxcsyrwdqypwc
szrxbqzpxasyrwbqypwa
=
zdscqxdrcpydscqwdrcp
zbsaqxbrapybsaqwbrap
=
dscqdrcp
bsaqbrap
zy
xw= (AB)C.
Selanjutnya, I =
10
01adalah unsur G karena 1(1) – 0(0) = 1 0, dan
kita ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi
perkalian matriks.
Akhirnya, jika A =
dc
baG, maka ad – bc 0. Sekarang pandang
matriks D =
bcad
a
bcad
cbcad
b
bcad
d
yang dibangun dari A. Matriks D ini
merupakan unsur dalam G, karena
bcad
a
bcad
d -
bcad
c
bcad
b = bcadbcad
bcad
12
0.
Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini melengkapi pembuktian
bahwa G sebuah grup.
Sekarang, jika kita memilih matriks-matriks P =
30
12dan Q =
11
13, maka jelas P dan Q unsur-unsur di G, karena 2.3 – 0.1 = 6 0 dan
3.1 – 1.(-1) = 4 0.
8
PQ =
30
12
11
13=
33
17
42
06=
11
13
30
12= QP.
Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian).
(g). Misalkan G =
1,,,, bcaddcba
dc
baR dengan operasi
perkalian matriks. Perhatikan bahwa jika A =
dc
badan B =
zy
xw
matriks-matriks sebarang dalam G, maka ad – bc = 1 dan wz – xy = 1.
Sekarang, perhatikan bahwa
AB =
dzcxdycw
bzaxbyaw
zy
xw
dc
ba.
Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real.
Kemudian,
(aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy) = 1.1 = 1.
Ini menunjukkan bahwa, ABG.
Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G. Hal
ini dapat dipandang sebagai sifat yang diwarisi dari Contoh 1.2(e).
Selanjutnya, I =
10
01adalah unsur G karena 1(1) – 0(0) = 1, dan kita
ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi
perkalian matriks.
Akhirnya, jika A =
dc
baG, maka ad – bc = 1. Sekarang pandang
matriks D =
bcad
a
bcad
cbcad
b
bcad
d
yang dibangun dari A. Matriks D ini
9
merupakan unsur dalam G, karena
bcad
a
bcad
d -
bcad
c
bcad
b =
22 1
1
bcad
bcad = 1. Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini
melengkapi pembuktian bahwa G sebuah grup.
Sekarang, jika kita memilih matriks-matriks P =
210
12dan Q =
11
23, maka jelas P dan Q unsur-unsur di G, karena 2.(½) – 0.1 = 1 dan 3.1
– 2.1 = 1.
PQ =
210
12
11
23=
21
21
57
232
46=
11
23
210
12= QP.
Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian).
(h). Misalkan G =
0,, 22 babaab
baR dengan operasi
perkalian matriks. Perhatikan bahwa jika A =
ab
badan B =
wx
xw
matriks-matriks sebarang dalam G, maka a2 + b2 0 dan w2 + x2 0.
Sekarang, perhatikan bahwa
AB =
ab
ba
wx
xw=
bxawbwax
bwaxbxawdan .
(aw - bx)2 + (ax + bw)2 = (a2 + b2)(w2 + x2) 0.
Ini menunjukkan bahwa, ABG.
Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G. Hal
ini dapat dipandang sebagai sifat diwarisi dari Contoh 1.2(e).
10
Selanjutnya, I =
10
01adalah unsur G karena 12 + 02 = 1 0, dan kita
ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi
perkalian matriks.
Akhirnya, jika A =
ab
baG, maka a2 + b2 0. Sekarang pandang
matriks D =
2222
2222
ba
a
ba
bba
b
ba
a
yang dibangun dari A. Matriks D ini
merupakan unsur dalam G, karena
2
22
ba
a +2
22
ba
b =22
1
ba 0.
Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini melengkapi pembuktian
bahwa G sebuah grup.
Sekarang, jika P =
pq
qpdan R =
rs
srmatriks-matriks dalam G
sebarang, maka
PR =
pq
qp
rs
sr=
prqspsqr
qrpsqspr=
rpsqrqsp
psrqqsrp
=
rs
sr
pq
qp= RP.
Ini membuktikan bahwa G merupakan grup komutatif (Abelian).
(i) Perhatikan bahwa setiap
ab
badalam G sebagaimana pada
Contoh 1.2(g) dapat dinyatakan sebagai aI + bJ dimana I =
10
01, dan J =
11
01
10. Sekarang pandang G = {aI + bJ a,bR, a2 + b2 0} dengan I dan
J sebagaimana disebutkan di atas.
Perhatikan bahwa untuk setiap a1I + b1J dan a2I + b2J dalam G,
diperoleh (a1I + b1J)(a2I + b2J) = (a1a2 - b1b2)I + (a1b2 + b1a2)J, karena J.J = -
I, dan dapat ditunjukkan bahwa (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)
2 = (a12 + b1
2)(a22
+ b22) 0, dengan demikian (a1I + b1J)( a2I + b2J) G. Jadi dengan operasi
ini dalam G, sifat ketertutupannya dipenuhi.
Selanjutnya, dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa operasi dalam G
memenuhi sifat asosiatif.
Kemudian, perhatikan bahwa I G, karena I = aI + bJ dipenuhi oleh a
= 1 dan b = 0. Lebih dari itu, untuk sebarang a1I + b1J G, I(a1I + b1J) = a1I
+ b1J = (a1I + b1J)I, oleh karena itu I merupakan unsur satuan dalam G.
Selanjutnya, jika a1I + b1J G sebarang, maka berarti a12 + b1
2 0.
Dari sini kita peroleh
2
21
21
1
ba
a+
2
21
21
1
ba
b=
21
21
1
ba 0.
Oleh karena itu
21
21
1
ba
a
I -
21
21
1
ba
b
J G, dan
(a1I + b1J)(2
121
1
ba
a
I -
21
21
1
ba
b
J) = I = (
21
21
1
ba
a
I -
21
21
1
ba
b
J) (a1I + b1J),
dengan demikian
(a1I + b1J)-1 =2
121
1
ba
a
I -
21
21
1
ba
b
J.
Ini melengkapi pemeriksaan kita bahwa G membentuk grup.
12
Terakhir, jika a1I + b1J dan a2I + b2J unsur-unsur dalam G sebarang,
maka (a1I + b1J)(a2I + b2J) = (a1a2 - b1b2)I + (a1b2 + b1a2)J = (a2a1 – b2b1)I +
(a2b1 + b2a1)J = (a2I + b2J)(a1I + b1J). Jadi G suatu grup komutatif.
(j). Misalkan Gp =
0prima,bil.,modulobulatbil.,,, bcadppdcba
dc
badengan operasi
perkalian pada bilangan bulat modulo p. Sebagai ilustrasi, misalkan p = 2,
maka diperoleh G2 = {I, A1, A2, A3, A4, A5}, dimana I =
10
01, A1 =
10
11,
A2 =
11
01, A3 =
01
10, A4 =
11
10, dan A5 =
01
11. Untuk melihat bahwa
G2 membentuk grup, kita perhatikan tabel berikut.
. I A1 A2 A3 A4 A5
I I A1 A2 A3 A4 A5
A1 A1 I A4 A5 A2 A3
A2 A2 A5 I A4 A3 A1
A3 A3 A4 A5 I A1 A2
A4 A4 A3 A1 A2 A5 I
A5 A5 A2 A3 A1 I A4
Dari Tabel di atas, maka diperoleh bahwa G2 dengan operasi perkalian
matriks bilangan bulat modulo 2 bersifat tertutup, kemudian dapat
ditunjukkan bahwa operasi ini memenuhi sifat asosiatif. Selanjutnya, dengan
operasi ini G2 memiliki unsur identitas, yaitu I =
10
01, dan setiap unsur
dalam G2 memiliki invers dalam G2 juga, yaitu: I-1 = I G2, A1-1 = A1 G2, A2
-
13
1 = A2 G2, A3-1 = A3 G2, A4
-1 = A5 G2, dan A5-1 = A4 G2. Dari sini berarti
bahwa G2 membentuk grup. Karena A2A1 = A5 A4 = A1A2 maka G2 bukan
grup Abelian. Dengan demikian G2 membentuk grup hingga non-Abelian
dengan o(G2) = 6.
1.3. LEMMA. Jika G grup, maka
(a) Elemen identitas dari G adalah tunggal.
(b)Setiap aG mempunyai invers tunggal dalam G
(c) Untuk setiap aG, berlaku (a-1)-1 = a.
(d)Untuk semua a,bG, (ab)-1 = b-1a-1.
BUKTI. Untuk membuktikan bagian (a), cukup kita memisalkan e dan f
keduanya unsur-unsur identitas dalam G. Pandang e sebagai unsur identitas
dalam G dan f sebagai suatu unsur dalam G. Maka harus memenuhi f = ef.
Sebaliknya, jika kita memandang f sebagai unsur identitas dalam G dan e
sebagai suatu unsur dari G, maka juga kita memperoleh hubungan e = ef. Oleh
karenanya kita peroleh e = f. Ini menunjukkan bahwa unsur identitas dalam G
adalah tunggal.
Selanjutnya, misalkan aG sebarang. Jika x dan y unsur-unsur dalam G
yang keduanya merupakan invers dari a, maka berlaku ax = e = xa dan ay = e
= ya. Oleh karena itu kita peroleh
x = ex = (ay)x = (ya)x = y(ax) = ye = y.
Ini membuktikan bahwa invers dari a tunggal.
Bagian (c) diperoleh dengan memperhatikan bahwa a-1(a-1)-1 = e = a-1a.
Menurut bagian (b) di atas disimpulkan bahwa (a-1)-1 = a..
Bagian (d) dapat ditunjukkan bahwa (ab)(b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 =
(a(bb-1)a-1 = (ae)a-1 = aa-1 = e. dan juga (b-1a-1)(ab) = b-1(a-1(ab)) = b-1((a-
14
1a)b) = b-1(eb) = b-1b = e. Menurut Lemma 1.3(b), disimpulkan bahwa (ab)-1 =
(b-1a-1).
1.4. LEMMA. Diberikan a,bG, maka persamaan ax = b dan ya = b
mempunyai solusi tunggal untuk x dan y dalam G. Khususnya, hukum-hukum
pencoretan
(1) au = aw mengakibatkan u = w; dan
(2) ua = wa mengakibatkan u = w.
berlaku dalam G.
BUKTI. Perhatikan bahwa jika ax = b, maka a(a-1b) = (aa-1)b = eb = b.
Oleh karena itu solusi untuk x bagi persamaan ax = b adalah x = a-1b. Untuk
membuktikan ketunggalan solusi ini, misalkan x1 juga solusi dari persamaan
ax = b. Maka ax1 = b. Dari sini diperoleh x1 = ex1 = (a-1a)x1 = a-1(ax1) = a-1b.
Ini membuktikan ketunggalan solusi dari persamaan ax = b.
Perhatikan bahwa jika ya = b, maka (ba-1)a = b(a-1a) = be = b. Oleh
karena itu solusi untuk y bagi persamaan ya = b adalah y = ba-1. Untuk
membuktikan ketunggalan solusi ini, misalkan y1 juga solusi dari persamaan
ya = b. Maka y1a = b. Dari sini diperoleh
y1 = y1e = y1(aa-1) = (y1a)a-1 = ba-1. Ini membuktikan ketunggalan solusi dari
persamaan ya = b.
Selanjutnya, jika au = b = aw, maka kita dapat memandang u dan w
sebagai solusi dari persamaan ax = b. Karena ketunggalan solusi dari
persamaan ini, maka kita peroleh u = w. Ini membuktikan (1). Demikian juga,
jika ua = b = wa maka kita dapat pula memandang u dan w sebagai solusi dari
persamaan ya = b. Karena sifat ketunggalan solusi dari persamaan tersebut,
maka disimpulkan bahwa u = w, yang melengkapi pembuktian untuk (2).
15
SOAL –SOAL
1. Berikut ini diberikan himpunan-himpunan G dengan mendefinisikan
operasi di dalamnya. Periksalah, apakah setiap G dengan operasi tersebut
membentuk grup. Jika tidak berikan alasan seperlunya.
a. G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b.
b. G = himpunan bilangan bulat positif, dengan operasi perkalian biasa
pada bilangan bulat.
c. G = {a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6}, dimana aiaj = ai+j jika i + j < 7 dan aiaj =
ai+j-7, jika i + j – 7.
d. G = himpunan semua bilangan rasional dengan penyebut bilangan
ganjil, dengan operasi ab = a + b, yaitu penjumlahan biasa pada
bilangan rasional.
2. Buktikan bahwa jika G suatu grup abelian, maka untuk semua a,bG dan
semua bilangan bulat n, berlaku (ab)n = anbn [Petunjuk: Gunakan prinsip
Induksi Matematika].
3. Jika G suatu grup sedemikian sehingga (ab)2 = a2b2, untuk semua a,bG,
tunjukkan bahwa G abelian.
4. Dalam S3, berikan sebuah contoh dari dua unsurnya x, y sedemikian
sehingga (xy)2 x2y2.
5. Dalam S3, tunjukkan bahwa terdapat empat unsur yang memenuhi x2 = e
dan tiga unsur yang memenuhi y2 = e.
6. Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup G merupakan invers dari
dirinya sendiri, maka G abelian.
7. Jika G merupakan grup orde genap, buktikan bahwa G mempunyai suatu
unsur a e sedemikian sehingga a2 = e.
16
8. Misalkan G himpunan semua matriks real 22,
dc
ba, dimana ad – bc
0 suatu bilangan rasional. Buktikan bahwa G membentuk grup dibawah
perkalian matriks.
9. Misalkan G himpunan semua matriks real 22,
d
ba
0, dimana ad 0.
Buktikan bahwa G membentuk grup dibawah perkalian matriks. Apakah
G Abelian?
10.Misalkan G himpunan semua matriks real 22,
10
0
a
a, dimana a 0.
Buktikan bahwa G membentuk grup abelian dibawah perkalian matriks.
17
BAB II
SUBGRUP
Marilah kita mengingat kembali grup semua bilangan bulat G dengan
operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, kemudian kita
memisalkan H himpunan semua bilangan bulat genap. Jelas H bukan
himpunan kosong dan merupakan himpunan bagian sejati dari G. Ada sesuatu
yang cukup menarik dalam hal ini, jika dalam H diberikan operasi biner
sebagaimana pada G, yaitu operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan
bulat, maka kita akan memperoleh bahwa dengan operasi yang sama dengan
dalam G, H memenuhi sifat-sifat: (1) ketertutupan, dalam arti bahwa
penjumlahan sebarang dua bilangan genap menghasilkan bilangan genap, (2)
asosiatif sebagai sifat yang diwarisi dari G, (3) terdapat unsur identitas, yaitu
bilangan bulat genap 0, dan (4) setiap unsur dalam H juga memiliki unsur
invers yang juga berada di H. Dari keempat sifat ini berarti H terhadap
operasi dalam G membentuk grup.
Definisi berikut ini merupakan konsep dasar dari subgrup dari suatu
grup yang pada prinsipnya merupakan bentuk perumuman dari fenomena-
fenomena yang digambarkan melalui contoh-contoh yang salah satunya
diilustrasikan pada contoh di atas.
2.1. DEFINISI. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G dikatakan
subgrup dari G, jika dengan operasi yang sama dengan operasi dalam G, H
membentuk grup.
Perlu dicermati,bahwa Definisi 2.1 ini mengatakan bahwa dalam H
dikenakan operasi yang sama dengan dalam G. Oleh karena itu meskipun H
18
himpunan bagian tak kosong dari G, dan H membentuk grup, tetapi dengan
operasi yang berbeda dengan operasi dalam G, maka H bukanlah subgrup dari
G. Misalkan G grup semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan
sebagaimana pada Contoh 1.2(a) dan H = {1, -1}. H membentuk grup dengan
operasi perkalian pada bilangan-bilangan real, sebagaimana Contoh 1.2(b).
Dalam kasus ini, meskipun H subhimpunan tak kosong dari G, tetapi H
bukanlah subgrup dari G.
Hal lain yang dapat peroleh dari Definisi 2.1 di atas, bahwa jika H
subgrup dari G dan K subgrup dari H, maka K merupakan subgrup dari G.
2.2. LEMMA. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G merupakan
subgrup dari G jika dan hanya jika
(1). abH, untuk semua a,bH
(2). jika aH, maka a-1H.
BUKTI. Anggaplah H subgrup dari G, maka menurut definisi, H dengan
operasi dalam G memenuhi 2.2.(1) dan 2.2.(2).
Sebaliknya, anggaplah syarat 2.2.(1) dan 2.2.(2) berlaku dalam H.
Untuk menunjukkan bahwa H membentuk grup dengan operasi dalam G,
maka kita harus dapat menunjukkan bahwa dalam H berlaku sifat asosiatif
dan adanya unsur identitas dalam H. Sifat asosiatif, jelas dipenuhi, karena H
merupakan subhimpunan dari G. Sementara itu untuk membuktikan adanya
unsur identitas, perhatikan bahwa misalkan aH, maka menurut 2.2.(2), a-
1H, dan aa-1 = e. Karena 2.2.(1), maka eH. Ini melengkapi pembuktian
bahwa H membentuk grup. Jadi H merupakan subgrup dari G.
Lemma 2.2 di atas mengatakan bahwa apabila kita ingin memeriksa
apakah suatu subhimpunan, H dari grup G merupakan subgrup dari G, maka
19
cukup menunjukkan tiga hal, yaitu: (1) H bukan himpunan kosong, (2)
dengan operasi dalam G memenuhi sifat ketertutupan, dan (3) untuk setiap
unsur dalam H memiliki invers juga dalam H.
2.3. LEMMA. Jika H subhimpunan hingga dari grup G, dan H tertutup
dibawah operasi dalam G, maka H merupakan subgrup dari G
BUKTI. Untuk membuktikan lemma ini, kita cukup membuktikan
bahwa jika aH, maka a-1H. Untuk keperluan ini, misalkan aH sebarang.
Karena H tertutup, maka a2 = aaH, a3 = aa2H, … , amH, … . Akan
tetapi, H himpunan berhingga, oleh karena itu mesti terdapat r > s > 0
sedemikian sehingga ar = as. Dengan hukum pencoretan, diperoleh ar-s = e.
Karena r - s > 0, maka ini menyebabkan eH. Selanjutnya, karena r – s – 1
0, maka ar-s-1H. Karena aar-s-1 = e = ar-s-1a, maka a-1 = ar-s-1G.
2.4. CONTOH-CONTOH. (a). Misalkan G grup bilangan bulat dibawah
operasi penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan
bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. H , karena 0 = 3(0),
yang berarti 0H. Sementara itu, untuk sebarang a,b H, kita mempunyai a
= 3n1 dan b = 3n2 untuk suatu n1, n2 bilangan bulat. a + b = 3n1 + 3n2 = (n1 +
n1 + n1) + (n2 + n2 + n2) = (n1 + n2) + (n1 + n2) +(n1 + n2) = 3(n1 + n2) H,
dengan demikian H dengan operasi dalam G bersifat tertutup. Selanjutnya, -a
= -(3n1) = - (n1 + n1 + n1) = (-n1) + (-n1) + (-n1) = 3(-n1) H. Keseluruhan
langkah ini menunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G.
Kita dapat mendefinisikan hal serupa untuk Hn, yaitu himpunan semua
bilangan bulat kelipataan n. Maka Hn akan membentuk subgrup dari G.
20
(b). Misalkan S sebarang himpunan, A(S) himpunan semua fungsi satu-
satu dari S pada S. Maka A(S) membentuk grup dibawah operasi komposisi
fungsi-fungsi. Jika x0S, definisikan H(x0) = {fA(S)f(x0) = x0}. Untuk
membuktikan bahwa H(x0) merupakan subgrup dari A(S), pertama-tama kita
segera memiliki pemetaan identitas, e, sebagai salah satu unsur dalam H(x0),
karena e(x) = x untuk semua x S, dengan demikian H(x0) . Selanjutnya,
kita ambil sebarang f1 dan f2 dalam H(x0), (f1f2)(x0) = f1(f2(x0)) = f1(x0) = x0,
dengan demikian f1f2 dalam H(x0). Kemudian, untuk sebarang f1 dalam H(x0)
yang berarti f1(x0) = x0, karena f1 A(S) maka kita mempunyai f1-1(x0) = x0
yang membuktikan bahwa f1-1 di H(x0), dan berarti melengkapi pemeriksaan
kita terhadap H(x0) sebagai subgrup dari A(S).
(c). Misalkan G sebarang grup, aG. Misalkan (a) = {aii = 0, 1, 2,
… }. (a) merupakan subgup dari G (Periksa!). (a) disebut subgrup siklik dari
G yang dibangun oleh a. Jika untuk suatu a, G = <a>, maka G disebut grup
siklik yang dibangun oleh a.
(d). Misalkan G grup bilangan real tak nol dibawah operasi perkalian,
dan misalkan H subhimpunan dari G yang terdiri atas semua bilangan rasional
positif, maka H merupakan subgrup dari G.
(e). Misalkan G grup bilangan real dibawah operasi penjumlahan, dan
H himpunan semua bilangan bulat, maka H merupakan subgrup dari G.
(f). Misalkan G grup semua matriks real 22,
dc
ba, dengan ad – bc
0 dibawah operasi perkalian matriks.
21
Misalkan H himpunan semua matriks dalam G yang berbentuk
d
ba
0.
Perhatikan bahwa
20
01 H, karena (1)(2) = 2 0, dengan demikian H .
Sekarang misalkan
1
11
0 d
ba,
2
22
0 d
baH sebarang, maka kita
mempunyai a1d1 0 dan a2d2 0.
1
11
0 d
ba
2
22
0 d
ba=
21
212121
0 dd
dbbaaadan (a1a2)(d1d2) = (a1d1)(a2d2)
0, dengan demikian
1
11
0 d
ba
2
22
0 d
baH. Jadi, H dengan operasi dalam G
bersifat tertutup.
Selanjutnya, perhatikan bahwa jika
1
11
0 d
baH maka
11
1
11
1
11
1
0da
ada
b
da
d
H, karena
11
1
11
1
da
a
da
d=
11
11
da
ad= 1 0.
1
11
0 d
ba
11
1
11
1
11
1
0da
ada
b
da
d
=
10
01=
11
1
11
1
11
1
0da
ada
b
da
d
1
11
0 d
ba
yang berarti bahwa
1
1
11
0
d
ba=
11
1
11
1
11
1
0da
ada
b
da
d
H.
Jadi, H merupakan subgrup dari G.
22
(g). Misalkan G =
1,,,, bcaddcba
dc
baR dengan operasi
perkalian matriks. Telah ditunjukkan pada Contoh 1.2(f), G membentuk grup.
Misalkan H =
Gab
ba, dan perhatikan bahwa
21
23
23
21
H, karena
2
2
1
+
2
2
3
= 1, dengan demikian H .
Sekarang misalkan
11
11
ab
ba,
22
22
ab
baH sebarang, maka kita
mempunyai a12 + b1
2 = 1 dan a22 + b2
2 = 1.
11
11
ab
ba
22
22
ab
ba=
21212121
21212121
aabbbaab
abbabbaadan
(a1a2 – b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)
2 = (a12 + b1
2)( a22 + b2
2) = 1.1 = 1,
dengan demikian
11
11
ab
ba
22
22
ab
baH. Jadi, H dengan operasi dalam G
bersifat tertutup.
Selanjutnya, perhatikan bahwa jika
11
11
ab
baH maka jelas
11
11
ab
ba H, dan
11
11
ab
ba
11
11
ab
ba=
10
01=
11
11
ab
ba
11
11
ab
ba
yang berarti bahwa
1
11
11
ab
ba=
11
11
ab
ba H.
Jadi, H merupakan subgrup dari G.
23
(h) Misalkan H grup sebagaimana Contoh 2.4(f), dan jika K =
Rb
b
10
1, maka K merupakan subgrup dari H. Perhatikan bahwa
10
21
K, karena itu K .
Sekarang misalkan
10
1 1b,
10
1 2bK sebarang, maka
10
1 1b
10
1 2b=
10
1 21 bb, dengan demikian
10
1 1b
10
1 2bK.
Jadi, K dengan operasi dalam H bersifat tertutup.
Selanjutnya, perhatikan bahwa jika
10
1 1bK maka
10
1 1b K.
10
1 1b
10
1 1b=
10
01=
10
1 1b
10
1 1b
yang berarti bahwa
11
10
1
b=
10
1 1b K.
Jadi, K merupakan subgrup dari H.
(i). Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi
dimana a dan b bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah
operasi perkalian pada bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2
= 1}. Perhatikan bahwa untuk setiap a1 + b1i dan a2 + b2i dalam H, diperoleh
(a1 + b1i)( a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i, karena i2 = -1. Dapat
ditunjukkan bahwa (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)
2 = (a12 + b1
2)(a22 + b2
2) = 1,
dengan demikian (a1 + b1i)( a2 + b2i) H. Jadi dengan operasi ini dalam G,
sifat ketertutupannya dipenuhi. Jika a1 + b1i H, maka2
121
1
ba
a
-
21
21
1
ba
b
i
24
H, karena2
21
21
1
ba
a+
2
21
21
1
ba
b=
21
21
1
ba = 1, dan (a1 + b1i)( 2
121
1
ba
a
-
21
21
1
ba
b
i) = 1 = (
21
21
1
ba
a
-
21
21
1
ba
b
i) (a1 + b1i), dengan demikian (a1 + b1i)
-1 =
21
21
1
ba
a
-
21
21
1
ba
b
i H. Ini melengkapi pemeriksaan kita bahwa H merupakan
subgrup dari G.
2.5. DEFINISI Misalkan G grup, dan H subgrup dari G. Untuk sebarang
a,bG, kita mengatakan a kongruen b modulo H, ditulis a b mod H, jika ab-
1H. Selanjutnya, kita notasikan himpunan semua x unsur dalam G dimana a
kongruen x modulo H dengan [a]. Atau, [a]H = {xGa x mod H}.
2.6. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat di bawah
operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan H himpunan semua
bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. Perhatikan
bahwa untuk sebarang bilangan bulat k, 2 (3k + 2) mod H, karena 2 – (3k +
2) = -3k =3(-k) H, dengan demikian [2]H = {3n + 2 n bilangan bulat}.
Demikian juga, dengan cara yang sama kita bisa peroleh [1]H = {3n + 1 n
bilangan bulat}.
(b) Jika S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} = {e, g, g2, f, fg, gf}, dan H = {e, f},
maka g g mod H, sebab gg-1 = e H, dan g fg mod H, sebab g(fg)-1 =
g(fg) = g(g2f) = g3f = ef = f H. Dengan demikian [g]H = {g, fg}. Jika kita
memisalkan N = {e, g, g2} maka kita mempunyai f f mod N, sebab ff-1 = e
N, f gf mod N, sebab f(gf)-1 = f(fg2) = (ff)g2 = eg2 = g2 N, dan f fg mod N,
25
sebab f(fg)-1 = f(fg) = (ff)g = eg = g N. Dengan demikian [f]N = {f, gf, fg} =
{f, fg, g2f}.
(c) Misalkan G grup semua matriks real 22,
dc
ba, dengan ad – bc
0 dibawah operasi perkalian matriks, dan H himpunan semua matriks dalam
G yang berbentuk
d
ba
0. Pada Contoh 2.4(f) telah ditunjukkan bahwa H
merupakan subgrup dari G. Jika A =
21
32, maka AG, dan apabila p,q,r
bilangan-bilangan real sedemikian sehingga q 2p, r 0, maka
A1
2
rr
qp=
21
32
qpr
p
qp
qpr
q
qp
22
122
2
=
r
qpr
qp
qp1
0
2
23
2
1
H.
Ini berarti bahwa A
rr
qp
2mod H. Dengan demikian,
[A]H =
0,2,,,
2rpqrqp
rr
qpR .
(d) Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi
dimana a dan b bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah
operasi perkalian pada bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2
= 1}. Pada Contoh 2.4(i) telah ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari
G. Jika z = 4 + 3i, maka zG, dan apabila p, q bilangan-bilangan real
sedemikian sehingga p2 + q2 = 25 , maka
z(p + qi)-1 = (4 + 3i)
i
qp
2525=
25
34 qp +25
43 qp i.
26
Karena2
25
43
qp
+2
25
43
qp
=
2
22
25
25 qp = 1, maka z(p + qi)-1 H. Ini
berarti bahwa z (p + qi) mod H. Dengan demikian,
[z]H = {p + qi G p2 + q2 = 25} .
2.7. LEMMA. Misalkan G grup, H subgrup dari G, dan a,bG. Relasi a
b mod H merupakan relasi ekivalen.
BUKTI. Untuk membuktikan ini, maka ada tiga hal yang harus kita
tunjukkan, yaitu:
(i). a a mod H
(ii). Jika a b mod H, maka b a mod H; dan
(iii). Jika a b mod H dan b c mod H, maka a c mod H.
Untuk membuktikan (i), perhatikanlah bahwa e = aa-1. Karena H
subgrup dari G, maka aa-1H. Dengan demikian a a mod H.
Selanjutnya, anggaplah a b mod H, maka berarti, ab-1H. Perhatikan
bahwa ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1. Karena ab-1H dan H subgrup dari G, maka
ba-1 = (ab-1)-1H. Jadi b a mod H.
Kemudian, anggaplah a b mod H dan b c mod H, yang berarti
bahwa ab-1H dan bc-1H. Perhatikan bahwa ac-1 = (ae)c-1 = (a(b-1b))c-1 =
((ab-1)b)c-1 = (ab-1)(bc-1). Karena ab-1H dan bc-1H, sementara itu H
subgrup dari G, maka ac-1 = (ab-1)(bc-1)H. Ini membuktikan bahwa a c
mod H.
Jika G grup semua bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan dan H
= Hn subgrup G yang mengandung semua bilangan bulat kelipatan n, maka
relasi a b mod H, yaitu ab-1H, dibawah notasi penjumlahan, menyatakan
27
“a – b suatu kelipatan dari n”. Dalam Teori Bilangan ini dikenal dengan
bilangan-bilangan kongruen modulo n.
2.8. DEFINISI. Jika H subgrup dari grup G, dan aG. Definisikan Ha =
{hahH} dan aH = {ahhH}. Ha dan aH, berturut-turut, disebut Koset
Kanan dari H dalam G dan Koset Kiri dari H dalam G.
2.9. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat di bawah
operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan H himpunan semua
bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. Perhatikan
bahwa
H + 2 = {h + 2 hH} = {3n + 2 n bilangan bulat}.
2 + H = {2 + h hH} = {2 +3n n bilangan bulat}.
Demikian juga, dengan cara yang sama kita bisa peroleh
H + 1 = {h + 1 hH} = {3n + 1 n bilangan bulat}.
1 + H = {2 + h hH} = {1 +3n n bilangan bulat}.
(b) Jika S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} = {e, g, g2, f, fg, gf}, dan H = {e, f},
maka H merupakan subgrup dari S3.
Hg = {eg, fg} = {g, fg}, dan gH = {ge, gf} = {g, gf}.
Pada kasus ini terlihat bahwa Hg gH.
Jika kita mempunyai N = {e, g, g2} maka N juga merupakan subgrup dari S3.
Nf = {ef, gf, g2f} = {f, gf, fg} dan fN = {fe, fg, fg2} = {f, fg, gf}.
(c) Misalkan G grup semua matriks real 22,
dc
ba, dengan ad – bc
0 dibawah operasi perkalian matriks, dan H himpunan semua matriks dalam
28
G yang berbentuk
d
ba
0. Pada Contoh 2.4(f) telah ditunjukkan bahwa H
merupakan subgrup dari G. Jika A =
21
32, maka AG, dan apabila a,b, dan
d bilangan-bilangan real sedemikian sehingga a 0, dan d 0, maka
HA = {hAhH} =
00,real,bilangan,,
21
32
0dadba
d
ba
=
00,real,bilangan,,
2
232dadba
dd
baba.
Sedangkan
AH = {AhhH} =
00,real,bilangan,,
021
32dadba
d
ba
=
00,real,bilangan,,2
322dadba
dba
dba.
Dari sini nampak bahwa, apabila kita mempunyai B =
20
11H, maka
BA =
20
11
21
32=
42
11, tetapi AB =
21
32
20
11=
31
42,
dengan demikian AB BA. Ini suatu bukti bahwa koset kanan dari H dalam G
tidak sama dengan koset kiri dari H dalam G.
(d) Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi
dimana a dan b bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah
operasi perkalian pada bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2
= 1}. Pada Contoh 2.4(i) telah ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari
G. Jika z = 4 + 3i, maka
29
H(4 + 3i) = {(a + bi) (4 + 3i) a2 + b2 = 1} =
{(4a – 3b) + (3a + 4b)i a2 + b2 = 1}
= {p + qi G p2 + q2 = 25}.
2.10. LEMMA Misalkan H subgrup dari G. Maka untuk semua aG, Ha
= [a]H = {xGa x mod H}.
BUKTI. Pertama-tama kita akan tunjukkan bahwa Ha [a]H. Untuk itu
misalkan x Ha sebarang. Maka x = ha untuk suatu h H. Dari sini, ax-1
= a(ha)-1 = a(a-1h-1) = (aa-1)h-1 = eh-1 = h-1. Karena H subgrup dari G, maka h-
1H. Dengan demikian ax-1H. Ini mengatakan bahwa a x mod H. Jadi
x[a]H. Ini membuktikan bahwa Ha [a]H.
Sebaliknya, misalkan y[a]H sebarang, maka ay-1H. Karena H
subgrup dari G, maka ya-1 = (ay-1)-1H. Dengan demikian ya-1 = h untuk suatu
hH. Hal ini diikuti y = haH. Ini mengatakan bahwa yHa. Jadi [a]H Ha.
Ini melengkapi pembuktian Ha = [a]H.
Lemma di atas menghasilkan suatu fakta bahwa G merupakan
dekomposisi dari Ha, untuk semua aG. Karena itu, untuk sebarang dua
koset kanan dari H dalam G adalah sama atau saling lepas.
2.11. LEMMA. Misalkan G grup dan H subgrup dari G, dan aG. Jika
aH, maka Ha = H.
BUKTI. Karena aH, dan H subgrup dari G, maka sebarang hH
berlaku haH, dengan demikian Ha H. Sebaliknya, untuk sebarang hH
berlaku h = he = h(a-1a) = (ha-1)a. Karena H subgrup dari G, maka ha-1 H,
dengan demikian hHa, yang mengakibatkan H Ha. Jadi Ha = H.
30
2.12. LEMMA Terdapat korespondensi satu-satu antara sebarang dua
koset kanan dari H dalam G.
BUKTI. Misalkan Ha dan Hb sebarang dua koset kanan dari H dalam G.
Definisikan
f : Ha Hb, denga f(ha) = hb, untuk semua hH. Jelas f merupakan fungsi
dari Ha ke dalam Hb, sebab jika h1a dan h2a dalam Ha sebarang dengan h1 =
h2, maka f(h1a) = h1b = h2b = f(h2a). Selanjutnya, misalkan x,yHa sebarang
sedemikian sehingga f(x) = f(y). Misalkan x = h1a dan y = h2a. Karena f(x) =
f(y), maka berarti h1b = h2b. Dengan menggunakan hukum pencoretan,
diperoleh h1 = h2. Ini mengakibatkan x = y. Jadi, f 1-1. Terakhir, untuk
membuktikan bahwa f suatu surjeksi, misalkan y = hb Hb sebarang, maka
tentu haHa, dan f(ha) = hb = y. Karena itu f merupakan suatu korespondensi
satu-satu antara sebarang dua koset kanan dari H dalam G.
2.13. TEOREMA LAGRANGE. Jika G suatu grup hingga dan H subgrup
G, maka o(H) merupakan pembagi o(G), yaitu, terdapat bilangan bulat k
sedemikian sehingga o(G) = ko(H).
BUKTI. Perhatikan bahwa H = He, merupakan suatu koset kanan dari H
dalam G, dengan demikian menurut Lemma 2.12, bahwa sebarang koset
kanan dari H dalam G mempunyai o(H) unsur. Karena G hingga, maka H juga
subgrup hingga dari G. Karena itu, misalkan k menyatakan banyaknya koset
kanan yang berbeda dari H dalam G. Menurut Lemma 2.10, bahwa sebarang
dua koset kanan dari H yang berbeda dalam G tidak mempunyai unsur
persekutuan. Hal ini mengatakan bahwa o(G) = ko(H). Ini melengkapi
pembuktian Teorema Lagrange.
31
Sebagai konsekuensi dari Teorema Lagrange 2.13, jika kita memiliki G
= S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} yang berarti o(G) = 6, maka orde dari H, subgrup
sebarang dari G hanya mungkin memiliki orde pembagi dari 6, yaitu: 1, atau
2, atau 3, atau 6.
2.14. DEFINISI. Jika H subgrup dari G, indeks dari H dalam G adalah
banyaknya koset kanan yang berbeda dari H dalam G. Kita simbolkan iG(H).
Dalam kasus G grup hingga, maka iG(H) = o(G)/o(H).
2.15. DEFINISI. Jika G suatu grup dan aG, orde (periode) dari a
adalah bilangan bulat positif terkecil m, sedemikian sehingga am =e. Jika tidak
ada m yang demikian, maka kita katakana a berorde tak hingga. Sebagaimana
grup, kita juga menggunakan o(a) untuk menyatakan orde dari a.
2.16. AKIBAT DARI TEOREMA LAGRANGE. (1). Jika G suatu grup
hingga, dan aG, maka o(a) pembagi dari o(G).
BUKTI. Pandang (a) subgrup siklik dari G yang dibangun oleh a. (a)
mengandung e, a, a2, a3, … . Karena ao(a) = e, maka paling banyak unsur dari
(a) adalah o(a), sebab jika tidak maka terdapat 0 i < j < o(a) sedemikian
sehingga ai = aj. Dengan demikian aj-i = e untuk 0 < j – i < o(a). Ini
kontradiksi dengan keberadaan o(a) sebagai orde dari a. Karena itu, grup
siklik yang dibangun oleh a mempunyai o(a) unsur. Menurut Teorema
Lagrange 2.13, o(a) merupakan pembagi dari o(G).
(2). Jika G suatu grup hingga, maka ao(G) = e.
BUKTI. Dengan menggunakan Akibat 2.16(1) kita mempunyai o(a)
pembagi o(G), yang berarti bahw o(G) = mo(a) untuk suatu bilangan bulat m.
Oleh karena itu
32
ao(G) = amo(a) = (ao(a))m = em = e.
(3) Jika G suatu grup hingga yang ordenya bilangan prima p, maka G
membentuk grup siklik.
BUKTI. Anggaplah G mempunyai subgrup H yang nontrivial. Karena
o(H) harus membagi o(G) = p, maka o(H) = 1 atau o(H) = p. Jika o(H) = 1,
maka H = (e), sedangkan jika o(H) = p, maka G = H. Sekarang misalkan a e
G, dan H = (a). H merupakan subgrup siklik dari G, dan H (e), karena a
e. Jadi H = G. Ini mengatakan bahwa G grup siklik dengan orde p, dan setiap
unsur dalam G dibangun oleh a.
Misalkan H dan K keduanya subgrup dari G, definisikan HK = {xG
x = hk, hH, kK}. Contoh ilustrasi, pandang grup S3, dan misalkan H = {e,
f}, K = {e, gf}. H dan K adalah sub-sub grup siklik dari G dengan orde 2,
karena f2 = (gf)2 = e. Perhatikan bahwa HK = {ee, egf, fe, fgf} = {e, gf, f, g2}.
Disini, HK terdiri atas 4 unsur, menurut Teorema Lagrange, HK bukan
merupakan subgrup dari S3, sebab 4 bukan pembagi dari o(S3) = 6. Juga
perhatikan bahwa KH = {ee, ef, gfe, gff} = {e, f, gf, g} HK.
2.17. LEMMA Misalkan H, K keduanya subgrup dari grup G. HK
merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.
BUKTI. Aggaplah HK = KH; yaitu jika hH dan kK, maka hk = h1k1,
untuk suatu h1H dan k1K. Untuk membuktikan bahwa HK subgrup dari G,
maka kita harus dapat membuktikan bahwa HK bersifat tertutup dan setiap
unsurnya memiliki invers di dalam HK juga. Untuk itu misalkan x = hkHK
dan y = h’k’HK. Maka xy = hkh’k’. Karena HK = KH, maka kh’ = h2k2 untuk
suatu h2H dan k2K. Karena itu, xy = h(h2k2)k’ = (hh2)(k2k’) HK. Jadi, HK
33
bersifat tertutup. Demikian juga bahwa x-1 = (hk)-1 = k-1h-1 KH = HK. Ini
melengkapi pembuktian bahwa HK subgrup dari G. Sebaliknya, anggaplah
HK subgrup dari G. Untuk sebarang hH dan kK berlaku h-1k-1HK.
Karena HK subgrup dari G,maka kh = (k-1)-1(h-1)-1 = (h-1k-1)-1 HK. Ini
menunjukkan bahwa KH HK. Selanjutnya, karena HK subgrup, maka x-1 =
hk HK untuk suatu hH dan kK, apabila x HK. Akan tetapi x = (x-1)-1 =
(hk)-1 = k-1h-1 KH. Ini mengatakan bahwa HK KH. Jadi HK = KH.
2.18. LEMMA AKIBAT. Misalkan H, K keduanya subgrup dari grup G.
Jika G grup Abelian, maka HK merupakan subgrup dari G.
BUKTI. Karena G grup Abelian, dan H, K subgrup-subgrup dari G maka
HK = KH. Oleh karena itu menurut Lemma 2.17, HK merupakan subgrup dari
G.
2.19. LEMMA AKIBAT. Misalkan H subgrup dari G, maka HH
merupakan subgrup dari G, dan HH = H.
BUKTI. Menurut Lemma 2.17, jelas bahwa HH subgrup dari G.
Selanjutnya, karena H subgrup dari G, maka HH H, dan jika hH sebarang,
maka h = he HH, oleh karena itu H HH. Jadi HH = H.
2.20. DEFINISI. Misalkan G grup dan gG. Normalizer atau Centralizer
dari g dalam G, ditulis N(g), adalah himpunan semua unsur x dalam G
sedemikian sehingga xg = gx. Jadi, N(g) = {xGxg = gx}.
2.21. LEMMA. Jika G grup dan gG, maka N(g) merupakan subgrup
dari G.
34
BUKTI. Misalkan gG. Jelas N(g) , karena eg = ge, dengan
demikian eN(g). Selanjutnya, jika y,zN(g) sebarang, maka
(yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz).
Ini menunjukkan bahwa yzN(g), dengan demikian N(g) bersifat tertutup.
Kemudian untuk sebarang xN(g) kita peroleh
x-1g = (x-1g)e = (x-1g)(xx-1) =((x-1g)x)x-1 = (x-1(gx))x-1 = (x-1(xg))x-1 = ((x-
1x)g)x-1
= (eg)x-1 = gx-1.
Ini menunjukkan bahwa x-1N(g), dan melengkapi pembuktian kita.
2.22. DEFINISI. Misalkan G grup, Center dari G, ditulis ZG, adalah
himpunan semua unsur z dalam G sedemikian sehingga zg = gz untuk semua
gG. Jadi, ZG = {zGzg = gz, untuk semua gG}. Jadi, ZG = Gg
gN
,
dimana N(g) Centralizer dari g dalam G.
2.23. LEMMA. Jika G grup sebarang, maka ZG merupakan subgrup dari
G.
BUKTI. Jelas ZG , karena eg = ge untuk semua gG, dengan
demikian eZG. Selanjutnya, jika y,zZG sebarang, maka yg = gy dan zg = gz
untuk semua gG. Sehingga untuk semua gG diperoleh
(yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz).
Ini menunjukkan bahwa yzZG, dengan demikian ZG bersifat tertutup.
Kemudian untuk sebarang x ZG dan untuk semua gG kita peroleh
x-1g = (x-1g)e = (x-1g)(xx-1) =((x-1g)x)x-1 = (x-1(gx))x-1 = (x-1(xg))x-1 = ((x-
1x)g)x-1
= (eg)x-1 = gx-1.
35
Ini menunjukkan bahwa x-1 ZG, dan melengkapi pembuktian kita.
SOAL-SOAL:
1. Jika H dan K subgrup-subgrup dari G, tunjukkan bahwa HK juga
merupakan subgrup dari G.
2. Jika H subgrup dari G, dan aG, Misalkan aHa-1 = {aha-1hH}, maka
tunjukkanlah bahwa aHa-1 merupakan subgrup dari G.
3. Daftarkan semua koset kanan dari H dalam G dimana
a. G = (a) suatu grup siklik orde 10 dan H = (a2) subgrup dari G yang
dibangun oleh a2.
b. G seperti bagian a. di atas, H = (a5) subgrup dari G yang dibangun oleh
a5
c. G = A(S), S = {x1,x2,x3} dan H = {fGf(x1) = x1}
4. Daftarkan semua koset kiri dari H dalam G pada soal 3.
5. Misalkan G grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, Hn subgrup
dari G yang memuat semua himpunan bilangan bulat kelipatan n.
Tentukan indeks dari Hn dalam G, dan daftarkan semua koset kanan dari
Hn dalam G.
6. Jika H suatu subgrup dari G, maka Pemusatan H adalah C(H), yaitu
himpunan {xGxh = hx, untuk semua hH}. Buktikan bahwa C(H)
merupakan subgrup dari G.
7. Jika H subgrup dari G, dan misalkan N(H) = {aG aHa-1 = H}.
Buktikanlah bahwa N(H) merupakan subgrup dari G, dan N(H) H.
8. Misalkan pemetaan fab untuk bilangan-bilangan real a dan b, memetakan
masing-masing bilangan real kepada bilangan real dengan aturan fab : x
36
ax + b. Misalkan G = {faba 0}. Buktikan bahwa G membentuk grup
dibawah operasi komposisi fungsi. Tentukan rumus pemetaan untuk fabofcd.
9. Dalam grup G dalam soal no.8, misalkan N = {f1bG}, buktikan bahwa
a. N subgrup dari G
b. Jika aG, nN, maka ana-1N.
37
BAB III
SUBGRUP NORMAL DAN GRUP KUOSIEN
A. Subgrup Normal
Misalkan G = S3 dan H = {e, f} subgrup dari G. Karena iG(H) = 3, maka
kita mempunyai tiga koset kanan dari H yang berbeda dalam G, yaitu:
H = He = {e, f} = Hf
Hg = {g, fg} = Hfg
Hg2 = {g2, fg2 = gf} = Hgf
dan juga kita mempunyai tiga koset kiri dari H yang berbeda dalam G, yaitu:
H = eH = {e, f} = fH
gH = {g, gf} = Hgf
g2H = {g2, g2f = fg} = Hfg.
Disini kita memperoleh fakta bahwa Hg gH dan juga Hg2 = g2H. Karena itu
gH bukan koset kanan dari H dalam G, yang secara umum bahwa koset-koset
kiri dari H dalam G bukan merupakan koset kanan dari H dalam G.
Selanjutnya, pada kasus lain jika kita pilih N = {e, g, g2} subgrup dari
G = S3, maka kita mempunyai iG(N) = 2, yang berarti terdapat dua koset kanan
dari N yang berbeda dalam G, yaitu:
Ne = N = {e, g, g2} = Ng = Ng2,
Nf = {f, gf, g2f = fg} = Ngf = Nfg,
dan juga terdapat dua koset kiri dari N yang berbeda dalam G, yaitu:
eN = N = {e, g, g2}
fN= {f, fg, fg2 = gf} = fgN = gfN.
Pada kasus ini, terlihat bahwa setiap koset kiri dari N dalam G juga
merupakan koset kanan dari N dalam G.
38
Sekarang kita akan mendefinisikan subgrup khusus dari suatu grup,
yang selanjutnya akan kita jelaskan sifat-sifat yang dihasilkan oleh definisi ini
dengan fakta yang dikemukakan pada paragraf sebelumnya.
3.1. DEFINISI. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N dikatakan
subgrup normal dari G jika dan hanya jika untuk setiap gG dan nN,
berlaku gng-1 N.
Definisi 3.1. di atas dapat dijelaskan kembali seperti berikut. Jika gG
dan misalkan gNg-1 = {gng-1 nN}, maka N dikatakan subgrup normal dari
G jika dan hanya jika gNg-1 N untuk setiap gG.
3.2. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat dibawah
operasi penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan
bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. Telah ditunjukkan pada
Contoh 2.4(a), H merupakan subgrup dari G. Sekarang jika gG, dan h H
sebarang, misalkan h = 3n1 untuk suatu bilangan bulat n1 , maka
ghg-1 = g + 3n1 + (-g) = g + n1 + n1 + n1 + (-g).
Karena G adalah grup komutatif, maka
g + n1 + n1 + n1 + (-g) = g + (-g)+ n1 + n1 + n1 = 3n1 H.
Ini membuktikan bahwa H subgrup normal dari G.
(b) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fg, g2, gf} sebagaimana Contoh 1.2(c),
dan H = {e, f}. Telah ditunjukkan bahwa H subgrup dari G. Selanjutnya, jika
kita memilih gG dan fH, maka kita peroleh
gfg-1 = gfg2 = ggf = g2f = fg H.
Oleh karena itu, H bukan subgrup normal dari G.
39
Akan tetapi jika N = {e, g, g2}, subgrup dari G, maka N merupakan
subgrup dari G. Perhatikan bahwa
eee-1 = e N, ege-1 = g N, eg2e-1 = g2N,
fef -1 = e N, fgf -1 = g2 N, fg2f -1 = gN,
geg -1 = e N, ggg -1 = g N, gg2g -1 = g2N,
fge(fg) -1 = e N, fgg(fg) -1 = g2 N, fgg2(fg) -1 = gN,
gfe(gf) -1 = e N, gfg(gf) -1 = g2 N, gfg2(gf) -1 = gN,
g2e(g2) -1 = e N, g2g(g2) -1 = g N, g2g2(g2) -1 = g2N.
Dari sini, kita peroleh bahwa setiap xG dan nN, berlaku xnx-1N, dengan
demikian N subgrup normal dari G.
(c) Misalkan G =
1,,,, bcaddcba
dc
baR dengan operasi
perkalian matriks. Telah ditunjukkan pada Contoh 1.2(f), G membentuk grup.
Misalkan H =
Gab
ba. Pada Contoh 2.4(g) telah diperlihatkan bahwa H
merupakan subgrup dari G. Sekarang jika kita memilih A =
21
11G dan
B =
21
23
23
21
H, maka
ABA-1 =
21
11
21
23
23
21
11
12=
3313
3331
21
25
21
Karena 3 325 , maka ABA-1 H, dengan demikian H bukan subgrup
normal dari G. Pada kenyataannya untuk sebarang QH, dapat dipenuhi PQP-
1H jika dan hanya jika PH. (Periksa!)
40
3.3. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N dikatakan
subgrup normal dari G jika dan hanya jika gNg-1 = N untuk setiap gG.
BUKTI. Jika gNg-1 = N untuk setiap gG, maka jelaslah bahwa gNg-1
N untuk setiap gG. Akibatnya menurut Definisi 3.1 N merupakan subgrup
normal dari G. Sebaliknya, anggaplah N subgrup normal dari G. Misalkan
gG sebarang, maka menurut Definisi 3.1, berlaku gNg-1 N. Selanjutnya,
karena N subgrup normal dari G, maka berlaku juga. g-1Ng = g-1N(g-1)-1 N.
Akibatnya,
N = eNe = g(g-1Ng)g-1 gNg-1.
Karena ini berlaku untuk sebarang gG, maka diperoleh gNg-1 = N untuk
setiap gG.
Perlu dicermati, bahwa Lemma 3.3. ini tidak mengatakan bahwa untuk
setiap gG dan nN berlaku gng-1 = n. Hal ini dapat diberikan contoh kontra
berikut ini. Misalkan G = S3 dan N = {e, g, g2} (dapat ditunjukkan bahwa N
subgrup normal dari G).
fgf-1 = fgf = ffg2 = g2 g.
Akan tetapi jika G grup komutatif, maka semua N subgrup dari G merupakan
subgrup normal, dan berlaku untuk setiap gG dan setiap nN berlaku gng-1
= n. (Buktikan!)
3.4. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N subgrup normal
dari G jika dan hanya jika setiap koset kanan dari G merupakan koset kiri dari
N dalam G.
BUKTI. Pertama-tama anggaplah N subgrup normal dari G, maka
menurut Lemma 3.3., gNg-1 = N untuk setiap gG, yang diikuti oleh gN = Ng
41
untuk setiap gG. Jadi koset kanan dari N dalam G juga merupakan koset kiri
dari N dalam G.
Sebaliknya, anggaplah setiap koset kanan dari N dalam G merupakan
koset kiri dari N dalam G. Misalkan gG sebarang, dan gN koset kiri dari N
dalam G. Menurut hipotesis, gN juga merupakan koset kanan dari N dalam G.
Karena g = ge gN dan karena g juga merupakan unsur dalam Ng, maka
berarti g gN Ng. Akibatnya, Ng = gN. Dari sini, kita peroleh bahwa untuk
sebarang gG, berlaku
gNg-1 = Ngg-1 = Ne = N
Jadi menurut Lemma 3.3, N subgrup normal dari G.
Salah satu contoh konkrit bagi Lemma 3.4, dapat kita lihat pada
paragraf-paragraf awal Bab ini. Jika kita mempunyai grup G = S3 dan N = {e,
g, g2}, maka berdasarkan Lemma 3.4, N merupakan subgrup normal dari G.
Sementara itu apabila kita mempunyai grup G = S3 juga dan H = {e, f}, maka
H bukanlah subgrup normal dari G, karena tidak memenuhi syarat cukup bagi
H untuk menjadi subgrup normal.
3.5. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N merupakan
subgrup normal dari G jika dan hanya jika hasil kali dua koset kanan dari N
dalam G juga merupakan koset kanan dari N dalam G.
BUKTI. Pertama-tama, anggaplah N subgrup normal dari G. Misalkan
a,bG sebarang, maka Na dan Nb adalah koset-koset kanan dari N dalam G.
Karena N subgrup normal dari G dan dengan menggunakan Lemma 3.4.,
maka
(Na)(Nb) = N(aN)b = N(Na)b = (NN)(ab) = Nab,
yang juga merupakan koset kanan dari N dalam G.
42
Sebaliknya, anggaplah bahwa perkalian dua koset kanan dari N dalam
G juga meru-pakan koset kanan dari N dalam G. Misalkan gG sebarang,
maka g-1G. Ng dan Ng-1 merupakan dua koset kanan dari N dalam G,
sehingga menurut hipotesis bahwa (Ng)(Ng-1) suatu koset kanan dari N dalam
G. Akan tetapi
e =gg-1 = (eg)(eg-1) (Ng)(Ng-1).
Di pihak lain, karena N juga suatu koset kanan dari N dalam G dan jelas eN,
maka N (Ng)(Ng-1) , yang berakibat N = (Ng)(Ng-1). Oleh karena itu,
untuk sebarang nN, berlaku
gng-1 = egng-1 = n(n-1gng-1) nN = N.
Ini membuktikan bahwa N subgrup normal dari G.
3.6. LEMMA. Misalkan M dan N keduanya subgrup normal dari grup G.
Maka MN juga merupakan subgrup normal dari G.
BUKTI. Jelas, MN , karena eM dan eN yang mengakibatkan e =
eeMN. Selanjutnya, jika m1n1, m2n2 unsur-unsur di MN, maka
(m1n1)(m2n2) = m1n1m2n1-1n1n2
Karena M subgrup normal dari G, maka n1m2n1-1M, dengan demikian
(m1n1)(m2n2) = m1n1m2n1-1n1n2 = (m1n1m2n1
-1)(n1n2)MN. Ini membuktikan
bahwa MN bersifat tertutup. Selain itu,
(m1n1)-1 = n1
-1m1-1 = m1
-1(m1n1-1m1
-1)
Karena N subgrup normal dari G, maka m1n1m1-1N, dengan demikian (m1n1)
-
1MN.
Sampai disini, kita telah mebuktikan bahwa MN subgrup dari G, tinggal
membuktikan bahwa MN subgrup normal dari G. Untuk keperluan ini,
misalkan gG dan mnMN sebarang.
43
gmng-1 = (gmg-1)(gng-1)
Karena M dan N keduanya subgrup normal dari G, maka ruas kanan dari
persamaan di atas merupakan unsur di MN. Ini melengkapi pembuktian
Lemma 3.6 di atas.
B. GRUP KUOSIEN ATAU GRUP FAKTOR
Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal dari G. Perhatikan bahwa
kita mempunyai Ng untuk semua gG yaitu koset-koset kanan dari N dalam
G. Kita notasikan himpunan semua koset kanan dari N yang berbeda dalam G
dengan G/N, yaitu
G/N = {Ng gG}.
Disini, jelas bahwa G/N , sebab N = Ne merupakan suatu koset kanan dari
N dalam G, jadi N G/N. Oleh karena N subgrup normal dari G, maka kita
mempunyai sifat bahwa perkalian sebarang dua koset kanan dari N dalam G
juga merupakan koset kanan dari N dalam G (Lemma 3.5).
Berikut ini kita akan menunjukkan bahwa dengan operasi perkalian
koset-koset kanan sebagaimana pada Lemma 3.5, G/N membentuk grup.
3.7. TEOREMA. Jika G grup dan N subgrup normal dari G, maka G/N
membentuk grup.
BUKTI. Dengan menggunakan Lemma 3.5, kita akan mendefinisikan
operasi perkalian dalam G/N, dengan
(Ng1)(Ng2) = N(g1g2) untuk semua g1,g2G.
Dari sini berarti sifat ketertutupan G/N dengan operasi ini telah dipenuhi.
Tinggal kita membuktikan sifat-sifat lain, yaitu: keberlakuan sifat asosiatif
operasi ini dalam G/N, eksistensi unsur identitas operasi dalam G/N, dan
keberadaan unsur invers dalam G/N bagi semua unsur dalam G/N. Untuk itu,
44
misalkan g1, g2 dan g3 unsur-unsur dalam G dan X = Ng1, Y = Ng2 dan Z =
Ng3.
X(YZ) = (Ng1)((Ng2)(Ng3)) = (Ng1)(N(g2g3) = N(g1(g2g3)) = N((g1g2)g3)
= (N(g1g2))(Ng3) = ((Ng1)(Ng2))(Ng3) = (XY)Z.
Jadi, sifat asosiatif dipenuhi oleh operasi perkalian ini.
Selanjutnya, perhatikanlah bahwa N = Ne merupakan unsur dalam G/N,
dan perhatikan juga bahwa
XN = (Ng1)N = (Ng1)(Ne) = N(g1e) = Ng1 = X, dan
NX = N(Ng1) = (Ne)(Ng1) = N(eg1) = Ng1 = X.
Jadi, N merupakan unsur identitas dalam G/N menurut operasi perkalian
dalam G/N.
Akhirnya, kita mempunyai g1-1 juga merupakan unsur dalam G, oleh
karena itu Ng1-1G/N.
(Ng1)(Ng1-1) = N(g1g1
-1) = Ne = N, dan (Ng1-1)(Ng1) = N(g1
-1g1) = Ne =
N.
Akibatnya, Ng1-1 = (Ng1)
-1.
Ini melengkapi pembuktian kita terhadap Teorema 3.7.
Grup G/N disebut grup kuosien (grup faktor) dari G oleh N.
3.8. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat dan N
himpunan bilangan bulat kelipatan 5, yaitu N = {5g gG}. Telah
ditunjukkan bahwa N merupakan subgrup dari G, dan karena G grup Abelian,
maka N merupakan subgrup normal dari G. Dengan demikian menurut
Teorema 3.7. kita pasti mempunyai G/N = {N + g gG}, yaitu grup kuosien
dari G oleh N. Sekarang kita akan menentukan o(G/N), yaitu banyaknya unsur
dalam G/N.
45
Perhatikan bahwa N, N + 1, N + 2, N + 3, dan N + 4 merupakan unsur-
unsur dalam G/N. Misalkan gG sebarang, maka kita dapat nyatakan
g = 5g0 + h
untuk suatu g0G dan h sisa pembagian dari g oleh 5, yaitu h = 0, atau 1, atau
2, atau 3, atau 4, sehingga
N + g = N + (5g0 + h) = (N + 5g0) + h.
Karena 5g0 N, maka N + 5g0 = N. Akibatnya, N + g = N + h. Dri sini berarti
G/N = {N, N + 1, N + 2, N + 3, N + 4}
Karena itu, o(G/N) = 5.
Contoh 3.8(a) di atas, dapat diperluas pada sebarang bilangan bulat n,
dengan mengambil N = {ng gG}. Dengan cara yang sama, maka dengan
mudah dapat diperoleh
G/N = {N, N + 1, N + 2, … , N + (n –1)},
dan kemudian diperoleh o(G/N) = n.
(b) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} sebagaimana Contoh 1.2(c),
dan H = {e, f}. Telah ditunjukkan bahwa H subgrup dari G. Koset-koset
kanan dari H dalam G, adalah
H = He = {e, f} = Hf
Hg = {g, fg} = Hfg
Hg2 = {g2, fg2 = gf} = Hgf
Karena itu kita mempunyai G/H = {H, Hg, Ng2}. Akan tetapi, G/H bukan
grup, karena H bukan subgrup normal dari G.
(c) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} sebagaimana Contoh 1.2(c),
dan N = {e, g, g2} subgrup dari G. Telah ditunjukkan bahwa N subgrup
normal dari G. Koset-koset kanan dari N dalam G, adalah
46
Ne = N = {e, g, g2} = Ng = Ng2,
Nf = {f, gf, g2f = fg} = Ngf = Nfg,
Karena itu kita mempunyai G/N = {N, Nf}. Karena N subgrup normal dari G,
maka menurut Teorem 3.7, G/N merupakan grup, dan o(G/N) = 2.
3.9. LEMMA AKIBAT. Jika G grup komutatif dan N subgrup normal dari
G, maka G/N membentuk grup komutatif.
BUKTI. Berdasarkan Teorema 3.7, kita mempunyai grup kuosien G/N.
Selanjutnya, jika X = Ng1 dan Y = Ng2 unsur-unsur sebarang dalam G/N maka
XY = (Ng1)(Ng2) = N(g1g2). Karena G grup komutatif, maka g1g2 =g2g1.
Akibatnya, N(g1g2) = N(g2g1) = (Ng2)(Ng1) = YX.
3.9. LEMMA. Jika G grup hingga dan N subgrup normal dari G, maka
o(G/N) = N
G
o
o .
BUKTI. Karena o(G) berhingga, maka banyaknya koset kanan dari N
dalam G juga berhingga, yang berakibat iG(N) berhingga, yaitu iG(N) =
o(G)/o(N). Oleh karena G/N adalah himpunan semua koset kanan dari N yang
berbeda dalam G, maka berarti
o(G/N) = iG(N) = N
G
o
o .
SOAL – SOAL.
1. Jika G grup, dan H subgrup dari G dengan iG(H) = 2, maka buktikanlah
bahwa H subgrup normal dari G.
2. Jika N subgrup normal dari grup G dan H sebarang subgrup dari G, maka
buktikanlah bahwa NH subgrup dari G.
47
3. Tunjukkanlah bahwa irisan dari dua subgrup normal dari grup G juga
merupakan subgrup normal.
4. Jika H subgrup dari grup G dan N subgrup normal dari G, maka
tunjukkanlah bahwa HN merupakan subgrup normal dari G.
5. Jika H subgrup dari grup G, misalkan N(H) = {gG gHg-1 = H}.
Buktikanlah bahwa:
a. N(H) subgrup dari G.
b. H subgrup normal dari N(H).
c. Jika K subgrup dari G, dan H subgrup normal dari K, maka K N(H).
d. H subgrup normal dari G jika dan hanya jika N(H) = G.
6. Misalkan N dan M subgrup-subgrup normal dari grup G, dan NM = (e).
Tunjukkanlah bahwa untuk sebarang nN dan mM berlaku nm = mn.
7. Jika T subgrup siklik normal dari grup G, maka tunjukkanlah bahwa setiap
subgrup dari T merupakan subgrup normal dari G.
8. Misalkan G himpunan semua matriks 22,
d
ba
0dimana ad 0 dibawah
operasi perkalian matriks. Misalkan N =
realbilangan
10
1b
b.
Buktikanlah bahwa:
a. N subgrup normal dari G.
b. G/N merupakan grup Abelian.
48
BAB IV
HOMOMORFISMA GRUP
4.1 DEFINISI. Suatu pemetaan f dari grup G ke dalam grup G disebut
homomorfisma grup atau homomorfisma dari G ke dalam G , jika dan hanya
jika untuk setiap a,bG berlaku f(ab) = f(a)f(b).
Perlu dicatat bahwa pada Definisi 4.1 di atas melibatkan dua operasi
biner, yang terlihat pada ekspresi f(ab) = f(a)f(b). Di ruas kiri, operasi biner
yang dipergunakan adalah operasi biner dalam G, sedangkan di ruas kanan
yang dipergunakan adalah operasi biner pada G . Untuk menjelaskan lebih
detail dari Definisi 4.1, akan dikemukakan beberapa contoh, akan tetapi
sebelumnya kita perlu mendefinisikan terlebih dahulu tentang kernal suatu
homomorfisma grup dari suatu grup kedalam grup lain.
4.2. DEFINSI. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam
grup G . Kernel dari f, disimbol Kf, adalah himpunan semua xG yang
dipetakan oleh f ke e , dimana e unsur identitas dalam G . Atau, dengan kata
lain,
Kf = {xG f(x) = e }
4.3. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup sebarang, dan definisikan f
: G G dengan f(x) = e (unsur identitas dalam G) untuk setiap xG. Maka
jelas f suatu homomorfisma, karena untuk setiap a,bG, berlaku
f(ab) = e = ee = f(a)f(b).
49
Disini, e merupakan unsur identitas dalam G, sehingga kernel dari f adalah Kf
= G, karena semua unsur dalam G dipetakan oleh f ke e. Pada kasus ini, kita
sebut f homomorfisma konstan e.
(b) Misalkan G grup sebarang, dan definisikan f : G G dengan f(x) =
x untuk setiap xG. Fungsi f ini juga merupakan homomorfisma, sebab untuk
setiap a,bG, berlaku
f(ab) = ab = f(a)f(b).
Sedangkan kernel dari f adalah Kf = {e}, karena jika a e, maka f(a) = a e,
jadi aKf. Lebih dari itu, f bersifat injektif, karena jika a,bG sebarang
dengan f(a) = f(b), maka a = f(a) = f(b) = b. Kemudian, f juga bersifat
surjektif, karena apabila yG sebarang, kita dapat memilih yG ini sehingga
f(y) = y. Pada kasus ini, f kita sebut dengan homomorfisma identitas pada
G, disimbol idG. Jadi, idG(x) = x untuk setiap xG.
(c) Misalkan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada
bilangan-bilangan real, dan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi
perkalian pada bilangan-bilangan real. Definisikan f : G G , dengan f(x) =
3x untuk setiap xG. Perhatikan bahwa G dan G memiliki operasi biner yang
berbeda. Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus
periksa bahwa untuk setiap a,bG berlaku f(ab) = f(a)f(b). Tetapi hal ini
tidaklah sulit dilakukan, karena
f(ab) = f(a + b) = 3a + b = 3a3b = f(a)f(b).
Jadi, f suatu homomorfisma. Kita peroleh juga bahwa f bukan fungsi dari G
pada G , karena 3x selalu bernilai positif untuk bilangan real x berapapun,
akan tetapi f suatu injeksi, karena jika x,yG sebarang sedemikian sehingga
f(x) = 3x = 3y = f(y), maka x = y (Periksa!). Selanjutnya, kita mempunyai unsur
50
1 sebagai unsur identitas dalam G , sehingga kernel dari f adalah Kf = {xG
3x = 1} = {0}, karena apabila x 0, maka f(x) = 3x 30 = 1.
(d) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fg, gf, g2} dan G = {e, f}. Definisikan
: G G dengan (f ig j) = f i, i = 0,1, dan j = 0,1,2. Dari pendefinisian seperti
ini, kita mempunyai G = {e, f, g, fg, gf, g2} = {f 0g0, f 1g0, f 0g1, f 1g1, f 1g2, f0g2}, dan diperoleh
(e) = (ee) = (f 0g0) = f0 = e,
(f) = (fe) = (f 1g0) = f1 = f,
(g) = (eg) = (f 0g1) = f0 = e,
(fg) = (f 1g1) = f 1 = f,
(gf) = (fg2) = (f 1g2) = f 1 = f, dan
(g2) = (eg2) = (f 0g2) = f 0 = e.
Nilai-nilai dari (f ig j) diperlihatkan pada Tabel 4.1, dan nilai-nilai dari (fi)(g j) diperli-hatkan pada Tabel 4.2 (i = 0,1, dan j = 0,1,2).
Tabel 4.1. Nilai-nilai dari (figj) (i = 0,1, dan j = 0,1,2)
e f g fg gf g2
e e f e f e f
f f e f e e f
g e f e f e f
fg f e f e e f
gf f e f e e f
g2 e f e f e f
51
Perlu dicatat, bahwa hasil yang tercantum pada Tabel 4.1 adalah hasil dari
peta perkalian dua unsur dalam G oleh pemetaan , dan tidak diartikan
sebagai operasi biner (perkalian) dalam G. Jadi, e = (ee), bukan e = ee, f =
(fg), bukan f = fg, dan seterusnya.
Tabel 4.2. Nilai-nilai dari (f i)(g j) (i = 0,1, dan j = 0,1,2)
. (e) (f) (g) (fg) (gf) (g2)
(e) e f e f e f
(f) f e f e e f
(g) e f e f e f
(fg) f e f e e f
(gf) f e f e e f
(g2) e f e f e f
Berdasarkan hasil-hasil pada Tabel 4.1. dan Tabel 4.2, maka kita
berkesimpulan bahwa (figj) = (fi)(gj), (i = 0,1, dan j = 0,1,2), untuk semua
figjG, (i = 0,1, dan j = 0,1,2). Tambahan lagi, kernel dari adalah K = {e,
g, g2}, karena (e) = (g) = (g2) = e.
(e) Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan pada
bilangan-bilangan bulat, dan G = G. Definisikan f : G G dengan f(x) = 2x
untuk semua xG [disini 2x diartikan sebagai x + x, bukan perkalian 2 dengan
x]. Jika a,bG sebarang, maka
f(a + b) = 2(a + b) = (a + b) + (a + b) = (a + a) + (b + b) = 2a + 2b =
f(a) + f(b).
Jadi, f merupakan suatu homomorfisma. Kernel dari f adalah Kf = {0}, sebab
jika x 0 maka f(x) = 2x = x + x 0, yang mengakibatkan xKf. Tambahan
52
juga bahwa f suatu injeksi, karena jika x,yG sehingga x y, maka 2x = x + x
y + y = 2y. Akan tetapi f bukan suatu surjeksi, karena tidak ada aG yang
dipetakan oleh f ke 3G .
(f) Misalkan G grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian,
dan G = {1, -1} dengan operasi: 1(1) = 1 = (-1)(-1), dan 1(-1) = -1 = (-1)(1).
Definisikan fungsi f : G G , dengan
f(x) = negatifrealbilanganjika1
positifrealbilanganjika1
x,
x,
Misalkan a,bG sebarang, maka kita mempunyai empat kasus, yaitu:
Kasus I. Jika a,b keduanya bilangan real positif, maka kita mempunyai
ab bilangan positif, sehingga f(ab) = 1 = (1)(1) = f(a)f(b).
Kasus II. Jika a positif dan b negatif, maka kita mempunyai ab
bilangan negatif. Karena itu, f(ab) = -1 = (1)(-1) = f(a)f(b).
Kasus III. Jika a negatif dan b positif, maka kita mempunyai ab
bilangan negatif. Karena itu, f(ab) = -1 = (-1)(1) = f(a)f(b).
Kasus IV. Jika a,b keduanya bilangan real negatif, maka kita
mempunyai ab bilangan positif, sehingga f(ab) = 1 = (-1)(-1) = f(a)f(b).
Dari sini, kita peroleh kesimpulan bahwa f merupakan homomorfisma,
dengan kernelnya adalah Kf = {xG x bilangan real positif}.
(g) Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, dan
nG grup bilangan bulat modulo n dengan operasi penjumlahan bilangan bulat
modulo n. Definisikan f : G nG dengan f(x) = t, dimana t adalah sisa
pembagian dari x oleh n. Untuk menunjukkan bahwa f merupakan suatu
homomorfisma, maka misalkan a,bG sebarang.
f(ab) = f(a + b) =t0, dimana t0 adalah sisa pembagian dari a + b oleh n.
53
Karena sifat ketertutupan dari nG , maka kita mempunyai t0 = t1 + t2 dimana t1
adalah sisa pembagian dari a oleh n dan t2 adalah sisa pembagian dari b oleh
n. Oleh karena itu,
f(ab) = t0 = t1 + t2 = f(a) + f(b) = f(a)f(b).
Jadi, f suatu homomorfisma. Kernel dari f adalah Kf = {xG x = nt, t
bilangan bulat}.
(h) Misalkan G grup bilangan real positif dengan operasi perkalian, dan
G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan. Definisikan fungsi f : G
G dengan f(x) = 10log(x) untuk setiap xG. Misalkan a,bG sebarang,
maka kita mempunyai hubungan
f(ab) = 10log(ab) = 10log(a) + 10log(b) = f(a) + f(b) = f(a)f(b).
Dari sini, disimpulkan bahwa f suatu homomorfisma. Sebagai tambahan,
bahwa f suatu injeksi, karena jika x,yG sebarang sedemikian sehingga f(x) =10log(x) = 10log(y) = f(y), maka x = y (Periksa!). Selanjutnya, kita mempunyai
0G sebagai unsur identitas dalam G , karena itu, kernel dari f adalah Kf =
{xG 10log(x) = 0} = {1}.
(i) Misalkan G grup semua matriks real 22 yang berbentuk
d
ba
0,
sehingga ad 0, dengan operasi perkalian matriks-matriks. Misalkan juga G
grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian. Definisikan f : G G
dengan f
d
ba
0= ad untuk setiap
d
ba
0G. Jika X =
1
11
0 d
badan Y =
54
2
22
0 d
baunsur-unsur sebarang dalam G, maka kita mempunyai XY =
1
11
0 d
ba
2
22
0 d
ba=
21
212121
0 dd
dbbaaa, f(X) = a1d1, dan f(Y) = a2d2.
f(XY) = f
21
212121
0 dd
dbbaaa= (a1a2)(d1d2) = (a1d1)(a2d2) = f(X)f(Y).
Jadi, f suatu homomorfisma.
Selanjutnya, kita mempunyai 1G sebagai unsur identitas dalam G ,
karena itu kernel dari f adalah Kf =
1
0psG
s
qp=
realbilangan
10q,pG
p
qp.
Tambahan lagi, bahwa pada kenyataannya, f merupakan fungsi dari G pada
G , karena jika yG sebarang, kita dapat memilih X =
10
0yG sehingga
f(X) = f
10
0y= y.
4.4. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup normal dari G, oleh
karenanya kita mempunyai grup kuosien G/N. Definisikan f : G G/N
dengan f(x) = Nx untuk semua xG. Maka f merupakan suatu homomorfisma
dari G pada G/N. Atau dengan kata lain, bahwa G/N merupakan peta
homomorfisma dari G. Selanjutnya, Kernel dari f adalah N.
BUKTI. Misalkan a,bG sebarang.
f(ab) = N(ab) = (Na)(Nb) = f(a)f(b).
Ini menunjukkan bahwa f merupakan suatu homomorfisma. Selanjutnya,
untuk membuktikan bahwa f suatu surjeksi, maka kita ambil XG/N sebarang
55
dan misalkan X = Ny untuk suatu yG. Dengan memilih yG ini, maka kita
mempunyai f(y) = Ny = X. Sekarang, misalkan kernel dari f adalah Kf. Jika
xKf, maka f(x) = N (unsur identitas dalam G/N). Di pihak lain, f(x) = Nx,
dengan demikian Nx = N. Ini menghasilkan xN. Ini menunjukkan bahwa
KfN. Sebaliknya, jika yN, maka f(y) = Ny, dan karena yN, maka menurut
Lemma 2.11 f(y) = N, dengan demikian yKf. Ini menunjukkan bahwa N
Kf, yang melengkapi pembuktian bahwa kernel dari f adalah N.
Berikut ini adalah lemma yang memberikan jaminan bahwa kernel dari
suatu homomorfisma dari grup G ke dalam G bukan himpunan kosong.
4.5. LEMMA. Jika f suatu homomorfisma dari G ke dalam G , maka
(1) f(e) = e , dimana e unsur identitas dalam G .
(2) f(x-1) = f(x)-1, untuk setiap xG.
BUKTI. Untuk membuktikan (1), perhatikan bahwa untuk setiap xG
kita mempunyai
f(x) e = f(x) = f(xe) = f(x)f(e).
Dengan menggunakan sifat pencoretan dalam G , kita peroleh f(e) = e .
Sementara itu, untuk membuktikan (2), perhatikan bahwa untuk setiap
xG berlaku
f(x)f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e , dan
f(x-1)f(x) = f(x-1x) = f(e) = e .
Ini membuktikan bahwa f(x-1) = f(x)-1.
Lemma 4.5 di atas, mengatakan bahwa e merupakan unsur dalam
kernel dari sebarang homomorfisma dari suatu grup kedalam grup lain. Jadi,
56
kernel dari homomorfisma dari suatu grup kedalam grup lain bukan himpunan
kosong.
4.6. LEMMA. Jika f suatu homomorfisma dari G kedalam G dengan
kernel K, maka K merupakan subgrup normal dari G.
BUKTI. Terlebih dahulu kita akan membuktikan bahwa K merupakan
subgrup dari G. Sifat K segera dipenuhi dengan jaminan Lemma 4.5(1),
tinggal kita tunjukkan bahwa K memenuhi sifat ketertutupan terhadap operasi
dalam G, dan keberadaan unsur invers dari semua unsur dalam K yang harus
juga terdapat dalam K. Untuk ini, misalkan x,yK sebarang.
f(xy) = f(x)f(y) = e e = e , dan
f(x-1) = f(x)-1 = e -1 = e ,
yang keduanya berturut-turut menyatakan bahwa xyK dan x-1K. Jadi, K
merupakan subgrup dari G.
Sekarang kita akan menunjukkan bahwa K subgrup normal dari G.
Perhatikan bahwa untuk sebarang gG dan kK, berlaku
f(gkg-1) = f(g)f(k)f(g-1) = f(g)e f(g-1) = f(g)f(g)-1 = e .
Dari sini, kita peroleh bahwa gkg-1K. Jadi K merupakan suatu subgrup
normal dari G.
Oleh karena K merupakan subgrup normal dari grup G sebagaimana
hasil Lemma 4.6, maka berdasarkan Teorem 3.6 dan Lemma 4.4, diperoleh
bahwa kita pasti memiliki G/K yang merupakan peta homomorfisma dari grup
G.
4.7. DEFINISI. Misalkan G dan G grup-grup, f suatu homomorfisma
dari G ke dalam G dengan kernel, K. Jika g G maka kita definisikan
57
himpunan semua peta invers (inverse image) dari g dibawah f, ditulis If-1( g ),
sebagai
{xGf(x) = g }
4.8. LEMMA. Jika G dan G grup, f suatu homomorfisma dari G ke
dalam G dengan kernel, K dan misalkan pula g G . Maka If-1( g ) = Kx
dimana x peta invers tertentu yang sebarang dari g oleh f dalam G.
BUKTI. Jika g = e (unsur identitas dari G ), maka menurut Definisi, If-
1( g ) = K berlaku secara trivial. Jika g e , misalkan xG sebuah peta invers
dari g oleh f, yaitu f(x) = g . Kita klaim bahwa If-1( g ) = Kx. Untuk
membuktikan ini, misalkan yKx sebarang. Maka y = kx untuk suatu kK.
Karena itu f(y) = f(kx) = f(k)f(x) = e f(x) = g . Ini menunjukkan bahwa y If-
1( g ) dengan demikian Kx If-1( g ).
Sebaliknya, misalkan z If-1( g ) sebarang maka f(z) = g = f(x).
Karenanya e = f(z)(f(x))-1 = f(z)f(x-1) = f(zx-1). Mengikuti ini, diperoleh zx-1K
yang berarti zx-1 = k1 untuk suatu k1 K. Dari sini z = k1xKx. Jadi If-1( g )
Kx. Ini melengkapi pembuktian klaim kita.
4.9. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan real tanpa nol
dibawah operasi perkalian pada bilangan real dan G = {-1,1} dengan operasi
perkalian. Pandang fungsi f : G G dengan f(x) = 1 jika x bilangan real
positif dan f(x) = -1 jika x bilangan real negatif. Menurut Contoh 4.3(f), f
merupakan suatu homomorfisma dengan kernel, K = {xGf(x) = 1} =
{xG x bilangan real positif}. Berdasarkan Lemma 4.8 di atas, diperoleh If-
1(1) = K dan If-1(-1) = {xG x bilangan real negatif} = Ky dimana y bilangan
real negatif.
58
(b) Misalkan G grup semua matriks real 22 yang berbentuk
d
ba
0,
sedemikian sehingga ad 0, dengan operasi perkalian matriks-matriks dan G
grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian pada bilangan-bilangan
real. Sekarang pandang suatu pemetaan f dari G ke dalam G dengan
f
d
ba
0= ad untuk setiap
d
ba
0G. Sebagaimana pada Contoh 4.3(i), f
merupakan suatu homomorfisma dari G ke dalam G dengan kernel
K =
0real,bilangan,
10pqpG
p
qp.
Selanjutnya, misalkan g = 2 G , maka
f –1(2) =
2
0adG
d
ba=
0danrealbilangan
/20aa,b
a
ba.
Menurut Lemma 4.8, dengan memisalkan a = p dan b = 2q, maka diperoleh f –
1(2) = K
20
01, karena
20
01G yang merupakan suatu peta invers dari 2
G . Dapat juga kita memisalkan a = 2p dan b = -p + q, untuk memperoleh f –
1(2) = K
10
12, karena
10
12G juga merupakan suatu peta invers dari 2
G .
4.10. DEFINISI. Suatu homomorfisma f dari G ke dalam G dikatakan
suatu isomorfisma jika f pemetaan satu-satu (one-to-one mapping).
Sebagai contoh untuk isomorfisma dari suatu grup ke grup yang lain,
antara lain telah kita peroleh pada Contoh 4.3(b), (c), (e) dan (h).
59
4.11. TEOREMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam
grup G dengan kernel K. f merupakan suatu isomorfisma jika dan hanya jika
K = (e).
BUKTI. Dengan menggunakan Lemma 4.8 diperoleh bahwa jika K = (e),
maka untuk sebarang g G , If-1( g ) = (e)x = {x} dengan demikian f suatu
fungsi satu-satu. Sebaliknya, jika f pemetaan satu-satu, maka untuk sebarang
xK, f(x) = e = f(e). Karena f satu-satu, maka x = e. Ini membuktikan bahwa
K(e). Sebaliknya, secara trivial berlaku (e) K, karena K merupakan
subgrup dari G. Dari sini disimpulkan bahwa K = (e).
4.12. TEOREMA. Jika f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup
G dengan kernel K, maka terdapat suatu isomorfisma dari G/K ke dalam G .
BUKTI. Misalkan f fungsi dari G pada G dengan pengaitan f : x f(x)
untuk setiap xG, dan g fungsi G kedalam G/K dengan pengaitan g : x Kx
untuk setiap xG. Telah ditunjukkan bahwa g bersifat pada (Lemma 4.4) dan
kernel dari g adalah K. Sekarang bangun fungsi h dari G/K ke dalam G ,
dengan pengaitan h : Kx f(x) untuk setiap xG. Perhatikan diagram
berikut.
G G
G/K
f
g
h
Pengaitan untuk f, g, dan h digambarkan seperti diagram berikut.
60
x f(x)
Kx
f
g
h
Akan ditunjukkan bahwa h suatu homomorfisma dan satu-satu (isomorfisma)
dari G/K ke dalam G . Pertama-tama kita akan tunjukkan bahwa h merupakan
suatu pemetaan, dalam arti bahwa kita akan menunjukkan bahwa pengaitan
untuk h : Kx f(x) terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk itu,
misalkan x1, x2 G sebarang, sedemikian sehingga Kx1 = Kx2. Karena itu x1 =
kx2 untuk suatu kK, dan akibatnya h(Kx1) = f(x1) = f(kx2) = f(k)f(x2) = e f(x2)
= f(x2) = h(Kx2). Ini mengatakan bahwa pengaitan untuk h well-defined.
Selanjutnya, misalkan Kx1 dan Kx2 unsur-unsur dalam G/K.
h((Kx1)(Kx2)) = h(K(x1x2)) = f(x1x2) = f(x1)f(x2) = h(Kx1)h(Kx2). Jadi h
merupakan suatu homomorfisma.
Sekarang untuk membuktikan bahwa h suatu isomorfisma, tinggal
menggunakan Teorema Akibat 4.11 dengan menunjukkan bahwa kernel dari
h adalah (K). Untuk itu misalkan Kh kernel dari h. Jika XKh sebarang, maka
X = Kx untuk suatu xG dan h(X) = h(Kx) = e . Di pihak lain, h(Kx) = f(x),
yang mengakibatkan f(x) = e , dan dengan demikian xK (kernel dari f).
Menurut Lemma 2.11, X = Kx = K(K), jadi Kh(K). Sebaliknya, jika Y =
K(K), maka h(Y) = h(K) = h(Ke) = f(e) = e unsur identitas dalam G ,
sehingga dengan demikian YKh. Jadi (K)Kh, dan ini melengkapi
pembuktian bahwa kernel dari h adalah (K). Karena K unsur identitas di G/K,
61
maka menurut Teorema Akibat 4.11, h merupakan isomorfisma dari G/K ke
dalam G .
4.13. DEFINISI. Dua grup G dan G dikatakan isomorfik jika terdapat
isomorfisma dari G pada G . Dalam kasus ini, ditulis G G .
4.14. LEMMA. Jika G sebarang grup, maka G G.
BUKTI. Apabila kita memilih fungsi f : G G sebagaimana pada
Contoh 4.3(b), yaitu f(x) = x untuk setiap xG, maka kita mempunyai suatu
isomorfisma dari G pada G. Ini membuktikan bahwa G G.
4.15. LEMMA. Misalkan G dan G dua grup sebarang. Jika G G ,
maka G G.
BUKTI. Misalkan f : G G suatu isomorfisma dari G pada G .
Definisikan : G G, dengan (y) = f -1(y) untuk setiap yG . Jelas ini
suatu pemetaan karena sifat dari f sebagai isomorfisma. Kita akan
menunjukkan bahwa merupakan suatu isomorfisma dari G pada G.
Sekarang, misalkan a,bG sebarang
f((ab)) = f(f -1(ab)) = (ff -1)(ab) =G
id (ab) = ab =G
id (a)G
id (b) = (ff
-1)(a)(ff -1)(b)
= f(f -1(a))f(f -1(b)) = f((a))f((b)) = f((a)(b)).
Karena f suatu isomorfisma, maka (ab) = (a)(b). Jadi merupakan suatu
homomorfisma.
Selanjutnya, misalkan a,bG sebarang, dengan (a) = (b). Maka a
=G
id (a) = (ff -1)(a) = f(f -1(a)) = f((a)) = f((b)) = f(f -1(b)) = (ff -1)(b) =
62
Gid (b) = b. Ini membuktikan bahwa suatu pemetaan yang bersifat injektif (1
– 1).
Akhirnya, misalkan xG sebarang, maka kita mempunyai f(x)G ,
sehingga (f(x)) = f-1(f(x)) = (f-1f)(x) = idG(x) = x. Ini membuktikan bahwa
bersifat surjektif, yang melengkapi pembuktian bahwa suatu isomorfisma
dari G pada G. Jadi G G.
4.16. LEMMA. Jika G, G , dan G grup-grup sebarang. Jika G G dan
G G , maka G G .
BUKTI. Misalkan f suatu isomorfisma dari G pada G , dan g suatu
isomorfisma dari G pada G . Sekarang, definisikan h : G G , dengan h(x) =
g(f(x)) untuk setiap xG. Jelas, h merupakan suatu pemetaan. Selanjutnya,
misalkan a,bG sebarang, maka kita peroleh
h(ab) = g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = h(a)h(b).
Ini menujukkan bahwa h suatu homomorfisma.
Untuk membuktikan bahwa h bersifat injektif, misalkan a,bG dengan
h(a) = h(b). Dari sini berarti g(f(a)) = g(f(b)) dan oleh karena g suatu
isomorfisma, maka f(a) = f(b). Mengikuti ini, karena f suatu isomorfisma,
maka a = b. Ini menunjukkan bahwa h suatu injeksi.
Terakhir, untuk membuktikan bahwa h bersifat surjeksi, misalkan zG
sebarang. Karena g suatu surjeksi, maka terdapat yG sehingga g(y) = z, dan
karena f suatu surjeksi, maka terdapat xG sehingga f(x) = y. Dengan
demikian kita mempunyai xG sehingga
h(x) = g(f(x)) = g(y) = z.
63
Ini membuktikan bahwa h suatu surjeksi. Jadi kita telah membuktikan bahwa
h suatu isomorfisma dari G pada G , yang melengkapi pembuktian G G .
4.17. LEMMA AKIBAT. Relasi isomorfik, , pada himpunan grup-grup
merupakan relasi ekivalen.
BUKTI. Lemma Akibat 4.17 ini merupakan rangkumam dari Lemma
4.14, Lemma 4.15, dan Lemma 4.16.
4.18. TEOREMA. Jika f suatu homomorfisma dari grup G pada grup G
dengan kernel K, maka G G/K.
BUKTI. Pada Teorema 4.12 kita telah membuktikan bahwa terdapat
isomorfisma h dari G/K ke dalam G dengan pengaitan h : Kx f(x) untuk
semua xG. Disini kita tinggal menunjukkan bahwa h merupakan suatu
surjeksi apabila f suatu surjeksi Untuk keperluan ini, misalkan yG
sebarang. Karena f suatu surjeksi, maka terdapat xG sedemikian sehingga y
= f(x). Pilih KxG/K, sehingga diperoleh h(Kx) = f(x) = y. Ini membuktikan
bahwa h bersifat pada, dan sekaligus melengkapi pembuktian bahwa G/K
G , dan menurut Lemma 4.15 ini membuktikan juga bahwa G G/K.
4.19. LEMMA. Misalkan G, G grup-grup, f homomorfisma dari G ke
dalam G dengan kernel K. Jika H subgrup dari G , maka H = f-1( H ) = {xG
f(x)H } merupakan subgrup dari G yang memuat K. Lebih dari itu, jika H
subgrup normal dari G , maka H juga merupakan subgrup normal dari G.
BUKTI. Jelas KH, karena jika xK, maka f(x) = e H , dengan
demikian xH. Selanjutnya, jelas juga bahwa H , sebab f(e) = e H ,
64
yang berarti bahwa eH. Kemudian, jika x,yH sebarang, maka f(x)H dan
f(y)H , dengan demikian
f(xy) = f(x)f(y)H , dan f(x-1) = (f(x))-1H ,
yang berturut-turut, membuktikan bahwa xyH dan x-1H. Jadi, H = f-1( H )
merupakan subgrup dari G yang memuat K.
Tinggal kita membuktikan bahwa H subgrup normal dari G jika H
subgrup normal dari G . Untuk keperluan ini, misalkan gG dan hH
sebarang.
f(ghg-1) = f(g)f(h)f(g-1) = f(g)f(h)(f(g))-1.
Karena H subgrup normal dari G , maka f(g)f(h)(f(g))-1H , yang diikuti oleh
ghg-1H.
Perlu dicatat bahwa menurut Teorema 4.18, G G/K. Karena KH,
maka f : H H juga pemetaan dari H pada H , yang secara jelas mempunyai
kernel K. Akibatnya, H H/K.
4.20. LEMMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam
grup G , dengan kernel K. Misalkan pula L subgrup dari G yang memuat K.
(1) Jika L0 = L, maka f(L0) = f(L).
(2)Jika L = f(L) = {f(x) xL} yaitu peta dari L oleh f, maka L merupakan
subgrup dari G . Jika L subgrup normal dari G, maka L juga merupakan
subgrup normal dari G .
(3) Jika T = {xG f(x) L }, maka T = L.
BUKTI. (1) Jelas, karena untuk setiap yf(L0) juga merupakan unsur di
f(L), demikian sebaliknya. Karena itu f(L0) = f(L).
65
(2) Jelas L = f(L) , karena eL yang menghasilkan f(e) L .
Selanjutnya, jika y1,y2 L , maka terdapat x1,x2L sehingga f(x1) = y1 dan f(x2)
= y2.
y1y2 = f(x1)f(x2) = f(x1x2), dan
y1-1 = f(x1)
-1 = f(x1-1).
Karena L subgrup dari G maka x1x2L dan x1-1L, dengan demikian y1y2 L
dan y1-1 L . Jadi, L subgrup dari G .
Sekarang jika L subgrup normal dari G yang memuat K, misalkan
g G , l L sebarang, maka terdapat gG dan lL sehingga f(g) = g dan
f(l) = l . Karena itu1glg = f(g)f(l)(f(g))-1 = f(g)f(l)f(g-1) = f(glg-1).
Karena L subgrup normal dari G, maka glg-1L. Akibatnya, 1glg L . Jadi,
L merupakan subgrup normal dari G .
(3) Karena L merupakan subgrup dari G , maka menurut Lemma 4.19,
T merupakan subgrup dari G yang memuat K. Selanjutnya, jelas bahwa LT,
karena untuk sebarang lL, f(l) L , yang berarti juga lT. Sebaliknya,
misalkan tT sebarang, maka f(t) L . Karena itu terdapat l0L sehingga f(t) =
f(l0) yang diikuti f(tl0-1) = f(t)f(l0)
-1 = e L . Dengan demikian tl0-1KL.
Akibatnya, tLl = L. Dari sini disimpulkan bahwa TL. Karena kita telah
mempunyai LT, maka T = L.
4.21. LEMMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G pada grup
G , dengan kernel K. Maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan
semua subgrup dari G yang memuat K dengan himpunan subgrup dari G .
BUKTI. Misalkan menyatakan himpunan semua subgrup dari G yang
memuat K dan menyatakan himpunan semua subgrup dari G . Definisikan
66
suatu fungsi f dari ke dalam , dengan pengaitan f(H) = f(H) =
{f(h)G hH}, yaitu peta dari H oleh f, untuk setiap H. Menurut
Lemma 4.20(1), pengaitan ini well-defined atau dengan kata lain, pengaitan
tersebut mendefinisikan suatu pemetaan. Berdasarkan Lemma 4.20(3)
pemetaan f suatu injeksi, dan menurut Lemma 4.19, f merupakan suatu
surjeksi. Dengan demikian, f merupakan suatu korespondensi satu-satu
antara dan .
Lemma 4.21 mengatakan bahwa, jika f suatu pemetaan dari grup G
pada grup G dengan kernel K, maka banyaknya subgrup dari G yang memuat
K sama dengan banyaknya subgrup dari G .
4.22. TEOREMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G pada
grup G dengan kernel K. Misalkan pula N subgrup normal dari G , dan N =
{xG f(x)N }. Maka G/N NG . Secara ekivalen, G/N KN
KG .
BUKTI. Perhatikan diagram berikut.
h
fG
G/N G/N
G
Definisikan pengaitan untuk f, h, , , dan seperti pada diagram berikut.
67
h
fx
Nx Nf(x)
f(x)
Dengan pengaitan seperti diagram di atas, telah ditunjukkan bahwa dan
well-defined. Berdasarkan diagram pengaitan di atas pula, kita disarankan
mendefinisikan suatu pengaitan h dari G ke dalam NG dengan h : x
N f(x), untuk setiap xG. Pertama-tama kita harus tunjukkan bahwa h well-
defined. Untuk itu, misalkan x1,x2G sebarang dengan x1 = x2. Karena itu kita
mempunyai f(x1) = f(x2), dengan demikian h(x1) = N f(x1) = N f(x2) = h(x2).
Jadi, h well-defined.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa h merupakan suatu
homomorfisma. Karena itu, misalkan x1,x2G sebarang.
h(x1x2) = N f(x1x2) = N (f(x1)f(x2)) = ( N f(x1))( N f(x2)) = h(x1)h(x2).
Ini membuktikan bahwa h suatu homomorfisma.
Kemudian akan ditunjukkan bahwa h merupakan suatu surjeksi. Untuk
ini, misalkan Y NG sebarang, dengan Y = yN untuk suatu yG . Karena f
suatu fungsi dari G pada G , maka kita mempunyai yG sehingga f(y) = y .
Dari sini,
h(y) = N f(y) = yN = Y .
Jadi, h suatu surjeksi.
Terakhir kita tinggal menunjukkan bahwa kernel dari h, Kh = N.
Sekarang misalkan xKh sebarang, maka h(x) = N f(x) = N , karena N unsur
identitas dalam NG . Dari sini berarti f(x)N dan karena itu xN. Jadi, Kh
68
N. Sebaliknya, misalkan yN sebarang, maka f(y)N . Karena itu h(y) =
N f(y) = N . Akibatnya yKh, dengan demikian N Kh. Ini melengkapi
pembuktian bahwa Kh = N. Kesimpulan bahwa G/N NG segera kita
peroleh dengan menggunakan Lemma 4.19. Kemudian, karena G/K G , dan
N/K N , maka secara ekivalen kita mempunyai G/N KN
KG .
SOAL – SOAL:
1. Periksalah, pemetaan manakah dari kasus-kasus berikut ini yang merupakan
homopmorfisma? Buktikan kebenaran setiap jawaban yang anda
kemukakan. Jika pemetaannya merupakan suatu homomorfisma,
tentukanlah kernelnya!
a. G adalah grup semua bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian,
G = G, dan f(x) = x2 untuk semua xG.
b. G, G sebagaimana pada (a), dan f(x) = 2x untuk semua xG.
c. G adalah grup semua bilangan real terhadap operasi penjumlahan, G =
G, dan f(x) = x + 1 untuk semua xG.
d. G, G sebagaimana pada (c), dan f(x) = 13x untuk semua xG.
e. G sebarang grup komutatif, G = G, dan f(x) = x5 untuk semua xG.
2. Misalkan G sebarang grup dan g suatu unsur tertentu dalam G.
Didefinisikan fungsi f : G G dengan f(x) = gxg-1 untuk semua xG.
Buktikan bahwa f merupakan isomorfisma dari G pada G.
3. Misalkan V himpunan semua bilangan real, dan untuk bilangan real a, b,
dan a 0 misalkan ab : V V didefinisikan oleh ab(x) = ax + b.
Misalkan G = {aba,b bilangan real, a 0} dan N = {1bG}. Buktikan
69
bahwa N subgrup normal dari G dan G/N grup bilangan real tak nol
dengan operasi perkalian.
4. Misalkan G grup bilangan kompleks tanpa nol dibawah operasi perkalian
dan misalkan N himpunan bilangan kompleks yang modulusnya 1.
Tunjukkanlah bahwa G/N isomorfik dengan grup semua bilangan real
positif dibawah operasi perkalian.
5. Misalkan G grup bilangan kompleks tanpa nol dibawah operasi perkalian,
dan G grup matriks real yang berbentuk
ab
badimana a dan b tidak
keduanya 0 dibawah operasi perkalian matriks. Tunjukkanlah bahwa G
dan G isomorfik.
6. Misalkan G grup bilangan real dibawah operasi penjumlahan dan N
subgrup dari G yang memuat semua bilangan bulat. Buktikanlah bahwa
G/N isomorfik dengan grup semua bilangan kompleks yang modulusnya 1
dibawah operasi perkalian bilangan kompleks.
70
BAB V
AUTOMORFISMA
Pada Bab IV, kita telah mengenal banyak hal tentang homomorfisma
dari suatu grup ke grup lain. Kasus yang cukup menarik adalah pembahasan
tentang homomorfisma dari sutu grup pada grup lain. Lebih khusus lagi, pada
bab ini kita akan mengenal isomorfisma (homomorfisma satu-satu) dari suatu
grup pada grup itu sendiri. Sebagai contoh sederhana, misalkan G grup
bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan, dan didefinisikan pemetaan idG
: G G dengan pengaitan idG(x) = x untuk semua xG. Pada Contoh
4.3(b), idG ini merupakan suatu isomorfisma dari G pada G, dan kemudian idG
ini kita mengenalnya dengan nama homomorfisma identitas.
Untuk pembahasan kita selanjutnya, kita mengawalinya dengan definisi
berikut.
5.1. DEFINISI. Misalkan G grup sebarang. Pemetaan f : G G
dikatakan automorfisma, jika f suatu isomorfisma dari G pada G.
5.2. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup sebarang. Homomorfisma
identitas, idG merupakan isomorfisma dari G pada G (Contoh 4.3(b)), dengan
demikian idG suatu automorfisma dari G.
(b) Misalkan G grup komutatif dan g : G G dengan g(x) = x-1
untuk setiap xG. Jelas g merupakan suatu homomorfisma, karena jika
x1,x2G sebarang, maka
g(x1x2) = (x1x2)-1 = x2
-1x1-1 = x1
-1x2-1 = g(x1)g(x2).
Selanjutnya, jika x1,x2G dengan g(x1) = g(x2), maka
x1 = (x1-1)-1 = g(x1)
-1 = g(x2)-1 = (x2
-1)-1 = x2.
71
Ini menunjukkan bahwa g suatu injeksi. Kemudian, apabila yG sebarang,
maka y-1G, dan g(y-1) = (y-1)-1 = y. Dengan demikian g suatu surjeksi. Karena
itu, g merupakan suatu automorfisma dari G.
(c) Misalkan G grup sebarang, aG, dan misalkan a : G G suatu
pemetaan dengan a(x) = axa-1 untuk setiap xG. Jika x1, x2G sebarang,
maka
a(x1x2) = a(x1x2)a-1 = (ax1a
-1)(ax2a-1) = a(x1)a(x2),
dengan demikian a merupakan suatu homomorfisma. Sekarang, misalkan
kernel dari a adalah K. Jika xK, maka e = a(x) = axa-1, yang diikuti oleh a
= ea = ax. Dengan sifat kanselasi pada G, diperoleh x = e<e>. Dengan
demikian kita mempunyai K<e>. Sebaliknya, secara trivial, karena a suatu
homomorfisma, maka <e> K. Dengan demikian K = <e>. Karena itu,
menurut Teorema Teorema 4.11, a suatu isomorfisma. Selanjutnya, misalkan
yG sebarang, maka dengan memilih x = a-1yaG, kita peroleh
a(x) = axa-1 = a(a-1ya)a-1 = y,
dengan demikian a suatu surjeksi. Karena itu, a suatu isomorfisma dari G
pada G, dengan demikian a automorfisma dari G. Pada contoh ini, a
dinamakan automorfisma dalam dari G yang bersesuaian dengan a.
Sekarang kita misalkan G sebarang grup. Jika kita mengumpulkan
semua automorfisma dari G, maka kita akan mempunyai himpunan semua
automorfisma dari G, kita namakan saja Aut(G). Dari fakta-fakta pada Contoh
5.2, maka kita dapat simpulkan bahwa Aut(G) . Perlu dicermati bahwa
Aut(G) A(G) himpunan dari semua korespondensi satu-satu antara G dan G.
Lemma berikut menjelaskan tentang struktur aljabar dari Aut(G).
72
5.3. LEMMA. Jika G grup, dan misalkan Aut(G) himpunan semua
automorfisma dari G, maka dibawah operasi komposisi fungsi, Aut(G)
membentuk grup.
BUKTI. Untuk menyimpulkan bahwa Aut(G) sebagai grup dibawah
operasi komposisi fungsi-fungsi, cukup kita tunjukkan bahwa Aut(G)
merupakan subgrup dari A(G), karena kita telah ketahui bahwa dengan
operasi ini A(G) membentuk grup. Sehubungan dengan itu, sekarang misalkan
1 dan 2 unsur-unsur dalam Aut(G) sebarang, dan untuk setiap x,yG,
berlaku
1(xy) = 1(x)1(y), dan juga 1(xy) = 2(x)2(y).
Oleh karena itu,
21(xy) = 2(1(xy)) = 2(1(x)1(y)) = 2(1(x))2(1(y))
= 21(x) 21(y).
Ini membuktikan bahwa 21 merupakan homomorfisma dari G ke dalam G.
Selanjutnya, karena 1,2Aut(G)A(G), maka jelaslah 21A(G), dengan
demikian 21Aut(G). Akibatnya, dibawah operasi dalam A(G), Aut(G)
bersifat tertutup
Selanjutnya, karena 1Aut(G) A(G), maka terdapat 1-1A(G)
sedemikian sehingga 11-1 = idG = 1
-11. Akibatnya,
1-1(xy) = 1
-1(idG(x)idG(y)) = 1-1(11
-1(x)11-1(y)
= 1-1(1((1
-1(x)1-1(y))) = 1
-11((1-1(x)1
-1(y))
= idG(1-1(x)1
-1(y)) = 1-1(x)1
-1(y),
dengan demikian 1-1 merupakan homomorfisma dari G ke dalam G. Karena
1-1A(G) juga, maka berarti 1
-1Aut(G). Ini melengkapi pembuktian bahwa
Aut(G) suatu subgrup dari A(G). Akibatnya, dibawah operasi komposisi
fungsi-fungsi, Aut(G) membentuk grup.
73
5.4. LEMMA. Terdapat automorfisma non-trivial dari sebarang grup G.
BUKTI. Misalkan G grup sebarang. Jika G grup komutatif, maka
perhatikan kembali Contoh 5.2(b), yang meperlihatkan bahwa fungsi g suatu
automorfisma dari grup abelian G. Jika terdapat x0G sedemikian sehingga x0
x0-1, maka g(x0) = x0
-1 x0, dengan demikian g idG. Apabila G grup non-
abelian, maka perhatikan pula Contoh 5.2(c) yang telah memperlihatkan
kepada kita bahwa a merupakan automorfisma dari G yang bersesuaian
dengan suatu aG. Karena G non-Abelian, maka terdapat a,bG sedemikian
sehingga ab ba, dengan demikian a(b) = aba-1 b, yang mengakibatkan a
idG. Dari kedua kasus tersebut di atas, maka kita peroleh fakta bahwa untuk
sebarang grup G (baik abelian maupun non-abelian) selalu terdapat
automorfisma non-trivial dari G, yaitu autoforfisma yang bukan
homomorfisma (yang pada akhirnya automorfisma) identitas
5.5. LEMMA. Misalkan Autd(G) = {aAut(G) aG}, yaitu himpunan
semua automorfisma dalam dari G yang besesuaan dengan aG, a. maka
Autd(G) merupakan subgrup dari Aut(G).
Autd(G) ini disebut grup automorfisma dalam dari G.
BUKTI. Telah diperlihatkan pada Lemma 5.4, bahwa Autd(G) .
Sekarang, misalkan a,bAutd(G) sebarang. Untuk setiap xG berlaku
(ab)(x) = a(b(x)) = a(bxb-1) = a(bxb-1)a-1 = (ab)x(b-1a-1)
= (ab)x(ab)-1 = ab(x).
Ini menunjukkan bahwa ab = abAutd(G), dengan demikian Autd(G)
tertutup terhadap operasi dalam Aut(G). Selanjutnya, perhatikan bahwa a-
1Aut(G). Untuk setiap xG, berlaku
aa-1(x) = a(a
-1(x)) = a(a-1x(a-1)-1) = a(a-1x(a-1)-1)a-1
74
= (aa-1)x((a-1)-1)a-1 = x = idG(x),
dan juga
1a a(x) = 1a
(a(x)) = 1a (axa-1) = a-1(axa-1)(a-1)-1
= (a-1a)x((a-1)(a-1)-1) = x = idG(x),
dengan demikian (a)-1 = 1a
Autd(G). Ini melengkapi pembuktian Lemma
5.5.
5.6 LEMMA. Misalkan G sebarang grup, Autd(G) grup semua
automorfisma dalam dari G, dan Z center dari G. Maka Autd(G) G/Z.
BUKTI. Bangun suatu pengaitan dari G ke dalam Autd(G) dengan :
x x, untuk setiap xG. Jika x1,x2G, sedemikian sehingga x1 = x2, maka
untuk setiap xG berlaku
(x1)(x) =1x (x) = x1xx1
-1 = x2xx2-1 =
2x (x) = (x2)(x).
Ini menunjukkan bahwa (x1) = (x2), dengan demikian berarti bahwa
suatu pemetaan.
Sekarang, pandang pemetaan : G Autd(G), dengan pengaitan
(x) = x, untuk semua xG. Misalkan x1,x2G sebarang. Untuk semua gG
berlaku
((x1)(x2))(g) =1x
2x (g) =1x (x2gx1
-1) = x1(x2gx2-1)x1
-1
= (x1x2)g(x2-1x1
-1) = (x1x2)g(x1x2) = 21xx (g)
= (x1x2)(g).
Ini mengatakan bahwa (x1x2) = (x1)(x2), karena itu merupakan
homomorfisma.
Selanjutnya, misalkan YAutd(G) sebarang, misalkan Y = b untuk
suatu bG. Pilih a = bG, sehingga untuk setiap xG berlaku
75
(a)(x) = a(x) = axa-1 = bxb-1 = b(x) = Y(x),
dan ini mengatakan bahwa suatu surjeksi.
Terakhir, misalkan kernal dari adalah K. Jika yK, maka untuk setiap
gG berlaku (y)(g) = idG(g) = g. Di pihak lain, (y)(g) = y(g) = ygy-1,
dengan demikian g = ygy-1. Dari sini kita mempunyai gy = yg untuk semua
gG, yang memberikan arti bahwa yZ, karena Z center dari G dan akibatnya
KZ. Sebaliknya, apabila zZ, maka berarti zg = gz untuk semua gG,
dengan demikian untuk setiap gG, diperoleh
(z)(g) = z(g) = zgz-1 = gzz-1 = g = idG(g).
Ini menunjukkan bahwa (z) = idG, mengikuti ini diperoleh bahwa zK.
Dengan demikian ZK Kesimpulannya, Z = K. Kesimpulan bahwa G/Z
Autd(G) diperoleh setelah menerapkan Teorema 4.18.
5.7. LEMMA. Misalkan G suatu grup dan f automorfisma dari G. Jika
aG dengan o(a) = n untuk suatu bilangan bulat positif n, maka o(f(a)) =
o(a).
BUKTI. Misalkan a unsur dalam grup G, dengan o(a) = n. Karena f
automorfisma, maka (f(a))n = f(an) = f(e) = e. Sementara itu apabila (f(a))m = e
untuk suatu bilangan bulat sedemikian sehingga 0 < m < n, maka f(am) =
(f(a))m = = e = f(e). Karena f suatu isoomorfisma, maka am = e. Hasil ini
kontradiksi dengan hipotesis bahwa an = e, dimana n bilangan bulat positif,
dengan demikian maka haruslah o(f(a)) = o(a).
SOAL-SOAL
76
1. Periksalah, pemetaan manakah dari kasus-kasus berikut ini yang merupakan
automorfisma dari grup yang diberikan? Buktikan kebenaran setiap jawaban
yang anda kemukakan.
a. G, grup semua bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, dan T(x) =
- x untuk semua xG.
b. G, grup semua bilangan rel positif terhadap operasi perkalian, dan T(x)
= x2 untuk semua xG.
c. G, grup siklik orde 12, dan T(x) = x3 untuk semua xG.
d. G = S3, dan T(x) = x-1 untuk semua xG.
2. Misalkan G grup, gG, dan : G G suatu pemetaan dengan (t) = g-
1tg untuk setiap tG. Tunjukkan bahwa
a. merupakan automorfisma dari G.
b. bukan automorfisma dalam dari G yang bersesuaian dengan g.
Selanjutnya berikanlah syarat perlu sehingga menjadi automorfisma
dalam dari G yang bersesuaian dengan g.
3. Misalkan G grup, dan H subgrup dari G, suatu automorfisma dari G. Jika
(H) = {(h) hH}, maka buktikanlah bahwa (H) subgrup dari G.
4. Misalkan G grup, T suatu automorfisma dari G, dan N subgrup normal dari
G. Jika T(N) = {T(n) nN}, maka buktikanlah bahwa T(N) merupakan
subgrup normal dari G.
5. Buktikan bahwa jika G = S3, maka G Autd(G).
6. Misalkan G grup. Buktikanlah bahwa Autd(G) merupakan subgrup normal
dari Aut(G).
7. Misalkan G grup orde 4, G = {e, a, b, ab}, a2 = b2 = e, ab = ba. Tentukanlah
Aut(G).
77
8. Misalkan G grup dan Z center dari G. Jika automorfisma dari G,
buktikanlah bahwa (Z) Z.
9. Misalkan G grup dan suatu automorfisma dari G. Jika untuk aG, N(a) =
{xG xa = ax}, buktikanlah bahwa N((a)) = (N(a)).