ELASTISITASTeori, Aplikasi, dan numeric

MARTIN H. SADD Profesor, Universitas Rhode Island Departemen Teknik Mesin dan Mekanika Terapan Kingston, Rhode Island

AMSTERDAM. BOSTON. HEIDELBERG. LONDON. NEW YORK PARIS OXFORD SAN DIEGO SAN FRANCISCO SINGAPURA TOKYO SYDNEY Elsevier Butterworth-Heinemann 200 Wheeler Road, Burlington, MA 01803, USA Linacre House, Jordan Hill, Oxford Inggris OX2 8DP, Hak Cipta # 2005, Elsevier Inc All rights reserved. Tidak ada bagian dari publikasi ini yang boleh direproduksi, disimpan dalam sistem pencarian, atau ditransmisikan dalam bentuk apapun atau dengan cara apapun, elektronik, mekanik, fotokopi, rekaman, atau sebaliknya, tanpa izin tertulis dari penerbit. Perizinan dapat dicari langsung dari Elsevier's Sains & Teknologi Hak Departemen di Oxford, UK: telepon: (44) 1865 843830, fax: (44) 1865 853333, e-mail: permissions@elsevier.com.uk. Anda juga dapat menyelesaikan permintaan Anda on-line melalui situs Elsevier (http://www.elsevier.com), dengan memilih''Pelanggan Dukungan''kemudian''Mendapatkan Permissions.'' Menyadari pentingnya melestarikan apa yang telah ditulis, Elsevier mencetak buku pada kertas bebas asam bila memungkinkan. Data Perpustakaan Kongres dalam Katalog-Publikasi ISBN 0-12-605811-3 British Library Katalog-in-Publikasi Data Sebuah catatan katalog untuk buku ini tersedia dari Perpustakaan British. (Aplikasi diajukan) Untuk informasi mengenai semua publikasi Butterworth-Heinemann kunjungi situs Web kami di www.bh.com 04 05 06 07 08 09 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Dicetak di Amerika Serikat 1

Kata pengantarTeks ini adalah hasil dari catatan kuliah yang saya gunakan dalam mengajar urutan dua-kursus dalam teori elastisitas. Bagian I dari teks ini dirancang terutama untuk kursus pertama, biasanya diambil dengan awal mahasiswa pascasarjana dari berbagai disiplin ilmu teknik. Tujuan dari kursus pertama adalah untuk memperkenalkan pada siswa terhadap teori dan formulasi dan menghadirkan solusi untuk beberapa masalah dasar. Dengan cara ini, siswa melihat bagaimana dan mengapa model elastisitas lebih mendasar deformasi harus mengganti kekuatan dasar analisis bahan. Kursus pertama juga memberikan landasan untuk studi lebih lanjut di daerah terkait mekanika padat. bahan lebih canggih termasuk dalam Bagian II biasanya digunakan untuk kursus kedua yang diambil oleh mahasiswa tahun ketiga dan kedua. Namun, bagian-bagian tertentu dari bagian kedua dapat dengan mudah diintegrasikan ke dalam kursus pertama. Jadi apa pembenaran entri saya yang lain teks dalam bidang elastisitas? Selama bertahun-tahun, saya telah mengajar di teknik material ini beberapa sekolah AS, industri terkait, dan instansi pemerintah. Selama waktu ini, teori dasar tetap sama, namun, perubahan dalam pemecahan masalah penekanan, aplikasi penelitian, numerik / metode komputasi, rekayasa dan pedagogi pendidikan telah menciptakan kebutuhan untuk pendekatan baru untuk subjek. Penulis telah menemukan bahwa judul buku saat ini umumnya kurang presentasi ringkas dan terorganisir teori, format yang tepat untuk digunakan pendidikan, aplikasi signifikan di daerah kontemporer, dan antarmuka numerik untuk membantu memahami dan mengembangkan solusi. Presentasi elastisitas dalam buku ini mencerminkan kata-kata yang digunakan dalam judul-Teori, Aplikasi dan numeric. Karena teori menyediakan landasan dasar bidang ini, penting untuk pertama-tama memberikan pengembangan teoritis suara elastisitas dengan ketelitian yang cukup untuk memberikan siswa dasar yang baik untuk pengembangan solusi untuk kelas macam masalah. Pengembangan teoritis dilakukan secara terorganisir dan ringkas agar tidak kehilangan perhatian siswa kurang-matematis atau cenderung fokus aplikasi. Dengan tujuan utama dari pemecahan masalah kepentingan rekayasa, teks ini menawarkan berbagai aplikasi di daerah kontemporer, termasuk bahan anisotropik komposit dan fungsional dinilai, mekanika fraktur, pemodelan micromechanics, masalah thermoelastic, dan computational metode elemen hingga dan batas. Banyak contoh soal diselesaikan dan latihan termasuk dalam semua bab. Apa yang mungkin aspek yang paling unik dari teks adalah penggunaan terpadu numeric. Dengan mengambil pendekatan bahwa aplikasi teori perlu diamati melalui perhitungan dan tampilan grafis, numeric dicapai melalui menggunakan v dari MATLAB, salah satu paket yang paling populer rekayasa perangkat lunak. Perangkat lunak ini digunakan di seluruh teks untuk aplikasi seperti: transformasi tegangan dan regangan, evaluasi dan perbandingan merencanakan distribusi stres dan perpindahan, perhitungan elemen hingga, dan membuat antara kekuatan bahan, dan solusi elastisitas analitis dan numerik. Dengan evaluasi numerik dan grafis, masalah aplikasi menjadi lebih menarik dan bermanfaat untuk belajar siswa.

2

Isi TeksBuku ini dibagi menjadi dua bagian utama, yang pertama menekankan rincian formulasi dan aplikasi elemen-militer. Bab 1 menyediakan latar belakang matematika untuk perumusan elastisitas melalui review dari skalar, vektor, dan tensor teori lapangan. Indeks notasi tensor kartesian diperkenalkan dan digunakan di seluruh bagian perumusan buku. Bab 2 meliputi analisis regangan dan perpindahan dalam konteks teori deformasi kecil. Konsep kompatibilitas regangan juga disajikan dalam bab ini. Pasukan, menekankan, dan keseimbangan dikembangkan dalam Bab 3. Bahan perilaku elastis linier yang mengarah ke hukum Hook umum adalah dibahas dalam Bab 4. Bab ini juga mencakup diskusi singkat tentang bentuk konstitutif non-homogen, anisotropik, dan thermoelastic. Kemudian bab lebih lengkap menyelidiki bahan anisotropik dan thermoelastic. Bab 5 mengumpulkan persamaan diturunkan sebelumnya dan merumuskan masalah nilai batas dasar teori elastisitas. Pemindahan dan formulasi stres dibuat dan strategi solusi umum disajikan. Ini merupakan bab yang penting bagi siswa untuk menempatkan teori bersama-sama. Bab 6 menyajikan energi regangan dan prinsip-prinsip yang terkait termasuk teorema timbal balik, kerja virtual, dan energi potensial dan gratis minimum. formulasi Duadimensi plane strain, plane stress, dan regangan anti-pesawat diberikan dalam Bab 7. Sebuah set luas solusi untuk masalah dua dimensi tertentu ini kemudian dipresentasikan pada Bab 8, dan berbagai aplikasi MATLAB-but merupakan digunakan untuk menunjukkan hasil. solusi analitik adalah lanjutan dalam Bab 9 untuk perpanjangan Saint-Venant, torsi, dan masalah lentur. Materi dalam Bagian I menyediakan inti untuk kursus awal semester satu suara di elastisitas dikembangkan secara logis dan teratur. Dipilih bagian dari bagian kedua buku ini juga dapat dimasukkan dalam seperti kursus dimulai.

Bagian II dari teks meneruskan studi ke topik yang lebih maju biasanya tercakup dalam kursus kedua pada elastisitas. Metode yang kuat variabel kompleks untuk masalah pesawat disajikan di Bab 10, dan beberapa aplikasi mekanika fraktur diberikan. Bab II memperluas teori isotropic sebelumnya ke dalam perilaku padatan anisotropik dengan penekanan untuk bahan komposit. Ini adalah sebuah aplikasi yang penting, dan, sekali lagi, contoh-contoh yang berkaitan dengan mekanika fraktur disediakan. Pengantar thermoelasticity dikembangkan dalam Bab 12, dan beberapa masalah aplikasi spesifik yang dibahas, termasuk konsentrasi tegangan dan masalah retak. metode Potensi termasuk potensi perpindahan dan fungsi stres disajikan dalam Bab 13. Metode ini digunakan untuk mengembangkan beberapa solusi elastisitas tiga-dimensi. Bab 14 menyajikan koleksi unik aplikasi elastisitas untuk masalah yang melibatkan pemodelan micromechanics. Termasuk dalam bab ini adalah aplikasi untuk pemodelan dislokasi, menyatakan stres tunggal, padat dengan retak didistribusikan, dan micropolar, void didistribusikan, dan doublet teori mekanika. Bab terakhir 15 memberikan pengenalan singkat dengan metode numerik yang kuat teknik elemen hingga dan batas. Meskipun hanya teori dua-dimensi yang dikembangkan, hasil numerik pada contoh soal memberikan perbandingan yang menarik dengan solusi analitis sebelumnya yang dihasilkan dari bab-bab sebelumnya.

3

SubjekElastisitas merupakan suatu hal yang elegan dan menarik yang berhubungan dengan penentuan strain, stres, dan distribusi perpindahan dalam padat elastis di bawah pengaruh kekuatan-kekuatan eksternal. Mengikuti asumsi biasa linier, teori deformasi kecil, yang estab formulasi-lishes model matematis yang memungkinkan solusi untuk masalah yang memiliki aplikasi dalam berbagai teknik dan bidang ilmiah. aplikasi Teknik Sipil mencakup kontribusi penting Iradiasi memajukan stres dan analisis defleksi struktur termasuk batang, balok, pelat, dan kerang. Aplikasi tambahan terletak pada geomekanika melibatkan tegangan pada material seperti tanah, batu, beton, dan aspal. Teknik Mesin menggunakan elastisitas dalam banyak masalah dalam analisis dan desain elemen mesin. Aplikasi ini meliputi analisis stress umum, hubungi menekankan, analisis tegangan termal, mekanika fraktur, dan kelelahan. Bahan rekayasa menggunakan elastisitas untuk menentukan bidang stres dalam padatan kristal, sekitar dislokasi dan bahan dengan struktur mikro. Aplikasi di bidang teknik penerbangan dan ruang angkasa termasuk stres, fraktur, dan analisis kelelahan pada aerostructures. subjek ini juga menyediakan dasar untuk bekerja lebih maju dalam perilaku material inelastis termasuk plastisitas dan viscoe-lasticity, dan untuk mempelajari analisa tegangan komputasi menggunakan metode elemen hingga dan batas.

Teori Elastisitas menetapkan model matematika dari masalah deformasi, dan hal ini membutuhkan pengetahuan matematika untuk memahami prosedur formulasi dan solusi. persamaan diferensial parsial Pemerintahan lapangan dikembangkan dengan menggunakan prinsip dasar mekanika continuum biasanya dirumuskan dalam bahasa vektor dan tensor. Teknik yang digunakan untuk memecahkan persamaan tersebut dapat mencakup bidang metode Fourier, kalkulus variasi, mengubah integral, variabel kompleks, teori potensi, perbedaan hingga, elemen hingga, dll Dalam rangka mempersiapkan siswa untuk subjek ini, teks menyediakan review banyak topik matematika, dan referensi tambahan yang diberikan untuk studi lebih lanjut. Adalah penting bahwa siswa yang siap untuk perkembangan teoritis, atau kalau tidak mereka tidak akan mampu untuk memahami formulasi rincian yang diperlukan. Tentu saja dengan penekanan pada aplikasi, kita akan konsentrasi-trate pada teori yang paling berguna untuk solusi masalah.

Konsep hubungan gaya-deformasi elastis pertama kali diusulkan oleh Robert Hooke pada 1678. Namun, perumusan utama dari teori matematika elastisitas tidak dikembangkan sampai abad ke-19. Pada tahun 1821 Navier disajikan penyelidikan tentang persamaan umum keseimbangan, dan ini segera diikuti oleh Cauchy yang mempelajari persamaan elastisitas dasar dan mengembangkan notasi tegangan pada suatu titik. Sebuah daftar panjang dari para ilmuwan terkemuka dan matematikawan melanjutkan pengembangan teori termasuk Bernoulli, Lord Kelvin, Poisson,, Lame 'Green, Saint-Venant, Betti, Airy, Kirchhoff, Lord Rayleigh, Cinta, Timoshenko, Kolosoff, Muskhelishvilli, dan lain-lain . Selama dua dekade setelah Perang Dunia II, penelitian elastisitas menghasilkan sejumlah besar solusi analitis untuk masalah tertentu yang menarik rekayasa. 1970-an dan 1980-an termasuk pekerjaan yang cukup besar pada metode numerik menggunakan teori elemen hingga dan batas. Selain itu, selama periode ini, aplikasi elastisitas diarahkan pada bahan anisotropik untuk aplikasi untuk komposit. Baru-baru ini, elastisitas 4

telah digunakan dalam pemodelan mikromekanik bahan dengan cacat internal atau heterogenitas. Kelahiran kembali dari mekanika kontinum modern pada tahun 1960 menyebabkan penelaahan atas dasar elastisitas dan telah mendirikan tempat rasional untuk teori dalam kerangka umum. Rincian historis dapat ditemukan dalam teks oleh: Todhunter dan Pearson, Sejarah Teori Elastisitas, Cinta, A Treatise on Teori Matematika Elastisitas, dan Timoshenko, Sebuah Sejarah Kekuatan Bahan.

Latihan dan Dukungan WebDari catatan khusus dalam kaitannya dengan teks ini adalah penggunaan latihan dan situs web penerbit, www.books.elsevier.com. Banyak latihan disediakan pada akhir setiap bab untuk tugas pekerjaan rumah untuk melibatkan siswa dengan materi pelajaran. Latihan ini juga menyediakan alat yang ideal untuk instruktur untuk menyajikan contoh aplikasi tambahan selama kelas kuliah. Banyak tempat dalam teks mengacu pada latihan tertentu yang bekerja di luar rincian untuk masalah tertentu. Latihan ditandai dengan tanda bintang (*) menunjukkan masalah yang membutuhkan metode numerik dan merencanakan menggunakan perangkat lunak MATLAB disarankan. Solusi untuk semua latihan disediakan on-line di situs web penerbit, sehingga memberikan instruktur dengan bantuan yang cukup besar dalam memutuskan masalah yang harus ditugaskan untuk pekerjaan rumah dan mereka akan dibahas di kelas. Selain itu, download software MATLAB juga tersedia untuk membantu para siswa dan instruktur dalam mengembangkan kode untuk penggunaan khusus mereka sendiri, sehingga memungkinkan integrasi yang mudah dari numeric.

Umpan balikPenulis sangat tertarik pada perbaikan berkesinambungan dari pendidikan teknik dan sangat menyambut umpan balik dari pengguna teks ini. Silahkan mengirim komentar sehubungan dengan perbaikan yang disarankan atau koreksi melalui permukaan atau e-mail (sadd@egr.uri.edu). Kemungkinan bahwa umpan balik tersebut akan berbagi dengan masyarakat teks pengguna melalui situs web penerbit.

5

Ucapan Terima Kasih.Banyak orang pantas pengakuan untuk membantu kelulusan dari buku ini. Pertama, saya ingin mengakui banyak mahasiswa pascasarjana yang telah duduk di kelas elastisitas saya. Mereka adalah terusmenerus sumber tantangan dan inspirasi, dan tentunya mempengaruhi upaya saya untuk menemukan cara yang lebih baik untuk menyajikan materi ini. Sebuah pengakuan yang sangat khusus pergi ke satu siswa tertentu, Ms Qingli Dai, yang mengembangkan sebagian besar solusi latihan dan melakukan cukup proofreading. Beberapa gambar fotoelastis telah berbaik hati pro-yang diberikan oleh Photomechanics Dinamis kita Laboratorium. Pengembangan dan mendukung produksi dari staf beberapa Elsevier adalah sangat dihargai. Saya juga ingin berterima kasih dukungan dari lembaga saya, University of Rhode Island untuk pemberian saya meninggalkan cuti untuk menyelesaikan teks. Akhirnya, terima kasih khusus kepada istri saya, Eve, karena pasien dengan periode besar saya persiapan naskah. Buku ini didedikasikan untuk almarhum Profesor Marvin Stippes dari University of Illinois, yang pertama kali menunjukkan keanggunan dan keindahan subjek. kerapian-Nya, kejelasan, dan pemahaman yang tak terbatas jelas elastisitas tidak akan pernah dilupakan oleh murid-muridnya. Martin H. Sadd Kingston, Rhode Island Jun 2004

6

Daftar isiBAGIAN I DASAR-DASAR DAN APLIKASI DASAR1 Matematika Pendahuluan 1.1 Skalar, Vektor, Matrix, dan Tensor Definisi 1.2 Indeks Notasi 1.3 Delta Kronecker dan bolak Simbol 1.4 Transformasi Koordinat 1,5 Cartesian tensor 1.6 Pokok Nilai dan Arah untuk tensor Kedua-Order Symmetric 1,7 Vector, Matrix, dan Aljabar Tensor 1.8 Kalkulus tensor Cartesian 1,9 lengkung Orthogonal Koordinat 2 Deformasi: perpindahan dan Strain 2.1 Umum deformasi 2.2 Konstruksi Geometris Teori Deformasi Kecil 2.3 Transformasi Strain 2.4 Pokok Strain 2,5 Spherical dan deviatorik Strain 2.6 Strain Kompatibilitas 2.7 Silinder lengkung dan bundar Koordinat

13 3 4 6 7 9 12 15 16 19 27 27 30 34 35 36 37 41

3 Stres dan Equilibrium 3.1 Tubuh dan Permukaan Angkatan 3.2 Traksi vektor dan Stress Tensor 3.3 Transformasi Stres 3.4 Pokok Menekankan 3.5 deviatorik Spherical dan Menekankan 3.6 Persamaan Equilibrium 3.7 Hubungan dalam lengkung dan bundar Koordinat Silinder

49 49 51 54 55 58 59 61

4 Bahan elastis Solids Perilaku-Linear 4.1 Bahan Karakterisasi 4.2 Linear Elastis Bahan-Hooke Hukum 4.3 Fisik Arti Modulus Elastis 4.4 Hubungan Konstitutif Thermoelastic

69 69 71 74 77

7

5 Perumusan Strategi dan Solusi 5.1 Tinjauan Persamaan Lapangan 5.2 Batas Kondisi dan Klasifikasi Masalah Mendasar 5.3 Formulasi Stres 5.4 Pemindahan Formulasi 5.5 Prinsip Superposisi 5.6 Saint-Venant's Principle 5.7Strategi Solusi Umum

83 83 84 88 89 91 92 93

6 Saring Energi dan Prinsip Terkait 6.1 Energi Strain 6.2 Keunikan dari Elastisitas Masalah Nilai Batas 6.3 Bounds pada Konstanta elastis 6.4 Integral Teorema Terkait 6.5 Prinsip Kerja Virtual 6.6 Prinsip Energi Potensial dan komplementer Minimum 6,7 Rayleigh-Ritz Metode 7 Dua-Dimensi Perumusan 7.1 Plane Strain 7.2 Plane Stress 7.3 Generalized Plane Stress 7.4 Antiplane Strain 7.5 Fungsi Airy Stress 7.6 Koordinat Polar Perumusan 8 Masalah Dua-Dimensi Solusi 8.1 Koordinat Cartesian Solusi Menggunakan polinomial 8.2 Koordinat Cartesian Solusi Menggunakan Metode Fourier 8.3 Solusi Umum di Koordinat Polar 8.4 Koordinat Polar Solusi 9 Extension, Torsi, dan lentur elastis Silinder 9.1 Formulasi Umum 9.2 Extension Formulasi 9.3 Torsi Formulasi 9.4 Torsi Solusi Berasal dari Persamaan Batas Solusi 9,5 Torsi Menggunakan Metode Fourier 9.6 Torsi Silinder Dengan Bagian Hollow 9.7 Torsi Poros Edaran Variabel Diameter 9,8 lentur Formulasi 9,9 lentur Masalah Tanpa Twist

103 103 108 109 110 112 114 118 123 123 126 129 131 132 133 139 139 149 157 160 201 201 202 203 213 219 223 227 229 233 8

BAGIAN II ADVANCED APLIKASI10 Metode Variabel Kompleks 10.1 Tinjauan Teori Variabel Kompleks 10,2 Kompleks Penyusunan Soal Elastisitas Plane Kondisi 10.3 Batas Resultan 10.4 Struktur Umum Potensi Kompleks 10.5 Contoh Domain Edaran 10,6 Plane dan Masalah Half-Plane 10,7 Aplikasi Menggunakan Metode Pemetaan Konform 10.8 Aplikasi untuk retak Mekanika 10.9Westergaard Metode Analisis Crack 11 anisotropik Elastisitas 11.1 Konsep Dasar 11.2 Bahan Simetri 11.3 Pembatasan Modulus elastis 11.4 Torsi Solid Memiliki Plane of Symmetry Bahan 11.5 Masalah Deformasi Plane 11,6 Aplikasi untuk retak Mekanika

243245 245 252 256 257 259 264 269 274 277 283 283 285 291 292 299 312

12 Thermoelasticity 12.1 Panas Konduksi dan Persamaan Energi 12.2 Uncoupled Formulasi Umum 12.3 Dua-Dimensi Perumusan 12.4 Pemindahan Solusi Potensi 12,5 Stres Fungsi Perumusan 12.6 Mengkoordinasikan Perumusan Polar 12.7 radial Symmetric Masalah 12.8 Metode Variabel Kompleks Masalah Plane

319 319 321 322 325 326 329 330 334

13 Pemindahan Potensi dan Fungsi Stress 13.1 Helmholtz Pemindahan Representasi Vektor 13.2 Lame''s Potensi Strain 13.3 Representasi Vektor Galerkin 13.4 Papkovich-Neuber Representasi 13,5 Koordinat Formulasi bundar 13,6 Stres Fungsi

347 347 348 349 354 358 363

9

14 Micromechanics Aplikasi 14.1 Dislokasi Pemodelan 14.2 Amerika Stres Singular 14.3 Teori Elastisitas dengan Celah Terdistribusi 14,4 Micropolar / Pasangan-Stress Elastisitas 14,5 Teori Elastisitas dengan Void 14.6 Doublet Mekanika

371 372 376 385 388 397 403

15 Metode Numerik Elemen Hingga dan Batas 15,1 Dasar-dasar Metode Elemen Hingga 15.2 Fungsi untuk Kurang lebih Dua-Dimensi Elemen segitiga Linier 15,3 Formulasi Kerja Virtual untuk Elastisitas Plane 15.4 Masalah Aplikasi FEM 15,5 Aplikasi Kode FEM 15.6 Batas Formulasi Elemen

413 414 416 418 422 424 429

Lampiran A Persamaan Lapangan Dasar di Cartesian, Silindris, dan bundar Koordinat Lampiran B Transformasi Variabel Lapangan Antara Cartesian, Silinder, dan Komponen Spherical Lampiran C MATLAB Primer

437 442 445

10

Tentang PenulisMartin H. Sadd adalah Profesor Teknik Mesin & Terapan Mekanika di pusat-universitas dari Rhode Island. Dia menerima gelar Ph.D. di Mekanika dari Institut Teknologi Illinois pada tahun 1971 dan kemudian memulai karir akademik di Mississippi State University. Dalam 1979 ia bergabung dengan fakultas di Rhode Island dan menjabat sebagai ketua departemen 1991-2000. latar belakang mengajar Dr Sadd adalah di bidang mekanika padat dengan penekanan dalam elastisitas, mekanika kontinum, propagasi gelombang, dan metode komputasi. Dia telah mengajar elastisitas di dua institusi akademik, beberapa industri, dan di laboratorium pemerintah. Penelitian Profesor Sadd telah berada di bidang komputasi pemodelan bahan pada kondisi beban statis dan dinamis menggunakan terbatas, batas, dan metode elemen diskrit. Sebagian besar karyanya telah melibatkan pemodelan mikromekanik dari geomaterials termasuk tanah granular, rock, dan beton. Dia telah menulis lebih dari 70 publikasi dan telah memberikan banyak presentasi pada pertemuan nasional dan internasional.

11

Bagian I : DASAR-DASAR DAN APLIKASI DASAR1 Matematika PendahuluanMirip dengan teori bidang lain seperti mekanika fluida, konduksi panas, dan elektromagnetik, studi dan penerapan teori elastisitas membutuhkan pengetahuan tentang beberapa daerah matematika diterapkan. Teori ini diformulasikan dalam bentuk berbagai variabel termasuk skalar, vektor, dan bidang tensor, dan ini panggilan untuk penggunaan notasi tensor bersama dengan tensor aljabar dan kalkulus. Melalui penggunaan prinsip-prinsip tertentu dari mekanika kontinum, teori ini dikembangkan sebagai sistem persamaan diferensial parsial bidang yang akan diselesaikan di daerah ruang bertepatan dengan tubuh yang diteliti. Solusi teknik yang digunakan pada persamaan ini lapangan umumnya menggunakan metode Fourier, teknik variasi, mengubah integral, variabel kompleks, teori potensi, perbedaan terbatas, dan elemen hingga dan batas. Oleh karena itu, untuk mengembangkan metode dan teknik formulasi solusi yang tepat untuk masalah elastisitas, maka perlu memiliki latar belakang matematika yang sesuai. Tujuan awal bab ini adalah untuk memberikan latar belakang terutama untuk bagian perumusan penelitian kami. Tambahan review topik matematika lain yang berkaitan dengan teknik pemecahan masalah yang diberikan dalam bab-bab selanjutnya di mana mereka harus diterapkan.

1.1 Skalar, Vektor, Matrix, dan Definisi Tensor Teori Elastisitas diformulasikan dalam bentuk berbagai jenis variabel yang baik yang ditentukan atau dicari pada titik-titik spasial dalam tubuh yang diteliti. Beberapa dari variabel ini besaran skalar, mewakili berkekuatan tunggal pada setiap titik dalam ruang. Contoh umum termasuk modulus material densitas r dan materi seperti E modulus Young, Poisson ratio n, atau modulus geser m. Variabel lain yang menarik adalah vektor jumlah yang yg dpt dinyatakan dalam hal komponen dalam sistem koordinat dua atau tiga dimensi. Contoh variabel vektor adalah perpindahan dan rotasi poin material dalam kontinum elastis. Formulasi dalam teori juga memerlukan kebutuhan untuk variabel matriks, yang biasanya membutuhkan lebih dari tiga komponen untuk diukur. Contoh variabel tersebut termasuk stres dan ketegangan. Seperti ditunjukkan dalam bab-bab berikutnya, sebuah formulasi tiga-dimensi memerlukan sembilan komponen (hanya enam adalah independen) untuk menghitung tegangan atau regangan pada suatu titik. Untuk kasus ini, variabel biasanya dinyatakan dalam format matriks dengan tiga baris dan tiga kolom. Untuk meringkas diskusi ini, dalam beberapa variabel sistem koordinat Kartesius, skalar, vektor, dan matriks tiga dimensi sehingga dapat ditulis sebagai berikut:

12

dimana e1, e2, e3 adalah vektor satuan yang biasa dasar dalam koordinat arah. Dengan demikian, skalar, vektor, dan matriks ditentukan oleh satu, tiga, dan sembilan komponen, masing-masing. Perumusan masalah elastisitas tidak hanya melibatkan jenis variabel, tetapi juga mencakup jumlah tambahan yang memerlukan komponen bahkan lebih untuk karakterisasi. Karena itu, teori medan kebanyakan seperti elastisitas menggunakan sebuah formalisme tensor menggunakan notasi indeks. Hal ini memungkinkan representasi yang efisien dari semua variabel dan persamaan menggunakan skema standar tunggal. Konsep tensor didefinisikan lebih tepatnya di bagian berikutnya, tetapi untuk sekarang kita hanya dapat mengatakan bahwa skalar, vektor, matriks, dan tingkat tinggi variabel semua bisa diwakili oleh tensor berbagai pesanan. Sekarang kita lanjutkan dengan suatu diskusi mengenai aturan notasi order untuk formalisme tensor. Informasi tambahan tentang tensor dan notasi indeks dapat ditemukan dalam banyak teks seperti Goodbody (1982) atau Chandrasekharaiah dan Debnath (1994).

1.2 Notasi Indeks Indeks notasi merupakan skema singkat dimana keseluruhan himpunan bilangan (elemen atau-compon Ent) diwakili oleh simbol tunggal dengan subscript. Sebagai contoh, tiga angka a1, a2, a3 ditandai oleh ai simbol, dimana indeks i biasanya akan memiliki rentang 1, 2, 3. Dalam cara yang sama, aij merupakan sembilan nomor a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33. Meskipun representasi ini dapat ditulis dengan cara apapun, adalah umum untuk menggunakan skema yang berkaitan dengan vektor dan format matriks sehingga.

Dalam format matriks, a1j merupakan baris pertama, sedangkan ai1 menunjukkan kolom pertama. kolom dan baris lain yang ditunjukkan dalam cara yang sama, dan dengan demikian indeks pertama mewakili baris, sedangkan indeks kedua menyatakan kolom. Secara umum a disimbolkan aijk dengan N merupakan sebuah indeks, sedangkan 3N merupakan nomor yang berbeda. Harus jelas bahwa ai dan aj mewakili tiga angka yang sama, dan juga aij dan amn menandakan matriks yang sama. Penambahan, pengurangan, perkalian, dan kesetaraan simbol indeks yang didefinisikan dalam model normal. Misalnya, penambahan dan pengurangan dapat di tuliskan oleh

13

dan perkalian skalar dapat dituliskan sebagai berikut

Sebuah perkalian dengan dua simbol dengan indeks yang berbeda disebut perkalian luar, dan dimodelkan secara sederhana sebagai berikut.

Sebelum dilakukan operasi pengurangan, penjumlahan, dan pengalian kondisinya harus memenuhi hukum komutatif, asosiatif, dan distributif, misalnya:

Perhatikan bahwa hubungan sederhana ai = bi dan aij = bij menyiratkan bahwa a1 = b1, a2= b2, dan a11 = b11, a12 = b12,. . . Namun, hubungan bentuk ai = bj atau aij = bkl memiliki makna ambigu karena indeks yang berbeda pada setiap jangka panjang adalah tidak sama, dan jenis ekspresi yang harus dihindari dalam notasi skema. Secara umum, subskrip berbeda pada semua persyaratan individu dalam sebuahpersamaan harus sesuai. Hal ini nyaman untuk mengadopsi konvensi bahwa jika subscript muncul dua kali dalam jangka waktu yang sama, maka penjumlahan atas subscript yang dari satu sampai tiga adalah tersirat, misalnya:

14

Harus jelas bahwa aii AKK ajj ... , Dan oleh karena itu subskrip berulang atau indeks subscript kadang-kadang disebut dummy. Tidak disebutkan indeks yang tidak diulang disebut subscript gratis atau berbeda. Konvensi penjumlahan dapat ditangguhkan dengan menggarisbawahi salah satu indeks berulang atau dengan menulis jumlah no. Penggunaan tiga atau lebih indeks diulang dalam istilah yang sama (misalnya, aiii atau aiij bij) memiliki arti ambigu dan harus dihindari. Pada simbol tertentu, proses pengaturan dua indeks bebas sama disebut kontraksi. Sebagai contoh, aii diperoleh dari aij oleh kontraksi pada i dan j. Operasi perkalian luar dua simbol diindeks diikuti oleh kontraksi sehubungan dengan satu indeks dari masing-masing simbol menghasilkan suatu perkalian batin, misalnya, bjk aij adalah produk dalam diperoleh dari BMK produk luar aij oleh kontraksi pada indeks j dan m. Simbol aij ... m. .. n. .. k dikatakan simetris terhadap indeks mn pasangan jika

Matematika

Pendahuluan

5

ketika sedang antisimetrik atau skewsymmetric jika aij ... m. .. n. .. k aij ... n. .. m. .. k (01:02:08) Perhatikan bahwa jika aij ... m. .. n. .. k kesimetrikan pada mn sementara bpq ... m. .. n. .. r antisimetrik di mn, maka Produk adalah nol: aij ... m. .. n. .. k yang bpq ... m. .. n. dapat .. r ditulis 0 (01:02:09) sebagai 1 (01:02:10)

Sebuah 1 aij

identitas

berguna

2

(aij

aji)

2

(aji

aij)

a

(ij)

a

[ij]

Istilah pertama (ij) 1 = 2 (aij aji) adalah simetris, sedangkan istilah kedua a [ij] 1 = 2 (aji aij) adalah antisimetrik, dan dengan demikian sebuah simbol sewenang-wenang aij dapat dinyatakan sebagai penjumlahan potongan simetris dan antisimetrik. Catatan bahwa jika aij adalah simetris, hanya memiliki enam komponen independen. Di sisi lain, jika aij adalah antisimetrik, diagonal istilah aii (tidak seluruhnya pada i) harus nol, dan hanya memiliki tiga komponen independen. Perhatikan bahwa sejak [ij] hanya memiliki tiga compon independen-Ent, dapat berhubungan dengan kuantitas dengan indeks tunggal, misalnya, ai (lihat Latihan 1-14).

1.3

Kronecker

Delta

dan

bolak

Simbol

Sebuah simbol khusus yang berguna yang biasa digunakan dalam skema notasi indeks adalah Kronecker delta didefinisikan oleh

15

1, 2 DIJ 0, 0

if 1

i

j 0

(jumlah 0

tidak

ada) 3

jika 4 0

i 1 0

6 0 5

j (01:03:01) 1

Dalam teori matriks biasa, teramati bahwa simbol ini hanya unit matriks. Perhatikan bahwa delta Kronecker merupakan simbol simetris. sifat khusus bermanfaat dari delta Kronecker meliputi:

DIJ 3 DIJ ai AJK DIJ aik, aik djk aij

dii, aj, ai dii DIJ

Dji 1 aj

Simbol khusus yang berguna adalah simbol alternating atau permutasi didefinisikan oleh (TH1, jika IJK adalah permutasi bahkan 1, 2, 3 Eijk 1, jika IJK adalah permutasi ganjil 1, 2, 3 0, jika (1:3:3)

Akibatnya, e123 e231 1 e312, e321 e132 1 e213, e112 e131 e222 ... 0. Oleh karena itu, dari 27 istilah yang mungkin untuk bolak simbol, 3 sama dengan TH1, tiga adalah

6 PONDASI DAN APLIKASI DASAR

16

lain sama dengan 1, dan semuanya 0. Simbol bolak adalah antisimetrik sehubungan dengan sepasang indeksnya. Ini simbol tertentu berguna dalam mengevaluasi penentu dan produk vektor salib, dan penentu aij array dapat ditulis dalam dua bentuk setara: a12 A11 A13 det [aij] j jaij a21 A22 A23 Eijk a1i a3k Eijk a2j ai1 aj2 AK3 (01:03:04) A31 a32 a33 dimana ekspresi indeks pertama merupakan ekspansi baris, sedangkan bentuk kedua adalah ekspansi kolom. Menggunakan properti diq dip dir Eijk epqr djp djq djr (1:3:5) DKP dkq dkr bentuk lain dari determinan matriks dapat ditulis sebagai 1 det [aij] 6 Eijk epqr AIP ajq AKR (01:03:06)

1.4 Transformasi Koordinat Hal ini mudah dan sebenarnya yang diperlukan untuk mengekspresikan variabel dan persamaan elastisitas lapangan di beberapa sistem koordinat yang berbeda (lihat Lampiran A). Situasi ini membutuhkan pengembangan transformasi aturan khusus untuk skalar, vektor, matriks, dan variabel tingkat tinggi. Konsep ini pada dasarnya berhubungan dengan dasar definisi variabel tensor tensor dan undang-undang yang terkait transformasi mereka. Kami membatasi diskusi kita untuk transformasi hanya antara sistem koordinat Kartesius, dan dengan demikian menganggap kedua sistem yang ditunjukkan pada Gambar 1-1. Kedua frame Cartesian (x1, x2, x3) dan (x0, x0, x0) berbeda hanya dengan orientasi, dan vektor satuan dasar 123 untuk setiap frame adalah } ei {{e1, e2, e3} dan {e0} {e0, e0, e0}. i123

x3 17

' 3

v

e3 '

e1

e3

e1 ' ' 2 e2 ' x2 e2

x1 GAMBAR 1-1 Perubahan koordinat Kartesius frame.

Matematika Pendahuluan 7 Biarkan Qij menunjukkan kosinus dari sudut antara x0-sumbu dan sumbu-xj: Qij cos (x0, xj) (01:04:01) Dengan menggunakan definisi ini, dasar vektor dalam koordinat prima frame dapat dengan mudah diekspresikan dalam hal tersebut dalam rangka unprimed oleh hubungan 18

1 Q12 Q11 e1 e2 e3 P13 e2 Q22 Q21 e1 e2 e3 Q23 3 Q32 Q31 e1 e2 e3 Q33

(1:4:2)

atau dalam notasi indeks ei ej Qij (01:04:03) Demikian juga, transformasi sebaliknya dapat ditulis dengan menggunakan format yang sama seperti

ei Qji e0 (1:4:4)

Sekarang sebuah vektor v sewenang-wenang dapat ditulis dalam salah satu dari dua sistem koordinat sebagai v e1 v1 v2 v3 e3 e2 vi ei E0 v0 v0 e0 e0 v0 v0 e0

(1:4:5) 112233i Mengganti bentuk (1.4.4) ke (01:04:05) 1 memberikan v vi Qji e0 tetapi dari (01:04:05) 2, v v0 e0, dan begitu kita menemukan bahwa 19

vi Qij vj (01:04:06)

Dalam cara yang sama, menggunakan (1.4.3) dalam 2 (01:04:05) memberikan vi v0 Qji

(1:4:7)

Hubungan (1.4.6) dan (1.4.7) merupakan hukum transformasi untuk komponen Cartesian vektor di bawah perubahan bingkai persegi panjang koordinat Cartesian. Perlu dipahami bahwa dalam transformasi tersebut, vektor tersebut tidak berubah (penahan panjang aslinya dan orientasi-tion), dan hanya komponennya berubah. Akibatnya, jika kita mengetahui komponen vektor dalam satu frame, hubungan (1.4.6) dan / atau hubungan (1.4.7) dapat digunakan untuk menghitung komponen dalam frame lain. Kenyataan bahwa transformasi sedang dilakukan hanya antara sistem koordinat ortogonal tempat beberapa pembatasan tertentu pada transformasi atau kosinus arah Qij matriks. Ini dapat ditentukan dengan menggunakan (1.4.6) dan (1.4.7) bersama-sama untuk mendapatkan vi Qji v0 Qji Qjk VK (01:04:08)

8 PONDASI DAN APLIKASI DASAR Dari sifat-sifat delta Kronecker, ungkapan ini dapat ditulis sebagai dik VK Qji Qjk VK atau (Qji Qjk dik) VK 0 dan karena relasi ini adalah benar untuk semua VK vektor, ekspresi dalam tanda kurung harus nol, sehingga hasilnya Qji Qjk dik (01:04:09) Dalam cara yang sama, hubungan (1.4.6) dan (1.4.7) dapat digunakan untuk menghilangkan vi (bukan v0) untuk mendapatkan Qij Qkj dik (01:04:10 ) Hubungan (1.4.9) dan (1.4.10) terdiri kondisi ortogonal yang Qij harus memuaskan. Mengambil penentu hubungan baik memberikan hasil lain yang terkait: det [Qij] 1 (01:04:11) Matriks yang memenuhi hubungan ini disebut ortogonal, dan transformasi yang diberikan oleh 20

(1.4.6) dan (1.4.7) Oleh karena itu disebut sebagai transformasi ortogonal.

1,5 Cartesian tensor Skalar, vektor, matriks, dan jumlah tingkat tinggi dapat diwakili oleh sebuah skema indeks umum notasi. Dengan menggunakan pendekatan ini, semua kuantitas kemudian dapat disebut sebagai tensor dari pesanan yang berbeda. Sifat transformasi sebelumnya disajikan dari vektor dapat digunakan untuk menetapkan sifat-sifat transformasi umum dari tensor ini. Membatasi transformasi kepada mereka hanya antara sistem koordinat Kartesius, set umum hubungan transformasi berbagai pesanan dapat ditulis sebagai

a0 a, orde nol (skalar) ai Qip ap, Wrst order (vektor) aij Qip Qjq apq, urutan kedua (matriks) aijk Qip Qjq Qkr apqr, pesanan ketiga aijkl Qip Qjq Qkr Qls apqrs, orde empat . .

(1:5:1) aijk ... m Qip Qjq Qkr Qmt apqr ... ketertiban umum t Perlu diketahui bahwa, menurut definisi tersebut, skalar adalah tensor orde nol, vektor adalah tensor orde satu, dan sebuah matriks adalah tensor orde dua. Hubungan (1.5.1) kemudian menetapkan aturan transformasi untuk komponen tensor Cartesian urutan apapun di bawah rotasi Qij. Teori transformasi terbukti sangat berharga dalam menentukan dis-penempatan, stres, dan regangan pada arah koordinat yang berbeda. Beberapa tensor adalah dari bentuk khusus di mana komponennya tetap sama pada semua transformasi, dan ini disebut sebagai tensor isotropik. Hal ini dapat dengan mudah diverifikasi (lihat Latihan 1-8) bahwa delta Kronecker DIJ memiliki properti seperti itu dan karena itu merupakan isotropik orde kedua

Matematika Pendahuluan 9 21

tensor. Para Eijk simbol bolak ditemukan untuk menjadi urutan ketiga bentuk isotropik. Kasus keempatorder (Latihan 1-9) dapat dinyatakan dalam produk dari delta Kronecker, dan ini memiliki aplikasi penting dalam merumuskan hubungan konstitutif elastis isotropik dalam Bagian 4.2. Perbedaan antara komponen dan tensor harus dipahami. Ingatlah bahwa vektor v dapat dinyatakan sebagai

v e1 v1 v2 v3 e3 e2 vi ei E0 v0 v0 e0 e0 v0 v0 e0

(1:5:2) 112233i Dalam cara yang sama, urutan kedua tensor A dapat ditulis

Sebuah A11 A12 e1 e1 e1 e1 e2 e3 A13 e1 e2 A21 A22 A23 e2 e2 e2 e3 e1 e3 A31 A32 A33 e2 e3 e3 e3 Aij ei ej A0 e0 e0

(1:5:3)

dan skema yang sama dapat digunakan untuk mewakili tensor pesanan yang lebih tinggi. Representasi yang digunakan dalam persamaan (1.5.3) ini biasa disebut notasi diad, dan beberapa penulis menulis produk diad ei ej menggunakan notasi tensor produk ei ej. Informasi tambahan tentang notasi diad dapat ditemukan di Weatherburn (1948) dan Chou dan Pagano (1967). Hubungan (1.5.2) dan (1.5.3) menunjukkan bahwa tensor apapun dapat dinyatakan dalam compon-Ent dalam sistem koordinat, dan hanya komponen yang berubah dalam transformasi koordinat. Misalnya, keadaan tegangan pada titik di sebuah padat elastis tergantung pada geometri masalah dan beban diterapkan. Seperti terlihat kemudian, komponen ini stres adalah mereka dari tensor kedua-order dan oleh karena itu mematuhi hukum transformasi (01:05:01) 3. Meskipun ponents com-perubahan tensor stres dengan pilihan koordinat, tensor stres (mewakili-ing negara tegangan) tidak. Properti penting dari tensor adalah bahwa jika kita mengetahui komponen dalam satu sistem koordinat, kita dapat menemukan mereka dalam bingkai koordinat lain dengan menggunakan hukum transformasiasi yang sesuai. Karena komponen tensor Cartesian yang representable dengan simbol diindeks, operasi kesetaraan, penambahan, pengurangan, perkalian, dan sebagainya didefinisikan dalam cara yang 22

konsisten dengan prosedur notasi indicial dibahas sebelumnya. Tensor terminologi tanpa kata sifat Kartesius biasanya mengacu pada skema yang lebih umum di mana koordinat Cartesian belum tentu persegi panjang dan transformasi antara coordin-Ates tidak selalu ortogonal. tensor teori umum tersebut tidak dibahas atau digunakan dalam teks ini.

CONTOH 1-1: Contoh Transformasi Komponen dari sebuah tensor pertama dan kedua-urutan kerangka koordinat tertentu yang diberikan oleh

213 21033 ai 4 4 5, aij 4 0 2 2 5 2324

10 YAYASAN S DAN APLIKASI DASAR CONTOH 1-1: Transformasi Contoh-Cont'd x3 x3 '

x2 '

60

23

x1 x2

x1 '

GAMBAR 1-2 koordinat transformasi. Tentukan komponen tensor masing-masing dalam sistem koordinat baru ditemukan melalui rotasi 608 (p = 6 radian) tentang x3-sumbu. Pilih rotasi berlawanan saat melihat ke bawah x3 negatif-sumbu (lihat Gambar 1-2). Asli dan prima sistem koordinat ditunjukkan dalam Gambar 1-2 membentuk sudut menjaditween berbagai sumbu. Solusi ini dimulai dengan menentukan rotasi matriks untuk kasus ini: 2 cos 608 cos 308 cos 908 3 21=2 p pffi3ffi = 2 0 3 Qij 4 cos cos 608 cos 1508 908 5 4 ffi3ffi = 2 1 = 2 0 5 cos 908 cos 908 cos 08 001

Transformasi untuk kuantitas vektor berikut dari persamaan (01:05:01) 2: 21=2 a0 p pffi3ffi = 2 0 32 1 3 4 2 1 = 2 p3 3 2 pffi3ffi = 2 i Qij aj 4 ffi3ffi = 2 1 = 2 0 54 5 4 5 24

00122 dan tensor orde kedua (matriks) mengubah sesuai (01:05:01) 3: 21=2 a0 p pffi3ffi = 2 0 32 1 0 3 32

1=2 pffiffiffi pffi3ffi = 2 0 3T ij Qip Qjq apq 6 ffi3ffi = 2 1 = 2 0 76 76 3=21=207 4 001 2p 54 0 2 2 54 324 pffiffiffi 3 5 001 7 = 4 ffi3ffi = 4 3 = 2 3 p 6 pffi3ffi = 4 5 = 4 1 3 ffi3ffi = 2 7 3 = 2 pffi3ffi 1 3pffi3ffi = 2 4

dimana [] T menunjukkan transpos (didefinisikan dalam Bagian 1.7). Meskipun transformasi sederhana 25

dapat dikerjakan dengan tangan, untuk kasus yang lebih umum akan lebih mudah untuk menggunakan skema komputasi untuk mengevaluasi multiplikasi matriks yang diperlukan dalam hukum transformasi (1.5.1). MATLAB software cocok untuk melaksanakan perhitungan tersebut, dan program contoh untuk mengevaluasi transformasi tensor orde kedua diberikan dalam Contoh C-1 pada Lampiran C.

Matematika Pendahuluan 11 1.6 Pokok Nilai dan Arah untuk Symmetric Kedua-Order tensor Mengingat konsep tensor transformasi yang telah dibahas sebelumnya, harus jelas bahwa tidak mungkin ada sistem koordinat tertentu di mana komponen tensor yang mengambil nilai maksimum atau minimum. Konsep ini mudah divisualisasikan ketika kita mempertimbangkan komponen dari sebuah vektor yang ditunjukkan pada Gambar 1-1. Jika kita memilih sebuah sistem koordinat tertentu yang telah diputar sehingga x3-sumbu terletak di sepanjang arah vektor, maka vektor akan memiliki komponen v {0, 0, jvj}. Untuk kasus ini, dua dari komponen telah dikurangi menjadi nol, sedangkan sisanya menjadi komponen terbesar mungkin (besarnya total). Situasi ini paling berguna untuk tensor orde kedua simetris yang akhirnya mewakili stres dan / atau regangan pada titik di sebuah padat elastis. Arah ditentukan oleh vektor unit n dikatakan sebagai arah utama atau eigenvektor dari urutan kedua simetris-tensor aij jika terdapat l parameter seperti yang aij LNI nj (01:06:01) di mana l disebut nilai pokok atau eigenvalue dari tensor ini. Hubungan (1.6.1) dapat ditulis kembali sebagai (Ldij aij) nj 0 dan ungkapan ini hanyalah sebuah sistem homogen dari tiga persamaan aljabar linear dalam, diketahui n1 n2, n3. Sistem ini memiliki solusi trivial jika dan hanya jika determinan dari matriks koefisien lenyap, yaitu: det [ldij aij] 0 Memperluas determinan menghasilkan persamaan kubik dalam hal l: det [ldij aij] Ia l2 l3 IIa l IIIa 0 (01:06:02) mana Ia aii A11 A22 a33 26

1 A11 a12 A22 A23 A11 A13 IIa 2 (aij aij aii ajj) suatu suatu th aa (1:6:3)

IIIa det [aij] 21 22 32 33 31 33

The skalar Ia, IIa, dan IIIa disebut invariants mendasar dari tensor aij, dan hubungan (1.6.2) dikenal sebagai persamaan karakteristik. Seperti yang ditunjukkan oleh nama mereka, tiga invariants tidak mengubah nilai dibawah transformasi koordinat. Akar dari persamaan karakteristik menentukan nilai diijinkan untuk l, dan masing-masing mungkin akan kembali-disubstitusi ke dalam hubungan (1.6.1) untuk memecahkan arah pokok yang terkait n. Dalam kondisi bahwa komponen aij adalah nyata, dapat ditunjukkan bahwa semua tiga akar l1, l2, l3 dari persamaan kubik (1.6.2) harus nyata. Selanjutnya, jika akar yang berbeda, arah pokok yang terkait dengan setiap nilai pokok adalah orthogonal. Dengan demikian, kita dapat con-clude bahwa setiap tensor orde kedua simetris memiliki sedikitnya tiga saling tegak lurus

12 YAYASAN S DAN APLIKASI DASAR pokok arah dan paling banyak tiga nilai utama yang berbeda yang merupakan akar dari persamaan karakteristik. Dengan yang menunjukkan arah utama n (1), n (2), n (3) sesuai dengan nilai-nilai, pokok l1 l2, l3, tiga kemungkinan muncul: 27

1. Semua tiga nilai utama yang berbeda, dengan demikian, tiga arah utama yang sesuai adalah unik (kecuali untuk rasa). 2. Dua nilai-nilai pokok yang sama (l1 l2 6 l3); n arah pokok (1) adalah unik (Kecuali untuk rasa), dan setiap arah tegak lurus terhadap n (1) adalah arah utama terkait dengan l2, l3. 3. Semua tiga pokok nilai yang sama; setiap arah pokok, dan tensor adalah isotropik, sesuai pembahasan di bagian sebelumnya. Oleh karena itu, menurut apa yang telah kami sajikan, selalu mungkin untuk mengidentifikasi sistem tangan kanan koordinat Cartesian sedemikian rupa sehingga masing-masing sumbu terletak di sepanjang arah utama dari setiap tensor orde kedua diberikan simetris. sumbu tersebut disebut sumbu utama tensor tersebut. Untuk kasus ini, vektor dasar sebenarnya arah unit pokok {N (1), n (2), n (3)}, dan dapat ditunjukkan bahwa sehubungan dengan tensor sumbu pokok untuk mengurangi bentuk diagonal 2 l1 0 0 3 aij l2 4 0 0 5 (01:06:04) 0 0 l3 Perhatikan bahwa invariants fundamental didefinisikan oleh hubungan (1.6.3) dapat dinyatakan dalam nilai-nilai pokok sebagai

Ia l1 l2 l3 IIa l1 l2 l2 l3 l3 l1 IIIa l1 l2 l3

(1:6:5)

Nilai eigen memiliki sifat ekstrim penting. Jika kita sewenang-wenang peringkat nilai-nilai pokok seperti yang l1> l2> l3, maka l1 akan menjadi yang terbesar dari semua elemen diagonal mungkin, sementara l3 akan menjadi elemen diagonal terkecil yang mungkin. Teori ini diterapkan dalam elastisitas karena kami mencari stres terbesar atau komponen regangan dalam padat elastis.

28

CONTOH 1-2: Masalah Nilai Pokok Tentukan invariants dan nilai-nilai pokok dan arah dari tensor orde kedua berikut simetris: 22003 aij 4 0 3 4 5 043

The invariants mengikuti dari hubungan (1.6.3)

Lanjutan

Matematika Pendahuluan 13 CONTOH 1-2: Masalah Nilai Pokok-Cont'd Ia aii 2 3 3 2 20 34 20 IIa 0 3 4 30 3 6 25 6 25 200 IIIa 0 3 4 2 (9 16) 50 043 Persamaan karakteristik kemudian menjadi 29

det [ldij aij] l3 2l2 25l 50 0 ) (L 2) (l2 25) 0 ; L1 5, l2 2, l3 5 Jadi, untuk kasus ini semua nilai utama yang berbeda. Untuk akar l1 5, persamaan (1.6.1) memberikan sistem 3n (1) 2n (1) (1) 2 4n3 0 4n (1) (1) 2 8n3 0 p yang memberikan solusi n normal (1) (2e2 e3) = ffi5ffi. Dalam cara yang sama, dua lainnya arah utama yang ditemukan n (2) e1, n (3) (e2 2e3) = pffi5ffi. Hal ini mudah diverifikasi bahwa arah yang saling ortogonal. Gambar 1-3 menggambarkan arah mereka-tions sehubungan dengan sistem koordinat yang diberikan, dan ini menetapkan tangan kanan pokok sumbu koordinat (x0, x0, x0). Untuk kasus ini, matriks transformasi Qij didefinisikan

oleh (1.4.1) menjadi 123 2p

pffiffiffi 3 0 2 = ffi5ffi 1=5 30

Qij 4 1 0 0 5 0 1 p5 2= pffiffiffi

Perhatikan vektor eigen justru membentuk baris dari matriks Q.

x3

' 1 n (1)

n (2)

x ' 2

x2 n (3)

' 3

GAMBAR 1-3 Pokok sumbu untuk Contoh 1-2.

31

14 YAYASAN S DAN APLIKASI DASAR CONTOH 1-2: Masalah Nilai Pokok-Cont'd Menggunakan ini dalam hukum transformasi (01:05:01) 3, komponen-komponen urutan kedua diberikan-tensor menjadi 25003 aij 4 0 2 0 5 005 Hasil ini kemudian memvalidasi teori umum yang diberikan oleh relasi (1.6.4) menunjukkan bahwa tensor harus mengambil formulir diagonal dengan nilai-nilai pokok sebagai elemen. Hanya sederhana orde kedua tensor mengarah pada persamaan karakteristik yang factorable, sehingga memungkinkan solusi dengan perhitungan tangan. Sebagian besar kasus lain biasanya mengembangkan persamaan kubik umum dan sistem yang lebih rumit untuk memecahkan arah pokok. Sekali lagi rutinitas tertentu dalam alat menawarkan paket MATLAB nyaman untuk memecahkan masalah ini lebih umum. Contoh-C 2 pada Lampiran C memberikan kode sederhana untuk menentukan nilai-nilai pokok dan arah untuk tensor orde kedua simetris.

1,7 Vector, Matrix, dan Aljabar Tensor Teori Elastisitas memerlukan penggunaan banyak operasi aljabar standar antara variabel vektor, matriks, dan tensor. Operasi ini termasuk titik dan silang produk vektor dan banyak matriks / produk tensor. Semua operasi ini dapat dinyatakan secara efisien menggunakan notasi tensor indeks kompak. Pertama, pertimbangkan beberapa produk vektor tertentu. Mengingat dua vektor a dan b, dengan komponen Cartesian ai dan bi, skalar atau dot product didefinisikan oleh ab a1 b1 a2 b2 a3 b3 bi ai (01:07:01) Karena semua indeks dalam ekspresi ini diulang, kuantitas harus berupa sebuah, yaitu sebuah tensor orde nol. Besarnya vektor maka dapat dinyatakan sebagai jaj (aa) 1 = 2 (ai ai) 1 = 2 (01:07:02) Vektor atau produk silang antara dua vektor a dan b dapat ditulis sebagai e1 e2 e3 ab a1 a2 a3 Eijk aj bk yakni: (01:07:03) b1 b2 b3

32

dimana ei adalah vektor unit dasar untuk sistem koordinat. Perhatikan bahwa produk salib memberikan resultan vektor yang komponen bk aj Eijk. Produk lain vektor umum adalah produk triple skalar didefinisikan oleh a1 a2 a3 abc b1 b2 b3 Eijk ck ai bj (01:07:04) c1 c2 c3 Berikutnya mempertimbangkan beberapa produk matriks umum. Menggunakan notasi langsung biasa untuk matriks dan vektor, produk umum antara matriks A [A] dengan vektor dapat ditulis sebagai

Matematika Pendahuluan 15 Aa [A] {a} aj aj Aij Aij aT J {a} T [A] ai ai Aij Aij

(1:7:5)

mana aT menunjukkan transpos, dan untuk kuantitas vektor ini hanya mengubah kolom matriks (3 1) ke dalam matriks baris (1 3). Perhatikan bahwa masing-masing hasil produk dalam resultan vektor. Jenis produk ekspresi umumnya melibatkan berbagai batin dalam skema notasi indeks, dan seperti dicatat, setelah indeks penjumlahan benar ditentukan, urutan daftar istilah produk tidak mengubah hasilnya. Kami akan menghadapi berbagai kombinasi beberapa produk antara dua matriks A dan B:

AB [A] [B] Bjk Aij ABT Bkj Aij AT B Aji BJI Bjk tr (AB) Aij tr (ABT) tr (AT B) Aij bij mana AT menunjukkan transpos dan tra adalah jejak matriks didefinisikan oleh

(1:7:6)

33

ij Aji aii tra A11 A22 A33

(1:7:7)

Mirip dengan produk vektor, setelah indeks penjumlahan benar ditentukan, hasil di (1.7.6) tidak tergantung pada urutan daftar istilah produk. Catatan bahwa ini tidak berarti bahwa AB BA, yang tentunya tidak benar.

1.8 Kalkulus tensor Cartesian Kebanyakan variabel dalam teori elastisitas adalah field variabel, yaitu, fungsi tergantung pada ruang koordinat digunakan untuk merumuskan masalah yang diteliti. Untuk masalah waktu tergantung, variabel-variabel ini juga bisa memiliki variasi temporal. Dengan demikian, kami skalar, vektor, matriks, dan variabel tensor umum adalah fungsi dari ruang koordinat (x1, x2, x3). Karena banyak elastisitas persamaan diferensial melibatkan dan operasi integral, maka perlu memiliki pemahaman tentang bidang kalkulus tensor Cartesian. Informasi lebih lanjut tentang kalkulus vektor differen-TiAl dan integral dapat ditemukan di Hildebrand (1976) dan Kreyszig (1999). Konsep lapangan untuk komponen tensor dapat dinyatakan sebagai a a (x1, x2, x3) a (xi) a (x) ai ai (x1, x2, x3) ai (xi) ai (x) aij aij (x1, x2, x3) aij (xi) aij (x) . . Hal ini nyaman untuk memperkenalkan notasi koma untuk diferensiasi parsial: @@@ a, i @ xa, ai, j @ x ai, aij, k @ x aij, ijk

16 YAYASAN S DAN APLIKASI DASAR 34

Hal ini dapat menunjukkan bahwa jika indeks diferensiasi adalah berbeda, urutan tensor ini bertambah satu. Sebagai contoh, operasi derivatif pada ai vektor, j menghasilkan tensor orde kedua atau matriks yang diberikan oleh

2 @ a1 6 @ x1 6 @ a2 @ A1 @ X2 @ A2 @ A1 3 @ X3 7 @ A2 7 ai, j 6 @ x

@ X2 7 @ X3 7 6 @ a3 @ X1 @ A3 @ X2 @ A3 7 @ X3

Dengan menggunakan koordinat Cartesian (x, y, z), mempertimbangkan arah turunan dari fungsi medan skalar f sehubungan dengan arah s:

df @ f dx

35

@ F dy @ F dz ds @ x ds ds y @ @ z ds Perhatikan bahwa vektor satuan dalam arah s dapat ditulis sebagai dx dy dz n ds ds e1 e2 e3 ds Oleh karena itu, derivatif arah dapat dinyatakan sebagai produk skalar berikut: df ds rf n (01:08:01) mana rf disebut gradien fungsi skalar f dan didefinisikan oleh @F@f@f rf grad f @ x e1 e2 e3 @ y @ z (01:08:02) dan vektor r simbolik operator disebut operator del @@@ e1 r @ x e2 @ y @ z e3 (01:08:03) Dan operasi ini berguna lainnya dapat dinyatakan dalam notasi tensor Cartesian. Mengingat medan skalar f dan u vektor lapangan, operasi diferensial umum berikut dapat ditulis dalam notasi indeks:

Gradien dari skalar rf fi ei Gradien dari ru Vector ui, Laplacian ej j ei dari 2 Skalar r rf f f, ii Divergence dari ui Vector ru, i Curl dari uk r u Eijk Vector , ei j Laplacian dari u 2 Vector ui, kk ei

(1:8:4)

36

Matematika Pendahuluan 17 Jika f dan c adalah bidang skalar dan u dan v vektor bidang, identitas berguna ada beberapa: r (fc) (rf) c f (rc) 222 r (fc) (r f) c f (r c) 2rf rc r (fu) rf u f (r u) r (fu) rf u f (r u) r (u v) v (r u) u (r v) rf r 0 rf r r f rru0

(1:8:5) r (r u) r (r u) u r 1 u (u r) 2 r (u u) u ru Masing-masing identitas dapat dengan mudah dibenarkan dengan menggunakan notasi indeks dari hubungan definisi (1.8.4). Berikutnya mempertimbangkan beberapa hasil dari vektor / tensor kalkulus integral. Kami hanya daftar beberapa teorema yang kemudian digunakan dalam pengembangan teori elastisitas. 1.8.1 Divergence atau Teorema Gauss Misalkan diketahui S suatu permukaan kontinu sesepenggal berlari wilayah ruang V. Jika u medan vektor kontinu dan mempunyai derivatif kontinyu yang pertama kali di V, maka

dd n dS u 37

S DDD V

r u dV (01:08:06)

dimana n adalah unit luar vektor normal terhadap permukaan S. Hasil ini juga berlaku untuk tensor dari setiap pesanan, yaitu:

dd aij ... k nk dS S DDD V

aij ... k, dV k (01:08:07)

1.8.2 Teorema Stokes Biarkan S menjadi dua sisi permukaan yang terbuka yang dibatasi oleh kurva sesepenggal terus menerus tertutup sederhana C. Jika u kontinu dan mempunyai derivatif pertama kontinu pada S, maka

dr u C dd (U r) n dS (01:08:08) S

dimana arti positif untuk saluran integral untuk daerah S untuk berbaring ke kiri sebagai salah satu kurva 38

C melintasi dan n adalah vektor unit normal untuk S. Sekali lagi, hasil ini juga berlaku untuk tensor ketertiban sewenang-wenang, dan sebagainya

aij ... k dxt C dd dahulu kala aij ... k, s dS nr (01:08:09) S

18 YAYASAN S DAN APLIKASI DASAR Hal ini dapat menunjukkan bahwa baik perbedaan dan teorema Stokes dapat digeneralisasi sehingga dot product dalam (1.8.6) dan / atau (1.8.8) dapat diganti dengan produk silang. 1.8.3 Teorema Green di Plane yang Menerapkan teorema Stokes ke domain planar S dengan bidang vektor dipilih sebagai e1 f u ge2 memberikan hasil

dd @ g @F dxdy

(FDX gdy) (01:08:10) S@x@yC Selanjutnya, khusus pilihan dengan baik f atau g 0 0 menyiratkan

dd @ g 39

dxdy dd gnx ds, @F dxdy

fny ds (01:08:11) S@xC S@yC

Zero-1.8.4 Teorema Nilai Biarkan fij ... k menjadi bidang tensor terus menerus setiap perintah yang didefinisikan dalam suatu wilayah V. sewenang-wenang Jika integral dari fij ... k lebih V lenyap, kemudian fij ... k harus lenyap dalam V, yaitu:

DDD V

fij ... k dV 0) fij ... k 0 2 V (01:08:12)

1,9 Orthogonal Koordinat lengkung Banyak aplikasi dalam teori elastisitas melibatkan domain yang memiliki permukaan melengkung batas, umumnya termasuk permukaan lingkaran, silinder, dan bola. Merumuskan dan mengembangkan solusi untuk masalah tersebut, perlu untuk menggunakan sistem koordinat curvilinear. Hal ini memerlukan pembangunan kembali beberapa hasil sebelumnya dalam koordinat lengkung ortogonal. Sebelum mengejar langkah-langkah umum, kami meninjau kedua sistem lengkung paling umum, silinder dan koordinat bola. Sistem koordinat silinder yang ditunjukkan dalam Gambar 1-4 menggunakan (r, y, z) 40

x3 z Ez eq

Er e3 x2 e1 e2 q r x1 GAMBAR 1-4 silinder sistem koordinat.

Matematika Pendahuluan 19

ER eq ef e3 R x2 e1 e2

x1 GAMBAR 1-5 Spherical sistem koordinat.

41

koordinat untuk menggambarkan geometri ruang. Hubungan antara sistem Cartesian dan silinder diberikan oleh x1 cos r y, x2 dosa y, z x3 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 (1:9:1) r x2 x2, y tan 1, z x3 1 2 x1 Para bola sistem koordinat ditunjukkan dalam Gambar 1-5 dan menggunakan (R, f, y) koordinat untuk menggambarkan geometri. Hubungan antara Cartesian dan bola Koordinat x1 R cos dosa y f, x2 dosa dosa y R f, x3 cos R f qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x3 x2 (1:9:2) R x2 x2 x2 , f 1 cos, tan y 1 123 pffixffiffi2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi x1

Vektor unit dasar untuk masing-masing sistem lengkung diilustrasikan pada Gambar 1-4 dan 1 5. Ini merupakan unit vektor singgung sepanjang masing-masing dari tiga kurva koordinat ortogonal. Meskipun penggunaan utama sistem lengkung menggunakan silinder dan koordinat bola, kita sebentar menyajikan sebuah diskusi umum berlaku untuk sistem koordinat sewenang-wenang. Pertimbangkan kasus umum di mana tiga koordinat lengkung ortogonal ditandai dengan x1, x2 x3, sedangkan koordinat Cartesian ditentukan oleh x1, x2 x3 (lihat Gambar 1-6). Kita asumsikan terdapat invertible transformasi koordinat antara sistem-sistem ini ditentukan oleh xm xm (x1, x2, x3), xm xm (x1, x2, x3) (01:09:03) Dalam sistem lengkung, suatu panjang diferensial sewenang-wenang dalam ruang dapat dinyatakan oleh (Ds) 2 (h1 dx1) 2 th (h2 dx2) 2 th (h3 dx3) 2 (01:09:04) 42

mana h1, faktor skala h2, h3 disebut yang dalam fungsi nonnegatif umum posisi. Biarkan ek menjadi vektor dasar tetap Cartesian dan k e ^ dasar lengkung (lihat Gambar 1-6). Dengan

20 YAYASAN S DAN APLIKASI DASAR

e3

e1 e2 3 E3 2 e2 E1 1 x2

x1 GAMBAR 1-6 koordinat lengkung. menggunakan konsep serupa dari transformasi dibahas dalam Bagian 1.5, dasar lengkung dapat dinyatakan dalam bentuk dasar Cartesian sebagai

43

dxk e ^ 1 ds dxk e ^ 2 ds dxk e ^ 3 ds e 1 @ xk e k h1 @ x1 k e 1 @ xk e k h2 @ x2 k e 1 @ xk e k h3 @ x3 k

(1:9:5)

di mana kita telah menggunakan (1.9.4). Dengan menggunakan fakta bahwa e ^ ^ j yaitu DIJ, hubungan (1.9.5) memberikan @ Xk @ xk (H1) 2 (H2) 2 (H3) 2

@ X1 @ x1 @ Xk @ xk @ X2 @ x2 @ Xk @ xk @ X3 @ x3

44

(1:9:6)

Ini mengikuti dari (1.9.5) yang kuantitas QK 1 @ xk, (tidak seluruhnya pada r) (01:09:07) r jam @ xr merupakan transformasi tensor memberikan dasar lengkung dalam hal dasar Cartesian. Konsep ini mirip dengan tensor transformasi Qij didefinisikan oleh (1.4.1) yang digunakan antara sistem Cartesian. Komponen fisik dari vektor atau tensor hanya komponen dalam satu set lokal sumbu Cartesian singgung pada kurva koordinat lengkung pada setiap titik dalam ruang. Jadi, dengan menggunakan hubungan transformasi (1.9.7), komponen fisik dari sebuah tensor dalam sistem lengkung umum diberikan oleh

Matematika Pendahuluan 21 sebuah Qp q

pq ... s i Qs sebuah Qj (1:9:8)

dimana apq ... s adalah komponen dalam bingkai Cartesian tetap. Perhatikan bahwa tensor tersebut dapat dinyatakan dalam sistem sebagai

sebuah ei aij ... k ej ek e ^ i k e ^ e ^ j

(1:9:9)

Karena banyak aplikasi yang melibatkan diferensiasi tensor, kita harus mempertimbangkan berbeda secara asi dari vektor dasar lengkung. Ek dasar sistem Kartesius adalah tetap dalam orientasi dan karenanya @ ek = @ xj @ ek = @ xj 0. Namun, turunan dari dasar lengkung tidak pada umumnya 45

hilang, dan diferensiasi hubungan (1.9.5) memberikan hasil sebagai berikut:

@E^m 1 @ hm e ^ 1 @ hm e ^; n m r @ HN jm @ Yoh n jam @ r jr 66

(1:9:10) @E^m 1 @ HN e ^; m n, tidak seluruhnya pada indeks berulang Yoh @ hm @ jm 6 Dengan hasil ini, turunan dari tensor apapun dapat dievaluasi. Pertimbangkan turunan pertama dari vektor u:

@ @ @ U @E^m @ Yoh u @ Yoh (u e m ^) @ Yoh m e ^ u @ Yoh (01:09:11)

Istilah terakhir dapat dievaluasi dengan menggunakan (1.9.10), dan dengan demikian turunan dari u 46

dapat dinyatakan dalam bentuk komponen lengkung. Pola yang sama juga diikuti untuk turunan dari tensor tingkat tinggi. Semua operator diferensial vektor gradien, divergensi, curl, dan sebagainya dapat dinyatakan dalam sistem lengkung umum dengan menggunakan teknik ini. Misalnya, operator vektor differen-TiAl sebelumnya didefinisikan dalam koordinat Cartesian dalam (1.8.3) diberikan oleh

1 r e ^ 1 jam @1 e^2h @1 e^3h @X1@ e^ih

(1:9:12) 1 @ j1 2 @ j2 3 J3 @ i @ ji

dan ini menyebabkan pembangunan bentuk umum lainnya:

1@f Gradien dari ^ rf e Skalar 1 jam 1 e^2h @F1@f e^3h 47

X1@f e^ih

(1:9:13) 1 @ j1 2 @ j2 3 J3 @ i @ ji

1 Perbedaan dari vektor r u h h h

X @ h1 h2 h3 ih

u

(1:9:14) 123 i@j 21X@

h1 h2 h3 @ f Laplacian dari Skalar r f h h h 123 48

@ Ji (hi) 2 @ ji i (1:9:15) Curl dari r u Vector Eijk X X X

@ (U

h) ^ e

(1:9:16)

ijk hj hk @ j j kunci k i

22 YAYASAN S DAN APLIKASI DASAR Gradien dari ru Vektor X X e ^ i @ u i

^ e j u @E^j i

49

(1:9:17) hi i j @ j 2 e ^ i @! @J e ^ k @ u

@ E ^ j! Laplacian dari r Vector u X i X X k ^ e j u k (1:9:18) i hi @ j hk k j @ j @ j

Perlu dicatat bahwa bentuk-bentuk secara signifikan berbeda dari yang sebelumnya diberikan dalam hubungan (1.8.4) untuk koordinat Cartesian. sistem lengkung menambahkan istilah tambahan yang tidak ditemukan di koordinat segi empat. operasi lain pada tensor tingkat tinggi dapat dikembangkan dengan cara yang sama (lihat Malvern 1969, app. II). transformasi hubungan khusus dan equa lapangantions dalam sistem koordinat silinder dan bola diberikan pada Lampiran A dan B. diskusi lebih lanjut hasil ini diambil di bab-bab selanjutnya.

CONTOH 1-3: Koordinat Polar Pertimbangkan kasus dua dimensi dari suatu sistem koordinat polar seperti ditunjukkan pada Gambar 17. Panjang diferensial hubungan (1.9.4) untuk kasus ini dapat ditulis sebagai (Ds) 2 (dr) 2 th (rdy) 2 dan dengan demikian h1 dan h2 1 r. Dengan hubungan menggunakan (1.9.5) atau hanya dengan menggunakan geometri ditunjukkan dalam Gambar 1-7, 50

e ^ cos r ye1 dosa ye2 e ^ y cos dosa ye1 ye2

(1:9:19)

dan sebagainya

@E^r @E^y @E^r @E^y @ Y e ^ y, @ e r ^ y, @ r @ r 0 (01:09:20)

x2

eq Er r e2 q x1 e1

GAMBAR 1-7 Polar sistem koordinat. 51

Lanjutan

Matematika Pendahuluan 23 CONTOH 1-3: Polar Koordinat-Cont'd Operasi vektor diferensial dasar kemudian ikuti menjadi @1@ rre^@r^ery@y @F1@f rf r ^ e @ r ^ e r y @ y 1 @ 1 @ uy r r u @ r (rur) r @ y 2 21@ @F 1@f rfr@rr@r 1@ r2 @ y2 1 @ ur (1:9:21) ur @ Ur (Ru) 52

r@r@y @ Uy e^z 1 @ ur

1 @ uy ru @ r e r ^ e ^ r @ r e r ^ e ^ y r @ Y uy e^y^rer @ Y ur e^ye^y 2 2 2 @ uy ur 2 2 @ ur uy u r r ur r2 @ y r2 e ^ r uy @ y r2 r2 e^y

mana u e ^ r ur uy e ^ y, z e ^ e ^ y ^ kembali. Perhatikan bahwa Laplacian dari vektor tidak hanya melewati dan beroperasi pada masing-masing komponen individu seperti dalam kasus Cartesian. istilah tambahan dihasilkan karena kelengkungan dari sistem koordinat tertentu. hubungan serupa dapat dikembangkan untuk silinder dan sferis sistem koordinat (lihat Latihan 1-15 dan 1-16).

53

Materi dibahas dalam bab ini digunakan di banyak tempat agar pemerintah mengembangkan formulasiteori elastisitas. Sepanjang keseluruhan teks, menggunakan notasi skalar, vektor, dan format tensor tergantung pada kesesuaian dengan topik yang dibahas. Sebagian besar prosedur formulasi umum dalam Bab 2 sampai 5 notasi tensor menggunakan indeks, sedangkan bab-bab selanjutnya biasanya menggunakan notasi vektor dan skalar. Tambahan review prosedur mathe-matical untuk pemecahan masalah diberikan di lokasi bab di mana mereka diterapkan.

Referensi

Chandrasekharaiah DS, L Debnath: Mekanika Continuum, Tekan Boston, Akademik, 1994. Chou PC, Pagano NJ: Elastisitas-Tensor, diad dan Pendekatan Rekayasa, D. Van Nostrand, Princeton, NJ, 1967. Goodbody AM: Cartesian tensor: Dengan Aplikasi untuk Mekanika, Mekanika Fluida dan Elastisitas, Ellis Horwood, New York, 1982. Hildebrand FB: Calculus Advanced untuk Aplikasi, 2nd ed, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1976. Kreyszig E: Matematika Teknik Lanjutan, 8 ed, John Wiley, New York, 1999. LE Malvern: Pengantar Mekanika sebuah Menengah Terus Menerus, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1969. Weatherburn CE: Analisis Vektor Advanced, Pengadilan Buka, LaSalle, IL, 1948.

24 YAYASAN S DAN APLIKASI DASAR Latihan 1-1. Untuk vektor matriks dan diberi

21113

54

213 aij 4 0 4 2 5, bi 4 0 5 0112 menghitung kuantitas berikut: aii, aij aij, AJK aij, bj aij, bj bi aij, bi bj, bi bi. Untuk setiap kuantitas, menunjukkan apakah hasilnya adalah sebuah skalar, vektor, atau matriks. Perhatikan bahwa aij bj sebenarnya adalah produk matriks [a] {b}, sedangkan AJK aij adalah produk [a] [a]. 1-2. Gunakan hasil dekomposisi (1.2.10) untuk mengekspresikan aij dari Latihan 1-1 dalam hal jumlah matriks simetris dan antisimetrik. Verifikasi bahwa (ij) dan [ij] memenuhi kondisi yang diberikan dalam paragraf terakhir dari Bagian 1.2. 1-3. Jika aij adalah simetris dan bij adalah antisimetrik, membuktikan secara umum bahwa produk bij aij adalah nol. Verifikasi hasil ini untuk kasus tertentu menggunakan istilah simetris dan antisimetrik dari Latihan 1-2. 1-4. Secara eksplisit memverifikasi sifat berikut delta Kronecker: DIJ aj ai DIJ aik AJK 1-5. Secara formal memperluas ekspresi (1.3.4) untuk penentu dan membenarkan yang baik menghasilkan bentuk notasi indeks hasil yang sesuai dengan bentuk tradisional untuk det [aij]. 1-6. Tentukan komponen vektor dan matriks aij bi diberikan dalam Latihan 1-1 dalam sistem koordinat baru ditemukan melalui rotasi 458 (p = 4 radian) tentang x1-sumbu. Arah rotasi mengikuti arti yang positif disajikan dalam Contoh 1-1. 1-7. Pertimbangkan transformasi koordinat dua dimensi yang ditunjukkan pada Gambar 1-7. Melalui y rotasi berlawanan, sebuah sistem koordinat polar yang baru dibuat. Tunjukkan bahwa matriks transformasi untuk kasus ini diberikan oleh

b1

55

A11

a21

Qij

cos y y dosa sin y cos y Jika bi , Aij 2 a12 A22 adalah komponen dari sebuah tensor-pertama dan kedua ketertiban di x1, x2 sistem, menghitung komponen mereka dalam sistem koordinat polar diputar. 1-8. Tunjukkan bahwa urutan kedua tensor adij, di mana adalah sebuah sewenang-wenang konstan, mempertahankan bentuk di bawah setiap transformasi Qij. Formulir ini maka tensor orde kedua isotropik. 1-9. Bentuk yang paling umum dari sebuah tensor keempat-order isotropik dapat dinyatakan oleh adij DKL bdik djl gdil djk dimana a, b, dan g adalah tetapan sewenang-wenang. Pastikan bahwa formulir ini tetap sama dibawah transformasi umum yang diberikan oleh 5 (1.5.1). 1-10. Tunjukkan bahwa invariants fundamental dapat dinyatakan dalam persyaratan pokok nilai-nilai seperti yang diberikan oleh hubungan (1.6.5).

56

Matematika Pendahuluan 25 1-11. Tentukan invariants, nilai-nilai pokok, dan arah dari matriks 21103 aij 4 1105 000

Gunakan arah pokok ditentukan untuk menetapkan suatu sistem koordinat pokok, dan, mengikuti prosedur dalam Contoh 1-2, secara resmi mengubah (memutar) yang diberikan matriks ke dalam sistem utama untuk sampai pada bentuk diagonal yang tepat. 1-12 *. Sebuah orde kedua field tensor simetris diberikan oleh 2x1 x1 2 0 3 aij 4 x1 6x2 0 5 0 0 5x1 Menggunakan MATLAB (atau software yang serupa), menyelidiki sifat dari variasi nilai-nilai pokok dan arahan selama 1 interval x1 2. Secara formal plot variasi dari nilai absolut dari masing-masing nilai pokok selama rentang 1 x1 2. 1-13. Untuk medan vektor Cartesian ditetapkan oleh u e1 x1 x2 x1 x2 e2 2x1 x3 e3 menghitung u r, u r, 2 u, ru, tr (ru): 1-14. The ai vektor ganda perintah kedua antisimetrik-tensor aij didefinisikan oleh ai 1 = 2eijk AJK. Tunjukkan bahwa ungkapan ini dapat terbalik untuk mendapatkan AJK Eijk ai. 1-15. Menggunakan notasi indeks, secara eksplisit memverifikasi identitas vektor tiga (1.8.5) 2,6,9. 2 1-16. Perluas hasil ditemukan dalam Contoh 1-3, dan menentukan bentuk rf, ru, rf, dan ru untuk sistem koordinat silindris tiga-dimensi (lihat Gambar 1-4). 57

1-17. Untuk sistem koordinat bola (R, f, y) pada Gambar 1-5, menunjukkan bahwa 1 h1, h2 R, h3 R dosa f dan operasi vektor standar yang diberikan oleh

@F1@f 1@f rf e R ^ @ R ^ e f R @ f e ^ y R dosa f @ y

1@21@

1 @ uy ru R2 @ R (R UR) dosa f R @ f (fuf dosa) R dosa f @ y

21@

2@f1@@f

1@2f r f R2 @ R (R () Dosa f) @ R R2 dosa f @ f @ f R2 sin2 f @ y2

1@

@ Uf

58

1 @ UR 1 @ ur^eR

R dosa f (Fu dosa) @F@y e^f R dosa f @ R y @ R (Ruy) 1@ @ UR e^yR (Ru) @R@f

59