1 Ábrázoló geometria II

1

Contents

1 Ábrázoló geometria II 11.1 Axonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Térelemek ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Kör képe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.3 Távolságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1.4 Śıkok kezelése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Perspekt́ıva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.1 Az alapśık képe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.2 Az alapśık képśıkba forgatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.3 Távolságok felmérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.4 Ferde egyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2.5 Ferde perspekt́ıva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2.6 Śık beforgatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.2.7 Az osztópont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2

1.1 Axonometria

Ebben a fejezetben egy térbeli alakzatoknak egy śıkra vetett (páhuzamos vet́ıtősugarak által előálĺıtott)képével fogunk megismerkedni, illetve, hogy a vetületi alakzatok segitségével hogyan tudunk illeszkedési,metszési, és méretfeladatokat végrehajtani. Ehhez először is felveszünk egy térbeli koordináta rendszertés egy śıkot. Több eset is elképzelhető A koordináta tengelyek lehetnek egymásra merőlegesek és lehet-nek általános helyzetben, a vet́ıtés történhet a śıkra merőleges vet́ıtősugarak seǵıtségével, illetve ferde(de párhuzamos) vet́ıtősugarak seǵıtségével. Mi csupán az ortogonális (merőleges) axonometriával fogunkfoglalkozni, az általános (klinogonális) axonometriával nem. Aki már ismeri az ábrázoló geometria I anyagát,az sok párhuzamot ismerhet majd fel a korábbi anyagrésszel kapcsolatban. Azonban nem szükséges a korábbianyag ismerete, attól függetlenül fogjuk feléṕıteni az ortogonális axonometriát.

Tekintsük az 1. ábrát. A jobb oldalon a térbeli (ortogonális) koordináta rendszer látható, és benneegy P pont. A P pont merőleges vetülete Kxy, Kxz, Kyz koordináta śıkokra rendre P ′, P ′′, P ′′′. Az ábrán|OPx| , |OPy| , |OPz| távolságok adják a P pont koordinátáit. A jobb oldalon a jelölt pontok egy téglatestethatároznak. Ezt a téglatestet és a pontokat (a koordináta féltengelyekkel együtt) merőlegesen levet́ıettüka K képśıkra. A vetületi pontokat (az egyszerűség kedvéért) ugyanúgy jelöltük, mint az eredeti pontokat(habár, ha igazán prćızek akartunk volna lenni, akkor ezeket meg kéne különböztetni a jelölésben is).

Az ábra alapján a következő észrevételt tehetjük:a téglatest minden oldalának vetülete paralelogramma, hiszen paralelogramma vetülete (esetleg elfajuló)

paralelogramma lesz;

3

Ez a látszólag triviális megfigyelés igen sok mindent hoz maga után:- ha ismerjük a vetületiábrán a féltengelyek vetületét és a ”P -s” pontok közül legalább kettőt, akkor az

összes többit is meg tudjuk szerkeszteni- ha ismerjük a P pont koordinátáit (az |OPx| , |OPy| , |OPz| távolságokat) és tudjuk a tengelyek rövidülésének

arányát (azaz pl az x-tengelyen lévő minden szakasz qx-szereséresére zsugorodik), akkor a K képśıkon megtudjuk szerkeszteni az OPx, OPy, OPz szakaszokat, és az elöbbi megjegyzés alapján P képét is.

Amint azt az első megjegyzés is sugalja, nem elég magának a P képének az ismerete a térbeli P pontmeghatározásához, hiszen a P -n átmenő vet́ıtősugár minden pontja a K képśık egyazon pontjára vetül.Tegyük fel, hogy ismerjük a koordinátarendszer helyzetét a K képśıkhoz képest, és a K képśıkoan a Pképén ḱıvül az egyik vetület, pl. P ′ képét is K-n. Az 1. ábrán nyomonkövethetjük, hogy a P ′ képénátmenő vet́ıtősugár egy pontban P ′-ben metszi a Kxy śıkot (általános helyzetű vet́ıtés esetén). Ekkor avalódi (térbeli) P ′ ponton átmenő z-tengellyel párhuzamos egyenesen lesz a térbeli P pont is. Sőt ez a Prajta van a P képén átmenő vet́ıtősugáron is, tehát e két egyenes metszete meghatározza a térbeli P pontotegyértelműen.

Megállaṕıthatjuk tehát, hogy ha ismert a koordinátarendszer helyzete a K képśıkhoz képest, és K-n a Ppont, és annak egy vetületének (P ′, P ′′, P ′′′) a képe, akkor térbeli P pont egyértelműen meghatározható.

Mint a későbbekben látni fogjuk a K-hoz képest a térbeli koordinátarendszer helyzete, majdnem egyértelműenmeghatározható. (A vet́ıtő sugárral párhuzamosan tetszőlegesen eltolható, de egy ilyen eltolás nem változtatjameg a térben rekonstruált alakzat valódi helyzetét.

Összefoglalva: ha egy térbeli alakzatnak és annak valamely (Kxy, Kyz, Kxz- śıkra vett) vetületének adotta képe a K képśıkon, akkor ezek már egyértelműen meghatározzák a térbeli alakzatot.

1.1.1 Térelemek ábrázolása

A fentiek alapján felejtsük el a térbeli valódi alakzatot és a térbeli koordináta rendszert, csak a ”paṕırśıkján” a képśıkon adott vetületekkel dolgozzunk. Ezentúl, egy A alakzaton és annak pl. a Kxy śıkra vett A′

vetületén a képśıkon lévő vetületi alakzatait fogjuk automatikusan érteni, és nem a térbeli valódi alakzatokat.A Kxy, Kxz, Kyz śıkra vett vetületeket rendre ′,′′ ,′′′ indexekkel fogjuk jelölni.

Egy P pontot a P (képével) és egy vetületével pl. P ′ adunk meg. A PP ′, PP ′′, PP ′′′ egyeneseket ren-dezőknek fogjuk nevezni. Vegyük észre (1. ábra), hogy a PP ′, PP ′′, PP ′′′ rendezők rendre párhuzamosaka z, y, x tengelyekkel.

Egy e egyenest e-vel és egy vetületével adunk meg. A P pont illeszkedik az e egyenesre , akkor éscsak akkor, ha a képśıkon P ∈ e és pl. P ′ ∈ e′ (ebből már az is következni fog, hogy P ′′ ∈ e′′, P ′′′ ∈e′′′). Szerkesztéseknél hasznos lesz feltűntetni az e egyenesnek a Kxy, Kxz, Kyz śıkokkal vett N1, N2, N3nyompontjait. A nyompontokból meg tudjuk szetkeszteni a vetületek képeit is, hiszen pl. N1N ′2N

′3 = e

′

a 2. ábráról kiolvashatóak az összefüggések. Speciális helyzetű egyenesek is vannak, ezek a vet́ıtősugárralpárhuzamos egyenesek, hiszen ezek képe K-n csupán egyetlen pont. Egy ilyen egyenesnek a vetületei azadott ponton átmenő, a tengelyekkel párhuzamos egyenesek lesznek (3. ábra). Pl. a v egyenes v′ vetületétúgy kapjuk meg, hogy veszünk két pontot P, Q ∈ v és ekkor P ′Q′ = v′. Mivel P ′, Q′ ugyanazon a rendezőnvan (a v-n, mint ábrázolt ponton átmenő z-vel párhuzamos egyenesen) ezért csak ez az egyenes lehet v′, ésez is lesz ha meggondoljuk, mert v′ nem lehet pontként ábrázolva.

Feladat 1 Szerkesszün egy P, P ′-vel adott ponton átmenő egyenest!

Egy egyeneshez elég e, e′-t megadni, és ezekre az egyenesekre az egyetlen feltétel, hogy P ∈ e, P ′ ∈ e′.Egy S śıkot megadhatunk:- három nem kollineáris pontjával;- egy e egyenesével és egy P /∈ e pontjával;- két metsző egyenesével.Könnyen látható, hogy három pont esetén a pontokat összekötve két (sőt három) metsző egyenespárt

kapunk, illetve a 2. esetben az e egy tetszőleges pontját P -vel összekötve, szintén két metsző egyenespárhuz

4

5

6

jutunk, ezért elég csak a harmadik megadásmódot vizsgálni. Az S śıknak és a koordinátaśıkoknak az n1def=

Kxy ∩ S, n2 def= Kxz ∩ S, n3 def= Kyz ∩ S śıkokkal vett metszetét nyomvonalaknak nevezzük. Ha śıkadott két metsző egyenespárjával, akkor a megfelelő indexű (értsd 1, 2, 3) nyompontokat összekötve épp anyonvonalakat kapjuk meg. A nyonvonalak vetülei pl.n1 esetén n′1 = n1, n

′′1 = x, n

′′′1 = z (elfajult esetben

n′′1 , n′′′1 lehetnek pontok is). Speciális helyzetű (a koordinátaśıkokkal párhuzamos) śıkok esetén egy nyonvonal

hiányozhat is. A legelfajultabb eset, mikor S párhuzamos a K képśıkra való vet́ıtés irányával, hiszen ekkoraz egész śık egyetlen egyenesre vetül, és ez az egyenes lesz egyben mind az n1, n2, n3 nyomvonal (K-ra vetettképe is). Fontos megjegyezni, hogy a nyomvonalak páronként a megfelelő tengelyeken metszik egymást, azazn1 ∩ n2 ∈ x, n1 ∩ n3 ∈ y, n2 ∩ n3 ∈ z.

Egy e egyenes az S śıkra illeszkedik, ha az egyenes nyompontjai a śık nyomvinalaira illeszkednek. Hacsak e képe adott a képśıkon, vagy egy vetületének képe pl. e′, akkor ebből a többi vetület, ill az eredetialakzat is szerkeszthető. A Szerkesztés leolvasható a 4. ábráról, ahol csak a nyompontok és vetületeinekképei kellenek.

Mikor illeszkedik egy pont a śıkra? Vegyünk a P -n képén át egy e egyenest és szerkesszük meg ennek e′

vetületét úgy, hogy e a śıkra illeszkedjék. Ekkor ha P ′ ∈ e′, akkor P ∈ e ⊂ S miatt P a śıkban van. Hafeladat P ′ megtalálása volna, akkor az a P -n átmenő rendezőnek és E1-nek a metszete volna. Szerkesztésnélhasznos lehet a śık speciális egyeneseinek a fővonalaknak az ismerete. Ezek a nyomvonalakkal párhuzamosegyenesek (lásd 5. ábra).

7

Jegyezzük még, hogy párhuzamos śıkok nyomvonalai párhuzamosak.Két śık metszésvonalát a śıkok nyomvonalainak metszéspontjai határozzák meg (lásd 6. ábra).

Feladat 2 Adott egy S śık és egy e egyenes axonometrikus képével és nyomvonalával. Szerkesszük meg azS ∩ e pontot!

Ezt a feladatot visszavezetjük az előző példára, azaz két śık metszésvonalára. Az ötlet a következő.Veszünk egy śıkot e-n át, ennek az S-sel vett metszésvonala lesz f , ekkor az f ∩ e ⊂ S ∩ e def= P metszéspontmár azonnal megvan. A szerkesztést a 7. ábrán végeztük el, ahol mi az e-n átmenő z-vel párhuzamos L śıkotválasztottuk, hiszen ennek nyomvonalai épp l1 = e′, l2 illetve l3 pedig az e′ ∩ x és e′ ∩ y pontokon átmenőz-vel párhuzamos egyenesek (lásd 7. ábra).

Feladat 3 Adott egy S śıkbeli ötszög A, B, C, D, E pontjainak axonometrikus képe és az A′, B′, C ′ vetületekképei. Szerkesszük meg a D′, E′ pontokat, illetve a v irányból vetett árnyékát az átlátszatlan xy, xz ko-ordinátaśıkokra. (8. ábra)

A D′, E′ pontokat könnyen előálĺıthatjuk az átlók seǵıtségével. Vegyük az AC átlónak a BE, BD átlókkalvett metszéspontjait P, Q. Ekkor P ′, Q′ rajta van a megfelelő rendezőkön, és rajta van az A′C ′ vetületenis, azaz ezek metszete adja a P ′, Q′ pontokat 1.1.1. ábra (piros szerkesztés). Így a BE, BD egyenesekvetületei is megvannak B′P ′, B′Q′, melyekből D, E rendezői kimetszik a D′, E′ rendezőket (kék szerk.). Azárnyék késźıtéséhez vegyük a B pontot és nézzük meg ennek az árnyékát. A B ponton átmenő fénysugáregyenese a B-n átmenő v-vel párhuzamos egyenes lesz, vetülete pedig a B′-n átmenő v′-veé párhuzamosegyenes. E kettő metszéspontja pont az a pont ahol ez a fénysugár döfi az xy koordinátaśıkot (Bá az ábrán,lila szerk.). Azonban a C pontnál bajban leszünk. Az előbbi szerkesztés megadja a Cd pontot, de mivel azxz śık átlátszatlan, nem ez lesz a C pont árnyáka, mivel a fénysugár a CCd szakasz döfi az xz koordinátaśıkot (hiszen a vetületi szakasz C ′Cd metszi az x tengelyt). Ezért megszerkesztettük a szakasz és az xz

8

9

koordináta śık döféspontját (CNdef= C ′Cd∩x pontban a z-vel párhuzamos egyenes metszi ki CCd szakaszból

a döféspontot Cá-t, ami most a C pont árnyéka lesz az xz koordinátaśıkon, lila szerk.). A többi pontárnyékát is megszerkesztettük hasonlóan. Az árnyék CDEA töröttvonalával nincsen baj, hiszen ezek az xzkoordinátaśıkon vannak mind, ı́gy ezeketcsak össze kell kötni. De a BC, BA élek árnyékának végpontjaikülönbözö śıkokra esnek. Ha az xz koordinátaśık átlátszó lenne, akkor a BC szakasz árnyáka BáCd lenne, deaz R pontbanelakadunk. Semmi gond az árnyék az xz śıkon folytatódik, és ezen van Cá is és egyenes árnyékaegy śıkon egyenes, ı́gy csak össze kell kötni az R, Cá pontokat és megkaptuk, hogy a BC szakasz árnyékaa BáRCá töröttvonal lesz. Az AB szakasz árnyékát hasonlóan B-ből indulva az S pont felhasználásávalszerkesztettük meg.

Feladat 4 Adott egy xy śıkon álló gúla és egy xz śıkon álló egyenes hasáb (az alapjára merőlegesek alkotói).Szerkesszük meg a két alakzat láthatóságát és egy v irányból az átlátszatlan xy, xz śıkokra vetett árnyékokat.

Természetesen általános helyzetű testek esetén is képesek lennénk ezt megtenni, mivel egyenes és śık met-szetété tanultuk. Ezért csak az egyik test éleinek a másik lapjaival vett metszetét kellene megsterkeszteni(és ford́ıtva). A jelen elrendezésben azonban gyorsan megy a szerkesztés. A 1.1.1. ábrán a két testmetszéspontjait szerkesztettük ki. Kihasználva, hogy a hasáb alkotói merőlegesek az xz śıkra, először vissza-vet́ıtjük a gúla alkotóit merőlegesen az xz śıkra (piros pöttyözött és vonalas szerkesztés), majd megkeressük a

10

vetületi alkotók és a hasáb alapjának metszetét (pirossal jelölt pontok). Ezután az y tengellyel párhuzamosan(ami az xz śıkra vett vet́ıtési irány) visszavet́ıtjük a gúla alkotóira a metszéspontokat (kék pöttyözött és zöldpontok). Vigyázat ezek a pontok a hasáb oldalSÍKJAINAK az alkotókkal vett metszéspontjai. Pl. a felsőhárom zöld pont a hasáb felső oldallapján van, azonban ha valamelyik zöld pont nem az oldal képére (azábrán egy paralellogrammára) esne, akkor az a pont nem az oldallapon lenne, következésképpen nem lennemetszéspont. Jelen esetben minden zöld pont a megfelelő oldallap képén van, azaz mind metszéspont.

Az árnyékszerkesztést a jobb áttekinthetőség kedvéért a 1.1.1. ábrán szemléltetjük. Először is megsz-erkesztjük az előző feladatok szerint külön külön a két test árnyákát, és a valódi árnyék ”majdnem” ezekuniója lesz. A hasábnál arra kell figyelni, hogy az xy śıkkal párhuzamos egyenesek árnyéka párhuzamos leszaz xy śıkon az eredeti egyenesekkel (gondoljuk meg miért!). Így megszerkesztjük A, B pontok árnyékát avetületeik seǵıtségével (piros szaggatott szerk.) ezel Aá, Bá. Ezeken át az alkotókkal párhuzamosokat húzvakapjuk az árnyák G, T (sárga) pontjait, majd ezeket D, C-vel összekötve megkapjuk a hasáb árnyékát, amiaz AáBáTCDGAá poligon belseje.

A gúla árnyéka egyszerű, megszerkesztjük M, M ′ seǵıtségével Má-t, ami M árnyéka. Ezt kell az alapcsúcsaival összekötni, akkor kapjuk meg az árnyék fő éleit, ami ı́gy a PQMá háromszög lesz (kék szaggatottszerk.).

A gúla hasábra vetett árnyékához megszerkesztjük az M ponton átmenő fénysugár döféspontját az alapon.Ehhez vesszük az MMá egyenes merőleges vetületét az xz śıkra, és hogy ez az egyenes hol metszi a hasábalapját, majd ezt a pontot visszavet́ıtjük az élre. Ez a K pont (kék szaggatott pöttyözött szerk.). A hasábfedőlapján UV K háromszög az árnyék.

A ”nehezebb” ügy, a hasáb gúlára vett árnyéka. Mint látjuk az AB él árnyáka az xy śıkra AáBá amibelemetsz a gúla alpjába, azaz az AB él árnyéka ”felkúszik” a gúlára, megtörik rajta (ábrán JL szakasz).Mit tud az L-en átmenő fénysugár? Egyrészt rajta van az AB szaksz árnyékának útján, azaz az xy śıkotaz AáBá szakaszban metszi. Másrészt L ∈ MP miatt rajta lesz a sugár xy śıkkal vett döféspontja MPárnyékán MáP -n. Azaz L árnyáka MáP ∩ AáBá lesz (lila W pont). Ebből a pontból visszafelé húzott

11

fénysugár (lila egyenes) épp az L pontot metszi ki az MP szakaszból. Így az AB szakasz árnyéka AáJ, JLmajd L-ből ”leesik” a W pontba ésfolytatja útját WBá-n. Az ábrán hasonlóan szerkesztettük meg az AáCárnyék megtörését a gúla MR élén.

A kész végeredményt a láthatósággal és az önárnyékokkal a 1.1.1. ábrán látjuk.

Rövidülési arányok ortogonális axonometriánál Ha valaki figyelmes volt észrevehette, hogy az eddigiszerkesztéseknél nem használtuk ki a koordináta tengelyek merőlegességét, csak azt, hogy velük párhuzamosanvet́ıtünk a koordinátaśıkokra. Mit mondhatunk akkor, ha kihasználjuk az ortogonalitást. Tekintsük a 1.1.1.ábrát. A képśıkunk amire vet́ıtünk elmetszi a koordináta tengelyeket az Nx, Ny, Nz nyompontokban pon-tokban. (Mindig úgy fogunk a rendszerünkre gondolni, hogy az O pont a képśık mögött van. A nyompontokNxNyNz∆ háromszögét nyomháromszögnek nevezzük (piros az ábrán). Az O pont merőleges vetületéta képśıkra kivételesen jelölje Ov hogy a térbeli O ponttól könnyebben megkülönböztessük. A koordinátatengelyek etületei, ekkor az OvNx, OvNy, OvNz (fél)egyenesek lesznek (az ábrán kék). Vegyük az O, Nz, Ovpontok śıkját, ez a képśıkból az OvNz egyenest metsi ki és ez a śık merőleges a képśıkra, hiszen a képśıkramerőleges OOv egyenesre illeszkedik. Továbbá, ha v

def= OvNz ∩ NxNy akkor NzOV ] = 90◦, hiszen ONz

merőleges az xy śıkra, ı́gy annak minden egyenesére, spec. OV -re is. Ami még fontos, hogy NzV ⊥ NxNy, hiszen mint modntuk az OV Nz śık merőleges az xy śıkra és a képśıkra is, azaz e két śık metszésvonaláraNxNy-ra is. De hasonló okok miatt. NyOv ⊥ NxNz és NxOv ⊥ NyNz azaz:

Az NxNyNz∆ nyomháromszögnek a tengelyek axonometrikusképei NxOv, NyOv, NzOv éppen a mag-asságvonalai.

Forgassuk most be az OV Nz∆ derékszögű háromszöget a képśıkba az NzV egyenes mentén (1.1.1. ábra).

Ekkor az βzdef= OzNzV ] a z tengelynek és a képśıknak a hajlásszögével lesz egyenlő, és OOv beforgatottja

12

13

14

OzOv pedig merőleges lesz OvNz-re. Az |OzOv| távolság pedig nem más, mint az O pont képśıktól mérttávolsága. Hasonlóan, ha az Ov pontban merőlegest álĺıtunk az x tengelyre (az axonometrikus képre), akkor

ez kimetszi az Ov körüli |OzOv| sugarú körből az Ox pontot. Az βx def= OxNxOv] az x tengelynek ésa képśıknak a hajlásszöge (zöld szerkesztés). Kékkel kiszerkesztettük hasonló módon a βy

def= OyNyOv]

szöget, mely az y tengely és a képśık hajlásszöge.Mit jelentenek a

qxdef=

OvNxOxNx

, qydef=

OvNyOyNy

, qzdef=

OvNzOzNz

arányok? Mivel |OxNx| = |ONx| a beforgatás miatt, és az ONx szakasz axonometrikus képe OvNx ı́gy qxa rövidülési arányszám lesz. Azaz a valódi (térbeli) x tengelyen egy t hosszúságú szakasz axonometrikusképe qx·t hosszúságú lesz. Hasonlóan qy, qz az y ill. z tengellyel párhuzamos szakaszok rövidülési arányszámalesz. Azaz pl. egy y tengellyel párhuzamos térbeli egyenesen egy t (valódi) hosszúságú axonometrikus szakaszképe qy · t hosszú lesz. Mielőtt felhasználnánk ezeket a rövidülési arányszámokat szerkesztési feladatokhoz,nézzük meg hogy egy ortogonális tengelykereszt esetén milyen összefüggéseknek kell teljesülnie a qx, qy, qzértékekre.

A 1.1.1. ábrán a derékszögű háromszögek miatt qx = OvNxOxNx = cos βx hasonlóan qy = cos βy, qz = cos βz.Tekintsük most a 1.1.1. ábrát ahol a térbeli derékszögő koordináta rendszerben felvettönk egy P = (px, py, pz)koordinátájú pontot, mely az az O origótól r távolságra van és az OP szakasz x, y, z tengelyekkel bezártszöge αx, αy, αz. Az OPPx∆ derékszögű háromszögből cos αx = pxr . Hasonlóan cos αy =

pyr , cos αz =

pzr

adódik. Ekkor azonban

cos2 αx + cos2 αy + cos2 αz =p2x + p2y + p2z

r2=

r2

r2= 1,

ahol felhasználtuk a térbeli Pithagorasz tételt. Válasszuk most speciálisan a P = Ov pontot (1.1.1. ábra).

15

16

A beforgatás után mint korábban emĺıtettük előállnak az αx, αy, αz szögek (lásd 1.1.1. ábra), és pl. azOvOzNz∆ derékszögű háromszögből adódik, hogy βz = 90◦−αz (hasonlóan βx = 90◦−αx, βy = 90◦−αy).Ezekből pedig cos βx = sin αx, cosβy = sin αy, cosβz = sin αz. Felhasználva a sin2 α+cos2 α = 1 összefüggést

cos2 βx + cos2 βy + cos2 βz = sin2 αx + sin2 αy + sin2 αz = 1− cos2 αx + 1− cos2 αy + 1− cos2 αz= 3− 1 = 2

azaz qx = cos βx... miattq2x + q

2y + q

2z = 2

összefüggésnek teljesülnie kell a rövidülési arányszámolra, azaz azok nem lehetnek tetszőlegesek egy orto-gonális tengelykereszt esetén.

Még valamire fell h́ıvni a figyelmet. Honnan tudjuk meg a nyomháromszöget, ha csak a tengelykeresztvetülete adott? Sehonnan! Nézzük megint a 1.1.1. ábrát. Ha itt a képśıkot párhuzamosan eltoljuk, akkora tengelykereszt merőleges vetülete nem fog látszani a lapon, azaz nem tudjuk meg, hogy az O pont milyenmessze van valójában a képśıktól. Annyi biztos, hogy az NxNy, NxNz, NyNz egyenesek merőlegesek a z, y, xtengely (képekre). Így, ha az egyiket tetszőlegesen felvesszük, akkor a 1.1.1. ábra szerkesztéseiből a többimár egyértelműen adódik. Viszont ez a hasonlóság a rövidüliési arányszámokat nem határozzák meg. Azaz,ha tetszőlegesen felveszünk egy egységet és a szerkesztéseket (lásd később) ezzel végezzük el, akkor a kapottkép a valóditól csak egy nagýıtásban, vagy kicsinýıtésben tér el.

Feladat 5 Szerkesszük meg a Monge féle vetületeivel adott hiányos rombododekaéder képét egy adott temge-lykeresz esetén!

Ezzel a feladattal az ábrázoló I.-ben már találkozhattunk. A 1.1.1. ábrán megadtuk az alakzat felülés oldal nézetét. Minden oldal egy rombusz lesz, és az ábrán összesnek pontok a vet́ıtésnél (ahogyan aztfeltüntettük az A, B, C, D pontok vetületei esetén).

Először a rövidülési arányokat szerkesztjük ki 1.1.1. ábra. A korábban tanult módon megszerkesztjüka βx, βy, βz, majd ezeket átmétjük egy másik félegyenesre (jobb része az ábrának). Itt megmodjuk azegységszakasz hosszát, és egy ilyen sugarú körrel elmetszük az x0, y0, z0 félegyeneseket. A kapott metszéspontokatlevet́ıtve adódnak az egységszakasz ábrázolt hosszai (az ábrán az egységszakasznak a 1.1.1. ábrán lévőnégyzetátlók felét vettük).

Ezekután megszerkesztjük az xy śıkra a vetületet és z-vel párhuzamosan felmérjük a magasságokat 1.1.1.ábra. Az ábrán a láthatóságot is feltüntettük. Jelen esetben az árnyékszerkesztés is egyszerűbb, mint ateljesen általános esetben (ahol hihetetlenül el tudnak bonyolódni a dolgok), mivel egyes lapok föggőlegesek,ı́gy, ha rájuk esne egy csúcs árnyéka, akkor azt a korábbi 4. példa esetében is megtettük (persze ha a láthatóalsó lapokon is megtörik egy él árnyéka, akkor bonyolódik az ügy).

1.1.2 Kör képe

Röviden szót ejtünk körök képéről, melyek ellipszisek lesznek. Ezeket vagy sok pontjuk kiszerkesztésével”nagyjából” megrajzoljuk (hiszen körzőnk van, de ”ellipsziszőnk” nincsen), vagy egy szerkesztőprogram (pl.a GeoGebra) öt pontra tud ellipszist illeszteni, ı́gy pontosan megajzolható az alakzat.

Mint ismeretes egy kör merőleges tengelyes affinitásnál vett képe ellipszis lesz. A tengellyel párhuzamosátmérő képe lesz az ellipszis egyik átlója, a rá merőleges átmérő pedig a másik átlóba megy (1.1.2. ábra).Az ábrán egy speciális köri pont kiszerkeszése is látható, mely azért érdekes, mert a merőleges vet́ıtéspárhuzamosság tartása miatt csak at ellipszis átlóinak ismeretében is kiszerkeszthető ez a speciális pont.Gondoljuk meg, hogy ı́gy igazából 8 db az ellipszis csúcsaitól különböző pont szerkeszthető meg.

Nézzük most meg, hogy hogyan szerkeszthetjük meg egy olyan kör axonometrikus képét, mely valamelyikkoordinátaśıkban fekszik.

Feladat 6 Legyen adva egy tengelykereszt és a nyomháromszöge, továbbá egy K pont képe, mely az xy śıkbanfekszik. Sezkesszük meg a K középpontú r sugarú kör axonometrikus képét!

17

18

19

20

A következót fogjuk tenni. Beforgatjuk az xy śıkot az NxNy nyomvonal körül a képśıkba. Ez egymerőleges tengelyes affinitás az xy śık axonometrikus képe és a képśık között melynek tengelye az NxNynyomvonal (ha az yz vagy xz koordinátaśıkkal dolgotnánk, akkor a megfelelő NyNz illetve NxNz nyomvonalaklennének a tengelyek. Mint azt az ábrrázoló geo. I.-ben emĺıtettük Egy pont és a képe által meghatározottegyenes merőleges lesz a tengelyre, és párhuzamos egyenesek képe párhuzamos. Amit mi használunk az csakannyi, hogy a tengellyel párhuzamos egyenesek képei is a tengellyel párhuzamosak lesznek.

Tekintsök a 1.1.2. ábrát. Szerkesszük meg az O leforgatottját. Ez rajta van az O-n átmenő tengelyremerőleges egyenesen. Másrészt viszont a térbeli NyONx∆ háromsuög derékszögű O-nál és ennek leforgatottjalesz NyOLNx∆, amely valódi alakjában fog látszani, azaz ez is OL-nél derékszögű lesz. Így azonban OL rajtalesz az NyNx szakasz Thalesz körén. Az ONy, ONx egyenesek képei pedig OlNy, OLNx lesznek. Vegyük aK-n átmenő tengellyel párhuzamos UT szakaszt. Az U pont leforgatottja rajta van az U -n átmenő tengelyremerőleges egyenesen és az ONy szakasz képén OLNy-n. Hasonlóan szerkeszthető meg TL is. Ezek utánegyszerűen megszerkeszthető K leforgatottja KL, hiszen ez rajta van a K-n átmenő tengelyre merőlegesegyenesen, és az UT szakasz képén ULTL-en. Most vesszük a KL körüli r sugarú kört és ezt visszaforgatjuk(vissza affińıtjuk). A kör tetszőleges pontjának ősét, hasonlóan szerkesztjük meg mint KL-et, azaz egy rajtaátmenő rengellyel párhuzamos egyenes ősét szerkesztjük meg, majd ezt metszük el a ponton átmenő tengelyremerőleges egyenessel (kék ill. lila szerkesztések).

Végül jegyezzük még meg, hogy a kör hengerek kör kúpok kezelése nem egyszerű, A metszetek negyedfokúgörbék is lehetnek, melyeknek sok pontját ki kell szerkeszteni, hogy látható (felismerhető) legyen a metszet.

1.1.3 Távolságok

Legyen adott egy AB szakasz (és A′B′ vetülete). Hogyan szerkeszthető ki az AB szakasz valódi hossza?Mint tdjuk, ha az ortogonális koordináta rendszerben az A, B pontok koordináta különbségei (x0, y0, z0),akkor a Pithagorasz tétel alapján |AB| =

√x20 + y

20 + z

20 lesz (itt

−−→AB = (x0, y0, z0)). Az x, y, z tenge-

lyekkel párhuzamos x0, y0, z0 hosszú szakaszokat a 1.1.3. ábra alapján szerkeszthetjük meg (piros vonalaka megfelelő tengelyekkel párhuzamosak, mı́g a kékek jelölik az x0, y0, z0 távolságokat).

21

22

Ezek után nincs más dolgunk, mint kiszerkeszteni egy nyomháromszög alapján a rövidülési arányokat,ahogyan azt a 1.1.1. ábrán is tettük egy korábbi feladat esetén., Itt felmérve a v́ızszintes egyenesre azx0, y0, z0 távolságokat, megszerkesztjük ezek eredeti hosszait (láds 1.1.3. ábra). Jelölje a valódi hosszakatxv, yv, zv majd ezek seǵıtségével a Pithagoasz tétel alapján kiszerkesztjük a valódi hosszat (1.1.3. ábra).

1.1.4 Śıkok kezelése

Először nézzük meg, hogy hogyan tudunk egy śıkra merőleges egyenest álĺıtani (azaz a normálirányt meghatározni).Legyen adott az S śık, és tegyük fel, hogy egy e egyenes merőleges rá. Ekkor e merőleges a śık összes

egyenesére is, azaz az n1, n2, n3 nyomvonalaira is. Viszont a megfelelő śıkokra való vet́ıtéseknél ezek anyomvonalak fixek, tehát amerőleges vet́ıtések miatt az egyenes ortogonális vetületei merőlegesek a megfelelőnyomvonalakra (e′ ⊥ n1, e′′ ⊥ n2, e′′′ ⊥ n3). Azonban van mégegy egyenspár, melyek merőlegesek egymásra.Ha K a képśık és nK

def= K ∩S a śık nyomvonala a képśıkon, akkor a térbeli egyenesekre e ⊥ nK teljesül, de

hasonlóan az előzőekhez, ha eK jelöli most az e egyenes axonometrikus képéet a képśıkon, akkor eK ⊥ nK isigaz. A śık nK nyomvonalát úgy szerkeszthetjük meg, hogy vesszük a nyomháromszöget (most kiválasztunkegyet, és ezzel rögźıtjük a képśıkot is egyben). Majd a nyomháromszögnek a śık nyomvonalaival vett metszeiolyan pontok, melyeknek rajta kell kelliük, az nK nyomvonalon, azaz ezek egyenese lesz az nK nyomvonal(lásd 1.1.4. ábra piros). Ha most a P ponton át szeretnénk az e egyenest fektetni, akkor p-ből merőlegest kellbocsájtani nK-ra és ez lesz e axonometrikus képe. Meg kell még szerkeszteni pl. az e′ vetület képét. Ehhezleforgatjuk az xy śıkot a szokott módon (O beforgatásával + Thalász körrel), majd megszerkesztjük a P ′ ésaz n1 nyomvonal leforgatottját is. Ha n1 leforgatotja n1L és P ′-é PL, akkor a következőt modhatjuk. Mivele′ átmegy P ′-n és merőleges n1-re, ezért az e′ leforgatottja e′L átmegy P

′L-en és merőleges n1L-re, ı́gy tehát

meszerkeszthető (kék szerkesztés). Nincs más hátra, mint megszerkeszteni az eredeti (visszaforgatott e′-t).

23

Ennek egy pontját már ismerjük egy másik pontja pedig Qdef= e′L ∩NxNy hiszen ez a pont a leforgatásnál

fix, mert a leforhatás tengelyén van rajta.Nézzük, hogy hogyan lehet beforgatni egy śıkot a képśıkba. Ez azért hasznos, mert a śıkon lévő alakkzatok

valódi alakjukban fognak látszani, és egy ”valódi” alakzatot vissza tudunk, majd forgatni a śıkukba.

Feladat 7 Adott egy S śık, és bene egy P pont. Szerkesszünk egy szabályos háromszöget, az S śıkba, melyegyik csúcsa P !

Ahogy mondtuk nincs más dolgunk, mint beforgatni az S śıkon az ndef= S ∩ K nyomvonala körül a

képśıkba, illetve a rajta fekvő P pontot, szerkeszteni egy szabályos háromszöget PL csúccsal, majd visszafor-gatni azt.

1.2 Perspekt́ıva

A következő részben a perspekt́ıv ábrázolással fogunk megismerkedni, amely ”életszerűbb” képet ad azaxonometrikus ábrázolásnál és közelebb van ahhoz, amit az emberi szem lát. Mindenki ismeri azt a hatást,amikor egy śın párhuzamos széleit nézzük, vagy egy hosszú egyenes útszakaszét és úgy tűnik, mintha a szélek a”végtelenben” összetertanának, ez a jelenség az axonometrikus ábrázolásban nem jelenik meg. /Itt jegyezzükmeg, hogy nem szerencsés arról beszélni, hogy a párhuzamosak a végtelenben találkoznak, hiszen milyenvégtelenben? Az euklideszi térben nincsen(ek) végtelen távoli pont(ok). Ehhez a modellt ki kell bőv́ıteni ésúj pontokat bevezetni, amik a végtelen távoli pontok szerepét fogják betölteni valamilyen értelemben. Ezáltal kapjuk a projekt́ıv śık ill. tér modelljét, amiben lehet értelmet tulajdońıtani olyan megjegyzéseknek is,mint ”a párhuzamos egyenesek a végtelenben találkoznak”./

A perspekt́ıvikus ábrázolás alapgondolata a következő. Tekintsük egy C pontot a térben, ezt a pontotcentrumnak fogjuk nevezni, illetve egy K śıkot, a képśıkot, melyekre C /∈ K teljesül. Egy tetszőlegesP 6= C pontnak a képe PK def= K ∩ CP , azaz a CP egyenesnek és a K képśıknak a metszete (ezt centrálisvet́ıtésnek nevezzük). Ha meggondoljuk egy fénykép is hasonló módon áll elő a fényképezőgép lencséjén

24

25

26

keresztül, vagy az általunk látot kép a szemlencsén keresztül. Először tekintsük át, hogy egy śık hogyanképződik le a K képśıkra. A fejezetben először speciális eseteket nézünk, majd az egyre bonyolultabbak feléhaladunk, remélhetőleg ezzel előseǵıtve a megértést. A fejezet végén térgyaljuk a centrális vet́ıtést általánosanés a benne elvégezhető szerkesztéseket, előtte a valódi képalkotáshoz közelebb álló perspekt́ıv képalkotássalfoglalkozunk.

1.2.1 Az alapśık képe

Tekintsük a 1.2.1.ábrát Itt C a centrumpont, melyből a vet́ıtősugarak indulnak, K a képśık és A az alapśıkmelyre úgy gondolhatunk, hogy ezen állunk ez a talaj vizszintes śıkja. Az e egyenes képét úgy kapjuk mega képśıkon, hogy e minden pontját összekötjük C-vel (azaz vesszük e és C śıkját) és amit ez kimetsz a Kképśıkból az e képe eK . Ha az e egyenes C.től egyre tévolabbi pontjait kötjük össze C-vel (azaz az ábrána P pont kifut a végtelenbe), akkor a határegyenes amit ı́gy kapunk épp a C-n átmenő e-vel párhuzamosegyenes lesz. Azt is mondhatnánk pongyolán fogalmazva, hogy az e egyenes ”végtelen távoli pontjának képe”(prećızen az ideális pontjának képe a projekt́ıv térben) épp Je-be vetül, amit az e egyenes iránypontjánaknevezünk. A C-n átmenő e-vel párhuzamos egyenes benne van a C-n átmenő, alapśıkkal párhuzamos śıkban,amit horizontśıknak mondunk, az ábrán H. A h

def= H ∩K egyenes a horizont vonal, mely a képśıkon az

alapśık ”végtelen távoli” pontjainak felel meg.Vegyük észre, hogy az e egyenes egy félegyenese a h alá vetül, mı́g azon része, mely a C-n átmenő K-val

párhuzamos śık által kettéosztott tér azon részébe esik, mely K-t nem tartalmazza, azok a h fölé vetülnek.Mivel a valóságban ezek nem jelennek meg (értsd, nem látjuk a fejünk mögötti dolgokat, ill. a feényképezőgépazt fényképezi, ami előtte van és nem azt ami mögötte, ezért ezeket nem rajzoltuk meg az ábrán, hogy nelegyen zavaró.

Egy másik észrevétel, hogyha e||e′ akkor közös az iránypontjuk.Az a

def= A∩K egyenest alapvonalnak h́ıvjuk, mely azért fontos, mert ezek azok a pontjai A-nak melyek

a vet́ıtésnél helyben maradnak. Így pédául az alapvonalon lévő távolságok valódi nagyságukban látszanak,mı́g a többi távolság a vet́ıtés során rövidül!

Még egy fontos pont van a 1.2.1. ábrán, mégpedig a C centrum merőleges vetülete a K képśıkra F amitfőpontnak nevezük, a CF távolságot pedig szemtávolságnak.

Gonduljuk meg azt is, hogyha veszünk egy e-vel párhuzamos g egyenest a térben, tehát már nemszükségszerően az alapśıkban van g, akkor ennek a ”végtelen távoli” pontjának a képe, a Jg iránypont aképśıkon, meg fog egyezni Je-vel. Azért, mert a g egyenes C-től egyre távolabbi pontjait összekötve C-vel, akapott egyenesek tartanak a C-n átmenő g-vel párhuzamos egyeneshez. Mivel e||g ezért a határegyenes amitkapunk megegyezik a CJe irányegyenessel. Összefoglalva:

A térben lévő bármely két párhuzamos egyenes képeinek iránypontja egybeesik a K képśıkon.Tekintsük a 1.2.1.ábrát, mely az ábrázolt képet mutatja. Ezen az ábrán feltüntetjük a horizontvonalat, az

alapvonalat, a főpontot és a távkört, mely egy F középpontú szemtávolság (|CF |) sugarú kör. Ezekre azértvan szükség, mert ezek alapján és az ábrázolt kép alapján, már vissza tudjuk nyerni a térbeli (alapśıkonfekvő) egyenes valódi helyzetét. Ehhez nincs más dolgunk, mint veszünk egy a K śıkra F -ben álĺıtottmerőleges félegyenest és felvesszük ezen a C pontot szempont távolságnyira F -től (szemtáv.=távkör sugara).Ezután vesszük a CJe egyenest és egy vele párhuzamos egyenest az Ne nyomponton át. Amit kaptunk éppe lesz. (Persze más képet kapunk, ha C-t a képśık másik oldalán vettük volna fel, de a kapott rekonstruáltA-beli alakzatok egybevágóak /a K-ra vett tükrözésnél/, és minket csak egybevágoság ereéig érdel a rekon-strukció. Egy valódi képnél persz mindig a kép elé vesszük fel C-t, mert ı́gy kapjuk meg az eredeti alakzatokrekonstrukcióját.)

A 1.2.1. ábrán még két pont van amiről érdemes szót ejteni, a távkörnek és a horizontvonalnak ametszéspontjai R és T . Mivel |CF | = |FT | távolságok egyenlőek CFT∆ egy egyenlő szárú háromszög,melynek F csúcsánál derékszöge van, azaz TCF] = 45◦ (azaz a C csúcsú kúp, amit a távkör határoz meg45◦ félnýılásszögű). Így a CT, CR egyenesek 45◦-os szöget zárnak be az a (ill. h) egyenesekkel, ezért az

27

28

iránypont szerkesztéséről mondottak alapján R, ill. T azon egyenes iránypontja, melyek az a alapvonallal45◦-os szöget zárnak be. Hasonló okok miatt F az a-ra merőleges egyenesek iránypontja. Jegyezzük mégmeg, hogy az a-val párhuzamos egyenesek képei a K képśıkon a-val párhuzamosak lesznek (ez a 1.2.1. ábraalapján könnyen látható).

Azaz a fenti megjgyzések alapján könnyen szerkeszthetünk a-val párhuzamos, rá merőleges, ill. vele45◦-os szöget bezáró egyeneseket.

Feladat 8 Késźıtsük ek egy olyan négyzetrácsnak a képét, mely az a alapvonalra illeszkedik és adott dhosszúságú a négyzetek oldalhossza.

A szerkesztést a 1.2.1. ábrán követhetjük nyomon. Mivel a rács az a alapvonalra illeszkedik, melyen atávolságok valódi nagyságukban látszanak, ı́gy erre d hosszú szakaszokat mérünk fel. A szakaszok végpontjaibólaz a-ra merőleges egyenesek (szakaszok) indulnak, ezért ezeknek az F pont az iránypontjuk. A rács a-valpárhuzamos szakaszai a képśıkon is párhuzamosak lesznek a-val, de nem tudjuk hol helyezzük el őket. Ehhezhasználjunk egy átló egyenest. Mivel az átló 45◦-os szöget zár be a-val, ı́gy a korábbiak alapján R lesz (azegyik árlóirány) iránypontja. Az átló az a-ra merőleges egyeneseket épp rácspontokban metszi, ezért ezekenát kell az a-val párhuzamos egyeneseket meghúzni.

Más szerkésztési feladatok is elvégezhetőek könnyedén. Egy szakasz tetszőlegesen sok egyenlő részreoszthatunk fel. Ehhez azt használjuk fel, hogyha az a-val párhuzamos egy b egyenes a képśıkon, akkoregyenlőhosszú szakaszok képeo is egyenlő hosszúak (ez az a-val nem párhuzamos egyenesekre nem igaz. Azálĺıtás könnyen igazolható hasonlóság alapján. Ha pl. a 1.2.1. ábrán b az egyik a-val párhuzamos egyenes,akkor az F pontból vegrehajtott hasonlóság (jelen esetben kicsinýıtés) miatt az a-n egyenlő hosszú szakaszokhasonlóságnál vett képei b-n is egyenlő hosszúak. De ez az alapśıkon annak felel meg, hogy a-ra merőlegesegyenesek (mivel F -en mennek át a képeik) metszik ki az a-ra merőleges valódi b-ből az ábrázolt szakaszokatezért ezek egyenlő hosszúak kell hogy legyenek (1.2.1. ábra jobb oldala). Tehát a következőt mondhatjuk:

Feladat 9 Adott az AB szakasz képe osszuk fel n részre úgy, hogy a valódi szakaszok (melyek ábrázolt képétszerkesztjük meg) egyenlő hosszúak legyenek.

29

Vegyünk fel az a egyenessel (vagy h-val) párhuzamos egyenest az A ponton át és osszuk fel n egyenlőrészre (1.2.1. ábra). Ezek a fentiek alapján a valóságban is egyenlő hosszú szakaszoknak felelnek meg.Az osztópontokat kössük össze a h horizontvonal egy tetszőleges J pontjával. Az ı́gy kapott egyenesekmetszéspontjai az AB szakasszal a keresett osztópontokat adják. Ez azért van ı́gy, mert a J-n átmenőegyebesek a valóságban mid párhuzamosak (lásd 1.2.1. ábra jobb oldala). Ezért a párhuzamos szelők tételemiatt a valódi AB szakaszból kimetszett szakaszok is egyenlő hosszúak, és mi a képśıkon pont ezek képeiszerkesztettük meg.

1.2.2 Az alapśık képśıkba forgatása

Nézzük most meg, hogy az alapśıkon fekvő alakzatok képeit ismerve, hogyan szerkeszthetjük ki az eredetialakzatokat, illetve, ha adott egy ”alaprajz” (egy alakzat valódi alakja), akkor hogyan szerkeszthetjük kiennek a prjekt́ıv képét.

Tekintsük ismét a 1.2.1. ábrát. Ezezn az A alapśıkot beforgathatjuk a körül a K képśıkba (forgatásirányát úgy választjuk meg, hogy a C alatti része az alapśıknak az ábrán lefelé forogjon). A H horizontśıkotis beforgathatjuk az képśıkba a h horizontvonal körül (ugy hogy az ábrán a C pontot tartalmazó részlefelé forogjon). Azt fogjuk gondolni, hogy a két ı́kot egyszerre forgatjuk be a K képśılba és azon mindkétforgatás eredményét ábrázoljuk. Ez világos lesz a . ábra magyarázata után. Legyen adva a K képśık aza, h vonalakkal az F főponttal és a távkörrel (1.2.2. ábra) továbbá e képe. Az 1.2.1. ábrán láttuk, hogya C ponton átmenő e-vel párhuzamos egyenes a K képśıkot a Je iránypontban döfi. Ha a H horizontśıkotleforgatjuk h körül, akkor C a távkörre esik (hiszen a kör sugara épp |CF |) és az F re merőleges egyenesenlesz, azaz C leforgatottja épp CL (lásd 1.2.2. ábra). Mivel a forgatásnál a Je iránypont fix, ezért a CJeegyenes leforgatottja CLJe lesz. Gondoljuk meg, hogy ha a H és A śıkokban veszünk egy-egy egyenest, melyekpárhuzamosak, akkor ezek beforgatottjai szintén párhuzomosak lesznek. Azaz mivel a valódi e párhuzamosa CJe egyenessel, ezért e képe eL (az A śık beforgatásánál) párhuzamos lesz CJe beforgatottjával CLJe-vel. Az alapśık beforgatásánál az alapvonal fixen marad, ezért e nyompontja Ne is fix, ı́gy a beforgatott elpárhuzamos átmegy ezen a ponton (és párhuzamos ClJe-vel ezért meg tudjuk szerkeszteni). Kérdés, hogyhova megy az e egyenes egy E pontja a beforgatásnál. Ehhez elég egy tetszőleges f egyenes képét felvenni amiátmegy E-n és ekkor a beforgatott egyenesek metszéspontja eL ∩ fL lesz E beforgatottja EL. A szerkesztésmeggyorśıtható, ha f -et ügyesen vesszük fel. Legyen f

def= CLE, ivel ekkor f beforgatottja fL = CLJf = f

(azaz f egy olyan speciális egyenes, melnek beforgatottja önmaga!). Így EL = eL ∩ fL = eL ∩ CLE alapjánszerkeszthető.

Persze az egész szerkesztés meg is ford́ıtható. Azaz adott egy e egyenes beforgatottja eL és azon egy ELpont. Szerkesszük meg a perspekt́ıv képeoket! A 1.2.2. ábra és az előző gondolatmenet alapján vegyük CL-enát eL-lel párhuzamos egyenest, mely a h horizontvonalból kimetszi a Je iránypontot. Ekkor az Ne = eL ∩ anyompont és Je egyenese lesz épp e. Az e egyenesből ELCL metszi ki az E pontot.

Feladat 10 Szerkesszünk meg egy szabályos d oldalhosszú háromszög perspekt́ıv képét, mely egyik alapja

30

párhuzamos a-val és átmegy a képével adott P ponton!

Szerkeszthetnénk úgy, hogy felveszünk egy P -n átmenő tetszőleges egyenest, majd a tanult módon megsz-erkesztjük a beforgatott PL pontot. Ezzel a csúcsal egy a-val párhuzamos d oldalú szabályos háromszögetszerkesztünk, és ismét tetszőleges egyenesek seǵıtségével visszaforgatjuk a háromszög csúcspontjait. Ennelegy kicsivel rövidebb a következő szerkesztési eljárás. A szerkesztést a 1.2.2. ábrán követhetjük.

Az a-val párhuzamos alap képe a P -n átmenő a-val párhuzamos e egyenes lesz. Erre az egyenesremegtudjuk szerkeszteni egy d hosszú szakasz képét a tanult módszerrel, azaz R

def= FP ∩ a ponból felmérjük

a d távolságot, ı́gy kapjuk T -t. Majd Qdef= FT ∩ e elsz a keresett pont. Ezzel a keresett háromszög két

pontja megvan. Legyen G a PQ szakasz felezőpontja, ekkor FG a valódi PQ szakasz felezőmerőlegeséneka képe f , ennek a beforhatottját fL megszerkesztjük, és a beforgatott GL pontot is. Az e beforgatottjaátmegy GL-en és a-val párhuzamos (hiszen e is párhuzamos volt a-val). Az eL egyenesre megszerkesztjük aPL, QL leforgatottakat a tanult módon, és megszerkesztjük a PLQL oldalú szabályos háromszöget (jegyezzükmeg, hogy a beforgatott háromszög valódi alakjában látszik, azaz PLQLVL∆ egy d oldalhosszú szabályosháromszög). Nincs más hátra már, mint a Vl beforgatott háromszögcsúcspontot eredeti képét megszerkesztenif -en.

1.2.3 Távolságok felmérése

Mint azt láttuk korábban az A alapśıkban az a alapvonal az az egyenes, melynek képén a szakaszokvalódi hosszukban látsznak. Ezt a tényt felhasználva a tengelyes tükrözés seǵıtségével más egyenesekre isfelmérhetünk szakaszokat (illetve azok perspekt́ıv képét meg tudjuk szerkeszteni). A 1.2.3. ábrán láthatjuk aszerkesztést. Először tekintsük az ábra jobb oldalát, ahol az A alapśıkban fekvő e, a egyenesek vannak adva.Ha a két egyenes egyik szögfelezőjét kiválasztjuk és arra tükrözünk, akkor egy RS ⊂ a szakasz tükörképePQ ⊂ e az eredetivel egyenlő hosszú lesz. A tükrözésre úgyis gondolhatunk, hogy a másik szögfelezővel

31

párhuzamos egyeneseket húzunk az RS pontokon át és ezek metszik ki a PQ szakaszt. Nézzük most az ábrabal oldalát. Kezdetben adva vannak az a, h, e egyenesek a távkör és az F főpont, iletve egy P pont az e-n. Ideszeretnénk egy adott |RS| hosszú szakaszt felmérni. Az ötletünk az, hogy megpróbáljuk a a, e valódi egyene-sek egyik sögfelezőjének iránypontját megszerkeszteni, hiszen ezen mennek át a PR, QS egyenesek képei. Eztaz iránypontot pedig beforgatással fogjuk megszerkeszteni. Ha vesszük a C centrumpont leforgatottját CL-t,akkor tudjuk, hogy a Je irány ponttal összkötve CLJe párhuzamos e beforgatottjával. Mivel a beforgatottjaönmaga ezért a CLJe és a szöge megegyezik a valódi e és a szögével. Ennek a szögnek egy szögfelezőjévelpárhuzamos BCL, ahol a B pontot a Je középpontú |JeCL| sugarú kör metszette ki. Ez azért van ı́gy,mert a BJeCL∆ egyenlőszárú háromszög Je csúcsánál van az a szög, mely szögfelezőjével párhuzamosatkeresünk és az ”egyenlő szárúság” miatt az alap BCL a Je csúcsnál lévő szögfelezőre merőleges, azaz a külsőszögfelezővel párhuzamos. Tudjuk, hogy ezzel párhuzamos egyenes CL-en át adja meg a párhuzamos egye-nessereg iránypontját. Szerencsére ez épp B a szerkesztés miatt. A BP egyenes kimetszi R-et a-ból. Majdide felmérjük az RS szakaszt és BS egyenes kimetszi e-ból Q-t. Ha mégegyszer végigmegyünk a szerkesztésenláthatjuk, hogy nem is olyan hosszú:

1. a CL lefrgatottal ”elkörzünk” Je-ből, ami adja B-t;

2. a BP egyenes kimetszi a-ból R-et, amelyből felmérjük a szerkesztendő szakasz valódi hosszát, ı́gykapjuk S-et;

3. a BS egyenes kimetszi a keresett Q-t.

Ezek után már megoldhatjuk az alábbi feladatokat:

Feladat 11 Adott egy félegyenes képe és egy d távolság. Szerkesszünk d oldaltávolságú négyzetrácsot (aperspektv képét) mely a félegyenesre illeszkedik.

A 1.2.3. ábrán látjuk a szerkesztést. Az előzőek alapján az E-ből induló félegyenesre ”felmérünk” azazonos távolságokat az Oe illetve P, Q, R, S pontok seǵıtségével. A következő lépés megszerkeszteni az

32

E ponton átmenő e-re merőleges félegyenest f -et. Ehhez felhasználjuk, hogy CLJe párhuzamos e befor-gatottjával, azaz ha CL-en át erre merőleges egyenest veszünk fel, akkor az párhuzamos lesz a keresett fbeforgatottjával, és ez fogja kimetszeni a Jf iránypontot. A Jf iránypontot összekötve az e félegyenesreelőbb ”felmért” szakaszok végpontjaival (zöld szerkesztés Jf -ből) megkapjuk a rács e-re merőleges egyene-

seit. Az fdef= JfE egyenesre a tanult módszerrel ”felmérjük” a rács oldalhosszait az Of , T, V, W pontok

seǵıtségével. A ”felmért” szakaszok végpontjait összekötve Je-vel kapjuk a rács e-vel párhuzamos egyeneseit.Mint látjuk a beforgatás és ”felmérés” módszerével bármely valódi alakjában adott A alapśıkban fekvő

śıkidom perspekt́ıv képét meg tudjuk szerkeszteni. Itt az ideje tehát, hogy kilépjünk az alapśıkből és másszakaszokat is megszerkesszünk. A követkesző speciális osztály amit könnyen tudunk szerkeszteni, az Aalapśıkra merőleges egyenesek (szakaszok), hiszen ezek ábrázolt képei mind függőlegesek lesznek (azaz az aalapvonalra merőlegesek).

Ezek közül is speciálisak azok, melyek a K képśıkban vannak (azaz olyan egyenesek, melyek metszik azalapvonalat), hiszen ezek valódi nagyságukban látszanak. Ahogyan azt a 1.2.1. fejezetben megállaṕıtottuk,ha az alapśıkban adott egy e egyenes, és egy vele párhuzamos f , mely nem feltétlenül van az alapśıkban,akkor az iránypontjaik megegyeznek. Ezek szerint, ha az alapśıkbeli e egyenesre egy d magas keŕıtést éṕıtünk,akkor annak a képe a 1.2.3. ábra szerint fog kinézni.

Az ábrán a PQ, SR, UT, V W szakaszok egyenlő hosszúak a valóságban, a párhuzamos egyenesek f, eiránypontja pedig közös. Fontos, hogy PQ az egyetlen szakasz ami valódi nagyságában látszik, mivel ez azalapvonalon az alapśıkra merőleges szakasz. Ezek szerint egy tetsőleges T pontban mely az alapśıkon van,az alapśıkra T -ben merőleges d hosszú szakaszt a következőképpen szerkeszthetjük meg.

1. veszünk egy tetszőleges e egyenest T -n át, mely nem párhuzamos az alapvonallal (ez az alapśıkbanhalad). Ez az alapvonalat P -ben metszi;

2. veszünk egy d hosszú szakaszt P -ben, ami a-ra merőleges, ennek végpontját jelölje Q;

3. a T -n átmenő a-ra merőleges egyenesből a QJe egyenes kimetszi a keresett szakasz U végpontját.

Feladat 12 Szerkesszük megy egy szabályos négyzetalapú gúlának a perspekt́ıv képét, melynek adott az oldal-hossza, a magassága, egyik csúcsa illeszkedik az alapśıkon adott P pontra, és egy oldaléle α szöget zár be azalapvonallal.

A szerkesztéshez először felvesszük az a oldallal α szöget bezáró oldal iránypontját Jb (ez az oldallesz b) lásd 1.2.3. ábra fekete pöttyözött szerkesztés. Majd az Nbnyompont seǵıtségével megszerkesztjük

33

34

b ill. P beforgatottját (piros szerkesztés). A beforgatott PL pontból megszerkesztjük a d oldalhosszúnégyzetet, mely egyik oldala b beforgatottja. Mivel a négyzet b oldalával szemköztes c oldal párhuzamosb-vel ı́gy iránypontjuk közös, ezért megszerkeszthetjük ennek az egyenesnek a visszaforgatottját a nyompontés iránypont seǵıtségével, illetve az ezen (és b-n) lévő csúcspontok visszaforgatottjait (kék szerkesztés). Anégyzet perspekt́ıv képén az átlók metszéspontja megadja a magasság talppontjának képét, és ezen a pon-ton átmenő a-ra merőleges egyenesre kell az m magasságot felszerkeszteni (lila szerkesztés) ezzel készen isvagyunk. A láthatóságról csak annyit kell tudni, hogy az egyik jelölt él nem látszik, mert az alapvonaltóltávolabb van, mint az ”alatta levő” négyzet pontok alkotói kitakarják a csúcsból induló alkotót (prećızen arajta átmenő a-ra merőleges lefelé induló félegyenes metszi a négyzet egy P -ből induló oldalát, és az ebbőla metszéspontból induló alkotó eltakarja a csúcsból induló alkotót).

Example 13 Adott két rendezett merőleges vetületével egy alakzat, szerkesszük ki egy perspekt́ıv képét!

A rendezett vetülettel az ábrázoló I-ben foglalkoztunk. Tekintsük a 1.2.3. ábrát. A bal oldolan adott arendezett vetület (azaz lejjebb a felülnézet, fent az elölnézet mint egy műszaki rajzon torźıtás nélkül). Azábrán felvettünk egy tetszőleges e egyenest, megszerkesztettük ennek a beforgatott képét eL-t. Eltoltuk éselforgattuk az alaprajzot, hogy eL-re illeszkedjen az eggyik csúcs a nyomponba keruljön (fekete pöttyözött).Erre fogunk úgy gondolni, mint a valódi alapśıkon lévő alap beforgatottja, ezért ezt az ismert módszerrelvissaforgatjuk (piros szerkesztés). Ezzel megvan az alap perspekt́ıv képe (vastag piros). Most már nincsenmás dolgunk, mint a magasságokat az alap fölé szerkeszteni, amit at áttekinthatőség miatt egy új ábránmutatunk be.

Az 1.2.3. ábrán csak a szükséges részeket tüntettük fel. A P, Q pontokban mértük fel a magasságokat,és ezek seǵıtségével szerkesztettünk (kék szerkesztések). Amit még használtunk a test e-re merőleges éleinekiránypontja Jf , melyet az alap és a horizontvonal seǵıtségével kaphatunk meg.

35

36

1.2.4 Ferde egyenesek

Ha egy pillanatra a 1.2.1. ábrára tekintünk, akkor észrevehetjük, hogy egy egyenes képśıkra vetett képébőláltalában nem tudjuk eldönteni, hogy hol helyezkedik el az általános helyzetű egyenes a térben. Hiszen azábrán az e képśıkora vett vetületét nézve a valódi e lehet az ábrán feltüntett módon az alapśık egyenese, devégtelen sok más is pl. magában a képśıkban lévő vetület is, hiszen neki is ugyanaz lesz a vetülete. Sőt aC, e által meghatározott śık minden egyenese (a C-n átmenő e-vel párhuzamos kivételével) jó is lesz a valódiegyenes szerepére!

Ahhoz, hogy egy egyenes valódi helyzetét meghatározzuk kell az egyenes képe, illetve az alapśıkra vetettvetülete. Tekintsük a 1.2.4. ábrát! Adott egy térbeli egyenes e (nem megy át C-n hiszen ekkor a vetületeegy pont lenne). Az alaśıkra vett merőleges vetülete ea. Ha az e, ea egyeneseket eltoljuk C-be (ezek azeC , e

aC egyenesek), akkor e

aC a képśıkot épp e

a iránypontjában metszi, és ebben a pontban a horizontvonalraálĺıtott merőleges egyenesen lesz rajta eC-nek a képśıkkal vett döféspontja is, ami éppen e iránypontja Je.A JeaJe egyenest irányvonalnak nevezzük. Jól látszik hogy az irányvonal helyzete csak attól függ, hogy avetület ea milyen szöget zár be az alapvonallal, és nem függ az e egyenes A alapśıkḱıl bezárt szögétől. Azábráról jól leolvesható, hogy CJeaF] épp a meröleges vetület ea nak és az alapvonalnak a szöge. Ha a Jeapont körül beforgatjuk C-t a képśıkba, akkor JeeOeaJe] = JeeCJe] ami épp az e egyenesnek az alapśıkkalbezárt szöge.

Azaz a következőket tdjuk megoldani:

Feladat 14 Adott egy térbeli e egyenes perspekt́ıv képe és az A alapśıkra vett merőleges vetületének ea aperspekt́ıv képe. Szerkesszük meg e iránypontját!

A feladat könnyű. Vesszük ea iránypontját Jea-t itt merőlegeset álĺıtunk a horizontvonalra, ez lesz azirányvonal. Ahol az irányvonal metszi az e egyenes képét az lesz az iránypont.

37

Feladat 15 Szerkesszük meg az azon egyenesek iránypontját, melyek merőleges vetülete az alapśıkra azalapvonallal α szöget zár be, és az alapśıkot β szögben metszik!

Vegyünk fel a CL ponton át egy olyan egyenest, mely α szöget zár be az alapvonallal, ez kimetszi ahorizontvonalból a Jea iránypontot (itt két lehetséges megoldás is van amit a feladat megenged). Szerkesszükmeg a 1.2.4. ábrán látható C beforgatottat Oea -t (ezt másra már használtuk a 1.2.3. fejezetben) Idefelvesszük a β szöget úgy , hogy OeaJea az egyik szögszár és a másik szögszár a horizontvonal fölé essen(ez fontos lásd a 1.2.4. ábrát!). Ezzel a szögszárral kimetsztük a Jea-ban h-ra álĺıtott merőlegesből a Jeiránypontot.

Example 16 Szerkesszük meg olyan hasábnak a perspekt́ıv képét, mely alkotói az alapśıkot adott α = 15◦

szögben metszik, és az alapśıkra vett vetületeik az alapvonalat β = 35◦ szögben metszik, alapja szabályosháromszög, magassága pedig m!

Az egyszerűség kedvéért az alapvonal legyen a hasáb alapjának egyik oldalegyenese is. Erre a mártanult módszerek alapján megszerkeszthetjük a szabályos háromszöget, lásd 1.2.4. ábra (mi ezt most a ma-gasságvonal és az egyik oldaléllel tettük meg, ahol az alappal 60◦-os szöget bezáró egyenes iránypontját sz-erkesztettük meg és használtuk, kék szerkestés). Ezek után az alkotók iránypontját szerkesztjük meg, melyetaz alap csúcsaival összekötve megkapjuk az oldaléleket (piros szerkesztés). Végül az alkotók alapra vettmerőleges vetületeinek iránypontjával megszerkesztjük a fedőlap csúcsait a következőképpen. Vesszünk egyalkotót és az őt tartalmazó függőleges śıkot. Ebben meg tudjuk szerkeszteni az alkotó merőleges vetületét (ezát kell menjen az alkotó alapśıkon lévő pontján) és a vetülettel párhuzamos tőle m távol (felette lévő) egyenest,mely az előbbi śıkban van megszerkesztjük a tanult módon. Ez az egyenes metszi ki az alkotóból a kere-sett csúcsot (lila szerkesztés, mi egy csúcsot szerkesztettünk meg a többinél iránypontokkal szerkesztettünk,kihasználva azt, hogy az alap oldaléleivel párhuzamosak a fedőlap oldalélei).

1.2.5 Ferde perspekt́ıva

Eddig a perspekt́ıvára úgy gondoltunk, mintha a ”fényképezőgép” az alapśıkkal párhuzamosan ”nézne”, azaza képśık pont merőleges volt az alapśıkra. Mi történik, ha alulról vagy felülről fotózunk. Ekkor a képśık márnem fog derékszöget bezárni az alapśıkkal. Ezt a 1.2.5. ábrán szemléltetjük. Adott a térben a C centrum,melyből a vet́ıtősugarak kiindulnak. A képśıkra vett merőleges vetülete C-nek a F főpont, aképśıkra beraj-zoltuk a |CF | sugarú távkört is. Az alapśık (a talaj śıkja) az a alapvonalban metszi a képśıkot. Az alapśıkkalpárhuzamos horizontśık a h horizontvonalat metszi ki a képśıkból. Vegyük a függőleges irányt (z-tengely,alapśıkra merőleges irány...). Hol van ennel az iránypontja (a klasszikus merőleges esetben 1.2.1. ábra a Cátmenő függőleges egyenes nem metszette a képśıkot /jobban mondva egy ideális pontban metszette/ ezértvoltak a függőleges egyenesek mind párhuzamosak az ábrázolás során). Most a Jf iránypontban metsz. ACFJf śık a h horizontvonalat a H pontban metszi. HCJf∆ derékszögű háromszög (C-nél) és könnyen

38

látható, hogy JfH egyenes merőleges h-ra (hiszen CFJf śık tartalmazza a képśık FC normálegyenesét és ahorizonrśık CJf normálegyenesét, ezért merőlegesen metsz mindkét śıkot, de ezt csak akkor tudja megtenni,ha merőleges a két śık metszésvonalára is). Forgassuk be a HJf egyenes körül a HJfC∆ derékszögűháromszöget a képśıkba (1.2.5. ábra). Az ábráról könnyen leolvasható, hogy ha a távkör adott, akkorH és Jf meghatározzák egymást.

Megint elismételhetjük a korábban mondottakat és a 1.2.5. ábrán az alapśıkot és a horizontśıkot egysz-erre beforgatjuk a képśıkba az a ill. h egyenesek mentén, ahogyan azt korábban is tettük. Hova kerül Cleforgatottja? A HF egyenesre H-tól lefelé HC távolságra (ezt a távolságot a 1.2.5. ábrán épp a beforgatottHCB jelöli azaz a 1.2.5. ábra alapján szerkeszthetjük ki a CL pontot. Azonban a korábban mondottak mindérvényben maradnak, és a tanult módon lehet megszerkeszteni egy egyenes leforgatottját, és azon egy pontleforgatottját is (azért gondoljuk át, hogy tényleg igaz marad minden amit korábban mondtunk!).

Geometriából ismert az alábbi álĺıtás:Legyenek adottak az S1, S2 śıkok és ezeken ḱıvül egy C pont 1.2.5. ábra. Vegyünk egy P ∈ S2 pontot ée

legyen P1def= CP ∩ S1. Ha az S1 ∩ S2 nyomvonal körül leforgatjuk P -t az S1 śıkba és PL-et kapjuk, illetve

a C-n átmenő S2-vel párhuzamos S0 śıkot leforgatjuk hasonlóan az S1 ∩ S0 körül és C képe CL, akkor aP1, PL, CL pontok kollineárisak.

A bizonýıtás elemi geometria. Azon múlik, hogy P1CCB śık által meghatározott Pe, Ce pontokra,PPT Pe, CCBCe hasonló derékszögű háromszögek beforgatottjai PLPT Pe, CBCT Ce. Ekkor a párhuzamosszelők tétele alapján fogadódni, hogy a PB-n átmenő CBC egyenessel párhuzamos egyenes épp PB-ben kell,hogy messe P1CB-t.

Ami számunkra a lényeges ebből, hogy ha vesszük az S2śık pontjait, akkor a centrális vet́ıtésnél előálĺıtottképeik és a beforgatott képek centrális axiális kollineációban állnak egymással, melynek tengelye S2 ∩ S1 éscentruma CL (ellentengelye pedig S0 ∩ S1). /A centrélis axiális kollineáció tulajdonságait az ábrázoló geo.I-ben tárgyaltuk./

Térjünk vissza az 1.2.5. 1.2.5. ábrákhoz, és tekintsünk egy olyan függőleges e egyenest (azaz CJf -felpárhuzamosat a 1.2.5. ábrán) mely a képśıkot az a alapvonalban döfi (azaz nyompontja az alapvonalon van).Vegyük azt az T śıkot mely tartalmazza e-t és merőleges a képśıkra (ez a śık párhuzamaos lesz az 1.2.5. ábraCHJf śıkjával, amit a metszésvonal körül forgattunk be a képśıkba a 1.2.5. ábrán. Forgassuk be hasonlóan

39

ezt az T śıkot a képśıkba. Mivel f és CJf párhuzamosak voltak, és párhuzamos śıkok seǵıtségével forgattukbe őket a képśıkbe, ı́gy a beforgatott egyenesek fB és CBJf párhuzamosak lesznek (lásd 1.2.5. ábra). Mivela beforgatott PB , QB egyenes pontokat a beforgatott centrummal CB-vel összekötő egyenesek épp az eredetipontok (perspekt́ıv képében) metszi az f egyenest, ezére, ha felmérünk egy d hosszú szakasz PB-ből, melynekvégpontja QB , akkor az ábra alapján a perspekt́ıv képen vett Q pontot is megtudjuk szerkeszteni, azaz:

Függőleges, a képśıkot az alapvonalban döfő egyenesekre fel tudunk mérni adott hosszú szakaszokat.Ezek seǵıtségével már könnyen szerkeszthetünk bizonyos alagzatokat ferde perspekt́ıvában is.

Feladat 17 Szerkesszük meg egy olyan téglalap alakú hasábnak a perspekt́ıv képét, melynek adottak az adatai,és az alapśık (szemmagasság) legyen a fedőlap magasságában! Az egyik látható lapra szerkesszünk 3x3-asszabályos rácsot!

A szerkesztéshez felveszünk egy ferde perspekt́ıvájú rendszert ( 1.2.5. ábra). Miután felvettük a horizon-,és alapvonalakat, valamint a távkört, megszerkesztettük a C centrum beforgatottját CB ill. leforgatottjátCL és a függőleges egyenesek iránypontját Jf . Mivel az alap śıkja a fedőlappal esik egybe az alapvonalegy tetszőleges A pontjában megszerkesztettük a fedölap beforgatott képét (ez a valódi alak). A CL-en átpárhuzamosakat húzva az oldalakkal (fekete pöttyözött) megszerkesztettük az oldalak iránypontjait Ja, Jb.Ezeket összekötve az A ponttal (piros folytonos) kapjuk az A-ból induló éleket. A beforgatott kép és CLseǵıtségével ezekre az élekre ”felmértük” a másik csúcspontokat és a harmadoló pontokat (piros pöttyözött).Az új csúcsok és az iránypontok összekötéséből jön a fedőlap kimaradt utolsó csúcsa. A látható csúcsokatösszekötve Jf -fel jönnek a függőleges élek. A tanult módon az A ponton át párhuzamosat húzva CJf -felfelmérjük rá az A ponton átmenő függőleges él valódi hosszát (AB), majd az osztópontokat és a B végpontot”felmérjük” átvet́ıtjük CB seǵıtségével az él perspekt́ıv képére (kék pöttyözött). A kapott metszéspontokata Jb irányponttal összekötve kapjuk meg a 3x3 rács v́ızszintes vonalait.

Amit a 1.2.4. fejezetben mondtunk a ferde egyenesek iránypontjáról azt most nem ismételjük meg.Gondoljunk meg csupán annyit, hogyha egy e térbeli egyenesnek az alapśıkra vett merőleges (függőleges)vetülete ea és ennek iránypontja Jea (ami a horizontvonalon van) és Jf a függőleges egyenesek iránypontja,akkor Je rajta van a JfJea egyenesen. Ez azért van ı́gy, mert ha S az a śık mely tartalmazza az ea egyenest

40

41

42

43

44

és egy függőleges egyenest, akkor tartalmazza e-t is. Ha most C-n át párhuzamosat húzunk S-sel, jelölje eztT , akkor ez a T śık tartalmazza az eaval párhuzamos egyenest (mely Jea-ban döfi a képśıkot) a függőlegesegyenest (mely Jf -ben döfi a képśıkot) és tartalmazza az e-vel párhuzamos egyenest, ami Je-ben döfi aképśıkot. Mivel döféspontok mind rajta vannak T -nek a képśıkkal vett metszetén. De ezen az egyenesen vanrajta Jea és Jf is, szükségképpen az ő egyenesükön van rajta Je is.

Nézzünk most egy elemi árnyékszerkesztési feladatot.

Feladat 18 Adott egy alapśıkon álló téglalap alapú szabályos hasáb perspekt́ıv képe és a v fénysugár iránya(a Jv iránypontjával). Szerkesszük meg az alapśıkra vetett árnyékát!

Induljunk ki csupán a hasábból (lila). Ennek párhuzamos oldalél egyeneseinek a metszéspontjai adjákaz iránypontokat (szaggatott szerk.). Az iránypontok seǵıtségével megszerkesztettük a nem látható hátsócsúcsot is (pöttyözött szerk.) A horizontvonal JaJb egyenese lesz, melyből JfJv kimetszi a v sugár alapravett vetületének Jva iránypontját. Vegyük most a hozzánk legközelebbi függőleges AB élt és azt az S śıkot,mely ezen átmegy és v-vel párhuzamos. Ez a sik párhuzamos lesz a va vetülettel is. Az S śıknak az alapśıkkalvett metszésvonala átmegy B-n és páthuzamos va-val (hiszen ez az iány mindkét śıkkal prhuzamos). Azaza metszet a B-n átmenő va-val párhuzamos egyenes lesz (BJb). Az S śık tartalmazza az A-n átmenő v-vel párhuzamos egyenest is (AJv) és a két egenes metszete (BJb ∩ AJv) egy olyan pont ami rajta van azA-n ”átmenő” fénysugáron és az alapśıkon is, azaz épp az A pont árnyéka lesz (piros szerk). Hasonlóanszerkesztjük meg a többi pont árnyékár is (kék, zöld szerk) és a vetett árnyák az alap pontjainak és acsúcsok árnyékának a konvex burka (egy csúcsra nem szerkesztettük meg az árnyékát, mert az a konvexburok belsejébe esne). Az ábrán az árnyékban lévő lapot is árnyákoltuk.

A projekt́ıv rendszer kapcsolat az általános centrális projekció adataival Mielőtt rátérnénk acentrális projekcióra és általános szerkesztésekre, keressünk meg két speciális pontot az egyenesen.

Hol van az egyenes eltünési pontja? Azaz az a pont mely nem áll elő képkén (az iránypont)? Egyszerű, haaz alapśıkkal párhuzamos az egyenes, akkor a h horizontvonal és az egyenes képének a metszete az iránypont.Ha függőleges, akkor átmegy Jf -en ami az iránypont. Ha általános az egyenes, akkor a megadáshoz kétegyenes kell: a képe e és az alapra vett vetületének képe ea. Az ea ∩ h = Jea és Jf ∩ Jea = Je. Ez tehátegyszerű kérdés.

Hol döfi az e egyenes a képśıkot? Ha az alapśıkbakban van az egyenes, akkor e∩a = Ne lesz a nyompont.Ha e általános egyenes (most az alapśıkkal párhuzamos is ilyen), akkor nem elég a képe a megadáshoz, kellegy pontja és annak vetülete az alapśıkra, vagy az alapśıkra vett vetületi egyenes. Ha egy pontjának adott avetülete Pa, akkor PaJe = ea lesz a vetületének a képe. Tehát adottnak vehető a vetület. Ekkor ea∩a = Neanyomponton át veszünk egy a-ra merőleges egyenest. Ez fogja kimetszeni az e-ből a döféspontot, hiszen e ésea śıkjának a metszete a képśıkkal tartalmazza az Nea -t, és merőleges a képśıkban az alapvonalra, továbbáát kell, hogy menjen e döféspontján.

Tehát a következőket mondhatjuk:Ha adott a távkor, a horizon-, és alapvonal, akkor minden jól definiált egyenesre megszerkesztkezjük a

képen az egyenes és a képśık döféspontját (a nyompontot), valamint az egyenes eltűnési pontját (az iránypontot).Ebből látható, hogy a most következő fejezett általánosabb az előzőnél.

Centrális projekció Az előzőekhez képest annyi lesz a változás, hogy elfelejtjük az alapśıkot, és a Ccentrumon át rávet́ıtjük az egyeneseket, pontokat a K képśıkra. Most is a dott a távkör és a F főpont, denincsen alapvonal és horizontvonal. Egy egyenest megadunk a képével plussz a nyom és iránypontjával.

Feladat 19 Szerkesszük meg, hogy az egyenes milyen szögben metszi a képśıkot!

Vegyük a C ponton átmenő térbeli e-vel párhuzamos egyenest (CJe) ez benne van a CFJe śıkban melymerőleges a képśıkra és a metszésvonala FJe. Ahogyan azt a 1.2.5. ábránál tettük forgassuk be ezt a

45

46

metszésvonal körül az alapśıkba. Mivel FJe fix és FC erre merőleges, továbbá |FC| = d =távkör sugara,ezért C beforgatottja CB lesz (másik megoldás is lehetséges) 1.2.5. ábra. Mivel e-vel párhuzamos egyenestforgattunk be, ezért ez ugyanulyan szögbe metsz a képśıkot, a leforgatás miatt pedig a vetület és az eredetiegyenes szöge épp FJeCB] lesz. Mivel e-vel párhuzamos egyenes volt CJe ezért a merőleges vetületeik és avetületek körüli beforgatottjaik is párhuzamosak lesznek. Az Ne nyompont mindkettőn rajta van, ı́gy ezenát FJe ill. FCB-vel párhuzamosat húzva kapjuk az em merőleges vetületet és az eB beforgatottat.

Egy S śıkot két egyenes határoz meg. A képśıkkal vett metszésvonala nS = S ∩K (a nyomvonal) és a Cponton átmenő S-sel párhuzamos śık nyomvonala q az irányvonal.

Feladat 20 Határozzuk meg a śık és a képśık hajlásszögét!

Vegyük azt a T śıkot mely tartalmazza a C pontot és merőleges S-re (ez tartalmazza az F pontot és aképśıkban lévő nS-re merőleges egyenest, mely átmegy F -en). Forgassuk be a T śıkot a képśıkba, illetveaz S śıkkal és a C-n átmenő S-vel párhuzamos śıkkal vett metszésvonalát 1.2.5. ábra. Könnyen látható,ha NF egyenes merőleges a nyomvonalra, akkor F -en át vesszünk erre egy merőleges egyenest. Ennek atávkörrel vett egyik metszéspontja lesz CB a C pont beforgatottja. Ekkor a C-n átmenő S-sel párhuzamosśık nyomvonalán az ábra szerinti Nq pontra igaz lesz, hogy az FNqC] épp a ennek a śıknak és a képśıknaka hajlásszöge, aminek leforgatottja FNqCB]. Mivel S-vel párhuzamos volt a śık S hajlásszöge is az előbbmegszerkesztett (zöld szög) és a leforgatott S∩T metszésvonal is megszerkeszthető a párhuzamosságok miatt(1.2.5. ábra).

Az előbbi feladatok jól mutatják, hogy az ilyen módon megadott śık és egyenes pontos helyzete (aképśıkhoz viszonýıtva) egyértelműen megadható.

Egy pontot megadhatunk egy egyenessel és azon a pont képével.

47

Metszés és illeszkedés Érdekes mód az adatoknak köszsönhetően ez sokkal egyszerűbb mint gondolnánk.

1. Egy egyenes pontosan akkor illeszkedik egy śıkra, ha nyompontja a śık nyomvonalán van és iránypontjaa śık iránypontján.

2. Két egyenes akkor metsző, ha nyompontjaik egyenese párhuzamos az iránypontjaik egyenesével.

3. Két egyenes párhuzamos, ha közös az iránypontjuk.

4. Két śık metszésvonala a nyomvonalaik és irányvonalaik metszetének egyenese, amin a nyompont ny-omvonalakon, az iránypont az irányvonalakon van.

5. Egy e egyenes S śıkkal vett döféséhez veszünk egy tetszőleges e-t tartalmazó T śıkot (veszünk kétpárhuzamos egyenest az egyenes döfés-, és iránypontján át ez lesz az illeszkedő T śık nyom-, ill.irányvonala). Megszerkesztjük az S ∩ T metszésvonalat és ez metszi ki e-ből a döféspontot.

6. Két metsző egyenes śıkjának nyomvonala a nyompontok egyenese, mı́g az irányvonala az iránypontokegyenese.

A bizonýıtások triviálisak (gondoljuk meg).Mikor döfi egy e egyenes az S śıkot merőlegesen? Legyen a śık irányvonala qS mı́g az egyenes iránypontja

Je. Ekkor az egyenessel és a śıkkal párhuzamosat húzva a C ponton át az ı́gy kapott térelemek hajlásszögeépp az eredeti térelemek hajlásszöge lesz. Ha CJe merőleges C, qS śıkjára, akkor merőleges a śıkban lévőqS-re is, és a képśıkra vett ortogonális vetületeik is merőlegesek lesznek (mert qS a képśıkban van). CJeortogonális vetölete FJe lesz. Azaz mindenképpen az kell, hogy

1. FJe merőleges qS-re;Ekkor, ha U

def= FJe ∩ qS , akkor ez lesz CU lesz CJe merőleges vetülete a C, qS śıkra, azaz JeCU] épp

az egyenes és śık hajlásszöge lesz. Ennek a háromszögnek a beforgatottja JeU körül épp JeCBU lesz, aholCBF ⊥ JeU (lásd 1.2.5. ábra). Tehát az is kell, hogy:

2. JeCBU] = 90◦ legyen;A fentiekből világos, hogy hogyan szerkeszthetjük meg, egy śıkra merőleges irány iránypontját (ez

egyértelmű):

48

1. Vesszük az F pontból a qS-re bocsájtott merőleges egyenest mely messe U -ban qS-t;

2. Vegyük az előző egyenesre merőleges egyenest F -en át, mely egyik metszéspontja a távkörrel CB (Cbeforgatottja);

3. Álĺıtsunk merőlegest a CBU egyenesre CB-ben ez metsz ki FU -ból a keresett Je iránypontot.

1.2.6 Śık beforgatása

A kövvetkező feladatot a śık beforgatásának seǵıtségével oldhatjuk meg.

Example 21 Adott egy S śık (nyom-, és irányvonalával) és rajta egy A pont (a centrális kép). Szerkesszükmegy egy szabályos háromszög centális képét, mely az S śıkon van és egyik csúcsa A!

Először vegyünk egy tetszőleges e egyenest mely az S śıkban van, és átmegy A-n (ehhez csak az kell,

hogy átmenjen a képe A-n és nyom-, ill. irányvonalának Nedef= nS ∩ e, Je def= qS ∩ e pontokat válasszuk.

Serkesszük meg ennek az egyenesnek a leforgatottját, azaz forgassuk be az S śıkot és pontjait nS körül aképśıkba. Ahogyan azt korábban is tettük vesszük a C centrumon átmenő S-vel párhuzamos śıkot (C, qSśıkja) és benne a C-n átmenő e-vel párhuzamos egyenest (CJe). Ezeket leforgatva qS körül a leforgat egyenespárhuzamos lesz. A szokott módon, ha a C pontnak a C, qS śıkban vesszük a merőleges vetületét qS-re (1.2.6.ábrán U), akkor FU is merőleges qS-re az FUC∆ derékszögű háromszög FU körüli beforgatottja a śıkbaFUCB∆ azaz a kiszerkeszthető |CBU | = |CU | (szaggatott fekete szerk.). És amikor qS körül leforgatjukC-t a képśıkba, akkor ezt a távolságot kell az FU egyenesre U -ból felmérni, ı́gy kapjuk a C leforgatottjátCL-t (pöttyözött fekete szerk.). Azaz CJe leforgatottja CLJe lesz. Így e leforgatottja nS körül (ábrán eL)vele párhuzamos lesz és átmegy Ne-n ami fix marad a leforgatásnál (piros szerk.). Mivel láttuk, hogy aleforgatásnál A, AL centrális axiális kollineációban áll, ahol a tengely nS a centrum pedig CL. Ezért egyrészAL rajta van a CLA egyenesen, másrészt pedig eL-en, ı́gy e kettő metszete AL (piros szaggatott szerk.).Ezután megszerkesztjük a leforgatott alakzetot, mely valódi alakjában látszik, és csak ezt kell visszaforgatni(ezt ábrázoló geo. I.-ben már láttuk, de nem árt az ismétlés). Pl. a BL pont visszaforgatásához egyrészvisszaforgatjuk a BLAL egyenest. Ennek nyompontja NAB fix és biztos átmegy A-n, ı́gy AB = NABA. Ezenrajta van B, és rajta van a centrális axiális kollineáció miatt a BLCL egyenesen is. Tehát e két egyenesmetszete B (kék szerk.). Hasonlóan szerkesztettük meg DL visszaforgatottját is (zöld szerk.).

1.2.7 Az osztópont

Most megnézzük az osztópontnak a megszerkesztését, mely a távolságok felmérését seǵıti elő.

Feladat 22 Adott egy e egyenes, szerkesszük meg a nyompontjától t távolságra (az egyenesen) fekvő (egyik)pont képét!

Vegyünk fel egy tetszőleges śıkot, mely tartalmazza az egyenest, majd ennek leforgatásával, mint az előbbfogjuk a szerkesztést elvégetni a leforgatott eL egyenesen. Szerkesszük meg az előző feladathoz hasonlóan C

leforgatottját CL-t (1.2.7. ábra). A CLJe egyenes seǵıtségével, mint az előbb egszerkesztjük e leforgatottjáteL-t, mint az előbb (piros szerk.). Felmérjük eL-re a távolságot, ı́gy kapjuk a keresett A pont AL leforga-tottjának képét, majd megszerkesztjük az eredeti pont képét A-t a centrális axiális kollineációval, ahogy azelőbb is.

Szerkesszük meg most az ábra szerint CL elforgatottját Oe-t a Je körül, illetve AL elforgatottját Ne körül(ábrán kék szerkesztés). Ekkor az OeJeCL∆ egyenlőszárú háromszög hasonló az AoNeAL Egyenlőszárúháromszöghöz (hiszen száraik párhuzamosak), ı́gy a szárak párhuzamossága miatt CLOe||ALAo. viszontezen párhuzamos szakaszok visszaforgatottjai is párhuzamosak lesznek. CLOe visszaforgatottja qS körülCOe lesz mı́g ALAo visszaforgatottja a térbeli AAo, de a párhuzamosság miatt AAo egyenes iránypontja éppOe lesz. Azaz A, Ao, Oe kollineárisak. Vagyis A úgy is megszerkeszthető, hogy:

49

50

1. Felveszünk egy śıkot e-n át (azaz egy párhuzamos egyenespárt Je, Ne pontokon át);

2. Megszerkesztjük CL elforgatottját Oe ∈ qS pontot (lásd 1.2.7. ábra két megoldás is lehetséges);3. Felmérjük az adott t távolságot Ne-től számitva az nS nyomvonalra;

4. OeAo ∩ e megadja A-t.

Összesen 2 különböző megoldást kapnánk, és ennyi is van, hiszen két irányban is felmérhetjük a távolságot.A most megszerkesztett Oe pontot az e egyenes osztópontjának nevezzük, mert e seǵıtségével az nS

nyomvonalon lévő t hosszú szakasz átvet́ıtettje e a valóságban (a térbeli e egyenesen) szintén t hosszúságú lesz.Az osztópont persze függ a śık helyzetétől amit választottunk (a párhuzamos egyenespártól). A lehetségesosztópontok (melyek mind más-más nyomvonalhoz tartoznak!) a Je körüli |JeC| sugarú körön vannak (hiszenJeCL visszaforgatottja, mint mondtuk JeC és |JeOe| = |JeCL|).

Mostmár minden eszközünk megvan ahhoz, hogy a centrális vetületen, szerkesztéseket hajtsunk végre.Mivel a célunk a perspekt́ıva megértése volt, ezért itt nem tárgyalunk általános centrális vet́ıtéssel kapcsolatosszerkesztési feladatokat.

51