แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

1

สาระการเรยนร

1. ประพจน 2. การเชอมประพจน 3. สจนรนดร และความขดแยง 4. ประพจนทสมมลกน 5. การหาความจรงของการเชอมประพจน

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

2

จดประสงคการเรยนร

1. อธบายและบอกความหมายของประพจน 2. อธบายและบอกความหมายของตวเชอม 3. อธบายความหมายและบอกถงความส าคญของสจนรนดร

4. สามารถเขยนและอธบายประพจนทสมมลกน 5. สามารถเขยน หรอ สามารถพสจนประพจน ทสมมลกน

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

3

สาระส าคญ

ตรรกะศาสตรเปนสวนหนงทอยในสวนของการประมวลผลขอมลทางดานคอมพวเตอร ในการค านวณ จะเนนเชงของเหตและผล ตามหลกการของพชคณตบลน ซงจะไดผลลพธเพยงคาเดยวคอคาจรงหรอคาเทจ

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

4

ประพจน ( Proposition or Statement )

หมายถง ประโยคหรอขอความทมคา

ความเปนจรง หรอเทจเพยงคาใดคาหนงเทานน ซงอาจอยในประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธกได แตขอความทไมจดเปนลกษณะของประพจนจะเปนขอความหรอประโยคประเภท ค าถาม ค าสง ออนวอน ขอรอง อทาน หามหรอแสดงความปรารถนา

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

5

ประพจน

กลมขอความทจดวาเปนประพจน : กลมขอความทเปนประโยคบอกเลาและปฏเสธ

ประโยค คาประพจน กรงเทพเปนเมองหลวงของประเทศไทย นกไมมปก 4+5 มคาเทากบ 9 จงหวดอดรธานไมไดอยในภาคอสาน

จรง เทจ จรง เทจ

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

6

ประพจน

กลมขอความทไมจดวาเปนประพจน : กลมขอความทเปนประโยคค าถาม ค าสง ออนวอน ขอรอง อทาน หาม แสดงหรอปรารถนา

ประโยค ประเภท 50 คณดวย 40 มคาเทากบเทาไร ค าถาม หยดเดยวนนะ ค าสง อยาสงเสยงดงในเวลาท างาน หาม กรณาปดไฟทกครงกอนออกจากหอง ขอรอง ไดโปรดเถอะนะถอวาสงสารฉนหนอย ออนวอน วาย ! ตะเถรตกกระโถน อทาน อยากใหบรรยากาศเชนนส าหรบเราสองคนจงเลย ปรารถนา

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

7

การเชอมประพจน ( Connectives )

ประพจนจะใหคาความจรง (True) หรอเทจ (False) หากมการเชอมประพจนหลายประพจนดวยตวเชอม (Connectives) เขาดวยกนกอาจจะท าใหคาของประพจนเปลยนไป หรอคงเดมกได

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

8

1. การเชอมดวยตวเชอม “และ” ตารางคาความจรง (Truth table) ของ

ตวเชอม “และ” (Conjunction Connective)

สญลกษณทใช คอ ซงท าหนาทเชอมประพจนเขาดวยกน และใหผลลพธเปนจรงตอเมอทกประพจนทเชอมเขามามคาความจรงเปนจรง หากมประพจนใดมคาเปนเทจ กจะไดผลลพธเปนเทจ

P Q P Q

T T T

T F F F T F

F F F

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

9

ตวอยางการเชอมประพจน “และ”

P Q = ? 1. หาก P แทน 2+3=5 (T) , Q แทน 7>6 (T)

ดงนน PQ แทน 2+3 = 5 และ 5 > 4 (T) 2. หาก P แทน 5+4=9 (T) , Q แทน 6>9 (F)

ดงนน PQ แทน 5+4 = 9 และ 6 > 9 (F) 3. หาก P แทน 2–2=1 (T), Q แทน 5 > 2 (T)

ดงนน PQ แทน 2–2 = 1 และ 5>2 (F) 4. หาก P แทน 8–2= 3 (F) ,Q แทน 8X2 = 15 (F)

ดงนน PQ แทน 8–2=3 และ 8 X 2 = 15 (F)

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

10

2. การเชอมดวยตวเชอม “หรอ”

ตารางคาความจรง (Truth table) ของ

ตวเชอม “หรอ” (Disjunction Connective) โดยมสญลกษณ V ซงใหผลลพธจะเปนเทจ กตอเมอทกประพจนเชอมเขามามคาเปนเทจ และหากมประพจนใดมคาเปนจรง กจะไดผลลพธเปนจรง

P Q P V Q

T T T T F T

F T T F F F

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

11

ตวอยางการเชอมประพจน “หรอ”

P V Q = ? 1. หาก P แทน 3+5=8 (T) , Q แทน 2<9(T) ดงนน P V Q แทน 2+5 = 7 หรอ 2 < 9 (T) 2. หาก P แทน 3X5=15(T) ,Q แทน 7–5=6 (F) ดงนน P V Q แทน 3X5=15 หรอ 7–5=6 (T) 3. หาก P แทน 5-6=1 (F) , Q แทน 5>4 (T) ดงนน P V Q แทน 5 - 6 = 1 หรอ 5 > 4 (T) 4. หาก P แทน 2X6=15 (F) , Q แทน 9+2=13 (F) ดงนน P V Q แทน 2X6=15 หรอ 9+2=13 (F)

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

12

การเชอมดวยตวเชอม “ถา...แลว”

ตารางคาความจรง (Truth table) ของ

ตวเชอม “ถา...แลว” (Conditional Connective)

มสญลกษณ เปน

ตวเชอมนจะใหประพจนเปนเทจกรณเดยวคอ ประพจนตวแรกเปนจรง

P Q P Q

T T F T F F F T T F F T

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

13

ตวอยางการเชอมประพจน “ถา..แลว” 1. หาก P แทน 6 > 2 (T) , Q แทน 5 < 2 (F)

ดงนน PQ แทน ถา 6>2(T) แลว 5<2 (F) 2. หาก P แทน 7+4=10(F) , Q แทน 4X5=10 (F)

ดงนน PQ แทน ถา 7+4=10 แลว 4X5=10 (T) 3. หาก P แทน 8+3=14(F) , Q แทน 4+5=10 (F)

ดงนน PQ แทน ถา 8+3=14 แลว 4+5=10 (T)

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

14

การเชอมดวยตวเชอม “...กตอเมอ...”

ตารางคาความจรง (Truth table) ของ

ตวเชอม “...กตอเมอ ...” (Bi-conditional

Connective) มสญลกษณเปน

ตวเชอมน จะใหผลลพธเปนจรง ซงในกรณทคาความจรงของประพจนทเชอมกน มคาความจรงเหมอนกน แตหากประพจนทเชอมกนนนมคาความจรงตางกน ผลลพธทไดจะเปนเทจ

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

15

P Q P Q T T T T F F F T F F F T

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

16

ตวอยางการเชอมประพจน “...กตอเมอ...”

1. หาก P แทน 4 หารดวย 2 ลงตว (T) , Q แทน 4 เปนเปนเลขค (T)

ดงนน P Q แทน 4 หารดวย 2 ลงตว กตอเมอ 4 เปนเปนเลขค (T)

2. หาก P แทน -3 เปนจ านวนเตม (T) , Q แทน -3 เปนจ านวนนบ (F)

ดงนน P Q แทน -3 เปนจ านวนเตม กตอเมอ -3 เปนจ านวนนบ (F)

3. หาก P แทน 9 หารดวย 2 ลงตว (F) , Q แทน 9 เปนเปนเลขค (T)

ดงนน P Q แทน 9 หารดวย 2 ลงตว กตอเมอ 9 เปนเปนเลขค (F)

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

17

การเชอมดวยตวเชอม “ไม” ตารางคาความจรง (Truth table) ของ

ตวเชอม “ไม” (Not Connective) หรอทเรยกวา นเสธ ของประพจนนนมสญลกษณเปน ~ ซงตวเชอมนจะ เปลยนคาความจรงเปนคาตรงขาม

P ~P T F F T

ตวอยางการเชอมประพจนดวย ไม 1. หาก P แทน 9X2=18 (T), แทนคา ~P (F)

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

18

2. หาร P แทน 10+1=12 (F) , แทนคา ~P (T)

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

19

สจนรนดร (Tautology )

หมายถง ประพจนทมคาความจรงตลอดไป

ไมวาคาความจรงของประพจนยอย ๆ ทเปนคาตวแปร จะมคาความจรงอยางไร

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

20

ตวอยาง ตารางคาความจรง เพอแสดงวา P ( P V Q ) เปนสจนรนดร

P Q P V Q P (P V Q)

T T T T T F T T F T T T F F F T

จากประพจนขางตนถอวาเปนสจนรนดร เพราะ P( P V Q ) มคาความจรงเสมอ และ P( P V Q ) เปนสจนรนดร

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

21

ความขดแยง (Cpmtradocton)

หมายถง ประพจนทมคาความจรงเปนเทจ

เสมอ ไมวาคาความจรงของประพจนยอย ๆ ทเปนตวแปร จะมคาความเปนจรงอยางไร

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

22

ตวอยาง ตารางคาความจรง เพอแสดงวา (PQ )(Q~P) เปนความขดแยง

P Q P^Q ~P (Q~P) ( P^Q )

(Q~P )

T T T F F F T F F F T F

F T F T T F F F F T T F

จากประพจนขางตนถอวาเปนความขดแยง เพราะ (PQ) (Q~P) มคาความเทจเสมอ และ (PQ)(Q~P) เปนความขดแยง

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

23

ประพจนทสมมลกน

หมายถง คาความจรงของประพจน 2

ประพจน ถามคาความจรงเหมอนกน กรณตอกรณ แลวสามารถน าไปใชแทนกนได เรยกประพจนนนวา เปนรปแบบทสมมลกน

เชน P Q กบ ~P Q ถอวาเปนรปแบบทสมมลกน

ใชสญลกษณ ≡ แทนการสมมล และ ใชสญลกษณ ≡ แทนการไมสมมล

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

24

ตวอยางประพจนทสมมลกน

ประพจน

กรณท 1 สมมลกบ

ประพจน

กรณท 2 ~P ≡ P ~P

~Q Q ≡ ~P Q ~ (P Q) ≡ P ~Q

~ (P Q) ≡ ~P ~Q

P Q ≡ ~ Q ~P

~P ~Q ≡ ~(P Q)

~P Q ≡ P Q

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

25

ตวอยางไมสมมลกนของประพจน

P Q สมมลกบ ~P หรอไม P Q PQ ~P

T T T F T F T F F T T T F F F T

ผลการแสดงคาความจรงของ 2

ประพจน พบวา ไมสมมลกน เพราะคาความจรงใน 4 กรณ มคาความจรงทตรงกนเพยง 1 กรณ เทานน

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

26

~ (PQ) สมมลกบ P Q หรอไม

P Q P Q ~ (PQ) T T T F T F T T F T T T F F F T

ผลการแสดงคาความจรงของ 2

ประพจน พบวา ไมสมมลกน เพราะคาความจรงใน 4 กรณ มคาความจรง ทตรงเพยง 2 กรณเทานน

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

27

การหาคาความจรง ของประพจน

ล าดบจากมากทสดเรยงลงมาตามล าดบ

สญลกษณ ความหมาย ขยายความหมาย

กตอเมอ มคาความจรงเปนจรง เมอประพจน ทเชอมกนมคาความจรงเหมอนกน

ถา...แลว... มคาความจรงเปนเทจ เมอประพจนหนาเปนจรงและหลงเปนเทจ

และ มคาความจรงเปนจรง เมอทกประพจนเปนจรง ทงหมด

V หรอ มคาความจรงเปนจรง เมอมประพจนใดประพจนหนงเปนจรง

~ ไม มคาความจรงตรงขาม

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

28

1. การวเคราะหดวยตารางความจรง

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน P v Q P

P Q P v Q P v QP

T T T T T F T T F T T F F F F T

แผนใสหนวยท 5 ตรรกะศาสตรเบองตน

29

2. การวเคราะหดวยแผนภาพตนไม

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน

P (Q ^ R ) T T F F T ดงนน P (Q ^ R )