1. 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비를 알고 문제를 풀 수 있다 . 2....
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Transcript of 1. 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비를 알고 문제를 풀 수 있다 . 2....
1. 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비를 알고 문제를 풀 수 있다 .
2. 삼각형의 중점 연결 정리와 무게중심에 대하여 알고 문제를 풀 수 있다 .
학습목표
ABC 에서 에 평행한 직선이 와 만나는 점을 D,E 라 하면 임을 알아보자 .
AC,AB
DEBCAEACADAB :::
BC
1 삼각형과 선분의 길이의 비
ABC 와 ADE 에서 이므로 BCDE //
ABC ∽ ADEABC=ADE, A: 공통인 각두 쌍의 각의 크기가 같다 .
→
→
A
B
D E
C..
DEBCAEACADAB :::
2 삼각형과 평행선
A
B C
DE증명 ABC 와 ADE 에서
ABC 의 변 BC 에 평행한 직선이 변 AB,AC 의 연장선과 만나는 점을 D,E 라 하면 임을 증명DEBCAEACADAB :::
CAB= EAD ( 맞꼭지각 )
ABC= ADE ( 엇각 )
따라서 ABC ∽ ADE
DEBCAEACADAB ::: 그러므로
.
.**
문제
문제
2)x
10
C
A
B
E
D
12
8
6y
풀이1) x : 6 = 5 : 3, 3x = 30 x = 10
y : 8 = 3 : 5, 5y = 24 y = 4.8
2) x : 8 = 6 : 2, 12x = 48 x =4
y : 10 = 6 : 12, 12y=60 y = 5
1)x
8
56
y
3
A
B
D E
C
다음 그림에서 이다 . x, y 의 값을 구하여라 .
DE//BC
문제 문제 ABC 에서 DE//BC 이면 EC:AEDB:AD 임을 증명하여라 .
→
→
A
B
D E
C
증명 AB 에 평행한 직선을 그어BC 와 만나는 점을 F 라 하면ADE 와 EFC 에서
DAE= FEC ( 동위각 )
AED= ECF ( 동위각 ) 이므로ADE EFC ∽ EC:AEBD:AD
EFDB 또 ABCD� 는 평행 사변형이므로
..
EC:AEDB:AD 따라서
F
ABC 의 변 BC 에 평행한 직선이 의 연장선과 만나는 점을 D,E 라면 임을 증명EC:AEDB:AD
,AB
AC
문제
A
B C
DE증명 점 D 를 지나 에 평행한 직선을 그어 의 연장선과만나는 점을 F 라 하면
EC
BC
ADE DBF ∽DF:AEDB:AD
그런데 ECFD� 는 평행 사변형 이므로ECDF EC:AEDB:AD
F
문제 , 오름
1)2)
다음 그림에서 이다 . x 의 값은 ? DE//BC
4 x
A
B
D E
C
2 3B C
DE
A
x3
6 5
4 : 2= x : 32 x =12
x = 6
AE:ACAD:AB)2 EC:AEDB:DA)1 6 : x = 5 : 3
5 x = 18 x = 3.6
문제 , 탐구 다음 그림에서 AB//DE 일 때 ,
x + y 의 값을 구하여라 .
문제 , 탐구 다음 그림에서 AB//DE 일 때 ,
x + y 의 값을 구하여라 .
A
B
C
E
D9cm
7.5cm
12cm
3cmx
y
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비
DE:BCAE:ACAD:BA)1
ABC 에서 점 D, E 가 위에 있거나 연장선 위에 있을 때 , 이면
AC,BA
AC,BA DE//BC
EC:AEDB:DA)2
A
B C
DE
→
→
A
D
B C
E
→
→
A
B
D E
C
문제
DE//BC
→
→
A
B
D E
C
증명 ABC 와 ADE 에서AE:ACAD:BA
ABC ADE 이므로 ∽
A 는 공통인 각
B = ADE
즉 , 동위각의 크기가 같으므로
ABC 에서 이면 , 임을 증명DE//BC
AE:ACAD:BA
..
ABC 에서 점 D, E 가 이 연장선 위에 있고 이면 임을 증명
EC:AEDB:DA AC,BA
DE//BC
문제
A
B C
DE
증명 ABC 와 ADE 에서AE:ACAD:BA
ABC ADE ∽
A 는 공통인 각
DE//BC
따라서 ABC = ADE
즉 , 동위각의 크기가 같으므로
두 쌍의 길이의 비가 같고 그 끼인각 의 크기가 같으므로
A
D
B C
E
ABC 에서 이면 , 임을 증명
EC:AEDB:DA AE:ACDB:DA
문제A
B
D E
C
증명 DB점 E 를 지나 에 평행한 직선이 와 만나 점을 F 라 하면BC
ADE 와 EFC 에서EC:AEDB:DA
EC:AEEF:DA , DAE= FEC ( 동위각 )
EFDB, 이므로
ADE EFC ∽ ADE=EFC
또 ABC= EFC ( 동위각 ), ABC= ADE
ADE 와 ABC 에서 A 는 공통인 각ABC ADE ∽ AE:ACDB:DA
F. ..
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비ABC 에서 점 D, E 가 위에 있거나 연장선 위에 있을 때 ,
AC,BA
AC,BA
DE//BCAE:ACAD:BA)1 이면EC:AEDB:DA)2 이면 DE//BC
A
B C
DE
→
→
A
D
B C
E
→
→
A
B
D E
C
2 평행선 사이의 선분의 길이의 비
BC:BA)1
그림에서 //m//n 이고 , 할 때 ,
1:2AD:AB
1:2CD:ADBC:AB
CB:BA)2 A
B
C
Dm
n
A
B
C
다음을 구하여라
CC//BDCAC 에서 이므로
CD//AAACA 에서 이므로
1:2CB:BABC:AB
평행선 사이의 선분의 길이의 비
세 평행선이 다른 두 직선과 만나서 생긴 선분의 길이의 비는 같다 .
//m//n즉 그림에서 이면
a : b = a: b
A
B
C
m
n
A
B
C
a
b b
a
문제다음 그림에서 //m//n 이다 . x 의 값은 ?
m
n
3
8
4
xm
n
5 4
3 x
5 : 3 = x : 4 3x = 20
3
20
5 : 4 = x : 3
4x =15
4
15
1) 2)
2)1)
그림에서 k////m//n 이면 a:a= b:b= c:c 임을 증명하여라 .
문제
k////m 이므로 a:a= b:b a a
b
c
b
c
n
k
m//m//n 이므로 b:b= c:c
따라서 a : a = b : b = c : c
그림과 같이 4 개의 평행선이 두 직선과만난다 . 이때 x, y 값을 구하여라 .
2
3
4
3
x
y
2:3= 3: x
2:3= 4 : y
2x = 9 x = 4.5
2y = 12
y = 6
문제
오름 , 탐구
그림에서 직선 //m//n//p 일 때 , 이때 x, y, z 의값을 구하여라 .
m
n
p
z
y
x
6 5
16
8 8
탐구그림에서 일 때 ,
의 길이를 구하여라BC//EF//AD
EF
A
B C
F
D
E
6cm
10cm
5cm
3cm
3 삼각형의 중점연결 정리
A
D
B C
E
_
_
=
=
ABC 의 변 AB, AC 의 중점을 D, F 라 하면AE:ACAD:BA = 2 : 1 이므로
DE//BC 이다 .
따라서 AD:BADE:BC
= 2 : 1
그러므로 BC2
1DE
ABC 에서 변 AB 의 중점 D 를 지나고 변 BC 에 평행한 직선을 그어 변 AC 와 만나는 점을 E 라하자 , 이때 점 E 을 의 중점임을 증명하여라 .
AC
문제
A
D
B C
E
_
_
증명 ABC 와 ADE 에서A 는 공통 , B =ADE
ABC ∽ ADE
두 쌍이 대응하는 각의 크기가 같으므로
AE:ACAD:BA 따라서 = 2 : 1 점 E 는 의 중점이다 . AC
.
.공통
삼각형의 중점 연결 정리와 그의 역
1) ABC 에서 점 D, E 가 각각 변 AB, AC 의 중점이면
BC2
1DE
A
D
B C
E
_
_
=
=
2) ABC 에서 변 AB 의 중점 D 를 지나고 변 AC 와 만나는 점을 E 라 하면 , 점 E 는 변 AC 의 중점이다 .
DE//BC ,
사각형 ABCD 에서 변 AB, BC, CD, DA 의 중점을 P, Q, R, S 일 때 , 사각형 PQRS 는 평행 사변형임을 증명
문제
A
B QC
DS
P R
증명대각선 AC 를 그으면 ABC 에서
,BPPA CQBQ 삼각형의 중점연결정리
AC2
1PQ ,AC//PQ
또 ACD 에서 ,AC//SR AC2
1SR
,SR//PQ SRPQ 그러므로따라서 ABCD� 는 평행사변형
인 사다리꼴 ABCD 에서 의 중점을 E,F 라 할 때 , 다음을 증명하여라 .
BC//AD BD,AB문제
증명 두 점 A,F 를 지나고 변 BC 연장선 교점 GAFD 와 GFC 에서
,CFDF ADF=GCF,
AFDGFCAFD=GFC,
CGAD ABG 에서 점 E,F 은 각 변의 중점 , 중점연결 정리에서 BG//EF
BG2
1EF )CGBC(
2
1 )ADBC(
2
1
G
- =
A
E
B
D
F
C
- =
..
4 삼각형의 무게중심ABC 에서 각 꼭지점과 대변의 중점을 이은 선분을 중선 , 이 세 중선은 한 점에서 만난다 .
BC2
1EF,BC//EF
( 닮음비 2: 1)
1:2GF:CGGE:BG 즉
점 G 는 중선을 각 꼭지점으로부터 2 :1 로 나누는 점이다
ABC 에서 중선 BE, CF 의 교점을 G
AB,AC점 E, F 는 의 중점
A
F
B
E
C
G
_
_
=
=
따라서 GBC ∽ GEF
삼각형의 무게중심
삼각형의 세 중선은 한 점 ( 무게중심 ) 에서만나고 , 이 점은 세 중선의 길이를 꼭지점으로부터 각각 2:1 로 나눈다 .
A
CB
F E
D
G_
_ =
=
# #
2
1
정리
ABC 의 무게중심을 G 라 할 때 , ABG,BCG, CAG 의 넓이가 모두 같음을 증명
문제
D
A
CB
G.
증명 의 연장선과 와 교점을 D 라 하면AG BC
ABD= ACD, GBD= GCD
ABG = CAG
같은 방법 ABG = BCG
ABG = BCG = CAG
선분 AD 는 ABC 의 중선이고 , 점 G,G 은 ABC 와 GBC 의 무게 중심이다 . 일 때 , 의 길이는 ?cm9AD GG
문제
. G
A
CB
G
D
.
풀이 점 G 는 ABC 의 무게중심1:2GDAG
AD3
1GD cm39
3
1
또 점 G 는 GBC 의 무게중심1:2GDGG
GD3
1GG cm23
3
2
는 ABC 중선이고 이고이때 ABC 는 이등변 삼각형임을 증명
CEBD CE,BD
A
B C
DE
증명 BD CE 와 의 교점을 P,P 는 ABC 의 무게 중심이고
CEBD 이므로,CPBP DPEP
EPB 와 DPC 에서 EPB = DPCEPB DPC (SAS 합동 )
DCEB ACAB 따라서 ABC 는 이등변 삼각형이다 .
문제
P= =
_ _
)COAO(QCPQAP
평행사변형 ABCD 의 변 AD, BC 의 중점을 M, N 이고 대각선 AC 와 변 BM, DN 과의교점을 P, Q 라 할 때 , 임을 증명QCPQAP
오름
A
B C
DM
N
P
QO
증명점 P 는 ABD 의 무게중심
1:2OP:AP
점 Q 는 DBC 의 무게중심
1:2QO:CQ
탐구
평행사변형 ABCD 에서 의 중점을 각각 M, N 이라 하고 대각선 BD 와 과의 교점을 각각 P,Q 라하자 . 일 때 ,
대각선 BD 의 길이를 구하여라 .
CDBC와
AN,AM
cm6PQ
P
= =
_
_
A
B M C
N
D
Q6cm