1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD...

30

Transcript of 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD...

Page 1: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

���������� ������ �� ��� ����������� ����� �� �

���� ������ ������

��������� ���� ���� ���������� ��� ��� �� ���������

��������

�� �� ���� �� ���� ��� ���� � ����� � � �������� �� � � ��������� �������� ����� ����� ����� �� � ������ � ���������� ����� �� � ���������� ���� ��� ��

����� � ���� ����� ���� ����� �� ������� ����� �� ��� ������ � ����

� ���� ������ �� ��� �� ����� ���� ��������� � ���� ������ � ��� � ���

��������� ������� ���� ���� � � ��� � ��� ���� ������� ������ �� ���������

������ � ����� ������� ������� �� ���� � ��� ���������� � ��� ���� ������

��� ������� ���� !"# �$���� � �� ��� ��� � �� ���� ������ �

��� ������� �������� �� ������� ���� ����� ��������� �� �������� � ��� �������

�������� ��

%�� ��� ������� � ��� ������ � ��� �� ������ ��� ���������� ����� ����

�� !&'# � ��� ���� ����� �� ������ ���� ���� ��������� (��������� ���

����� ��� �� � � ��� !" �$���� � �� ��� �������� ������� �� � ��� ����������� � ��� !" �$����� ����� �� �������� � �� � ������

��������� �� ���� ����������� ����� ����������� ��� �� ����������� �� �� !� "�#�$���%&����%��'� ��($���%&����%��'� )�� *��������$�����%+�',%

Page 2: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

� ����������

�� ���� � ��� �� ���� ���� ��� �� � ������ ��� ����� ���� ���� �� ��� � �� ���

����� � �� ���� ���� ��� ��� ����� �� � ��� �������� ��� ������ ��������

��������� � � ��� ���������� � ���� ��! ��������� �� ��� ����� � ���� �� �� ��������

�� �� �������� � ����� �� �������� �� �� ���� ��! ��� ������� �� �� �������

�������� "� ���� �#�$� �� ������� � ���% ���� ��� � ��� ����� �� ���� ��������

�� �� � ��� ������� �� �� ������� ���������� &��� ������� �� � �� ���� ��

������� ��������� �� ���� � ����� ���� '��� ��� �� ���� �� ���� � ������� � �����

�� ���� ����� � ���������� ������� ���������� �� ����� ���� �� ������� !� ������

�� ��� � �� ��� ��� ��(� )� �*�� +��� ���� '��� �� �� ������ � ��� ����������

��������� �� �������� ��� ��� �� ���������� �� ��� �� ������ �� ������ �� ����

��� ��������

�� �� ��� � � ��� �� �� �� ���������� �� �! ��������� "���� �� ���� ��������

�� � ��������$� +��� � ���� �� �� ���� ���� ������ � �� �� , �� �� ������ ��

�� ���������� & ����� �� ���� ����� ���� �� ��������� ��� �� "�$� - � �� � !���

�� ���� !� ������ �"�$ �� �"�$ ��� �� ��� �� ����� !� ������ �� �"�� �$�

�����!��� ��"�$ �� �� ���� �������� �� �"�� �$� ��� �� ��� � �� , �� ��� ������

�� ���

�"�� �$+����������������� ��"�$� �"�$� � � � �

.������� +��� ��� �����

��"�$+����������������� ���� ���� � � �

"�$

�� ���� � ������� ����������� �� � �������� �� � ����������� �� �� �� �"�� �$ ��� ��� �

��� �� "���� �"�� �$ ��� ��� � � ���� ���� �� �� � �"�� �$ / �"�$�"�$$� +� �� ����

�������� � ��� �� ���������� ����������� � ��� � ��� ������ ���� ��� ���

����� �� �� �����0��� �� ������� ��� �� �� �� � � -��� �� �� �� ���� �� ���

��� �� ���� ���� ������ ��� �� ��� � �� �� , �� �� ��������� �� ��"�$� �"�$� � � � ��&�� �������� ���� ������ �� ���� ��� ����� �� ��������� � �� 0������� ����

1

Page 3: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

�� ��1� �2� )� ���� �� � ������� ����� �� �� ��� �������� �� ���� ,��� 3� �! �

�� �� ������ �������� �� �� �������� �� ���� �� ���� � ������� �� �� �� ���� �����

������ ����� ����� �� �� � ������� �� ���� ��� ��

�� ���� ��� � � ���� �� ��� ������� �� �� ���� ���� ��� �� � ������ ��� �����

���� ���� �� ��� � �� �� ��� ��� �� ����� 4� ���� ���������� ����� ����� �

������� �� ������ �� � ��������� ����� �������� "567$ �� �� ���� �������� ��

�� ���� �� �� ������� ��������� � ����� �� � �' �� ���� � ����� ",��$�

&�� 0��� ��������� � ��� �!������� � �� �� ����� 3��� 8� �� ���� �� !�����

�� ������

�� �� �� �� ��� �� � ����� �� �������� �� +�� 1� � ���� �� ����� 3���

8� �� "38$ ���� �� �� ���� ���������� ����� ������ & ���� ������ ����� �

��������� ����� �� �� ����� ������ ��� ��� ������ �� ���������� ����� 0��������

+����� # ������ ����� � �� �� 3��� 8� �� ����� - ��� �� 9����� ����������

����� ����� �� �� ��� �������� �� ���������� ����� 0������� �� ����� �� ���! �

������ �� ��������� ����� � ������������ �� �� ���� ����� 7������� � ����� ��

�� ����� �� �� ��� �� +�� 2�

#

Page 4: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

� ���� ����� � ���� ��� � � ���� � ���������

����� � �����

�� ���� ������� � �' � ��� � !�� �� �� ����� 3��� 8� �� ���� ��*� �� �� ����

���������� ����� ����� �:� �;�� & ���� ������ �� ����� �� ����� � ��������� �� ��

������ �� ��� ����� �������� � ����� � �� �� ���������� ����� ��� �����

��� ����� ��� ��� ��

�� �� ����� 3��� 8� �� ����� �� �� ��� � ���� �� ������ �� �� ����� ��������

��� � ������ ���!� �� � �������� �������� �� ��� ����� ������ �� ������� ��

���������� �� �� �� !� ����� � �� �� ���������� <� �!����� �� 3��� 8� �� �����

�� �� ����������� ���� � ���� � �� 0��� �� �� �� �� � �������� � ����� ����

�� ����� ������� �� ��� � �!� ���� �� ��������� �� ���� �� �� ���� �� ������

�� ���� ������ = ��>� ����� �� �� �� � ������ �� ��������� ��� ��� ���

�� ����� !� ������ �� �� ������ �� ��� ������ � �� ������ � ���� ��� � � ��

��� �� �� ���� ������� ���� ���� �������� �� �� ������ ����� ��� � ��

�� ������������� ��� �! �� ����� �� � ���� � ������ <� ��� ������� �� ��� ���

��1� �*� �� � ��� �� �� �� �� ���� ������ �� �!��� ������������ �� 3��� 8� ��

������

��� ���������� ��������� �� ��� ���

4� ���� ���������� ����� ����� ��;� :� ��!��! � ���� �� � �������� �� �� ��������

��� � ����� " ���� ���������$� �� �� ������ � ���������� � ����� � 0��� ���� ������

��������� � �������� �� ���� ��� ���� �� ����������� ��� �� ������ �����

����� ��� ���� "��� $ ���� !� ����� �� 7� � ����,� ���� � ����� �� �� �������

��� ���� �� ����������� ����� � �� �� ����! ������� ���� ��� ���� � �������

���� �� 0������� � ��� ���� - ��� ����������� ����� � �� �� 4������� � ������

�� 9����� ����������� ����� � �� �� ?�� � ����� "� ��;� �� � ������ ����$�

2

Page 5: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

4� ���� ��� ���� �� ����������� �� � � ������ � �������� ����� �� �� � ����

�� ���� !� ������ �� ����� ��� � ���� �� ,� ��

�"�� �$� �"�� �$ � /

��"�� �$�"�� �$�"�$ � / ���"�� �$�"�� �$��

�� �� ����� �������� �"�$ �� �� >���� � ��������� ����� �������� "567$ �� �� ����

!� ������ �� �� ������ � �� �� ����������� 4������� ���� !� ������ ��

�"�$ /��"1�$�

������ ��

=� �� 0����� � 4������� � ���� �"�� �$ "���� � ���� �� ������� � ��� ��� ����$ ��

0� �� ��

�"�� �$ /������

��"�$��"�"�$$�

�� �"�$ �� � !��� �� ��� 4������� ���� !� ����� ���� � � ��� �� ���� !� �����

�� �� ����� ��������� ��"�"�$$ � �� �� ����� "��������������$ - ��� �����������

��!� ��

������"���� � � � � ���$ / ����� �"��$� ��

���� � � ��������

���� ��� � � � ��� � � � � �� � ��

�� �� ������������ � �� �� ���� � ��� �0�������

�� "�� �$ /�����

��"�$����� "�"�$$� "1$

�� � / �������

�� �"�$ / "��"�$ � � � � � ��"�$$ ��� ��� �� ��� �� �

���� ���� � ����� �� �� �� �� ���������� @�� ���� �� �� ����

�� � ��� � ���������� ����� ����� �������� ��"�$ / ��

+��� ���"�$� �� � �� � ����� ��� ������ �� ���������� ����� 0������� ������� ��

�"�� �$ � ��!� ��

��"�$ / �"�� �$� ��"�$ � / ���"�� �$��"�$��

�� �� ��� �� ! ��� ���� �� ��� �� �"�� �$ �� �� � � �� ��"�$� �� �� !� ���� ��

� ��"�"�� �$$ /���

��� "��"�$$�� 3� �! � �� ��� �� �� ��� ���� �� ���������� ��

�"�� �$ �� �������� �� �� ���� �� � �� ������� �� ������ �� ���������� �� ��� �!

�������� �� �� ��������� ��� ���� � �����

:

Page 6: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

����� ��������� �� � ����� � ��� � � � ������ ��� ����� �

= ������! ���� �� �� ����������� �� ���������� ����� ����� �� ��� ����� ��������

�� �� ������������ �� ����� � ���������� �� ���������� ����� ���� ��� �� �

����� �� �������� �� �� 0������� �������� ���� ����� ����� ���� ��� ���

�� �� �� ������ ����� ��� ��� ����� � ��������� �� �� ������ �� �� � ������

� �����

8���� �� ����� ���� ��� ����� �������

� A �"�� �� �$ �� / (� ( � � � �� � � (� "#$

�� �"�� �� �$ ��� �� � ���� !��� ��

& � ��� �� �������� �� �� "1$ �� �� �� ��� �0���� ������ �� �� "�� �� �$ /����� ��"�� �$��"�$� = ����� 4�� �� � ��� ���� � �����

�����

A

���� ��

���� ��� ��

/ (� / (� � � � � ��

��

�� � / ����� ����

�� ��� �0 �� � � ��!

!" A � !"� / (� "2$

�� !" / "��"�� �$� � � � � �� "�� �$$ �� �� ��� �0 � / "��� $ ��� �����

��� /�����

���� �� ( � �� # � ��

����� �� ����� ������� "#$ �� �� ���� �������� �"�� �� �$ �� � ����� � �� �� �����

"2$ �� �! �� � �������� �� �����% ���"�� �$� � � � � �� "�� �$�� & ��� � ��� �� ����

�� �� �����%

��� ��� � �� �� "2$ � � ���� ��������� � ������� �� �� "�� �� �$ � "�$ ( ���

��� � �� � ����� "�� �$� ��� �� ����� � � ������ �������� ������ �� ��� ������

B

Page 7: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

�� �� �� ����� � �� �� ��� �0 � ������� � ���� � �� �� ,������ �� "�� �$�

4�!� ��� �� !��� $ / "$�� � � � � $� $�

$ � $ /��

�� ��

$��� $ /��

�� ��

$�$

�����

���� � /�����

��

���� ��

$�$ �� �

/�����

��

���� ��

$�$ ����� ���

/ �

�����

����

� �����

$���

� �� ��

$ �

��

/ ���� "�� �� �$%"�� �� �$���

�� %"�� �� �$ /��

��� $���� 7 �� �� ���� 0� ������ �� ��� � ��������

@�� ���� �� ��� � ������ ���� �� ����� � ��������� �� �� �! ����� "2$

� ��������� ���� �� ����� � �������� �� �� ��� �0������� �� �� � ������ ������� "#$�

�� � ����,�� �� ��� � ������ ���� ��� �� �� � �������� �� ����� � ������ "�

�����$ �� �� ����� � �� �� � �>����� �� �� � ������ ���������� �� ���� �� ������ "�

�����$ �� ���� ����������� �� �� ��� ����� �� ���� �� ������������ ���������

� ��!��! � �� �� ���������� ����� ������

��� ��������� �� ����� ���

�� ���� ��� � ���� �� ���� � ��� �� �;�� �� ��! ��� � C������C 567 �� ���

���� !� ���� ��� �� � �� ������� =���� ���� �"�$ �� �� 567 �� � ���� !� ����

�� �� �� ���� � � � � ��� � & 3����8� �� ������� D0� �� �"�$ �� � � �� �� .��

����������� ���"�$�%�"�$ /

�����

����"�$�

��

�� /�

���� �

���"�$��"�$�

8����� �� ���! ���� ����� ���� �� 3��� 8� �� ����� ����� �

���"�$��"�$ �

&

�����

��"��$�

)

Page 8: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

��� � ������ � ��������� ����� �������� �� ������ ��

�"�$ �

&

�����

�����

�����"��$��"�$

/' A �

1&

�����

����"�$��"��$� ��"�$����"��$

�� ���

����� �� 8� ����'��6� ���0 �� ���� ��:�� �� ���"�$� � �� .�� ������������

<� ����� ��� ���� �� ���� ���� �� >��� � ������ � �������� � �� ������� �

!�� �� �*��

*

Page 9: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

� �� ��� ���� ����� ���� �� ������� ��� ����

��

&�� �� ���� ���� ��� �� ��� �� � ������ ��� ����� ���� ���� �� ��� � ��� �� ����

��� ��� ��� � ��� �� ��� ������ � ��������� � ������� � ���� ��! ��������� ��

��� ����� � ���� �� �� �������� � ����� ����� �� ��� ������� ����� �� �� ���� ���

�� ���� ��������� �� ���� � ��� �� �� ������� �����

�� ���� �� ��������� ������, ��� ��� ������%

��

��A

��

��

1

�/

��

���� �

1

�� ( � � � �� � � (� ":$

���� �� ������� ��������

�"�� ($ / % ��� ��

�� ����� � ���������

�"(� �$ / �"�� �$ / (�

�� 0��� ���� ���� �������� �� D�� ":$ ��

��"�� %$ / ������

�"�� %� �$ /

��� / ����� ( � � ��

�� / � ����� �� � �� "B$

�� ���� �������� �� �� � �������� �� �� �� ��� % �� �� ������� ��������%

�� /

��������

���� %�

� �(1� �� % � (

� � �������

�� %��� �(1� ( % �

� ")$

&�� �%� � �� ��"�� %$ �� ������ "/ ����"%$ ����$�

��� ������ �������� �� ��� ���������� !������ ��

8���� D�� ":$ ���� �� ������� ��������

�"�� %� � / ($ / % ����� "*$

�� % �� � ����� ������� ,� ��

% /

���������

��� �� ) �/ (

(� �� ) / (� ) /

%

�� %�� ";$

;

Page 10: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

- ) �� � 4������� ���� !� ���� ���� �� ��� � �� ����� !� ������ �� ����

) &"�� �$� �� ���� ������ 0���� �� �� ���� ���� �������� ����� % "��� �$�7 �� ")$� �� ,�� ���� % / � ���"��$� ����

) /� ���"��$

"�����$�� "�($

�� � ��������� ����� �������� �� �� ���� �������� �� ��� �� �� � ������ � ����

��

��1��

��������

��� ) / �"��$ �� �� �"��$ /��1��

��������

��� )

%

%

���

�� �"��$ ���� �� 567 �� �� ���� �������� ���� �� ��� ���� ����

�"��$ /��1��

��������

��� � � A %�

"�� %�$����"��$� ( �� �� "��$

�� ���� % / � ���"��$ �� ) �� ��!� �� "�($�

����� ������ � �� ���� ��� � ���

+��� % �� � �������� �� � ����� 4������� ���� !� ����� )� � ������������ - ��� �����

������ ����� ��� �0������� "� / �$ ���� �� � ��� �� ���� �������� ��"�� %"�$$�

���� � ����� �� 0�������

��"�� %"�$$ /�����

*�"�$��"�$� "�1$

?� �� ��� ���� � �� � 4������� ���� !� ���� ���� � � ��� �� ���� !� ����� ��

�� �0� ��� � � ���� �������� ���� ���� 0������� ���! ��� +� � �������� ��������

��"�� �$ �� ��� ������ �� �� ������� !� ���� �� ��� �� ������� *�"�$ � �������

��� ��� � �� ������ �� ��"�� %"�$$ � ���� �� ���� �� � � � �� ��� �����

������� !��� "�� �� ��� ��� ������� ��� %"�$ � ���� �� �#�� ��� �� �������

�$%� ������ ��� �� ������ *�"�$ �� �����

�� �� 7 �� �� ������� ���� )� �� % �� �� ���� �������� ��� �� ,��

� /�

� �����

"�����$�� �

�� "�#$

�(

Page 11: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

���� ������ ���� �� �� �� ��� ����� �������� �� � �� !�� ! ��� ��� ( �� ��

.� �� � �� !��� �� � ����� �� ����� �� �� �������� ���� ���� �������� �� "(� �$�

7� � ,0 ��� �� ���� ���� �������� �� ":$ �� ��!� ��

��"��� �$ /

�� ���"��"��$$� �� � � ��

���"��"��$$� ��� ���� "�2$

����� �� ���� �������� �� �� ��� ����� �������� �� �� �� �� �

��1�

� ��

��"��"��"��$� �$$���

��

� � / "�����"��$$� A��

�� ���� �� 0������� "�1$ ���! �� "� �2�$�

�� 0������� ������� � ��!� ��

*�"��$ /��1�

� ��

����"��"��$� �$ ��"�$�

� ��

� �

/��1�

� ������

��A

� ��

������

���"��"��$� �$ ��"�$�

� ��

� ��

5������� "�2$ ���� �� ���! ������� ����

*�"��$ /��1�

� ��

��"� �����"��$$��"�$�

� ��

� � A

� ��

��

��� ��"��$ ��"�$�� ��

� �

/��� ��"��$�

1�

� ��

������

�� ������

��

���"�$�

� ��

� �

/��� ��"��$�

1�

� � 1

� ������

����"�$�

� ��

� �

�� "�:$

��

� /

� ��

����"�$�

� ��

� � / ���

�� ������ �� ��� 6��� �� ���� �� �� "�:$ �� �"��$� E���� �� ����� ��� �� ���

! ��� ����

��"�$

��/

��

���

��������

� ��"�$ ����

� �

� �� ����� �� ��� � ���� �"�$ �� � ������ ��������� �� ����� �� �� !��� ����� � �� �

������ �������� �� �� ���� �������� �� �� "(� �$ "� "�#$$� +� � ��! � �!� ���� *�"�$

�� � ������ �������� �� � �� ��� �

��

Page 12: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Exact Hermite PC Modes, α = N(0, 0.1)

0−th Mode1st Mode2nd Mode3rd Mode4−th Mode

7��� �% �� , �� ,! - ��� ���������� ����� ��� �� �� ���� ���� �������� �� D��":$ ��� ) &"(� (��$�

�� 7��� �� � ���� �� , �� ,! - ��� ���������� ����� ��� �� �� ���� ����

�������� �� D�� ":$ ��� ) &"(� (��$� 7��� 1 ����� �� ������� !���� �� �� , �� 1�

- ��� ���������� ����� ��� �� �� ������ ��:)(* �� ��#;:;� �� ���� ��� �� �

�� �� ������������ �� �� �������� �� �� ���� ����� �� ������������ �� �� ����

���� ��� �� �� � �� � �� D�� "�2$� �� ������� ���� ������ � �� � ����� "7���

#$ �� �� ���� ���� �������� ! ��� � �� %� ��� �� ������� �� ��� �� ��������� �� %�

�� ��� ������ ���! �� ������� ":$ � � � �������� �� �� �� �

��"�� %� �$ /

�����

*�"�� �$��"�$� "�B$

7�������� �� � ��� ������ �� +�� 1�1�� � ������

�*���

A

���� ��

�� �

�*�* 1

��/ ��� "��� � ��� �$ � / (� �� � � � � �� "�)$

�� ��� �� �� F ��� ��� ���������

7� ���� ��� � ����� � ���� �� ������ �� ���������� �� �� ���� �������� ����� ��

� �! �������� �� �� ��������� �� ���� �������� �� ��� ��! �� ���������� �� ����

�1

Page 13: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

100

101

102

10−2

10−1

100

Exact Hermite PC Modes at 1.5708. α = N(0, 0.1)

N

|uN

(1.5

70

8)|

1/N1/2

1/N

100

101

102

10−3

10−2

10−1

100

Exact Hermite PC Modes at 1.3959. α = N(0, 0.1)

N

|uN

(1.3

95

9)|

1/N1/2

1/N

7��� 1% 6��� �� �� �� ������� !���� "�� �$ �� �� , �� 1� - ��� ���������� �������� �� �� ���� ���� �������� �� D�� ":$ ��� ) &"(� (��$� .��% �� �� ������ / ��:)(*G H����% �� �� ����� � / ��#;:;

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u∞

7��� #% �� ���� ���� �������� �� D�� ":$� 0�������� ������������� �� �� ��������!� ���� � �� ��� �� �� ���� !� ���� %�

�#

Page 14: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

�� �� ��� �������� �� ��� �� "D�� ")$$ �� �� ���! ������ ������� ��������� 7� �� ��

����� � ��� �� �� ��� �� � �� �� � �� ������ �� ���������� �� �� ���� ���������

�� ���������� ����� ������ �� ��� � ����! �� ����� � 3��� 8� �� ���� �� ��

������ �������� "�B$� 3� � ������ � , �� �� �� � ���� �� ������ �� �� ��

������ �� ���������� �� �� �������� �� �� 0�������� �� ���� �������� ��� ��� �

0� ��� � �� ��� ���������� 7������� � ��� ������ �� ���������� �� �� ���� ����������

!����" � �� ���� ����� � � ��� ��� ��� ���� �� �� ��� ����� � ������� ��

�� � ���� ��� ����"������

#�������� !�����

?�� ���!��� D�� "�)$� � ��� ��� ���� ���� �� - ��� ���������� ����� � �

�������� ��� �0����� �� ������� ��������� �� � � �� ) / &"(� (��$ �� &"(� (�#$ �

����� �� 7��� 2�

& ��! ����� ��� ����� �� ���! D�� "�)$ % � , �� � ���� !���! ,��� �' ��

"76$ ���� ���� � ����� .�0�7 � ��� ��0 "..7$ ��B� �� � 8�����! ����������� ����

�B� ���� 0�������� ,�� ��� ��)� �� ����� = ��� �� �I6 H��� F���� ���� ��#� ���

�� �� �� �� ��� ��� �������� ���! 8�����! ����������� ���� �� �� �� ��

������� ��� ��������� <�� ���� �� , ���� �� �� D�� ���� �� ���

�� �� ��������� ,�� �� �� C0��� 567C �� �� � ��������� ����� �������� � �� ��

���������� �� ���� D�� "��$G �� C0��� 567 � �� <+83C �� �� 567 ������ �� ��

���� ��!� �� +��1�# ���� � �� � ���� "1(((( ����� ��� ��� ��!�$ �� ������� ��

���� ���� � , �� �� �� ������ �� %� ������ �� ���� ��������� � �� �� ����������

�� ����� �� ��� ������ �� � ��������� ����� �������� �� �� ���� �� �� ��

+��1�# � �� ���� ���� ���������� �� C���� � 58C � ���� �� � ��������� �����

�������� ������ ���� �� ��� ���� �� ���� ���������� ���� ���� ���! � �� ����

��������� � ������ � �� �� � �� 0������� �� �� ��� �� �� �� ���!�

�2

Page 15: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

−15 −10 −5 0 5 10 1510

−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102

Use PC to approximate β = (−1 + [1+4 α2]1/2 )/(2 α), where α =N(0,0.1)

Err

or

α

Order =3Order =5Order =7Order =9

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 210

−20

10−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

Use PC to approximate β = (−1 + [1+4 α2]1/2 )/(2 α), where α =N(0,0.1)

Err

or*

pd

f

α

Order =3Order =5Order =7Order =9

−15 −10 −5 0 5 10 1510

−20

10−15

10−10

10−5

100

105

Use PC to approximate β = (−1 + [1+4 α2]1/2 )/(2 α), where α =N(0,0.3)

Err

or

α

Order =3Order =5Order =7Order =9

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 510

−20

10−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

Use PC to approximate β = (−1 + [1+4 α2]1/2 )/(2 α), where α =N(0,0.3)

Err

or*

pd

f

α

Order =3Order =5Order =7Order =9

7��� 2% =�� �0���� % / ��������

������ - ��� ����������� ����� 0�������� E��

��� ����� �% ) / &"(� (��$G .�� ��� ����� �% ) / &"(� (�#$G .�� ��� % �� ����� ��� � G H���� ��� % �� � ���� �� �� ����� ��� � �� �� 567�

�:

Page 16: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−2

0

2

4

6

8

10PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1)

exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC9−th order PC

7��� :% 567 �� ���� ��������� � �� - ��� ���������� ����� ������ ) / &"(� (��$�= , �� � ���� !���! ���� ���� ����� .�0�7 � ��� ��0 �� �� �� �� ������� ���� ��������� �((( � � ������ �� �� ����� �(� ��� 87. / (�;�

7��� : � ���� �� ����� ������ �� �� ,��� �' �� ����� �� ���� ���

�� �� � ��������� ����� �������� �� ���� �� � ���� ���� ������ ����� �� 8�����!

����������� ���� "7��� B$� �� ���� ���� �� �� �� � ���������� �� �� ���� �� ����

�� ����� .�0�7 � ��� ��0 ����� ��� �� �� ���!���� �� �� ��0�9������� �� ��

������ ��� ����� �� ���� �� �� - ��� ���������� ����� � �� �� �� ��� ����

�������� �� D�� "�)$� ��� ��� �� ��� �� �� ����� �� �� ���� �� ���� "�� ����� ��

���� �$� �� ����� �� �������� ����������� "@�� ���� �� �� ��� ������� ���!���� ��

���� � � ��� ������ �������$ ����� �� 8�����! ����������� ���� ���� & / �1*

�� �� �� �� ������� ��� �������� �� �� ������� ��� ���� ���� �� �� ��� � =� �

��0�� � 0�������� ,�� �� �� �� ���� �� �� �� ��� ����, ��� ����

�� � � �� �� �� �� ��� �� � ����� �� �� ���� �������� � ���� ������ ��

�� ���������� ����� ���� ���� 8�����! ����������� ���� �� �� ������� ��� �����

���� "� 7��� )$� &�� ) &"(� (��$� �� � � � ! � ����� �� �� ,��� � ����

�B

Page 17: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

���� �% .� ��� ������� ���!��� "+$ �� �� ��0�9������� ��� �0 �� D�� "�)$� ) /&"(� (��$� �((( � � ������ �� �� �� �� ������� � ������

58 < # : ) ; ��+ #�2� B�;: �;�(2 1;�() 21�12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5PDF of shock position (CGLC, α = N(0, 0.1), Filter Order = 6 )

exact PDFexact PDF from OSCM3−th order PC5−th order PC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8PDF of shock position (CGLC, α = N(0, 0.3), Filter Order = 6 )

exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC11−th order PC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5PDF of shock position (CGLC, α = N(0, 0.6), Filter Order = 6 )

exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC11−th order PC

7��� B% 567 �� ���� ��������� � �� - ��� ���������� ����� ������ = 8�����!����������� ���� ���� & / �1* �� �� �� �� ������� ��� ��������� J� / �

��&��� �� �

�� �� � �� �� ���������� ������ D0�������� ,�� � �� B� E�� .��% ) / &"(� (��$��((((( ������ � �� �� ������ �� 567G E�� ����% ) / &"(� (�#$� �((((( ������� �� �� ������ �� 567G .�� % ) / &"(� (�B$� 1((((( ������ � �� �� �������� 567�

�)

Page 18: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

3 4 5 6 7 8 9 10 1110

−5

10−4

10−3

10−2

PCorder

Error of Mean

α = N(0,0.1)α = N(0,0.3)α = N(0,0.6)

3 4 5 6 7 8 9 10 1110

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

PCorder

Error of Variance

α = N(0,0.1)α = N(0,0.3)α = N(0,0.6)

3 4 5 6 7 8 9 10 1110

−6

10−5

10−4

10−3

PCorder

Error of 3rd Moment

α = N(0,0.1)α = N(0,0.3)α = N(0,0.6)

3 4 5 6 7 8 9 10 1110

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

PCorder

Error of 4th Moment

α = N(0,0.1)α = N(0,0.3)α = N(0,0.6)

7��� )% D � � �� �� �� �� ��� �� ����� �� �� ���� �������� ���� 567 �� ����� ��7��� B� E�� ���% ���G E�� ����% !� ����G .�� ���% # ����� "� ����$G .�� ����% 2�� ����� " � �����$� C�ÆC% ) &"(� (��$G C�0C% ) &"(� (�#$G C��C% ) &"(� (�B$�

� ���������� ����� ������ �� �� ��������� ���� �� 567 ���� �� 7��� B� 7�

) &"(� (�#$ � &"(� (�B$� ���� ���! ��� �� ��� ! �� ���� � ������� �� ����

���� �� ��� ��� �������� � � ������ ��� �� � � � ������ ���� �� ��� ��

��� �!��� ��� ��� ����� �� ���������� ����� � ��

��� ������ �������� ��� ��� ���������� "#�$� ��

�� ���� ������ � ����� �� ������� �������� "*$ ���� % ���� � ?�� ���� !� ����

"% ?��",� -$$ �! �� ����� ���� ��� 7� ���� ������� ���� � ����� 9����� �����������

� �� ���� �� ����� �� �� ���������� ����� ����� ��������� ��;��

�*

Page 19: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5

0

0.5

1Exact Jacobi PC Modes, β = Beta(1,1)

0−th Mode1st Mode2nd Mode3rd Mode4−th Mode

7��� *% �� , �� ,! 9����� ���������� ����� ���� ���� ���� .�� ����� �������� , / - / �� % ?��",� -$ �� ���� ���

�� � ��������� ����� �������� �� �� ���� ��������� �� ��

�"��$ /"� A %$���"�� %$���

1�����.",� -$������ ( �� ��

�� % / � ���"��$� .",� -$ / ��������������

�� �� ?�� ��������� �� K",$ �� �� 4���� ���������

+����� �� �� - ��� ����������� ����� ���� �� �� ����� �� �� � ������������

9����� ����� 0�������� �� �������� ��� �������� �� 4�� �� � ��� ��! �� ���

�� � "�)$� ��� ���� �� ��� �0 � ���� ������ � �� �� 9����� ����������� ����� �� ��

- ��� ������������

=� ��� � ��� ����

��� ��� � �� ������ �� ������ �� �� &����� ������ ��� ���� ������� �� ��

���� ��� �� ���� �� �����

�� �� �� � ��� �� ����� �� �� ������� �� ��� ���� �� ��� � 1�

�� 7��� *���� � ���� �� , �� ,! 9����� ���������� ����� ��� �� �� ��� �� ��

�� , �� 1� 9����� ���������� ����� ��� �� ��� ������ �� , / - / � �� , / - / �(�

�;

Page 20: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

100

101

102

10−2

10−1

100

Exact Jacobi PC Modes at 1.5708. β = Beta(1,1)

N

|uN

(1.5

70

8)|

1/N

100

101

102

10−3

10−2

10−1

100

Exact Jacobi PC Modes at 1.3959. β = Beta(1,1)

N

|uN

(1.3

95

9)|

1/N1/2

1/N

7��� ;% 6��� �� �� �� ������� !���� "�� �$ �� �� , �� 1� 9����� ���������� ��������� % ?��"�� �$ �� ���� ��� .��% �� �� ����� � / ��:)(*G H����% �� �� ������ / ��#;:;

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Exact Jacobi PC Modes, β = Beta(10,10)

0−th Mode1st Mode2nd Mode3rd Mode4−th Mode

7��� �(% �� , �� ,! 9����� ���������� ����� ���� , / - / �(� % ?��",� -$ ������ ���

1(

Page 21: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

100

101

102

10−2

10−1

100

Exact Jacobi PC Modes at 1.5708. β = Beta(10,10)

N

|uN

(1.5

70

8)|

1/N1/2

1/N

100

101

102

10−3

10−2

10−1

100

Exact Jacobi PC Modes at 1.3959. β = Beta(10,10)

N

|uN

(1.3

95

9)|

1/N1/2

1/N

7��� ��% 6��� �� �� �� ������� !���� "�� �$ �� �� , �� 1� 9����� ���������� ��������� , / - / �(� % ?��",� -$ �� ���� ��� .��% �� �� ����� � / ��:)(*G H����% �� ������� � / ��#;:;

#�������� !�����

+��� % �� ?�� ��� ����� �� �� �� � ��� ��� ��� 0������ �� ������� ��������

���� �� 9����� ���������� ����� ����� ���������� & ��� �� �' �� ������� ���������%

% ?��"�� �$�?��":� :$� �� ?��"�(� �($� �� ����� � �� �� 8�����! �����������

���� � ����� �� 7��� �1� &�� % ?��"�(� �($� �� � ��������� ����� �������� ��

������ ���� ���� ���� ���� =� �� !� ���� �� % ��� ���� ���� �� 9����� ����������

����� � �� "���� ���� � ���������� ����� �����$ � � �� � ��� �������

������ ���� �� ����� �� �������� �� ������������ �� �� ���� ���� �� % �� ��

������� �� �� � ,� "@�� ���� % ��� 567 "�� %�$� ��� , / -$

��� ������ �������� ���� %&� ���������� !������ ��

�� ���� ������ � ����� ���� ��� ������� ��������� �� �� �� �

�"�� %� � / ($ / �"�+���"�$%� A

�+���"�$%�$� "�*$

�� %� �� %� � ��������� �� ��� ������ ��������� ��� ���� 4������� ����

!� ����� )� �� )� �����!��� �� ������� ���� )� �� %� � ��!� �� ";$� &

1�

Page 22: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8PDF of Shock Positions. Jacobi Chaos. u(x,0) = β sin x, with β ~ B(1,1)

exact PDFexact PDF from OSCM9−th order PC13−th order PC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6PDF of Shock Positions. Jacobi Chaos. u(x,0) = β sin x, with β ~ B(5,5)

exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC9−th order PC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8PDF of Shock Positions. Jacobi Chaos. u(x,0) = β sin x, with β ~ B(10,10)

exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC9−th order PC

7��� �1% 567 �� ���� ��������� � �� 9����� ���������� ����� ������ �((((( ������� �� �� ������ �� 567� <�� �� ��� � � �� ��� �� �� �� 7��� B� E�� ���%% / ?��"�� �$ G E�� ����% % / ?��":� :$G .�� % % / ?��"�(� �($�

11

Page 23: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

����� ���� �+�� �� ���"�$� �� �� �� �

+� /1$

� A $����

� � / �� 1� � � �

��

��"�$ /

�����

���������������

��������

� �� � �� �

���������������� �������

� �� � �� !��

�� � / �(1� $ / �(� �� �� ��� ����� ����� ���� �����,����� �� ���"���$ / (� �� � �� �

�� A�����"���$ / (� �� � �� !�

!����" � �� ������� ��������� "�*$ �!��� � / �� ���� � ���� � ��� ���� �� �� �����

'��� ��(��)� ������� ��� �� ��������� ���������� *%+, /"��� ��$ / ������������ -�

��� ��� �� *., ��� �� ����� ��� � �� ������������� �� �� '��� ��(��)� ������� ��

������� ����� �� ��� � ����� �����

7��� � �# �� �2 ���� �� 567 �� �� ���� ��������� �� )�� )� &"(� (��$ ��

&"(� (�#$ ��� � / (�2�

��' ������ �������� �(� %&� ���������� "#�$� ��

=� �� +�� #�#� �� ������� �������� �� � �� �� � "�*$� ?�� ������ � ����� %� ��

%� ��! ?�� ��� �������� @�� ���� ����� �� %�� %� ?��":� :$ �� ?��"�(� �($ �

����� �� 7��� �: �� �B� <� ��� � ���� �� 567 � �� �� ���������� ����� �����

�� ���� �� ���! � �� �� 0��� 567� �������� �� �� ����� ��� ! � ���� �� �� ��

������� 9����� ������

1#

Page 24: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8PDF of Shock positions from MC & PC

x

m=1000m=8000m=200002−D 4−th order PC

7��� �#% 567 � �� 38 ���� �(((� *(((� 1(((( ������ �� 16 2�� � - ��� ���������� J� / &���� �� 38 ������ J� / �

�����

&���� �� �� - ��� ���������� �����

������ 1(((( ������ � �� �� ������ �� 567 �� �� - ��� ���������� ���������� ���� �� ���� �� �� �� �� +�� 1�#� � / (�2� )�� )� &"(� (��$�

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3PDF of Shock positions from MC

x

m=1000m=8000m=20000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5PDF of Shock positions from MC & PC

x

MC: m=200002−D 4−th order PC2−D 6−th order PC2−D 8−th order PC

7��� �2% 567 �� ���� ���������� )�� )� &"(� (�#$� =�� ��� �� ��� � � �� ��� ���� �� 7��� �#� .��% 3��� 8� �� ���� ���� �(((� *(((� 1(((( ������G H����% 2�B�*���� - ��� ������

12

Page 25: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5PDF of Shock positions from MC. ~ Beta(5,5)

x

m=1000m=8000m=20000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3PDF of Shock positions from MC & PC, Beta(5,5)

x

MC: m=200002−D 4−th order PC2−D 6−th order PC2−D 8−th order PC

7��� �:% 567 �� ���� ���������� %�� %� ?��":� :$� =�� ��� �� ��� � � �� ����� �� 7����#� .��% 3��� 8� �� ���� ���� �(((� *(((� 1(((( ������G H����% 2� B�*���� 9����� ������

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5PDF of Shock positions from MC. ~ Beta(10, 10)

x

m=400m=4000m=20000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5PDF of Shock positions from MC & PC, Beta(10, 10)

x

MC: m=200002−D 4−th order PC2−D 6−th order PC2−D 8−th order PC

7��� �B% 567 �� ���� ���������� %�� %� ?��"�(� �($� =�� ��� �� ��� � � �� ����� �� �� 7����#� .��% 3��� 8� �� ���� ���� 2((� 2(((� 1(((( ������G H����% 2� B�*���� 9����� ������

1:

Page 26: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

! �������

& ��! ���� �� '�� �� ���� ������� ��������� �� �� �� ���� �� �� ���� ����

���� ���� ��� �� � ������ ��� ����� ���� ���� �� ��� � ��� 4� ���� ���������� �����

����� � ������� �� ������ �� ��� ������ �� �� ���� �������� �� �' ��

���������� ������� ���������� <� ���� ����������� � %

�� ���������� ����� 0������� ��� � ������ ��������� �� �� ������� !� ���� ��

�������� �� ���!���� �������� ���������� � ������������ �� �� ������� !� ����

��

�� �������� �� ������������ �� �� ���� !� ���� ���� �� � ,0 ����� �� 7��� ���

�� ����� � �� �� ��������� �� �� ����� �� �� ���� ���������� ����� �����

� ���� �� � ��������� �� �� ���� � ������

&�� �� !� ���� �� �� ������� �������� �� ������ �� � ��������� ����� �������� ��

�� ���� �������� �� ������ ���� ���� ���� ���� <�� ���� ���� ���������� �����

0������� � �� � � �� � ��� ������� ������ =� , �� ��� �� 8�� ��

�1�� ���� �� � �� �� ���� ���! ��� �� �� ���������� ����� 0���������

�� �� ��� ������� ���!��� �� �� ��0�9������� ��� �0 �� �� ����� ��� ���

���� �� ���� ���� �� �� ���� �� �� ���������� ����� � �� �� �� �� 0��������

���� ����� ���� �� � ���������� �� ��� ��� ���� ������ �� ��� ����� ��� ��

�� ������ ��� ����� �� ���������� ����� � ��� ���� ���� � � �������� ��

�� ����� �� ���! �� ����� ���� � ���� � ��� ���� ���� ����� ��� ��� �����

������������ ���� ���� � D@< � &D@< ������

$�" %���&�� �� ����� � ���� 5 ��� 8�� �� "E8 ? ��$ �� ��� ���� !����

��� ������� �� - ��� ����� ������ & ���� ���� �� �� ���� 5 ��� 8���!�

"E��!� ?���� 5������ 7 ���$ �� ��� ����� ����������� �� �� �� �� ���� �����

��� ����� � �� =7<+H � ��� 72;B1(�(1���(��# �� 6<D � ��� 6D�74(1�;*DH1:#2B�

1B

Page 27: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

�� �� �� �� ���� ����� ��� �� ��� ����� � �� �� @+7 8� =�� ���� ��� 63+�

(�#1;B)� =7<+H �� ���� ��� 7=;::(�(2���(()1 �� �� �� =�� 5� +���� 7��������

�� ���� � +���� H�� �� 7���������

1)

Page 28: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

" # � � �

��� H� =� � �� 9� &������ �� /��� 0����� ���� 1����� ��� ���� ������" &�(

���� 1����� ��� �� ��� �� �� 2 ����� ���� ������ ������� 3$#�� =� ����

3���������� +������ 5 �!���� H�� �;*:�

�1� =� 9� 8�� ��� 4������� ,�� �� ���� ���� &� ���� �� 4� �� �������� B#%1�L#1�

�;)2�

�#� 8� 3� 6�� ���� � � �� ���� ���� �� � ���� !����� ��� ���� ������� ������������

5 ������ �� 2����� ���� ����� M.I"1$%#�#L#�;� 9��� �;*)�

�2� 6� 7��� �� 1����� ��� 2������ ����� �� 6�7������ 89 ������ +� ��� �I ���� @�

N� � �;;1� .��� @��� �� 5�������

�:� H� 4� 4���� �� 5� 6� +������ ��������� 4���� 8� ��: 2 ������� 2��������

+� ��� �I ���� @� N� � �;;��

�B� 6� 4������ �� +� =� < ����� ; ����� 2����� �� ������� �����: ����� ���

2����������� +�=3� 5���������� 5=� �;))� 8?3+�@+7 H������ 8��� �� + ��

�� =���� 3����������

�)� .� -��� �� H� &� &��� �� H���� ,� ��������� �������� ����� � ��������

��� ������ �� �� ��������� �� ���� �� � �C �������� H�� � 8H�1((��1��1#;�

�8=+D� 1((��

�*� =� 9� ������� H��� !������� �� ����� ��� �� ����� ���������� &� ���� ��

�� 2 ����� ���������� 2��������� *B"2�#$%1(:L112� 3� �� �;;��

�;� H� 3� 9� >�� � 9� 9� 5����� �� 3� 6� 4 ����� = ���� �� ��������� ����������

�� ������ �����0 ����� &� ���� �� ;��(;!������ 4� �� �������� �(*%�1#L�21�

1((1�

1*

Page 29: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

��(� &� .� <� ����� 9� 8� -����� �� F� +���� 3���������� � �������� �� ��� �

������� �� 2<22 ;��(6�� ������ 2������� 4�� � +����� &=� =� �� 1((�� 5��

@�� 1((���B2:�

���� 3� 6� +����� +� =�� ����� �� 6� 4������� 3������ ���� ����� �� ��� ��� �����

������� !��� � ������ 2����� ; ����� ���� ����� 1%�;#L1�(� �;*B�

��1� 4� �� +���O�� "D��� $� = ������������ � �� � �� ������������� ���������� ������

���� 1����������� 8�������� �������� �1"2$%�;)L#1�� �;;)� �=++=H �� ��

��#� 8��&� +��� = �� !� �� �� ��� ��������� � � !��� ���� � ��� ��� ���������� ��

6� D��� �� +� ��!� � ��� �� =������ ��� � �� �� 1�������� �� ���������

��� 6�����"������ ���� :�LB:� +�=3� 1((1�

��2� ?� +� � �� =� 6� F�� ������ +��������� ,��� ���� ����� �� ���������% =

������������ � �� �� H�� � E8?P+D33�1(((P(*� 6�� ���� �� 8�!�� Q D�!� ���

����� D���� ���� E��! ���� �� 8����� ���� ? ��� @�!�� 1(((�

��:� 4� +��O�� -��������� 1����� ���� =� ���� 3���������� +������ 5 �!���� H��

2�� ������ �;):�

��B� D� 7� �� �� >� ��� ����� ��� ; ����� ����� ��� 4� �� 6��� ��: � 1��������

<����� ������ +� ��� �I ���� @� N� � 2�� ������ �;;)�

��)� -� I��!�� 7����� �� ���� �� ,�� � �� ������������ � ������ &� ���� �� ��������

=� � ����� B"1$%�:;L�;1� �;;��

��*� H� &� &��� � �� .� -���� E�� ������ �������� �� ��� �������� ���� �������������

H�� � 8H�1((1�1��22;� �8=+D� 1((1�

��;� 6� M�� �� 4� D� F� ���� ��� 3����� ��� ������ �� ��� ����������� !�� �� ����

���������� ������ &� ���� �� =� � �������� 1����� �*)%�#)L�B)� 1((#�

1;

Page 30: 1 2 )qchen/PSPDF/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1) exact PDF exact PDF from OSCM 7−th order PC 9−th

�1(� =� 3� N������ 2� <����� ����� �� �� ����� �� ���������� >���� 4 �������

5 �����-���� @9� �;;(�

#(