1

2. Meccanica

Fisica Medica – Giulio Caracciolo

2

2.1 Cinematica

3

Traiettoria e Legge orariaTraiettoria e Legge oraria

Il moto di un corpo

Un corpo è in movimento quando la sua posizione rispetto ad altri corpi, considerati fissi, varia nel tempo. Da questa definizione scaturisce l’esigenza di introdurre un sistema di riferimento per individuare la posizione di un corpo. La condizione più generale è che il moto avvenga nelle tre dimensioni dello spazio.

r: Vettore posizione

(xP,yP,zP ): Coordinate del punto nel sistema di riferimento (xyz): si ottengono proiettando

il vettore r lungo le direzioni degli assi dei riferimento

zP

yP

xP

Pr

x

y

z

O

4

In casi più semplici, quando il moto avviene in due dimensioni è sufficiente introdurre un sistema di riferimento bidimensionale

yP

xP

P

r

x

y

O

r: Vettore posizione

(xP,yP): Coordinate del punto nel sistema di riferimento (xy): si ottengono proiettando il

vettore r lungo le direzioni degli assi dei riferimento

5

Si definisce traiettoria del moto la curva descritta da un corpo durante il suo moto. Per semplicità, ma senza perdere in generalità, ci restringiamo al caso in cui il corpo sia un punto materiale P

P

Nel caso in cui la traiettoria sia nota, per descrivere completamente il moto del corpo è sufficiente conoscere la posizione occupata in ogni istante. Se si indica con s il tratto di traiettoria percorsa al tempo t, il moto del corpo è completamente noto quando si conosca la relazione tra s e t. Questa relazione, s=s(t), prende il nome di LEGGE ORARIA.

P: generica posizione del punto materiale lungo la traiettoria

6

La posizione del corpo viene definita, come già detto, in un sistema di riferimento

P2P1

x

y

O

S (t2)S (t1)

ΔtΔs

tt)s(t)s(t

v12

12

Se P1 e P2 sono le posizioni del corpo lungo la traiettoria al tempo t1 e t2 rispettivamente e i relativi spostamenti si ndicano come s(t1) e s(t2), si definisce una quantità scalare che viene definità VELOCITA’ SCALARE MEDIA

7 Δt

Δsv

tP

0

lim1

Se assumiamo che l’intervallo di tempo considerato, t=t2-t1, tenda a zero possiamo definire la velocità istantanea. La velocità istantanea è una grandezza vettoriale la cui direzione è sempre tangente alla traiettoria nel punto considerato.

P2

P1

x

y

O

S (t2)S (t1)

V(P1)

Velocità istantanea

8

Rovesciamo il punto di vista: Rovesciamo il punto di vista: Costruzione della traiettoria dai vettori Costruzione della traiettoria dai vettori

velocitàvelocitày

xO

P0 .

P1.

P2.

v sempre tangente alla traiettoria

9

Velocità: dimensioni e unità di Velocità: dimensioni e unità di misuramisura

ΔtΔs

vist0Δt

lim

Unità di misura: [SI] m/s

[CGS] cm/s

Dimensioni Fisiche [v] = [L][T-1]

Fattore di ragguaglio: 1 m/s = 100 cm/s 1 km/h=1000m/3600 s=0.28

m/s

Fisica Medica – Giulio Caracciolo

10

AlcuneAlcune velocitàvelocità caratteristichecaratteristiche

109 _

106 _

103 _

1 _

10-3 _

Luce nel vuoto (3.108 m/s)

Sangue nell’aorta 0,35 m/s

Suono nell’aria (330 m/s)

m/s

Impulso nervoso (25m/s)

11

AccelerazioneAccelerazione

ΔtΔv

tt)v()v(

a12

12

tt

y

P2P1

xO

v(t2)v (t1)

Se la velocità istantanea varia nel tempo, è possibile definire l’accelerazione media

12

Se assumiamo che l’intervallo di tempo considerato, t=t2-t1, tenda a zero possiamo definire la accelerazione istantanea.

v (t1)yP2

P1

xO

v(t2)v (t1)

- v (t1)a

Δt)()v(

lima 12

0ΔtP1

tvt

Per costruire il vettore a è necessario fare la differenza tra i vettori velocità al tempo t2 e il vettore velocità al tempo t1. Di seguito viene mostrata la costruzione vettoriale.

13

L’accelerazione istantanea è una grandezza vettoriale ma la sua direzione, a differenza della velocità istantanea, non è sempre tangente alla traiettoria. Per questo è in genere individuato da una componente tangente alla traiettoria e da una componente normale alla traiettoria

y

xO

a

t: direzione tangente alla traiettoria nel punto P

n: direzione normale alla traiettoria ne punto P

at

an

at: accelerazione tangenziale

an: accelerazione normale

14

Accelerazione: dimensioni e unità Accelerazione: dimensioni e unità di misuradi misura

ΔtΔv

ttvv

a12

12

Dimensioni [a] = [L][T-2]

Unità di misura: [SI] m/s2 [CGS] cm/s2

Fattore di ragguaglio:1 m/s2 = 100 cm/s2

Accelerazione di gravità: g≈Accelerazione di gravità: g≈ 9.8 9.8 m/sm/s22

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Moto Rettilineo e uniformeMoto Rettilineo e uniforme

v

t

costvv 0

t1t2

v0

t1t2

s

t

s1

s2

12012 ttvss

a

tanv0

Un corpo si muove di moto rettilieno e uniforme quando la traiettoria è rettilinea e vengono percorsi spazi uguali in tempi uguali: Ne segue che la velocità istantanea è sempre costante in modulo direzione e verso.

16

Esempio: Un’automobile viaggia alla velocità costante di 130 km/h. Il guidatore distoglie lo sguardo dalla strada per 2 s per sincronizzare una stazione sull’autoradio. Quanto spazio percorre l’automobile in questo intervallo di tempo?

Soluzione

tvΔs

m.72s2ms3,6130Δs 1

17

Velocità media Supponiamo che un’automobile durante un viaggio di 60 km, viaggi a 20 km/h per i primi 30 km e a 60 km/h per gli altri 30 km. Qua’è la velocità media?

Siamo tentati di dire che km/h.v 40

26020

hkmhkm0,51,5

v 303030

; h1,5hkm20

km30t1 Poiché

La velocità media è definita rispetto al tempo e non rispetto alla distanza. 21

21

ttss

v

h0,5hkm60

km30t2

18

Esempio:Esempio: Un’automobile percorre 11 km alla velocità media di 75 km/h, ma poi viaggia per il successivo 1 km a una velocità media di 15 km/h a causa di lavori stradali in corso. Calcolare la velocità media per l’intero viaggio.

hkm,

hkm

km

hkm

km

kmΔtΔs

vtot

tot 56210

12

15

1

75

11

12

Soluzione:hkm

hkm15hkmv .45

275

perché il viaggio si svolge per la maggior parte del tempo alla velocità maggiore

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Moto uniformemente Moto uniformemente accelerato:accelerato:

Un corpo si muove di uniformemente accelerato quando l’accelerazione istantanea è sempre costante in modulo direzione e verso. La velocità istantanea ha sempre la stessa direzione e verso dell’accelerazione e, esssendo quest’ultima costante, ne segue che la traiettoria è rettilinea.

atvv(t)v 0

200 2

1attvss

20

Moto uniformemente Moto uniformemente vario:vario:Diagramma orarioDiagramma orario

costa

0 t

a

t

a

t

s

s0

0 t

s

200 at

21

tvss

v

tavv 0

0 tt

v0

v

btana

21

Moto circolare uniformeMoto circolare uniformeIl moto circolare uniforme è il moto di un punto che si muove lungo una circonferenza con velocità costante in modulo (ma non in direzione e verso perché la tangente alla traiettoria circolare cambia da punto a punto). La velocità con la quale si muove il punto lungo la circonferenza si dice velocità tangenziale mentre quella con cui ruota il raggio della circonferenza si definisce velocità angolare.

R R

v1v2

θ

P1

P2

O Δt

v1 e v2 sono uguali in modulo (v1=v2=v), ma differiscono in

direzione e verso

v R

22

R R

v1v2

θ

P1

P2

O

ΔtΔs

vist0Δt

lim

)2/sin(R2Δs

Δt)2/sin(R2

limv0Δt

ist

2/)2/sin( RΔt

limRΔt2R2

limv0Δt0Δt

ist

s

Esprimiamo lo spostamento in termini dell’angolo spazzato dal raggio R quando

il corpo si sposta da P1 a P2

Nel limite per t che tende a zero sin~

23

rr

v1

v2

θ

P1

P2

O

v1

v2

Δvθ/2

2θ

vsen2v

Vettore accelerazione nel moto circolare Vettore accelerazione nel moto circolare uniformeuniforme

ΔtvΔ

ttvv

a12

12

v2

Δv

v1 = v2 = v

rvlθ

vt

2

20

2

1P rv

a Accelerazione radiale

Rv

vΔt

limvΔt

vlima

2

0t0t1P

24

Vettore AccelerazioneVettore Accelerazione

ΔtΔΔ

ΔtΔ

ttnt

12

12 vvvvva

v

v2

ntt Δtlim aa

vaP

0

1

v2v1

P1

P2

vn

vtvt=v2-v1

vt vettore parallelo a v1

0Δt

vlima

0tt

Rv

a2

n

accelerazione tangenziale

accelerazione normale. v = velocità nel punto P e R = raggio di curvatura istantaneo della traiettoria in P