Teljes négyzetté alakítás

A teljes négyzet egy olyan algebrai kifejezés, mely éppen egy másiknak a négyzete. Olyasmi ez, mint a

számok körében a négyzetszámok fogalma. Bizonyos egész számok, más egészeknek a négyzetei.

Ha észrevesszük egy ilyen algebrai kifejezésről, hogy ő valakinek a négyzete, akkor

egyszerűbbé alakíthatjuk a kifejezésünket. És ha egy nem teljes négyzet kifejezést alakítunk ügyesen,

akkor is egyszerűbbé tehetjük a kitűzött feladatot, bár ekkor lesz még egy maradék tag is a teljes

négyzeten kívül. Ebben a fejezetben ezt az eljárást fogjuk tanulmányozni. Tehát itt kimondottan ez

lesz a kitűzött feladat. Hogy ezt megtehessük, tisztában kell lennünk a

c. fejezetben látottakkal! Így alapigazságként gyakran utalok

majd erre:

Vagy erre:

Figyelem! Ezekre a sorszámukkal, -vel vagy -vel fogok hivatkozni.1 De az is lehet, hogy nem is.

Ne tessék félreérteni! Az átalakítás után kapott kifejezés nem feltétlenül egy teljes négyzet. Annak

gyakran csak egy része az, és azonkívül még tartalmaz egy „maradék” tagot. Hiszen az eredeti

kifejezéssel azonos kifejezést akarunk kapni. Márpedig, ha az nem volt teljes négyzet, akkor átalakítás

után sem lesz az. Azonban ezek az átalakítások nagyon hasznosak lesznek, pl. a négyzetfüggvény

ábrázolásához, vagy a másodfokú egyenlet megoldó képletének levezetéséhez. Gyakran pedig csak

úgy önmagukban is szebbé, jobbá teszik az életünket, mert nagyon okosnak tűnhetünk, ha ezeket

ismerjük. Ha nem születtünk szépnek, akkor fontos ám csak igazán, hogy okosak legyünk.

Lássunk hozzá!

Alakítsuk át következő kifejezést úgy, hogy teljes négyzetet is tartalmazzon!

:

Az -t hívjuk segítségül. Azaz ígyekszünk még egy négyzetes tagot belecsempészni. Előbb azonban

emeljük ki a -at az első két tagból:

1 A kis a római egyest, a kettős kis a római kettest szimbolizálja, matekkönyvekben bevett szokás szerint.

(Igen, valaki a tablettáját veszi be, valaki meg a szokásokat.)

A zárójelben majdnem valami ilyen van:

Ki kinek felel meg itt? , azonban a még nincs itt. A ugye nem más, mint a

éppen -val osztva és négyzetre emelve. Így nekünk is olyat kell keresni, aki ennek megfelel.

Azaz mostani „ ”-t, alias a jelenlegi -ből nyerjük az információt. Mivel itt most játssza a

„mintabeli” szerepét, a -et éppen -szel kell osztani. Ez meg éppen: -et ad. Már csak ennek a

négyzete kell nekünk. Ami szerencsére éppen: .

Ezért ilyenkor mindig tegyünk a zárójelbe olyan tagot, ami négyzete az éppen aktuális együtthatója

felének! Vagyis, aki éppen az aktuális négyzete. Azonban vonjuk is le egyúttal, mert ha csak úgy

bele tesszük, akkor nem az eredeti kifejezéssel azonos kifejezésünk lesz. Ezt a lépést sose felejtsük el!

Mindig vonjuk is le, amit hozzája adtunk!2 Íme:

Ezáltal éppen tettünl a zárójelbe. Tehát nem változatattuk az értékét. De valamire mégis csak

jó lesz ez! A levont-becsepészett-tagot vigyük ki, és már is kiviláglik, hogy ami így marad a zárójelben,

az éppen egy teljes négyzet. De jó, éppen ez kell nekünk! Hogyan vihetjük ki azt a mínusz egyet? Biza,

be kell szoroznunk a zárójel együtthatójával, hiszen az együttható által kijelölt szorzás rá is vonatkozik

immár, hogy ő is a zárójelen belül van. Úgy kell neki! Minek jött be ide? Tehát:

És most a zárójel helyett írjuk a neki megfelelő, „idevalósi”, -t megidéző kifejezést!

Mivel . Ezt mindenki tudja, aki tudja. Aki nem, az meg nem ismeri még a

nevezetes algebrai azonosságokat. Nosza, lapozzon oda, aki nem ismeri ezeket! Így tehát ez lesz a

kifejezésünk:

Ami nem más, mint:

És mivel ez egyenlő az eredeti kifejezéssel, ugyanis semmi olyat nem tettünk, amitől nem lenne az,

így elmondható, hogy:

Mindig így járj el! A következőket is így csináljuk.

2 Hasonlatos ez ahhoz, mikor a leány vitt is ajándékot Mátyás kerálnak meg nem is. Oszt még is milyen okos vót.

Meg szép is. De főként mezítelen.

Alakítsd a kifejezést úgy, hogy teljes négyzetet is tartalmazzon!

Emeljünk ki mínusz négyet az első két tagból!

Majd vegyük észre, hogy itt az -es tag együtthatójának a felét kell négyzetre emelnünk:

Azaz, itt a háromketted négyzete kell:

Ezt csempésszük bele a zárójelbe, plusz és mínusz előjellel egyaránt:

Kivisszük a mínusz betolakodót. Szabályosan, persze! Azaz szorozva a zárójel együtthatójával:

Egyszerűsítünk, mert itt éppen lehet:

És a zárójel helyére írjuk az földi helytartóját:

Vagyis

Hogyan néz ki a következő kifejezés teljes négyzettel kifejezve?

:

Itt most nincs konstans tag, de ez minket nem zavar, mert legalább nem kell vele foglalkozni. Emeljük

ki a hatot, mindkét tagból. Figyelem a -et most ne akarjuk kiemelni, mert az most nem vezetne a

teljes négyzet megtalálásához!

Most az -ben az -nek a felel meg a -nek pedig a

. Ezért a együtthatója felének a

négyzete kell:

Ő lesz a „bevitt és ki is hozott tag”. Azaz.

Kihozva azt, aminek kin köll lennie:

Mi is volt a együtthatójának a fele? Nem más, mint a

Így ez lesz a mellett az új zárójelben, mikor kicseráljük a régit:

Tehát azt kaptuk, hogy:

Mi a teljes négyzettel felírt alakja ennek:

─ Jó sok ismeretlent tettél bele! Bolond vagy? ─ fakad ki Zolika.

Pedig ezt is éppen oly egyszerű megoldani. Először is emeljünk ki hetet az első két tagból:

A zárójelen belül melyik tag melyiknek felel meg az tagjai közül? Természetesen a következő igaz:

Tehát ebből akkor az is következik, hogy

Így, mivel a -nek megfelelő tag négyzetét kell be- és kicsempészni:

Vagyis:

Esetleg még alakíthatjuk:

Azt kaptuk tehát, hogy:

Azonban vannak ám nagyon könnyen látható esetek is. Azok a kifejezések, akik már eleve teljes

négyzetek, vagy csak kicsit térnek el attól. Így előbbi esetben csak egy zárójeles tag lesz a négyzeten,

és azonkívül semmi, utóbbi pedig csak kicsivel több, vagy kevesebb annál. A házi feladatokban is

vannak ilyenek. Ne csodálkozz, ha túl egyszerű!

Miként alakulnak ezek a kifejezések teljes négyzet segedelmével?

∎∎