09.17.Explicit Algorithms for a New Time Dependent Model Based on Level Set Motion for Nonlinear...

8/14/2019 09.17.Explicit Algorithms for a New Time Dependent Model Based on Level Set Motion for Nonlinear Debluring an…

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E X P L I C I T A L G O R I T H M S F O R A N E W T I M E D E P E N D E N T

M O D E L B A S E D O N L E V E L S E T M O T I O N F O R N O N L I N E A R

D E B L U R R I N G A N D N O I S E R E M O V A L

A N T O N I O M A R Q U I N A

y

A N D S T A N L E Y O S H E R

D e d i c a t e d t o t h e m e m o r y o f E m a d F a t e m i

A b s t r a c t . I n t h i s p a p e r w e f o r m u l a t e a t i m e d e p e n d e n t m o d e l t o a p p r o x i m a t e t h e s o l u t i o n t o

t h e n o n l i n e a r t o t a l v a r i a t i o n o p t i m i z a t i o n p r o b l e m f o r d e b l u r r i n g a n d n o i s e r e m o v a l i n t r o d u c e d b y

R u d i n a n d O s h e r , ( 1 8 ] ) , a n d R u d i n , O s h e r a n d F a t e m i , ( 1 9 ] ) , r e s p e c t i v e l y . O u r m o d e l i s b a s e d o n

l e v e l s e t m o t i o n w h o s e s t e a d y s t a t e i s q u i c k l y r e a c h e d b y m e a n s o f a n e x p l i c i t p r o c e d u r e b a s e d o n

R o e ' s s c h e m e , ( 1 6 ] ) , u s e d i n u i d d y n a m i c s . W e s h o w n u m e r i c a l e v i d e n c e o f t h e s p e e d o f r e s o l u t i o n

a n d s t a b i l i t y o f t h i s s i m p l e e x p l i c i t p r o c e d u r e i n s o m e r e p r e s e n t a t i v e 1 D a n d 2 D n u m e r i c a l e x a m p l e s .

1 . I n t r o d u c t i o n . T h e c l a s s i c a l a l g o r i t h m s f o r i m a g e d e b l u r r i n g a n d / o r d e n o i s i n g

h a v e b e e n m a i n l y b a s e d o n l e a s t s q u a r e s , F o u r i e r s e r i e s a n d o t h e r L

2

- n o r m a p p r o x i -

m a t i o n s , a n d , c o n s e q u e n t l y , t h e i r o u t p u t s m a y b e c o n t a m i n a t e d b y G i b b s ' p h e n o m e n a

a n d d o n o t a p p r o x i m a t e w e l l i m a g e s c o n t a i n i n g e d g e s . T h e i r c o m p u t a t i o n a l a d v a n t a g e

c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t t h e y a r e l i n e a r , t h u s f a s t s o l v e r s a r e w i d e l y a v a i l a b l e . H o w -

e v e r , t h e e e c t o f t h e r e s t o r a t i o n i s n o t l o c a l i n s p a t i a l s c a l e . O t h e r b a s e s o f o r t h o g o n a l

f u n c t i o n s h a v e b e e n i n t r o d u c e d i n o r d e r t o g e t r i d o f t h o s e p r o b l e m s , e . g . , c o m p a c t l y

s u p p o r t e d w a v e l e t s . H o w e v e r , G i b b s ' p h e n o m e n o n , ( r i n g i n g ) , i s s t i l l p r e s e n t f o r t h e s e

n o r m s .

T h e T o t a l V a r i a t i o n ( T V ) d e b l u r r i n g a n d d e n o i s i n g m o d e l s a r e b a s e d o n a v a r i -

a t i o n a l p r o b l e m w i t h c o n s t r a i n t s u s i n g t h e t o t a l v a r i a t i o n n o r m a s a n o n l i n e a r n o n -

d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n a l . T h e f o r m u l a t i o n o f t h e s e m o d e l s w a s r s t g i v e n b y R u d i n ,

O s h e r a n d F a t e m i i n ( 1 9 ] ) f o r t h e d e n o i s i n g m o d e l a n d R u d i n a n d O s h e r i n ( 1 8 ] ) f o r

t h e d e n o i s i n g a n d d e b l u r r i n g c a s e . T h e m a i n a d v a n t a g e i s t h a t t h e i r s o l u t i o n s p r e s e r v e

e d g e s v e r y w e l l , b u t t h e r e a r e c o m p u t a t i o n a l d i c u l t i e s . I n d e e d , i n s p i t e o f t h e f a c t

t h a t t h e v a r i a t i o n a l p r o b l e m i s c o n v e x , t h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n s a r e n o n l i n e a r

a n d i l l - c o n d i t i o n e d . L i n e a r s e m i - i m p l i c i t x e d - p o i n t p r o c e d u r e s d e v i s e d b y V o g e l a n d

O m a n , ( s e e 2 6 ] ) , a n d i n t e r i o r - p o i n t p r i m a l - d u a l i m p l i c i t q u a d r a t i c m e t h o d s b y C h a n ,

G o l u b a n d M u l e t , ( s e e 6 ] ) , w e r e i n t r o d u c e d t o s o l v e t h e m o d e l s . T h o s e m e t h o d s g i v e

g o o d r e s u l t s w h e n t r e a t i n g p u r e d e n o i s i n g p r o b l e m s , b u t t h e m e t h o d s b e c o m e h i g h l y

i l l - c o n d i t i o n e d f o r t h e d e b l u r r i n g a n d d e n o i s i n g c a s e w h e r e t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t i s

v e r y h i g h a n d p a r a m e t e r d e p e n d e n t . F u r t h e r m o r e , t h o s e m e t h o d s a l s o s u e r f r o m t h e

u n d e s i r a b l e s t a i r c a s e e e c t , n a m e l y t h e t r a n s f o r m a t i o n o f s m o o t h r e g i o n s ( r a m p s ) i n t o

p i e c e w i s e c o n s t a n t r e g i o n s ( s t a i r s )

I n t h i s p a p e r w e p r e s e n t a v e r y s i m p l e t i m e d e p e n d e n t m o d e l c o n s t r u c t e d b y e v o l v -

i n g t h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n o f t h e R u d i n - O s h e r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , m u l t i p l i e d

b y t h e m a g n i t u d e o f t h e g r a d i e n t o f t h e s o l u t i o n . T h e t w o m a i n a n a l y t i c f e a t u r e s o f

y

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , L o s A n g e l e s , 4 0 5 H i l g a r d A v -

e n u e , L o s A n g e l e s , C A 9 0 0 9 5 - 1 5 5 5 a n d D e p a r t a m e n t d e M a t e m a t i c a A p l i c a d a , U n i v e r s i t a t d e

V a l e n c i a , D r . M o l i n e r , 5 0 , 4 6 1 0 0 B u r j a s s o t , S p a i n . E - m a i l a d d r e s s e s : m a r q u i n a @ u v . e s , U R L :

h t t p : / / g a t a . u v . e s / ~ m a r q u i n a . S u p p o r t e d b y N S F G r a n t I N T 9 6 0 2 0 8 9 a n d D G I C Y T G r a n t P B 9 7 -

1 4 0 2 .

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , L o s A n g e l e s , 4 0 5 H i l g a r d A v e n u e , L o s

A n g e l e s , C A 9 0 0 9 5 - 1 5 5 5 . E - m a i l a d d r e s s : s j o @ m a t h . u c l a . e d u . S u p p o r t e d b y N S F G r a n t D M S

9 7 0 6 8 2 7 .

1



t h i s f o r m u l a t i o n a r e t h e f o l l o w i n g : 1 ) t h e l e v e l c o n t o u r s o f t h e i m a g e m o v e q u i c k l y

t o t h e s t e a d y s o l u t i o n a n d 2 ) t h e p r e s e n c e o f t h e g r a d i e n t n u m e r i c a l l y r e g u l a r i z e s

t h e m e a n c u r v a t u r e t e r m i n a w a y t h a t p r e s e r v e s a n d e n h a n c e s e d g e s a n d k i l l s n o i s e

t h r o u g h t h e n o n l i n e a r d i u s i o n a c t i n g o n s m a l l s c a l e s . W e u s e t h e e n t r o p y - v i o l a t i n g

R o e s c h e m e , ( 1 6 ] ) f o r t h e c o n v e c t i v e t e r m a n d c e n t r a l d i e r e n c i n g f o r t h e r e g u l a r i z e d

m e a n c u r v a t u r e d i u s i o n t e r m . T h i s m a k e s a v e r y s i m p l e , s t a b l e , e x p l i c i t p r o c e d u r e ,

c o m p u t a t i o n a l l y c o m p e t i t i v e c o m p a r e d w i t h o t h e r s e m i - i m p l i c i t o r i m p l i c i t p r o c e d u r e s .

W e s h o w n u m e r i c a l e v i d e n c e o f t h e p o w e r o f r e s o l u t i o n a n d s t a b i l i t y o f t h i s e x p l i c i t

p r o c e d u r e i n s o m e r e p r e s e n t a t i v e 1 D a n d 2 D n u m e r i c a l e x a m p l e s , c o n s i s t i n g o f n o i s y

a n d b l u r r e d s i g n a l s a n d i m a g e s , ( w e u s e G a u s s i a n w h i t e n o i s e a n d G a u s s s i a n b l u r ) .

W e h a v e o b s e r v e d i n o u r e x p e r i m e n t s t h a t o u r a l g o r i t h m s h o w s a s u b s t a n t i a l l y r e d u c e d

s t a i r c a s e e e c t .

2 . D e b l u r r i n g a n d D e n o i s i n g . A r e c o r d i n g d e v i c e o r a c a m e r a w o u l d r e c o r d

a s i g n a l o r i m a g e s o t h a t 1 ) t h e r e c o r d e d i n t e n s i t y o f a s m a l l r e g i o n i s r e l a t e d t o t h e

t r u e i n t e n s i t i e s o f a n e i g h b o r h o o d o f t h e p i x e l , t h r o u g h a d e g r a d a t i o n p r o c e s s u s u a l l y

c a l l e d b l u r r i n g a n d 2 ) t h e r e c o r d e d i n t e n s i t i e s a r e c o n t a m i n a t e d b y r a n d o m n o i s e .

T o x o u r i d e a s w e r e s t r i c t t h e d i s c u s s i o n t o R

2

. A n i m a g e c a n b e i n t e r p r e t e d a s

e i t h e r a r e a l f u n c t i o n d e n e d o n , a b o u n d e d a n d o p e n d o m a i n o f R

2

, ( f o r s i m p l i c i t y

w e w i l l a s s u m e t o b e t h e u n i t s q u a r e h e n c e f o r t h ) o r a s a s u i t a b l e d i s c r e t i z a t i o n o f

t h i s c o n t i n u o u s i m a g e . O u r i n t e r e s t i s t o r e s t o r e a n i m a g e w h i c h i s c o n t a m i n a t e d w i t h

n o i s e a n d b l u r i n s u c h a w a y t h a t t h e p r o c e s s s h o u l d r e c o v e r t h e e d g e s o f t h e i m a g e .

L e t u s d e n o t e b y u

0

t h e o b s e r v e d i m a g e a n d u t h e r e a l i m a g e . A m o d e l o f b l u r r i n g

c o m e s f r o m t h e d e g r a d a t i o n o f u t h r o u g h s o m e k i n d o f a v e r a g i n g . I n d e e d , u m a y b e

b l u r r e d t h r o u g h t h e a p p l i c a t i o n o f a k e r n e l : k ( x ; s ; y ; r ) b y m e a n s o f

v

0

( x y ) =

Z

u ( s r ) k ( x ; s ; y ; r ) d s d r ( 2 . 1 )

a n d , w e d e n o t e t h i s o p e r a t i o n b y v

0

= k u . T h e m o d e l o f d e g r a d a t i o n w e a s s u m e i s

k u + n = u

0

( 2 . 2 )

w h e r e n i s G a u s s i a n w h i t e n o i s e , i . e . , t h e v a l u e s n

i

o f n a t t h e p i x e l s i a r e i n d e p e n d e n t

r a n d o m v a r i a b l e s , e a c h w i t h a G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n o f z e r o m e a n a n d v a r i a n c e

2

I f t h e k e r n e l k i s t r a n s l a t i o n i n v a r i a n t , i . e . , t h e r e i s a f u n c t i o n j ( x y ) , ( a l s o c a l l e d

a k e r n e l ) , s u c h t h a t k ( x ; s ; y ; r ) = j ( x ? s y ? r ) a n d t h e b l u r r i n g i s d e n e d a s a

' s u p e r p o s i t i o n ' o f j s

v

0

( x y ) = ( j u ) ( x y ) =

Z

u ( s r ) j ( x ? s y ? r ) d s d r ( 2 . 3 )

a n d t h i s i s o t r o p i c b l u r r i n g i s c a l l e d c o n v o l u t i o n . O t h e r w i s e , i f t h e k e r n e l k i s n o t

t r a n s l a t i o n - i n v a r i a n t w e c a l l t h i s b l u r r i n g a n i s o t r o p i c . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y , w e

s u p p o s e t h a t t h e b l u r r i n g i s c o m i n g f r o m a c o n v o l u t i o n , t h r o u g h a k e r n e l f u n c t i o n j

s u c h t h a t j u i s a s e l f a d j o i n t c o m p a c t i n t e g r a l o p e r a t o r . T y p i c a l l y , j h a s t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t i e s , j ( x y ) 0 j ( x y ) ! 0 a s ( x

2

+ y

2

)

1 = 2

g o e s t o 1 a n d

R

R

2

j ( x y ) d x d y = 1

F o r a n y > 0 t h e s o - c a l l e d h e a t k e r n e l , d e n e d a s

j ( x y ) =

1

4

e

( x

2

+ y

2

) = 4

( 2 . 4 )

i s a n i m p o r t a n t e x a m p l e t h a t w e w i l l u s e i n o u r n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s .

2



T h e m a i n a d v a n t a g e o f t h e c o n v o l u t i o n i s t h a t i f w e t a k e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f

( 2 . 3 ) w e g e t

̂v

0

( k l ) =

̂

j ( k l ) ̂u ( k l ) ( 2 . 5 )

t h e n , t o s o l v e t h e m o d e l ( 2 . 2 ) w i t h k = j w e t a k e F o u r i e r t r a n s f o r m a n d w e a r r i v e a t

̂

j ( k l ) ̂u ( k l ) + ̂n ( k l ) = ̂u

0

( k l ) ( 2 . 6 )

T o r e c o v e r u ( x y ) , w e n e e d t o d e c o n v o l v e , i . e . , t h i s m e a n s t h a t w e h a v e t o d i v i d e t h e

e q u a t i o n ( 2 . 6 ) b y

̂

j ( k l ) a n d t o a p p l y t h e i n v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m . T h i s p r o c e d u r e

i s g e n e r a l l y v e r y i l l - p o s e d . I n d e e d , j i s u s u a l l y s m o o t h a n d j ( x y ) ! 0 r a p i d l y

a s ( x

2

+ y

2

)

1 = 2

g o e s t o 1 , t h u s l a r g e f r e q u e n c i e s i n u

0

g e t a m p l i e d c o n s i d e r a b l y .

T h e f u n c t i o n u

0

i s g e n e r a l l y p i e c e w i s e s m o o t h w i t h j u m p s i n t h e f u n c t i o n v a l u e s a n d

d e r i v a t i v e s ; t h u s t h e F o u r i e r m e t h o d a p p r o x i m a t i o n g i v e s g l o b a l e r r o r e s t i m a t e s o f

o r d e r O ( h ) , ( s e e ( 1 1 ] ) ) a n d s u e r s f r o m G i b b s ' p h e n o m e n o n . D i s c r e t e d i r e c t m e t h o d s

d e a l i n g w i t h t h e l i n e a r i n t e g r a l e q u a t i o n ( 2 . 6 ) h a v e b e e n d e s i g n e d b y d i e r e n t a u t h o r s ,

( s e e ( 1 3 ] a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n ) .

O n e w a y t o m a k e l i f e e a s i e r i s t o c o n s i d e r a v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e m o d e l

t h a t r e g u l a r i z e s t h e p r o b l e m . O u r o b j e c t i v e i s t o e s t i m a t e u f r o m s t a t i s t i c s o f t h e n o i s e ,

b l u r a n d s o m e a p r i o r i k n o w l e d g e o f t h e i m a g e ( s m o o t h n e s s , e x i s t e n c e o f e d g e s ) . T h i s

k n o w l e d g e i s i n c o r p o r a t e d i n t o t h e f o r m u l a t i o n b y u s i n g a f u n c t i o n a l R t h a t m e a s u r e s

t h e q u a l i t y o f t h e i m a g e u , i n t h e s e n s e t h a t s m a l l e r v a l u e s o f R ( u ) c o r r e s p o n d t o b e t t e r

i m a g e s . T h e p r o c e s s , i n o t h e r w o r d s , c o n s i s t s i n t h e c h o i c e o f t h e b e s t q u a l i t y i m a g e

a m o n g t h o s e m a t c h i n g t h e c o n s t r a i n t s i m p o s e d b y t h e s t a t i s t i c s o f t h e n o i s e t o g e t h e r

w i t h t h e b l u r i n d u c e d b y j

T h e u s u a l a p p r o a c h c o n s i s t s i n s o l v i n g t h e f o l l o w i n g c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m :

m i n

u

R ( u )

s u b j e c t t o j u ? u

0

2

L

2

=

2

( 2 . 7 )

s i n c e n = u

0

? j u a n d E (

R

n

2

d x ) =

2

( E ( X ) d e n o t e s t h e e x p e c t a t i o n o f t h e

r a n d o m v a r i a b l e X ) i m p l y t h a t j u ? u

0

2

L

2

=

R

( j u ? u

0

)

2

d x

2

E x a m p l e s o f r e g u l a r i z a t i o n f u n c t i o n a l s t h a t c a n b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e a r e ,

R ( u ) = k u k

L

2

k r u k

L

2

, w h e r e r i s t h e g r a d i e n t a n d i s t h e L a p l a c i a n , s e e R e f s . 2 2 ,

8 ] . T h e m a i n d i s a d v a n t a g e o f u s i n g t h e s e f u n c t i o n a l s i s t h a t t h e y d o n o t a l l o w d i s c o n -

t i n u i t i e s i n t h e s o l u t i o n , t h e r e f o r e t h e e d g e s c a n n o t b e s a t i s f a c t o r i l y r e c o v e r e d .

I n 1 9 ] , t h e T o t a l V a r i a t i o n n o r m o r T V - n o r m i s p r o p o s e d a s a r e g u l a r i z a t i o n

f u n c t i o n a l f o r t h e i m a g e r e s t o r a t i o n p r o b l e m :

T V ( u ) =

Z

r u d x =

Z

q

u

2

x

+ u

2

y

d x ( 2 . 8 )

T h e T V n o r m d o e s n o t p e n a l i z e d i s c o n t i n u i t i e s i n u , a n d t h u s a l l o w s u s t o r e c o v e r

t h e e d g e s o f t h e o r i g i n a l i m a g e . T h e r e a r e o t h e r f u n c t i o n a l s w i t h s i m i l a r p r o p e r t i e s

i n t r o d u c e d i n t h e l i t e r a t u r e f o r d i e r e n t p u r p o s e s , ( s e e f o r i n s t a n c e , 7 , 5 , 2 5 , 2 ] ) . T h e

r e s t o r a t i o n p r o b l e m c a n b e t h u s w r i t t e n a s

m i n

u

Z

r u d x

s u b j e c t t o

1

2

Z

( j u ? u

0

)

2

d x ?

2

= 0

( 2 . 9 )

3



I t s L a g r a n g i a n i s

Z

r u d x +

2

Z

( j u ? u

0

)

2

d x ?

2

( 2 . 1 0 )

a n d i t s E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n s , w i t h h o m o g e n e o u s N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s

f o r u , a r e :

0 = ? r

r u

r u

+ ( j ( j u ? u

0

) ) ( 2 . 1 1 )

0 =

1

2

?

Z

( j u ? u

0

)

2

d x ?

2

( 2 . 1 2 )

T h e r e a r e k n o w n t e c h n i q u e s , ( s e e 3 ] ) , f o r s o l v i n g t h e c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m ( 2 . 9 ) b y e x p l o i t i n g s o l v e r s f o r t h e c o r r e s p o n d i n g u n c o n s t r a i n e d p r o b l e m ,

w h o s e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n s a r e ( 2 . 1 1 ) f o r x e d . T h e r e f o r e , f o r t h e s a k e o f

c l a r i t y , w e w i l l a s s u m e t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r t o b e k n o w n t h r o u g h o u t t h e e x p o s i -

t i o n . F o r =

1

, w e c a n t h e n w r i t e t h e e q u i v a l e n t u n c o n s t r a i n e d p r o b l e m a s

m i n

u

Z

( r u +

1

2

( j u ? u

0

)

2

) d x ( 2 . 1 3 )

a n d i t s E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n i n t h e m o r e u s u a l f o r m :

0 = ? r

r u

r u

+ j ( j u ? u

0

) ( 2 . 1 4 )

W e c a l l ( 2 . 1 4 ) t h e n o n l i n e a r d e c o n v o l u t i o n m o d e l . T h e l i n e a r d e c o n v o l u t i o n m o d e l

w o u l d b e

0 = ? u + j ( j u ? u

0

) ( 2 . 1 5 )

t h a t c o m e s f r o m t h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g u n c o n s t r a i n e d p r o b -

l e m w i t h t h e n o r m R ( u ) = k r u k

L

2

S i n c e t h e e q u a t i o n ( 2 . 1 4 ) i s n o t w e l l d e n e d a t p o i n t s w h e r e r u = 0 , d u e t o t h e

p r e s e n c e o f t h e t e r m 1 = r u , i t i s c o m m o n t o s l i g h t l y p e r t u r b t h e T o t a l V a r i a t i o n

f u n c t i o n a l t o b e c o m e :

Z

p

r u

2

+ d x ; ( 2 . 1 6 )

w h e r e i s a s m a l l p o s i t i v e p a r a m e t e r , o r ,

Z

r u

d x ( 2 . 1 7 )

w i t h t h e n o t a t i o n ( x 2 R v 2 R

2

)

x

=

p

x

2

+ v

=

p

v

2

+ ( 2 . 1 8 )

4



3 . T h e t i m e d e p e n d e n t m o d e l . V o g e l a n d O m a n a n d C h a n , G o l u b a n d M u l e t

d e v i s e d d i r e c t m e t h o d s t o a p p r o x i m a t e t h e s o l u t i o n t o t h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n

( 2 . 1 4 ) w i t h a n a p r i o r i e s t i m a t e o f t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r a n d h o m o g e n e o u s N e u -

m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h o s e m e t h o d s w o r k w e l l f o r d e n o i s i n g p r o b l e m s b u t t h e

r e m o v a l o f b l u r b e c o m e s v e r y i l l - c o n d i t i o n e d w i t h u s e r - d e p e n d e n t c h o i c e o f p a r a m e -

t e r s . H o w e v e r , s t a b l e e x p l i c i t s c h e m e s a r e p r e f e r a b l e w h e n t h e s t e a d y s t a t e i s q u i c k l y

r e a c h e d b e c a u s e t h e c h o i c e o f p a r a m e t e r s i s a l m o s t u s e r - i n d e p e n d e n t . M o r e o v e r , t h e

p r o g r a m m i n g f o r o u r a l g o r i t h m i s q u i t e s i m p l e c o m p a r e d t o t h e i m p l i c i t i n v e r s i o n s

n e e d e d i n t h e a b o v e m e n t i o n e d m e t h o d s .

U s u a l l y , t i m e d e p e n d e n t a p p r o x i m a t i o n s t o t h e i l l - c o n d i t i o n e d E u l e r - L a g r a n g e

e q u a t i o n ( 2 . 1 4 ) a r e i n e c i e n t b e c a u s e t h e s t e a d y s t a t e i s r e a c h e d w i t h a v e r y s m a l l t i m e

s t e p , w h e n a n e x p l i c i t s c h e m e i s u s e d . T h i s i s t h e c a s e w i t h t h e f o l l o w i n g f o r m u l a t i o n

d u e t o R u d i n , O s h e r a n d F a t e m i ( s e e 1 9 ] ) a n d R u d i n a n d O s h e r ( s e e 1 8 ] ) :

u

t

= ? j ( j u ? u

0

) + r

r u

r u

( 3 . 1 )

w i t h u ( x ; y ; 0 ) g i v e n a s i n i t i a l d a t a , ( w e h a v e u s e d a s i n i t i a l g u e s s t h e o r i g i n a l b l u r r y

a n d n o i s y i m a g e u

0

) a n d h o m o g e n e o u s N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s , i . e . ,

@ u

@ n

= 0 o n

t h e b o u n d a r y o f t h e d o m a i n . A s t i n c r e a s e s , w e a p p r o a c h t o a r e s t o r e d v e r s i o n o f o u r

i m a g e , a n d t h e e e c t o f t h e e v o l u t i o n s h o u l d b e e d g e d e t e c t i o n a n d e n h a n c e m e n t a n d

s m o o t h i n g a t s m a l l s c a l e s t o r e m o v e t h e n o i s e . T h i s s o l u t i o n p r o c e d u r e i s a p a r a b o l i c

e q u a t i o n w i t h t i m e a s a n e v o l u t i o n p a r a m e t e r a n d r e s e m b l e s t h e g r a d i e n t - p r o j e c t i o n

m e t h o d o f R o s e n ( s e e 1 7 ] ) . I n t h i s f o r m u l a t i o n w e a s s u m e a n a p r i o r i e s t i m a t e o f t h e

L a g r a n g e m u l t i p l i e r , i n c o n t r a s t w i t h t h e d y n a m i c c h a n g e o f s u p p o s e d i n t h e R o s e n

m e t h o d , ( s e e s e c t i o n 6 f o r d e t a i l s ) . T h e e q u a t i o n ( 3 . 1 ) m o v e s e a c h l e v e l c u r v e o f u

n o r m a l t o i t s e l f w i t h n o r m a l v e l o c i t y e q u a l t o t h e c u r v a t u r e o f t h e l e v e l s u r f a c e d i v i d e d

b y t h e m a g n i t u d e o f t h e g r a d i e n t o f u , ( s e e ( 2 3 ] ) , ( 1 5 ] ) a n d ( 2 0 ] ) ) . T h e c o n s t r a i n t s

a r e i n c l u d e d i n t h e - t e r m a n d t h e y a r e n e e d e d t o p r e v e n t d i s t o r t i o n a n d t o o b t a i n a

n o n t r i v i a l s t e a d y s t a t e .

H o w e v e r , t h i s e v o l u t i o n p r o c e d u r e i s s l o w t o r e a c h s t e a d y s t a t e a n d i s a l s o s t i

s i n c e t h e p a r a b o l i c t e r m i s q u i t e s i n g u l a r f o r s m a l l g r a d i e n t s . I n f a c t , a n a d h o c r u l e

o f t h u m b w o u l d i n d i c a t e t h a t t h e t i m e s t e p t a n d t h e s p a c e s t e p s i z e x n e e d t o b e

r e l a t e d b y

t

x

2

c u ( 3 . 2 )

f o r x e d c > 0 , f o r s t a b i l i t y . T h i s C F L r e s t r i c t i o n i s w h a t w e s h a l l r e l a x . T h e s e i s s u e s

w e r e s e e n i n n u m e r o u s e x p e r i m e n t s . I n o r d e r t o a v o i d t h e s e d i c u l t i e s , w e p r o p o s e

a n e w t i m e d e p e n d e n t m o d e l t h a t a c c e l e r a t e s t h e m o v e m e n t o f l e v e l c u r v e s o f u a n d

r e g u l a r i z e s t h e p a r a b o l i c t e r m i n a n o n l i n e a r w a y . I n o r d e r t o r e g u l a r i z e t h e p a r a b o l i c

t e r m w e m u l t i p l y t h e w h o l e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n ( 2 . 1 4 ) b y t h e m a g n i t u d e o f t h e

g r a d i e n t a n d o u r t i m e e v o l u t i o n m o d e l r e a d s a s f o l l o w s :

u

t

= ? r u j ( j u ? u

0

) + r u r

r u

r u

( 3 . 3 )

W e u s e a s i n i t i a l g u e s s t h e o r i g i n a l b l u r r y a n d n o i s y i m a g e u

0

a n d h o m o g e n e o u s

N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a s a b o v e , w i t h a n a p r i o r i e s t i m a t e o f t h e L a g r a n g e

m u l t i p l i e r . F r o m t h e a n a l y t i c a l p o i n t o f v i e w t h i s s o l u t i o n p r o c e d u r e a p p r o a c h e s t h e

s a m e s t e a d y s t a t e a s t h e s o l u t i o n o f ( 2 . 1 4 ) w h e n e v e r u h a s n o n z e r o g r a d i e n t . T h e e e c t

o f t h i s r e f o r m u l a t i o n , ( i . e . p r e c o n d i t i o n i n g ) i s p o s i t i v e i n v a r i o u s a s p e c t s :

5



1 . T h e e e c t o f t h e r e g u l a r i z i n g t e r m m e a n s t h a t t h e m o v e m e n t o f l e v e l c u r v e s

o f u i s p u r e m e a n c u r v a t u r e m o t i o n , ( s e e 1 5 ] ) .

2 . T h e t o t a l m o v e m e n t o f l e v e l c u r v e s g o e s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e z e r o s o f j u ? u

0

r e g u l a r i z e d b y t h e a n i s o t r o p i c d i u s i o n i n t r o d u c e d b y t h e c u r v a t u r e t e r m .

3 . T h e p r o b l e m f o r t h e d e n o i s i n g c a s e i s w e l l - p o s e d i n t h e s e n s e t h a t t h e r e e x i s t s

a m a x i m u m p r i n c i p l e t h a t d e t e r m i n e s t h e s o l u t i o n , ( s e e ( 1 5 ] ) ) .

4 . T h e r e a r e s i m p l e e x p l i c i t s c h e m e s , s u c h a s R o e ' s s c h e m e , t h a t b e h a v e s t a b l y

w i t h a r e a s o n a b l e C F L r e s t r i c t i o n f o r t h i s e v o l u t i o n e q u a t i o n . L e t u s r e m a r k

t h a t e x p l i c i t s c h e m e s c o u l d a l s o b e a p p l i e d f o r t h e ' a n i s o t r o p i c b l u r r i n g ' c a s e .

5 . T h i s p r o c e d u r e i s m o r e m o r p h o l o g i c a l , ( s e e 1 ] ) , i n t h e p u r e d e n o i s i n g c a s e ,

i . e . , i t o p e r a t e s m a i n l y o n t h e l e v e l s e t s o f u a n d u

0

. T h i s i s e a s i l y s e e n i f

w e r e p l a c e u b y h ( u ) a n d u

0

b y h ( u

0

) w i t h h > 0 . T h e n , e q u a t i o n ( 3 . 3 ) i s

i n v a r i a n t , e x c e p t t h a t u ? u

0

g e t s r e p l a c e d b y ( h ( u ) ? h ( u

0

) ) = h ( u )

T h e a n i s o t r o p i c d i u s i o n i n t r o d u c e d i n t h i s m o d e l i s a n o n l i n e a r w a y t o d i s c r i m i -

n a t e s c a l e s o f c o m p u t a t i o n . T h i s n e v e r o c c u r s w i t h a l i n e a r m o d e l , ( e . g . t h e l i n e a r

d e c o n v o l u t i o n m o d e l ) , b e c a u s e i n t h i s c a s e w e w o u l d h a v e t h e l i n e a r h e a t e q u a t i o n

w i t h c o n s t a n t d i u s i o n . T h u s , o u r m o d e l ( 3 . 3 ) c a n b e s e e n a s a c o n v e c t i o n - d i u s i o n

e q u a t i o n w i t h m o r p h o l o g i c a l c o n v e c t i o n a n d a n i s o t r o p i c d i u s i o n .

4 . E x p l i c i t n u m e r i c a l s c h e m e s f o r t h e 1 D m o d e l . T h e 2 D m o d e l d e s c r i b e d

b e f o r e i s m o r e r e g u l a r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g 1 D m o d e l , b e c a u s e t h e 1 D o r i g i n a l

o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i s b a r e l y c o n v e x . F o r t h e s a k e o f u n d e r s t a n d i n g t h e n u m e r i c a l

b e h a v i o r o f o u r s c h e m e s , w e a l s o d i s c u s s t h e 1 D m o d e l . T h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n

i n t h e 1 D c a s e r e a d s a s f o l l o w s :

0 = ?

u

x

u

x

x

+ j ( j u ? u

0

) ( 4 . 1 )

T h i s e q u a t i o n c a n b e w r i t t e n e i t h e r a s

0 = ?

u

x

u

x

x

+ j ( j u ? u

0

) ( 4 . 2 )

u s i n g t h e s m a l l r e g u l a r i z i n g p a r a m e t e r > 0 i n t r o d u c e d a t t h e e n d o f t h e p r e v i o u s

s e c t i o n o r

0 = ? ( u

x

) u

x x

+ j ( j u ? u

0

) ( 4 . 3 )

u s i n g t h e - f u n c t i o n .

T h e R u d i n - O s h e r - F a t e m i m o d e l , ( R O F m o d e l ) , i n t e r m s o f t h e - f u n c t i o n w i l l r e a d

a s f o l l o w s

u

t

= ? j ( j u ? u

0

) + ( u

x

) u

x x

( 4 . 4 )

O u r m o d e l i n 1 D w i l l b e

u

t

= ? u

x

j ( j u ? u

0

) +

+ u

2

x

u

x x

( 4 . 5 )

w h e r e > 0 i s t h e s m a l l r e g u l a r i z i n g p a r a m e t e r . T h e p a r a m e t e r > 0 p l a y s a m o r e

r e l e v a n t r o l e i n t h i s c a s e t h a n i n t h e 2 D m o d e l . W e c a n a l s o s t a t e o u r m o d e l i n t e r m s

o f t h e f u n c t i o n a s

u

t

= ? u

x

j ( j u ? u

0

) + u

x

( u

x

) u

x x

( 4 . 6 )

6



w h e r e a c o n v o l u t i o n o f t h e f u n c t i o n m u s t b e u s e d i n p r a c t i c e . T h e i n t e n s i t y o f t h i s

k i n d o f c o n v o l u t i o n d e c i d e s w h i c h s c a l e a c t s o n t h e d i u s i o n t e r m . I n t h i s p a p e r , w e

a l w a y s a p p r o x i m a t e b y

( z ) ( z

2

+ )

3 = 2

( 4 . 7 )

A r a d i c a l w a y t o m a k e t h e c o e c i e n t o f u

x x

n o n s i n g u l a r i s t o s o l v e t h e e v o l u t i o n

m o d e l :

u

t

= ?

1

( u

x

)

j ( j u ? u

0

) + u

x x

( 4 . 8 )

T h i s m o d e l w o r k s i n s u c h a m a n n e r t h a t a w a y f r o m e x t r e m a w e h a v e a l a r g e m u l t i p l i e r

o f ? j ( j u ? u

0

) a n d a t e x t r e m a i t i s j u s t t h e h e a t e q u a t i o n .

T h e s e e v o l u t i o n m o d e l s a r e i n i t i a l i z e d w i t h t h e b l u r r y a n d n o i s y s i g n a l u

0

a n d

h o m o g e n e o u s N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a n d w i t h a p r e s c r i b e d L a g r a n g e m u l t i -

p l i e r . W e e s t i m a t e d > 0 n e a r t h e m a x i m u m v a l u e s u c h t h a t t h e e x p l i c i t s c h e m e i s

s t a b l e u n d e r a p p r o p r i a t e C F L r e s t r i c t i o n s , ( s e e b e l o w ) .

I n o r d e r t o c o n v i n c e t h e r e a d e r a b o u t t h e s p e e d a n d p r o g r a m m i n g s i m p l i c i t y o f

o u r m o d e l , w e s h a l l g i v e t h e d e t a i l s o f t h e r s t o r d e r s c h e m e f o r t h e 1 D p u r e d e n o i s i n g

m o d e l , i . e . ,

u

t

= ? u

x

( u ? u

0

) +

+ u

2

x

u

x x

( 4 . 9 )

L e t u

n

j

b e t h e a p p r o x i m a t i o n t o t h e v a l u e u ( x

j

t

n

) , w h e r e x

j

= j x a n d t

n

= n t

T h e n , t h e s c h e m e f o r t h e p r o b l e m ( 4 . 9 ) w i l l b e

u

n + 1

j

? u

n

j

t

= ? u g

j

( u

n

j

? u

0

( x

j

) ) +

+ g

2

j

u

n

j + 1

? 2 u

n

j

+ u

n

j 1

x

2

( 4 . 1 0 )

w h e r e

g

j

=

u

n

j + 1

? u

n

j 1

2 x

a n d u g

j

i s t h e u p w i n d g r a d i e n t , i . e . ,

u g

j

=

u

n

j

? u

n

j 1

x

i f g

j

( u

n

j

? u

0

( x

j

) ) > 0 a n d

u g

j

=

u

n

j + 1

? u

n

j

x

i f g

j

( u

n

j

? u

0

( x

j

) ) < 0

O u r g e n e r a l e x p l i c i t s c h e m e h a s t h e f o l l o w i n g f e a t u r e s :

1 . W e u s e c e n t r a l d i e r e n c i n g f o r u

x x

2 . T h e c o n v o l u t i o n o p e r a t o r j i s c o m p u t e d b y e v o l v i n g t h e h e a t e q u a t i o n u

t

= u

x x

w i t h t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d i n t i m e a n d c e n t r a l d i e r e n c i n g i n s p a c e w i t h

C F L = 0 2 5 c o r r e s p o n d i n g t o a o f t h e 1 D h e a t k e r n e l :

j ( x ) =

1

2

p

e

x

2

= 4

( 4 . 1 1 )

7



3 . W e u s e u p w i n d R o e d i e r e n c i n g , ( s e e 1 6 ] , 1 0 ] ) , c h e c k i n g t h e d i r e c t i o n o f

p r o p a g a t i o n b y c o m p u t i n g t h e s i g n o f t h e d e r i v a t i v e o f t h e c o e c i e n t o f j

( j u ? u

0

) w i t h r e s p e c t t o u

x

t i m e s t h e s i g n o f t h i s t e r m . I n d e e d , f o r o u r

e v o l u t i o n m o d e l ( 4 . 5 ) i t i s e n o u g h t o c h e c k t h e s i g n o f u

x

j ( j u ? u

0

)

F o r t h e m o d e l ( 4 . 8 ) w e g e t t h e s a m e d i r e c t i o n o f p r o p a g a t i o n a s b e f o r e . W e

n o t e t h a t t h e r e i s n o n o t i o n o f \ e n t r o p y c o n d i t i o n s a t i s f y i n g " d i s c o n t i n u i t i e s

i n i m a g e p r o c e s s i n g ; t h u s w e o m i t t h e u s u a l \ e n t r o p y - x " a p p l i e d t o t h e R o e

s o l v e r i n t h i s w o r k .

4 . T h e C F L c o n d i t i o n d e p e n d s o n a n d

I n d e e d , t h e p a r a b o l i c t e r m i n o u r m o d e l ( 4 . 5 ) g i v e s a C F L r e s t r i c t i o n

t

x

2

+ u

2

x

2

( 4 . 1 2 )

a n d t h e c o n v e c t i o n t e r m g i v e s

t

x

c

s

1 +

u

2

x

( 4 . 1 3 )

f o r x e d c . T h e s e r e s t r i c t i o n s a r e r e a s o n a b l e a t l o c a l e x t r e m a a n d n e a r e d g e s , c o m -

p a r e d w i t h t h e p a r a b o l i c C F L r e s t r i c t i o n t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e r e a c t i o n - d i u s i o n

R O F m o d e l , ( 4 . 4 ) :

t

x

2

1

2 ( u

x

)

( 4 . 1 4 )

w h i c h i s t o o s t i a l o n g a t r e g i o n s o r a t l o c a l e x t r e m a . T h e C F L r e s t r i c t i o n c o m i n g

f r o m t h e c o n v e c t i o n t e r m i n t h e r a d i c a l m o d e l ( 4 . 8 ) i s b e t t e r b u t a l s o u n f o r t u n a t e

t

x

3 u

x

( + u

2

x

)

1 = 2

( 4 . 1 5 )

T h u s , o u r m o d e l i s m o r e c o n v e n i e n t f r o m t h i s p o i n t o f v i e w .

5 . E x p l i c i t n u m e r i c a l s c h e m e s f o r t h e 2 D m o d e l . W e c a n e x p r e s s o u r 2 D

m o d e l i n t e r m s o f e x p l i c i t p a r t i a l d e r i v a t i v e s a s :

u

t

= ?

q

u

2

x

+ u

2

y

j ( j u ? u

0

) +

u

x x

u

2

y

? 2 u

x y

u

x

u

y

+ u

y y

u

2

x

u

2

x

+ u

2

y

( 5 . 1 )

u s i n g u

0

a s i n i t i a l g u e s s a n d h o m o g e n e o u s N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s , ( i . e . , a b -

s o r b i n g b o u n d a r y ) .

T h e d e n o m i n a t o r , u

2

x

+ u

2

y

, a p p e a r i n g i n t h e d i u s i o n t e r m m a y v a n i s h o r b e s m a l l

a l o n g a t r e g i o n s o r a t l o c a l e x t r e m a , w h e n i t i s c o m p u t e d . T h e n , w e c a n u s e e i t h e r

t h e r e g u l a r i z i n g p a r a m e t e r > 0 , ( s m a l l e n o u g h t o p e r f o r m o a t i n g p o i n t d i v i s i o n ) ,

o r m a k e t h e d i u s i o n t e r m e q u a l t o z e r o w h e n g r a d i e n t i s s m a l l e r t h a n a t o l e r a n c e ,

( w e c a n a l s o u s e p a r a m e t e r s m a l l a s t o l e r a n c e c u t - o ) . O u r c h o i c e i n t h i s p a p e r

w a s t h e c u t - o o p t i o n , f o l l o w i n g a s u g g e s t i o n b y B a r r y M e r r i m a n . T h u s , c o n c e r n i n g

s t a b i l i t y a n d r e s o l u t i o n t h e r o l e o f p a r a m e t e r i s a l m o s t i r r e l e v a n t i n 2 D c a l c u l a t i o n s .

L e t u

n

i k

b e t h e a p p r o x i m a t i o n t o t h e v a l u e u ( x

i

y

k

t

n

) , w h e r e x

i

= i x y

k

= k y

a n d t

n

= n t , w h e r e x y a n d t a r e t h e s p a t i a l s t e p s i z e s a n d t h e t i m e s t e p s i z e ,

r e s p e c t i v e l y . W e d e n o t e b y v

0

= j u

0

a n d w

n

i k

= j j ( u

n

i k

) . W e p o i n t o u t t h a t

8



w e u s e d f o r j , t h e c o n v o l u t i o n w i t h t h e 2 D h e a t k e r n e l , ( 2 . 4 ) , i n o u r e x p e r i m e n t s ,

a p r o x i m a t e d b y e v o l v i n g t h e 2 D h e a t e q u a t i o n u

t

= u

x x

+ u

y y

b y m e a n s o f t h e e x p l i c i t

E u l e r m e t h o d i n t i m e a n d c e n t r a l d i e r e n c i n g i n s p a c e . T h e n o u r r s t o r d e r s c h e m e

r e a d s a s f o l l o w s :

u

n + 1

i k

? u

n

i k

t

= ?

q

u g

x

i k

2

+ u g

y

i k

2

( w

n

i k

? v

0

( x

i

y

k

) ) + s

n

i k

( 5 . 2 )

w h e r e t h e s e c o n d o r d e r t e r m i s d e n e d b y

s

n

i k

= 0 ( 5 . 3 )

i f g

x

i k

2

+ g

y

i k

2

< a n d

s

n

i k

=

g

x x

i k

g

y

i k

2

? 2 g

x y

i k

g

x

i k

g

y

i k

+ g

y y

i k

g

x

i k

2

g

x

i k

2

+ g

y

i k

2

( 5 . 4 )

o t h e r w i s e , w h e r e

g

x

i k

=

u

n

i + 1 k

? u

n

i 1 k

2 x

( 5 . 5 )

g

y

i k

=

u

n

i k + 1

? u

n

i k 1

2 y

( 5 . 6 )

g

x x

i k

=

u

n

i + 1 k

? 2 u

n

i k

+ u

n

i 1 k

x

2

( 5 . 7 )

g

y y

i k

=

u

n

i k + 1

? 2 u

n

i k

+ u

n

i k 1

y

2

( 5 . 8 )

g

x y

i k

=

u

n

i + 1 k + 1

? u

n

i 1 k + 1

? u

n

i + 1 k 1

+ u

n

i 1 k 1

2 x y

( 5 . 9 )

u g

x

i k

i s t h e u p w i n d g r a d i e n t i n t h e x - d i r e c t i o n , i . e . ,

u g

x

i k

=

u

n

i k

? u

n

i 1 k

x

( 5 . 1 0 )

i f g

x

i k

( w

n

i k

? v

0

( x

i

y

k

) ) > 0 a n d

u g

x

i k

=

u

n

i + 1 k

? u

n

i k

x

( 5 . 1 1 )

i f g

x

i k

( w

n

i k

? v

0

( x

i

y

k

) ) < 0 , a n d u g

y

i k

i s t h e u p w i n d g r a d i e n t i n t h e y - d i r e c t i o n , i . e . ,

u g

y

i k

=

u

n

i k

? u

n

i k 1

y

( 5 . 1 2 )

i f g

y

i k

( w

n

i k

? v

0

( x

i

y

k

) ) > 0 a n d

u g

y

i k

=

u

n

i k + 1

? u

n

i k

y

( 5 . 1 3 )

9



i f g

y

i k

( w

n

i k

? v

0

( x

i

y

k

) ) < 0

A v e r y s i m p l e w a y t o e x t e n d t h i s s c h e m e t o g e t h i g h o r d e r a c c u r a c y i s t o f o l l o w

S h u - O s h e r p r e s c r i p t i o n , ( s e e 2 1 ] ) . T h u s , w e c o n s i d e r a m e t h o d o f l i n e s , u s i n g a n

e x p l i c i t h i g h o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d i n t i m e a n d u s i n g a m e t h o d o f s p a t i a l E N O

r e c o n s t r u c t i o n , ( s e e 2 4 ] , 9 ] , 2 1 ] a n d 1 2 ] ) , o f t h e s a m e o r d e r , f o r t h e c o n v e c t i o n t e r m ,

a p p l i e d o n e v e r y t i m e s u b s t e p .

W e h a v e t e s t e d t h e V a n L e e r s e c o n d o r d e r M U S C L s p a t i a l r e c o n s t r u c t i o n u s i n g t h e

m i n m o d f u n c t i o n a s s l o p e - l i m i t e r t o g e t h e r w i t h c l a s s i c a l s e c o n d o r d e r R u n g e - K u t t a

m e t h o d a n d t h e t h i r d o r d e r P H M s p a t i a l r e c o n s t r u c t i o n a s i n 1 2 ] , u s i n g a s s l o p e -

l i m i t e r t h e h a r m o d f u n c t i o n , c o n s i s t i n g o f t h e h a r m o n i c m e a n o f t h e l a t e r a l s l o p e s

w h e n t h e y h a v e t h e s a m e s i g n a n d z e r o w h e n t h e y h a v e d i e r e n t s i g n , t o g e t h e r w i t h t h e

t h i r d o r d e r S h u - O s h e r R u n g e - K u t t a m e t h o d o f 2 1 ] . W e h a v e f o u n d t h a t t h e s e e x p l i c i t

m e t h o d s a r e s t a b l e a n d g i v e h i g h a c c u r a c y u n d e r t h e s a m e C F L r e s t r i c t i o n s a s t h e r s t

o r d e r s c h e m e .

A s a s a m p l e w e s h a l l d e s c r i b e t h e s e c o n d o r d e r M U S C L m e t h o d . S i n c e t h e R u n g e -

K u t t a m e t h o d s u s e d h e r e a r e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f r s t o r d e r e x p l i c i t E u l e r t i m e s t e p s ,

i t i s e n o u g h t o f o r m u l a t e o n e E u l e r s t e p , ( i n f a c t , i n t h i s c a s e i t i s H e u n ' s m e t h o d

w h i c h i s t h e a r i t h m e t i c m e a n o f t w o E u l e r t i m e s t e p s ) . F o l l o w i n g t h e n o t a t i o n u s e d

a b o v e w e h a v e :

u

n + 1

i k

? u

n

i k

t

= ?

q

r u g

x

i k

2

+ r u g

y

i k

2

( w

n

i k

? v

0

( x

i

y

k

) ) + s

n

i k

( 5 . 1 4 )

w h e r e t h e r e c o n s t r u c t e d u p w i n d g r a d i e n t s r u g

x

i k

a n d r u g

y

i k

a r e c o m p u t e d i n t h e f o l -

l o w i n g w a y . W e r e c o n s t r u c t t h e l e f t x - g r a d i e n t i n ( x

i

y

k

) f r o m t h e l i n e a r f u n c t i o n :

p l ( x ) = m

i 1

( x ? x

i 1 = 2

) +

u

n

i k

? u

n

i 1 k

x

( 5 . 1 5 )

w h e r e

m

i 1

= m i n m o d ( g

x x

i 1 k

g

x x

i k

) ( 5 . 1 6 )

c o m p u t e d i n x

i

, i . e .

g l

x

i

= p l ( x

i

) ( 5 . 1 7 )

w h e r e t h e m i n m o d f u n c t i o n i s d e n e d a s

m i n m o d ( r s ) =

1

2

m i n ( r s ) ( s g n ( r ) + s g n ( s ) ) ( 5 . 1 8 )

b e i n g s g n t h e s i g n f u n c t i o n . A n a l o g o u s l y , w e h a v e t h e r e c o n s t r u c t e d r i g h t x - g r a d i e n t ,

g r

x

i

a s

g r

x

i

= p r ( x

i

) ( 5 . 1 9 )

w h e r e

p r ( x ) = m

i

( x ? x

i + 1 = 2

) +

u

n

i + 1 k

? u

n

i k

x

( 5 . 2 0 )

w h e r e

m

i

= m i n m o d ( g

x x

i k

g

x x

i + 1 k

) ( 5 . 2 1 )

1 0



T h e n t h e r e c o n s t r u c t e d u p w i n d g r a d i e n t i n t h e x - d i r e c t i o n i s d e n e d f r o m t h e m e a n

v a l u e

g m

x

i

=

g l

x

i

+ g r

x

i

2

( 5 . 2 2 )

a s

r u g

x

i k

= g l

x

i

( 5 . 2 3 )

i f g m

x

i

( w

n

i k

? v

0

( x

i

y

k

) ) > 0 a n d

r u g

x

i k

= g r

x

i

( 5 . 2 4 )

i f g m

x

i

( w

n

i k

? v

0

( x

i

y

k

) ) < 0 . T h e p r o c e d u r e i n t h e y - d i r e c t i o n i s s i m i l a r .

0 50 100 150 200 250 300−50

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200 250 300−50

0

50

100

150

200

F i g . 6 . 1 L e f t , o r i g i n a l v s . n o i s y 1 D i m a g e ; r i g h t o r i g i n a l v s . r e c o v e r e d 1 D i m a g e

6 . N u m e r i c a l E x p e r i m e n t s . I n t h i s s e c t i o n , w e p e r f o r m s o m e n u m e r i c a l e x -

p e r i m e n t s i n 1 D a n d 2 D .

W e h a v e u s e d 1 D s i g n a l s w i t h v a l u e s i n t h e r a n g e 0 2 5 5 ] . T h e s i g n a l o f ( 6 . 1 , l e f t )

r e p r e s e n t s t h e o r i g i n a l s i g n a l v e r s u s t h e n o i s y s i g n a l w i t h S N R 5 . T h e s i g n a l o f

( 6 . 1 , r i g h t ) r e p r e s e n t s t h e o r i g i n a l s i g n a l v e r s u s t h e r e c o v e r e d s i g n a l a f t e r 8 0 i t e r a t i o n s

w i t h r s t o r d e r s c h e m e w i t h C F L 0 2 5 . T h e e s t i m a t e d = 0 0 5 w a s c o m p u t e d a s

t h e m a x i m u m v a l u e a l l o w e d f o r s t a b i l i t y , u s i n g t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d i n t i m e . W e

h a v e u s e d = 1 5 i n t h i s e x p e r i m e n t i n o r d e r t o a c h i e v e t h e a p p r o p i a t e a m o u n t o f

d i f u s i o n a t s m a l l s c a l e s . I n p u r e d e n o i s i n g 1 D p r o b l e m s t h e c h o i c e o f t h e v a l u e o f

i n o u r m o d e l d e p e n d s o n t h e S N R . L e t u s o b s e r v e t h e v e r y r e d u c e d s t a i r c a s e e e c t

c o m p a r e d w i t h t h e u s u a l o n e o b t a i n e d w i t h e i t h e r x e d - p o i n t i t e r a t i v e m e t h o d s o r

n o n l i n e a r p r i m a l - d u a l m e t h o d s , ( s e e 4 ] ) .

N o w , w e p r e s e n t a p u r e d e b l u r r i n g p r o b l e m i n 1 D . T h e s i g n a l o f ( 6 . 2 , l e f t ) r e p -

r e s e n t s t h e o r i g i n a l s i g n a l v e r s u s t h e b l u r r e d s i g n a l w i t h = 1 0 , ( a s i n 4 . 1 1 . T h e

s i g n a l o f ( 6 . 2 , r i g h t ) r e p r e s e n t s t h e o r i g i n a l s i g n a l v e r s u s t h e r e c o v e r e d s i g n a l a f t e r 4 0

i t e r a t i o n s w i t h r s t o r d e r s c h e m e w i t h C F L 0 1 . T h e e s t i m a t e d = 1 5 w a s c o m p u t e d

a s t h e m a x i m u m v a l u e a l l o w e d f o r s t a b i l i t y , u s i n g t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d i n t i m e .

W e u s e = 0 0 1 i n t h i s e x p e r i m e n t .

T h e s i g n a l o f ( 6 . 3 , l e f t ) r e p r e s e n t s t h e o r i g i n a l s i g n a l v e r s u s t h e b l u r r e d a n d n o i s y

s i g n a l w i t h = 5 , ( a s i n 4 . 1 1 ) , a n d S N R 5 . T h e s i g n a l o f ( 6 . 2 , r i g h t ) r e p r e s e n t s t h e

o r i g i n a l s i g n a l v e r s u s t h e r e c o v e r e d s i g n a l a f t e r 8 0 i t e r a t i o n s w i t h r s t o r d e r s c h e m e

1 1



0 50 100 150 200 250 3000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 50 100 150 200 250 3000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

F i g . 6 . 2 L e f t , o r i g i n a l v s . b l u r 1 D i m a g e ; r i g h t o r i g i n a l v s . r e c o v e r e d 1 D i m a g e

0 50 100 150 200 250 300−50

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200 250 300−50

0

50

100

150

200

F i g . 6 . 3 L e f t , o r i g i n a l v s . n o i s y a n d b l u r r e d 1 D s i g n a l ; r i g h t , o r i g i n a l v s . r e c o v e r e d 1 D s i g n a l

w i t h C F L 0 2 5 . T h e e s t i m a t e d = 0 2 5 w a s c o m p u t e d a s t h e m a x i m u m v a l u e a l l o w e d

f o r s t a b i l i t y , u s i n g e x p l i c i t E u l e r m e t h o d i n t i m e . T h e u s e d f o r t h e c u r r e n t d e n o i s i n g

a n d d e b l u r r i n g p r o b l e m i s s m a l l e r t h a n t h e o n e u s e d i n t h e a b o v e p u r e d e b l u r r i n g

p r o b l e m , a s w e e x p e c t e d . W e u s e = 1 0 i n t h i s e x p e r i m e n t t o g e t t h e c o r r e c t d e g r e e

o f d i f u s i o n a t s m a l l s c a l e s . T h i s s h o w s t h a t t h e 1 D p r o b l e m i s q u i t e s e n s i t i v e t o t h e

c h o i c e o f , i n c o n t r a s t w i t h t h e 2 D c a s e w h e r e t h e s i z e o f t h i s p a r a m e t e r b e c o m e s

i r r e l e v a n t . L e t u s a l s o o b s e r v e a v e r y r e d u c e d s t a i r c a s e e e c t . W e p e r f o r m e d m a n y

o t h e r e x p e r i m e n t s w i t h 1 D s i g n a l s , o b t a i n i n g s i m i l a r r e s u l t s .

A l l o u r 2 D n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d o n t h e o r i g i n a l i m a g e ( F i g 6 . 4 ,

l e f t ) w i t h 2 5 6 2 5 6 p i x e l s a n d d y n a m i c r a n g e i n 0 2 5 5 ] .

T h e t h i r d o r d e r s c h e m e w e u s e d i n o u r 2 D e x p e r i m e n t s w a s b a s e d o n t h e t h i r d

o r d e r R u n g e - K u t t a i n t r o d u c e d b y S h u a n d O s h e r , ( s e e 2 1 ] ) , t o e v o l v e i n t i m e w i t h

a t h i r d o r d e r s p a t i a l a p p r o x i m a t i o n b a s e d o n t h e P H M r e c o n s t r u c t i o n i n t r o d u c e d i n

( 1 2 ] ) .

O u r r s t 2 D e x p e r i m e n t w a s m a d e o n t h e n o i s y i m a g e , ( 6 . 4 , r i g h t ) , w i t h a S N R

w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y 3 . D e t a i l s o f t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s u s i n g t h e C h a n - G o l u b -

M u l e t p r i m a l - d u a l m e t h o d a n d o u r t i m e d e p e n d e n t m o d e l u s i n g t h e t h i r d o r d e r R o e ' s

s c h e m e , ( d e s c r i b e d a b o v e ) , a r e s h o w n i n F i g . 6 . 5 . W e u s e d 0 0 7 1 3 a n d w e p e r f o r m

5 0 i t e r a t i o n s w i t h C F L n u m b e r 0 1 . W e u s e d t h e s a m e e s t i m a t e d a s t h e o n e u s e d f o r

t h e p r i m a l - d u a l m e t h o d , a n d w e o b s e r v e d t h a t t h i s v a l u e c o r r e p o n d s t o t h e l a r g e s t w e

1 2



50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

SNR=3

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

F i g . 6 . 4 L e f t : o r i g i n a l i m a g e , r i g h t : n o i s y i m a g e , S N R 3

Chan−Golub−Mulet Primal−Dual

Resolution 256x256, SNR \approx 3, Estimated \lambda=0.0713

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

ROE−ORDER3−RK3

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

F i g . 6 . 5 L e f t : i m a g e o b t a i n e d b y t h e C h a n - G o l u b - M u l e t p r i m a l - d u a l m e t h o d , r i g h t : i m a g e

o b t a i n e d b y o u r t i m e e v o l u t i o n m o d e l , w i t h 5 0 t i m e s t e p s a n d C F L - 0 . 1

a l l o w e d f o r s t a b i l i t y w i t h t h i s C F L r e s t r i c t i o n . W e a l s o r e m a r k t h a t t h e t h i r d o r d e r

R u n g e - K u t t a m e t h o d u s e d e n h a n c e s t h e d i u s i o n a t s m a l l s c a l e s . T h e c o n t o u r p l o t s

a r e s h o w n i n F i g 6 . 6 . W e c a n i n f e r f r o m t h e s e c o n t o u r s t h a t t h e e d g e s o b t a i n e d b y

t h e n e w m o d e l a r e s h a r p e r t h a n t h e o n e s o b t a i n e d b y t h e p r i m a l - d u a l m e t h o d . T h i s

m i g h t s e e m s u r p r i s i n g , s i n c e t h e s t e a d y s t a t e s a t i s e s t h e s a m e e q u a t i o n ( 2 . 1 4 ) o n t h e

a n a l y t i c l e v e l . N u m e r i c a l l y t h e y a r e q u i t e d i e r e n t b e c a u s e t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e

c o n v e c t i o n t e r m i n v o l v e s h y p e r b o l i c u p w i n d i d e a s .

O u r s e c o n d 2 D e x p e r i m e n t i s a p u r e d e b l u r r i n g p r o b l e m . F i g ( 6 . 7 , l e f t ) , c o r r e -

s p o n d s t o t h e o r i g i n a l i m a g e b l u r r e d w i t h G a u s s i a n b l u r w h e r e = 5 a s i n ( 2 . 4 ) . W e

r e m a r k t h a t w e c o m p u t e d t h e c o n v o l u t i o n o p e r a t o r j b y e v o l v i n g t h e 2 D h e a t e q u a -

t i o n w i t h e x p l i c i t E u l e r m e t h o d i n t i m e a n d c e n t r a l d i e r e n c i n g i n s p a c e w i t h a C F L

n u m b e r o f 0 . 1 2 5 , i n o r d e r t o t e s t o u r m o d e l i n p r a c t i c a l c o n d i t i o n s . I n F i g ( 6 . 7 , r i g h t ) ,

w e r e p r e s e n t t h e a p p r o x i m a t i o n u s i n g o u r t h i r d o r d e r R o e ' s s c h e m e w h e r e w e p e r f o r m

5 0 i t e r a t i o n s w i t h C F L n u m b e r 0 1 . W e h a v e u s e d = 1 5 , ( t h e m a x i m u m v a l u e t h a t

a l l o w s s t a b i l i t y f o r t h e a b o v e C F L r e s t r i c t i o n ) , a n d = 0 0 1 . W e o b s e r v e t h a t t h e

s c h e m e i s n o t s e n s i t i v e t o t h e c h o i c e o f p r o v i d e d t h e v a l u e b e s m a l l e n o u g h , ( s m a l l e r

t h a n 0 1 ) . T h i s b e h a v i o r i s j u s t i e d f r o m t h e f a c t t h a t t h e 2 D p r o b l e m i s m o r e r e g u l a r .

1 3



10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

50

60

70

PRIMAL−DUAL

10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

50

60

70

ROE−ORDER3−RK3

F i g . 6 . 6 L e f t : i s o i n t e n s i t y c o n t o u r s o f p a r t o f t h e i m a g e o b t a i n e d b y t h e p r i m a l - d u a l m e t h o d ,

r i g h t : i s o i n t e n s i t y c o n t o u r s o f p a r t o f t h e i m a g e o b t a i n e d b y o u r t i m e e v o l u t i o n m o d e l .

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

F i g . 6 . 7 L e f t : i m a g e b l u r r e d w i t h G a u s s i a n b l u r w i t h = 5 , r i g h t : i m a g e r e s t o r e d w i t h o u r

m o d e l , u s i n g t h i r d o r d e r R o e ' s s c h e m e w i t h 5 0 t i m e s t e p s a n d C F L - 0 . 1 .

T h e i s o i n t e n s i t y c o n t o u r s s h o w e d i n ( 6 . 8 ) m a k e c l e a r t h e e d g e e n h a n c e m e n t o b t a i n e d

t h r o u g h o u r a l g o r i t h m .

O u r 2 D c r i t i c a l e x p e r i m e n t w a s p e r f o r m e d o n t h e b l u r r y a n d n o i s y i m a g e r e p r e -

s e n t e d i n F i g ( 6 . 9 , l e f t ) , w i t h G a u s s i a n b l u r w h e r e = 5 a s i n ( 2 . 4 ) a n d S N R 5

W e h a v e u s e d t h e = 1 5 a n d = 0 0 1 . W e p e r f o r m e d 5 0 i t e r a t i o n s w i t h a C F L

n u m b e r o f 0 1 , u s i n g o u r t h i r d o r d e r R o e ' s s c h e m e , o b t a i n i n g t h e a p p r o x i m a t i o n r e p -

r e s e n t e d i n g u r e ( 6 . 9 , r i g h t ) . L e t u s o b s e r v e t h e d e n o i s i n g a n d d e b l u r r i n g e e c t i n

t h e i s o i n t e n s i t y c o n t o u r s p i c t u r e r e p r e s e n t e d i n g u r e ( 6 . 1 0 ) .

F i n a l l y , w e s h a l l i n c l u d e t h e c o n v e r g e n c e h i s t o r y o f t h e t w o 1 D e x p e r i m e n t s c o r -

r e s p o n d i n g t o t h e p u r e d e n o i s i n g p r o b l e m a n d a d e n o i s i n g a n d d e b l u r r i n g p r o b l e m

p r e s e n t e d a b o v e . I n F i g s 6 . 1 1 a n d 6 . 1 2 w e r e p r e s e n t t h e s e m i l o g p l o t o f t h e L

2

- n o r m

o f t h e d i e r e n c e s b e t w e e n c o n s e c u t i v e i t e r a t e s v e r s u s t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s a n d t h e

p l o t o f t h e e v o l u t i o n o f t h e t o t a l v a r i a t i o n o f t h e s o l u t i o n , r e s p e c t i v e l y . W e o b s e r v e

' s u p e r l i n e a r ' c o n v e r g e n c e a l o n g t h e r s t t h i r d p a r t o f t h e e v o l u t i o n a n d l i n e a r c o n v e r -

g e n c e a l o n g t h e r e m a i n d e r . W e p o i n t e d o u t t h a t a l l o u r e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d

w i t h a c o n s t a n t t i m e s t e p a n d t h u s , t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t i s v e r y l o w c o m p a r e d w i t h

t h e s e m i - i m p l i c i t m e t h o d s . T h e s e u s u a l l y r e q u i r e o n e t h i r d o f t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s

w e n e e d e d , b u t e v e r y s t e p o f t h e s e m i - i m p l i c i t m e t h o d r e q u i r e s a b o u t v e i t e r a t i o n s

1 4



10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

50

60

70

10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

50

60

70

F i g . 6 . 8 L e f t : i s o i n t e n s i t y c o n t o u r s o f p a r t o f t h e b l u r r e d i m a g e , r i g h t : i s o i n t e n s i t y c o n t o u r s

o f p a r t o f t h e i m a g e r e s t o r e d b y u s i n g o u r t i m e e v o l u t i o n m o d e l .

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

F i g . 6 . 9 L e f t : i m a g e b l u r r e d w i t h G a u s s i a n b l u r w i t h = 5 a n d n o i s y w i t h S N R 1 0 , r i g h t :

i m a g e r e s t o r e d w i t h o u r m o d e l , u s i n g t h i r d o r d e r R o e ' s s c h e m e w i t h 5 0 t i m e s t e p s a n d C F L - 0 . 1 .

o f t h e p r e c o n d i t i o n e d c o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d t o i n v e r t .

7 . C o n c l u d i n g r e m a r k s . W e h a v e p r e s e n t e d a n e w t i m e d e p e n d e n t m o d e l t o

s o l v e t h e n o n l i n e a r T V m o d e l f o r n o i s e r e m o v a l a n d d e b l u r r i n g t o g e t h e r w i t h a v e r y

s i m p l e e x p l i c i t a l g o r i t h m b a s e d o n R o e ' s s c h e m e o f u i d d y m a m i c s . T h e n u m e r i c a l

a l g o r i t h m i s s t a b l e w i t h a r e a s o n a b l e C F L r e s t r i c t i o n , i t i s e a s y t o p r o g r a m a n d i t

c o n v e r g e s q u i c k l y t o t h e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n , e v e n f o r d e b l u r r i n g a n d d e n o i s i n g p r o b -

l e m s . T h e a l g o r i t h m i s f a s t a n d e c i e n t s i n c e n o i n v e r s i o n s a r e n e e d e d f o r d e b l u r r i n g

p r o b l e m s w i t h n o i s e . O u r t i m e d e p e n d e n t m o d e l i s b a s e d o n l e v e l s e t m o t i o n t h a t

m a k e s t h e p r o c e d u r e m o r p h o l o g i c a l a n d a p p e a r s t o s a t i s f y a m a x i m u m p r i n c i p l e i n t h e

p u r e d e n o i s i n g c a s e , u s i n g a s i n i t i a l g u e s s t h e n o i s y i m a g e . W e a l s o h a v e n u m e r i c a l

e v i d e n c e , ( t h r o u g h o u r n u m e r i c a l t e s t s ) , o f t h i s s t a b i l i t y i n t h e d e b l u r r i n g c a s e , u s i n g

t h e n o i s y a n d b l u r r e d i m a g e a s i n i t i a l g u e s s .

R E F E R E N C E S

1 L

A l v a r e z , F . G u i c h a r d , P . L . L i o n s a n d J . M . M o r e l A x i o m s a n d f u n d a m e n t a l e q u a t i o n s

o f i m a g e p r o c e s s i n g A r c h . R a t i o n a l M e c h a n i c s a n d A n a l . , v . 1 6 , I X , ( 1 9 9 3 ) , p p . 1 9 9 - 2 5 7 .

1 5



10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

50

60

70

10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

50

60

70

F i g . 6 . 1 0 L e f t : i s o i n t e n s i t y c o n t o u r s o f p a r t o f t h e b l u r r e d a n d n o i s y i m a g e , r i g h t : i s o i n t e n s i t y

c o n t o u r s o f p a r t o f t h e i m a g e r e s t o r e d b y u s i n g o u r t i m e e v o l u t i o n m o d e l .

0 10 20 30 40 50 60 70 8010

−1

100

101

102

0 10 20 30 40 50 60 70 80500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

F i g . 6 . 1 1 L e f t , s e m i l o g d i e r e n c e s o f i t e r a t e s v s . n u m b e r o f i t e r a t i o n s f o r t h e p u r e d e n o i s i n g

p r o b l e m ; r i g h t , t o t a l v a r i a t i o n v s . n u m b e r o f i t e r a t i o n s

2 G . A u b e r t a n d L . V e s e A v a r i a t i o n a l m e t h o d i n i m a g e r e c o v e r y , S I A M J . N u m e r . A n a l . , 3 4 ,

( 1 9 9 7 ) , p p 1 9 4 8 { 1 9 7 9 .

3 P . B l o m g r e n a n d T . F . C h a n M o d u l a r s o l v e r s f o r c o n s t r a i n e d i m a g e r e s t o r a t i o n p r o b l e m s

U C L A C A M r e p o r t 9 7 - 5 2 , ( 1 9 9 7 ) ,

4 P . B l o m g r e n a n d T . F . C h a n a n d P . M u l e t E x t e n s i o n s t o t o t a l v a r i a t i o n d e n o i s i n g , P r o c .

S P I E 9 7 , S a n D i e g o , ( 1 9 9 7 ) .

5 A . C h a m b o l l e a n d P . - L . L i o n s I m a g e r e c o v e r y v i a t o t a l v a r i a t i o n m i n i m i z a t i o n a n d r e l a t e d

p r o b l e m s , N u m e r i s c h e M a t h e m a t i k , 7 6 ( 1 9 9 7 ) , p p . 1 6 7 { 1 8 8 .

6 T . C h a n , G . G o l u b , a n d P . M u l e t A n o n l i n e a r p r i m a l - d u a l m e t h o d f o r t o t a l v a r i a t i o n - b a s e d

i m a g e r e s t o r a t i o n , S I S C , ( 1 9 9 8 ) . T o a p p e a r .

7 D . G e m a n a n d G . R e y n o l d s C o n s t r a i n e d r e s t o r a t i o n a n d t h e r e c o v e r y o f d i s c o n t i n u i t i e s

I E E E T r a n s . o n P a t . A n . a n d M a c h . I n t e l . , 1 4 ( 1 9 9 2 ) , p p . 3 6 7 { 3 8 3 .

8 C . W . G r o e t s c h T h e t h e o r y o f T i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o n f o r F r e d h o l m i n t e g r a l e q u a t i o n s o f

t h e r s t k i n d , P i t m a n , B o s t o n , 1 9 8 4 .

9 A . H a r t e n , B . E n g q u i s t , S . O s h e r a n d S . C h a k r a v a r t h y U n i f o r m l y h i g h o r d e r a c c u r a t e

e s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o r y s c h e m e s I I I , J . C o m p u t . P h y s . , v . 7 1 N o . 2 , ( 1 9 8 7 ) , p p . 2 3 1 - 3 0 3 .

1 0 ] R . J . L e v e q u e N u m e r i c a l m e t h o d s f o r c o n s e r v a t i o n l a w s , B i r k h a u s e r V e r l a g , Z u e r i c h , ( 1 9 9 0 ) .

1 1 ] A . M a j d a , J . M c D o n o u g h a n d S . O s h e r T h e F o u r i e r m e t h o d f o r n o n s m o o t h d a t a , M a t h .

C o m p . , 2 2 , ( 1 9 7 8 ) , p p 1 0 4 1 - 1 0 8 1 .

1 2 ] A . M a r q u i n a L o c a l p i e c e w i s e h y p e r b o l i c r e c o n s t r u c t i o n s f o r n o n l i n e a r s c a l a r c o n s e r v a t i o n

l a w s , , S I A M J . S c i e n t i c C o m p . , v . 1 5 , ( 1 9 9 4 ) p p . 8 9 2 - 9 1 5 .

1 3 ] J a m e s G . N a g y a n d D i a n n e P . O ' l e a r y R e s t o r i n g i m a g e s d e g r a d e d b y s p a t i a l l y v a r i a n t b l u r

S I A M J . S c i . C o m p u t . , 1 9 , ( 1 9 9 8 ) , p p 1 0 6 3 - 1 0 8 2 .

1 6



0 10 20 30 40 50 60 70 8010

−1

100

101

102

0 10 20 30 40 50 60 70 80800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

F i g . 6 . 1 2 L e f t , s e m i l o g d i e r e n c e s o f i t e r a t e s v s . n u m b e r o f i t e r a t i o n s f o r t h e d e n o i s i n g a n d

d e b l u r r i n g p r o b l e m ; r i g h t , t o t a l v a r i a t i o n v s . n u m b e r o f i t e r a t i o n s

1 4 ] S . J . O s h e r a n d L . I . R u d i n F e a t u r e - o r i e n t e d i m a g e e n h a n c e m e n t u s i n g s h o c k l t e r s , S I A M

J . N u m e r . A n a l . , 2 7 , ( 1 9 9 0 ) , p p 9 1 9 { 9 4 0 .

1 5 ] S . J . O s h e r a n d J . A . S e t h i a n F r o n t s p r o p a g a t i n g w i t h c u r v a t u r e d e p e n d e n t s p e e d : a l g o r i t h m s

b a s e d o n a H a m i l t o n - J a c o b i f o r m u l a t i o n , J . C o m p u t . P h y s . , 7 9 , ( 1 9 8 8 ) , p p 1 2 { 4 9 .

1 6 ] P . L . R o e A p p r o x i m a t e R i e m a n n s o l v e r s , p a r a m e t e r v e c t o r s , a n d d i f f e r e n c e s c h e m e s , J . C o m -

p u t . P h y s . , v . 4 3 , ( 1 9 8 1 ) p p . 3 5 7 - 3 7 2 .

1 7 ] J . B . R o s e n T h e g r a d i e n t - p r o j e c t i o n m e t h o d f o r n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g : P a r t I I . N o n l i n e a r

c o n s t r a i n t s , J . S o c . I n d u s t . A p p l . M a t h . , v . 9 , ( 1 9 6 1 ) p p . 5 1 4 - 5 3 2 .

1 8 ] L . R u d i n a n d S . O s h e r T o t a l v a r i a t i o n b a s e d i m a g e r e s t o r a t i o n w i t h f r e e l o c a l c o n s t r a i n t s

P r o c . I E E E I n t e r n a t . C o n f . I m a g . P r o c . , ( 1 9 9 4 ) , p p . 3 1 { 3 5 .

1 9 ] L . R u d i n , S . O s h e r , a n d E . F a t e m i N o n l i n e a r t o t a l v a r i a t i o n b a s e d n o i s e r e m o v a l a l g o r i t h m s

P h y s i c a D , 6 0 ( 1 9 9 2 ) , p p . 2 5 9 { 2 6 8 .

2 0 ] J . A . S e t h i a n L e v e l s e t m e t h o d s , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , ( 1 9 9 6 ) .

2 1 ] C . W . S h u a n d S . J . O s h e r E f c i e n t i m p l e m e n t a t i o n o f e s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o r y s h o c k

c a p t u r i n g s c h e m e s I I , J . C o m p u t . P h y s . , v . 8 3 , ( 1 9 8 9 ) p p . 3 2 - 7 8 .

2 2 ] A . N . T i k h o n o v a n d V . Y . A r s e n i n S o l u t i o n s o f i l l - p o s e d p r o b l e m s , J o h n W i l e y , N e w Y o r k ,

1 9 7 7 .

2 3 ] S . T w o m e y O n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f F r e d h o l m i n t e g r a l e q u a t i o n s o f t h e r s t k i n d b y t h e

i n v e r s i o n o f t h e l i n e a r s y s t e m p r o d u c e d b y q u a d r a t u r e , J . A C M , V o l . 1 0 , ( 1 9 6 3 ) , p p . 9 7 { 1 0 7 .

2 4 ] B . V a n L e e r T o w a r d s t h e u l t i m a t e c o n s e r v a t i v e d i e r e n c e s c h e m e V . A s e c o n d o r d e r s e q u e l

t o G o d u n o v ' s m e t h o d , J . C o m p u t . P h y s . , 3 2 , ( 1 9 7 9 ) , p . 1 0 1 - 1 3 6 .

2 5 ] L . V e s e V a r i a t i o n a l p r o b l e m s a n d P D E ' s f o r i m a g e a n a l y s i s a n d c u r v e e v o l u t i o n , P h D t h e s i s ,

U n i v e r s i t y o f N i c e , 1 9 9 6 .

2 6 ] C . R . V o g e l a n d M . E . O m a n I t e r a t i v e m e t h o d s f o r t o t a l v a r i a t i o n d e n o i s i n g , S I A M

J . S c i . S t a t i s t . C o m p u t . , 1 7 ( 1 9 9 6 ) , p p . 2 2 7 { 2 3 8 .

1 7

09.17.Explicit Algorithms for a New Time Dependent Model Based on Level Set Motion for Nonlinear...

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