オープン化と制御システムセキュリティ対策Agenda 1. 制御装置や制御システムにとってのサイバー 攻撃の脅威 2. オープン化と制御システムセキュリティ対策
09 PIDFeedback control 2 講義09 PID制御 9.1 コントローラの例 9.1.1 P制御:基本形 C...
Transcript of 09 PIDFeedback control 2 講義09 PID制御 9.1 コントローラの例 9.1.1 P制御:基本形 C...
1
講義09 PID制御
ポイント
・PID制御について理解しよう.
・各種制御法の役割,違いについて学ぼう.
フィードバック制御系の極の位置と応答の関係について理解しよう.
Text: 佐藤,平元,平田:はじめての制御工学,講談社
Feedfoward control
操作量
制御量
)(sP )(sC
)(sD外乱
)(sR目標値
コントローラ 制御対象
)(sU
)(sY
操作量
制御量
)(sP )(sC
)(sD外乱
)(sR目標値
コントローラ 制御対象
)(sU
)(sY偏差
)(sE +
-
+ +
Feedback control
2
講義09 PID制御
9.1 コントローラの例 9.1.1 P制御:基本形
比例ゲイン定数):()( pKsC
比例制御
(P制御,Proportional Control)
)()()()(
(
)()()()()()(
tytrKteKtu
sYsRKsEKsEsCsU
pp
pp
時間関数)時間領域
変換)周波数領域(ラプラス
3
講義09 PID制御
9.1 コントローラの例 9.1.2 PI制御
積分ゲイン定数):(,)( ii
p
ipip K
s
KK
s
KsK
s
KKsC
比例積分制御
(PI制御, (I:Integral)
t
ip
t
ip
ip
ip
dyrKtytrKdeKteKtu
sYsRs
KKsE
s
KKsEsCsU
00)()()()()()()(
(
)()()()()()(
時間関数)時間領域
変換)周波数領域(ラプラス
4
講義09 PID制御
9.1 コントローラの例 9.1.2 PI制御
5
講義09 PID制御
9.1 コントローラの例 9.1.2 PI制御
6
講義09 PID制御
例題:台車系のP制御とPI制御(1)
7
講義09 PID制御
例題:台車系のP制御とPI制御(2)
8
講義09 PID制御
例題:台車系のP制御とPI制御(3)
KKKDM
M
KK
M
D
pppp
jpjppp
pppppppp
ppsppspsps
pp
M
KKs
M
DsKKDsMs
p
p
p
p
ンの安定条件は,であるので,比例ゲイ台車系では,
が安定条件になる.かつ
場合には,したがって,この例の
かつこのとき,
には,とおくと,安定である:共役複素数の場合
かつなので,安定であるには,:実数の場合
極
ばよい.実部がすべて負であれ(分母多項式の根)の閉ループ伝達関数の極
0,0,0
00
002)(
0,),
00)(0,0),
0)())((
,:
00)(
22
2121
2121
21212121
2121
2
21
21
22
9
講義09 PID制御
例題:台車系のP制御とPI制御(4)
比例ゲインを非常に大きくすると,偏差は小さくなる.このような制御法をハイゲイン
比例制御というが,実際には,ハードウェアの性能からハイゲンにできないことが多い.
10
講義09 PID制御
例題:台車系のP制御とPI制御(5)
11
講義09 PID制御
例題:台車系のP制御とPI制御(6)
の条件が導出できる.持ちいると,ラウスの安定判別法を
負の解)の実部がすべて安定性:極(
次多項式は伝達関数の分母多項式
ip
ip
ip
KK
KsKKDsMs
KsKKDsMs
,
0)(
3)(
23
23
D
MKKKKKK
DM
M
K
M
KK
M
D
M
K
M
KK
M
D
M
Ks
M
KKs
M
Ds
KsKKDsMs
ipip
ipip
ip
ip
,0,0
0,0
,0,0,0
0
0)(
23
23
なので,
12
(復習)7.2.4 安定判別法(1)
伝達関数の分母多項式の根を求めずに,安定かどうかを判定する.分母多項式=0を特性方程式という. 特性方程式 0)( 01
1
1
ssssD n
n
n
ラウスの安定判別法
係数から作られる定数を次式のようにおく.ここで,1は ns
の係数を意味する.ただし,存在しない係数は0とおく.
,,
,1
,1
,1
1
31512
1
21311
1
7613
1
5412
1
3211
b
bbc
b
bbc
bbb
nnnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
13
(復習) 7.2.4 安定判別法(2)
この定数を用いて,つぎのラウス表と呼ばれる表を作る.
1
0
21
4
321
3
321
2
97531
1
86421
es
dds
cccs
bbbs
s
s
n
n
n
nnnnn
n
nnnn
n
0121 ,,,, nn
11111 ,,,,,,1 edcbn
[ラウスの安定定理]
システムが安定である必要十分条件は,つぎの2つが 共に成立することである.
(1)特性多項式の全ての係数
(2)ラウス表の第1列 が全て正である.
が全て正である.
14
(復習) 7.2.4 安定判別法(3)
例題1: 0)( 01
2 sssD
0
0
1
1
0
2
0
1
s
s
s
安定条件は, 0,0 10
ただし,2次の場合には,簡単に根を計算できて, この根から,係数がすべて正のとき安定になることはすぐにわかる
15
(復習) 7.2.4 安定判別法(4)
例題2:
安定条件は,
0)( 01
2
2
3 ssssD
0
02
0
1
1
02
2
1
3
0
1
s
s
s
s
021210 ,0,0,0
D
MKKKKKK
DM
M
K
M
KK
M
D
M
K
M
KK
M
D
M
Ks
M
KKs
M
Ds
KsKKDsMs
ipip
ipip
ip
ip
,0,0
0,0
,0,0,0
0
0)(
23
23
なので,
16
講義09 PID制御
9.1 コントローラの例 9.1.3 PID制御(1)
微分ゲイン定数):(,)(
2
ddi
p
ipd
di
p KsKs
KK
s
KsKsKsK
s
KKsC
比例積分微分制御
(PID制御, (D:Derivative)
)()()()()()()(
)()()(
(
)()()()()()(
00tytr
dt
dKdyrKtytrK
dt
tdeKdeKteKtu
sYsRsKs
KKsEsK
s
KKsEsCsU
t
dip
t
dip
di
pdi
p
時間関数)時間領域
変換)周波数領域(ラプラス
17
講義09 PID制御
9.1 コントローラの例 9.1.3 PID制御(2)
18
講義09 PID制御
9.1 コントローラの例 9.1.3’ PD制御
sKKsC dp )(
19
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(1)
9.2.1 P制御(1)
制御を適用した場合に制御対象 P)(as
bsP
は内部安定になる.フィードバック制御系
が安定であるとき,
であるという.制御系は内部安定
,作量が有界になるときに対して,制御量と操有界な外部からの入力
するとまとめてベクトル表示
の入出力関係量外部からの入力と制御
の入出力関係量外部からの入力と操作
外乱目標値
の外部からの入力フィードバック系
)()(1
)(,
)()(1
)()(,
)()(1
)()(,
)()(1
)(
)stableinternally(
)(
)(
)()(1
)(
)()(1
)()(
)()(1
)()(
)()(1
)(
)(
)(
)()()(1
)()(
)()(1
)()()()()()()(
)(
)()()(1
)()()(
)()(1
)()()()()()(
)(
)(),(
sCsP
sP
sCsP
sCsP
sCsP
sPsC
sCsP
sC
sD
sR
sCsP
sP
sCsP
sCsP
sCsP
sPsC
sCsP
sC
sY
sU
sDsCsP
sPsR
sCsP
sCsPsDsGsRsGsY
sY
sDsCsP
sPsCsR
sCsP
sCsDsGsRsGsU
sU
sDsR
ydyr
udur
pKsC
as
bsP
)(
)(
コントローラ
制御対象
20
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(2)
9.2.1 P制御(2)
21
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(3)
9.2.1 P制御(3)
22
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(4)
9.2.1 P制御(4)
する.くなり,速応性が向上はマイナスの値が大き
を大きくするほど,極た,ので,安定になる.ま
となる,ドバック制御系の極は
フィードバック制御すると,す比例ゲインでフィー
の条件を満たるが,制御対象は不安定であ
,ク制御しない場合にはのとき,フィードバッ
p
pp
p
K
bKaKp
b
aK
a
0)()(
0
根軌跡(root locus)
23
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(5)
9.2.2 PI制御(1)
制御を適用した場合に制御対象 PI)(as
bsP
は内部安定になる.フィードバック制御系
が安定であるとき,
であるという.制御系は内部安定
,作量が有界になるときに対して,制御量と操有界な外部からの入力
するとまとめてベクトル表示
の入出力関係量外部からの入力と制御
の入出力関係量外部からの入力と操作
外乱目標値
の外部からの入力フィードバック系
)()(1
)(,
)()(1
)()(,
)()(1
)()(,
)()(1
)(
)stableinternally(
)(
)(
)()(1
)(
)()(1
)()(
)()(1
)()(
)()(1
)(
)(
)(
)()()(1
)()(
)()(1
)()()()()()()(
)(
)()()(1
)()()(
)()(1
)()()()()()(
)(
)(),(
sCsP
sP
sCsP
sCsP
sCsP
sPsC
sCsP
sC
sD
sR
sCsP
sP
sCsP
sCsP
sCsP
sPsC
sCsP
sC
sY
sU
sDsCsP
sPsR
sCsP
sCsPsDsGsRsGsY
sY
sDsCsP
sPsCsR
sCsP
sCsDsGsRsGsU
sU
sDsR
ydyr
udur
s
KsK
s
KKsC
as
bsP
ip
ip
)(
)(
コントローラ
制御対象
24
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(6)
9.2.2 PI制御(2)
25
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(7)
9.2.2 PI制御(3)
00
2
4)()(),(
0)(
2
2
ip
ipp
ip
ip
bKbKa
bKbKabKaKKp
bKsbKas
かつ安定条件:
極
特性方程式
26
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(8)
9.2.2 PI制御(4)
オフセットなし
27
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(9)
9.2.3 PID制御(1)
28
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(10)
9.2.3 PID制御(2)
01
01
)1(2
)1(4)()(),,(
0)()1(
2
2
d
i
d
p
d
idpp
dip
ipd
bK
bK
bK
bKa
bK
bKbKbKabKaKKKp
bKsbKasbK
かつ安定条件
極
特性方程式
29
講義09 PID制御
9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(10)
9.2.3 PID制御(2)
30
講義09 PID制御
演習問題
31
講義10 フィードバック制御系の定常特性
ポイント
・制御系設計において満たすべき望ましい定常特性を理解しよう.
・定常偏差の計算法を理解しよう.
Text: 佐藤,平元,平田:はじめての制御工学,講談社
操作量
制御量
)(sP )(sC
)(sD外乱
)(sR目標値
コントローラ 制御対象
)(sU
)(sY偏差
)(sE +
-
Feedback control
32
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.1 定常偏差(オフセット,offset)(1)
33
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.1 定常偏差(オフセット,offset)(2)
)()()(1
)(lim)(
)()(1
1lim)(lim
)()()(1
)()(
)()(1
1lim)(lim)(lim
)()()(1
)()(
)()(1
1)(
)()()()())()(1(
))()()()(()()(
))()()(()()(
))()()(()(
)()()(
)()()(
00
00
sDsCsP
sPssR
sCsPste
sDsCsP
sPsR
sCsPsssEte
sDsCsP
sPsR
sCsPsE
sDsPsRsEsCsP
sDsEsCsPsRsE
sDsUsPsRsE
sDsUsPsY
sEsCsU
sYsRsE
sst
sst
の定理が適用可能が安定なとき,最終値フィードバック制御系
34
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.1 定常偏差(オフセット,offset)(3)
35
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.2 目標値に対する定常偏差(1)
36
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.2 目標値に対する定常偏差(2)
37
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.2 目標値に対する定常偏差(3)
I制御は,ステップ状目標値に対する定常偏差をなくす!
38
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.3 外乱に対する定常偏差(1)
39
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.3 外乱に対する定常偏差(2)
40
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.3 外乱に対する定常偏差(3)
41
講義10 フィードバック制御系の定常特性
10.3 外乱に対する定常偏差(4)
I制御は,ステップ状の外乱の影響をなくす!
42
講義10 演習問題
43
講義10 演習問題解答(1,2)
)(223
)1()(
223
)3()(
2
3
11
3
1
)(2
3
11
1
)()()(1
)()(
)()(1
1)(
)()(),()2(
13
101
136
105lim)(lim)(lim
23)(
1
136
1051
105
31
1)(
)()(1
1)()()(
0)(
)()()()1(
2323
2
2
2
2
2
2
00
2
2
2
sDsss
sssR
sss
sssD
sss
sss
s
sR
sss
s
sDsCsP
sPsR
sCsPsE
sEsDsR
sss
sssssEte
jsG
sss
ss
s
ss
ssR
sCsPsRsGsE
sD
sGsEsR
sst
er
er
er
なる.の入出力関係は次式とと
,安定の極:
ようになる.なので,偏差は次式の外乱
とすると,までの伝達関数から偏差目標値
44
講義10 演習問題解答(2’)
2
11
223
)1(lim)(lim)(lim
1)(,0)(
))((0
01
223
)3(lim)(lim)(lim
1
223
)3()(
0)(,1
)(
0))((
)2(
22300
2
223
2
00
223
2
2
ssss
sssssEte
ssDsR
ttd
ssss
sssssEte
ssss
sssE
sDs
sR
ttr
sst
sst
の場合:号,外乱が単位ランプ信目標値が
の場合:,外乱が号目標値が単位ランプ信
の続き
45
講義10 演習問題解答(3)
s
r
Ks
ssE
sDs
rsR
rtr
KK
KKs
sDKs
sRKs
ssD
Ks
ssR
Ks
sDsCsP
sPsR
sCsPsE
sEsDsR
KsCs
sP
p
pp
pp
pppp
p
0
0
0
)2(
2)(
0)()(
)(
20)2(
)2(0)2(
)()2(
1)(
)2(
2)(
2
11
2
1
)(
2
11
1
)()()(1
)()(
)()(1
1)(
)()(),(
)(,2
1)()3(
のときの偏差,外乱目標値のラプラス変換
ステップ状の目標値
,つまり,安定条件
の根,の極:フィードバック制御系
なる.の入出力関係は次式とと
46
講義10 演習問題解答(3’)
ppp
p
p
p
ppsst
KKKrK
r
K
rK
r
K
r
s
r
Ks
ssssEte
42,240,205.0
2,05.0
2
2
02
05.02
2
%5
2
2
)2(
2lim)(lim)(lim
0
0
00
00
00
なので,
以内であるためには,対する偏差がステップ状の目標値に
最終値の定理より,
47
講義10 演習問題解答(4)
00)2(
0)2(
)()2(
)()2(
)2(
)(
2
11
2
1
)(
2
11
1
)()()(1
)()(
)()(1
1)(
)()(),(
)PI()(,2
1)()3(
2
22
ip
ip
ipip
ipip
ip
KK
KsKs
sDKsKs
ssR
KsKs
ss
sD
s
KsK
s
ssR
s
KsK
s
sDsCsP
sPsR
sCsPsE
sEsDsR
s
KsKsC
ssP
かつ安定条件
の根の極:フィードバック制御系
なる.の入出力関係は次式とと
コントローラ
48
講義10 演習問題解答(4’)
000
)2(lim
)2(
)2(lim)(lim)(lim
)2()2(
)2()(
)()(
)()(
)()2(
)()2(
)2()(
0
20
0
200
0
2
0
2
00
00
22
s
d
KsKs
ss
s
r
KsKs
sssssEte
s
d
KsKs
s
s
r
KsKs
sssE
s
dsD
s
rsR
dtdrtr
sDKsKs
ssR
KsKs
sssE
ips
ipsst
ipip
ipip
のときの偏差,外乱目標値のラプラス変換
,ステップ状の外乱ステップ状の目標値