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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 3: INTERPOLACIÓN Y
APROXIMACIÓN POLINÓMICA.
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
NEWTON.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 70
3.7.- POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON.
Diferencias divididas.
Los métodos para determinar la representación explícita de un polinomio
interpolante a partir de datos tabulados se conocen como métodos de diferencia dividida.
Los métodos pueden usarse también para derivar técnicas para aproximar las derivadas y
las integrales de funciones, así como para aproximar las soluciones de ecuaciones
diferenciales.
Supongamos que nP es el polinomio de Lagrange de grado a lo más n que coincide
con la función f en los números distintos 0x , 1x ,…, nx . Las diferencias divididas de f con
respecto a 0x , 1x ,…, nx se pueden derivar demostrando que nP tiene la representación
))...(()()()()()( 110102010 nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP (3.20)
con constantes apropiadas 0a , 1a ,…, na .
Para determinar la primera de estas constantes, 0a , note que si )(xPn puede
escribirse en la forma de la ecuación (3.20), entonces evaluando nP en 0x deja solamente el
término constante 0a ; esto es, )()( 000 xfxPa n .
Similarmente, cuando nP se evalúa en 1x , los únicos términos distintos de cero en la
evaluación de )( 1xPn son la constante y el término lineal,
)()( 01101 xxaaxPn
)()()( 01101 xxaxfxf
así que
01
01
1
)()(
xx
xfxfa
(3.21)
Aquí introducimos lo que se conoce como notación de diferencia dividida. La
diferencia dividida cero de la función f, con respecto a ix , se denota por ][ ixf y es
simplemente la evaluación de f en ix .
)(][ ii xfxf
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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Las diferencias divididas restantes se definen inductivamente; la primera diferencia
dividida de f con respecto a ix y 1ix , se denota por ],[ 1ii xxf y está definida como
ii
ii
iixx
xfxfxxf
1
1
1
][][],[ (3.22)
Cuando las )1( k diferencias divididas
],...,,,[ 121 kiiii xxxxf y ],,...,,[ 121 kikiii xxxxf
han sido determinadas, la k-ésima diferencia dividida de f relativa a ix , 1ix , 2ix ,…, kix
está dada por
iki
kiiiikikiii
kikiiixx
xxxxfxxxxfxxxxf
],...,,,[],,...,,[],,...,,[ 121121
11 (3.23)
Con esta notación, la ecuación (3.21) puede ser rexpresada como ],[ 101 xxfa y el
polinomio interpolante en la ecuación (3.20) es
))...(()()()()](,[][)( 1101020100 nnn xxxxxxaxxxxaxxxxfxfxP
Las otras constantes 2a , 3a , …, na , en nP se pueden obtener consecutivamente de
una manera similar a la evaluación de 0a y 1a , pero las manipulaciones algebraicas se
vuelven tediosas.
Como puede esperarse de la evaluación de 0a y 1a , las constantes requeridas son:
],...,,,[ 210 kk xxxxfa para cada k = 0, 1, …, n; así, nP puede reescribirse como:
))...(()(],...,,[
)()(],,[)(],[][)(
11010
102100100
nn
n
xxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxP (3.24)
o como
n
k
kkn xxxxxxxfxfxP1
10100 )...()(],...,,[][)( (3.25)
La ecuación (3.24) se conoce como la fórmula de diferencia dividida interpolante de
Newton.
Debe observarse que no se requiere que los datos utilizados en la ecuación (3.25)
estén igualmente espaciados o que los valores de la abcisa estén en orden ascendente.
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También advierta como las ecuaciones (3.22) y (3.23) son recursivas (es decir, las
diferencias de orden superior se calculan tomando diferencias de orden inferior).
La determinación de las diferencias divididas para puntos de datos tabulados se
bosqueja en la tabla siguiente. Se podrían encontrar dos cuartas diferencias y una quinta a
partir de estos datos.
x )(xf Primeras diferencias
divididas
Segundas diferencias
divididas Terceras diferencias divididas
0x ][ 0xf
01
01
10
][][],[
xx
xfxfxxf
1x ][ 1xf 02
1021
210
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
12
1221
][][],[
xx
xfxfxxf
03
210321
3210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxfxxxxf
2x ][ 2xf 13
2132
321
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
23
23
32
][][],[
xx
xfxfxxf
14
3214324321
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxfxxxxf
3x ][ 3xf 24
3243
432
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
34
34
43
][][],[
xx
xfxfxxf
15
4325435432
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxfxxxxf
4x ][ 4xf 35
4354
543
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
45
45
54
][][],[
xx
xfxfxxf
5x ][ 5xf
Errores de la interpolación polinomial de Newton.
Puede demostrarse que
!)1(
))((],,...,,[
)1(
10
n
xfxxxxf
n
n
de tal manera que, de acuerdo con el Teorema 3.2, tendremos
)()()(],,...,,[)()( 1010 nn xxxxxxxxxxfxPxf (3.26)
donde P es el polinomio interpolante dado en la ecuación (3.9).
El teorema anterior permite determinar el error absoluto de aproximación como
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)()( xPxfa
)()()(],,...,,[ 1010 nna xxxxxxxxxxf (3.27)
Ejemplo 3.13.
Con los datos del ejemplo ilustrativo 3.4, calcule )5.0(f usando polinomios de
interpolación de Newton de grados 1 a 3. Elija la secuencia de puntos para su estimación
con la finalidad de obtener la mejor exactitud posible.
Solución.
ix –0.5 –0.1 0.6 1.0
)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000
Se determina la tabla de diferencias divididas.
Las primeras diferencias divididas se determinan como sigue:
01
01
10
][][],[
xx
xfxfxxf
12
1221
][][],[
xx
xfxfxxf
23
23
32
][][],[
xx
xfxfxxf
)5.0(1.0
250.4314.2],[ 10
xxf
)1.0(6.0
314.2304.0],[ 21
xxf
6.00.1
)304.0(000.4],[ 32
xxf
8400000.4],[ 10 xxf 740000.3],[ 21 xxf 2400000.9],[ 32 xxf
ix )( ixf Primeras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314
–3.7400000
0.6 –0.304
–9.2400000
1.0 –4.000
Las segundas diferencias divididas se determinan como sigue:
02
1021
210
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
13
2132
321
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
)5.0(6.0
)84.4(74.3],,[ 210
xxxf
)1.0(0.1
)74.3(24.9],,[ 321
xxxf
0000000.1],,[ 210 xxxf 0000000.5],,[ 321 xxxf
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ix )( ixf Primeras Segundas
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
Finalmente, las terceras diferencias divididas se determinan mediante:
03
210321
3210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxfxxxxf
)5.0(0.1
15],,,[ 3210
xxxxf
0000000.4],,,[ 3210 xxxxf
ix )( ixf Primeras Segundas Terceras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000 –4.0000000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
Una forma sencilla y directa de construir la tabla de diferencias divididas sin recurrir a
ecuaciones es la siguiente:
Primeras diferencias divididas:
ix )( ixf Primeras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314
0.6 –0.304
1.0 –4.000
El valor 8400000.4 resulta de la operación:
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8400000.4)5.0(1.0
250.4314.2
Obsérvese que en el numerador se encuentra la diferencia entre los dos valores adyacentes
inmediatos, mientras que en el denominador se encuentra la diferencia de los valores de x
en el extremo (columna de las ix ) diagonal inferior y superior hacia la izquierda de la
posición de la diferencia dividida a calcular.
De esta manera:
ix )( ixf Primeras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314
–3.7400000
0.6 –0.304
1.0 –4.000
7400000.3)1.0(6.0
314.2304.0
y
ix )( ixf Primeras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314
–3.7400000
0.6 –0.304
–9.2400000
1.0 –4.000
2400000.96.00.1
)304.0(000.4
Queda completada la tercera columna de la tabla de diferencias divididas. Para calcular las
segundas diferencias divididas, de acuerdo con la regla que hemos planteado, se procede de
la siguiente manera:
ix )( ixf Primeras Segundas
–0.5 4.250
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–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
0000000.1)5.0(6.0
)84.4(74.3
ix )( ixf Primeras Segundas
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
0000000.5)1.0(0.1
)74.3(24.9
Finalmente, las terceras diferencias divididas se determinan de la siguiente manera:
ix )( ixf Primeras Segundas Terceras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000 –4.0000000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
0000000.4)5.0(0.1
15
Polinomio de primer grado.
Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los dos puntos a seleccionar y sus
diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
ix )( ixf Primeras Segundas Terceras
–0.5 4.250
–4.8400000
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–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000 –4.0000000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
De acuerdo con la ecuación (3.19), obtenemos el polinomio interpolante de primer grado:
)1.0(7400000.3314.2)(1 xxP
Utilizando el polinomio interpolante de grado 1 )1.0(7400000.3314.2)(1 xxP , se
sustituye 5.0x , para obtener:
)1.05.0(7400000.3314.2)5.0(1 P
244.2314.2)5.0(1 P
0700000.0)5.0(1 P
Este valor coincide con el determinado en el ejemplo 3.10 utilizando un polinomio de
interpolación de Lagrange de primer grado.
En el cálculo anterior se ha utilizado la fórmula de diferencia dividida progresiva de
Newton. Otra forma, llamada fórmula de diferencia dividida regresiva de Newton se
muestra a continuación.
)6.0(7400000.3304.0)(1 xxP
Polinomio de primer grado, en el cual al evaluar )5.0(1P obtenemos:
)6.05.0(7400000.3304.0)5.0(1 P
374.0304.0)5.0(1 P
0700000.0)5.0(1 P
Con lo cual podemos afirmar que al aplicar la fórmula de diferencia dividida progresiva de
Newton o la fórmula de diferencia dividida regresiva de Newton obtenemos el mismo
resultado para la interpolación. De hecho, puede demostrarse que el polinomio de
interpolación de Newton en ambos casos es el mismo. Y finalmente, puede demostrarse que
cualquiera de los polinomios interpolantes de primer grado obtenidos por las fórmulas de
diferencia dividida de Newton es igual al polinomio interpolante de primer orden obtenido
por la fórmula de Lagrange. La única diferencia es la forma como están escritos. En este
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sentido, si comparamos los resultados del ejemplo 3.10 y del ejemplo 3.13 para el
polinomio interpolante de primer grado, tendremos
Lagrange: )1.0(4342857.0)6.0(3057143.3)(1 xxxf
Newton (Diferencia dividida progresiva): )1.0(7400000.3314.2)(1 xxP
Newton (Diferencia dividida regresiva): )6.0(7400000.3304.0)(1 xxP
Los tres polinomios pueden reducirse a la forma: xxP 74.394.1)(1
Polinomio de segundo grado.
Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los tres puntos a seleccionar y sus
diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
ix )( ixf Primeras Segundas Terceras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000 –4.0000000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
ó
ix )( ixf Primeras Segundas Terceras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000 –4.0000000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
puesto que ambas selecciones comprenden el valor 5.0x . No obstante, elegiremos la
segunda porque el valor 5.0x queda ubicado en torno al centro de los datos, en lugar del
extremo derecho de la primera opción.
De acuerdo con la ecuación (3.19), obtenemos el polinomio interpolante de segundo grado:
)6.0()1.0(0000000.5)1.0(7400000.3314.2)(2 xxxxP
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Utilizando el polinomio interpolante de grado 2
)6.0()1.0(0000000.5)1.0(7400000.3314.2)(2 xxxxP , se sustituye 5.0x ,
para obtener:
)6.05.0()1.05.0(0000000.5)1.05.0(7400000.3314.2)5.0(2 P
3000000.02440000.2314.2)5.0(2 P
3700000.0)5.0(2 P
Utilizando la fórmula de diferencia dividida regresiva de Newton:
)6.0()1(0000000.5)0.1(2400000.9000.4)(2 xxxxP
Polinomio de segundo grado, en el cual al evaluar )5.0(2P obtenemos:
)6.05.0()15.0(0000000.5)0.15.0(2400000.9000.4)5.0(2 P
2500000.06200000.4000.4)5.0(2 P
3700000.0)5.0(2 P
Puede demostrarse que los polinomios
)6.0()1.0(0000000.5)1.0(7400000.3314.2)(2 xxxxP y
)6.0()1(0000000.5)0.1(2400000.9000.4)(2 xxxxP son iguales e iguales al
polinomio de interpolación de Lagrange
)6.0()1.0(0909091.9)0.1()1.0(0857143.1)0.1()6.0(0051948.3)(2 xxxxxxxf
Polinomio de tercer grado.
Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los cuatro puntos a seleccionar y
sus diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
ix )( ixf Primeras Segundas Terceras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000 –4.0000000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
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Diferencia dividida progresiva de Newton:
)6.0()1.0()5.0(0000000.4)1.0()5.0(0000000.1)5.0(8400000.4250.4)(3 xxxxxxxP
Diferencia dividida regresiva de Newton:
)1.0()6.0()0.1(0000000.4)6.0()0.1(0000000.5)0.1(2400000.9000.4)(3 xxxxxxxP
Sustituimos 5.0x en el polinomio interpolante de grado 3, para obtener:
)6.05.0()1.05.0()5.05.0(0000000.4
)1.05.0()5.05.0(0000000.1)5.05.0(8400000.4250.4)5.0(3
P
2400000.06000000.08400000.4250.4)5.0(3 P
2500000.0)5.0(3 P
Dos formas adicionales de diferencia dividida de Newton es la fórmula de diferencia
dividida zigzag hacia adelante (progresiva) y zigzag hacia atrás (regresiva). Los polinomios
de interpolación que se obtienen mediante la aplicación de estas fórmulas son iguales a los
obtenidos mediante diferencia dividida progresiva de Newton y diferencia dividida
regresiva de Newton siempre y cuando se trabaje en torno al punto central (número impar
de datos) o en torno a los dos puntos centrales (número par de datos). Estas fórmulas
pueden ilustrarse de la siguiente manera:
Zigzag hacia adelante:
Utiliza los siguientes puntos y sus diferencias divididas correspondientes:
ix )( ixf Primeras Segundas Terceras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000 –4.0000000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
)5.0()6.0()1.0(0000000.4
)6.0()1.0(0000000.1)1.0(7400000.3314.2)(3
xxx
xxxxP
Al evaluar en 5.0x :
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)5.05.0()6.05.0()1.05.0(0000000.4
)6.05.0()1.05.0(0000000.1)1.05.0(7400000.3314.2)5.0(3
P
2400000.00600000.0244000.2314.2)5.0(3 P
25.0)5.0(3 P
Zigzag hacia atrás:
Utiliza los siguientes puntos y sus diferencias divididas correspondientes:
ix )( ixf Primeras Segundas Terceras
–0.5 4.250
–4.8400000
–0.1 2.314 1.0000000
–3.7400000 –4.0000000
0.6 –0.304 –5.0000000
–9.2400000
1.0 –4.000
)0.1()1.0()6.0(0000000.4
)1.0()6.0(0000000.5)6.0(7400000.3304.0)(3
xxx
xxxxP
Al evaluar en 5.0x :
)0.15.0()1.05.0()6.05.0(0000000.4
)1.05.0()6.05.0(0000000.5)6.05.0(7400000.3304.0)5.0(3
P
1200000.03000000.03740000.0304.0)5.0(3 P
25.0)5.0(3 P
Los cuatro polinomios interpolantes de Newton de tercer grado obtenidos en este ejemplo
son iguales.
Ejemplo 3.14.
La tabla siguiente muestra los valores de una función (la función de Bessel de primera clase
de orden cero) en varios puntos. Se compararán las aproximaciones de )5.1(f obtenidas a
partir de varios polinomios de Newton.
x )(xf
1.0 0.7651977
1.3 0.6200860
1.6 0.4554022
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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1.9 0.2818186
2.2 0.1103623
Solución.
Se determina la tabla de diferencias divididas.
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
–0.4837057
1.3 0.6200860 –0.1087339
–0.5489460 0.0658784
1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251
–0.5786120 0.0680685
1.9 0.2818186 0.0118183
–0.5715210
2.2 0.1103623
Polinomio de primer grado.
Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.1x , los dos puntos a seleccionar y sus
diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
–0.4837057
1.3 0.6200860 –0.1087339
–0.5489460 0.0658784
1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251
–0.5786120 0.0680685
1.9 0.2818186 0.0118183
–0.5715210
2.2 0.1103623
De acuerdo con la ecuación (3.19), obtenemos el polinomio interpolante de primer grado:
)3.1(5489460.06200860.0)(1 xxP Diferencia dividida progresiva.
)6.1(5489460.04554022.0)(1 xxP Diferencia dividida regresiva.
Utilizando el polinomio interpolante de grado 1 )3.1(5489460.0620086.0)(1 xxP , se
sustituye 5.1x , para obtener:
)3.15.1(5489460.06200860.0)5.1(1 P
1097892.06200860.0)5.1(1 P
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 83
5102968.0)5.1(1 P
Polinomio de segundo grado.
Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.1x , los tres puntos a seleccionar y sus
diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
–0.4837057
1.3 0.6200860 –0.1087339
–0.5489460 0.0658784
1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251
–0.5786120 0.0680685
1.9 0.2818186 0.0118183
–0.5715210
2.2 0.1103623
De acuerdo con la ecuación (3.19), obtenemos el polinomio interpolante de segundo grado:
)6.1()3.1(0494433.0)3.1(5489460.06200860.0)(2 xxxxP Progresivas.
Utilizando el polinomio interpolante de grado 2
)6.1()3.1(0494433.0)3.1(5489460.06200860.0)(2 xxxxP , se sustituye 5.1x
, para obtener:
)6.15.1()3.15.1(0494433.0)3.15.1(5489460.06200860.0)5.1(2 P
0009889.01097892.06200860.0)5.1(2 P
5112857.0)5.1(2 P
Otras tres formas del polinomio de interpolación de Newton de grado 2 que pueden
utilizarse son:
Diferencia dividida regresiva de Newton:
)6.1()9.1(0494433.0)9.1(5786120.02818186.0)(2 xxxxP
Zig-Zag hacia adelante:
)9.1()6.1(0494433.0)6.1(5786120.04554022.0)(2 xxxxP
Zig-Zag hacia atrás:
)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(2 xxxxP
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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Polinomio de tercer grado.
Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los cuatro puntos a seleccionar y
sus diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
–0.4837057
1.3 0.6200860 –0.1087339
–0.5489460 0.0658784
1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251
–0.5786120 0.0680685
1.9 0.2818186 0.0118183
–0.5715210
2.2 0.1103623
Diferencia dividida progresiva de Newton:
)6.1()3.1()1(0658784.0
)3.1()1(1087339.0)1(4837057.07651977.0)(3
xxx
xxxxP
Sustituimos 5.1x en el polinomio interpolante de grado 3, para obtener:
)6.15.1()3.15.1()15.1(0658784.0
)3.15.1()15.1(1087339.0)15.1(4837057.07651977.0)5.1(3
P
0006588.00108734.02418529.07651977.0)5.1(3 P
5118126.0)5.1(3 P
Otras tres formas del polinomio de interpolación de Newton de grado 3 que pueden
utilizarse son:
Diferencia dividida regresiva de Newton:
)3.1()6.1()9.1(0658784.0
)6.1()9.1(0494433.0)9.1(5786120.02818186.0)(3
xxx
xxxxP
Zig-Zag hacia adelante:
)1()6.1()3.1(0658784.0
)6.1()3.1(1087339.0)3.1(5489460.06200860.0)(3
xxx
xxxxP
Zig-Zag hacia atrás:
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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)9.1()3.1()6.1(0658784.0
)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(3
xxx
xxxxP
Polinomio de cuarto grado.
Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los cinco puntos a seleccionar y
sus diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
–0.4837057
1.3 0.6200860 –0.1087339
–0.5489460 0.0658784
1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251
–0.5786120 0.0680685
1.9 0.2818186 0.0118183
–0.5715210
2.2 0.1103623
Diferencia dividida progresiva de Newton:
)9.1()6.1()3.1()1(0018251.0)6.1()3.1()1(0658784.0
)3.1()1(1087339.0)1(4837057.07651977.0)(4
xxxxxxx
xxxxP
Sustituimos 5.1x en el polinomio interpolante de grado 4, para obtener:
)9.15.1()6.15.1()3.15.1()15.1(0018251.0)6.15.1()3.15.1()15.1(0658784.0
)3.15.1()15.1(1087339.0)15.1(4837057.07651977.0)5.1(4
P
0000073.00006588.00108734.02418529.07651977.0)5.1(4 P
5118199.0)5.1(4 P
Otras tres formas del polinomio de interpolación de Newton de grado 4 que pueden
utilizarse son:
Diferencia dividida regresiva de Newton:
)3.1()6.1()9.1()2.2(0018251.0)6.1()9.1()2.2(0680685.0
)9.1()2.2(0118183.0)2.2(5715210.01103623.0)(4
xxxxxxx
xxxxP
Zig-Zag hacia adelante:
)2.2()3.1()9.1()6.1(0018251.0)3.1()9.1()6.1(0680685.0
)9.1()6.1(0494433.0)6.1(5786120.04554022.0)(4
xxxxxxx
xxxxP
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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Zig-Zag hacia atrás:
)1()9.1()3.1()6.1(0018251.0)9.1()3.1()6.1(0658784.0
)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(4
xxxxxxx
xxxxP
Fórmula de las diferencias progresivas de Newton.
La fórmula de diferencias divididas interpolantes de Newton pueden expresarse en forma
simplificada cuando se arreglan consecutivamente 0x , 1x , …, nx con espacios iguales. Al
introducir la notación ii xxh 1 para cada 1...,,1,0 ni y sea hsxx 0 , podemos
escribir la diferencia ixx como hisxx i )( . Por lo tanto, la ecuación (3.25) se
transforma en
n
k
k
k
nn xxxfhkk
sxfhsxPxP
1
1000 ],...,,[!][)()( (3.28)
A esta se le llama fórmula de las diferencias divididas progresivas de Newton. Otra
forma, denominada fórmula de las diferencias progresivas de Newton, se construye
utilizando la notación de las diferencias progresivas que definiremos a continuación.
Definición 3.1. Dada la sucesión
0}{ nnf la diferencia progresiva nf está definida por
nnn fff 1 para 0n .
Las potencias mayores )( 1
n
k
n
k ff , para 2k .
La definición anterior significa que
)()()()( 11211
2
nnnnnnnnnn ffffffffff
Por tanto,
nnnn ffff 12
2 2
Y de manera sucesiva:
)()(2)(2)2()( 112231212
23
nnnnnnnnnnnnnn ffffffffffffff
Por tanto,
nnnnn fffff 123
3 33
Y, en general,
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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k
i
ikn
i
n
k fi
kf
0
)1(
Con esta notación,
)(1)()(
],[ 0
01
01
10 xfhxx
xfxfxxf
)(1)()(
],[ 1
12
1221 xf
hxx
xfxfxxf
)(2
1)(
1)(
1
2
1],[],[],,[ 0
2
201
02
1021
210 xfh
xfh
xfhhxx
xxfxxfxxxf
y, en general,
)(!
1],...,,[ 010 xf
hkxxxf k
kk
Entonces, la ecuación (3.28) tiene la siguiente fórmula.
n
k
k
n xfk
sxfxP
1
00 )(][)( (3.29)
donde h
xxs 0 y
k
s es la notación del coeficiente binomial:
!
)1()...2()1(
!)(!
!)()1()...2()1(
!)(!
!
k
kssss
ksk
kskssss
ksk
s
k
s
Los polinomios interpolantes de Newton desde grado uno a cuarto grado son:
)(][)( 001 xfsxfxP
)(!2
)1()(][)( 0
2
002 xfss
xfsxfxP
)(!3
)2()1()(
!2
)1()(][)( 0
3
0
2
003 xfsss
xfss
xfsxfxP
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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)(!4
)3()2()1()(
!3
)2()1()(
!2
)1()(][)( 0
4
0
3
0
2
004 xfssss
xfsss
xfss
xfsxfxP
La determinación de las diferencias para puntos de datos tabulados se bosqueja en la
tabla siguiente. Se podrían encontrar dos cuartas diferencias y una quinta a partir de estos
datos.
x )(xf Primeras diferencias Segundas diferencias Terceras diferencias
0x )( 0xf
)()()( 010 xfxfxf
1x )( 1xf )()()( 010
2 xfxfxf
)()()( 121 xfxfxf )()()( 0
2
1
2
0
3 xfxfxf
2x )( 2xf )()()( 121
2 xfxfxf
)()()( 232 xfxfxf )()()( 1
2
2
2
1
3 xfxfxf
3x )( 3xf )()()( 232
2 xfxfxf
)()()( 343 xfxfxf )()()( 2
2
3
2
2
3 xfxfxf
4x )( 4xf )()()( 343
2 xfxfxf
)()()( 454 xfxfxf
5x )( 5xf
Ejemplo 3.15.
La tabla siguiente muestra los valores de una función (la función de Bessel de primera clase
de orden cero) en varios puntos. Se compararán las aproximaciones de )5.1(f obtenidas a
partir de varios polinomios de Newton.
x )(xf
1.0 0.7651977
1.3 0.6200860
1.6 0.4554022
1.9 0.2818186
2.2 0.1103623
Solución.
Se determina la tabla de diferencias.
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
-0.1451117
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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1.3 0.6200860 -0.0195721
-0.1646838 0.0106723
1.6 0.4554022 -0.0088998 0.0003548
-0.1735836 0.0110271
1.9 0.2818186 0.0021273
-0.1714563
2.2 0.1103623
Polinomio de primer grado.
Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.1x , los dos puntos a seleccionar y sus
diferencias correspondientes son los siguientes:
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
-0.1451117
1.3 0.6200860 -0.0195721
-0.1646838 0.0106723
1.6 0.4554022 -0.0088998 0.0003548
-0.1735836 0.0110271
1.9 0.2818186 0.0021273
-0.1714563
2.2 0.1103623
De acuerdo con la ecuación (3.29), obtenemos el polinomio interpolante de primer grado (
1n ):
)(][)( 001 xfsxfxP Diferencia progresiva.
3.0h
5.1x
3
2
3.0
3.15.1
s
)1646838.0(6200860.0)5.1(32
1 P
5102968.0)5.1(1 P
Este valor coincide con el determinado en el ejemplo 3.13 utilizando un polinomio de
interpolación de Newton de primer grado y diferencias divididas hacia adelante.
Polinomio de segundo grado.
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.1x , los tres puntos a seleccionar y sus
diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
-0.1451117
1.3 0.6200860 -0.0195721
-0.1646838 0.0106723
1.6 0.4554022 -0.0088998 0.0003548
-0.1735836 0.0110271
1.9 0.2818186 0.0021273
-0.1714563
2.2 0.1103623
De acuerdo con la ecuación (3.19), obtenemos el polinomio interpolante de segundo grado:
)6.1()3.1(0494433.0)3.1(5489460.06200860.0)(2 xxxxP Progresivas.
Utilizando el polinomio interpolante de grado 2
)6.1()3.1(0494433.0)3.1(5489460.06200860.0)(2 xxxxP , se sustituye 5.1x
, para obtener:
)6.15.1()3.15.1(0494433.0)3.15.1(5489460.06200860.0)5.1(2 P
0009889.01097892.06200860.0)5.1(2 P
5112857.0)5.1(2 P
Otras tres formas del polinomio de interpolación de Newton de grado 2 que pueden
utilizarse son:
Diferencia dividida regresiva de Newton:
)6.1()9.1(0494433.0)9.1(5786120.02818186.0)(2 xxxxP
Zig-Zag hacia adelante:
)9.1()6.1(0494433.0)6.1(5786120.04554022.0)(2 xxxxP
Zig-Zag hacia atrás:
)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(2 xxxxP
Polinomio de tercer grado.
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los cuatro puntos a seleccionar y
sus diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
–0.4837057
1.3 0.6200860 –0.1087339
–0.5489460 0.0658784
1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251
–0.5786120 0.0680685
1.9 0.2818186 0.0118183
–0.5715210
2.2 0.1103623
Diferencia dividida progresiva de Newton:
)6.1()3.1()1(0658784.0
)3.1()1(1087339.0)1(4837057.07651977.0)(3
xxx
xxxxP
Sustituimos 5.1x en el polinomio interpolante de grado 3, para obtener:
)6.15.1()3.15.1()15.1(0658784.0
)3.15.1()15.1(1087339.0)15.1(4837057.07651977.0)5.1(3
P
0006588.00108734.02418529.07651977.0)5.1(3 P
5118126.0)5.1(3 P
Otras tres formas del polinomio de interpolación de Newton de grado 3 que pueden
utilizarse son:
Diferencia dividida regresiva de Newton:
)3.1()6.1()9.1(0658784.0
)6.1()9.1(0494433.0)9.1(5786120.02818186.0)(3
xxx
xxxxP
Zig-Zag hacia adelante:
)1()6.1()3.1(0658784.0
)6.1()3.1(1087339.0)3.1(5489460.06200860.0)(3
xxx
xxxxP
Zig-Zag hacia atrás:
)9.1()3.1()6.1(0658784.0
)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(3
xxx
xxxxP
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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Polinomio de cuarto grado.
Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los cinco puntos a seleccionar y
sus diferencias divididas correspondientes son los siguientes:
x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas
1 0.7651977
–0.4837057
1.3 0.6200860 –0.1087339
–0.5489460 0.0658784
1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251
–0.5786120 0.0680685
1.9 0.2818186 0.0118183
–0.5715210
2.2 0.1103623
Diferencia dividida progresiva de Newton:
)9.1()6.1()3.1()1(0018251.0)6.1()3.1()1(0658784.0
)3.1()1(1087339.0)1(4837057.07651977.0)(4
xxxxxxx
xxxxP
Sustituimos 5.1x en el polinomio interpolante de grado 4, para obtener:
)9.15.1()6.15.1()3.15.1()15.1(0018251.0)6.15.1()3.15.1()15.1(0658784.0
)3.15.1()15.1(1087339.0)15.1(4837057.07651977.0)5.1(4
P
0000073.00006588.00108734.02418529.07651977.0)5.1(4 P
5118199.0)5.1(4 P
Ejercicios propuestos.
41. [CC] Repita los problemas 15, 18 y 20 utilizando polinomios de Newton.
42. [CC] Repita el problema 23 usando el polinomio de Newton de grado 1 a 4.
43. [BF] Construir el polinomio interpolante de grado cuatro de Newton para los puntos
espaciados desigualmente dado en la siguiente tabla:
x )(xf
0.0 –7.00000
0.1 –5.89483
0.3 –5.65014
0.6 –5.17788
1.0 –4.28172
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
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44. [BF] Suponga que se añade el dato 99583.3)1.1( f al ejercicio 37. Construya el
polinomio interpolante de grado cinco.
45. [BF] Aproxime )05.0(f usando los datos siguientes y la fórmula de diferencia dividida
progresiva de Newton.
x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
)(xf 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554
46. [BF] Usando los datos del ejercicio 39 y la fórmula de diferencia dividida regresiva de
Newton, aproxime )65.0(f .
47. [BF] Dada la tabla de población
Año 1930 1940 1950 1960 1970 1980
Población (en miles) 123203 131669 150697 179323 203212 226505
Use el método de diferencia dividida apropiado para aproximar:
a) La población en el año 1965.
b) La población en el año 2000.
48. Dada la siguiente tabla de valores de un experimento:
x 120 122 124 126 128 130 y 234.56 240.50 243.25 246.45 253.20 255.46
a) Construya una tabla de diferencias divididas.
b) Con los valores de la tabla anterior interpole un valor de y para 125x , con todas las
diferencias posibles que le correspondan.
Aplicación a la probabilidad.
49. En la siguiente tabla se contemplan algunos valores de la probabilidad:
xt tdexXPxy
0
22)0()(
x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.8427 0.8802 0.9103 0.9340 0.9523 0.9661
Por medio de interpolación de Newton, aproxime el valor para )32.1(y .
a) Construya una tabla de diferencias divididas.
b) Con los valores de la tabla anterior interpole un valor de y para 32.1x con todas las
diferencias posibles que le correspondan.
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 94
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
41. 15) a) )4(0.088045760206.0)(1 xxP , 0.6901057)5(1 P
b) )5.4(0.08715026532125.0)(1 xxP , 0.6967876)5(1 P ; 18)
)5.5()5.4(0.0077153)5.4(0.08715020.6532125)(2 xxxxP , 0.6987164)5(2 P ;
20)
)5.5()5.4()4(0.0011939)5.4()4(0.0101032)44(0.10230500.60206)(3 xxxxxxxP
, 0.6990149)5(3 P
42. )3(250000.725.5)(1 xxP , )3()2(0000000.2)2(250000.14)(2 xxxxP ,
)5()3()2(25.0)3()2(0000000.2)2(250000.14)(3 xxxxxxxP ,
)3()2()1(2500000.0)2()1(0000000.1)1(7500000.075.4)(4 xxxxxxxP
Las estimaciones son:
5000000.21)4(1 P , 5000000.01)4(2 P , 0000000.10)4(3 P , 0000000.10)4(4 P
43. )6.0()3.0()1.0(4925397.55
)3.0()1.0(7705556.55)1.0(7608333.320517000.117)(4
xxxx
xxxxxxxP
44.
)0.1()6.0()3.0()1.0(3232.147846)6.0()3.0()1.0(4925397.55
)3.0()1.0(7705556.55)1.0(7608333.320517000.117)(4
xxxxxxxxx
xxxxxxxP
45. Polinomio interpolante de Newton:
)6.0()4.0()2.0(0619792.0
)4.0()2.0(2262500.0)2.0(6127500.01070000.11)(4
xxxx
xxxxxxxP
1.0512588)05.0(4 P
46. )2.0()4.0()6.0()8.0(0619792.0)4.0()6.0()8.0(2758333.0
)6.0()8.0(9140000.0)8.0(0171000.222554.2)(4
xxxxxxx
xxxxP
1.9155505)65.0(4 P
47. a) 192407; b) 571329.
48. a)
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 95
120 234.56
2.9700000
122 240.50
-0.3987500
1.3750000
0.0758333
124 243.25
0.0562500
–0.0014062
1.6000000
0.0645833
–0.0027604
126 246.45
0.4437500
–0.0290104
3.3750000
–0.1675000
128 253.20
–0.5612500
1.1300000
130 255.46
0244.463125)125(5 P
49. a)
1.0 0.8427
0.3750000
1.1 0.8802
–0.3700000
0.3010000
0.1666667
1.2 0.9103
–0.3200000
0.0000000
0.2370000
0.1666667
–0.0833333
1.3 0.9340
–0.2700000
–0.0416667
0.1830000
0.1500000
1.4 0.9523
–0.2250000
0.1380000
1.5 0.9661
0.9380611)32.1(5 P