70

3 Trigonometría I

Hacia el 200 a. C. el matemático y astrónomo griego Eratóstenes leyó que en la ciu-dad egipcia de Syena (actualmente Asuán) el día del solsticio de verano el Sol ilumi-naba el fondo de un pozo al mediodía. La interpretación que dio a este curioso fenó-meno fue que en ese preciso momento y lugar los rayos de Sol incidíanperpendicularmente sobre la superficie del suelo. Decidió comprobar si en Alejandría,el mismo día y a la misma hora, una estaca clavada perpendicularmente al suelono proyectaba sombra alguna. Observó que, aunque pequeña, la sombra existía: laúnica explicación lógica para este hecho era que la Tierra debía de ser esférica.Eratóstenes calculó que, en Alejandría, la inclinación de los rayos del Sol respecto ala vertical era de unos 7° 12'. Así:

�

Para conocer la distancia de Syena a Alejandría contrató a un soldado, que la midiócontando sus pasos. Y resultó ser de unos 800 km.De este modo pudo deducir Eratóstenes que el perímetro de la circunferencia máximade la Tierra era, aproximadamente, de 40 000 km.

Perímetro de la Tierra���

360°Distancia de Syena a Alejandría����

7° 12'

�

�

longitud dela sombra

objetoverticalAlejandría

Syena

800km

rayossolares

71

Repasa lo que sabes

La razón entre dos números a y b es el cociente indicado entre ellos: r � �b

a�

Una proporción es una igualdad entre dos razones: �b

a� � �

d

c�

1. Calcula la razón entre los números de cada apartado. ¿Qué dos razones for-man proporción?a) �2 y 7 b) 3 y 4 c) 4 y �14 d) 3 y 1

Dos polígonos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y suslados correspondientes son proporcionales.

2. Decide cuáles de los siguientes polígonos son semejantes.

Dos triángulos son semejantes si se cumple una de las siguientes condiciones:

� Sus tres lados son proporcionales.� Tienen dos ángulos iguales.� Tienen un ángulo igual y los lados homólogos a este son proporcionales.

3. Decide si estos pares de triángulos son semejantes. ¿Qué criterio de seme-janza has utilizado en cada caso?a) b)

El ángulo central de un polígono regular de n lados mide 360° : n.

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180 � (n � 2).

4. Halla la medida del ángulo central en los siguientes polígonos. ¿Cuántovalen las sumas de sus ángulos interiores?

7 m

8 m

15 m

10 m

80o

50o 50o

y

xx

OBSERVA

Para comprobar si dos razonesforman una proporción multipli-camos los números en cruz.

�b

a� � �

d

c� → a � d � b � c

Ángulos en triángulosrectángulos

Si dos triángulos rectángulos tienen

un mismo ángulo agudo, entonces

los tres ángulos son iguales y, por tan-

to, los triángulos son semejantes.

72

1. Ángulos

1.1. Ángulos en el planoDos semirrectas, r y s, con un origen común, O, dividen el plano en dos

regiones, cada una de las cuales determina un ángulo. En este caso, O es elvértice de los ángulos � y �.

FIGURA 3.1.

1.2. Criterio de orientación de ángulosEl sentido de un ángulo queda determinado al girar una de las dos semirrectas,

denominada semirrecta origen, hasta la otra, llamada semirrecta extremo.� Se considera que un ángulo � está orientado en sentido positivo cuando el

giro desde la semirrecta origen a la semirrecta extremo se realiza en senti-do opuesto al de las agujas del reloj.

� Si, por el contrario, el giro se realiza a favor de las agujas del reloj, se diceque el ángulo está orientado en sentido negativo.

FIGURA 3.2.

1.3. Sistemas de medida de ángulosEn función del valor que se asigne a un giro o ángulo completo, existen

varios sistemas de medida de ángulos.

Sistema sexagesimal

En este sistema, un ángulo completo mide 360 grados sexagesimales(360°). Por tanto, un grado sexagesimal (1°) resulta de dividir un ángulocompleto en 360 partes iguales.

Se deduce que un ángulo recto mide 90°, y uno llano, 180°.Un grado sexagesimal se divide en 60 minutos (60’), y cada minuto, en

60 segundos (60”).1° � 60’1’ � 60”

Expresa en grados, minutos y segundos sexagesimales un ángulo de34,2577°.

Solución: 34° 15’ 28’’

Expresa en grados sexagesimales un ángulo de 23° 57’ 33’’.

Solución: 23,96°

2

1

Actividades

O r

s

O r

s

�� ���

�O

�

r

s

Transformaciones con la calculadora

� Para pasar a grados 36° 44’ 54’’ con la

calculadora, se procede de la siguiente

forma:

36 44 54

En la pantalla aparece:

Se vuelve a presionar la tecla y

en la pantalla aparece:

Redondeando, queda: 36,75°

� Para pasar a grados, minutos y se-

gundos 27,475°, se teclea:

27.475

En la pantalla aparece:

Es decir: 27° 28’ 30’’

2 7° 28° 30

36 .7 48333

36° 44° 54°

RECUERDAPara pasar a grados 36° 44’ 54’’, hayque realizar las siguientes opera-ciones:

54’’ � �6

1

0

’

’’� � 0,9’

44’ � 0,9’ � 44,9’

44,9’ � �6

1

0

°

’� � 0,75°

36° � 0,75° � 36,75°

Por tanto: 36° 44’ 54’’ � 36,75°

73

Medida en radianes

Los grados sexagesimales son una unidad de medida de ángulos poco prácticapara resolver algunos problemas que se plantean en las ciencias experimentales.

Imaginemos que un cuerpo describe una trayectoria circular de radio ry gira un ángulo de 30°: este cuerpo recorre un arco de circunferencia delongitud a. En cambio, si el radio de la trayectoria es 2r, la longitud del arcorecorrido al girar el mismo ángulo es 2a (figura 3.3).

El ángulo que gira el cuerpo no informa sobre la longitud del arco de circunfe-rencia recorrido. Sin embargo, la longitud del arco recorrido puede proporcionar un método para medir el ángulo girado. Para ello, se emplea una unidad de medida de ángulos denominada radián, que se abrevia rad.

El radián (rad) es el valor del ángulo central que abarca una longitud de arco igualal radio.

En la figura 3.4, si AB�� r, entonces � � 1 radián � 1 rad.

Se puede afirmar que:

Ángulo (en radianes) ��Long

Riatuddio

arco�

Se observa que, si el radio es 1, la longitud del arco coincide con el valordel ángulo en radianes.

El ángulo completo, que abarca una circunferencia de longitud 2r es:

Ángulo completo � �2

rr

� � 2 rad

Por tanto, un ángulo llano mide rad, y un ángulo recto, �

2� rad.

Ejercicio resuelto

Transformar 30° sexagesimales en radianes, y 2,3 radianes en grados sexa-gesimales.

Para transformar 30° en radianes, se procede de la siguiente manera:

30° �

18r0a°d

� � �

6� rad

Para transformar 2,3 rad en grados, se sigue este procedimiento:

2,3 rad �

18r0a°d

� �131,78°

Calcula en grados, minutos y segundos sexagesimales el valor de unángulo de 1 rad.

Solución: 57° 17’ 45”

Expresa �5

3

� rad en grados, minutos y segundos sexagesimales.

Solución: 300°

Expresa 63° 25’ 48” en radianes.

Solución: 1,11 rad.

Calcula la medida en radianes de los ángulos representados en la figura 3.6.

Solución: α � �2

3� rad, β � 2 rad

6

5

4

3

Actividades

▼OBSERVA

El sistema de medida de ángulosen radianes es adimensional (sindimensiones).

OBSERVA

Así, en la figura:

�1 � �5

4� � 1,2 radianes

�2 � �2

4� � 0,5 radianes

FIGURA 3.3.

FIGURA 3.4.

O

r a2a

2r

O rA

B

r

�

FIGURA 3.5.

O

�2

�1

FIGURA 3.6.

O

�

8u

4uO

�2u

3u

Imaginemos un cuerpo que describe una trayectoria circular. Es fácilobservar que, cada vez que realiza una vuelta completa, su posición coincidecon la que tenía en la vuelta anterior. Por tanto, tiene sentido decir que elmóvil ha girado un ángulo superior a 360° o a 2 rad.

Para representar geométricamente un ángulo mayor de 360°, se le restantantas vueltas completas como sea posible, asociándole, por tanto, un ángulocomprendido entre 0° y 360°.

Ejercicios resueltos

En grados sexagesimalesCalcular el ángulo comprendido entre 0° y 360° equivalente a 1 940°.

Se divide la medida del ángulo entre la de una vuelta completa (360°).1 940 360

140 5El cociente indica el número de vueltas completas, y el resto representa elángulo equivalente comprendido entre 0° y 360°.Es importante observar que no se debe simplificar antes de realizar la divi-sión, pues se obtendría un resto distinto.El ángulo equivalente a 1 940° entre 0° y 360° es 140°.

En radianes: ángulos expresados como múltiplos de Calcular el ángulo comprendido entre 0 rad y 2 rad equivalente a 19 rad.

19 2

9El ángulo equivalente a 19 rad en el primer giro es rad.

En radianes: ángulos expresados mediante números decimalesCalcular el ángulo comprendido entre 0 rad y 2 rad equivalente a 19,3 rad.

19,30 6,2846 3

El ángulo equivalente a 19,3 rad comprendido entre 0° y 360° es 0,46 rad.

Halla los ángulos comprendidos entre 0° y 360° equivalentes a:

a) 3 724° b) 23,5 rad c) �64

7

� rad d) 123 rad

Solución: a) 124° b) �3

2

� rad c) �

8

7

� rad d) 3,62 rad

7

Actividades

▼▼

▼

74

1.4. Reducción de ángulos al primer giroPara representar geométricamente un ángulo, se sitúa sobre unos ejes

cartesianos y se toma como semirrecta origen el semieje positivo de abscisas.

Primer cuadrante

O

Y

X

�

O

Y

X

�

Segundo cuadrante

FIGURA 3.7.

O

Y

X

�

O

Y

X�

Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

Big Ben, Londres. La aguja minutera de un reloj describe

en una hora un ángulo de 360° o 2 rad.

75

2. Razones trigonométricasde un ángulo agudo

La trigonometría1 estudia, principalmente, la relación entre los lados y losángulos de un triángulo.

Por eso, conviene recordar el concepto de semejanza de dos triánguloscualesquiera y, en particular, aplicar los criterios para determinar cuándo dostriángulos rectángulos son semejantes.

Dos triángulos rectángulos son semejantes si se cumple una de las siguientescondiciones:

� Tienen dos lados homólogos proporcionales.

� Tienen un ángulo agudo igual.

Basta con comprobar una de las dos condiciones anteriores, ya que, en elcaso de los triángulos rectángulos, es claro que si se cumple una, también secumple la otra.

2.1. Definiciones

Dado un ángulo agudo � cualquiera, se puede construir sobre él un trián-gulo rectángulo ABC, como se indica en la figura 3.9.

FIGURA 3.9.

A partir de la construcción de la figura anterior, se establecen las siguientesdefiniciones:

El cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo � y la longitud de lahipotenusa se denomina seno del ángulo � (sen �).

seno de � �

El cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo � y la longitud de lahipotenusa se llama coseno del ángulo � (cos �).

coseno de � �

El cociente entre las longitudes del cateto opuesto y del cateto contiguo al ángulo �recibe el nombre de tangente del ángulo � (tg �).

tangente de � �longitud del cateto opuesto a �����longitud del cateto contiguo a �

longitud del cateto contiguo a �����

longitud de la hipotenusa

longitud del cateto opuesto a �����

longitud de la hipotenusa

1trigonometría: palabra que procede del griego trigonos, «triángulo», y metría, «medida».

�C A

B

90°

cateto: b

cateto: chipotenusa: a

RECUERDADos triángulos, ABC y A’B’C’ (figura3.8) son semejantes si:

� Los ángulos son iguales:

A�

� A�

’, B�

� B�

’, C�

� C�

’

� Los lados homólogos son pro-porcionales:

�A

A

’

B

B’� � �

B

B

’

C

C’� � �

C

C

’

A

A’�

FIGURA 3.8.

La razón de semejanza es el co-ciente entre las longitudes de suslados homólogos.

C' A'

B'C A

B

76

Las definiciones de las razones trigonométricas que acabamos de ver nodependen de las dimensiones del triángulo rectángulo que se construya sobreel ángulo �, dado que todos los posibles triángulos rectángulos serán semejan-tes por tener un ángulo agudo, �, igual. Por tanto, el valor que resulta dedichas definiciones será siempre el mismo.

Así, en el triángulo ABC de la figura 3.9, las definiciones anteriores seexpresan de esta forma:

sen � � �BC

AB� cos � � �

CC

AB� tg � � �

CBA

A�

La razón inversa del seno de � se llama cosecante de � (cosec �); la inversa delcoseno de �, secante de � (sec �), y la inversa de la tangente de �, cotangente

de � (cotg �).

cosec � � �sen

1�

� sec � � �co

1s �� cotg � � �

tg1��

Las seis razones definidas anteriormente se denominan razones trigonométricas

del ángulo agudo �.

A partir de las definiciones de sen �, cos � y tg �, se deduce que el valorde tg � corresponde al cociente entre el sen � y el cos �.

tg � � �s

c

e

o

n

s �

��

Los lados de un triángulo miden 12 cm, 9 cm y 6 cm. Calcula la longitudde los lados de un triángulo semejante a él si la razón de semejanza vale 2/3.

Solución: 8 cm, 6 cm y 4 cm

¿El triángulo cuyos lados miden 4 cm, 8 cm y 10 cm es semejante altriángulo cuyos lados miden 5 cm, 10 cm y 12,5 cm? ¿Por qué?

Dado el triángulo ABC de la figura 3.10, cuyas medidas están expresa-das en cm, calcula las razones trigonométricas de �.

Deduce las razones trigonométricas del ángulo � del triángulo de la figura 3.10.

Dado el triángulo ABC de la figura, sabemos que AC � 6 m y tg � � 0,6.Calcula el otro cateto y la hipotenusa.

Solución: AB � 10 m, CB � 11,66 m

Con los resultados del ejercicio anterior, calcula sen �.

Solución: sen � � 0,86

13

12

11

10

9

8

Actividades

FIGURA 3.10.

C4

A

B

3

�

�

Teodolito. Este instrumento es utilizado en topografía

para medir ángulos.

FIGURA 3.11.

C

90°

A B�

�

6 m

77

2.2. PropiedadesLas razones trigonométricas de un ángulo agudo tienen las siguientes

propiedades:� A partir de las definiciones de las razones trigonométricas, y considerando

que 0° � 90°, se deduce que:

0 sen � 1 y 0 cos � 1

Esta propiedad se deriva del hecho de que en todo triángulo rectángulo loscatetos son menores que la hipotenusa.

� Para cualquier ángulo, �, se cumple que:

sen2 � � cos2 � � 1

Esta igualdad, denominada identidad fundamental de la trigonometría, seobtiene al sustituir las razones trigonométricas por sus definiciones y apli-car el teorema de Pitágoras:

sen2 � � cos2 � � ��BC

AB��

2

� ��CC

AB��

2

��(BA)

(

2

C�

B()C2

A)2

�� �((CC

BB

))

2

2� � 1

Si se divide la igualdad anterior por cos2 �, se tiene:

�sceons2

2

�

�� � �

ccooss

2

2

�

�� � �

cos1

2 ��

de donde:

tg2 � � 1 � sec2 �

Ejercicio resuelto

Sabiendo que la tg � � 4, calcular las demás razones trigonométricas.

Utilizando la ecuación obtenida anteriormente:1 � tg2 � � sec2 �

y sustituyendo tg � por 4, 1 � 42 � sec2 �, se obtiene: sec2 � � 17.

Luego, sec � � �17�, y cos � �

Despejando sen2 � en la identidad fundamental, se obtiene:

sen � � �4�

1717��, cosec � � �

�417�� y cotg � � �

14

�

Calcula las razones trigonométricas de un ángulo agudo �, si cos � � 0,35.

Solución: sen �� 0,94, tg � � 2,68, cosec �� 1,07, sec �� 2,86, cotg �� 0,37

Calcula las razones trigonométricas de un ángulo agudo �, si cotg � � 3.

Solución: tg �� �1

3� , sen �� , cos ���

3�10

10��, cosec �� �1�0� , sec ��

Demuestra que: 1 � cotg2 � � cosec2 �16

�1�0��

3�1�0��

10

15

14

Actividades

�17��

17

▼

A C

B

�90�

FIGURA 3.12.

RECUERDAUsando la identidad fundamentalde la trigonometría y la relación

� tg �, se puede calcular

todas las razones trigonométricasde un ángulo agudo a partir deuna razón cualquiera.

sen ��cos �

78

2.3. Razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°

Para calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°,se construyen triángulos que proporcionen dichos ángulos.

Para conseguir un ángulo de 60°, se construye un triángulo equilátero,ABC (figura 3.13), cuyos lados son iguales y sus ángulos valen todos 60°. Porel vértice C se traza la altura, que divide al triángulo equilátero en dos trián-gulos rectángulos iguales. En el triángulo AHC de la misma figura, el ángulocorrespondiente al vértice C es de 30°, y el correspondiente al vértice A, de 60°.

Si se aplican las definiciones de las razones trigonométricas, resulta:

sen 60° � �CA

HC� cos 60° � �

AA

HC� tg 60° � �

CA

HH�

La longitud del segmento que determina la altura, CH, se puede averiguar

mediante el teorema de Pitágoras: CH � �A�C�2 �� A�H�2��.

Como AH� �12

� AC entonces: CH��A�C�2��� ���12

�� A�C��2

����34

�� A�C�2� � AC

Sustituyendo en las expresiones de las razones trigonométricas:

sen 60° � � cosec 60° � �

cos 60° � � sec 60° � 2

tg 60° � � �3� cotg 60° � �

En el mismo triángulo que estamos considerando, se puede observar que:

sen 30° � �AA

HC� � cos 60° � �

12

� cosec 30° � 2

cos 30° � �CA

HC� � sen 60° � sec 30° � �

2�3

3��

tg 30° � �AC

HH� � cotg 60° � � cotg 30° � �3�

Para averiguar las razones trigonométricas de un ángulo de 45°, se construyeun triángulo rectángulo isósceles, CAB, como se indica en la figura 3.14.

La longitud de los dos catetos es la misma, y los dos ángulos agudos soniguales y miden 45°. Para hallar el valor de la hipotenusa, se aplica el teoremade Pitágoras:

CB � �l2� �� l2� � �2� � l

Sustituyendo estos valores en las expresiones del seno, coseno y tangentede un ángulo agudo, se obtiene:

sen 45° � � � cosec 45° � �2�

cos 45° � � � sec 45° � �2�

tg 45° � � 1 cotg 45° � 1l

�l

�2��

21

��2�

l�CB

�2��

21

��2�

l�CB

�3��

31

��3�

�3��

2

�3��

31

��3�

CH�AH

1�2

AH�AC

2�3��

32

��3�

�3��

2CH�AC

�3��

2

FIGURA 3.14.

A B

C

90°

l

l

45°

45°

�2 l

A

C

BH A

C

30°

H

60°

FIGURA 3.13.

79

Ejercicios resueltos

En un terreno horizontal, y a una distancia de 6 m del pie de un árbol, seobserva, bajo un ángulo de 30°, su punto más alto. Calcular su altura.

Si llamamos h a la altura del árbol, la situación se puede esquematizarcomo se observa en la figura 3.15.a.La razón trigonométrica que relaciona los dos catetos en un triángulo rec-tángulo es la tangente. En nuestro caso, podemos plantear:

tg 30° � �6h

�, así la altura del árbol es: h � 6 � tg 30° � 2�3� m

Determinar la altura y el área de un triángulo equilátero de 3 cm de lado.

Dado que todos los ángulos de un triángulo equilátero son iguales, podemosplantear que:

sen 60° � �3h

� ⇒ h � 3 � sen 60° � �3�

23�

� cm

Es decir, la altura del triángulo mide, �3�

23�

� cm.

Para calcular el área del triángulo:

A � �b

2� h� � �

3 � 3 �

2sen 60°� � �

9�2

3�� cm2

Dado el triángulo de la figura 3.16, calcula sen �, cos �, tg �.

Solución: sen � � , cos � � �1

1

�

�

a

a�, tg � �

Una estaca vertical de longitud l proyecta una sombra de longitud �3�l .Calcula el ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte.

Solución: 30°

Calcula la longitud de las diagonales de un rombo sabiendo que susángulos son 60° y 120°, y que sus lados miden 6 cm.

Solución: 6 cm y 6�3� cm

19

18

2�a��1 � a

2�a��1 � a

17

Actividades

▼▼

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30°, 45° Y 60°

Razones � � 30° � ��

6� rad � � 45° � �

�

4� rad � � 60° � �

�

3� rad

sen �

cos �

tg �

cosec �

sec �

cotg �

�1

2�

�1

2��3�

�2

�3��

3

2

22 �3��

3

2 �3��

3

�3�

�3�

1

1

�2�

�2�

�3��

3

�2��

2

�2��

2

�3��

2

FIGURA 3.16.

6 m

30�

h

�

1 � a

1 � a

FIGURA 3.15.a.

h

30°

60°

h

3 cm 1,5 cm

3 cm

3 cm

3 cm

FIGURA 3.15.b.

80

3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

3.1. DefinicionesEn un sistema de ejes cartesianos se considera una circunferencia con centro

situado en el origen de coordenadas. A cada punto, P, de la circunferencia sele asigna un ángulo orientado, �, del siguiente modo:

FIGURA 3.17.

El ángulo � es el determinado por el semieje positivo de abscisas y la semirrecta definida por el punto P y el origen de coordenadas, O.

A cada ángulo, �, le corresponde, en dicha circunferencia, un solo punto, P.

Para simplificar los cálculos, se toma una circunferencia de radio unidadque se denomina circunferencia goniométrica.

Al punto P le asignamos un ángulo:

P ángulo �(x, y) (cos �, sen �)

Esta forma de asignación es totalmente concordante con las definicionesdadas para las razones de un ángulo agudo (figura 3.18). En efecto, dado queel radio, es 1, resulta:

sen � � �yr� � y cos � � �

xr� � x

En la figura 3.19 se observa que los valores del seno y del coseno delos ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360° corresponden a los valores de lascoordenadas de los puntos de intersección de la circunferencia con los ejescartesianos.

FIGURA 3.19.

Determina los valores del seno y el coseno de los siguientes ángulos: 540°y 1 350°.

Solución: sen 540° � 0, cos 540° � �1, sen 1 350° � �1, cos 1 350° � 0

20

Actividades

Y

XO

(0, 1)

(�1, 0) (1, 0)

(0, �1)

cos 90° � 0sen 90° � 1

cos 180° � �1sen 180° � 0

cos 270° � 0sen 270° � �1

cos 0° � 1sen 0° � 0

cos 360° � 1sen 360° � 0

Y

XO

P y

x 1

�

FIGURA 3.18.

Y

XO

P(x, y)

y

x 1

�

81

3.2. Signo de las razones trigonométricasLa intersección de la circunferencia con los ejes de coordenadas divide a

esta en cuatro cuadrantes. El signo de las coordenadas de los puntos de cadacuadrante corresponde al signo de las razones trigonométricas de los ángulosque estos puntos determinan con el semieje OX.

Así, por ejemplo, si 90° � 180°, el punto P correspondiente tiene laordenada positiva y la abscisa negativa, por lo que:

sen � � 0 cos � 0

Los signos de las razones trigonométricas se muestran en la figura 3.20.

Ejercicio resuelto

Calcular el seno y la tangente de un ángulo � del segundo cuadrante, si cos � � �0,78.Teniendo en cuenta que un ángulo del segundo cuadrante tiene el senopositivo, tenemos que:

sen2 � � cos2 � � 1 ⇒ sen � � �1 � co�s2 �� ⇒

⇒ sen � � �1 � (��0,78)2� ⇒ sen � � 0,63Para calcular la tg � dividimos el valor obtenido entre el del coseno:

tg � � �sceons �

�� ⇒ tg � � �0,80

3.3. PropiedadesLas razones trigonométricas de un ángulo cualquiera tienen las siguientes

propiedades:� Para cualquier ángulo � se cumple que:

�1 sen � 1 y �1 cos � 1

ya que las coordenadas de los puntos de la circunferencia tienen valorescomprendidos entre �1 y 1.

� Según el teorema de Pitágoras, la siguiente igualdad es cierta:x2 � y2 � 1

Por tanto, para cualquier valor del ángulo �:

sen2 � � cos2 � � 1

Esta identidad constituye la identidad fundamental de la trigonometría.

Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrantesi sen � � 3/7.

Solución: cos � � �2�10�/7, tg � � �3�10�/20

Si 3/2 � 2 y cotg � � �0,27, calcula las demás razones trigonomé-tricas del ángulo �.

Solución: sen � � �0,97, cos � � 0,26, tg � � �3,7

Sabiendo que tg � 0 y que cos � � ��3�/4, calcula las restantes razonestrigonométricas.

Solución: sen � � �13�/4, tg � � ��39�/3

23

22

21

Actividades

▼

Y

XO

primercuadrante

sen (�)cos (�)

tg (�)

sen (�)cos (�)

tg (�)

sen (�)cos (�)

tg (�)

sen (�)cos (�)

tg (�)

segundocuadrante

tercercuadrante

cuartocuadrante

FIGURA 3.20.

Razones trigonométricas con la calculadora

Para calcular los valores de las razones

trigonométricas, se dispone la calcula-

dora en el modo correspondiente a las

unidades de medida con las que se va a

trabajar (DEG, RAD o GRA):

DEG � Grados sexagesimales

RAD � Radianes

GRA � Grados centesimales

Generalmente, en las calculadoras cien-

tíficas esto se hace utilizando las

instrucciones de la tecla .

Si se presiona dos veces la tecla

aparece en pantalla:

Si presionamos la tecla 1, la calculadora

trabajará en grados y la 2 en radianes.

Se pueden hallar directamente las razo-

nes trigonométricas pulsando las

siguientes teclas:

Seno Coseno Tangente

Así,para calcular sen 53° nos aseguramos

que la calculadora trabaja en grados

sexagesimales y, a continuación, pre-

sionamos las teclas 53°

y su valor aparece en la pantalla:

0 .7986355

deg rad Gra

I 2 3

82

4. Determinación de ángulos

4.1. Determinación gráficaDada una razón trigonométrica, es posible determinar gráficamente a qué

ángulos corresponde. Veamos cómo:

� ¿Qué ángulos comprendidos entre 0° y 360° cumplen que sen � � a?

En la figura 3.21 hay dos puntos cuya ordenada vale a. Para hallarlos, sedibuja la recta y � a. Los puntos de intersección de la recta con la circunfe-rencia determinan los ángulos �1 y �2 cuyo seno vale a.

Ejercicio resuelto

Determinar gráficamente los ángulos comprendidos entre 0° y360° cuyo seno vale �1/3.

FIGURA 3.22.

� ¿Para qué ángulos entre 0° y 360° se cumple que cos � � b?

En la circunferencia goniométrica de la figura 3.23 hay dos puntos cuyaabscisa vale b. Para hallarlos, se dibuja la recta x � b. Los puntos de intersec-ción de la recta con la circunferencia determinan los ángulos �1 y �2 cuyocoseno vale b.

Ejercicio resuelto

Determinar gráficamente los ánguloscomprendidos entre 0° y 360°cuyo coseno vale �3/4.

FIGURA 3.24.

� ¿Qué ángulos comprendidos entre 0° y 360° cumplen que tg � � c?

Los dos ángulos señalados en la figura 3.25 tienen la misma tangente, esdecir, el cociente entre la ordenada y la abscisa es el mismo en ambos casos. Los dos triángulos rectángulos, OAP y OP’A’, son iguales y, además, seme-jantes al triángulo OBC por tener un ángulo agudo igual.

Por tanto, se puede escribir:

tg � � �yx

� � �cr

� , y si tomamos r � 1, tg � � c

▼▼ Y

X

(1, 0)

P2

�1

�2P1

(0, 1)

�1�3

Y

X

(1, 0)�1

�2

P1

(0, 1)

�3�4

P2

FIGURA 3.21.

FIGURA 3.23.

FIGURA 3.25.

Y

XO

P2(�x, a)a

P1(x, a)

�1

�2

Y

X

C(r, c)

A' �1�2

P(x, y)

P'(�x, �y)

A

yc

x BO

Y

X

P2(b, �y)

�1�2

P1(b, y)

b

83

Para averiguar qué ángulos tienen una tangente determinada, c, se trazauna recta perpendicular al eje de abscisas y tangente a la circunferenciagoniométrica en el punto (1, 0). Sobre esta recta se señala el punto de orde-nada c y se dibuja la recta que pasa por este punto y el origen de coordenadas.Los puntos de intersección de esta recta con la circunferencia determinan losángulos �1 y �2 cuya tangente vale c.

Ejercicio resuelto

Determinar gráficamente los ángulos comprendidos entre 0° y 360° cuyatangente vale �1,5.

FIGURA 3.26.

4.2. Determinación numéricaDel mismo modo que se pueden hallar las razones trigonométricas de un

ángulo utilizando la calculadora científica, también es posible averiguar a quéángulo o ángulos corresponde una razón trigonométrica.

Para hallar los ángulos correspondientes a una razón trigonométrica dada,hay que pulsar una combinación de teclas: la que indica paso inverso y las dela razón trigonométrica.

Por ejemplo, si tg � � 3, pulsamos:

En la pantalla aparece el valor de uno de los ángulos cuya tangente es 3:

Si deseamos calcular el otro ángulo, basta con tener presente el métodográfico de determinación que hemos visto anteriormente. Por tanto, el otroángulo que tiene la misma tangente en el primer giro es � � 180°, es decir,redondeando:

�1 � 71,57°�2 � 251,57°

Si la tangente es negativa, por ejemplo, tg���3, la calculadora nos indica,comúnmente, un ángulo negativo. En ese caso, buscamos el ángulo positivocorrespondiente sumándole 360°.

Para determinar el otro ángulo del primer giro que tiene la misma tangente,restamos 180° al resultado anterior.

En general, siempre es útil tener presente la determinación gráfica deángulos que corresponden a una razón dada para poder obtener el ángulo quela calculadora no nos indica.

En algunos casos, el ángulo es único. Si sen � � 1, entonces � � 90°.

7 I ,56505

▼

Y

X

�1�2

(0, 1)

(1; �1,5)

(1, 0)

84

Ejercicios resueltos

Hallar los ángulos comprendidos entre 0° y 360° cuya tangente es 1/3.

El ángulo que se obtiene con la calculadora cuando se realizan los pasos es � � 18,43°.

Como se ve en la figura 3.27, existe otro ángulo en el tercer cuadrante conla misma tangente, que es:

180° � 18,43° � 198,43°

FIGURA 3.27.

Para resolver este tipo de ejercicios, es conveniente representar gráfica-mente ángulos con la misma tangente.

Hallar los ángulos comprendidos entre 0° y 360° cuya tangente es �3.

La calculadora da para � un valor de �71,57°, es decir, 288,43°, quees un ángulo del cuarto cuadrante.

Existe otro ángulo en el segundo cuadrante (figura 3.28) con la misma tan-gente, que es: 288,43° � 180° � 108,43°

Hallar los ángulos comprendidos entre 0° y 360° cuyo coseno es �0,45.

Utilizando la calculadora se obtiene, aproximadamente, � � 116,74°.

Existe otro ángulo en el tercer cuadrante con el mismo coseno que, porsimetría, es 243,26° aproximadamente.

Hallar los ángulos comprendidos entre 0° y 360° cuya cosecante vale 5.

La cosecante es la razón inversa del seno; por tanto, sen � � 0,2.

El ángulo que se obtiene con la calculadora para este seno es 11,54°.

Su ángulo suplementario tiene el mismo seno:

180° � 11,54° � 168,46°

Calcula todos los ángulos entre 0° y 360° que cumplen cotg � � �0,03.

Solución: � � 271,72°, � � 91,72°

Resuelve sec � � �3,78.

Solución: � � 105,34°, � � 254,66°

Resuelve cos � � 0,32.

Solución: � � 71,34°, � � 288,66°

Resuelve cosec � � �5.

Solución: � � 191,54°, � � 348,46°

Utiliza la calculadora para resolver las actividades 22 y 23 del epígrafeanterior.

28

27

26

25

24

Actividades

▼▼

▼

Y

XO18,43°

198,43° (1,1/3)

▼

Y

XO�71,57°

108,43°

(1, �3)FIGURA 3.28.

85

5. Relación entre las razones trigonométricas de ángulos de diferentes cuadrantes

Es importante saber relacionar las razones trigonométricas de ángulos dedistinto cuadrante, ya que el procedimiento de reducción de los ángulos al primer cuadrante permite simplificar los cálculos necesarios para la resoluciónde problemas.

Para ello, recordaremos cómo se han definido las razones trigonométricas deun ángulo cualquiera (figura 3.29).

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios cuando suman 90° o rad.

Dado que los triángulos OAP y OA’P’ de la figura 3.30 son iguales, ya quetienen iguales la hipotenusa y dos ángulos, se puede afirmar que AP es igual aA’P’ y que OA es igual a OA’.

Por tanto:

AP � sen � OA � cos �

A’P’ � cos � � �� OA’ � sen � � ��Y entonces:

sen ��

2� � ��� cos � cosec ��

2� � ��� sec �

cos ��

2� � ��� sen � sec ��

2� � ��� cosec �

tg ��

2� � ��� cotg � cotg ��

2� � ��� tg �

Estas relaciones ya se han deducido, en el epígrafe 2.3 de esta unidad,para ángulos de 30°, 45° y 60°.

Razones trigonométricas de ángulos que difieren �

2� rad

Dado que los triángulos OAP y OA’P’ de la figura 3.31 son iguales, ya quetienen iguales la hipotenusa y dos ángulos, podemos afirmar que AP es igual aA’P’ y que OA es igual a OA’.

Como en el segundo cuadrante de la circunferencia goniométrica la abscisatiene un valor negativo, se deduce que:

sen ��

2� � ��� cos � cosec ��

2� � ��� sec �

cos ��

2� � ��� �sen � sec ��

2� � ��� �cosec �

tg ��

2� � ��� �cotg � cotg ��

2� � ��� �tg �

�2

�2

�2

FIGURA 3.29.

FIGURA 3.30.

FIGURA 3.31.

Y

X

�

P(x, y)

y

x

P � ángulo �(x, y) � (cos �, sen �)

Y

XO

A'

A

P

�

P'

�

2� � �

(0,1)

(1,0)

Y

XO

A'

A

P

�

P'

�

2� � �

ma1b9

86

Razones trigonométricas de ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180° o rad.

Dado un ángulo agudo, �, su ángulo suplementario, � �, se encuentraen el segundo cuadrante. En la figura 3.32 se observa que los triángulos OPAy OP’A’ son iguales por la misma razón que en los dos apartados anteriores;por tanto:

sen ( � �) � sen � cosec ( � �) � cosec �

cos ( � �) � �cos � sec ( � �) � � sec �

tg ( � �) � �tg � cotg ( � �) � �cotg �

Razones trigonométricas de ángulos que difieren 180° o rad

Los triangulos OAP y OA’P’ de la figura 3.33 son iguales y, por tanto, esfácil deducir que:

sen ( � �) � �sen � cosec ( � �) � � cosec �

cos ( � �) � �cos � sec ( � �) � � sec �

tg ( � �) � tg � cotg ( � �) � cotg �

Razones trigonométricas de ángulos que suman un ángulocompleto o que son ángulos opuestos

Los triángulos OAP y OA’P’ de la figura 3.34 son iguales y, por tanto,es fácil relacionar las razones trigonométricas de los ángulos � y (��) o(2 � �):

sen (2 � �) � sen (��) � �sen � cosec (2 � �) � cosec (��) � �cosec �

cos (2 � �) � cos (��) � cos � sec (2 � �) � sec (��) � sec �

tg (2 � �) � tg (��) � �tg � cotg (2 � �) � cotg (��) � �cotg �

Ejercicios resueltos

Calcular sen 150°, cos 240° y tg 330°.

sen 150° � sen (180° � 30°) � sen 30° � 1/2

cos 240° � cos (180° � 60°) � �cos 60° � �1/2

tg 330° � tg (360° � 30°) � �tg 30° � ��3�/3

Calcular sen �23�, cos �

43�.

sen �23� � sen ��

2� � �

6��� cos �

6� � �

�23��

cos �43� � sen � � �

3��� �cos �

3� � ��

12

�

Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos.

a) 120° c) 210° e) 300°

b) 135° d) 225° f) �45°

29

Actividades

▼▼

Y

XOA' A

P

�

P' � �

X

Y

A'

A

P

�

P'

� �

O

Y

X

A

A'

P

�

P'

��

2 � �

O

FIGURA 3.32.

FIGURA 3.33.

FIGURA 3.34.

Otras relacionestrigonométricas

Consulta la sección Ejercicios resueltos,

en la página 89, para obtener la rela-

ción entre las razones trigonométri-

cas de los ángulos � y 270°� �, y de

los ángulos � y 270° � �.

ma1b10

87

6. Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo rectángulo consiste en hallar todos sus elementos desconocidos.

En un triángulo hay que determinar seis elementos: los tres ángulos, A, By C, y los tres lados, a, b y c.

A la hora de resolver un triángulo rectángulo se puede utilizar:� La propiedad según la cual la suma de los tres ángulos de un triángulo

es 180°. En el caso de triángulos rectángulos, si el ángulo A es recto,B � C � 90°.

� El teorema de Pitágoras.� Las definiciones de las razones trigonométricas.

Para resolver un triángulo rectángulo hay que conocer, además del ángulorecto, al menos dos elementos del triángulo, que no podrán ser los dos ángulosagudos, pues conocer uno de ellos equivale a conocer los dos.

Hay que hallar estos elementos desconocidos partiendo, en ambos casos, delos datos que proporciona el enunciado del ejercicio, así se evita que el errorcometido en el cálculo de uno de los elementos invalide los resultados obtenidos..

Ejercicios resueltos

Dado un triángulo rectángulo en el que B � rad y a � 10 cm, calcular losotros elementos del triángulo.

Tenemos que hallar la medida del ángulo C, y la longitud de los catetos b y c.

C � �

2� � �

6� � �

3� rad

b � a � sen B ⇒ b � 10 � sen �

6� � 5 cm

c � a � cos B ⇒ c � 10 � cos �

6� � 5�3� cm

FIGURA 3.35.

Dado un triángulo rectángulo en el que B � 25° y b � 7 cm, calcular losotros elementos del triángulo.

En este caso, tenemos que hallar la medida del ángulo C, y la longitud dela hipotenusa a y del cateto c.

FIGURA 3.36.

C � 90° � 25° � 65°

a � �sen

bB

� ⇒ a ��sen

725°� � 16,56 cm

c � �tg

bB� ⇒ c � �

tg725°� � 15,01 cm

▼

�6

▼

C

a �

10

cm

B

Ab

30°

c

B

a

c

b � 7

C

A25°

Ejercicios resueltos

Dado un triángulo rectángulo en el que a � 12 cm y b � 6 cm, calcular losdemás elementos del triángulo.

c � �a2� �� b�2� � �1�2�2 �� 6�2� � �108� � 6�3� cm

sen B � �ba

� � �162� � �

12

� ⇒ B � 30°

cos C � �ba

� � �162� � �

12

� ⇒ C � 60°

Dado un triángulo rectángulo en elque b � 5 cm y c � 3 cm, calcular losrestantes elementos del triángulo.

a � �b2�+� c�2� � �5�2 �� 3�2� � �34� cm

tg B � �bc

� � �53

� ⇒ B � 59,04°

tg C � �bc

� � �35

� ⇒ C � 30,96°

El ángulo de elevación del Solsobre el horizonte es de 35°. Calcularla longitud de la sombra que proyectaráuna persona de 1,75 m de estatura.

tg 35° �

Longitud de la sombra � �t1g,3755°

� � 2,50 m

Dado el triángulo rectángulo cuyo ángulo recto es A, calcula los elementos desconocidos en cada uno de los siguientes casos:

a) b � 10 cm b) C � 26° c) b � 7 cm d) B � 38° e) B � 27°

a � 15 cm c � 3 cm c � 14 cm a � 20 cm C � 63°

Solución: a) c � 11,18 cm, B � 41,81°, C � 48,19° b) B � 64°, a � 6,84 cm,b � 6,15 cm c) a � 15,65 cm, B � 26,57°, C � 63,43° d) C � 52°,b � 12,31 cm, c � 15,76 cm e) Existen infinitos triángulos semejantescon estos ángulos.

Calcula la altura a la que llega una escalera de 4,50 m apoyada en unapared y que forma un ángulo de 67° con el suelo.

Solución: 4,14 m

Calcula las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo en el quela longitud de la hipotenusa es el triple que la de uno de los catetos.

Solución: sen B � �1

3�, cos B � , tg B � � �

�4

2��

sen C � , cos C � �1

3�, tg C � 2�2�

2�2��

3

1�2�2�

2�2��

3

32

31

30

Actividades

1,75 m���Longitud de la sombra

▼▼

▼

88

A

a

b � 5

B

C

c � 3

FIGURA 3.39.

35°1,75 m

OBSERVA

� Se llama ángulo de elevación alque forma la línea de la visual conla horizontal cuando el objeto es-tá por encima del observador.

� Se llama ángulo de depresión

al que forma la línea de la visualcon la horizontal cuando el objetoestá por debajo del observador.

Bc

b � 6

C

A

a � 12

FIGURA 3.37.

FIGURA 3.38.

ma1b11

89

Dado que los triángulos OAP y OA’P’ de la figura 3.41 son

iguales, ya que tienen iguales la hipotenusa y dos ángu-

los, podemos afirmar que AP es igual a A’P’, y que OA es

igual a OA’.

Como en el cuarto cuadrante el seno es negativo, se de-

duce lo siguiente:

sen ��3

2

� � ��� �cos � cos ��

3

2

� � ��� sen �

y tg ��3

2

� ���� �cotg �

Razones trigonométricas de ángulos que difieren 270° o 3/2 rad

�

P

A

A’P’

O X

Y

� �32

FIGURA 3.41.

Recuerda que 1 rad es el ángulo que abarca un arco de circunferencia que mide lo mismo

que el radio. Por tanto, hay que calcular el valor del radio:

Lc � 2r ⇒ r � �2

L

c� � �

9

2

� � 4,50 m

En esta circunferencia, un radián determina un arco de 4,50 m:

Arco1,75 rad � 1,75 � 4,50 � 7,88 m

Para calcular el área del sector circular, ten en cuenta que un círculo completo determina

2 rad y que su área vale r2 ; así:

Área sector ��1,75 �

2

� (4,5)2

�� 17,72 m2

Aplicación de la definición de radián

1. La longitud de una

circunferencia es 9 m. Hallar

cuánto mide el arco de

circunferencia que determina un

ángulo de 1,75 rad y calcular el área

del sector circular correspondiente.

Dado que los triángulos OAP y OA’P’ de la figura 3.40 son iguales, por tener iguales la hipo-

tenusa y dos ángulos, podemos afirmar que AP es igual que A’ P’, y que OA es igual a OA’.

Como en el tercer cuadrante el seno y el coseno son negativos, se deduce que:

sen ��3

2

� � �� � �cos � cos ��

3

2

� � ��� �sen � tg ��

3

2

� � ��� cotg �

Razones trigonométricas de ángulos que suman 270° o 3/2 rad

� sec 249° ��cos

1

249°���

� se

1

n 21°�� � 2,79

� tg 249° � cotg 21°. Debemos calcular, en primer lugar, la cotangente de 21°:

1 � cotg2 21° ��sen

12 21°� ⇒ cotg 21° � 2,61

Así, tg 249° � 2,61.

2. A partir de la igualdad

sen 21° � 0,358, determinar:

sec 249° y tg 249°

�� �

32

P

A

A’P’

O X

Y

FIGURA 3.40.

EJERCICIOS RESUELTOS

90

� cos 291° � sen 21° � 0,36

� cosec 291° ��sen

1

291°���

� co

1

s 21°�

Hay que calcular, en primer lugar, el coseno de 21°:

cos 21° � �1 � sen�2 21�� 0,93

Por tanto:

cosec 291° ��� 0

1

,93�� � 1,07

c) Dado que sen (2 � �) � �sen �, y que sen ��

2� � ��� cos �, sen ( ��) � sen �,

sustituyendo:

�

Como 1 � cos2 � � sen2 �, sustituimos y simplificamos:

��sen

s

�

en

�

�

sen2 ��� �1� sen �

�sen � � cos2 � � 1���

sen �

�sen � � cos � � cos � � 1����

sen �

b) Dado que 1 � tg2 � � sec2 �, �cose

1

c2 ��� sen2 �, si sustituimos, resulta:

�1

co

�

se

tg

c2

2

�

��� sec2 � � sen2 � � �

cos

12 �� � sen2 � � tg2 �

a) Dado que cos ��

2� � �� � �sen �, tg ( � �) � tg �, y sen (��) � �sen �, sustitu-

yendo y simplificando, resulta:

� � tg ��sen � � tg ���

�sen �

cos ��

2� � �� � tg ( � �)

���sen (��)

Simplificación de expresiones trigonométricas

5. Simplificar estas expresiones:

a)

b) �1

co

�

se

tg

c2

2

�

��

cos ��

2� � �� � tg ( � �)

���sen (��)

A partir de 1 � tg2 � � sec2 �, y como � es un ángulo del tercer cuadrante (sen � 0,

cos � 0 y tg � � 0), se obtiene:

tg � � ��se�c2� �� �� 1� � ��15�

cos � � �se

1

c �� � �

�

1

4� � �0,25

sen � � tg � � cos � � �15� � ���

4

1����

��4

15��

cosec � � �sen

1

�� � � �

�4

1

�5

15��

cotg � � �tg

1

�� � � �

�1

1

5

5��

1��15�

4���15�

Cálculo de las razones trigonométricas

4. Sabiendo que sec � � �4 y que

180° � 270°, calcular las demás

razones trigonométricas de � sin

utilizar la calculadora.

3. A partir de la igualdad

sen 21° � 0,36, determinar

cos 291° y cosec 291°.

c)

sen (2 � �) � cos � � sen ��

2� � ��� 1

�����sen ( � �)

ma1b12

91

Dado que 1 � sen4 � es una diferencia de cuadrados:

�1 �

co

s

s

e2

n

�

4 ��� � 1 � sen2 � � 1 � 1 � cos2 � � 2 � cos2 �

Como se quería demostrar.

(1 � sen2 �) � (1 � sen2 �)���

cos2 �

Demostración de identidades trigonométricas

6. Demostrar la igualdad

�1 �

co

s

s

e2

n

�

4 ��� 2 � cos2 �.

En la figura 3.43 se observa que la altura que

hay que calcular, a la que denominaremos h,

corresponde a un mismo cateto de dos trián-

gulos rectángulos cuyo ángulo opuesto a

dicha altura conocemos.

Como no sabemos la distancia que hay des-

de el pie de la Giralda hasta el punto en el

que se efectúa la primera observación, le asig-

namos una incógnita, x.

Por tanto, la distancia desde el segundo punto de observación será x �10.

A continuación, escribimos para cada triángulo el valor de la tangente del ángulo de

observación y obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x y h.

tg 29° � �h

x�

tg 26,6° � �x �

h

10�

Igualando las expresiones que resultan al despejar x en cada una, se obtiene:

�tg

h

29°� ��

tg 2

h

6,6°�� 10

Reduciendo a común denominador y sacando factor común, queda:

h � (tg 29° � tg 26,6°) � 10 � tg 29° � tg 26,6°

Despejando h y realizando el cálculo, se obtiene:

h � � 51,84 m

Esta es la altura que, según las observaciones realizadas, se deduce para la primera terraza

de la Giralda.

10 � tg 29° � tg 26,6°��

tg 29° � tg 26,6°

8. Observamos la primera terraza

de la Giralda de Sevilla bajo

un ángulo de elevación de 29°;

después, nos alejamos 10 m

y repetimos la observación.

El ángulo de elevación es ahora

de 26,6°. Calcular la altura de

la primera terraza de la Giralda.

Se puede dividir el pentágono en 10 triángulos rectángulos iguales. El ángulo � vale

�3

1

6

0

0°� � 36° (figura 3.42):

b � r � sen � �3 � sen 36° � 1,76 cm

h � r � cos � �3 � cos 36° � 2,43 cm

Llamando P al perímetro, se obtiene:

P � 10 � b � 17,6 cm

El área del pentágono es:

A � �10 �

2

b � h�� 5 � b � h � 21,38 cm2

Aplicaciones de la trigonometría

7. Calcular el área y el perímetro

de un pentágono regular inscrito en

una circunferencia de radio 3 cm.

�r � 3

hb

FIGURA 3.42.

FIGURA 3.43.

10 mx

h

29°

26, 6°

EJERCICIOS RESUELTOS

92

Ángulos

Dada una circunferencia de 3 m de radio, calcula lalongitud de una cuerda correspondiente a un ángulo cen-tral de 38,5°.

Solución: l � 1,98 m

En una trayectoria circular de 7 m de radio, un móvilse desplaza a 3 m/s. Calcula el ángulo central recorrido en 4 s y escribe el resultado en grados sexagesimales y enradianes.

Solución: �1

7

2� rad � 98,22°

Expresa los siguientes ángulos en radianes.

a) 320° b) 1 273° c) 125° d) �765°

Solución: a) 5,59 rad b) 22,22 rad

c) 2,18 rad d) �13,35 rad

Expresa como un ángulo entre 0° y 360°.

a) 1230° b) �730° c) 9,63 rad d) �14

3

� rad

Solución: a) 150° b) 350° c) 3,35 rad d) 2/3 rad

¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 9 y 20?¿Y a las 9 y 15? ¿Y a las 6 y media?

Solución: A las 9:20 son 200°, a las 9:15 son 172,5° y a las 6:30 son 345°

En una circunferencia de radio 10 cm, un arco mide20 cm. Averigua el valor del ángulo central correspondien-te y qué longitud tiene la cuerda que determina.

Solución: � � 114°35’29,6’’, c � 16,83 cm

Razones trigonométricas

Resuelve un triángulo rectángulo, sabiendo que la tangente de uno de sus ángulos agudos es 3,5 y que el cateto opuesto a este ángulo mide 2 cm.

Solución: cateto � 0,57 cm, hipotenusa � 2,08 cm

¿Es posible que exista un ángulo, �, que verifique

simultáneamente sen � � y cos � � ? ¿Por qué?

Si cotg � � cotg �, ¿podemos asegurar que � y �son iguales? Razona tu respuesta.

Dibuja un ángulo del segundo cuadrante cuyo coseno vale �3/5, utilizando una circunferencia de radiounidad.

Dibuja los ángulos cuyo seno vale � utilizandouna circunferencia de radio unidad.

Utiliza una circunferencia de radio unidad para di-bujar los ángulos cuya tangente es 2.

Si cos � � �1,11, indica cuál de las siguientes afir-maciones es cierta y razona tu respuesta.

a) � es un ángulo negativo.

b) � está en el tercer cuadrante.

c) � es un ángulo mayor que 2.

d) Es imposible que el coseno de un ángulo sea �1,11.

13

12

1�4

11

10

9

2�5

3�5

8

7

6

5

4

3

2

1

Señala en qué cuadrante está el ángulo � si:

a) sen � � 0 y cos � 0

b) sen � 0 y tg � � 0

c) sec � 0 y cosec � 0

d) cotg � 0 y cos � � 0

Sean � y � dos ángulos cualesquiera teniendo encuenta que:

tg � � tg �; 270° � 360°; 270° � 360°

indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o no.

a) � �

b) sen � sen �

c) � �

d) sen � sen �

Si tg �� �4 y �

2� �, calcula las demás razones

trigonométricas.

Solución: sen � � 0,97, cos � � �0,24, cosec � � 1,03,

sec � � �4,17, cotg � � �0,25

Si sen � � �0,3 y 180° � 270°, calcula las otrasrazones trigonométricas.

Solución: cos � � �0,95, tg � � 0,31, cosec � � �3,33,

sec � � �1,05, cotg � � 3,22

Si cos � � 0,65 y �3

2

� � 2, calcula las restantes

razones trigonométricas.

Solución: sen � � �0,76, tg � � �1,17, cosec � � �1,32,

sec � � 1,54, cotg � � �0,86

De un ángulo � sabemos que:

tg � � ��1

2�; sen � cos �

¿En qué cuadrante se encuentra dicho ángulo?

Señala si las siguientes igualdades son ciertas o no.En este último caso, escribe la igualdad correcta.

a) sen � � sen (180° � �)

b) cos � � sen (90° � �)

c) sec � � sec (2 � �)

d) tg � � cotg ��3

2

�� ��

e) cosec � � �cosec ( � �)

f) cotg � � cotg (360° � �)

A partir de las razones trigonométricas de 0°, 30° y45° calcula.

a) sen 135°

b) cos 720°

c) cos 210°

d) tg 300°

e) cos 450°

f) tg 135°

g) tg 210°

21

20

19

18

17

16

15

14

93

Sin usar la calculadora, halla todos los valores de �en el primer giro que verifican las siguientes igualdades.

a) sen � � � �1

2� d) tg � � �3�

b) sec � � ��2� e) cosec � � �

c) cos � � f) cosec � � �2

Averigua sin utilizar la calculadora:

a) sen 1 500° c) cos 2 745° e) tg 2 010°

b) sen ��61

3

�� d) cos ��

37

6

�� f) tg ���

7

3

��

Solución: a) �3�/2 b) �3�/2 c) ��2�/2

d) �3�/2 e) �3�/3 f) ��3�

Sabiendo que sen � � �3

4� y que � es un ángulo del

primer cuadrante, calcula:

a) sen (180° � �) d) sen (180° � �) g) cosec �

b) cosec (��) e) cos (360° � �) h) cos ��3

2

� � ��

c) tg ��3

2

� � �� f) sec (180° � �) i) cotg (��)

Solución: a) 3/4 b) �4/3 c) ��7�/3 d) �3/4 e) �7�/4

f) �4�7�/7 g) 4/3 h) �3/4 i) ��7�/3

Halla estas razones trigonométricas sin calculadora.

a) sen 150° f) cos 225° k) tg (�45°)

b) cosec 120° g) cotg 240° l) sec 135°

c) sen 315° h) sec (�120°) m) sen 1 395°

d) cosec ��7

6

�� i) sen ��

13

3

�� n) tg ��

2

3

��

e) tg (�495°) j) cotg ��13

2

�� ñ) cosec 720°

Calcula las siguientes razones trigonométricas:

a) tg (7 � �), si tg � � 2

b) tg ��7

2

� + ��, si tg � � �

3

2�

Solución: a) �2 b) �2/3

Calcula los ángulos del primer giro que cumplen:

a) cos � � 0,989

b) tg � � 2,5

Solución: a) 8° 30’ 22,13’’ y 351° 29’ 37,9’’

b) 68° 11’ 54,93’’ y 248° 11’ 54,93’’

Utilizando la calculadora, averigua el valor que tieneel ángulo �.

a) sen � � �0,15, � 3/2

b) cos � � �0,92, � �

c) tg � � 2,35, � �

d) cotg � � 0,36, � /2

Solución: a) 188° 37’ 37’’ b) 203° 4’ 26’’

c) 246° 56’ 55,3’’ d) 70° 12’ 4’’

28

27

26

25

24

23

1��2�

2��3�

22 Expresiones trigonométricas

Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas.

a)

b) �1 �

co

s

s

e

2

n

�

��

c) (2 � cosec2 �)� �sen4

s

�

e

�

n2�

cos4��

d)

e) sen4 � � sen2 � � cos2 �

f)

g) � (1 � sen �)

Solución: a) 1 b) 1 � sen � c) 1 d) 2��3� � �2��/�3�2��e) sen

2 � f) cotg � g) �cos2 �

Demuestra, de forma razonada, las siguientes igual-dades.

a) �c

s

o

e

t

c

g

2 �

�� (1 � sen2 �) � cosec2 � ��

co

co

se

s

c

�

��

b) (1 � sen2 �) � �co

1

s �� ��

2

1

�

�

s

c

e

o

n

s2

2

�

��� tg � � sen �

c) cotg2 � � cos2 � � cotg2 � � �cos2 �

d) �co

se

s4

n

�

�

�

� c

s

o

e

s

n

�

4 ����

1 �

tg

tg

�

2 ��

e) (1 � tg �) � (1 � cotg �) ��(se

se

n

n

�

�

�

� c

c

o

o

s

s

�

�)2

�

Triángulos rectángulos

Resuelve cada uno de los triángulos rectángulos dela figura.

FIGURA 3.44.

Solución: a) B � 65°, b � 3,63 cm, c � 1,69 cm

b) C � 55°, c � 4,28 cm, a � 5,23 cm

c) B � 30°, C � 60°, c � 8,66 cm

Calcula el ángulo de elevación del Sol sobre el hori-zonte, sabiendo que una estatua proyecta una sombra quemide tres veces su altura.

Solución: � � 18° 26’ 6’’

32

31

30

�sen � � cos2 � � 1���

sen �

cos3 � � cos � � sen2 ����sen3 � � cos2 � � sen �

sen ��

4��� tg ��

6��

���

sen ��

3��� cos ��

3

2

��

29

cos ( � �) � sen ��

2� � ��

����

sen ��3

2

� � ��� cos ( � �)

B

C A

35°

b � 3 cm

B

a � 4 cm

AC25°

C

a �

10

cm

B

Ab � 5 cm

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

94

En un triángulo ABC, rectángulo en A, conocemos laaltura correspondiente al vértice A, que es 7 cm, y el catetob que es de 9 cm. Calcula el valor de los ángulos B y C, delcateto c, y de la hipotenusa, a.

Solución: B � 38° 56’ 32,79’’, C � 51° 3’ 27,21’’, a � 14,32 cm,

c � 11,14 cm

En un triángulo rectángulo, conocemos la altura correspondiente relativa a la hipotenusa, que es 3 cm, y lahipotenusa, a � 10 cm. Calcula el valor de los ángulos agu-dos, y la medida de los catetos.

Solución: B � 18° 26’ 5,82’’, C � 71° 33’ 54,18’’, c � 9,49 cm

y b � 3,16 cm

Conociendo la longitud de la hipotenusa de untriángulo rectángulo, 16 cm, y que la proyección ortogonalde uno de los catetos sobre ella es de 9 cm, calcula el áreadel triángulo.

Solución: A � 63,50 cm2

En un triángulo rectángulo, un cateto, b, mide 5 cmy su proyección sobre la hipotenusa 4 cm. Calcula la longi-tud de la hipotenusa y del otro cateto.

Solución: a � 6,25 cm, c � 3,75 cm

Construye un triángulo rectángulo cuyos catetosmidan b � 5 cm y c � 12 cm. Calcula la longitud de la hi-potenusa, las proyecciones de los catetos sobre la hipote-nusa, la altura correspondiente a la hipotenusa y los ángu-los agudos de dicho triángulo.

Solución: a � 13 cm, B � 22° 37’ 11,51’’, C � 67° 22’ 48,49’’,

h � 4,62 cm, proyb � 1,92 cm y proyc � 11,08 cm

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipote-nusa la divide en dos segmentos de 4,3 y 7,8 cm, respecti-vamente. Calcula:

a) Los ángulos agudos del triángulo.

b) La longitud de los catetos.

c) Su área.

Solución: a) 53° 24’ 24,18’’ y 36° 35’ 35,82’’

b) 9,71 cm y 7,21 cm c) A � 35,04 cm2

Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mi-de B � 27° 45’ 12’’ y su cateto opuesto, b � 4 cm. ¿Cuántomiden los otros lados y ángulos del triángulo?

Solución: a � 8,59 cm, c � 7,60 cm, C � 62° 14’ 48’’

Calcula el perímetro del triángulo rectángulo ABC,

sabiendo que la longitud del segmento CP es 2�3� cm.

FIGURA 3.44.

Solución: 10,24 cm

B

C

P A

45�

30�

40

39

38

37

36

35

34

33 Problemas de aplicación

Una circunferencia mide 48,56 cm y las dos tangen-tes trazadas desde un punto exterior forman un ángulo de 25°. Calcula la distancia del centro de la circunferencia adicho punto.

Solución: d � 35,71 cm

Los radios de dos circunferencias tangentes exte-riormente son de 15 cm y 8 cm, respectivamente. Calcula elángulo que forman sus tangentes comunes.

Solución: 35° 26’ 16,31’’

Bajo un ángulo de 90°, un barco divisa dos platafor-mas petrolíferas. Se sabe que la distancia a una de las pla-taformas es de 6,8 km, y que la distancia a la línea imagina-ria que las une es de 6 km. Calcula la distancia que hayentre las plataformas y la distancia del barco a la segundaplataforma.

Solución: 14,45 km y 12,75 km, respectivamente

Calcula los ángulos de un rombo sabiendo que lalongitud de sus lados es de 5 cm y que sus diagonales mi-den 6 cm y 8 cm.

Solución: 106° 15’ 37’’ y 73° 44’ 23’’

Desde un helicóptero que vuela a 300 m de alturase observa un pueblo, bajo un ángulo de depresión de 25°.Calcula la distancia del helicóptero al pueblo medida so-bre la horizontal.

Solución: 643,35 m

El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide32° 24’ 36’’. El lado desigual mide 7 cm. Calcula el área deltriángulo.

Solución: A � 42,15 cm2

El ángulo desigual de un triángulo isósceles es de25°. Los lados iguales miden 7 cm cada uno. Calcula el áreadel triángulo.

Solución: A � 10,35 cm2

El área de un triángulo rectángulo es 30 cm2, y su hi-potenusa mide 13 cm. Averigua el valor de los ángulosagudos de dicho triángulo.

Solución: 67° 22’ 48,49’’ y 22° 37’ 11,51’’

Un grupo de bomberos intenta llegar con una esca-lera de 5 m de longitud a una ventana de un edificio que es-tá situada a 4 m del suelo, de donde sale una densa nube dehumo. ¿A qué distancia de la pared del edificio habrán decolocar los bomberos el pie de la escalera para poder entrarpor la ventana?

Solución: 3 m

Situados en un punto de un terreno horizontal, elángulo que forma la visual dirigida al punto más alto de unárbol con la horizontal, es de 60°. ¿Cuál será el ángulo que se formará si nos alejamos a una distancia del árbol el triple de la inicial?

Solución: � � 30°

Desde el suelo, vemos la terraza de un rascacielosbajo un ángulo de 40°. ¿Con qué ángulo la veríamos desdeuna distancia que fuera la mitad de la anterior?

Solución: � � 59° 12’ 36,96’’

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41

95

En un círculo de 14 cm de radio, calcula el perímetrode un sector circular correspondiente a un ángulo centralde 40°.

Solución: P � 37,77 cm

Calcula el área del segmento circular correspon-diente a un ángulo central de 115° en una circunferenciade 15 cm de radio.

Solución: A � 123,84 cm2

Dos observadores ven el punto más alto de una to-rre bajo un ángulo de 58° y 75°, respectivamente, tal comoindica la figura. La distancia que los separa es de 25 me-tros. Calcula la altura de la torre.

FIGURA 3.47.

Solución: h � 28 m

Observamos la cima de una montaña bajo un ángu-lo de elevación de 67°. Si nos alejamos 300 m, el ángulo deelevación es de 27°. Calcula la altura de la montaña.

Solución: 195,04 m

Para medir la anchura de un río, dos amigos se colo-can en una de las orillas separados una distancia de 150 m.Los dos miden el ángulo que forma su visual a un árbol,punto de la orilla contraria con la recta que los une, y resul-tan 39° y 75°, tal como indica la figura. ¿Cuál es la anchuradel río?

FIGURA 3.48.

Solución: a � 99,81 m

A

B

P

a

150 m

75�

39�

río

65

64

25 m

58� 75�

63

62

61La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide eltriple que uno de los catetos. Averigua el valor de los ángu-los de este triángulo y la relación entre la hipotenusa y elotro cateto.

Solución: 70° 31’ 43,61’’ y 19°28’16,39’’

El radio terrestre, R, mide alrededor de 6 370 km.¿Cuál es la longitud aproximada del paralelo que pasa porSevilla? (Latitud de Sevilla: 37° 20’)

FIGURA 3.46.

Solución: 31 823,83 km

Calcula los ángulos que determina la diagonal deuna caja de zapatos de 35 x 20 x 15 cm con cada una de lascaras.

Solución: Con la cara de 35 � 20, 20° 24’ 37,6’’. Con la cara de 35 � 15,

27° 42’ 34,6’’. Con la cara de 15 � 20, 54° 27’ 44,36’’

Un rectángulo de 3 cm � 4 cm está inscrito en unacircunferencia. Calcula cuánto miden los arcos que deter-mina en ella.

Solución: 4,64 cm y 3,22 cm

Halla el área de un octógono regular inscrito en unacircunferencia de 5 m de radio.

Solución: A � 70,71 m2

Un pentágono regular está inscrito en una circunfe-rencia de radio 10 cm. Calcula:

a) El área del pentágono.

b) El área de la corona circular que forman dicha circun-ferencia y la circunferencia inscrita en el pentágono.

Solución: a) A � 237,76 cm2 b) A � 108,54 cm

2

Calcula el radio de la circunferencia inscrita y cir-cunscrita a un decágono regular de 25 cm de lado.

Solución: ri � 38,47 cm y rc � 40,45 cm

Un club náutico dispone de una rampa para efectuarsaltos de esquí acuático. Esta rampa tiene una longitud de 8 m y su punto más elevado se encuentra a 2 m sobre el niveldel agua. Si se pretende que los esquiadores salgan desdeun punto situado a 2,5 m de altura, ¿cuántos metros hay quealargar la rampa sin variar el ángulo de inclinación?

Solución: 2 m

Un trapecio regular tiene una altura de 4 cm y susbases miden 8 cm y 14 cm, respectivamente. Calcula su pe-rímetro, su área y el valor de sus ángulos.

Solución: P � 32 cm, A � 44 cm2, ángulos: 53,13° y 126,87°

60

59

58

57

56

55

54

R37° 20'

r

53

52

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

96

Desde dos puntos distantes entre sí 3 km se observaun globo sonda. El ángulo de elevación desde uno de lospuntos, A, es 24,° y desde el otro, B, 36°. ¿Cuál es el puntomás próximo al globo sonda? ¿Y la altura del globo?

Solución: Primer caso: d � 1,86 km y h � 0,83 km

Segundo caso: d � 4,75 km y h � 3,45 km

Desde un punto observamos la copa de un árbolbajo un ángulo de 40°. Desde ese mismo punto, pero a unaaltura de 2 m, vemos la copa bajo un ángulo de 20°. Calculala altura del árbol y la distancia a la que nos encontramosde él.

Solución: h � 3,53 m y x � 4,21 m

El ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte esde 48°. Calcula la longitud de la sombra que proyectará unaestaca clavada verticalmente en el suelo si su longitud esde 1,3 m. ¿Cuál sería la longitud de la sombra de la estacasi esta estuviera inclinada 5° respecto de la vertical?

Solución: s � 117,05 cm. Si está inclinada 5°, s � 105,28 cm o s � 127,94 cm

Desde un punto situado a una cierta distancia de lafachada de un edificio, observamos su punto más alto bajoun ángulo de 49°, tal como se indica en la figura. Nos aleja-mos 60 m, bajando unas escaleras, y desde un punto 10 mpor debajo del anterior, vemos el mismo punto en lo alto deledificio bajo un ángulo de 26°. Calcula la altura del edificio.

FIGURA 3.49.

Solución: h � 33, 44 m

Para calcular la altura de un mural, realizamos dosmediciones desde dos puntos A y B, como se indica en lasiguiente figura. Calcula la distancia de ambos puntos almural, y la altura de este.

FIGURA 3.50.

Solución: La distancia de A al mural es de 3,21 m y la distancia de B al mural

es de 1,11 m. La altura del mural es de h � 3,05 m

Se observa la cima de un promontorio de altura 100 m bajo un ángulo de 17°. Nos acercamos una ciertadistancia y entonces el ángulo de elevación es de 30°.Calcula qué distancia nos hemos acercado.

Solución: 153,88 m

71

B

A30�

70�

2,1 m

1,2 m

h

70

10 m

60 m

26�49�

69

68

67

66 El poste central de una carpa se sujeta con cables alsuelo. En el punto de fijación del cable con el suelo, el án-gulo que forma el cable con el terreno, supuestamente ho-rizontal, es de 45°, y se gastan 2 m más de cable que si elcable y el terreno forman un ángulo de 55°. Si hacen falta 6cables para realizar una sujeción segura del poste, averi-gua cuánto cable hace falta si gastamos la menor cantidadposible, y cuál es la altura del poste.

Solución: 75,73 m de cable y h � 10,34 m

Queremos averiguar la anchura de un voladizo si-tuado a 8 m de altura. Desde un mismo punto realizamosdos mediciones y obtenemos los ángulos que se indicanen la figura. Calcula la anchura del voladizo.

FIGURA 3.51.

Solución: a � 0,92 m

Desde un barco A se divisa la luz de un faro bajo unángulo de 45°, y su base, que está en una pequeña eleva-ción de la costa, bajo un ángulo de 20°. Una barca, B, situa-da a 15 m del punto de la costa en que está el faro, ve suluz bajo un ángulo de 65°. Calcula cuánto mide el faro des-de su base hasta su luz.

Solución: 20,46 m

Para calcular la altura de un punto P inaccesible, dosamigos, A y B, han realizado las mediciones que se reflejanen la figura. Sabiendo que el ángulo OAB es recto, calcula laaltura del punto P, perpendicular al plano OAB.

FIGURA 3.52.

Solución: L � 19,77 m

En un triángulo rectángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm se considera un punto P, que dista 1 cm del catetomás largo y de la hipotenusa. Desde este punto trazamosperpendiculares a los dos catetos, de forma que queda dibu-jando un rectángulo. ¿Cuál es la superficie de este rectángu-lo?

76

A

B

P

O25 m

30�

25�

75

748

m

41�

44�

73

72

Soy capaz de… Actividades

Conocer las razones trigonomótricas de un ángulo, así como las del ángulo suma y diferencia de otros dos. 1-5

Resolver problemas geométricos del mundo natural, geométrico o tecnológico, utilizando las fórmulas trigonométricas usuales. 1, 5-7

Realizar estimaciones y elaborar conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver valorando su utilidad y eficacia. 2

Valorar la información de un enunciado y relacionarla con el número de soluciones del problema. 3

Recrear entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar, analizar y comprender propiedades geométricas. 6

1. Calcula las razones trigonométricas del ángulo � de este triángulo rectángulo.

2. Si el coseno y la tangente de un ángulo son negativos, ¿entre qué valores está el ángulo?

3. Halla las siguientes razones trigonométricas sabiendo que cotg � � 1.a) sen �b) cos (180° � �)c) tg (90° � �)d) ¿En qué cuadrantes puede estar �? ¿Qué valores puede tomar? Da tu respuesta en grados y en radianes.

4. Comprueba que se cumplen las siguientes identidades.

a) cos ��

2� � �� � sen ( � �) � cos (2 � �) � sen ��

2� � ��� 1

b) � �sen �

5. En un triángulo isósceles, el seno del ángulo desigual es �12

�. ¿Cuáles son las posibles medidas de los ángulos?

6. Calcula el área y el perímetro de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. Utiliza GeoGebra para realizar la construcción y comprueba que se obtiene el mismo resultado para el área que elobtenido mediante trigonometría.

7. Marta observa el punto más alto de la torre Eiffel, de 324 m de altura, bajo un ángulo de 60°. Su amigo Cristian lerecomienda que mire bajo un ángulo de 45°. ¿Qué distancia debe alejarse?

sen (2 � �) � cos ��� � �

2��

����sen ( � �)

6 cm

8 cm

α

97

Evaluación