07 Capt6 Integracao Numerica - Univap - Universidade … · Veremos aqui duas metodologias para...
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VI – Integração Numérica – Cálculo Numérico – Prof. Dr. Sergio Pilling 1
Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo – FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia)
Objetivos: O objetivo desta aula é apresentar o método de integração numérica baseado nas fórmulas de Newton-Cotes onde aproximamos a função que se quer integrar por um polinômio cuja integração é trivial. Veremos aqui duas metodologias para cálculo de integras utilizando máquinas digitais: a regra do Trapézio e a regra 1/3 de Simpson (e suas formas repetidas que minimizam bastante o erro do procedimento). 1. Introdução
Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo
[a,b], como nos casos acima, é através dos métodos numéricos que estudaremos nessa aula. A idéia básica desses métodos de integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a,b]. Assim o problema fica resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Com
esse raciocínio podemos deduzir fórmulas para aproximar
Nessa aula, as formulas que deduziremos terão a expressão abaixo: Formulas desse tipo são chamadas de fórmulas de Newton-Cotes fehcadas:
VI – Integração Numérica
VI – Integração Numérica – Cálculo Numérico – Prof. Dr. Sergio Pilling 2
2. Fórmulas de Newton-Cotes
2.1 Regra do Trapézio
A idéia da regra do trapézio é aproximar a função f(x) por um polinômio de ordem 1 (reta). Veremos que, nessa aproximação a integral da função f(x) pode ser aproximada pela área de 1 trapézio.
Se usarmos a formula de Lagrange para expressar o polinômio interpolador de ordem 1,
p1(x), que interpola f(x) nos pontos x0 e x1, teremos o seguinte:
)()()()()( 11001 xLxfxLxfxp +=
Base maior, f(x1)
Base menor, f(x0)
Altura h
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Fazendo h = (x1 – x0)/n, onde nesse caso n=1 (n é o número de subdivisões do intervalo [x1, x0]) e substituindo os fatores de Lagrange no polinômio podemos reescrevê-lo assim: Pela nossa aproximação, temos então que integral da função f(x) será escrita por: Dessa forma a integral de f(x) no intervalo [a,b] pode ser aproximada pela área de um trapézio de base menor f(x0), base maior f (x1) e altura h.
Estimativa para o erro da regra do trapézio.
ou
Calculando a estimativa para o erro, teremos: Como a derivada segunda de f(x) é logo
)]()([2
)()()()()()( 1010
01
1
1
0
1
0
xfxfhdxxfh
xxxfhxxdxxpdxxf
x
x
xb
xa
b
a
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+−−
=≈ ∫∫∫=
=
de IT
IT
)´´(max126
],[
3
xfEbaxT ∈
≤
46)´´( −= xxf x |f’’(x)| 1 6 2 0.375 3 0.074074 4 0.023438 5 0.0096 6 0.00463 7 0.002499
10861263
=×≤TE
2) Calcular uma estimativa para o erro utilizando essa técnica numérica.
)´´(max12
)(],[
3
xfabEbaxT ∈
−≤
Erro muito grande!!
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Exemplo 2 Qual seria uma estimativa para o erro deste procedimento? Solução: Nesse caso temos x0=1 e x1=9, portanto h= (9-1)/1=8 Então a integral aproximada pelo método do trapézio será: Calculando a estimativa para o erro, teremos: Como a derivada segunda de f(x) é O valor máximo de |f”(x)| = 9 ocorre quando x=1. logo Erro muito grande!! Exercício 1 Calcule a valor numérico das integrais abaixo pelo método do trapézio e estime o erro do método:
a) b)
ALGORITMO
( ) 3259651628
=−×+−×=TI
2/3)56(9)´´( −−−= xxf x f’’(x) |f’’(x)|1 -9 92 -0.48298 0.4829773 -0.18601 0.1860064 -0.10434 0.1043355 -0.0636 0.06366 -0.04607 0.0460727 -0.02999 0.0299948 -0.01596 0.0159599 -0.01312 0.01312
38491283
=×≤TE
)´´(max128
],[
3
xfEbaxT ∈
≤
∫ −10
5
2 dxex x ∫3/
5/
2π
π
dxsenx
Resp: IT ≈ -55125; |ET| ≤ 339421 Resp: IT= ; |ET| ≤
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2.1 Regra do trapézio repetida
A regra do trapézio é uma aproximação um pouco grosseira para o valor da integral o que pode ser verificado tanto graficamente quanto pela expressão do erro. Contudo, se aplicarmos dentro de um certo intervalo [a,b] a regra do trapézio repetidas vezes a aproximação será melhor conforme podemos observar na figura abaixo.
Dividindo o intervalo [a,b] em subdivisões iguais de largura h= xi+1 – xi , i = 0, 1, 2, 3, ...n ou ainda,
Os valores de cada um dos pontos xi das subdivisões podem ser obtidas a partir da expressão:
Dessa forma podemos escrever a integral de f(x) como sendo a soma das áreas dos n trapézios pequenos contidos dentro do intervalo [a,b] como é mostrado na figura acima.
Logo, o valor numérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será:
Estimativa para o erro na regra do trapézio repetida será:
h
P1(x)
Comparando com a regra do trapézio!
=ITR
2nEE T
TR =
)´´(max12
)(],[
3
xfabEbaxT ∈
−≤
...
...
hixxi ×+= 0
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Se quisermos saber quantas subdivisões são necessárias para atingir um certa precisão dada, ou seja, um certo valor de erro, fazemos o seguinte cálculo:
Exemplo 3 A) Calcule o valor numérico da integral do exemplo 1, , usando a regra do trapézio repetida considerando 6 subdivisões. B) Calcule, em seguida, uma estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida. C) Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que 0,001 = 10-3? Solução: Inicialmente calculamos a largura de cada subdivisão, ou seja, o valor de Agora encontramos o valor de cada subdivisão. A fórmula geral para encontrar o valor de cada subdivisão é xi = xi-1 + h = x0 +i h Nesse caso temos 6 subdivisões igualmente espaçados por h.
x0= 1; x1=2; x2=3; x3=4; x4=5; x5=6; x6=7 O valor numérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será:
Para estimarmos o erro do processo temos que calcular o valor maximo de |f”(x)| dentro do intervalo [a,b]. Como f(x)=1/x2 =x-2 → f´(x)=-2x-3→ f´´(x)=6x-4→ |f”(x)|=6x-4 Jogado valores de x dentro do intervalo [a,b] para |f”(x)| encontramos o valor máximo igual a 6 (ver tabela ao lado) Dessa forma o erro nesse caso será:
)´´(max12
)(],[
3
xfEabn
baxTR
∈
−>
166
617
==−
=−
=n
abh
x0=a x1 x2 x3 x4 x5 x6=b
h=1
ITR=
00159,161
51
41
31
212
71
11
21
2222222 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++= 2
52
42
32
22
12
62
0
111112112 xxxxxxxh
x |f’’(x)|1 62 0.3753 0.0740744 0.0234385 0.00966 0.00463
36612)17(2
3
=××−
=
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O número de subdivisões para que o erro fosse menor do que 0,001 = 10-3 pode ser obtido por: n=329
Exemplo 4 A) Calcule o valor numérico da integral do exemplo 1, , usando a regra do trapézio repetida considerando 10 subdivisões. B) Calcule, em seguida, uma estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida. Solução: Nesse caso temos que n=10. Inicialmente calculamos a largura de cada subdivisão, ou seja, o valor de Agora encontramos o valor de cada subdivisão. A fórmula geral para encontrar o valor de cada subdivisão é xi = xi-1 + h = x0 +i h Nesse caso temos 10 subdivisões igualmente espaçados por h.
x0= 1; x1=1,6; x2=2,2; x3=2,8; x4=3,4; x5=4; x6=4,6; x7=5,2; x8=5,8; x9=6,4; x10=7 O valor numérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será:
Para estimarmos o erro do processo temos que calcular o valor máximo de |f”(x)| dentro do intervalo [a,b]. Como f(x)=1/x2 =x-2 → f´(x)=-2x-3→ f´´(x)=6x-4→ |f”(x)|=6x-4 Jogado valores de x dentro do intervalo [a,b] para |f”(x)| encontramos o valor máximo igual a 6 (ver tabela ao lado) Dessa forma o erro nesse caso será:
63.32861012
)17()´´(max12
)(3
3
],[
3
=××−
=−
> −∈xf
Eabn
baxTR Lembre que n é um
numero inteiro!
6,0106
1017
==−
=−
=n
abh
x0=a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10=b
h=0,6
ITR=
9134,04,61
8,51
2,51
6,41
41
4,31
8,21
2,21
6,112
71
113,0 22222222222 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++++++++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++++++= 2
92
82
72
62
52
42
32
22
12
102
0
1111111112112 xxxxxxxxxxxh
x |f’’(x)|1 62 0.3753 0.0740744 0.0234385 0.00966 0.00463
08,16
1012)17(
2
3
=××−
=
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Exemplo 4 Seja Calculando a estimativa para o erro, teremos: Como a derivada segunda de f(x) é O valor máximo de |f”(x)| = 2.7182 ocorre quando x=1. logo Erro bem pequeno!!
b) Logo Lembrando que n é um numero inteiro, devemos ter n = 16 subintervalos dentro de [0,1] para que o erro seja menor que 10-3.
Solução:
)´´(max1012
)01()´´(max12
)(],[2
3
],[2
3
xfxfnabE
baxbaxTR ∈∈ ×−
=−
≤
xexf =)´´( x | f’’(x)|
0 1 0.1 1.105171 0.2 1.221403 0.3 1.349859 0.4 1.491825 0.5 1.648721 0.6 1.822119 0.7 2.013753 0.8 2.225541 0.9 2.459603 1 2.718282
00227.07182.21200
1≈×≤TRE
3
],[2
3
10)´´(max12
)( −
∈=
−≤ xf
nabE
baxTR
15.05047067182.21012
)01()´´(max12
)(3
3
],[
3
=×−
=×−
> −∈xf
Eabn
baxTR
∑−
=
1
1)(2
n
iixf)( 0xf )( nxf
x0=a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10=b
h=b-a/10
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Exercício 2 A) B) Determine a estimativa para o erro (ETR) nesse caso. Dica: C) Quantas subdivisões devemos ter para que o erro seja menor do que 0,0001 = 10-4? Resp: ITR= 37,8181; ETR ≤ 6; n=; Exercício 3 A) B) Determine a estimativa para o erro (ETR) nesse caso. C) Quantas subdivisões devemos ter para que o erro seja menor do que 0,00001 = 10-5?
Resp: ITR= 5176,40; ETR ≤ 120,001; n= Exercício 5 A) B) Determine a estimativa para o erro (ETR) nesse caso. Dica considere os valores de sen(x) em radianos! C) Quantas subdivisões devemos ter para que o erro seja menor do que 0,000001 = 10-6?
Resp: ITR= 27,027 ; ETR ≤ ; n=
6 ∫ +8
2
3 15 dxx
x
2/3)56(9)´´( −−−= xxf
5∫−
+8
3
)( dxxsenx
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2.2. Regra 1/3 de Simpson Consideremos agora que se queira aproximar f(x) por um polinômio interpolador de
ordem 2 (parábola), p2(x), que é dado pela formula de Lagrange;
temos ainda que:
Logo,
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Logo, o valor numérico da integral calculada segundo a regra 1/3 de Simpson será:
Estimativa para o erro na regra 1/3 de Simpson:
Exemplo 5 Calcular utilizando a regra 1/3 de Simpson e dar uma estimativa para o erro utilizando essa técnica de integração numérica. Solução: Temos nesse caso 3 pontos a considerar dentro do intervalo [a,b]=[1,7], são eles: x0=1 e x1=(1+7)/2=4 e x2=7 Como agora temos n=2 subdivisões dentro do intervalo [a,b] teremos h= (b-a)/2 = (7-1)/2 = 3 O valor numérico da integral será: Calculando a estimativa para o erro, teremos: Derivando f(x) temos logo Erro grande!!
=IS
)(max2880
)17( 4
],[
5
xfEbaxS ∈
−≤
32)´( −−= xxf x |f 4(x)| 1 120 2 1.875 3 0.164609 4 0.029297 5 0.00768 6 0.002572 7 0.00102
3241202880
65
=×≤SE
[ ] 27.171
414
11
33)()(4)(
3 222210 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++=++= xfxfxfhIs
46)´´( −= xxf53 24)( −−= xxf
64 120)( −= xxf
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2.2. Regra 1/3 de Simpson repetida Vamos agora repetir o procedimento anterior para n pares de subintervalos. Definimos o número de subintervalos pela letra m = 2n. Logo, o valor numérico da integral calculada segundo a regra 1/3 de Simpson repetida será:
m subintervalos
...
n pares de subintervalos, ou seja, a metade do numero de subdivisões n=m/2
Obs. A cada par de subintervalos temos 3 pontos para ajustar uma parábola (P2(x))
SR
m
ii
m
iim
b
aIxfxfxfxfhdxxf =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+++≈ ∑∑∫
=−
−
=
2
112
12
120 )(4)(2)()(
3)(
Valor da função nas extremidades inicial e final do intervalo ou seja nos pontos a e b.
Valor da função nos subintervalos de índices PARES dentro do intervalo [a,b], excluindo as extremidades.
Valor da função nos subintervalos de índices IMPARES dentro do intervalo [a,b], excluindo as extremidades.
m
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Estimativa para o erro para regra 1/3 de Simpson repetida.
n=m/2 é a metade de subdivisões do intervalo [a,b]
Exemplo 6 Calcular utilizando a regra 1/3 de Simpson repetida para 10 subdivisões e dar uma estimativa para o erro utilizando essa técnica de integração numérica. Resolução: Temos nesse m=2n = 10 subdivisões dentro o intervalo [a,b]=[x0,xm]=[1,7], portanto, temos que considerar 11 pontos igualmente espaçados por h=(b-a)/2n=(7-1)/10=0,6. São eles: x0= 1; x1=1,6; x2=2,2; x3=2,8; x4=3,4; x5=4; x6=4,6; x7=5,2; x8=5,8; x9=6,4; x10=7 O valor numérico da integral será: Calculando os somatório temos:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+++= ∑∑
=−
−
=
2
112
12
120 )(4)(2)()(
3
m
ii
m
iimSR xfxfxfxfhI
3701,08,51
6,41
4,31
2,21)()()()()( 22228642
12
12 =+++=+++=∑
−
=
xfxfxfxfxf
m
ii
412
10=−10=m Valor da função nos subintervalos de índices PARES
dentro do intervalo [a,b], excluindo as extremidades.
Comparando com a regra 1/3 de Simpson!
Obs.: m vai ser sempre um número par.
4nEE S
SR =
!
x0=a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10=b
h=b-a/m
m
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Logo Calculando a estimativa para o erro, teremos: Derivando f(x) temos logo Exercício 6 Seja
Resp: ISR = 1.718; |ESR|≤ 1,51×10-6; m=2
1/3 de Simpson
)(max2880
)17( 4
],[4
5
xfn
EbaxSR ∈
−≤
32)´( −−= xxf x |f 4(x)| 1 120 2 1.875 3 0.164609 4 0.029297 5 0.00768 6 0.002572
7 0.00102
5184,012052880
64
5
=××
≤SRE
46)´´( −= xxf53 24)( −−= xxf
64 120)( −= xxf
642,04,61
2,51
41
8,21
6,11)()()()()()( 2222297531
2
112 =++++=++++=∑
=− xfxfxfxfxfxf
m
ii
52
10=10=m
8657,06427,04701,0271
11
36.0
22 ≈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ×+×++=SRI
Erro pequeno!!
Valor da função nos subintervalos de índices IMPARES dentro do intervalo [a,b], excluindo as extremidades.
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Exercício proposto 1 Seja a) Calcule o valor de I com 8 subintervalos na regra do trapézio repetida e na regra 1/3 de Simpson repetida. b) Qual dos dois métodos numéricos da uma estimativa para o erro menor? c) Quantas subdivisões devemos ter, em cada uma das técnicas propostas, para que o erro no cálculo seja menor do 10-13? Exercício proposto 2 Seja a integral:
a) Calcule pela regra dos trapézios e pela regra dos trapézios repetida com 4 subintervalos seu valor aproximado:
b) Quantos subintervalos devemos ter na regra dos trapézios repetida para obtermos uma precisão de calculo melhor que ε~10-6?
Exercício proposto 3 Seja a integral:
a) Calcule seu valor aproximado pela regra 1/3 de Simpson repetida usando 3 e 6 subintervalos. Compare os valores encontrados.
b) Quantos subintervalos devemos ter se quisermos obtermos uma precisão de cálculo melhor que ε~10-9 utilizando a regra 1/3 de Simpson repetida.
∫ +=
6.0
0 11 dx
xI
∫ +=6.0
0
25 dxxeI x
dxxeI x∫=13
8
23