L6/1

FILTRI ANALOGICI Scopo di un filtro analogico leliminazione di parte del

contenuto armonico di un segnale, lasciandone inalterata la

porzione restante.

In funzione dellintervallo di frequenze del segnale che il filtro

nominalmente non modifica (la cosiddetta banda passante del

filtro), si distingue allora tra:

o filtro passabasso o filtro passa-alto o filtro passa-banda

L6/2

FILTRI ANALOGICI (Cont.) Un filtro ideale dovrebbe essere caratterizzato da una funzione di

trasferimento ( )H unitaria allinterno della banda passante, e identicamente nulla allesterno della banda passante.

( )H

0 c

( )H

0 c Il filtro non dovrebbe attenuare le frequenze desiderate, mentre

lattenuazione dovrebbe essere infinita per quelle indesiderate.

E intuibile che una interazione di questo tipo impossibile per

un circuito elettronico reale (necessit di approssimazione).

Esempio: Passa-Basso

L6/3

FILTRI ANALOGICI (Cont.)

c c c

c c s

s c

c c

c

c

L6/4

FILTRI ANALOGICI (Cont.)

1 0 2 1 0 2 1 0 2

1 0 2

1 0 2 1 0 2

1 0 2 1 0 2 1 0 2

L6/5

FUNZIONI MONOTONE IN STOP-BAND

( ) ( )0HH

B =

con ( )B polinomio di grado n: ZERI allinfinito

FUNZIONI EQUI-RIPPLE OVUNQUE (FUNZIONI ELLITTICHE)

Si deve specificare s frequenza attenuazione minima

( )( )( )

2i

i0H H B

=

L6/6

ESEMPIO DI FILTRO ANALOGICO: RC PASSA-BASSO

Schema elettrico

Risposta in frequenza in modulo: ( ) ( )H A =

( )

( )2 2 2

22

1C 1A

1 R C 1RC

= =

++

L6/7

ESEMPIO DI FILTRO ANALOGICO: RC PASSA-BASSO (Cont.)

Andamento del modulo della risposta in frequenza

La pendenza di soli 6 dB per ottava

L6/8

PRESTAZIONE DEI FILTRI IN FREQUENZA

RISPOSTA IN AMPIEZZA DI UN PASSA - BASSO: ( ) ( )H f A f=

L6/9

PRESTAZIONE DEI FILTRI IN FREQUENZA (Cont.)

RISPOSTA IN FASE DI UN FILTRO

( ) ( )( )1 Im H ff tan

Re H f =

f

L6/10

FILTRI A FASE LINEARE

Le frequenze del segnale in ingresso sono ritardate della stessa entit.

Ritardot

f

f

L6/11

PRESTAZIONI DEI FILTRI NEL TEMPO Risposta al gradino: Tempo di salita: tr Tempo di settling: ts Sovraelongazione (overshoot) Oscillazioni (ringing)

L6/12

FILTRO ANALOGICO COME SISTEMA LTI

Un filtro pu considerato un sistema LTI (Lineare Tempo

Invariante), quindi vale la formula (nel dominio della frequenza):

( ) ( ) ( )Y f H f X f=

Come dimostreremo in seguito, ogni tipo di filtro

precedentemente elencato, ha una funzione di trasferimento che

pu essere ricavata attraverso una trasformazione biunivoca

partendo dalla funzione di trasferimento di un filtro passa-basso.

Nel seguito della trattazione faremo quindi riferimento in

particolare ai filtri passa basso.

L6/13

FILTRO ANALOGICO COME SISTEMA LTI (Cont.)

Si vuole utilizzare un filtro passa basso per ricostruire un segnale

utile sovrapposto ad un segnale di rumore con spettro di

frequenza separato (maggiore).

Per ottenere un segnale fedele, cio con la stessa forma nel

tempo e nello spettro, le uniche operazioni ammesse sono:

un GUADAGNO: k

un RITARDO:

( ) ( )y t k x t =

L6/14

FILTRO ANALOGICO COME SISTEMA LTI (Cont.)

Alle frequenze del segnale utile, ci corrisponde ad una funzione

di trasferimento:

( ) ( ) jY k X e =

( ) ( ) ( )b jH H e k e = =

( )H k = per c e zero altrove

( )b = per c e indefinito altrove

( )H

k

c0

( )H

k

c0

( )b

c0

c

( )b

c0

c

L6/15

ESEMPIO DI FILTRAGGIO PASSA-BASSO: MEDIA MOBILE

Un filtro passa-basso RC (R = 100 k C = 10 nF) opera una media mobile dellingresso, addolcendone le brusche variazioni.

inV

outV

( )t ms

( )t ms 0.63

1.49

( )outV 1 0.63 V=( ) ( )=1.49 outV 2 0.63 0.63 1.37 V= +

L6/16

FILTRI DI BUTTERWORTH Si tratta di filtri massimamente piatti nella banda passante, con risposta in frequenza, dove n indica lordine del filtro:

out2n

in

3db

V 1V f1

f

=

+

n 1=

n 2= n 4=

n 32= n 8=

n 16=

out

in

VV

3dBf / f

L6/17

FILTRI DI BUTTERWORTH (Cont.)

I filtri di Butterworth hanno le limitazioni di:

non essere a fase lineare

richiedere un ordine elevato per garantire una regione di transizione sufficientemente ripida.

Modulo della risposta in frequenza

( )n 2n

c

1H ff1f

=

+

oppure ( ) 2n 2n1H

1=

+

con c

2 f2 f

=

Frequenza normalizzata

L6/18

FILTRI DI BUTTERWORTH (Cont.)

Propriet del filtro di Butterworth:

Il range di frequenza (normalizzata) per cui 0 1 < chiamata banda passante (pass band)

Il range di frequenza (normalizzata) per 1> chiamata banda eliminata (stop band)

Per 1 = : ( )( )

n 2n

1 1H 121 1

= =+

indipendentemente da n.

La funzione di trasferimento monotona decrescente.

Il filtro di Butterworth detto massimamente piatto, poich le derivate della funzione di trasferimento (pendenza) sino allordine n, calcolate in 0 = sono tutte nulle.

L6/19

FILTRI DI BUTTERWORTH (Cont.) Implementazione a componenti concentrati di un filtro del 3 ordine

L6/20

POLINOMI DI CHEBYSHEV

( ) ( )( )cos cosnC n arc 0 1=

( ) ( )( )cosh cosh 1nC n 1= >

Definendoli per ricorrenza (0 1 ):

( )0C 1 =

( )1C =

( ) 22C 2 1= (*)

( ) 33C 4 3=

( ) ( ) ( )n 1 n n 1C 2 C C+ =

(*) ( )cos cos22 2 1 =

L6/21

POLINOMI DI CHEBYSHEV (Cont.)

n 2= n 3=

n 6= n 12=

L6/22

FILTRI DI CHEBYSHEV

Si tratta di filtri in cui tollerata una certa oscillazione nella banda

passante. Risposta in frequenza:

out

in 2 2n

3db

V 1V f1 C

f

=

+

Dove:

nC un polinomio che dipende dallordine del filtro

una costante che determina loscillazione in banda.

L6/23

FILTRI DI CHEBYSHEV (Cont.) Modulo della risposta in frequenza normalizzata

( ) outnin 2 2

n3dB

V 1H fV f1 C

f

= =

+

3dB

ff

out

in

VV

L6/24

FILTRI DI CHEBYSHEV (Cont.)

Lampiezza del ripple : 2

1

1+ per 20.5 0.894

5 =

L6/25

FILTRO DI CHEBYSHEV INVERSO

Modulo della risposta in frequenza:

( )n nID

1H f 1 Hf

=

Cio:

( )2 2

n2n I 2 2

n

1CH

11 C

= +

L6/26

FILTRO DI CHEBYSHEV INVERSO

Lampiezza del ripple : 21

+ per

( )20.10.1 0.1

1 0.1 =

+

L6/27

CONFRONTO TRA FILTRI DI BUTTERWORTH E DI CHEBYSHEV Per avere una piattezza nella banda passante di 0.1 dB e

unattenuazione di 20 dB per 3dBf 1.25 f= , sufficiente un filtro

di Chebyshev di ordine 8, contro un filtro di Butterworth di ordine

19.

I filtri di Chebyshev hanno, anchessi, una risposta in fase ben

lontana dalla linearit.

L6/28

FILTRI ELLITTICI (O DI CAUER) (Filtri equi-ripple ovunque)

Risposta in frequenza normalizzata 3dB

ff

= :

( )( )2 2n

1H1 U

=+

con ( )nU = funzione ellittica Jacobiana.

I filtri ellittici hanno la risposta massimamente piatta per un dato

ordine, ma risposta in fase estremamente non lineare.

L6/29

FILTRI DI BESSEL E CONFRONTO A differenza dei precedenti, i filtri di Bessel hanno la massima linearit nella risposta in fase (nella banda passante).

out

in

VV

3dB

ff

L6/30

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO PASSA-ALTO

Metodo della Trasformazione della Frequenza Complessa

Frequenza complessa originale: s j= +

Frequenza complessa trasformata: p u jv= +

1s jp

= + =

2 2 2 21 u vj j

u jv u v u v+ = =

+ + +

Riferendoci al comportamento sinusoidale a regime, si ha 0= .

Uguagliando parti reali e parti immaginarie abbiamo:

u 0= 1v

=

L6/31

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO PASSA-ALTO (Cont.)

Funzione di trasferimento passa-basso (per funzioni monotone tutti gli zeri sono a infinito):

( ) 0LP 2 n 1 n0 1 2 n 1 n

HH sb b s b s ... b s b s

=+ + + + +

Applicando la trasformazione 1sp

= e moltipli