L6/1

FILTRI ANALOGICI • Scopo di un filtro analogico è l’eliminazione di parte del

contenuto armonico di un segnale, lasciandone inalterata la

porzione restante.

• In funzione dell’intervallo di frequenze del segnale che il filtro

nominalmente non modifica (la cosiddetta banda passante del

filtro), si distingue allora tra:

o filtro “passabasso”

o “filtro passa-alto”

o “filtro passa-banda”

L6/2

FILTRI ANALOGICI (Cont.) • Un filtro ideale dovrebbe essere caratterizzato da una funzione di

trasferimento ( )H ω unitaria all’interno della banda passante, e

identicamente nulla all’esterno della banda passante.

( )H ω

0 ωc

( )H ω

0 ωc • Il filtro non dovrebbe attenuare le frequenze desiderate, mentre

l’attenuazione dovrebbe essere infinita per quelle indesiderate.

E’ intuibile che una interazione di questo tipo è impossibile per

un circuito elettronico reale (necessità di approssimazione).

Esempio: Passa-Basso

L6/3

FILTRI ANALOGICI (Cont.)

cω cω cω

cω c sω ω

s cω ω

cω cω

cω

cω

L6/4

FILTRI ANALOGICI (Cont.)

1 0 2ω ω ω 1 0 2ω ω ω

1 0 2ω ω ω

1 0 2ω ω ω

1 0 2ω ω ω

1 0 2ω ω ω

1 0 2ω ω ω 1 0 2ω ω ω1 0 2ω ω ω

L6/5

FUNZIONI MONOTONE IN STOP-BAND

( ) ( )0HH

Bω =

ω

con ( )B ω polinomio di grado n: ZERI all’infinito

FUNZIONI EQUI-RIPPLE OVUNQUE (FUNZIONI ELLITTICHE)

Si deve specificare sω frequenza attenuazione minima

( )( )( )

2i

i0H H

B

ω −ωω =

ω

∏

L6/6

ESEMPIO DI FILTRO ANALOGICO: RC PASSA-BASSO

Schema elettrico

Risposta in frequenza in modulo: ( ) ( )H Aω = ω

( )

( )2 2 2

22

1C 1A

1 R C 1RC

ωω = =

ω ++ω

L6/7

ESEMPIO DI FILTRO ANALOGICO: RC PASSA-BASSO (Cont.)

Andamento del modulo della risposta in frequenza

La pendenza è di soli 6 dB per ottava

L6/8

PRESTAZIONE DEI FILTRI IN FREQUENZA

RISPOSTA IN AMPIEZZA DI UN PASSA - BASSO: ( ) ( )H f A f=

L6/9

PRESTAZIONE DEI FILTRI IN FREQUENZA (Cont.)

RISPOSTA IN FASE DI UN FILTRO

( ) ( )( )

1 Im H ff tan

Re H f−⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦φ = ⎨ ⎬

⎡ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

f

L6/10

FILTRI A FASE LINEARE

Le frequenze del segnale in ingresso sono ritardate della stessa entità.

Ritardot

φ

f

f

L6/11

PRESTAZIONI DEI FILTRI NEL TEMPO Risposta al gradino: • Tempo di “salita”: tr • Tempo di “settling”: ts • Sovraelongazione (overshoot) • Oscillazioni (ringing)

L6/12

FILTRO ANALOGICO COME SISTEMA LTI

• Un filtro può considerato un sistema LTI (Lineare Tempo

Invariante), quindi vale la formula (nel dominio della frequenza):

( ) ( ) ( )Y f H f X f= ⋅

• Come dimostreremo in seguito, ogni tipo di filtro

precedentemente elencato, ha una funzione di trasferimento che

può essere ricavata attraverso una trasformazione biunivoca

partendo dalla funzione di trasferimento di un filtro passa-basso.

• Nel seguito della trattazione faremo quindi riferimento in

particolare ai filtri passa basso.

L6/13

FILTRO ANALOGICO COME SISTEMA LTI (Cont.)

• Si vuole utilizzare un filtro passa basso per ricostruire un segnale

utile sovrapposto ad un segnale di rumore con spettro di

frequenza separato (maggiore).

• Per ottenere un segnale fedele, cioè con la stessa forma nel

tempo e nello spettro, le uniche operazioni ammesse sono:

• un GUADAGNO: k

• un RITARDO: δ

( ) ( )y t k x t δ= ⋅ −

L6/14

FILTRO ANALOGICO COME SISTEMA LTI (Cont.)

• Alle frequenze del segnale utile, ciò corrisponde ad una funzione

di trasferimento:

( ) ( ) jY k X e ωδω ω −= ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )b jH H e k eω ωδω ω −= ⋅ = ⋅

( )H kω = per cω≤ ω e zero altrove

( )b ω ω δ= ⋅ per cω≤ ω e indefinito altrove

( )H ω

ω

k

cω0

( )H ω

ω

k

cω0

( )b ω

ωcω0

cδω

( )b ω

ωcω0

cδω

L6/15

ESEMPIO DI FILTRAGGIO PASSA-BASSO: “MEDIA MOBILE”

Un filtro passa-basso RC (R = 100 kΩ C = 10 nF) opera una media mobile dell’ingresso, “addolcendone” le brusche variazioni.

inV

outV

( )t ms

( )t ms

0.63

1.49

( )outV 1 0.63 V=

( ) ( )=1.49 outV 2 0.63 0.63 1.37 V= + ×

L6/16

FILTRI DI BUTTERWORTH Si tratta di filtri “massimamente piatti” nella banda passante, con risposta in frequenza, dove n indica l’ordine del filtro:

out2n

in

3db

V 1V f1

f

=⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

n 1=

n 2= n 4=

n 32=

n 8=

n 16=

out

in

VV

3dBf / f

L6/17

FILTRI DI BUTTERWORTH (Cont.)

I filtri di Butterworth hanno le limitazioni di:

• non essere a fase lineare

• richiedere un ordine elevato per garantire una regione di transizione sufficientemente ripida.

Modulo della risposta in frequenza

( )n 2n

c

1H ff1f

=⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

oppure ( ) 2n 2n

1H1

=+

ωω

con c

2 f2 f

=πωπ

Frequenza normalizzata

L6/18

FILTRI DI BUTTERWORTH (Cont.)

Proprietà del filtro di Butterworth:

• Il range di frequenza (normalizzata) per cui 0 1≤ ω< è chiamata banda passante (pass band)

• Il range di frequenza (normalizzata) per 1ω> è chiamata banda eliminata (stop band)

• Per 1ω = : ( )( )

n 2n

1 1H 121 1

= =+

indipendentemente da n.

• La funzione di trasferimento è monotona decrescente.

• Il filtro di Butterworth è detto massimamente piatto, poiché le derivate della funzione di trasferimento (pendenza) sino all’ordine n, calcolate in 0ω = sono tutte nulle.

L6/19

FILTRI DI BUTTERWORTH (Cont.) Implementazione a componenti concentrati di un filtro del 3° ordine

L6/20

POLINOMI DI CHEBYSHEV

( ) ( )( )cos cosnC n arc 0 1= ⋅ ≤ ≤ω ω ω

( ) ( )( )cosh cosh 1nC n 1−= ⋅ >ω ω ω

Definendoli per ricorrenza (0 1ω≤ ≤ ):

( )0C 1ω =

( )1C =ω ω

( ) 22C 2 1= −ω ω (*)

( ) 33C 4 3= −ω ω ω

( ) ( ) ( )n 1 n n 1C 2 C C+ −= ⋅ −ω ω ω ω

(*) ( )cos cos22 2 1α α= −

L6/21

POLINOMI DI CHEBYSHEV (Cont.)

n 2= n 3=

n 6= n 12=

L6/22

FILTRI DI CHEBYSHEV

Si tratta di filtri in cui è tollerata una certa oscillazione nella banda

passante. Risposta in frequenza:

out

in 2 2n

3db

V 1V f1 C

f

=⎛ ⎞

+ ε ⎜ ⎟⎝ ⎠

Dove:

• nC è un polinomio che dipende dall’ordine del filtro

• ε è una costante che determina l’oscillazione in banda.

L6/23

FILTRI DI CHEBYSHEV (Cont.) Modulo della risposta in frequenza normalizzata

( ) outn

in 2 2n

3dB

V 1H fV f1 C

f

= =⎛ ⎞

+ ε ⎜ ⎟⎝ ⎠

3dB

ff

out

in

VV

L6/24

FILTRI DI CHEBYSHEV (Cont.)

L’ampiezza del ripple è: 2

1

1+ ε per 20.5 0.894

5ε = ⇒ ≅

L6/25

FILTRO DI CHEBYSHEV INVERSO

Modulo della risposta in frequenza:

( )n nID

1H f 1 Hf

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Cioè:

( )2 2

n2n I 2 2

n

1CH

11 C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

εωω

εω

L6/26

FILTRO DI CHEBYSHEV INVERSO

L’ampiezza del ripple è: 21

ε

+ ε per

( )2

0.10.1 0.11 0.1

ε = ⇒ ≅+

L6/27

CONFRONTO TRA FILTRI DI BUTTERWORTH E DI CHEBYSHEV • Per avere una “piattezza” nella banda passante di 0.1 dB e

un’attenuazione di 20 dB per 3dBf 1.25 f= ⋅ , è sufficiente un filtro

di Chebyshev di ordine 8, contro un filtro di Butterworth di ordine

19.

• I filtri di Chebyshev hanno, anch’essi, una risposta in fase ben

lontana dalla linearità.

L6/28

FILTRI ELLITTICI (O DI CAUER) (Filtri equi-ripple ovunque)

Risposta in frequenza normalizzata 3dB

ff

ω = :

( )( )2 2

n

1H1 U

ω =+ ε ω

con ( )nU ω · = funzione ellittica Jacobiana.

I filtri ellittici hanno la risposta massimamente piatta per un dato

ordine, ma risposta in fase estremamente non lineare.

L6/29

FILTRI DI BESSEL E CONFRONTO A differenza dei precedenti, i filtri di Bessel hanno la massima linearità nella risposta in fase (nella banda passante).

out

in

VV

3dB

ff

L6/30

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO → PASSA-ALTO

Metodo della Trasformazione della Frequenza Complessa

Frequenza complessa originale: s j= σ+ ω

Frequenza complessa trasformata: p u jv= +

1s jp

= σ+ ω =

2 2 2 21 u vj j

u jv u v u vσ+ ω= = −

+ + +

Riferendoci al comportamento sinusoidale a regime, si ha 0σ= .

Uguagliando parti reali e parti immaginarie abbiamo:

u 0= 1v

ω= −

L6/31

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO → PASSA-ALTO (Cont.)

Funzione di trasferimento passa-basso (per funzioni monotone tutti gli zeri sono a infinito):

( ) 0LP 2 n 1 n

0 1 2 n 1 n

HH sb b s b s ... b s b s−

−

=+ + + + +

Applicando la trasformazione 1sp

= e moltiplicando numeratore e

denominatore per np , si ha:

( )n

0HP n n 1 n 2

0 1 2 n 1 n

H pH pb p b p b p ... b p b− −

−

=+ + + + +

Gli n zeri a infinito si sono trasformati in n zeri nell’origine.

o In generale i poli della funzione trasformata sono i reciproci di

quelli della funzione originaria.

L6/32

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO → PASSA-ALTO (Cont.)

o Per filtri di Butterworth la posizione dei poli non varia

Butterworth n = 2

( )LP 4

1H1

ω =+ω

1ω=−

ν

( )2

HP 442

1H 1 11

νν = =

+ ν+ νν

L6/33

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO → PASSA-ALTO (Cont.)

L6/34

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO → PASSA-BANDA

s j= σ+ ω p u jv= + 21 p 1s p

p p+

= + =

2p sp 1 0− + =

2s sp 12 2

⎛ ⎞= ± −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2j ju jv 1

2 4σ ω σ ω+ +

+ = ± −

a regime u 0σ= =

2jjv j 12 4ω ω

= ± + ⇒

2

v 12 4ω ω

= ± +

L6/35

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO → PASSA-BANDA (Cont.)

Denormalizzazione per ottenere una larghezza di banda diversa dall’unità

ω = -1

L6/36

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO → PASSA-BANDA (Cont.) Calcolo delle frequenze di taglio del filtro passa-banda: Per 1ω =

..

..1

2

2 1 1v 1 1 0 5 1 252 4 v 1 6

v 0 62 2

24

ω ω ≅ −⎧= ± + = ± + =

≅ +± = ⎨

⎩

Per 1ω = −

.

. ..

1

22

v 01 1v 1 1 0 5 1 25

2 4 21 2

2v

66

4ω ω ⎧

= ± + = − ± + = − ±≅ +≅ −

= ⎨⎩

Per 0ω =

2

v 1 12 4 1

1ω ω ⎧= ± + =

−+

± = ⎨⎩

L6/37

TRASFORMAZIONE PASSA-BASSO → PASSA-BANDA

o Ogni frequenza 1ω per cui ( )LP 1H jω è trasformata in due

frequenze 1ν e 2ν che determinano:

( ) ( ) ( )BP BPLP 1 1 2H j H j H jω = ν = ν

o 1ν e 2ν sono tali che la larghezza di banda del filtro passa-banda è

pari alla larghezza di banda del filtro passa-passo

o 1ν e 2ν sono tali che 1 2 1ν ⋅ν =

L6/38

Esempio di filtro di Butterworth di ordine 6

Frequenza di taglio di 500 Hz.

Passa Basso

Passa Alto

Generated by: http://www-users.cs.york.ac.uk/~fisher/lcfilter

R1 50 L1 0.00823786 C1 9.0018e-06 L2 0.0307487 C2 1.22995e-05 L3 0.0225045 C3 3.29514e-06 R2 50

R1 50 C1 1.22995e-05 L1 0.0112557 C2 3.29513e-06 L2 0.00823783 C3 4.50226e-06 L3 0.0307486 R2 50

L6/39

Passa Basso Passa Alto

In rosso lo spettro di ampiezza, in blu spettro di fase

0 200 400 600 800 1000−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−4

Frequency (Hz)

Tim

es d

elay

(s)

0 200 400 600 800 1000−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−4

Frequency (Hz)

Tim

es d

elay (

s)

L6/40

Esempio di filtro Passa Basso: Usando un filtro analogico RC di ordine 4: cascata di 4 filtri RC con Frequenza di taglio 1 Hz.

10−2

10−1

100

101

102

10−10

10−5

100

|H(f

)|

10−2

10−1

100

101

102

−5

0

an

gle

(H(f

))

10−2

10−1

100

101

102

−4

−2

0

Tim

e d

ela

y (s

)

Frequency (Hz) Nota: il tempo di ritardo è costante solo al di sotto di 0.1 Hz.

L6/41

Esempio di un “buon” filtraggio analogico Si consideri:

Segnale Gaussiano (a)

+

Rumore Gaussiano (b) (SNR = 12 dB)

+

Interferenza Sinusoidale (c)

In basso a destra è mostrata la trasformata di Fourier. In verde la risposta in frequenza del filtro. In nero il segnale utile (a).

−5 0 5

0

0.5

1

−5 0 5−1

0

1

−1 0 1−1

0

1

−5 0 5−2

−1

0

1

2

3

−10 0 1010

0

102

104

(a)

(b)

(c)

(a)+(b)+(c)

tempo

tempo

tempo

tempo

frequenza

L6/42

Risultato dopo il filtraggio

−10 −5 0 5 1010

−2

100

102

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

frequenza

tempo

L6/43

Esempio di un “cattivo” filtraggio

−20 0 20 40 60−2

0

2

x(t

) a

nd

xf(t

)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

100

200S

pe

ctr

um

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1

0

Tim

e d

ela

y

Filtro di Butterworth di ordine 6 su una somma sinusoidi di frequenze 0, 0.2, 0.4, e 0.6 Hz. Si osservi come il segnale di uscita (filtrato in blu) sia totalmente distorto.