8/9/2019 054 F3 Zinseszins 058 Anwendungen

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Gymnasium Oberaargau Mathematik Jrg Isler

054 Zinseszinsrechnung

Lsst man auf einem Konto den im Laufe des Jahres ersparten Zins liegen, so wirft im kommendenJahr auch dieser Zins eigene Zinsen ab. Man spricht in diesem Fall von Zinseszins. Die folgenden

Formeln gelten nicht nur fr diesen Fall, sondern generell fr jede Grsse, die sich pro Zeiteinheitum einen konstanten Prozentsatz verndert (exponentielles Wachstum / exponentielle Abnahme).

Zinssatz (oder Zinsfuss): p % Anfangskapital: k Laufzeit (Anzahl Zinsperioden): j Endkapital: k

Das Kapital wird jedes Jahr mit dem Faktor )100

p1( + multipliziert, so dass sich die folgende

Exponentialfunktion ergibt:

j

100

p1k'k

+=

Beispiele:

1. 1000 Fr. Anfangskapital vermehren sich bei einem Zinssatz von 5% innert 10 Jahren zu

(Ohne Zinseszins wren es nur.Fr90.1628)05.1(1000'k 10 == .Fr150050101000 =+ )

2. Wenn die Kinobesuche jhrlich um 3% abnehmen, so werden aus den heutigen 2.3 Millionen

Eintritten jhrlich bis in 20 Jahren nur noch Besucher jhrlich.727'250'197.0103.2

206

=

Ist nicht das Endkapital, sondern eine andere Grsse gesucht, so verwendet man folgende Umfor-mungen der Zinseszinsformel:

k gesucht:j

100

p1

'kk

+

=

p gesucht:

( )

= 1100p

j/1

k

'k

j gesucht:( )

+

=

100

p

k'k

1ln

lnj

(Die Herleitung ist eine gute Uebung im Umformen von Gleichungen!!!)

Mithilfe von geometrischen Reihen (Siehe Abschnitt 064) werden sich auch komplexere Fragen l-

sen lassen, wie etwa die Berechnung des Endkapitals bei jhrlichen Einzahlungen auf ein Konto.

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058 Anwendungen und historische Bemerkungen

1. Organisches Wachstum

Vorgnge in der Natur (z.B. Vermehrung von Bakterien), bei denen eine Gre pro Zeiteinheitum einen konstanten Faktor zunimmt, wo also das Wachstum proportional zur vorhandenenGre ist. (Gleichbedeutend mit exponentiellem Wachstum)

2. Radioaktiver Zerfall

Die von einem radioaktiven Stoff ausgehende radioaktive Strahlung nimmt im Laufe der Zeitexponentiell ab. Die Halbwertszeit T gibt an, in welchen Zeitintervallen sich die Strahlung aufjeweils die Hlfte des Vorwertes halbiert.

3. Logarithmische Skalen

Wenn in einer Grafik Grssen dargestellt werden sollen, die sich ber mehrere Zehnerpotenzenerstrecken, so bentzt man statt einer linearen Skala besser eine logarithmische Skala.

4. Weber-Fechner-Gesetz

Das Gesetz besagt, dass die Sinnesempfindung unserer Augen und Ohren proportional zumLogarithmus des physikalischen Reizes ist (Helligkeit, Lautstrke)

5. Logarithmentafeln

Logarithmentafeln bildeten Jahrhunderte lang die Grundlage numerischer Berechnungen. Auchan unserer Schule wurden bis zum Aufkommen der Taschenrechner intensiv derartige Be-rechnungen gebt.

6. Rechenschieber

Sie bildeten eine Alternative zu den Logarithmentafeln.Durch gegenseitiges Verschieben zwei-er logarithmischer Skalen entsteht ein Rechenschieber.

Aufgaben:

- Suchen Sie in den gebildeten Gruppen online Informationen zu diesen Themenbereichen.

Tipps zum Einstieg: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html

www.wikipedia.orgwww.google.ch

- Bereiten Sie ein A4-Blatt* sowie eine 10-mintige Prsentation vor.

Enthalten soll sein: - Ausfhrliche, klar verstndliche Przisierung der obigen Kurzinformationen.- Formeln bzw. Verfahren erlutern.- Konkretes, durchgefhrtes Beispiel