05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12
-
Upload
harald-sack -
Category
Technology
-
view
1.829 -
download
1
description
Transcript of 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12
![Page 1: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/1.jpg)
VorlesungDr. Harald Sack
Hasso-Plattner-Institut für SoftwaresystemtechnikUniversität Potsdam
Wintersemester 2011/12
Semantic Web Technologien
Blog zur Vorlesung: http://wwwsoup2011.blogspot.com/
Montag, 5. Dezember 11
![Page 2: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/2.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
2
Semantic Web Technologien Wiederholung
Ontolo
gien
Semantic Web Technologien Wiederholung
Montag, 5. Dezember 11
![Page 3: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/3.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
1. Einführung 2. Semantic Web Basisarchitektur
Die Sprachen des Semantic Web - Teil 1
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
4. Semantic Web Anwendungen
3
Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt
Montag, 5. Dezember 11
![Page 4: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/4.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
3.1.Exkurs: Ontologien in Philosophie und Informatik
3.2.Wiederholung: Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.3.Beschreibungslogiken (Description Logics)3.4.RDFS-Semantik3.5.OWL und OWL-Semantik3.6.OWL 2 und Regeln
Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt
4
Montag, 5. Dezember 11
![Page 5: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/5.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5
Logik zur Formalisierung ontologischer Modelle Montag, 5. Dezember 11
![Page 6: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/6.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6
3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
![Page 7: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/7.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563
7
3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
A friend of Einstein‘s, Kurt Gödel found a hole in the center of Mathematics...
Montag, 5. Dezember 11
![Page 8: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/8.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563
8
3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Logik – Grundlagen■ hier nur knappe und informelle Wiederholung □ siehe Bachelorstudium Mathematik I, etc.■ im Weiteren Verlauf wird ein solides Verständnis der Grundlagen der Logik
vorausgesetzt, daher bitte selbstständig wiederholen□ siehe auch
U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 9: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/9.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563
9
Logik - Grundlagen■ Wortherkunft: λογος =[griech.] Wort, Lehre, Rede,...
■ Definition (für unsere Vorlesung):Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen.
■ Warum „formale Logik“?--> Automatisierbarkeit!
■ Konstruktion einer „Rechenmaschine“ für Logik
Arbor naturalis et logicalis, ausRaimundus Lullus „Ars Magna“, um 1275
Raimundus Lullus(1232-1316)
■ Als Logik bezeichnete Raimundus Lullus im 14. Jhd. die Kunst und die Wissenschaft, mit Hilfe des Verstandes Wahrheit und Lüge zu unterscheiden, Wahrheit zu akzeptieren und Lüge von sich zu weisen.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 10: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/10.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
10
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Logik - Grundlagen
"... omnes humanas ratiocinationes ad calculum aliqvem characteristicum qvalis in Algebra combinatoriave arte et numeris habetur, revocandi, qvo non tantum certa arte inventio humana promoveri posset, sed et controversiae multae tolli, certum ab incerto distingvi, et ipsi gradus probabilitatum aestimari, dum disputantium alter alteri dicere posset: calculemus."
Leibnitz in einem Brief an Ph. J. Spener, Juli 1687Montag, 5. Dezember 11
![Page 11: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/11.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
11
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Logik - Grundlagen
Leibnitz in einem Brief an Ph. J. Spener, Juli 1687
„alle menschlichen Schlussfolgerungen müssten auf irgendeine mit Zeichen arbeitende Rechnungsart zurückgeführt werden, wie es sie in der Algebra und Kombinatorik und mit den Zahlen gibt, wodurch nicht nur mit einer unzweifelhaften Kunst die menschliche Erfindungsgabe gefördert werden könnte, sondern auch viele Streitigkeiten beendet werden könnten, das Sichere vom Unsicheren unterschieden und selbst die Grade der Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt werden könnten, da ja der eine der im Disput Streitenden zum anderen sagen könnte: Lasst uns doch nachrechnen!“
Montag, 5. Dezember 11
![Page 12: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/12.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
12
Logik - Grundlagen■ Syntax: Zeichen ohne Bedeutung definiert Regeln, wie zulässige Zeichenfolgen gebildet werden dürfen
■ Semantik: Bedeutung der Syntax definiert Regeln, wie die Bedeutung von komplexen Zeichenfolgen aus der Bedeutung von atomaren Zeichenfolgen abgeleitet werden kann
If (i<0) then display (“negatives Guthaben!“)
Zuweisung vonBedeutung
Syntax
Gebe die Meldung “negatives Guthaben!“ aus,wenn der Kontostand i unter 0 Euro sinkt.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 13: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/13.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
13
Varianten der Semantik■ Bsp.: Programmiersprachen
Berechnung der Fakultät
Syntax
Intendierte SemantikFUNCTION f(n:natural):natural;BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1);END;
• „die durch den Benutzer beabsichtigte Bedeutung“•schränkt die Menge aller möglichen Modelle
(Bedeutungen) auf die vom (menschlichen) Benutzer beabsichtigte Bedeutung ein.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 14: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/14.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
14
Varianten der Semantik■ Bsp.: Programmiersprachen
Berechnung der Fakultät
Syntax
Intendierte SemantikFUNCTION f(n:natural):natural;BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1);END;
•hat zum Ziel, die Bedeutung von Zeichenketten (Programmen) in einer formalen Sprache auszudrücken, so dass sich über das Anwenden von Ableitungsregeln (Kalkülen) Aussagen über die Zeichenketten (Programmen) beweisen lassen.
formale Semantik
€
f : n → n!
Montag, 5. Dezember 11
![Page 15: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/15.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
15
Varianten der Semantik■ Bsp.: Programmiersprachen
Berechnung der Fakultät
Syntax
Intendierte SemantikFUNCTION f(n:natural):natural;BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1);END;
formale Semantik
€
f : n → n!
Verhalten des Programmsbei der Ausführung
Prozedurale Semantik
•die Bedeutung eines sprachlichen Ausdrucks (Programms) ist die Prozedur, die intern abläuft, wenn dieser Ausdruck fällt.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 16: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/16.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
16
Varianten der Semantik
■Modelltheoretische Semantik nimmt die semantische Interpretation künstlicher und natürlicher Sprachen dadurch vor, indem sie „Bedeutung mit genau definierter Interpretation in einem Modell gleichsetzt“■= formale Interpretation in einem Modell
■ z.B. modelltheoretische Semantik für Aussagenlogik■ Zuweisung von Wahrheitswerten „wahr“ und „falsch“
zu atomaren Aussagen und■Beschreibung der Junktoren durch
Wahrheitswertetafeln
Alfred Tarski(1901-1983)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 17: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/17.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
17
Wie funktioniert Logik?
Syntax
■ Jede Logik L:=(S,⊨) besteht aus einer Menge von Sätzen S und einer Schlussfolgerungsrelation ⊨
■Sei Φ ⊆ S und φ ∈ S :
■ „ φ ist eine logische Konsequenz von Φ“ oder„aus den Sätzen von Φ folgt der Satz φ“
■Gilt für 2 Sätze φ,ψ ∈ S sowohl {φ} ⊨ ψ als auch {ψ} ⊨ φ, Dann sind die Sätze φ und ψ logisch äquivalent
Φ ⊨ φ
φ≡ψ
Montag, 5. Dezember 11
![Page 18: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/18.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
18
Aussagenlogik (Propositional Logic)
Syntax
Chrysipos von Soli(279-206 v. Chr.)
■Bereits in der griechischen Antike legen Philosophen der Stoa die Grundlagen für die Aussagenlogik■Chrysipos von Soli beschreibt im 3. Jhd. v.
Chr. in seiner „grammatikalischen Logik“ eine erste vollständige Junktorenlogik
Montag, 5. Dezember 11
![Page 19: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/19.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
19
Aussagenlogik (Propositional Logic)
■George Boole schuf den ersten algebraischen Logikkalkül in seiner 1847 erschienenen Schrift„The Mathematical Analysis of Logic“■er formalisiert klassische Logik und
Aussagenlogik und entwickelt ein Entscheidungsverfahren für wahre Formeln über eine disjunktive Normalform
George Boole(1815-1864)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 20: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/20.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
20
Aussagenlogik (Propositional Logic)
■Gottlob Frege formuliert den ersten aussagenlogischen Kalkül mit Schlussfolgerungsregeln im Rahmen seiner 1879 entwickelten „Begriffsschrift“
Gottlob Frege(1848-1925)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 21: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/21.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
21
Aussagenlogik (Propositional Logic)
■Bertrand Russel formulierte 1910 zusammen mit Alfred North Whitehead in der „Principia Mathematica“ einen Kalkül für die Aussagenlogik
Bertrand Arthur William Russell, 3. Earl Russell(1872-1970)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 22: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/22.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
22
Aussagenlogik (Propositional Logic)
■ Erzeugungsregeln für Sätze:■ alle atomaren Aussagen sind Sätze (p,q,...)■ ist φ ein Satz, dann auch ¬φ■ sind φ und ψ Sätze, dann auch φ∧ψ, φ∨ψ, φ→ψ, φ↔ψ
■ Präzedenzen: ¬ vor ∧,∨ vor →, ↔
Junktor Name Intuitive Bedeutung
⌐ Negation „nicht“
∧ Konjunktion „und“
⋁ Disjunktion „oder“
→ Implikation „wenn – dann“
↔ Äquivalenz „genau dann, wenn“
Montag, 5. Dezember 11
![Page 23: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/23.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
23
Aussagenlogik (Propositional Logic)
• Formulierung von Sachverhalten
Einfache Aussagen ModellierungDer Mond besteht aus grünem Käse gEs regnet rDie Straße wird nass n
Zusammengesetzte Aussagen Modellierung
Wenn es regnet, dann wird die Straße nass r → n
Wenn es regnet und die Straße nicht nass wird, dann besteht der Mond aus grünem Käse
(r ∧ ⌐n) → g
Montag, 5. Dezember 11
![Page 24: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/24.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
24
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
■Erste Ansätze einer Verallgemeinerung der Aussagenlogik finden sich bereits bei Aristotelesin seinen Syllogismen
Aristoteles(384-322 v. Chr)
wikipedia.org
Montag, 5. Dezember 11
![Page 25: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/25.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
25■Gottlob Frege Gottlob Frege entwickelte
und formalisierte ein prädikatenlogisches System in seiner 1879 erschienenen„Begriffsschrift - eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens“
Gottlob Frege(1848-1925)
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 26: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/26.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
26■Charles Sanders Peirce entwickelte
gemeinsam mit seinem Studenten O.H. Mitchell unabhängig von Gottlob Frege eine vollständige Syntax für eine Quantorenlogik in der heute üblichen Notation
Charles Sanders Peirce(1839-1914)
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 27: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/27.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
27
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
□Junktoren wie in der Aussagenlogik□Variablen, z.B. X,Y,Z,…□Konstantensymbole, z.B. a, b, c, …□Funktionssymbole, z.B. f, g, h, … (mit Stelligkeit)□Relations-/Prädikatssymbole, z.B. p, q, r, … (mit Stelligkeit) (∀X)(∃Y) ((p(X)∨ ¬q(f(X),Y))→ r(X))
Quantor Name Intuitive Bedeutung
∃ Existenzquantor „es existiert“
∀ Allquantor, Universalquantor
„für alle“
Montag, 5. Dezember 11
![Page 28: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/28.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
28
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)
FOL: Syntax■ „richtiges“ Formen von Termen aus Variablen, Konstanten- und Funktionssymbolen:□ f(X), g(a,f(Y)), s(a), .(H,T), x_location(Pixel)
■ „richtiges“ Formen von Atomen aus Relationssymbolen, deren Argumente Terme sind:□ p(f(X)), q (s(a),g(a,f(Y))), add(a,s(a),s(a)),
greater_than(x_location(Pixel),128)
■ „richtiges“ Formen von Formeln aus Atomen, Junktoren und Quantoren:□ (∀Pixel) (greater_than(x_location(Pixel),128) → red(Pixel) )
■ Im Zweifelsfall klammern! Alle Variablen quantifizieren!
Montag, 5. Dezember 11
![Page 29: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/29.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
29
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)■Formulierung von Sachverhalten
■ „alle Kinder lieben Eiscreme.“∀X: Kind(X) → liebtEiscreme(X)
■ „der Vater einer Person ist deren männlicher Elternteil.“∀X ∀Y: Vater(X,Y) ↔ (männlich(X) ∧ Elternteil(X,Y))
■ „Es gibt eine (oder mehrere) Vorlesung(en), die interessant ist(sind).“∃X: Vorlesung(X) ∧ istInteressant(X)
■ „Die Relation ,istNachbar‘ ist symmetrisch.“∀X ∀Y: istNachbar(X,Y) → istNachbar(Y,X)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 30: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/30.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
30
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)■Beispiel: Verwandschaftsverhältnisse
(∀X) ( parent(X) ↔ ( human(X) ∧ (∃Y) parent_of(X,Y) ))
(∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
(∀X) (orphan(X) ↔ (human(X) ∧¬(∃Y) (parent_of(Y,X)∧ alive(Y))))
(∀X)(∀Y)(∀Z)(uncle_of(X,Z) ↔ (brother_of(X,Y) ∧ parent_of(Y,Z)) )
Intendierte Semantik: klar!
Montag, 5. Dezember 11
![Page 31: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/31.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
31
Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)■Beispiel: Pinguine
( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
Intendierte Semantik?
Montag, 5. Dezember 11
![Page 32: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/32.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
32
3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
![Page 33: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/33.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
33
AussagenlogikModelltheoretische Semantik
30 ■ Interpretation I:Abbildung aller atomaren Aussagen nach {w,f}.
■ Ist F eine Formel und I eine Interpretation, dann ist I(F) ein Wahrheitswert, der aus F und I mittels Wahrheitstafeln ermittelt wird.
I(p) I(q) I(⌐p) I(p⋁q) I(p∧q) I(p→q) I(p↔q)
f f w f w w w
f w w w f w f
w f f w f f f
w w f w w w w
Montag, 5. Dezember 11
![Page 34: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/34.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
34
AussagenlogikModelltheoretische Semantik
30 ■Wir schreiben I ⊨ F, wenn I(F)=w ist, und nennen dann die Interpretation I ein Modell der Formel F.
■Semantik-Regeln:■ I Modell von ¬φ genau dann, wenn I kein Modell von φ■ I Modell von (φ∧ψ) genau dann, wenn I Modell von φ
UND von ψ■ ...
■Zentrale Begriffe:□allgemeingültig (Tautologie)□erfüllbar□widerlegbar□unerfüllbar
Montag, 5. Dezember 11
![Page 35: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/35.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
35
PrädikatenlogikModelltheoretische Semantik
30
■Struktur:□ Festlegung eines Grundbereichs D.□Konstantensymbole werden auf Elemente von D
abgebildet.□ Funktionssymbole auf Funktionen nach D.□Relationssymbole auf Relationen über D.
■Dann:□ Terme werden zu Elementen von D.□Relationssymbole mit Argumenten werden wahr oder
falsch.□Entsprechende Behandlung der Junktoren/Quantoren.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 36: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/36.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
36
PrädikatenlogikModelltheoretische Semantik
30( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
■ Interpretation I:□ Grundbereich: eine Menge M, die die Elemente a,b enthält.□ … keine Konstanten- oder Funktionssymbole …□ Wir zeigen: Die Formel ist widerlegbar (d.h. sie ist nicht
allgemeingültig):
□ Sind I(penguin)(a), I(blackandwhite)(a), I(oldTVshow)(b), I(blackandwhite)(b) wahr, I(oldTVshow)(a) und
I(penguin)(b) jedoch falsch, dann ist die Formel unter I falsch, d.h. I ⊭ F.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 37: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/37.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
37
Der Begriff der logischen Konsequenz
30■Eine Theorie T ist eine Menge von Formeln.
■Eine Interpretation I ist ein Modell für T, wenn I ⊨ G für jede Formel G in T gilt.
■Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist.
■Wir schreiben dann T ⊨ F.
■ Zwei Formeln F,G heißen logisch (auch semantisch) äquivalent, wenn {F} ⊨ G und {G} ⊨ F gelten.
■Wir schreiben dann F ≡ G.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 38: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/38.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
38
Logische Äquivalenzen
30
DeMorgan‘sche Gesetze
F ∧ G ≡ G ∧ FF ∨ G ≡ G ∨ F
F → G ≡ ¬F ∨ GF ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)
¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬¬F ≡ F
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F
(∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F(∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F
(∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G(∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G
Augustus De Morgan(1806-1871)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 39: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/39.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
39 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
![Page 40: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/40.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
40
Normalformen
30
■ Zu jeder Formel gibt es unendlich viele logisch äquivalente Formeln.
F ∧ G ≡ G ∧ FF ∨ G ≡ G ∨ F
F → G ≡ ¬F ∨ GF ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)
¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬¬F ≡ FF ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F
(∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F(∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F
(∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G(∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G
Montag, 5. Dezember 11
![Page 41: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/41.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
41
Normalformen
30
■ Für jede dieser Äquivalenzklassen sucht man nun möglichst einfache (eindeutige) Repräsentanten.
■Diese Repräsentanten werden Normalformen genannt.
■Einfaches Beispiel:□ schreibe ¬F statt ¬¬¬¬¬F
F ∧ G ≡ G ∧ FF ∨ G ≡ G ∨ FF → G ≡ ¬F ∨ GF ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G¬¬F ≡ FF ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F(∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F(∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F(∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G(∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G
Montag, 5. Dezember 11
![Page 42: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/42.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
42
Normalformen
30■ Ziel: Umwandlung von Formeln in Klauselform.■ (a∧(b∨¬c)∧(a∨d)) {a,{b,¬c},{a,d}}
■ Dazu notwendige Zwischenschritte:1.Negationsnormalform
□ alle Negationen stehen ganz innen2.Pränexnormalform
□ alle Quantoren stehen ganz vorne3.Skolemnisierte Pränexnormalform
□ Eliminierung der Existenzquantoren4.konjunktive Normalform (CNF) = Klauselform
□ Darstellung als Konjunktion von Disjunktionen
(CNF) (Klausel)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 43: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/43.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
43
Negationsnormalform30 ■ Alle Negationszeichen werden durch Verwendung der folgenden
Äquivalenzen nach innen gezogen:
F ↔ G ≡ (F → G)∧(G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G
F → G ≡ ¬F ∨ G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬¬F ≡ F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F
■ Ergebnis:□ Implikationen und Äquivalenzen fallen weg□ mehrfachen Negationen fallen weg□ alle Negationszeichen stehen direkt vor Atomen
Montag, 5. Dezember 11
![Page 44: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/44.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
4430
Negationsnormalform■ Beispiel
( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
wird zu
¬( (∀X)( ¬penguin(X) ∨ blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
und dann zu
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀X)(¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) )
) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
Montag, 5. Dezember 11
![Page 45: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/45.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
4530
Pränexnormalform
■ erst Formel bereinigen (Quantoren binden verschiedene Variablen).
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀X)( ¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) )
) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
wird zu
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) )
) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
Montag, 5. Dezember 11
![Page 46: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/46.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
4630
Pränexnormalform
■ Dann aus der Negationsnormalform einfach alle Quantoren in derselben Reihenfolge nach vorne ziehen.
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) )
) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
wird zu
(∃X)(∀Y)(∃Z)( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
Montag, 5. Dezember 11
![Page 47: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/47.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
4730
Skolemnisierte Pränexnormalform■ “Existenzquantoren entfernen”
(∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
wird zu …
(∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) )
■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen).
Montag, 5. Dezember 11
![Page 48: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/48.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
4830
Skolemnisierte Pränexnormalform
■ Vorgehensweise:1.Entfernen der Existenzquantoren von links nach rechts.2.Gibt es keinen Allquantor links des zu entfernenden
Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Konstantensymbol ersetzt.
3.Gibt es n Allquantoren links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Funktionssymbol mit Stelligkeit n ersetzt, dessen Argumente genau die Variablen der n Allquantoren sind.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 49: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/49.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
4930
Skolemnisierte Pränexnormalform■ “Existenzquantoren entfernen”
(∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
wird zu …
(∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) )
■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen).
Montag, 5. Dezember 11
![Page 50: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/50.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5030
Konjunktive Normalform (Klauselform)■ Es gibt nur noch Allquantoren, also lassen wir sie weg:
( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y))
■ Mit Hilfe semantischer Äquivalenzen wird die Formel nun als Konjunktion von Disjunktionen geschrieben.
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 51: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/51.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5130
Konjunktive Normalform (Klauselform)
(penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) )
∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y))
wird zu ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) )
∧ ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) )
∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) )
∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) )
wird zu{ {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))}, { ¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))} }
Montag, 5. Dezember 11
![Page 52: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/52.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5230
Eigenschaften von Normalformen■ Sei F eine Formel,■ G die Pränexnormalform von F,■ H die skolemisierte Pränexnormalform von G,■ K die Klauselform von H.
■ Dann ist F ≡ G und H ≡ K aber i.A. F ≢ K.
■ Es gilt jedoch:□ F ist unerfüllbar genau dann, wenn K unerfüllbar ist.
(Grundlage des Resolutionsverfahrens)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 53: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/53.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5330
Skolemnisierung ist keine Äquivalenztransformation
■ Die Formel (∃x) p(x) ∨ ¬(∃x) p(x) ist eine Tautologie.
■ Negationsnormalform: (∃x) p(x) ∨ (∀x) ¬p(x)
■ Pränexnormalform: (∃x) (∀y) (p(x) ∨ ¬p(y))
■ Skolemnormalform: (∀y) (p(a) ∨ ¬p(y))
■ Äquivalent dazu: p(a) ∨ ¬(∃y) p(y)
■ Die resultierende Formel ist keine Tautologie!■ z.B. Interpretation I mit□ I(p(a)) = f
□ I(p(b)) = w
Montag, 5. Dezember 11
![Page 54: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/54.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
54
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
![Page 55: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/55.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5530
Eine Rechenmaschine für die Logik■Erinnern wir uns:■Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus einer
Theorie T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist.
■Problem: ■Wie arbeite ich direkt mit allen möglichen Interpretationen?
■Daher wird die logische Konsequenz mit Hilfe rein
syntaktischer Verfahren nachgebildet■Entscheidungsverfahren (Entscheidbarkeit)■Aufzählungsverfahren (Semientscheidbarkeit)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 56: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/56.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5630
Eine Rechenmaschine für die Logik■Entscheidungsverfahren (Entscheidbarkeit)■Eingabe: {φ1,..., φn} und Satz φ■Ausgabe: ■ „Ja“, falls Sätze φ existieren, für die gilt: {φ1,..., φn} ⊨ φ■ „Nein“ sonst.
■Aufzählungsverfahren (Semientscheidbarkeit)■Eingabe: {φ1,..., φn}■Ausgabe: ■Sätze φ für die gilt: {φ1,..., φn} ⊨ φ
Montag, 5. Dezember 11
![Page 57: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/57.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5730
Resolution
{F1,…,Fn} hat F0 als logische Konsequenz
{F1,…,Fn} ⊨ F0
F1 ∧… ∧ Fn → F0 ist allgemeingültig¬(F1 ∧… ∧ Fn → F0) ist unerfüllbar
G1 ∧ …∧ Gk ist unerfüllbar
□ Das Resolutionsverfahren erlaubt die Ableitung eines Widerspruchs aus G1 ∧ …∧ Gk.
Theorie
Äqu
ival
ente
Aus
sage
n
John Alan Robinson, "A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle", Communications of the ACM, 5:23–41, 1965.
John Alan Robinson (*1930)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 58: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/58.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5830
Resolution (Aussagenlogik)■ Ist (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)
wahr, dann:■ Eines von p, ¬p muss falsch sein.
■ Also: Eines der anderen Literale muss wahr sein, d.h. p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn
muss wahr sein.
■ Ergo: Ist p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn unerfüllbar, dann auch(p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 59: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/59.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
5930
Resolution (Aussagenlogik)
(p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql) (r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)
p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn
■ Aus zwei Klauseln wird eine neue
■ Ende des Verfahrens:■ Werden Klauseln resolviert, die nur noch aus je einem Atom bzw.
negierten Atom bestehen, dann entsteht eine „leere Klausel“, bezeichnet mit ⊥.
K2
K3
{K1,K 2} ⊨ K3Resolutionsschritt
K1
∧
Montag, 5. Dezember 11
![Page 60: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/60.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6030
Resolution (Aussagenlogik)
• Vorgehensweise, um einen Widerspruch aus einer Menge M von Klauseln abzuleiten:
1.Wähle zwei Klauseln aus M und erzeuge aus ihnen eine neue Klausel K durch einen Resolutionsschritt.
2. Ist K =⊥ , dann ist ein Widerspruch gefunden.
3.Falls K ≠⊥ , füge K zur Menge M hinzu und gehe zu 1.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 61: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/61.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6130
Resolution (Prädikatenlogik)
■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden
■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) )
(q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))).
Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt
Montag, 5. Dezember 11
![Page 62: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/62.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6230
Resolution (Prädikatenlogik)
■ Unifikation von Termen■ Geg.: Literale L1, L2
■ Ges.: Variablensubstitution σ derart, dass nach Anwendung auf L1 und L2 gilt: L1σ = L2σ
■ Existiert eine solche Variablensubstitution σ, dann heißt σ Unifikator von L1 und L2.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 63: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/63.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6330
Resolution (Prädikatenlogik)Unifikationsalgorithmus■ Geg.: Literale L1, L2
■ Ges.: Unifikator σ von L1 und L2.
1. L1 und L2 sind Konstanten: nur unifizierbar, falls L1 = L2 .
2. L1 ist Variable und L2 beliebiger Term: unifizierbar, falls für Variable L1 der Term L2 eingesetzt wird und Variable L1 nicht in L2 vorkommt.
3. L1 und L2 sind Prädikate oder Funktionen PL1(s1,...,sm) und PL2(t1,...,tn):unifizierbar, falls
1. PL1 = PL2 oder
2. n=m und sich jeder Term si mit einem Term ti unifizieren lässt
Montag, 5. Dezember 11
![Page 64: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/64.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6430
Resolution (Prädikatenlogik)Beispiele zur Unifikation
L1 L2 σp(X,X) p(a,a) [X/a]p(X,X) p(a,b) n.a.p(X,Y) p(a,b) [X/a, Y/b]p(X,Y) p(a,a) [X/a, Y/a]
p(f(X),b) p(f(c),Z) [X/c, Z/b]p(X,f(X)) p(Y,Z) [X/Y, Z/f(Y)]p(X,f(X)) p(Y,Y) n.a.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 65: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/65.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6530
Resolution (Prädikatenlogik)
■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden
■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) )
(q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))).
Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt
Montag, 5. Dezember 11
![Page 66: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/66.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6630
Resolution (Prädikatenlogik)Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution:
■ Terminologisches Wissen (TBox): (∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
(∀X) ( orphan(X) ↔
(human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y)))
■ Wissen um Individuen (ABox): orphan(harrypotter)
parent_of(jamespotter,harrypotter)
■ Können wir folgern: ¬alive(jamespotter)?
Montag, 5. Dezember 11
![Page 67: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/67.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6730
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Zu zeigen:
((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
∧ (∀X) (orphan(X) ↔
(human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
→ ¬alive(jamespotter))
ist allgemeingültig.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 68: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/68.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6830
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Zu zeigen:
¬((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
∧ (∀X) (orphan(X) ↔
(human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
→ ¬alive(jamespotter))
ist unerfüllbar.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 69: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/69.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
6930
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution ■ Pränexnormalform:
(∀X)(∃Y)(∀X1)(∀Y1)(∀X2)(∃Y2)
(( ¬human(X) ∨ parent_of(Y,X) )
∧ (¬orphan(X1)∨ (human(X1) ∧ (¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1)))
∧ (orphan(X2) ∨ (¬human(X2) ∨ (parent_of(Y2,X2) ∧ alive(Y2)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
∧ alive(jamespotter))
Montag, 5. Dezember 11
![Page 70: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/70.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
7030
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution ■ Klauselform (CNF):
( ¬human(X) ∨ parent_of(f(X),X) )
∧ (¬orphan(X1) ∨ human(X1))
∧ (¬orphan(X1) ∨ ¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1))
∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2))
∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ alive(g(X,X1,Y1,X2)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
∧ alive(jamespotter)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 71: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/71.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
7130
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution ■ Klauselform:
{ {¬human(X), parent_of(f(X),X)},
{¬orphan(X1), human(X1)},
{¬orphan(X1),¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1)},
{orphan(X2),¬human(X2),parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)},
{orphan(X2) ,¬human(X2),alive(g(X,X1,Y1,X2))},
{orphan(harrypotter)},
{parent_of(jamespotter,harrypotter)},
{alive(jamespotter)} }
Montag, 5. Dezember 11
![Page 72: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/72.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
7230
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution
1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)}2. {(¬orphan(X1), human(X1)}3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))}4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))}6. {orphan(harrypotter)}7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)}8. {alive(jamespotter)}
9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) [X1/harrypotter, Y1/jamespotter]
Wissen:
Abgeleitete Klauseln:
Montag, 5. Dezember 11
![Page 73: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/73.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
7330
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Wissen:
Abgeleitete Klauseln:
1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)}2. {(¬orphan(X1), human(X1)}3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))}4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))}6. {orphan(harrypotter)}7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)}8. {alive(jamespotter)}
9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7)10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 74: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/74.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
7430
Resolution (Prädikatenlogik)
Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Wissen:
Abgeleitete Klauseln:
1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)}2. {(¬orphan(X1), human(X1)}3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))}4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))}6. {orphan(harrypotter)}7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)}8. {alive(jamespotter)}
9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7)10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9)11. ⊥ (6,10)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 75: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/75.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
7530
Resolution (Prädikatenlogik)Eigenschaften der Resolution für FOL■ Widerlegungsvollständigkeit□ Wird Resolution auf widersprüchliche Klauselmenge
angewandt, dann existiert eine endliche Folge von Resolutionsschritten, mit denen der Widerspruch entdeckt werden kann.
□ Die Anzahl n der notwendigen Beweisschritte kann dabei sehr groß werden (ineffizient)
□ Resolution in FOL ist nicht entscheidbar□ Ist die Klauselmenge nicht widersprüchlich, lässt sich
die Terminierung des Verfahrens nicht garantieren.
Montag, 5. Dezember 11
![Page 76: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/76.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
76
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
![Page 77: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/77.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
7730
Eigenschaften der Prädikatenlogik (FOL)
■ Monotonie□ Bei Vergrößerung des Wissens gehen keine
Schlussfolgerungen verloren.
□ Sind S und T Theorien, mit S⊆T
□ Dann gilt {F|S ⊨ F} ⊆ {F|T ⊨ F}
Montag, 5. Dezember 11
![Page 78: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/78.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
7830
Eigenschaften der Prädikatenlogik (FOL)
■ Kompaktheit□ Für jede Schlussfolgerung aus einer Theorie genügt
eine endliche Teilmenge der Theorie.
■ Semientscheidbarkeit□ Prädikatenlogik erster Stufe ist unentscheidbar.□ Aber sie ist semientscheidbar in dem Sinne, dass
eine logische Konsequenz T ⊨ F immer in endlicher Zeit nachgewiesen werden kann (nicht aber T⊭F)
Montag, 5. Dezember 11
![Page 79: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/79.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
7930
Eigenschaften der Aussagenlogik (PL)■ Alle genannten Eigenschaften der Prädikatenlogik.■ Entscheidbarkeit□ Alle wahren Schlüsse lassen sich finden, und alle
falschen Schlüsse lassen sich widerlegen, wenn man lange genug sucht.
■ ⇒ es gibt immer terminierende automatische Beweiser
■ Nützliche Eigenschaft:■ {φ1,...,φn} ⊨ φ gilt genau dann,
wenn (φ1 ∧...∧ φn) → φ eine Tautologie ist■ Entscheidung, ob Satz eine Tautologie ist, kann über
Wahrheitswerttabelle getroffen werden■ Entspricht im Prinzip der Überprüfung aller
Interpretationen
Montag, 5. Dezember 11
![Page 80: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/80.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
80
3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik3.2.1 Logik Grundlagen3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
Montag, 5. Dezember 11
![Page 81: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/81.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
3.1.Exkurs: Ontologien in Philosophie und Informatik
3.2.Wiederholung: Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.3.Beschreibungslogiken (Description Logics)3.4.RDFS-Semantik3.5.OWL und OWL-Semantik3.6.OWL 2 und Regeln
Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt
81
Montag, 5. Dezember 11
![Page 82: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/82.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
82
Beschr
eibung
s-
logike
n
die nächste Vorlesung....
Montag, 5. Dezember 11
![Page 83: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/83.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
83
• P. Hitzler, S. Roschke, Y. Sure: Semantic Web Grundlagen, Springer, 2007.
• U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000.
3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Montag, 5. Dezember 11
![Page 84: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/84.jpg)
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
84 Extra-Literatur
• A. Doxiadis, C.H. Papadimitriou: Logicomix: eine epische Suche nach der Wahrheit, Atrium Verlag, 2010.
3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Montag, 5. Dezember 11
![Page 85: 05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052410/54c2fe024a7959d25c8b456d/html5/thumbnails/85.jpg)
Materialien
□Bloghttp://wwwsoup2011.blogspot.com/
□Webseitehttp://www.hpi.uni-potsdam.de/studium/lehrangebot/veranstaltung/semantic_web_technologien.html
□bibsonomy - Bookmarkshttp://www.bibsonomy.org/user/lysander07/swt1112_05
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
85
3. Wissensrepräsentation und Logik3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Montag, 5. Dezember 11