040 相関
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統計学入門 相関係数 Correlation Coefficient 2008.05 2009.05.27 式の誤りを修正 2009.06.02 R での計算 http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/animation/scattergram.html 2011.05.31 演習問題データ変更 2012.05.23 アニメーション追加
Transcript of 040 相関
統計学入門 相関係数 Correlation Coefficient2008.052009.05.27 式の誤りを修正2009.06.02 R での計算http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/animation/scattergram.html2011.05.31 演習問題データ変更2012.05.23 アニメーション追加
直線的強さの尺度
� Kendall の τ （タウ）係数� 共分散� 相関係数（ Pearson ）� 順位相関係数
� Spearman の順位相関係数� Kendall の順位相関係数 τ
直線的強さの尺度
� ２つの目的� 右上がり、右下がりの区別 符号で� 直線的な傾向が強い 大きな値� 直線的な傾向が弱い 小さな値-0.988 -0.478 0.312
Kendall の τ 係数
Kendall の τ 係数
� 平均でⅠ象限からⅣ象限に分割する� Ⅰ 象限、Ⅲ象限のデータ数 K� Ⅱ 象限、Ⅳ象限のデータ数 L K+L=n
� 右上がりの傾向のとき K が大きく、 L が小さい 0<K-L
� 右下がりの傾向のとき L が大きく、 K が小さい K-L<0
� τ ＝ (K - L)/n -1 ≦τ ≦ 1
Kendall の τ 係数
� 後のために、別の表現� 各ケースに +1 、ないしは -1 の重みｗをつけ
る
τ=−=
∈−∈+
=
∑=
)(1
),(1
,),(1
,),(1),(
1
LKn
yxwn
IVIIyx
IIIIyxyxw
i
n
ii
τ 係数の問題点
� 4 つの点は同じ重み� データが変化（追加
、削除、修正）した時に、同じ象限に� 同じ象限に留まる� 別の象限に移りや
すい
� 点ごとに重みを変える１ ２
３
４
共分散
222
11
)(
))((1
),(1
))((),(
yxxy
xy
n
iiii
n
ii
sss
syyxxn
yxwn
yyxxyxw
≤
=−−=
−−=
∑∑==
相関係数
xyyx
xy
yx
n
i ii
n
i y
i
x
ii
n
ii
yx
rss
s
ss
yyxxn
s
yy
s
xx
nyxw
n
s
yy
s
xxyxw
==−−
=
−−=
−−=
∑
∑∑
=
==
1
11
))((1
))((1
),(1
))((),(
相関係数の値
> cor(height, weight)
0.851211920646571
相関係数行列(irisデータ )
(1.0000000000000006 -0.11756978413300196 0.8717537758865829 0.8179411262715756)
(-0.11756978413300196 1.0000000000000006 -0.4284401043305399 -0.36612593253643912)
(0.8717537758865829 -0.4284401043305399 0.9999999999999994 0.96286543140279552)
(0.8179411262715756 -0.36612593253643912 0.96286543140279552 1.0000000000000002))
相関係数の性質
� -1 ≦ ｒ xy≦1
� 完全相関 ｒ xy ＝ ±1 １本の直線上にすべての点
� 無相関 ｒ xy ＝０相関（直線的な傾向）が無い
関係はあるが、無相関
演習（回帰直線の演習問題と同じデータ）
� 相関係数、回帰直線を求めよう
� height� 148, 160, 159, 153, 151, 140, 156, 137, 149, 160,
151, 157, 157, 144� 和 2122 2 乗和 322338
� weight� 41, 49, 45, 43, 42, 29, 49, 31, 47, 47, 42, 39, 48,
36� 和 588 2 乗和 25226
� 積和 89643
順位相関係数
� データが順位で与えられる場合� Spearman の順位相関係数
� 通常の Pearson の相関係数を計算� データが「順位」ということから・・・
� Kendall の順位相関係数� 全部に順位をつけるのが難しい場合� 対比較 (paired comparison)
順位データ (Spearman)
� ｎ個の対象に対して１からｎまでの順位をつける
� 二人がつけた順位
の関連を求める
nOOO ,,, 21
naaa ,,, 21
nbbb ,,, 21
� 順位ということより
は１からｎまでが１回ずつ現れる
naaa ,,, 21
順位データの例
球団 A B中日 3 2広島 2 6阪神 1 3
ヤクルト 5 5横浜 4 1巨人 6 4
対象 A BO1 a1 b1
O2 a2 b2
・・・ ・・・
・・・
・・・ ・・・
・・・
・・・ ・・・
・・・
On an bn
2
12/)1(2121 +=+=+++=+++= n
n
nn
n
n
n
aaaa n
12
)1)(1()
2
1(
6/)12)(1(
)2
1(
21
)(
)(1
)(1
2
2222
222
221
1
22
1
22
−+=+−++=
+−+++=
−+++=
−=−= ∑∑==
nnn
n
nnn
n
n
n
an
aaa
aan
aan
s
n
n
ii
n
iia
22
1
2
1
2
1
22
1
1
2
1 1
22
2
)())((2)(
})())((2){(
)(
)()(
baba
n
ii
n
iiii
n
i
iiii
n
i
n
iii
n
i
n
iiiii
nsnsns
bbbbaaaa
bbbbaaaa
bbaa
baaaba
+−=
−+−−−−=
−+−−−−=
−+−=
−+−=−
∑∑∑
∑
∑
∑ ∑
===
=
=
= =
∑
∑
=
=
−−−+=
−−+=
n
iii
n
iiibaab
ban
nn
ban
sss
1
2
1
222
)(2
1
12
)1)(1(
2/})(1
{
∑
∑
=
=
−−+
−=
−+−+
−−−+
=
=
n
iii
n
iii
ba
abab
bannn
nnnn
ban
nn
ss
sr
1
2
1
2
22
)()1)(1(
61
)12
)1)(1()(
12)1)(1(
(
)(21
12)1)(1(
∑=
−−+
−=n
iiiab ba
nnnr
1
2)()1)(1(
61
Spearmanの順位相関係数> a<-c(3, 2, 1, 5, 4, 6)> b<-c(2, 6, 3, 5, 1, 4)
> a-b[1] 1 -4 -2 0 3 2> (a-b)^2[1] 1 16 4 0 9 4> sum((a-b)^2)[1] 34> 1-6*sum((a-b)^2)/(5*6*7)[1] 0.02857143
> 1/35[1] 0.02857143
> cor(a, b)[1] 0.02857143
> mean(a)[1] 3.5> mean(b)[1] 3.5> sd(a)[1] 1.870829> sd(b)[1] 1.870829> cov(a,b)[1] 0.1> cov(a,b)/(sd(a)*sd(b))[1] 0.02857143
球団 A B A-B （ A-B)２
中日 3 2 3-2 1広島 2 6 2-6 16阪神 1 3 1-3 4
ヤクルト
5 5 5-5 0
横浜 4 1 4-1 9巨人 6 4 6-4 4合計 34
35
1
35
34134
576
61 =−=×
××−=abr
∑=
−−+
−=n
iiiab ba
nnnr
1
2)()1)(1(
61
対比較 (paired comparison) (Kendall の順位相関係数 )
� ｎ個の対象に対して１からｎまでの順位をつけるのは大変
� ｎ個から取り出した 2 個 (pair) に対して二人で大小関係をつける� Pair の組数 � 二人の大小関係が一致した組み数 K� 二人の大小関係が不一致の組み数 L� M=K+L
�
nOOO ,,, 21
),( ji OO
2
)1(2
−== nnCM n
11 ≤−≤−
≤−≤−
M
LK
MLKM
2/)1( −−=−=
nn
LK
M
LKτ
対比較中：広＞：＜中：阪
広：阪
＞：＜
＞：＞
中：ヤ
広：ヤ
阪：ヤ
＜：＜
＜：＞
＜：＜
中：横
広：横
阪：横
ヤ：横
＜：＞
＜：＞
＜：＞
＞：＞
中：巨
広：巨
阪：巨
ヤ：巨
横：巨
＜：＜
＜：＞
＜：＜
＜：＞
＜：＜
τ=(7-8)/15=-1/15
球団 A B
中日 3 2
広島 2 6
阪神 1 3
ヤクルト 5 5
横浜 4 1
巨人 6 4
各種相関係数
> cor(a, b)[1] 0.02857143
> cor(a, b, method="pearson")[1] 0.02857143
> cor(a, b, method="spearman")[1] 0.02857143
> cor(a, b, method="kendall")[1] -0.06666667
> cor(height, weight)[1] 0.851212> cor(height, weight, method="pearson")[1] 0.851212> cor(height, weight, method="spearman")[1] 0.7433628> cor(height, weight, method="kendall")
> rank(height) [1] 4.0 13.5 12.0 8.0 6.5 2.0 9.0 1.0
5.0 13.5 6.5 10.5 10.5 3.0> cor(rank(height), rank(weight))[1] 0.7433628
演習� 次のデータから順位相関係数を求めよ
球団 2006 年最終
2011.05.31
中日 1 1阪神 2 5
ヤクルト 3 2巨人 4 4広島 5 3横浜 6 6
相関係数を当ててみようhttp://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/simulation/scatter_java/index.html
� 入門編� -1.0, -0.8, -0.5, 0,
0.5, 0.8, 1.0
� 初級編� -1.0(0.2)1.0
� 中級編� -1.0(0.1)1.0
� 上級編� -1.00(0.01)1.00
