04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
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11 5 11 5 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
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3°Sec - I Bim.
1 Segmentos
SEGMENTO DE RECTA Es aquella porción de la línea rectaque t iene un punto de inicio y un puntofinal.
PUNTO MEDIO DEUN SEGMENTO
Es aquel punto medio del segmentoque equidista de los extremos del
segmento.
A CB
b b
AB: segmento ABAB = 10u
Notación
S i AM = MB ⇒ “M” es puntomedio de AB.
A
10u
B
Resolución
1. En una recta se ubican los puntosA, B, C y D, tal que AC = 12 yBD = 15. Calcula AD si BC = 4.
A B C D
1512
4
x
C D = BD- BC CD = 15 - 4
C D = 11
x = AD = AC + CD = 12 + 11
x = 23
A B C D
10aa a
x
E4a
2. Los puntos A, B, C, D y E sonconsecutivos y colineales. B y Cson puntos medios de BD y AC.Ca lcular AE si DE = 2(AC) y
CE = 10 u.Resolución
Del gráfico: CE = 5a = 10 a = 2
x = AE = 7a x = 14
Del dato:BD - 4(AB) = 20u
(x + 4a) - 4(a - x) = 20u x + 4a - 4a + 4x = 20u 5x = 20u
x = 4u
A B C D
a 4a
x
3. En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B y D. En BD seubica C, tal que 4(AC) = CD.Calcula BC si BD - 4(AB)= 20u.
Resolución
A B M C
b a a
Reemplazando en la ecuación:
Desarrollando los productosnotables:
Q = 2
Resolución
4. E n u n a r e c t a s e u b i c a nconsecutivamente los puntos A,B, M y C, siendo M punto mediode BC. Calcula el valor de:
(AM) 2 + (AC )2
(AM) 2 + (BM)2Q =
(b) 2 + (b + 2a)2
(a + b)2 + (a)2Q =
b2 + b2 + 4ab + 4a2
a2 + 2ab + b2Q =
4a2 + 4ab + 2b2
2a2 + 2ab + b2Q =
2(2a 2 + 2ab + b2)(2a 2 + 2ab + b2)Q =
5. S i A, B y C son tres puntoscolineales y consecutivos, AB =2x - 9 y BC = 11. Calcula x máx.y xmín si AB < BC.
A B C
2x - 9 11
Sabemos que: 0 < AB < BC
0 < AB AB < BC0 < 2x - 9 2x - 9 < 119 < 2x 2x < 204,5 < x x < 10xmín= 5 xmáx= 9
Resolución
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Geometría
11 6 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Ejercicios Propuest os
11) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D, talque 4(AB) - BD - 2(CD) = 4,AB = 3 y AC = 4. Calcula lalongitud del segmento que unelos puntos medios de AB y AD.
a) 7/6 b) 7/2 c) 5/3d) 8/7 e) 1/2
8) Sobre una recta se ubican lospuntos consecutivos A, B, C, Dy E, ta l que AE - BC = 12. Hallala longitud del segmento que unelos puntos medios de AC y BE.
a) 8 b) 10 c) 11d) 4 e) 6
13) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, D y E, talque (AD)(BE) = 80. Ca lculaAD - BE si AC + BC + C D +CE = 18.
a) 4 b) 2 c) 1d) 5 e) 6
15) S e t i e n e n l o s pu n t o sconsecutivos A, B, C, y D, tal
que 2 AB = 3 BC = 4 CD yAB = 18. Calcula BD.
a) 36 b) 15 c) 24d) 32 e) 21
17) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, D y E,de modo que AB = 5(BD ) yCE = 6(CD). Si AB - DE = 50,calcula BC/2.
a) 5 b) 8 c) 10d) 25 e) 12
19) Dados los puntos colineales yconsecutivos A, B y C, se tieneque AB = 3 m y AC = 15 m.Sea “M” punto medio de BC,calcula AM.
a) 6 m b) 7 m c) 8 md) 9 m e) 10 m
23) Sean los puntos colineales yconsecutivos A, B, C y D. SiAD + CD = 30u y AC = 10u,calcula AD.
a) 20u b) 25u c) 15ud) 10u e) 12,5u
3) En una recta se ubican los puntosP, Q, R, S y T, de modo que Q yS son puntos medios de PS y RT,respectivamente.Si PR - ST = 14, calcula QR.
a) 7 b) 4 c) 8d) 9 e) 6
4) En una recta se ubican los puntosconsecutivos M, N, P y Q, demodo que a(NP) = b(PQ);NQ = a y MQ = b (a ≠ b).Calcula NP en función dea y b.
a) b) c)
d) e) a . b
a + ba - b
a - ba + b
a . ba + b
a - ba . b
5) En una recta se ubican los puntosconsecutivos P, Q, R, S y T, t alque PR = RT; PQ + RS = 12 yST - QR = 4. Halla PQ.
a) 6 b) 9 c) 8d) 4 e) 3
34) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B y D. En BD seubica C, ta l que 4(AC) = CD.Calcula BC siBD - 4(AB) = 20u.
a) 2u b) 5u c) 6ud) 4u e) 8u
25) Sobre una recta se consideran lospuntos consecutivos A, B, C y D,tales que AC = 5x, BD = 7x,AD = 36 y BC = 12. Calcula“x”.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
27) En una recta se ubican los puntosconsecutivos M, O, A y B, siendo
MA + 4(OA)-
2(MB) = 5,OA = 6 y OB = 7. Calcula MO.
a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 19
29) En una recta se toman los puntosconsecutivos A, B y C, de modoque AB = 12 y BC = 20. Seubican los puntos medios “M”,“N” y “T” de AB, BC y AC,respectivamente. Halla TB.
a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3
33) Los puntos A, B, C, D y E sonconsecutivos y colineales. B y Cson puntos medios de AC y BD.Calcula AE si DE = 2(AC) yCE = 10u.
a) 10u b) 12u c) 14ud) 16u e) 18u
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11 7 11 7 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
Resolución: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
A ho ra resuelve t ú
9) Sobre una recta se ubican lospuntos consecutivos A, B, Cy D, tal que AB - B C = 3 yAD + CD = 15. Calcula BD.
a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6
10) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, y D, t al queAB = 12 y BD = 15. Calcula ADsi BC = 4.
a) 15 b) 12 c) 27d) 25 e) 23
12) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D, tal queAB = 7 y AC = 12.Además 2(BD) - C D = 13.Calcula AD.
a) 15 b) 12 c) 19d) 19/2 e) 8
14) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, D y E, talque (AC)(CE) = 14. CalculaAC - CE si AB + BE = 9.
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
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Geometría
11 8 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Reforc emo s en casa
1) S e t i e n e c u a t r o p u n t o scolineales A, B, C y D, t ales queC es punto medio del segmentoAD y AB = 2 BC. Halla BC siAD = 12.
a) 1 b) 6 c) 3d) 2 e) 4
2) En una recta se ubican los puntosA, B, C, D y E, de modo que By D son puntos medios de AD yCE, respectivamente.Si AC - DE = 8, calcula BC.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
20) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D, ta lesque AD = 30 cm, BD = 18 cm yAC = 22 cm. Calcula BC.
a) 8 cm b) 9 cm c) 10 cmd) 11 cm e) 7 cm
21) En una recta se consideran lospuntos consecutivos P, Q y R,donde PQ = 12u. Se ubican lospuntos medios “M” y “N” de PRy RQ, respectivamente. C alculaMN.
a) 3u b) 4u c) 5ud) 6u e) 8u
24) En una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D y E, talesque “B” es punto medio de ACy “D” es punto medio de BE.
Calcula AD si AE = 9 BC = 45.
a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30
26) En una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D, donde3 AB + AD = 4 y CD = 3 BC.Calcula AC.
a) 0,5 b) 1 c) 2d) 1,5 e) 2,5
28) A , B , C y D son pun tosconsecutivos de una recta,donde AB = 3(BC) = 5(CD) yAD = 69. Calcula AB.
a) 28 b) 39 c) 40d) 45 e) 15
22) En una recta se consideran lospuntos consecutivos A, B yC, de modo que AC = 24u yBC = 2(AB). Calcula AB.
a) 4u b) 3u c) 5ud) 6u e) 8u
16) S e t i e n e n l o s pu n t o sconsecutivos A, B, C y D, talque 3 AB = 4 BD = 5 BC yAB = 20. Calcular AD.
a) 20 b) 35 c) 25d) 40 e) 30
18) En una recta se tiene los puntosconsecutivos M, A, O y B, talesque MA = 12u y AB = 16u.Calcula MO si “O” es punto
medio de AB.
a) 17u b) 18u c) 19ud) 29u e) 21u
31) Da do los puntos colinea les A,B, C, D y E, tal que AB = x - 2,B C = x - 5, C D = y - 3,DE = y- 2 y AC = CE. Calculax - y.
a) 5 b) 3 c) 4d) 2 e) 1
32) En una recta están ubicados lospuntos A, B, C, D y E, de modoque BC = 1 m, CD = 2 m,DE = 3 m y AD = a. CalculaAE - AC.
a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 5 m
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11 9 11 9 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
2 Ángulos
Definición Es aq uella figura que resulta deunir dos rayos cuyo origen común se
denomina vértice.
O A
B
Lados : OB y OA Vértice : O
m AOB =
NOTACIÓN
AOB : ángulo AOBm AOB : medida del á ngulo
AOB.
BISECTRIZ
Es aquel rayo que biseca a un ángulo.
O
B
M
A
“ Todo ángulo en la geometríaplana es positivo y menor o iguala una vuelta”. 0º 360 º
Recuerda
ClasificaciónA) DE ACUERDO A SU MEDIDA
Agudo
O
B
A
0º < < 90 º
Obtuso
B
O A
90 º < < 180 º
Recto
= 90 º
B
AO
Llano
B AO
= 180 º
De una vuelta
O A
B
= 360 º
A O D
B C
m AOD = 180 º = + +
+ + + + = 180º
B) DE ACUERDO A SUS LADOS
Complementarios
+ = 90 º C = 90 º -
O
C
B
A
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12 1 12 1 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
Ejercicio s Propu est os
2) Calcula si SSC = 13º .
a) 103 º b) 77 º c) 167 º d) 27 º e) 17 º
x230º
5) Calcula x.
a) 140 º b) 120 º c) 160 º d) 170 º e) 100 º
8) Calcula el mayor de dos ángulossuplementarios sabiendo que el
mayor es el triple del menor. a) 15 º b) 130 º c) 160 º d) 145 º e) 135 º
746 224 veces
3) Calcula si SSS...S = 123º.
a) 33 º b) 57 º c) 213 º d) 123 º e) 53 º
9) Dado los ángulos consecutivosAOB, BOC y COD y se trazanlas biectrices OX y OY de AOBy COD, respectivamente. Hallam XOY si m AOC = 81 º ym BOD = 99º .
a) 99 º b) 100 º c) 78 º d) 90 º e) 81 º
12) Calcula el complemento de unángulo si dicho ángulo es igualal suplemento de 160 º .
a) 20 º b) 40 º c) 60 º d) 65 º e) 70 º
15) Ca lcula x si OP es bisectriz del∢ AOB.
a) 97 º b) 113 º c) 70 º d) 117 º e) 133 º
CB
P
A O
27º
43º
x
16) Calcula la medida de un á ngulo,sabiendo que éste es igual a unoctavo de su suplemento.
a) 20 º b) 22 º c) 25 º d) 30 º e) 106 º
18) En la figura, AC es una recta,m AOD= 160 º y m BOD = 170º.
Calcula m BOD.
a) 30 º b) 70 º c) 120 º d) 150 º e) 160 º
A
B
O
C
D
A X B
C
Y
D
O
22) Si m AOC = 100 º ym BOD = 90º, calcula m XOY.
a) 80 º b) 85 º c) 90 º d) 95 º e) 105 º
O
AB
C
D
21) En el gráfico, OC es bisectrizdel AOD, m AOB = 20 º ym BOD = 60º . C alcula
m BOC.
a) 10 º b) 70 º c) 25 º d) 30 º e) 40 º
34) La suma del suplemento y com-plemento de dos ángulos que sediferencian en 40 º es 140 º . Elmenor ángulo es:
a) 5 º b) 15 º c) 25 º d) 35 º e) 45 º
35) De la figura mostrada, calcula“x”.
a) 140 º b) 130 º c) 150 º d) 100 º e) 120 º
x
30 º
36) En la figura calcula “x” simº+ nº = 160º
a) 95 º b) 105 º c) 90 º d) 100 º e) 120 º
x
mn
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9/31
Geometría
12 2 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Resolución: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
A ho ra resuelve t ú
17) La diferencia entre el suplementoy el complemento de es igual a 6 . Calcula “ ”.
a) 2 º b) 6 º c) 9 º d) 10 º e) 15 º
14) Ca lcula x si OP es bisectriz del AOB.
a) 35 º b) 40 º c) 75 º
d) 105 º e) 125 º
40 º
xCB
P
A O35 º
27) Del gráfico mostrado, calcula x.
a) 45 º b) 40 º c) 15 º
d) 30 º e) 36 º
2
x
38) La suma del suplemento del complementode un ángulo y el complemento del t ripledel mismo es igual a 130 º . Calcula lamedida de dicho ángulo.
a) 25 º b) 30 º c) 60 º d) 65 º e) 55 º
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12 3 12 3 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
Reforc emo s en casa
1) Calcula si SC = 120 º .
a) 10 º b) 60 º c) 30 º d) 45 º e) 210 º
28 º5x+ 2º
6) Calcula x.
a) 10 º b) 12 º c) 13 º d) 14 º e) 18 º
7) Calcula el menor de dos ánguloscomplementarios sabiendo queel mayor es el doble del menor.
a) 30 º b) 15 º c) 45 º d) 35 º e) 60 º
10) Halla la medida del ánguloque forman las bisectricesde dos ángulos adyacentessuplementarios.
a) 60 º b) 45 º c) 90 º d) 50 º e) 120 º4) Calcula si CCCC...C = 44º.
a) 136 º b) 44 º c) 134 º d) 64 º e) 46 º
327 467 veces
13) Calcula el suplemento delcomplemento de 70 º .
a) 40 º b) 10 º c) 20 º d) 120 º e) 160 º
11) Se t iene los ángulos consecutivosAOB, BOC y COD, ta l quem AOD = 160 º y m BOC = 100º.Halla la medida del ángulo for-mado por las bisectrices de AOCy BOD.
a) 30 º b) 45 º c) 20 º
d) 60 º e) 36 º
23) Se tien e los án gulos consecu-tivos AOB, BOC y COD deta l manera que m AOC +m B O D = 148 º y OA OD .Halla m BOC .
a) 74 º b) 68 º c) 54 º d) 58 º e) 46 º
A
B
C
D
20) En el gráfico OC es la bisectrizdel BOD, m AOB = 20 º ym AO D = 80 º . Ca lcu lam AOC.
a) 30 º b) 50 º c) 60 º d) 80 º e) 70 º
19) Se tienen los ángulos consecutivosAOB, BOC y COD, ademásm AOB + m COD = 70 º .Calcular m XOY, si OX esbisectriz del AOC y OY esbisect riz del m BOD.
a) 25 b) 45 c) 60 d) 35 e) 55
33) Encuentra la mitad de la t erceraparte del complemento delsuplemento de un ángulo quemide 102 º .
a) 1 º b) 2 º c) 3 º d) 4 º e) 84 º
39) Calcula si = 26º .
a) 13 º b) 26 º c) 39 º d) 12 º e) 28 º
32
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
11/31
Geometría
12 4 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3 Ángulosentrerectasparalelas
Definición Son aquellas rectas que no tienenpuntos en común.
L2
L1
Si L1 L2 = { } L1 //L 2
ÁNGULOS ENTREPARALELAS
=
=
+ = 180 º
1. ÁNGULOS ALTERNOS
1.1 Internos
1.2 Externos
2. ÁNGULOS CONJ UGADOS
2.1 Internos
+ = 180 º
=
PROPIEDADES
Si L1 // L 2
L1
L2
x
y
z
x + y + z = +
2.2 Externos
3. ÁNGULOSCORRESPONDIENTES
Demostr ación
Obs. : a + b = y
= x + by = b + a
= a + z + + y = x + z + 2(a + b)
+ + y = x + z + 2(y) + + y = x + z + 2y + = x + y + z
Si L1 // L 2
x
y
L1
L2
x + y =
Demostr ación
= x + y
L1
L2
x
y ba
z
xb
az
x
x
y
y
L1
L2
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
12/31
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
13/31
Geometría
12 6 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Ejercicio s Propuest os
P
Q
3x+ 40º
2) Calcula x ( P //Q ).
a) 5° b) 10° c) 20°d) 25° e) 30°
60 º+ x
3) Calcula x (L 1 //L 2).
a) 9 º b) 12 º c) 10 ºd) 11 º e) 13 º
2
L1
L2
4) Calcula si L1 //L 2.
a) 30 º b) 5 º c) 25 ºd) 15 º e) 10 º
6) Calcula (L 1 // L 2 // L 3) .
a) 40 º b) 50 º c) 60 ºd) 70 º e) 80 º
L1
L2
6
4
7) Calcula (L1 //L 2).
a) 72 º b) 82 º c) 74 ºd) 84 º e) 92 º
P Q
m
n
150 º
8) Calcula si m //n y P //Q.
a) 89 º b) 102 º c) 120 ºd) 100 º e) 130 º
12) Calcula “x” si L1 //L 2.
a) 16°b) 32°c) 24°d) 18°e) 20°
L1
L2
3x
x
40º
20º24º
+ 70º
+ 80º
L1
L2
L3
50º
70 º
30º
36º 20º
x
L1 L2
15) Calcula si m //n.
a) 70° b) 80° c) 90°d) 60° e) 30°
m
n
20 º
120 º
16) En la figura, calcula x siL1 //L 2.
a) 105 º b) 125 º c) 95 ºd) 135 º e) 115 º
x
2 0 º
x
L2
L1
17) Calcula x si L1 //L 2.
a) 10 º b) 26 º c) 36 ºd) 30 º e) 18 º
4x
x7
L1
L2
22) Calcula si L1 //L 2.
a) 0,5b) 0,3c) 2d) 1e) 1,5
xy
L3
L1
x y
L2
L1240 º
230 º24) Calcula (L1 //L 2)
a) 60 º b) 70 º c) 80 ºd) 90 º e) 100 º
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
14/31
12 7 12 7 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
A
B
C
6
160 º
140 º
30) En el gráfico, L 1 //L 2. Ca lcula .
a) 10 º b) 15 º c) 20 ºd) 5 º e) 25 º
31) Si L1 //L 2, calcula x.
a) 36 º b) 18 º c) 42 ºd) 9 º e) 28 º
L1
L2
2xx
4x
3x
38) Calcula x si L1 //L 2.
a) 18 º b) 24 º c) 15 ºd) 30 º e) 16 º
L1
L2
2x 5x
34) Calcula x si L1 //L 2.
a) 100 º b) 150 º c) 110 ºd) 120 º e) 105 º
L2
L120º
2 0 º
3 0 º
x
36) Si L1 //L 2 y + = 66º , calculael valor de y.
a) 133 º b) 114 º c) 166 ºd) 111 º e) 100 º
L1
L2y
L1
L24
4A
N
M B
C
x
37) En la figura mostrada, L 1 //L 2,AM = MB y AN = NC. Calcula
el valor de x.
a) 95 º b) 85 º c) 75 ºd) 65 º e) 45 º
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
15/31
Geometría
12 8 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Resolución: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
A ho ra resuelve t ú
28) Calcula x a //b.
a) 60 º b) 40 º c) 20 ºd) 80 º e) 100 º
a
b
+ x
100 º
L1
L250 º
70º
x
25) Si L1 //L 2 calcula x.
a) 10 º b) 100 º c) 120 ºd) 130 º e) 140 º
13) Calcula “x”, si L1 //L 2.
a) 16°b) 32°c) 24°d) 18°e) 20°
L2
L140º
10º
40º
x
x
x
36º100 º
xa
b
20) Calcula x si a //b.
a) 66 º b) 116 º c) 86 ºd) 96 º e) 80 º
04 Geometría 3°I Bim Arcangel 2016.indd 128 11/02/2016 05:18:35 p.m.Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ( http://www.novapdf.com )
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
16/31
12 9 12 9 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
Reforc emo s en casa
1) Calcula ( m // n ).
a) 10° b) 20° c) 40°d) 70° e) 15°
m
n
2
100 º+ 2
5) Calcula (L1 //L 2).
a) 40 º b) 50 º c) 60 ºd) 70 º e) 80 º
9) Calcula “x” (L1 //L 2).
a) 54 º b) 36 º c) 64 ºd) 72 º e) 108 º
L2
L1
2
3 x
11) Calcula “x” si L1 //L 2.
a) 50° b) 100° c) 110°d) 55° e) 65°
L1
L2
110 º x
10) Determina “ x” ( a //b ).
a) 60° b) 80° c) 100°d) 120° e) 140°
20º
80ºa
bx
L1
L2
40º
40 º+
14) Calcula “x”, si L1 //L 2.
a) 10°b) 20°c) 35°d) 40°e) 80° L2
L13x
100 º+ x
18) En la figura mostrada, calculael valor de x si + = 25º yL1 //L 2.
a) 100 º b) 105 º c) 120 º
d) 135º e) 175
º
L1
L23
x
3
19) Calcula x (L 1 //L 2).
a) 10 º b) 20 º c) 40 ºd) 60 º e) 80 º
L1
L23x
x80 º
21) Calcula “x” si L1 //L
2 //L
3.
a) 50 º b) 30 º c) 60 ºd) 80 º e) 70 º
L1
L3
L2
60º
70º
x
L1
L2
2k+ 5º
6k+ 15 ºx
26) Si L1 //L 2 calcula x.
a) 15 º b) 25 º c) 60 ºd) 35 º e) 45 º
23) Calcula (L1 //L 2)
a) 20 º b) 30 º c) 40 ºd) 50 º e) 60 º
L1L2
220 º260 º
29) Calcula x si L1 //L 2.
a) 60 º b) 45 º c) 90 ºd) 36 º e) 18 º
x
L1
L2
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
17/31
Geometría
13 0 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
4 Triángulos
Definición Un triángulo es la figura formadapor tres segmentos llamados lados.
x
y
z C
B
A
c a
b
1. ELEMENTOSVértices : A, B y CLados : AB, BC y ACMedida de internos : , ,los ángulos externos : x, y, zPerímetro (2P) 2P = a + b + c
ABC : Se lee triángulo ABC.
ClasificaciónA. POR SUS LADOS
Equilátero
60º
P
Q
R60 º 60º
Notación
Isósceles
A
B
C
Escaleno
S U
T
O b s e r v a c i ó n
La base de un triángulo sedenomina al lado del triángulosobre el cual se asienta.
A C
B
Rectángulo( = 90º)
B. POR SUS ÁNGULOS
T E
U
O btusángulo(90 º < < 180 º)
P K
J
Acutángulo(0 º < , , < 90 º )
1) La suma de las medidas de losángulos int ernos es 180 º .
y
x
zA
B
C
+ + = 180 º
x + y + z = 360 º
TeoremasFundamentales
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
18/31
13 1 13 1 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
2) La medida de un ángulo exterior esigual a la suma de las medidas de losángulos internos no adyacentes a él.
A N
M
x
3) En un triángulo, cualquier ladoes mayor que la diferencia de losotros dos y menor que la suma de
los mismos.
B
A C
c a
b
Si a b cb - c < a < b + c
a - c < b < a + c
a - b < c < b + a4) En todo triángulo, a mayor lado
se opone mayor ángulo, además amenor lado se opone menor ángulo.
Q
P R
rp
Si > p > r
m
n
+ = m + n
Teoremas Adicionales
= x + y + z
y
x z
y
m
x
n
x + y = m + n
x
x + 180 º = +
x
yn
m
x + y = m + n
Demostración
1.
x = + +
+ + = x
x
2.
x + y = a + b
x + y = a + b
3.
m = a + n + = b
m + n + = a + b + m + n = a + b
a + b = m + n
nba
b m
1. Calcula x
Resolución:
Del gráfico:50º + 10º + 180º - x = 90º
x = 150 º
x50º
50ºx
xa
y
bx
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
19/31
Geometría
13 2 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Ejercicio s Propuest os
xaa
b b
100 º
120 º
3) Calcula “x”.
a) 100 ºb) 80 º
c) 160 ºd) 120 ºe) 135 º
B
A
C
D
x
2x
60º
72º
4) Calcula “x”.
a) 20 ºb) 24 ºc) 36 ºd) 72 ºe) 64 º
6) Determina “x” .
a) 20 º b) 100 º c) 120 ºd) 110 º e) 130 º
130 º
170 º 140 ºx
8) Calcula la suma de los valorespares que puede tomar MN.
a) 12 b) 22 c) 1 8d) 14 e) 20
P
M
3 11
N
5) Calcula “x”.
a) 9b) 6c) 3d) 2e)
x
2
5
9
12) Según el gráfico, calcula m ADC si AE = ED,
m ACD = 40 º y el triánguloABC es equilátero.
a) 40 º b) 80 º c) 20 ºd) 50 º e) 30 º
DB
A C40º
x E
13) Según el gráfico AB = BD yCD = CE. Calcula x.
a) 40 º b) 10 º c) 20 º
d) 30 º e) 50 º
40º
20ºx
EB
A CD
B
A CF
E
D
x
14) Calcula m ABC si: AF = FC = D E = D F = EF
a) 30 º b) 40 º c) 60 ºd) 50 º e) 80 º
xy
z
16) Calcula x + y + z.
a) 60 º b) 120 º c) 180 ºd) 90 º e) 360 º
18) Calcula “x”.
a) 108 ºb) 72 ºc) 36 º d) 20 ºe) 10 º
x
2
2 x
27) Calcula x si es un número entero.
a) 4 º b) 2,5 º c) 6 ºd) 5 º e) 3 º
m
x
n
28) Calcula x si m + n = 130 º .
a) 30 º b) 20 º c) 25 ºd) 15 º e) 35 º
Q
P
R S
60º
80º
140 º
29) Si PQ = QR, calcula m∢
QSR.
a) 30 º b) 40 º c) 20 ºd) 10 º e) 60 º
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
20/31
13 3 13 3 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
Resolución: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
A ho ra resuelve t ú
50º
10 º
x
11) Calcula “x”.
a) 120 º b) 150 º c) 100 º
d) 110 º e) 130 º
60 º
45 º
3x
2x10) Calcula “x”.
a) 21 ºb) 41 ºc) 31 º d) 13 ºe) 17 º
B
AF
C
D
E
x
15) Calcula m ACF si BC = CD y - = 50º .
a) 40 º b) 50 º c) 20 ºd) 25 º e) 70 º
yz
40º
22) Calcula x.
a) 100 º b) 180 º c) 200 ºd) 260 º e) 360 º
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
21/31
Geometría
13 4 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Reforc emo s en casa
1) Determina el valor del ángulo“x”.
a) 10 º b) 5 º c) 15 º d) 20 º e) 30 º
40 º
2x+ 10ºx
2 x
2x x
2) Calcula “x”.
a) 20 º b) 15 º c) 18 º d) 12 º e) 10 º
9) Calcula la suma de valores paresque puede tomar PQ.
a) 22 b) 32 c) 72d) 42 e) 52
R
P
413
Q
50 º
x
30º
60º
7) Calcula “x”.
a) 100 º b) 90 º c) 120 ºd) 80 º e) 110 º
x
x
x
33) Calcula x.
a) 30 º b) 72 º c) 54 ºd) 36 º e) 18 º
a
b
x
2x
140 º
32) Calcula x si a //b.
a) 40 º b) 30 º c) 20 ºd) 70 º e) 50 º
2 2
120 º
x
A
B C
34) Calcula x.
a) 100 º b) 150 º c) 160 ºd) 170 º e) 175 º
A
B
CD
50º20º
x
20) En el triángulo ABC, AB = BD.Calcula x.
a) 20 º b) 30 º c) 50 ºd) 60 º e) 70 º
B
A C
72
26) Calcula la suma de los valorespares que puede tomar AC.
a) 6 º b) 8 º c) 7 ºd) 14 º e) 21 º
x 2x
2x2 x
2 x
17) Calcula “x”.
a) 60 º b) 20 º c) 30 º d) 10 º e) 15 º
70º
w
21) Calcula + + w.
a) 70 º b) 100 º c) 110 º
d) 140º e) 130
º
24) Calcula el máximo valor enteroque puede tomar el tercer ladode un triángulo, sabiendo quedos de sus lados son 5 y 9.
a) 13 º b) 14 º c) 11 ºd) 6 º e) 5 º
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
22/31
13 5 13 5 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
5 LíneasNotables
Es aq uel segmento de recta queparte de un vértice y cae en un puntocualquiera del lado opuesto.
Ceviana
B
E A D C
Es aquel segmento que parte de unvértice y cae en el punto medio del ladoopuesto.
Mediana
A
B
CM
BM : mediana
Es aquel segmento que parte de unvértice y cae de forma perpendicularsobre el lado opuesto.
Altura
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
A
B
CH
BH : a ltura
BD : ceviana interiorBE : ceviana exterior
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
A
B
HC
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
A C
B
H
Es aquella línea recta que cae deforma perpendicular en el punto mediodel lado de un t riángulo.
Mediatriz
A
B
CP
L1
L : mediat riz
Es aq uel segmento de recta quebiseca al ángulo interior o exterior deun t riángulo.
Bisectriz
BH : a ltura
BH: altura
BD : Bisectriz interior
A DC
B
BD : Bisectriz exterior
PropiedadesFundamentales
x
x = 90 º + 2
A
B
CD
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
23/31
Geometría
13 6 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
x
x
x = 2
ADICIONALES
x = a + b2
x = 90 º - 2
x = a + b2
a
xb
b
x
a
x = b- a2
x = b- a2
a
b
x
b
x a
A.
Demostr aciones
i) + = x + 2 - b ii) a + 2 - b = 2
i) - = x - bii) a - b = 2( - )
Luego: a - b = 2(x - b) a - b = 2x - 2b
= xa + b2
a
x b
2
B.
i) x = + + b ii) a = 2 + 2 + b
x - b = +a - b = 2( + )
Luego: a - b = 2(x - b) a - b = 2x - 2b a + b = 2x
x = a + b2
ax
b
b
1. Ha lla el valor de x en la figura quese muestra.
αα
9x
αα
9x
Del gráfico: 9x = 2(4x+ 10 º) 9x = 8x+ 20º x= 20º
Resolución
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8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016
24/31
13 7 13 7 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
Ejercicios Propuest os
Encuentra "x" si = 50º BF esbisectriz.
a) 60 ºb) 85 ºc) 80 º d) 70 ºe) 65 º
Si BH es altura, calcula "x".
a) 10 ºb) 15 ºc) 20 º d) 25 ºe) 35 º
1)
2
55ºx
A
B
CH
3)
x A
B
CD
En un triángulo PQR, se trazanlas medianas QM y PN . C alcula:
a) 1,5 b) 2,5 c) 6d) 2 e) 3
Ca lcula "x" si AF es bisectrizinterior
a) 90 ºb) 100 ºc) 110 ºd) 120 ºe) 130 º
En un triángulo rectángulo ABC ,m B = 90º, la mediatriz de la hi-potenusa AC interseca a BC en Q.Siendo M el punto medio de ACy m MQC = 54 º, halla m BAC.
a) 36 º b) 54 º c) 27 º
d) 33 º e) 45 º
Halla x en la figura.
a) 95 º b) 100 º c) 75 º
d) 115 º e) 105 º
Halla x en la gura.
a) 30 º b) 50 º c) 10 º
d) 40 º e) 20 º
Ha llar el valor de x, en la figuraque se muestra.
a) 10 º b) 30 º c) 40 º
d) 20 º e) 60 º
En la figura, calcula el valor de x.
a) 80 º b) 40 º c) 10 º
d) 20 º
e) 50º
En el triángulo ABC, se traza lamediana AM y en el triánguloABM se traza la mediana AN. SiBC = 8, calcula MN.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
6)
12)
x
4x
9x4 x + 1 0 º
13)
20º 40ºx
14)
80º
130 º
x
11)
16)
18)
21)
PRMR
QNNR
80º
40º
x
A C
B
F
+
En el triángulo ABC , la bisectrizexterior del ángulo "C " es paralelaal lado AB, luego el triánguloABC es:
a) Obtusángulob) Rectánguloc) Isóscelesd) Escaleno
e) Rectángulo
22)
Calcula "x".
a) 30 º b) 75 º c) 90 ºd) 45 º e) 60 º
24)
x
2x
B
A C
En un triángulo equilátero ABC setraza la ceviana BR (“R” en AC),de modo que:
2 m ABR = 3 m RBC. Hallam BRA.
a) 76 º b) 82 º c) 84 ºd) 74 º e) 86 º
27)
Calcula "x"
a) 120 º b) 100 º c) 80 ºd) 140 º e) 130 º
34)
x40º 100 º
A C
B
En un triángulo ABC, se trazanla a ltura BH y la bisectriz interiorBF. Luego se trazan la s bisectri-ces de los ángulos BHF y BFCintersecándose en el punto E. Sim BAF es mayor que m BCAen 40 º , determina la medida delángulo HEF.
a) 5 º b) 10 º c) 15 ºd) 20 º e) 30 º
28)
29) Hallar x en:
a) 137 º b) 157 º c) 107 ºd) 147 º e) 127 º
x
66º
29)
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25/31
Geometría
13 8 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
A ho ra resuelve t ú
Resolución: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
En la figura, AB = BC. Calcula "x".
a) 65 º b) 63 º c) 45 ºd) 66 º e) 40 º
23)
70ºx
A M C
F
B Calcula "x".
a) 7b) 14c) 3,5d) 10e) 8
35)
7
x2
A
B
C
Ca lcula "x" si BF es bisectrizinterior
a) 15 ºb) 20 ºc) 30 ºd) 40 ºe) 10 º
En la figura, calcula .
a) 80 º b) 60 º c) 40 º
d) 50 º e) 70 º
15)
3x 2 x -
5 º
35º35º
19)
80º110º
A C
B
F
x
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26/31
13 9 13 9 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
Reforc emo s en casa
Calcula " x", si BD es bisectriz delángulo ABC
a) 100 ºb) 105 ºc) 110 ºd) 115 ºe) 120 º
Si BM es mediana del triánguloABC, calcula "x".
a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7
2) En la figura, calcula "x" si BH esaltura y BF es bisectriz.
a) 15 ºb) 20 ºc) 25 º d) 30 ºe) 35 º
x
30º
A
B
CH D
4)
x+ 1 16-2xA
B
C
5)
75º 45ºxA D C
B
Halla x en la figura.
a) 20 º b) 10 º c) 50 ºd) 30 º e) 40 º
Ha llar el valor de x en:
a) 60 º b) 75 º c) 90 ºd) 105 º e) 120 º
En la figura, halla x.
a) 130 º b) 120 º c) 150 ºd) 110 º e) 90 º
En un triángulo ABC se traza laaltura BH, tal que la m ABH = 25 º.Si m c = 55º, calcula m ABC .
a) 45 º b) 50 º c) 55 ºd) 60 º e) 65 º
7)
8)
80º
x
9)
60º
x
10)
60º x
Calcula "x".
a) 20 º b) 30 º c) 35 ºd) 45 º e) 25 º
Calcula "x".
a) 10 º b) 5 º c) 20 ºd) 40 º e) 30 º
En un triángulo ABC se trazanlas bisectrices interiores de losángulos A y B que se intersecan enP. Si m APB = 2 m C, hallam C.
a) 50 º b) 30 º c) 10 ºd) 20 º e) 40 º
30)
31)
10º
x
32)
x
x40º
Calcula "x".
a) 10 º b) 20 º c) 15 º
d) 18º
e) 5 º
36) 37)
6x15x
A
B
C
En un triángulo ABC se trazan laaltura BH y la mediana BM, talque AH = 3 y HM = 4. CalculaAC.
a) 10 b) 12 c) 15d) 14 e) 13
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27/31
Geometría
14 0 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
6 TriángulosRectángulosNotables
EL TRIÁNGULORECTÁNGULO
BC
c
A
a
b
Elementos: Cat etos: a y b Hipotenusa: c
c2 = a 2 + b 2
En todo trián gulo rectángulo se
cumple el Teorema de Pitágoras.
TRIÁNGULOSRECTÁNGULOS
NOTABLES
Son aquellos triángulos rectángulosque guardan una relación entre susángulos y sus lados.
TRIÁNGULOS EXACTOS
2k
1k
k 3
60°
30°
TRIÁNGULOS APROXIMADOS
4k
3k
5k37°
53°
1kk 5
2k53° /2
1k
3k37° /2
k 10
Demostr ación
4k
1n
n 5
53° /28k
2n
3k
1n
9k
3n
n 10
37° /2
⇒ 2 = 37° ⇒ = 37°2
4k
3k 5k
5k37°
1k
1k
k 2
45°
45°
⇒ 2 = 53° ⇒ = 53°2
4k
3k
5k
5k53°
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28/31
14 1 14 1 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
Ejercicios Propuest os
13) Calcula “x” si AD = DC.
B
A C
40
53°
a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 24
E
D
x
16) Calcula “x”.
x
3
4
5
a) 4 2 b) 3 3 c) 5 2d) 6 3 e) 4 6
CA22°15°
B
D
19) En la figura, AB = 9. Halla BD.
a) 10 b) 12 c) 15d) 16 e) 20
a) 5 2 b) 3 2 c) 2 d) 4 2 e) 5 3
52
CA30°
B
H
N
45°
20) En la figura AC = 20, halla BH.
23) Calcula “x”.
53°
135°135°x 4
2 2
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
a) 36 b) 37 c) 23 d) 40 e) 29
3Ф /2
Ф
513
CA
B24) Calcula AC.
a) 7 b) 21 c) 5 2 d) 2 e) 17
2 2 2
55x
30) Calcula “x”.
a) 4 b) 8 c) 4 2 d) 4 3 e) 8 3
60°
4
4
xA
B
D
C
34) De la figura, calcula “x”.
1) Calcula “x”.
a) 6 b) 6 2 c) 8d) 8 2 e) 10 2
x 10
45º 37º
45 º 120º
4x
2) Calcula “x”.
a) 4 6 b) 4 2 c) 4 3 d) 12 e) 2 6
10) En la figura, calcula “x”.
a) 16 b) 18 c) 24d) 32 e) 36
B
CA8°
20 2
45°x
B
CA
6 2
15°30°x
11) Calcula “x”.
a) 6 b) 6 2 c) 12
d) 16 e) 18
15) En la figura, calcula “x” siBE = EC.
C
B
45º 30º
8 2
A
xE
D
37º
a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 20
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29/31
Geometría
14 2 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
A ho ra resuelve t ú
Resoluc ión: Resolución:
Resoluc ión: Resoluc ión:
A C
B
x
60º 45º
12 3
8) En la figura, calcula “x”.
a) 9 3 b) 9 2 c) 18d) 18 2 e) 18 3
14) En la figura, calcula “x” siAD = D C.
a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18
A
CB
8
60°
D 37°
x
a) 6 2 b) 2 c) 2 2 d) 2 7 e) 7
2 2 2
44x
29) Calcula “x”.
26) Calcula “x”.
10x
53°
a) 70 b) 71 c) 72 d) 73 e) 75
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30/31
14 3 14 3 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3°Sec - I Bim.
Reforc emo s en casa
3) Calcula “x”.
a) 20 2 b) 5 2 c) 12d) 16 2 e) 12 2
x 20
45º 37º
5) En la figura, calcula “x”.
30ºCA
B
D
60º
x
4
a) 4 3 b) 4 2 c) 8 d) 8 2 e) 8 3
A C
B
x
53º 30º
60
9) En la figura, calcula “x”.
a) 92 b) 96 c) 98d) 104 e) 106
B
CA
12 2
x
12) En la figura, calcula “x”.
a) 20 b) 24 c) 25d) 26 e) 30
8° 37°
17) Calcula “x”.
x
3
4
2
a) 21 b) 22 c) 23
d) 2 6 e) 5
A
CB45°
18) En la f igura , hal la AE s iEC = 5.
1 5
°
a) 9 2 b) 6 2 c) 9 3 d) 6 e) 4 2
E
27) Calcula “x”.
10x
37°
a) 10 b) 2 13 c) 13 d) 15 e) 7
A C
B
D
H
60°
45°
a) 3 b) 3 3 c) 2 3
d) 4 e) 4 3
28) Si BD = 6, calcula:BH + CD
A
B
D
C
H
1 5 °
45°
32) De la figura, BH = 3. CalcularBC .
a) 2 2 b) 2 3 c) 2 d) 4 e) 3 3
45°
2
2
x
33) De la figura, calcula “x”.
a) 2+ 2 b) 1+ 2 2 c) 1+ 2d) 2+ 3 e) 2+ 2 2
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Geometría