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04 - Elementos de finitos de flexión de vigas
Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asistente
Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales
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Contenido
● Viga de Euler-Bernoulli● Viga de Timoshenko
– Problema del bloqueo de por cortante (shear locking)
– Integración reducida
– Imposición del campo de deformación por cortante
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Teoría de Euler-Bernoulli
● Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga.
● El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero).
● Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas y ortogonales a dicho eje después de la deformación.
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Campo de desplazamientos
De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como:
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Campo de deformaciones
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Campo de esfuerzosAl reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero se obtiene:
siendo los otros esfuerzos nulos.
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Momento flector
Observe que aquí el momento negativo produce tracción en la fibra superior
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Momento flector
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Sentidos positivos de la carga
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PTV para vigas
+
+
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+ +
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Ecuaciones diferenciales de la viga de Euler-Bernoulli
q es positivahacia arriba
Aquí se hace la sumatoria de momentos
-q
+
+
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Elemento finito hermítico de dos nodos
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O sea:
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Las funciones de forma pertenecen a la familia de los llamados polinomios de Hermite
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Curvatura en el punto de coordenada ξ
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Esta matriz coincide con aquella obtenida por los métodos vistos en Estructuras III
+ +
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f
+positivo hacia arriba
++
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positivo hacia arriba
+
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EJEMPLO
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Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones
flectores
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Repaso de mínimos cuadrados
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Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones
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Propiedad de las raíces del polinomio de Legendre
Suponga que tenemos un polinomio de grado n y otro de grado n-1 obtenido por medio de un ajuste por mínimos cuadrados del anterior.
Ambos polinomios se intersectan en la ubicación de las raíces del polinomio de Legendre de orden n
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Cuadraturas de Gauss Legendre
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Este criterio para el cálculo de esfuerzos es también válido en más dimensiones
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Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones
flectores
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La viga de Timoshenko
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La viga de Timoshenko
La viga de Timoshenko aproxima mejor la deformación real de la sección transversal de vigas de gran canto que la teoría de Euler-Bernoulli. A medida que la relación longitud/altura disminuye, las secciones transversales dejan de conservarse planas después de la deformación.
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La viga de Timoshenko
● Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga.
● El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero en cuanto a la deformación lateral; G puede ser diferente de E/2).
● Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas pero no necesariamente ortogonales a dicho eje después de la deformación.
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La hipótesis de Timoshenko supone tomar un giro medio de la sección, de manera que a efectos prácticos pueda seguir considerándose plana.
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Campo de desplazamientos
De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como:
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Campo de deformaciones
Por consiguiente la teoría de Timoshenko considera el efecto de la deformación angular
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Campo de esfuerzosAl reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero en λ pero uno diferente de cero en G se obtiene:
siendo los otros esfuerzos nulos.
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Fuerza cortante y momento flector
- - - -
Un momento negativoproduce tracción en la fibra superior
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Fuerza cortante y momento
flector
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- -
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Principio de los trabajos virtuales
+ +
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La energía virtual interna se puede expresar como:
Observe que solo se están utilizando las derivadas primeras de la flecha y el giro, lo que permite la utilización de elementos finitos de clase C
0
-
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Elementos finitos de dos nodos para la flexión de vigas de Timoshenko
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Integración exacta de las matrices de rigidez
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Integración con cuadraturas de Gauss-Legendre y singularidad de la matriz K
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La técnica de integración reducida
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Integración reducida de las matrices de rigidez de cortante
Integraciónexacta con 1 punto de GL
Integraciónreducida conun punto deGL
NO USAR
Integración exacta (2p GL)
Integración reducida (1p GL)
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EJEMPLOK exacta
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Kf Kc
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EjemploEuler-
Bernoulli vs Timoshenko
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Kc integrada con GL de orden 1
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.01m
L=19m, h=0.01m
Shear lockingShear locking
Integración reducidaIntegración reducida
Integración exactaIntegración exacta
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Kc integrada con GL de orden 1
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.4m
L=19m, h=0.4m
Integración reducidaIntegración reducidaIntegración reducidaIntegración reducida
Integración exactaIntegración exacta
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Kc integrada con GL de orden 1
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=2.0m
L=19m, h=2.0m
Integración reducidaIntegración reducida
Integración exactaIntegración exacta
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Elemento de viga de Timoshenko cuadrático
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Cálculo de la curvatura
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Cálculo de la deformación por cortante
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Matrices de rigidez para el elemento de viga de Timoshenko de tres nodos obtenidas con una cuadratura de Gauss-Legendre de dos puntos