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Autmatos Finitos

Mquinas de Estado Finito

So mquinas abstratas que capturam as partes essenciais dealguma mquina concreta.

Embora existam mquinas abstratas conceitualmente maispoderosas que as de estado finito, estas, do ponto de vista

terico e prtico, servem para modelar um amplo espectro de

mquinas.

Ex. circuito de lmpadas, mquina de vender jornal ou

refrigerante passando por elevadores e sinais de trnsito

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Ex. Lmpada

- dois estados: acesa ou apagada

- duas aes: acender ou apagar

Ex2. Mquina de vender jornal

- custo do jornal: 0,30- moedas aceitas: 0,05 - 0,10 - 0,25

- no h circuito subtrator e nem memria.

- a mquina comea no estado 30

- o estado 0 o estado final

- as transies representam a insero de moedas

- a mquina libera o jornal quando o cliente inserir um total de 30 centavos

305

25 205

155

105

55

05

10 10 10 10 10

25 25 25 25 25

25

10

5,10,2530 0

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Basicamente, existem 2 tipos de mquinas de estado finito:

a) transdutores: mquinas com entrada e sada;

b) reconhecedores: mquinas onde a sada aceitar ou

rejeitar a entrada.

Em uma mquina de estado finito a memria organizada em

estados, que indicam a situao corrente da mquina dadoum seqncia de smbolos na entrada.

Linguagens regulares so aquelas aceitas por mquinas deestado finito.

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Autmatos FinitosSo mquinas de estado finito do tipo reconhecedor de

linguagem.

Consiste em um conjunto Q de estados e um conjunto detransies entre estados que ocorrem quando smbolos de um

alfabeto de entrada so lidos de um string de entrada w.

Dentre os estados, distinguem-se:

- um estado inicial q0;- um conjunto de estados finais F.

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Alfabeto de entrada: =

Estados do autmato: Q =

Estado inicial: q0 =

Estados finais: F =

Transies:

Autmatos Finitos Determinsticos

Um AFD uma quntupla M = (Q, , , q0, F) onde:- Q = conjunto de estados - = alfabeto de entrada

- = funo total de Q Q - q0 = estado inicial

- F = conjunto de estados finais

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Em um AFD, cada par estado-smbolo possui uma nicatransio correspondente - da seu determinismo.

Comportamento do Autmato

Os apontadores indicam o estado atual da mquina(inicialmente q0). A cada transio do autmato, um smbolo

da entrada e lido e os apontadores so atualizados. O

autmato reconhece o string de entrada se a ltima transio

resultar em um estado final.

Ex. Que linguagem aceita por este autmato?

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Autmatos EquivalentesSeja o AFD M = (Q, , , q0, F). A linguagem de M,

denotada por L(M), o conjunto de todos os strings *

aceitos por M.

O autmato finito uma mquina que l e reconhece strings

de uma linguagem.

Dois AFDs so equivalentes se eles reconhecem a mesma

linguagem.

Configurao Instantnea

Consiste no estado em que o autmato se encontra e orestante do string de entrada que deve ser lido.

[qi, w]

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Transio do Autmato[qi, aw] [(qi, a), w] uma transio do autmato

[qi, w] [qj, v] corresponde a 0 ou mais transies do

autmato

Linguagem Reconhecida

L(M) = {w

* | [q0, w] [q

i,

] e q

i F}

Ex. Verificar se o autmato ao lado

reconhece as strings de entrada

0101 e 0100.

*

*

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Determinismo IncompletoQuando nem todas as transies so especificadas temos o

chamado determinismo incompleto. Formalmente, ocorre

quando uma funo parcial de Q Q.

Quando uma string analisada e no h transio para um

prximo estado o autmato pra (HALT), rejeitando a mesma.

Ex. AFD incompleto para (ab)*c. Ele aceita abc e abcc?

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Ex. Construa AFDs para as seguintes linguagens sobre o alfabeto = {0, 1}.

1) As linguagens denotadas por:

a) (0 1)*

b) 0 (0 1)*

1c) (0 1)* 0 (0 1)*

d) (1 01 001)* ( 0 00)

2) L = {w | w termina com 00}

3) L = {w | w possui 000 como substring}

4) L = {w | o segundo smbolo de w, da esquerda para direita, 1}

5) L = {w | w no contm 101 como substring}

6) L = {w | interpretado como binrio, w mltiplo de 3}

7) L = {w | w = 0n1n, n 0}

E se fosse n k, k N?

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Implementao de um Autmato

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algo

ritmo

inteiroEstado

caracterSm

bolo

Estado

0

enquantoe

xistesmbolo

naentrada

faa

leia(Smbolo)

esc

olherEstado

caso0:

escolherS

mbolo

caso

a:Estado

1

caso

b:Estado

2

fim

escolher

caso1:

escolherS

mbolo

caso

a:Estado

1

caso

b:Estado

2

fim

escolher

caso2

:escolherS

mbolo

caso

a:Estado

0

caso

b:Estado

2

fim

escolher

fim

escolher

fim

enquanto

seEstado=

2ento

esc

reva(Ostringfoireconh

ecido)

sen

o

esc

reva(Ostringnofoireconhecido)

fim

se

fim

algoritmo

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Autmatos Finitos No DeterminsticosSo autmatos que permitem mais de uma transio partindo deum estado para um mesmo smbolo do alfabeto de entrada.

Ex: (qn, a) = {qi}(qn, a) = {qi, qj, qk}(qn, a) =

Definio: Um Autmato Finito No Determinstico (AFN) umaquntupla M = (Q, , , q0, F) , onde:- Q = conjunto de estados

- = alfabeto de entrada- q0 = estado inicial- F = conjunto de estados finais

- = funo total de Q P (Q)

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Ex:

um string de entrada pode gerar diferentes computaes em

um AFN

um string aceito por um AFN se existir alguma computao

que termine em um estado final.

L(M) = {w * | existe uma computao [q0, w] [qi, ] com qi F}

0,1

0 1 2 30,1 0,11

*

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Transies Lambda

Uma transio lambda () uma transio que pode ocorrerentre estados do autmato sem que nenhum smbolo da

entrada seja lido.

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Definio: Um Autmato Finito No Determinstico com Transio

Lambda (AFN-) uma quntupla M = (Q, , , q0, F) , onde:

- Q = conjunto de estados - = alfabeto de entrada

- q0 = estado inicial - F = conjunto de estados finais

- = funo total de Q ( {}) P (Q)

Todo AFD um AFN que, por sua vez, um AFN-.

Porm: Todo AFN- tem um AFN equivalente e

Todo AFN tem um AFD equivalente

Remoo do No - Determinismo

Um AFN construdo a partir de um AFN- da seguinte maneira:Para cada par (estado qi, smbolo a), determinar que estados qjpodem ser alcanados a partir de qi quando o smbolo a lido daentrada.

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Ex: Que estados podem ser alcanados a partir de 1 quando a

lido da entrada?

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Fecho-Lambda:

O fecho-lambda de um estado qi, denotado por fecho- (qi), o conjunto de todos os estados que podem ser alcanados a

partir de qi sem nenhuma leitura de smbolo da entrada.

Definio: O fecho- (qi) definido recursivamente:

Base: qi fecho- (qi)

Recurso: Seja qj um elemento de fecho- (qi). Se existe

uma transio (qj, ) = qk, ento qk tambmpertence a fecho- (qi)

O conjunto de estados que podem ser alcanados a partir de

qi quando o smbolo a lido da entrada formado daseguinte forma:

- para cada qj fecho- (qi), inclua (qj, a)- inclua tambm o fecho- de cada um destes estados

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Construo de um AFD a partir de um AFN-Dado um AFN- M = (Q, , , q0, F),

um AFN equivalente M= (Q, , , q0, F) pode ser

construdo da seguinte forma:(qi, a) = U fecho - ((r, a))

r fecho -(qi)

F {q0} , se fecho-(q0) F , ou

F , caso contrrio.

Ex.

F =

1

A

B

0

C

ED

1

0

0

0

1

1

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Construo de um AFD a partir de um AFN

Dado o AFN M = (Q, , , q0, F),o AFD M= (Q, , , q0, F) equivalente construdoda seguinte forma:

Q = P(Q)

(R, a) = { q Q | q (r, a) para r R } = U (r, a)r R

q0 = { q0}F = { R Q | R F }

Para um AFN-M = (Q, , , q0, F), substituir

(R, a) = { q Q | q fecho-( (r, a) ) para r R }

= U fecho-( (r, a) )r R

q0 = fecho-( q0 )

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Algoritmo Iterativo para AFN AFD

Seja AFN M = (Q, , , q0, F), um AFD M= (Q, , , q0, F)equivalente construdo da seguinte forma:

crie o estado q0 = [q0] e o insira em Qpara cada estado X de Q faa

para cada smbolo a faa

seja Y = U (qi, a)qj X

se Y Q ento

crie o estado Y

insira Y em Q

crie a transio (X, a) = Y

fim para

fim para

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GramticasIntroduo

Expresses regulares e AFs so usados para se especificar ereconhecer linguagens simples (regulares). Uma outra

forma de especificar (gerar) uma linguagem regular

atravs de gramticas. Nesse caso, temos as chamadas

Gramticas Regulares.

As gramticas ainda podem especificar linguagens mais

complexas, como as no-regulares. Neste caso, temos asGramticas Livres de Contexto, Gramticas Sensveis ao

Contexto e Gramticas Irrestritas.

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Produo, Derivao e outros conceitosSmbolos no-terminais so elementos auxiliares na gerao de sentenas.Ex. S, A, B, Z.

Smbolos terminais so elementos formadores das sentenas (alfabeto).

Ex. a, b, c,

Formas sentenciais so strings de smbolos terminais e no-terminais.

Ex. aSb, Ac, AbZ

Sentenas so strings de smbolos terminais.

Ex. acb, ca, baa,

Uma produo (regra) consiste um par ordenado de formas sentenciais

em que o lado esquerdo da produo (primeiro elemento do par) pode

ser substitudo pelo lado direito da mesma (segundo elemento do par).

Ex. B bA

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Definio de GramticaUma gramtica uma qudrupla G = (V, , P, S), em que:V = conjunto de smbolos no-terminais (ou variveis)

= conjunto de smbolos terminais (alfabeto), V =

P = conjunto de regras (produes), P (V )+ (V )*

S = smbolo inicial ou varivel de partida, S V

Uma derivao representa a obteno de uma forma sentencial a partir

de outra, em que os smbolos do lado direito de uma produosubstituem aqueles colocados do lado esquerdo da mesma.

S w, l-se S deriva w em um passo

S w, l-se S deriva w em zero ou mais passos

se S (V )* entao uma forma sentencial de G

se S w * ento w uma sentena de G

A linguagem gerada pela gramtica G L(G) = { w * | S w }

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A recurso em uma gramtica permite que ela derive infinitas

palavras. Ela pode ser direta (da forma A aA) ou indireta(da forma A w aA e w no contm A).

Derivao mais direita (DMD)

Durante o processo de derivao o no-terminal expandido decada forma sentencial sempre o mais direita.

Derivao mais esquerda (DME)

Durante o processo de derivao o no-terminal expandido decada forma sentencial sempre o mais esquerda.

Ex. Seja G = ({S,A}, {a, b}, {S AA, A AAA | bA | Ab | a }, S)

DMD de ababaa : S AA Aa AAAa AAbAa AAbaa

AbAbaa Ababaa ababaa

DME de ababaa : S AA aA aAAA abAAA abaAA

ababAA ababaA ababaa

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Gramticas Regulares (GR)Seja gramtica G = (V, , P, S), em que cada regra a forma:i) A a

ii) A aB

iii) A

sendo que A e B V e a . Ento G Gramtica Linear a Direita.

Seja gramtica G = (V, , P, S), em que cada regra a forma:

i) A a

ii) A Ba

iii) A

sendo que A e B V e a . Ento G Gramtica Linear a Esquerda.

G GR ou G GLD ou G GLE

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Equivalncia entre Formalismos

AFN-AFNAFD

UM UM

PODE SER CONVERTIDOPODE SER CONVERTIDO

Gramtica

Regular

Autmato

Finito

Expresso

Regular

PODE SER CONVERTIDA

PODE SER CONVERTIDA

PODE SER CONVERTIDO

PODE SER CONVERTIDO

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G: S aS | aA

A bA | b

Converso GR AFA converso de uma GR G = (V, , P, S) em um AFN equivalente

M = (Q, , , q0, F) obtida da seguinte forma:

1. Q = V U {Z}, se P contm uma regra da forma Aa, ou

Q = V, caso contrrio

2. (A, a) = B, para toda regra da forma A aB P, ou

(A, a) = Z, para toda regra da forma A a P

3. q0 = S4. F = { A | A P } U {Z}, se Z Q, ou

F = { A | A P }, caso contrrio

S A Za b

a bM:

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Converso AF GRA converso de AFN M = (Q, , , q0, F) para uma GR equivalente

G = (V, , P, S) obtida da seguinte forma:

1. V = Q

2. se (A, a) = B, incluir a regra da forma A aB em P

3. se A F, incluir a regra A em P

4. S = q0

G: S aS| bB | aZ

B bB | Z

S

Z

b

a

a b

B

M:

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Gramtica para Linguagem Reversa Reverso de Regras

Seja uma GLD GD = (V, , PD, S) entopodemos obter uma GLE GE = (V, , PE, S) talque L(GE) = L(GD)R da seguinte forma:

PE = { | PD em que

V {} } { R | PD em que

V }

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GLD GLESeja uma GLD G1 = (V1, , P1, S1) ento

podemos obter uma GLE G2 = (V2, , P2, S2)tal que L(G1) = L(G2) da seguinte forma:

1. Determinar L(G1)

2. Determinar L(G1)R

3. Obter uma GLD G tal que L(G) = L(G1)R

4. Transformar GLD G em GLE G2 atravs da

reverso de regras

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C

onversoER

AF

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Converso de AF ERSeja um AF M.

1. Crie um autmato M com os estados de M e acrescente dois

estados: I (inicial) e F (final);

2. Para o estado inicial q0 de M, crie um transio lambda do

novo estado inicial I para q0. E para cada estado final qfde

M, crie transies lambdas de qfpara F. Assim:

3. Considere o rtulo de cada transio como sendo uma

expresso regular. Por exemplo:

vira

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4. Para cada estado interno qi do novo autmato faa

para cada par de faa

se no houver ento

crie a transio

seno

crie a transio

se nova transio resultou ento

substitua por

fim para

remova o estado qi e suas transies do autmato

fim para

5. A expresso regular corresponde ao rtulo entre I e F

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Ex.

1) Construa gramtica para a linguagem sobre = {a, b} onde osstrings tm tamanho par e possuem um nmero mpar de bs.

2) Construa autmatos e expresses regulares para as seguintes

gramticas regulares:a) S aA b) S aS | bA |

A aA | bA | A aA | bS

3) Construa gramticas regulares para os seguintes autmatos:a) b)