คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 124

Δ∇∇Δ สมบัติของจํานวนจริงที่เก่ียวกับโอเปอเรชันอื่นๆ สมบัติเกี่ยวกับการบวกและสมบัติเกี่ยวกับการคูณ

ขอ สมบัติ การบวก การคูณ

1. ปด Rba ∈+ ba ⋅ ∈ R 2. การสลับที่ abba +=+ abba ⋅=⋅ 3. การเปลี่ยนกลุม

หรือ การจัดกลุม หรือ การเปลี่ยนหมู การจัดหมู

)( cba ++ = cba ++ )( cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()(

4. การมีเอกลักษณ มีเอกลักษณการบวก คือ 0เชน aa =+ 0 และ aa =+0

มีเอกลักษณการของคูณ คือ 1 เชน 1⋅a = a

และ a⋅1 a =

5. การมีอินเวอรส มีอินเวอรสสําหรับการบวกทุกจํานวนจริง เชน 0)( =−+ aa นั้นคือ มี เปนอินเวอรสการบวกของ a− a

มีอินเวอรสสําหรับการคูณบางจํานวนยกเวนศูนยเพยีงตวัเดยีว

เชน 1)1( =⋅a

a หรือ

เขียนเปน 11 =⋅ −aa

นั้น คือ มี เปนอินเวอรส 1−a

ของการคูณของ a6. การแจกแจง cabacba ⋅+⋅=+ )(⋅

⊕

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 125

ค41101 คณิตเพิ่มเตมิ ม เทอม 1 เฉลย ของ โรงเรียน อัสสัมชัน ธนบุรี 4

1EX เมื่อ , แทนจํานวนจริงใดๆ a b⊗ = 6a b+ − a b , c

1. ตรวจสอบมีสมบัติปดภายใตโอเปอเรชนั ⊗ นี้ หรือไม

a b⊗ ∈ R 6a b+ − ∈ R แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

a b+ ∈ R บวกดวย 6 a b+ ∈ R จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับการบวก ( ) +

∴ จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 2. ตรวจสอบมีสมบัติสลับที่ภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ หรือไม

a b⊗ = b a⊗ 6a b+ − = 6b a+ − แทนคาโอเปอเรชัน ⊗ a b+ = b a+ บวกดวย 6 a b+ = b a+ จํานวนจริงมีสมบัติสลับที่สําหรับการบวก ( )+ ∴ จํานวนจริงมีสมบัติสลับที่สําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี ้ 3. ตรวจสอบมีสมบัติเปลี่ยนกลุมภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นีห้รือไม ( )a b c⊗ ⊗ = ( )a b c⊗ ⊗ ( )( )6 6a b c+ − + − = ( )( )6a b c 6+ + − − แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

( )( )a b c+ + = ( )( )a b c+ + บวกดวย 12

( )a b c+ + = ( )a b c+ + จํานวนจริงมีสมบัติ การเปลี่ยนกลุมไดสําหรับการ บวก ( )+ ∴ จํานวนจริงมีสมบัติเปลี่ยนกลุมสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 4. ตรวจสอบมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม

a b⊗ = a แทนคาโอเปอเรชัน 6a b+ − = a ⊗

a b+ = 6a + บวกดวย 6 ลบดวย b = 6 a

ไดแลวเอกลักษณ คือ 6 b = 6

∴ จํานวนจริงมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ คือ 6

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 126

5. ตรวจสอบวา 3 มีอินเวอรสภายใตอโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม ตรวจสอบเอกลักษณหรือไม 3 b⊗ = 3

แทนคาโอเปอเรชัน 3 6b+ − = 3 ⊗

3b− = 3 ไดเอกลักษณแลว คือ 6 b = 6

ตรวจสอบอินเวอรสหรือไม 3 Y⊗ = 6

แทนคาโอเปอเรชัน 3 6Y+ − = 6 ⊗

3Y − = 6

Y = 9 Y ไดอินเวอรสแลว คือ 9 = 9

อินเวอรสของ แลว คือ 3 9

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 127

2EX เมื่อ และ b ∈ a b⊗ = 2ab− a R 1. ตรวจสอบมีสมบัติปดภายใตโอเปอเรชนั Δ นี้ หรือไม

a b⊗ ∈ R 2ab− ∈ R แทนคาโอเปอเรชัน ⊗ ab ∈ R บวกดวย 2 ab ∈ R จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับการคูณ ∴ จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 2. ตรวจสอบมีสมบัติสลับที่ภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ หรือไม

a b⊗ = b a⊗ 2ab− = 2ba − แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

บวกดวย 2 ab = ba

จํานวนจริงมีสมบัติสลับที่สําหรับการคูณ ab = ba

∴ จํานวนจริงมีสมบัติสลับที่สําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี ้ 3. ตรวจสอบมีสมบัติเปลี่ยนกลุมภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นีห้รือไม ( )a b c⊗ ⊗ = ( )a b c⊗ ⊗ ( )2 2ab c⎡ ⎤− −⎣ ⎦ = ( )2 2a bc⎡ ⎤− −⎣ ⎦ แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

2 2abc c− − = 2 2abc a− − 2abc c− = 2abc a− บวกดวย 2 2c− = 2a− ลบดวย abc

หารดวย c = a 2− เปนเท็จ c = a

∴ จํานวนจริงไมมีสมบัติเปลี่ยนกลุมสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 4. ตรวจสอบมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม

a b⊗ = a แทนคาโอเปอเรชัน 2ab − = a ⊗

ab a− = 2 ( )1a b − = 2

b = 4− เอกลักษณภายใตโอเปอเรชันนี้ คือ 4− ∴ จํานวนจริงมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ คือ 4−

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 128

5. ตรวจสอบวา 3 มีอินเวอรสภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม ตรวจสอบเอกลักษณหรือไม 3 b⊗ = 6

2ab− 6 4b+ + = แทนคาโอเปอเรชัน 6 ⊗

b = 4− แกสมการ b = 4− ไดเอกลักษณแลว คือ 4− 6 YΔ = 4− ตรวจสอบอินเวอรสหรือไม 6 4 Y+ + = 4− แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

Y = 14− แกสมการ Y = 14− ไดอินเวอรสแลว คือ 14−

∴ อินเวอรสของ ภายใตโอเปอเรชัน 6 Δ นี้ คือ 14−

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 129

2EX เมื่อ และ ∈ a bΔ = 4a b+ + a b R 1. ตรวจสอบมีสมบัติปดภายใตโอเปอเรชนั Δ นี้ หรือไม

a bΔ ∈ R 4a b+ + ∈ R แทนคาโอเปอเรชัน Δ a b+ ∈ R ลบดวย 4 a b+ ∈ R จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับการบวก ∴ จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 2. ตรวจสอบมีสมบัติสลับที่ภายใตโอเปอเรชัน Δ นี้ หรือไม

a bΔ = b aΔ 4a b+ + = 4b a+ + แทนคาโอเปอเรชัน Δ

a b+ = b a+ ลบดวย 4 a b+ = b a+ จํานวนจริงมีสมบัติสลับที่สําหรับการบวก

∴ จํานวนเต็มมีสมบัติสลับที่สําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี ้ 3. ตรวจสอบมีสมบัติเปลี่ยนกลุมภายใตโอเปอเรชัน Δ นีห้รือไม ( )a b cΔ Δ = ( )a b cΔ Δ ( )4 4a b c⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ = ( )4a b c 4⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ แทนคาโอเปอเรชัน Δ

( )4 4a b c⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ = ( )4 4a b c⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦

( )a b c⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ = ( )a b c⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ลบดวย 8

( )a b c+ + = ( )a b c+ + จํานวนจริงมีสมบัติเปลี่ยนกลุมได สําหรับการบวก ∴ จํานวนจริงมีสมบัติเปลี่ยนกลุมสําหรับ โอเปอเรชัน Δ นี้ 4. ตรวจสอบมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม

a bΔ = a แทนคาโอเปอเรชัน 4a b+ + = a ⊗

b = 4− เอกลักษณภายใตโอเปอเรชันนี้ คือ 4− ∴ จํานวนจริงมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ คือ 4−

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 130

5. ตรวจสอบวา 6 มีอินเวอรสภายใตโอเปอเรชัน Δ นี้หรือไม ตรวจสอบเอกลักษณหรือไม 6 bΔ = 6

6 4 แทนคาโอเปอเรชัน b+ + = 6 Δ

b = 4− แกสมการ b = 4− ไดเอกลักษณแลว คือ 4− 6 YΔ = 4− ตรวจสอบอินเวอรสหรือไม 6 4 Y+ + = 4− แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

Y = 14− แกสมการ Y = 14− ไดอินเวอรสแลว คือ 14−

∴ อินเวอรสของ ภายใตโอเปอเรชัน 6 Δ นี้ คือ 14−

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 131

3EX เมื่อ และ b เปนจํานวนจริงใดๆ a b⊗ = 2ab− a

1. ตรวจสอบมีสมบัติปดภายใตโอเปอเรชนั ⊗ นี้ หรือไม

a b⊗ ∈ R 2ab− ∈ R แทนคาโอเปอเรชัน ⊗ ab ∈ R บวกดวย 2 ab ∈ R จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับการคูณ

∴ จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 2. ตรวจสอบมีสมบัติสลับที่ภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ หรือไม

a b⊗ = b a⊗ 2ab− = 2ba − แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

บวกดวย 2 ab = ba

จํานวนจริงมีสมบัติสลับที่สําหรับการคูณ ab = ba

∴ จํานวนจริงมีสมบัติสลับที่สําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี ้ 3. ตรวจสอบมีสมบัติเปลี่ยนกลุมภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นีห้รือไม ( )a b c⊗ ⊗ = ( )a b c⊗ ⊗ ( )2 2ab c⎡ ⎤− −⎣ ⎦ = ( )2 2a bc⎡ ⎤− −⎣ ⎦ แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

( )2ab c− = ( )2a bc − บวกดวย 2

2abc c− = 2abc a− abc 2c− = abc 2a− เปนเท็จ c = a

∴ จํานวนจริงไมมีสมบัติเปลี่ยนกลุมสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 4. ตรวจสอบมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม

a b⊗ = a แทนคาโอเปอเรชัน 2ab− = a ⊗

ab = 2a + บวกดวย 2

b = 2aa+

b =21a

+ โดยที่ a = 0

∴ จํานวนจริงทุกจํานวนมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน⊗ นี้ นั้นคือ 21a

+ ยกเวน 0 จะไมม ี

(จํานวนจริงทกุจํานวน ยกเวน 0 จะไมมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน⊗ นี)้

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 132

5. ตรวจสอบวา 8 มีอินเวอรสภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม

8 b⊗ =218

+ ตรวจสอบเอกลักษณหรือไม

8 2 b− =218

+ แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

b =1332

แกสมการ

b =1332

ไดเอกลักษณแลว คือ 1332

8 Y⊗ =1332

ตรวจสอบอินเวอรสหรือไม

8 2 Y − =1332

แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

8 Y =7732

แกสมการ

Y = 77256

ไดอินเวอรสแลว คือ 77256

∴ อินเวอรสของ ภายใตโอเปอเรชัน 8 ⊗ นี้ คือ 77256

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 133

4EX a เมื่อ a b⊗ = b ab+ − x และ เปนจํานวนจริงใดๆ y

1. ตรวจสอบมีสมบัติปดภายใตโอเปอเรชนั ⊗ นี้ หรือไม

a b⊗ ∈ R a b ab+ − ∈ R แทนคาโอเปอเรชัน ⊗ a b ab+ − ∈ R จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับการบวก

และมีสมบัติปดสําหรับการคูณ ∴ จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 2. ตรวจสอบมีสมบัติสลับที่ภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ หรือไม

a b⊗ = b a⊗ b aa b ab+ − = ba+ − แทนคาโอเปอเรชัน ⊗ b aa b ab+ − = ba+ − จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับการบวก และมีสมบัติปดสําหรับการคูณ ∴ จํานวนจริงมีสมบัติสลับที่สําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี ้ 3. ตรวจสอบมีสมบัติเปลี่ยนกลุมภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นีห้รือไม ( )a b c⊗ ⊗ = ( )a b c⊗ ⊗ ( ) ( )a b ab c a b ab c+ − + − + −

= ( ) ( )a b c bc a b c bc+ + − − + − แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

a b+ ab c ac bc abc− + − − + = a b+ c bc ab ac abc+ − − − +

ab− c ac bc+ − − = c bc− ab− ac− c ac− = c ac− จํานวนจริงมีสมบัติการสะทอน ∴ จํานวนจริงมีสมบัติเปลี่ยนกลุมสําหรับ โอเปอเรชัน Δ นี้

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 134

4. ตรวจสอบมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม

a b⊗ = a แทนคาโอเปอเรชัน a b ab+ − = a ⊗

ลบดวย b ab− = 0 a

b a ( )1− = 0

b =( )01 a−

หารดวย ( )1 a− โดยที่ a =1

โดยที่ b = 0 a =1 ∴ จํานวนจริงทุกจํานวนมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ คือ 0 ยกเวน 1 จะไมม ี 5. ตรวจสอบวา 3 มีอินเวอรสภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม ตรวจสอบเอกลักษณหรือไม 3 b⊗ = 3

แทนคาโอเปอเรชัน 3 3b b+ − = 3 ⊗

แกสมการ 2b− = 0

ไดเอกลักษณแลว คือ 0 b = 0

ตรวจสอบอินเวอรสหรือไม 3 Y⊗ = 0

แทนคาโอเปอเรชัน 3 3Y Y+ − = 0 ⊗

2Y− = 3− แกสมการ

Y = 32

ไดอินเวอรสแลว คือ 32

∴ อินเวอรสของ ภายใตโอเปอเรชัน 3 ⊗ นี้ คือ 32

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 135

5EX เมื่อ และ เปนจํานวนจริงใดๆ a b⊗ = 3a b− + a b

1. ตรวจสอบมีสมบัติปดภายใตโอเปอเรชนั ⊗ นี้ หรือไม

a b⊗ ∈ R 3a b− + ∈ R แทนคาโอเปอเรชัน ⊗ a b− ∈ R ลบดวย 3 a b− ∈ R จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับการลบ ∴ จํานวนจริงมีสมบัติปดสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 2. ตรวจสอบมีสมบัติสลับที่ภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ หรือไม

a b⊗ = b a⊗ 3a b− + = 3b a− + แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

a b− = b a− ลบดวย 3 a b− = b a− จํานวนจริงไมมีสมบัติสลับที่สําหรับการลบ ∴ จํานวนจริงไมมีสมบัติสลับที่สําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี ้ 3. ตรวจสอบมีสมบัติเปลี่ยนกลุมภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นีห้รือไม ( )a b c⊗ ⊗ = ( )a b c⊗ ⊗ ( )( )3 3a b c− + − + = ( )( )3a b c 3− − + + แทนคาโอเปอเรชัน ⊗

3 3a b c− + − + = 3 3a b c− + − + 6a b c− − + = a b c− + a b− c− = a b− c+ เปนเท็จ c− = c

∴ จํานวนจริงไมมีสมบัติเปลี่ยนกลุมสําหรับ โอเปอเรชัน ⊗ นี้ 4. ตรวจสอบมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม

a b⊗ = a แทนคาโอเปอเรชัน 3a b− + = a ⊗

ลบดวย 3b− + = 0 a

b = 3 ∴ จํานวนจริงทุกจํานวนมีเอกลักษณภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้ คือ 3

คณิต พื้นฐาน/ ม. 4 5 6− − เลม 1 บทท่ี 3 จํานวนจริง 136

5. ตรวจสอบวา 3 มีอินเวอรสภายใตโอเปอเรชัน ⊗ นี้หรือไม 3 ตรวจสอบเอกลักษณหรือไม b⊗ = 3

แทนคาโอเปอเรชัน 3 3b− + = 3 ⊗

b− = 3− แกสมการ ไดเอกลักษณแลว คือ 3 b = 3

ตรวจสอบอินเวอรสหรือไม 3 Y⊗ = 3

แทนคาโอเปอเรชัน 3 3Y− + = 3 ⊗

Y− = 3− Y แกสมการ = 3

Y ไดอินเวอรสแลว คือ 3 = 3

∴ อินเวอรสของ ภายใตโอเปอเรชัน 3 ⊗ นี้ คือ 3 ถาพบที่ผิดพลาดแลวตองแกไขกรุณาแจง ที่ . . /www twitter com prayad