56 제 3발표장 (1일 목)수치기법[II]

1. 서 론

일반적인 Navier-Stokes 방정식에서의 시간전진기법은 현재까지 많은 연구가 진행되어왔다. 내재적 방법으로는 대각화된 ADI기법, LU기법등 여러가지 시간전진기법들이 널리 사용되고 있다. 그와 마찬가지로 난류도 시간에 의존하는 흐름이므로 난류변수들의 전달방정식들을 푸는 것이 정확도의 면에서 타당하다. 또한 원천항을 어떻게 처리하느냐에 따라서도 많은 연구가 진행되어왔는데, 소멸에 대한 항만을 적절하게 처리한다면 안정성을 높힐 수 있는 장점이 있다.[1] 또한LU기법에 관한 경우, k- 난류모델 같은 2개의 전달 방정식을 푸는 식에 대해서는 서로의 식이 결합된 것이 아니라 각각 분리를 시켜 식을 유도할 수 있기 때문에 난류변수들에대해서 외재적으로 해를 구할 수 있다.

본 연구에서는 wilcox k- 난류모델에 대해서 기존

KFLOW의 ADI기법[2]과 코드개발한 LU기법과의 효율성의차이를 보고자한다.

2. 본 론

2.1 k-w 난류 방정식wilcox k-w 난류방정식은 다음과 같이 표현된다

.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

k와 w는 각각 난류 운동에너지와 난류 소산율로 정의 되며 식 (5)는 원천항을 나타낸다. 난류 점성계수는 다음과 같이 k와 의 함수로 표현된다.

(6)

2.2 LU Implicit 기법식(1)에 대해서 내재적 방법으로 수치근사를 사용하면 식

(7)을 얻을 수 있다. M은 비점성항, N은 점성항을 그리고 S는 원천항을 표시한 것이다.

(7)

비점성항에는 1차 상류차분법, 점성항에는 2차 중심차분법을 사용해서 (i,j), (i-1,j-1), (i+1,j+1) 항을 각각 Diagonal, Lower, Upper로 정의를 하겠다. 또한 Approximate Factorization을 이용하면 식 (8)과 같이 총 두 단계에 걸쳐서 해를 얻게 된다.

1step :

2step :

(8)

2.3 원천항 처리난류의 소멸항은 대각항의 지배를 증가시키기 때문에 소

멸에 대한 항만을 내재적으로 처리를 한다면 원천항의 자코비안은 다음과 같이 표현된다.[1] 아래와 같이 원천항의 자코비안을 유도한다면 ADI기법은 2개의 scalar ADI기법으로 표현된다. 또한 LU기법은 2개의 전달방정식을 서로 분리하여

LU기법의 원천항 처리에 따른 k- 난류모델의 효율성 연구

박 현 돈1*, 박 수 형2

EFFICIENCY STUDY OF k- TURBULENCE MODEL WITH SOURCE TERM TREATMENT OF LU METHOD

H.D. Park and S.H. Park

1*학생회원, 건국대학교 대학원 항공우주정보시스템공학과2 종신회원, 건국대학교 항공우주정보시스템공학과* TEL : 010-3397-9770* Corresponding author E-mail: kkk9770000@naver.com

(1일 목) 제 3발표장 57수치기법[II]

풀 수 있고 각각을 외재적으로 식을 정리할 수 있기 때문에계산시간의 큰 이점을 얻게 된다.

∇∙

∇ ∙

(9)

2.4 검증 문제검증 문제로는 독일에서 연구가 진행된 극초음속 흡입구

문제를 선택하여 전산해석을 진행하였다. 흡입구 형상은 참고문헌[3]를 참고하였고 마하수는 2.41 ,Re(1/m)=5.07e+7 이다. 공간차분법은 AUSM+, 제한자는 Van-Albada, Navier-Stokes 방정식의 시간전진기법은 Thin layer 가정을 한 LU-AF기법을사용하였다. 비교될 난류모델의 케이스는 Table.1 과 같다.

Navier-Stokes equations

Turbulence Model(wilcox k-

model)ADI LU-AF ADI기법

LU(Full) LU-AFLU기법(Full 자코비안)

LU(Diag) LU-AFLU기법(대각화된자코비안)

Table. 1 Case of Time Stepping Method

3. 결 론Fig. 1은 초음속 흡입구의 ramp면의 압력분포도이다. 타

연구자의 계산결과와 실험값과 비교를 하면 원천항 자코비안을 대각화 한 LU기법과 그렇지않은 LU기법은 타당한 물리현상을 보임을 확인하였다. 하지만 x=0.05(m) 부근에서의 박리영역에서는 실험값과는 다소 차이를 보이게 되는데, 이는박리가 일어나는 유동천이 영역이기 때문에 완전난류 모델인k- 모델이 정확한 천이 현상을 포착하지 못하여 생기는 오차로 판단된다. 추후 천이모델을 사용하여 전산해석을 한다면 이러한 오차는 크게 개선될 것 이라고 생각된다.

Fig. 2는 각 케이스별로의 난류 변수들의 수렴도를 나타낸그림이다. 그림에서도 볼 수 있듯이 원천항 자코비안을 대각화하여도 Full 자코비안 행렬을 사용한 것과 크게 다르지 않음을 볼 수 있다. 하지만 Table. 2에 있는계산시간을 본다면LU(Diag)기법이 기존의 ADI기법보다 10%정도 감소되어 더욱효율적인 성능을 가지는 것을 확인하였다.

CPU Time(s)ADI 132.34

LU(Full) 126.56LU(Diag) 122.94

Table. 2 CPU Time for Each Case

Fig. 1 Pressure Distribution of Ramp Surface

Fig. 2 Convergence Comparison

후 기

본 연구는 과학기술정보통신부 및 정보통신기술진흥센터의 SW중심대학지원사업의 연구 결과로 수행되었음(2018-0-00213)

참고문헌

[1] 1996, Liu, F. and Zheng, X., “A strongly coupled time-marching method for solving the Navier Stokes and k-w turbulence model equations with multigrid,“ J. Comput. Phys., Vol.128, No. 2, pp289-300.

[2] 2004, Park, S. H., and Kwon, J. H., “Implementation of k-w Turbulence Models in an Implicit Multigrid Method,“ AIAA Journal, Vol. 42, No. 7, pp.1348~1357.

[3] 2003, Reinartz, B. U., Herrmann, C. D., and Ballmann, J., “Aerodynamic Performance Analysis of a Hypersonic Inlet Isolator Using Computation and Experiment,“ Journal of propulsion and power, Vol.25, No. 5, pp. 868~875.

58 제 3발표장 (1일 목)수치기법[II]

1. 서 론

혼합격자 기반의 유동해석은 복잡한 형상에 대해 격자 생성이 용이하다는 장점을 가지고 있어 연구 및 산업계에서 활발하게 사용되고 있다. 하지만 혼합격자 기반의 유동해석은정렬격자와 비교하여 복잡한 수치 알고리즘을 요구하며 이들각각의 알고리즘은 유동해석 프로그램의 성능(정확성, 강건성, 수렴성)에 직접적인 영향을 미친다. 따라서 이러한 알고리즘을 개선하고 유동해석 프로그램의 성능을 높이는 연구가지속적으로 이루어지고 있다 [1,2]. 본 연구도 이러한 연구의일환으로 본 연구그룹이 보유한 혼합격자 기반 압축성 유동해석 프로그램의 성능을 개선하기 위해 수행되었다.

2. 본 론

2.1 격자 내부 기울기 구성격자 내부 기울기는 압축성 유동해석에서 대류 플럭스 계

산, 난류 모델의 소스 항에 사용된다. 격자 내부 기울기 계산에는 주로 Weighted Least-Square (WLSQ) 기법이 사용되며compact stencil이 가장 많이 사용되고 있다 (그림 1). 본 연구그룹도 이와 동일한 기법을 적용하였으나 그림 1와 같이 격자의 skew가 큰 경우 WLSQ 기법의 정확도가 저하되어 해석이 불가능해지는 문제를 확인하였다. 이러한 문제를 해결하기 위해 그림 1과 같이 격자 점 중심으로 stencil을 정하는extended stencil을 적용하였으며 [1,2], 이를 통해 격자의 질이

낮은 상황에서도 안정적인 해석을 수행할 수 있었다.

2.2 격자 경계 기울기 구성격자 경계 기울기는 점성해석 시 점성 플럭스 계산에 사

용되고 일반적으로 양쪽 격자 내부 기울기의 평균값에damping term을 추가하는 방식으로 계산된다. 여기서 damping term은 단순 평균시 나타나는 odd-even decoupling을 억제하는역할을 하며, 일반적으로 Edge-Normal (EN) 기법이 가장 많이 사용되고 있다. 하지만 EN 기법의 경우 격자의 skew가 큰영역에서 진동이 발생하는 것을 확인하였으며 이를 해결하기위해 Face-Tangent (FT) 기법을 적용하였다 [1,2]. 그림 3은DPW 형상에 대한 해석 결과로 격자의 skew가 큰 영역에서FT 기법이 EN 기법에 비해 더 안정적인 결과를 보여준다.

Fig. 1 WLSQ stencil (left), skewed grid (right)

Fig. 2 Edge-normal (left), face-tangent (right)

혼합격자 기반 압축성 유동해석 프로그램의 성능 개선 연구

이 창 수1, 김 은 사1, 윤 결1, 김 종 암2*

RESEARCH FOR PERFORMANCE ENHANCEMENT

OF UNSTRUCTURED MIXED GRID COMPRESSIBLE CFD SOLVER

C. Lee, E. Kim, K. Yune and C. Kim

1 정회원, 서울대학교 기계항공공학부2 종신회원, 서울대학교 기계항공공학부, 항공신기술연구소* TEL : 02) 880-1915* Corresponding author E-mail: chongam@snu.ac.kr

(1일 목) 제 3발표장 59수치기법[II]

Fig. 3 Implicit scheme (left), flux Jacobian (right)

Fig. 4 Pressure error and lift coefficient history

2.3 수렴기법 개선본 연구그룹에서 주로 사용하던 LUSGS 기법은 플럭스

Jacobian을 간소화하여 계산 시 요구되는 메모리를 줄이는 동시에 해석의 안정성을 높이도록 개발된 기법이다. 하지만 수많은 가정으로 인해 수렴성이 낮으며 결과를 얻기 위해 많은시간이 소요된다. 이를 개선하기 위해 대류/점성 플럭스Jacobian을 정확하게 구성하고 GMRES 기법을 구현하였다. GMRES의 예조건화 기법으로는 SSOR, ILU(0), DILU 기법을구현하였으며, 이 중 DILU 기법이 메모리와 계산시간 측면에서 가장 효과적인 것을 확인하였다 (그림 3 좌).

2.4 대류 플럭스 Jacobian 구성본 연구그룹은 초기에 대류 플럭스 Jacobian 구성을 위해

Roe 플럭스 Jacobian만을 구현하였다. 하지만 AUSM 계열의 대류 플럭스의 경우 기법에 맞는 Jacobian을 사용하면 성능이 향상될 것이라고 판단하여 각 기법에 맞는 Jacobian을 구현하였다. AUSM+ 기법의 Jacobian 구성 시 음속을 상수로 가정하였으며 [3], AUSMPW+ 기법도 음속을 상수로 가정하고 이를 제외한 f, g 함수 등 모든 식에 대해 미분을 수행하여 Jacobian을구성하였다. 그림 3의 오른쪽은 Jacobian에 따른 AUSM 계열기법의 해석 결과로 AUSM+ 기법의 경우 Jacobian에 따라 수렴성에 큰 차이를 보이며 AUSMPW+ 기법의 경우에는 비교적작은 차이를 보이는 것을 확인할 수 있다.

2.5 공간 제한자 기법공간 제한자 기법은 본 연구그룹에서 개발한 MLP-u2 기

법이 주로 사용된다. 이 기법은 Venkatakrishnan이 제안한 함수를 사용하는데, 이 함수는 부드러운 유동 영역에서의 낮은정확성을 보상하고 수렴 문제를 해결하기 위해 값을 도입한다. 하지만 이 방식은 단조성을 만족하지 않기 때문에 충격파와 같이 유동 변화가 불연속한 영역에서 진동을 발생시킨다. 특히 온도나 압력의 변화가 큰 문제에서 온도나 압력을음수로 만들어 해석을 불안정하게 만들기도 한다. 이를 해결하기 위해 다양한 방식을 적용 및 시험하고 있으며, 그 중하나로 그림 4은 값을 없애고 공간 제한자를 특정 시점에고정시켜 수렴 문제를 해결한 결과이다.

3. 결 론

본 연구는 혼합격자 기반 압축성 유도해석 프로그램의 성능을 개선하기 위해 수행되었다. 격자 내부/경계 기울기 구성시 extended stencil과 FT 기법을 도입하여 격자 질이 낮은 상황에서도 해석의 정확성과 강건성을 높일 수 있었다. 또한 플럭스 Jacobian의 정확한 계산과 GMRES 기법의 적용으로 해석의 수렴성을 크게 높일 수 있었다. 끝으로 공간 제한자 기법개선을 위해서는 지속적인 연구가 필요할 것으로 보인다.

후 기

본 연구는 KISTI 슈퍼컴퓨팅센터(KSC-2018-C3-0009), 차세대우주추진연구센터(NRF-2013R1A5A1073861), 한국항공우주산업, 서울대학교 항공우주신기술연구소의 지원을 받아 작성되었습니다.

참고문헌

[1] 2013, Schwőppe, A. and Diskin B., “Accuracy of the Cell-Centered Grid Metric in the DLR TAU-Code,” New Results in Numerical and Experimental Fluid Mechanics VIII. Vol. 121, p.429-437.

[2] 2017, White, J.A. et al., “Geometrically Flexible and Efficient Flow Analysis of High Speed Vehicles Via Domain Decomposition, Part 1, Unstructured-grid Solver for High Speed Flows,” NASA Technical Reposrts.

[3] 2014, Rinaldi, E. et al., “Exact Jacobians for implicit Navier-Stokes simulations of equilibrium real gas flows,” J. Comput. Phys., Vol. 207, p.459-477.

60 제 3발표장 (1일 목)수치기법[II]

1. 서 론

본 발표에서는 직교격자기반 비압축성 유동솔버“ULSAN3D -Cart”에 대한 소개와 이를 활용한 골프공 주위유동해석 결과가 제시된다. ULSAN3D-Cart는 Backtracking 기반의 Semi-Lagrangian 기법으로 유체의 지배방정식인Navier-Stokes 방정식을 해석하여 절대적으로 안정적인(Unconditionally Stable or Never Blow-Up) 유동해석이 가능하다. 복잡한 형상에 대한 부호화된 거리함수 (Signed Distance Function, SDF)는 최적의 Adaptive Mesh Refinement (AMR) 기반 Ray-casting 알고리즘[1]으로 계산된다. 유동해석에서 가장많은 계산시간 소요되는 압력 Poisson 방정식은 최적의 수렴성이 보장된 Multigrid 방법[1]으로 해석된다. ULSAN3D-Cart는 특정문제에 특화된 코드가 아닌 범용적으로 실제 공학문제를 효율적으로 해석할 수 있는 솔버이다.

2. 수치해석 기법

비압축성 유동에 대한 Navier-Stoke 방정식은 다음과 같이 연속방정식, 식 (1), 과운동량보존방정식, 식 (2), 으로정의된다.

∇∙ (1)

1 학생회원, 울산대학교 조선해양공학부2 종신회원, 울산대학교 조선해양공학부* TEL : 052) 259-2164* Corresponding author E-mail: htahn@ulsan.ac.kr

∇∇ (2)

여기서 와 는 Navier-Stoke 방정식의 해로서 각각 유동의 속도벡터 및 압력을 나타낸다. 와 는 유체의 밀도 및점성을 나타낸다.본 연구에서는 Backtracking 기반의 Semi- Lagrangian 기법

과 2차 정확도의 Backward Differentiation Formula (BDF2)를적용하여 운동량 보존 방정식을 다음과 같이 시간에 대하여차분한다.

∆

∇∇ (3)

여기서 아래점자로 표현된 는 departure point를 나타내며이는 2차 정확도의 Runge-Kutta 방법으로 Backtracking하여결정된다[1,2]. 식 (3)은 Chorin에 의해 제안된 Projection 방법으로 풀게 된다. Projection 방법은 유체의 비압축성을 만족하지 않는 중간단계의 속도( )를 계산한 후 비압축성을 만

족하는 다음단계의 속도( )로 투영시키는 방식으로 식(3)을 다음과 같이 풀게 된다.

∆

∇ (4)

∆

∇∙ ∇∙

∇ (5)

직교격자기반 비압축성 유동솔버(ULSAN3D-Cart)를 이용한Golf Ball 주위 유동해석

고 광 수1, 안 형 택2*

FLOW SIMULATION AROUND GOLF BALL USING CARTESIAN GRID-BASED

INCOMPRESSIBLE FLOW SOLVER (ULSAN3D-CART)

G.S. Go and H.T. Ahn

(1일 목) 제 3발표장 61수치기법[II]

∆∇ (6)

식 (4)은 중간속도에 대한 Helmholtz 방정식, 식 (5)는 스칼라 함수 에 대한 Poisson 방정식, 그리고 식 (6)은 투영단계를 나타낸다. 압력 값은 식 (5)를 통해 결정된 를 활용하여다음과 같이 결정된다.

∇∙ (7)

식 (4)과 (5)은 유체영역만 고려되었을 때만 적용이 가능하며 만약 유체영역 내부에 물체가 존재하게 되면 식 (4)는Dirichlet 경계조건이 포함된 속도에 대한 Helmholtz 방정식[1] 그리고 식 (5)는 Neumann 경계조건이 포함된 Poisson 방정식으로 고려된다. Neumann 경계조건이 고려된 Poisson 방정식은 부호화된 거리함수로부터 얻어지는 Heaviside 함수 로표현되며 이는 다음과 같다[1,2].

∆

∇∙ ∇∙

∇ (8)

식 (8)이 실제 유동해석 시 가장 많은 연산시간이 요구되는 부분이며 Multigrid 방법으로 이를 해석하였다.

실제 유동해석에서는 물체의 표면이 포함된 셀에 대해서만 정확한 부호화 거리함수가 필요하다. 따라서 Fig. 1과 같은 AMR 기법을 통해 물체표면에 분포하는 셀을 별도로 지정한 후 그 셀에 대해서만 부호화 거리함수를 정확히 계산하게 되면 최적의 계산이 가능하게 된다. Fig. 2와 같이 이 방법은 효율성뿐만 아니라 정확성도 보장된다[1].

후 기

이 발표는 2017년 정부(교육부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(한국연구재단-2017-글로벌박사양성사업).

참고문헌

[1] 2018, Go, G. and Ahn, H.T., “Efficient Incompressible Flow Simulation over Arbitrarily Complex Geometry Using a Multigrid Method," J. Comput. Phys., Under Review.

[2] 2012, Gibou, F. and Min, C., “Efficient symmetric positive definite second-order accurate monolithic solver for fluid/ solid interactions," J. Comput. Phys., Vol.231-8, p.3246.

Fig. 1 Adaptive Mesh Refinement Procedure for Computing Signed Distance Function of Golf Ball

Fig. 2 Golf Ball Geometry: (a) Original Geometry; (b) Reconstructed Geometry on Fine Grid; (c) Reconstructed Geometry on Coarse Grid.

62 제 3발표장 (1일 목)수치기법[II]

1. 서 론

수치해석 시 해상도 정확도는 공간 차분화 기법, 시간적분기법 등 다양한 수치기법의 영향을 받게 된다. 특히 초음속영역에서는 충격파 감지법인 제한자(Limiter)의 영향을 추가적으로 받게 되며, 수치기법에 따라 그 영향은 모두 다르므로 수치기법 사전에 위에 관한 정보를 파악해 놓는 것이 중요하다.먼저 공간 및 시간 차분에 관한 고전적인 방법으로는Amplification factor(G)를 사용한 Von Neumann StabilityAnalysis[1]이 있으며 파동 전파에 관한 특성을 스펙트럼 분석을 수행한 연구 또한 수행되었다[2]. 하지만 위 연구는 제한자의 영향을 고려하지 못한다. 한편, 공간 및 제한자의 영향을 고려할 수 있는 분석법 또한 개발되었으나 시간의 영향을 고려하는데까지 연구가 확장되지 않았다[3]. 본 연구에서는 해상도에 미치는 여러 인자들을 한번의 분석을 통하여 모두 고려할 수 있는 스펙트럼 분석법을 제안하고자 한다.

2. 본 론

2.1 Mathematical formulation본 연구에서는 유한체적법으로 분류되는 수치기법을 대상으

로 스펙트럼 분석을 수행하고자 한다. 스펙트럼 분석법은 선형스칼라 방정식으로 부터 유도되며 j번째 cell에 대하여 임의의상수를 가지는 3 point compact 스킴은 아래와 같이 표현된다.

1 2 3 1 2 31 11/2 1/2 3/2 .jj jj j ju u u u u ub b ba a a - +- + ++ + = + + (1) 이를 파동방정식의 공간차분항에 대입시켜 푸리에 변환

(Fourier transform)을 수행하면 아래와 같은 식이 유도된다.

� %2

1 1 2 2 3 3

1 2 3

( ) ( )( ) .ik x ik x ik x

S S ik x ik x

e e ek x ie e

b b b b b bk

a a a

- D - D D

- D D

- + - + - += D = -

+ + (2)

여기서 아래첨자 ‘S’ 는 공간에 대한 함수임을 위미한다. 시간에 대한 항을 추가적으로 고려하기 위해 식 (2)를 시간차분항과 같이 표현하면,

21 1 2 2 3 3

1 2 3

( ) ( )j

j

ikx ik x ik x ik xikx

ik x ik x

d e dk e e ec d e dkt x e e

b b b b b ba a a

- D - D D

- D D

- + - + - ++

D D + +ò ò

��

(3)이는 최종적으로 아래와 같이 간단히 정리된다.

� Sd isk= -� � (4)여기서 s 는 CFL수를 나타낸다. 시간적분법의 예로 4차의

Runge-Kutta기법을 적용하면 Amplification factor (G)는 식 (4) 항의 함수로 정리되며,

2 3 4

41 1 112 6 24RK

d d d dG æ ö æ ö æ ö= + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

� � � �

� � � � (5)

식 (5)를 활용하면 최종적인 수치해는 아래와 같이수학적으로 표현될 수 있다.

0( , ) ( ) ikx nu x t U k e G dk= ò (6)G에 대한 스펙트럼 분석을 수행할 수 있으나 본 연구에서

는 사용자에게 익숙한 wavenumber 형태로 표현해주고자 하였으며 이는 또 다른 해의 수학적 표현을 통해 유도할 수 있다.

0( , ) ( ) .ikx ikctu x t U k e e dk-= ò (7)식 (6)과 식 (7)의 관계로부터.

고해상도 수치기법의 성능 평가를 위한 확장된 스펙트럼 분석법 개발

안 명 환1, 이 덕 주2*

DEVELOPMENT OF EXPANDED MODIFIED WAVENUMBER ANALYSIS FOR PERFORMANCE

EVALUATION OF HIGH-RESOLUTION SCHEMES

M.H. Ahn and D.J. Lee

1,2 한국과학기술원 항공우주공학과* TEL : 042) 350-3756* Corresponding author E-mail: djlee2@kaist.ac.kr

(1일 목) 제 3발표장 63수치기법[II]

� ,S Tik c te G- D = (8)여기서 ‘S,T’는 시간과 공간에 대한 함수임을 의미한다. 위

의 항을 실수 및 허수부, 즉 위상 및 소산 오차에 관한 항으로 분리하여 다시 정리하면,

� % 1, ,

1 Im[G] 1( ) tan .Re[G]

S T S Tk x i Ln Gks s

- æ ö= D = - +ç ÷

è ø (9)

즉, 수학적으로 G와 CFL수를 통해 시간과 공간에 대한wavenumber를 표현할 수 있게 된다. 한편, 제한자는 그 특성이 비선형적이고 해의 상태에 기초

하기 때문에 수학적으로 구할 수 없다. 때문에 수치적으로그 영향을 고려해야 하며 공간에 대해서는 ADR기법이 제안된 바 있다[3]. 동일한 아이디어를 통해 식 (9)를 수치적으로계산할 수 있으며 수치 계산 중 제한자를 포함하여 계산함으로써 wavenumber에 최종 시간, 공간 그리고 제한자를 모두포함시킬 수 있게 된다. 식 (9)를 수치적으로 표현하면 아래와 같다.

� % 1, ,

Im[G ]1 1( ) tanRe[G ]

nS T S T n

n

k x i Ln Gks s

- æ ö= D = - +ç ÷

è ø (10)

여기서,( , )( )( ,0)

DFT nn

DFT n

tG kkkD

=�

� (11)

식 (11)의 DFT는 이산푸리에변환 (Discrete Fourier Transform)을 가리킨다.

2.3 확장된 스펙트럼 분석법의 적용식 (1)에 기초한 5차의 compact 스킴을 4차 Runge-Kutta기

법과 동시에 사용하였으며, 제한자 기법으로는 Low dissipation특성으로 잘 알려진 MP limiter[4]를 사용하였다.

FIg. 1은 위상오차에 대한 특성을 CFL수가 변화함에 따라나타낸 것이고, Fig. 2는 동일한 상황에서의 소산오차 특성을나타내고 있다. 파란색으로 나타낸 선은 제한자를 사용하지않은 경우이고, 빨간색 선은 제한자를 사용하여 나타낸 경우이다. 실제로 제한자가 스펙트럼에 미치는 영향이 매우 크며이는 CFL수에 따라서도 달라지는 것을 알 수 있다. 특히CFL=1.2에서는 소산오차 그래프가 양수를 가져 발산할 것을예상할 수 있다.

Fig. 1 Dispersion error characteristics in different CFL

Fig. 2 Dissipation error characteristics in different CFL

3. 결 론

본 연구에서는 공간, 시간 그리고 제한자를 모두 고려할수 있는 분석법을 제안함으로써 특성 수치 해석자의 통합적인 해상도 성능을 분석할 수 있도록 하였다. 이러한 분석을통해 실제 시뮬레이션에서 보여지는 성능을 사전에 파악할수 있게 되었고, 수치 해석자의 비교를 통해 더 실제적으로성능을 피교할 수 있게 되었다.

후 기

이 논문은 2018년도 미래창조과학부의 재원으로 한국연구재단(NRF)의 지원을 받아 수행된 기초연구사업임(No. 2014M1A3A3A02034837).

참고문헌

[1] 1950, Charney JG, Fjortoft R, Von Neumann J., “Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation,” Tellus, Vol. 2, pp. 237-324.

[2] 2007, Sengtupta TK, Dipankar A, Sagaut P., “Error Dynamics: Beyond Von Neumann Analysis,” Journal of Computational Physics, Vol. 226, pp. 1211-1218.

[3] 2006, Pirozzoli S.,“On the Spectral Properties of Shock-capturing Schemes,” Journal of Computational Physics, Vol. 219, pp. 489-497.

[4] 1997, Suresh A, Huynh HT., “Accurate Monotonicity-Preserving Schemes with Runge-Kutta Time Stepping,” Journal of Computational Physics, Vol. 136, pp. 83-99.