02.2-TENSOR DE DEFORMACIÓN11-12

Consolación Pedraza Rodríguez

Elasticidad y Resistencia de Materiales

Capítulo 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN


UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012

Consolación Pedraza Rodríguez UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

1. Introducción

2. Concepto de desplazamiento y deformación

3. Deformación en el entorno de un punto

4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de

giro

5. El vector deformación. Componentes intrínsecas

6. Tensor esférico y tensor desviador

7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación

8. Ecuaciones de compatibilidad

9. Deformación plana



El problema elásticoF(x,y,z) u(x,y,z)

e(x,y,z)

Rel. cinemáticas

Comportamientos(x,y,z)

Equilibrio




1. Introducción




giro








Concepto de desplazamiento y deformación

W

G

O

P

QQ

O

P



O

P


Q

O’

P’

Q’

Q

O

P



O

P


Q

O’

P’

Q’

Q

O

P

P

P P

P

u

u v

w

Q

Q Q

Q

u

u v

w

O

O O

O

u

u v

w




O

P

Q

O’

P’

s

t

Q’




O

P

Q

O’

P’

s

t

'

Q’




O

P

Q

O’

P’

s

t

' 's

O Q OQ

OQ

' 't

O P OP

OP

'st

Q’

Valores medios

'




O

P

Q

O’

P’

s

t

' 's

O Q OQ

OQ

' 't

O P OP

OP

Q’

' 'limtP O

O P OP

OP

' 'limsQ O

O Q OQ

OQ

,lim ( ')stP Q O

Valores medios

Valores instantáneos

'st '




1. Introducción




giro








Deformación en el entorno de un punto

( , , )P x y z

( , , )Q x dx y dy z dz

dx

dr dy

dz



dx

dr dy

dz

u


'P

( , , )P x y z




u du


'P

'Q

( , , )P x y z


dx

dr dy

dz

u



'

' '

'

dx

dr dy

dz


'P

'Q

( , , )P x y z


dx

dr dy

dz

u du

u




du

dr


'P

'Q

( , , )P x y z

dx

dr dy

dz

'

' '

'

dx

dr dy

dz

u du

u

u




'P

'Q

TRASLACIÓN

( , , )P x y z


dx

dr dy

dz

'

' '

'

dx

dr dy

dz

u du

u

u

du

dr




'P

'Q

“TODO LO DEMÁS”

( , , )P x y z


dx

dr dy

dz

'

' '

'

dx

dr dy

dz

u du

u

u

du

dr




'P

'Q

“TODO LO DEMÁS”

GIRO Y DEFORMACIÓN

( , , )P x y z


dx

dr dy

dz

'

' '

'

dx

dr dy

dz

u du

u

u

du

dr



Q Pu u du

( , , )P x y z

'P

'QGIRO YDEFORMACIÓN


Deformación en el entorno de un puntoSignificado físico del tensor de deformación

dx

dr dy

dz

'

' '

'

dx

dr dy

dz

u du

u

u

du

dr



2

2

2

O

O

O

Q P

Q P

Q P

u u uu u dx dy dz d

x y z

v v vv v dx dy dz d

x y z

w w ww w dx dy dz d

x y z

GIRO YDEFORMACIÓNTRASLACIÓN


Q Pu u du

du

dr

Q

'P

'Q

P

dx

dr dy

dz

'

' '

'

dx

dr dy

dz

u du

u

u



2

2

2

O

O

O

Q P

Q P

Q P

u u uu u dx dy dz d

x y z

v v vv v dx dy dz d

x y z

w w ww w dx dy dz d

x y z



du

dr

Q

'P

'Q

P

dx

dr dy

dz

'

' '

'

dx

dr dy

dz

u du

u

u

Q Pu u du




Q P

Q P

Q P

u u uu u dx dy dz

x y z

v v vv v dx dy dz

x y z

w w ww w dx dy dz

x y z

Q P

u u u

x y zu u dx

v v vv v dy

x y zw w dzw w w

x y z

Deformación en el entrono de un puntoSignificado físico del tensor de deformación

Q Pu u du

du

dr

Q

'P

'Q

P

dx

dr dy

dz

'

' '

'

dx

dr dy

dz

u du

u

u



GIRO YDEFORMACIÓN

TRASLACIÓN

1 12 2

1 12 2

1 12 2

u u v u w

x y x z x

u v v v w

y x y z y

u w v w w

z x z y z

GIRODEFORMACIÓN


Q Pu u du

Q P

u u u

x y zu u dx

v v vv v dy

x y zw w dzw w w

x y z

2 2

t t A A A A

A

1 12 2

1 12 2

1 12 2

0u v u w

y x z x

u v v v w

y x y z y

u w v w w

z x z y z




1. Introducción




giro








x

y

dx

dy

x

y Deformaciónen dirección x

x

yDeformaciónen dirección y

x

yDeformación

angular

Deformación

variación de lasposiciones relativas

de los puntosdel dominio

Puntos cercanos

Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro



dxxu

uu

x

y

dx

dy

x

yDeformaciónen dirección x




dxxu

uu

x

y

dx

dy

x


limix

f ix x

x il Ox

udx u dx u dxl l ux

l dx x




dxxu

uu

x

y

dx

dy

x


limix

f ix x

x il Ox

udx u dx u dxl l ux

l dx x

x

u

x




dyyv

v

v

x

y

dxdy

x

y

Deformaciónen dirección y

limiy

f iy y

y il Oy

vdy v dy v dy

l l vyl dy y




dyyv

v

v

Concepto de desplazamieno y deformación

x

y

dxdy

x

y

Deformaciónen dirección y

limiy

f iy y

y il Oy

vdy v dy v dy

l l vyl dy y

y

v

y




vv dx

x

v

uu dy

y

u

x

y

dxdy

x

y

Deformaciónangular

,limi ix y

i fxy

l l O

uv u dy uv dx v v uyxdx dy x y

a

b

tg ; tg , 1




vv dx

x

v

uu dy

y

u

x

y

dxdy

x

y

Deformaciónangular

,lim ( )i ix y

i fxy

l l O

uv u dy uv dx v v uyxdx dy x y

a

b

xy

v u

x y




xy

xz

yz

u v

y x

u w

z xv w

z y

x

y

z

u

xv

y

w

z

El problema elástico


F(x,y,z) u(x,y,z)

e(x,y,z)

Rel. cinemáticas

Comportamiento

Equilibrio

s(x,y,z)

Relacionescinemáticas




1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

ε

TENSOR DEDEFORMACIONES





Deformaciones linealesinstantáneas

en las direcciones del S.R.

1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

ε







¿Deformaciones angulares instantáneasen los planos de referencia?

¿Por qué 1/2?

Simétrico

1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

ε




x

y

a

b




x

y

Bisectrices

a

b

4

4




x

y

a

b

4

4

Bisectrices




4

4

x

y

a

b

4

4

E1

E2

Bisectrices




x

y

a

b

4

4

2

E1-E2

4

4

E1

E2

Bisectrices




x

y

a

b

4

4

0 Obviedad!!!

E1-E2

4

4

E1

E2

Bisectrices

2




x

y

a

b

4

4

0 Obviedad!!!

,limi ix y

i fxy

l l O 2xy / 2xy

E1-E2

4

4

E1

E2

Bisectrices

2





1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

ε




Semi-deformaciones angulares instantáneasx xy xz

xy y yz

xz yz z

ε

Otra notación

Simétrico




1. Introducción




giro








El vector deformación. Componentes intrínsecas.(Deformación en el entorno de un punto.)

1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

l

n m

n

Vector deformación

dr

du

'dr

u

u du

( , , )P x y z


n

2 2 2 1l m n

u

'dr

dr

du



1 n dr

·n n

Componente normal

n dr

1 12 2

1 12 2

1 12 2

·x xy xz

xy y yz

xz yz z

l l

m m

n n


Vector deformación

2 2 2 1l m n

1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

l

n m

n

n

'dr

dr

du



1

2dr

Componente normal


Vector deformación

2 2 2 1l m n

1 12 2

1 12 2

1 12 2

·x xy xz

xy y yz

xz yz z

l l

m m

n n

n

'dr

dr

du

1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

l

n m

n

·n n

n dr

1 n dr



Componente normal

2

2 1

2t n

du

dr

Componente angular


Vector deformación

2 2 2 1l m n

1 12 2

1 12 2

1 12 2

·x xy xz

xy y yz

xz yz z

l l

m m

n n

n

'dr

dr

du

1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

l

n m

n

·n n

1

2dr

n dr

1 n dr




1. Introducción




giro








x

y

z

dx

dz

dy

x1dx

z1dz

y1dy

?fV V V

V

fV



x

y

z

dx

dz

dy

x1dx

z1dz

y1dy

fV V V

(1 ) · (1 ) · (1 ) · ·x y zdx dy dz dx dy dz

V

fV



x

y

z

dx

dz

dy

x1dx

z1dz

y1dy

?fV V V

(1 ) · (1 ) · (1 ) · ·x y zdx dy dz dx dy dz

( ) · ·x y z dx dy dz e V

Ve

V

Incrementounitario

de volumen

V

fV



Sea

1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 03 3

0 0 1 0 0 1

O J e

ε 1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

Igual incremento de volumen

3 3

e e

ε I ε I

Tensor esféricode deformación

Tensor desviadorde deformación

3

3

3

x xy xz

Dxy y yz

xz yz z

e

e

e

ε

Contiene la informacióndel cambio de volumen

Contiene la informacióndel cambio de volumen




1. Introducción




giro








• Componentes intrínsecas

• Circulos de Möhr

• Deformaciones y direcciones principales

• Invariantes

• Deformaciones octaédricas

• Deformación plana

• Tensor esférico y desviador

• Tensor simétrico

,n

, ,I II III

1 3oct I 22 21 29 3

oct I I

O octσ IºD oct σ σ Ι

1 x y z I II IIII

22 2 2

I II I III II III

x y x z y z xy xz yz

I

3 det( )I σ

• Componentes intrínsecas

• Circulos de Möhr

• Tensiones y direcciones principales

TENSIÓN

• Invariantes

• Tensiones octaédricas

• Tensión plana

• Tensor esférico y desviador

• Tensor simétrico

12,n

, ,I II III

I II III, , ,n , n , n

1 3oct J 21 2 21 22 9 3

oct J J

O octε ID oct ε ε I

1 x y z I II IIIJ e

22 2 2

I II I III II III

x y x z y z xy xz yz

J

3 det( )J ε

DEFORMACIÓN

Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.

I II IIIn , n , n




1. Introducción




giro








x xy xz

xy y yz

xz yz z

ε

Ecuaciones de compatibilidad

( , , )f x y z ¿Es válida cualquier función?



x xy xz

xy y yz

xz yz z

ε



Se producirían HUECOS y SOLAPES



x xy xz

xy y yz

xz yz z

ε




Campo de desplazamientosDISCONTINUO

NO UNIVALUADO



x xy xz

xy y yz

xz yz z

ε




Campo de desplazamientosDISCONTINUO

NO UNIVALUADO

INACEPTABLE

NO !!!




¿Es posible encontrar un campo de desplazamientos

para cualquier tensor de deformación?

xy

xz

yz

u v

y x

u w

z xv w

z y

x

y

z

u

xv

y

w

z

Sistema de seis ecuaciones con tres incógnitasC

PUEDE SER INCOMPATIBLE




2 22

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

2

1

2

1

2

xy yx

xz x z

yz y z

x y y x

x z z x

y z z y

2

2

2

xy yzx xz

y yx yz zx

zy xyz zx

y z x y z x

z x y z x y

x y z y x z

Ecuacionesde compatibilidad



xy

xz

yz

u v

y x

u w

z xv w

z y

x

y

z

u

xv

y

w

z



F(x,y,z) u(x,y,z)

e(x,y,z)

Rel. cinemáticas

Comportamiento

Equilibrio

s(x,y,z)

Relacionescinemáticas

2

2

2

xy yzx xz

y yx yz zx

zy xyz zx

y z x y z x

z x y z x y

x y z y x z

2 22

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

2

1

2

1

2

xy yx

xz x z

yz y z

x y y x

x z z x

y z z y

Ecs. De compatibilidad




1. Introducción




giro








1 12 2

1 12 2

1 12 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

Deformación plana



12

12

0

0

0 0 0

x xy

xy y

12

12

x xy

xy y

x

y

z

Lh

1h

L

Deformación plana



Fuerzas

superficiales

volumétricas

,

,

0

xx

s y y

z

F x yFF F F x y

F

,

,0

V

X x yXF Y Y x y

Z

y

x

n

12

12

cos

sinx xy

xy y

n

Deformación plana



1,

2y xy

n

1

2

III

2

21

2 4x y

xyR

2x yO

Deformación plana

1,

2x xy



1,

2y xy

1

2

III

Deformación plana

1,

2x xy

y

x

n

2

cos 2 2n n O R

2

1sin 2 2

2t R




1. Introducción




giro






Medidas de deformación: galgas extensométricas




Puntode medida




Puntode medida

Galga

Rosetados galgas a 90º

Rosetatres galgas

Rosetapara análisis de

tensiones residuales



Elasticidad y Resistencia de Materiales

Capítulo 3:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN


UNIVERSIDAD DE MÁLAGA



Empecemos por un ejemplo

3 6 2

6 2 3 3

2·10 5·10

10 6·10 3·10

0

x y

x y

u

¿Cuál es el tensor de deformaciones?¿Es compatible?

Partiendo del tensor de deformaciones, ¿podemos llegar al campo de desplazamiento?

02.2-TENSOR DE DEFORMACIÓN11-12

Documents

Transcript of 02.2-TENSOR DE DEFORMACIÓN11-12