02_01
-
Upload
thanos-theodoridis -
Category
Documents
-
view
56 -
download
5
Transcript of 02_01
1
HY200. ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ & ΔΙΚΤΥΩN
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 2
Γραμμικά συστήματα, πίνακες, διανύσματα.Διακριτοποίηση συνεχών προβλημάτων (διαφορικώνεξισώσεων) συστήματα m γραμμικών εξισώσεων με nαγνώστους.Τετραγωνικά συστήματα (n=m) σε μορφή πίνακα: Ax=b, Anxn πίνακας, b,x διανύσματα n στοιχείων.Γραμμική Άλγεβρα: ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης.Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα:
Αλγόριθμοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων.Κόστος επίλυσης (πολυπλοκότητα αλγορίθμων).Ευστάθεια μεθόδων.Κατάσταση συστημάτων.
2
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 3
Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων.
σε μορφή πίνακα
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
K
M
K
K
2211
22222121
11212111
bAxx
xx
x
b
bb
b
aaa
aaaaaa
A
nnnnnn
n
n
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
, , 2
1
2
1
21
22221
11211
MM
K
MOMM
K
L
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 4
Γραμμική Άλγεβρα
Το σύστημα έχει μια και μοναδική λύση ανν: O A είναι αντιστρέψιμος detA μη-μηδενική Το ομογενές σύστημα, Ax=0, έχει μοναδική λύση τημηδενική
Οι στήλες ή οι γραμμές του Α είναι γραμμικάανεξάρτητες.
Λύση συστήματος:Κανόνας του CramerΥπολογισμός του αντιστρόφου
3
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 5
Γεωμετρική Ερμηνεία για ταΣυστήματα Γραμμικών Εξισώσεων.
Η λύση ενός συστήματος δυο γραμμικώνεξισώσεων με 2 αγνώστους, είναι η τομή των δύοευθειών που αναπαριστούν οι εξισώσεις:
22221
11211
byaxabyaxa
=+=+
1 σημείο κανένα σημείο μία ευθεία
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 6
Γεωμετρική Ερμηνεία για ταΣυστήματα Γραμμικών Εξισώσεων.Η λύση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με 3
αγνώστους, είναι η τομή των τριών επιπέδων πουαναπαριστούν οι εξισώσεις:
Η τομή μπορεί να είναι:κανένα σημείο (παράλληλα επίπεδα)1 σημείο1 ευθεία (άπειρα σημεία)1 επίπεδο (άπειρα σημεία)
3333231
2232221
1131211
bzayaxabzayaxabzayaxa
=++=++=++
4
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 7
Γραμμική Αλγεβρα.
Κανόνας του Cramer:
Κόστος:Ασύμφορος!! Απαιτεί τον υπολογισμό n+1 οριζουσώνnxn. Tο κόστος είναι Ο((n+1)!).
niAAx
aabaaaAaaaA
ii
niii
n
,,2,1 ,detdet
),,,,,,( ),,,( 112121
K
KKK
==
== +−
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 8
Γραμμική Αλγεβρα.
Xρήση αντιστρόφου:
Κόστος:Ασύμφορος! Για να υπολογίσουμε κάθε στήλη του αρκείνα υπολογίσουμε από ένα σύστημα:Α xj = ej , j=1,...,n, ej = [0...0 1 0...0 ]TΥπολογισμός αντιστρόφου είναι ισοδύναμο με λύσεις nσυστημάτων!!
( )nii uuuAnieAubAx
,,, ,,2,1 ,,
211
1
KK =⇒==
=−
−
5
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9
Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα.
Γραμμικά συστήματα, πίνακες, διανύσματα.Απαλοιφή Gauss-LU παραγοντοποίηση.Μερική / ολική οδήγηση.Ανάλυση Cholesky.Νόρμες διανυσμάτων / πινάκων.Πολυπλοκότητα μεθόδων απαλοιφής. Αξιολόγηση σφάλματος.
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 10
Κατηγορίες πινάκων
Πυκνοί ή αποθηκεύσιμοι:αij ≠ 0, i,j=1,2,...,nn2 απαιτούμενες θέσεις μνήμης.n≤1000 (μικρά συστήματα), 1000≤n≤106 (μέτριασυστήματα), 106≤n (μεγάλα συστήματα).Χρησιμοποιούμε άμεσες μεθόδους για την λύσησυστημάτων με τέτοιους πίνακες.
6
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 11
Κατηγορίες πινάκων (συνέχεια)
Αραιοί ή σποραδικοί:αij = 0 για τα περισσότερα στοιχεία τους.Συνήθως έχουν συγκεκριμένη δομή ( διαγώνιοι, τριδιαγώνιοικλπ.).Συνήθως απαιτούνται Ο(n) θέσεις μνήμης.Μερικές φορές δεν αποθηκέυονται, αλλά υπολογίζουμε ταστοιχεία τους όποτε τα χρειαζόμαστε.Χρησιμοποιούμε επαναληπτικές μεθόδους για την λύσησυστημάτων με τέτοιους πίνακες.
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 12
Κατηγορίες πινάκων (συνέχεια)
Τριγωνικοί πίνακες(Άνω ή Κάτω Τριγωνικοί):Καλές ιδιότητες. Προκύπτουν από γνωστές μεθόδους ανάλυσης / επεξεργασίαςπινάκων (απαλοιφή Gauss).Είναι πολύ εύκολο να λύσουμε συστήματα εξισώσεων που οπίνακας τους είναι τριγωνικός.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn
n
n
u
uuuuu
U
K
MOMM
K
L
00
0 222
11211
άνω τριγωνικός
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn lll
lll
L
K
MOMM
K
L
21
2221
11
000
κάτω τριγωνικός
7
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 13
Λύση τριγωνικών συστημάτων.
Άνω τριγωνικός πίνακας / σύστημα:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
b
bb
b
x
xx
x
u
uuuuu
UMM
K
MOMM
K
L
2
1
2
1
222
11211
, ,
00
0
nnnn
nn
nn
bxu
bxuxubxuxuxu
=
=++=+++
22222
11212111
M
K
K
⇔= bUx
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14
Παράδειγμα άνω τριγωνικούσυστήματος.
23 =⇔ x
2232 •−=⇔ x 12 −=⇔ x
355.17 32 622
3
32
321
−=−=+=+−
xxxxxx
355.17 3 −=− x
622 321 =+− xxx
32 32 =+ xx
)2)1(2(62 1 +−•−−=⇔ x 11 =⇔ x
8
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 15
Λύση άνω τριγωνικών συστημάτων.Λύση:
nn
nnnnnn u
bxbxu =⇔=
11
121211
1212111111212111
)(
)(
uxuxubx
xuxubxubxuxuxu
nn
nnnn
++−=
⇔++−=⇔=+++K
KK
M
1,1
,111,1111,11,111,1
−−
−−−−−−−−−−−−−
−=⇔−=⇔=+
nn
nnnnnnnnnnnnnnnnnnn u
xubxxubxubxuxu
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 16
Λύση άνω τριγωνικών συστημάτων.
Αλγόριθμος λύσης:
kk
n
kjjkjk
k
nnnn
u
xubx
nnkubx
∑+=
−=
−−==
1
1,,2,1 για/
K
9
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 17
Λύση τριγωνικών συστημάτων.Κάτω τριγωνικός πίνακας / σύστημα:
nnnnnnnnnn
nnnnn
bxlxlxlxlbxlxl
bxlxlbxl
=++++
=++
=+=
−−
−−−−−
11,221
111,1111
2222121
1111
K
K
M
⇔= bLx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnnnn b
bb
b
x
xx
x
lll
lll
LMM
K
MOMM
K
L
2
1
2
1
21
2221
11
, , 000
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 18
Λύση κάτω τριγωνικών συστημάτων.Λύση:
22
1212212122222222121 l
xlbxxlbxlbxlxl −=⇔−=⇔=+
11
111111 l
bxbxl =⇔=
nn
nnnnnnnn
nnnnnnnnnnnnnnnnn
lxlxlxlb
x
xlxlxlbxlbxlxlxl)(
)(
11,221
11,221221
−−
−−
+++−=⇔
+++−=⇔=+++
K
KK
M
10
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 19
Λύση κάτω τριγωνικών συστημάτων.Αλγόριθμος λύσης:
kk
k
jjkjk
k l
xlbx
nklbx
∑−
=
−=
==
1
1
1111
,...,3,2 για/
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 20
Απαλοιφή Gauss.Πως θα λύσουμε γενικά συστήματα Ax = b;
Αν τα αναγάγουμε σε τριγωνικά θα λυθούν εύκολα!Gauss: Τριγωνοποίηση: Επεξεργαζόμαστε τον A και το b ώστε να
προκύψει ένας άνω τριγωνικός U και ένα c, τ.ω. το Ux = cνα είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα.
Οπισθοδρόμηση: Λύνουμε το Ux = c, όπως πριν.
11
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 21
Απαλοιφή Gauss - παράδειγμα.
⇔⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
436
135210122
3
2
1
xxx
⇔⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
1136
5.180210122
3
2
1
xxx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
3536
5.1700210122
3
2
1
xxx
Εξίσωση 3 Εξίσωση 3 – (5/2)*Εξίσωση 1
Εξίσωση 3 Εξίσωση 3 – (8)*Εξίσωση 2
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 22
Απαλοιφή Gauss.Tριγωνοποίηση: A U - 1ο βήμα
(απαλοιφή του πρώτου αγνώστου)
⇔
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nnnnnn
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
MM
K
MOMM
K
L
2
1
2
1
21
22221
11211
niaam
bmb
bmbb
x
xx
amaama
amaamaaaa
ii
nnnnnnnnn
nn
n
,...,2 , ,
0
0
11
11
11
1212
1
2
1
111212
1212122122
11211
==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−MM
K
MOMM
K
L
πολλαπλασιαστές
12
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 23
Απαλοιφή Gauss.Είναι φανερό από την παρακάτω εξίσωση:
ότι Εξi Eξi – (αi1 / α11) * Εξ1
Άσκηση: Γιατί δεν χρησιμοποιούμε τον επόμενομετασχηματισμό;
Εξi Eξ1 – (α11 / αi1) * Εξi
niaam
bmb
bmbb
x
xx
amaama
amaamaaaa
ii
nnnnnnnnn
nn
n
,...,2 , ,
0
0
11
11
11
1212
1
2
1
111212
1212122122
11211
==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−MM
K
MOMM
K
L
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 24
Απαλοιφή Gauss.Tριγωνοποίηση: A U - 2ο βήμα
(απαλοιφή του δεύτερου αγνώστου)
⇔
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
′
′=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′
′′
nnnnn
n
n
b
bb
x
xx
aa
aaaaa
MM
K
MOMM
K
L
2
1
2
1
2
222
11211
0
0
niaam
bmb
bmbbb
x
xxx
amaama
amaamaaaaaaaa
ii
nnnnnnnnn
nn
n
n
,...,3 , ,
00
000
22
22
22
2323
2
1
3
2
1
222323
2323233233
22322
1131211
=′′
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
′−′
′−′′
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
′−′′−′
′−′′−′′′′
MM
L
MOMMM
L
L
L
πολλαπλασιαστές
13
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 25
Απαλοιφή Gauss.Tριγωνοποίηση: A U , n βήματα...
1,...,2,1 ,,...,1 ,
1,...,2,1 ,,...,1 , - 1,...,2,1 ,,...,1, ,
, ,
00
0
)()1(
1
)(
)2(2
)1(1
)(
)2(2
)2(22
)1(1
)1(12
)1(11
)(
−=+==
−=+==−=+==
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
+
nknki aam
nknki bmbbnknkj ia - m aa
b
bb
b
a
aaaaa
A
(k)kk
(k)ik
ik
(k)kik
ki
ki
(k)kjik
(k)ij
)(kij
nn
(n)
nnn
n
n
n
M
K
MOMM
K
L
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 26
Aπαλοιφή Gauss.Oπισθοδρόμηση: Eπίλυση (ισοδύναμου) άνω τριγωνικούσυστήματος (βλ. διαφάνεια 13).Πολυπλοκότητα Αλγόριθμου - Πλήθος πράξεων:
Τριγωνοποίηση:
Oπισθοδρόμηση:
Σύνολο:
2)1()1(...21 +
=+−+++nnnn
)(
36532
2)1(12...)2()1(
3)()(
2323
3
1
2
nOnnnnnnnn
nnininn
i +=−+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
−=+++−+−
−=−+−∑
=
)(33
3 2323
nOnnnn+=
−+
υπολογισμόςστοιχείων υποπινάκων
υπολογισμόςπολλαπλασιαστών
υπολογισμόςδεξιού μέρους
14
[email protected] ΗΥ200, ΤΜΗΥΤΔ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 56
Ερωτήσεις
http://eclass.uth.gr
Η. Χούστης, Ε3-10, [email protected]Π. Τσομπανοπούλου, Ε3-12, [email protected]