02 Phys I Stiliaris

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΠολικές ΣυντεταγμένεςΚυλινδρικές ΣυντεταγμένεςΣφαιρικές ΣυντεταγμένεςΣτοιχειώδεις Όγκοι

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΙδιότητες της ΠαραγώγουΣυνάρτηση Πολλών Μεταβλητών ‐ Μερική Παράγωγος

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣΚαμπύλες και ΤαχύτηταΠαράγωγος κατά ΚατεύθυνσηΠαραγώγιση στον Τρισδιάστατο Χώρο – Ο Τελεστής

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕΕ. . ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

((ΜεΜε ιδέεςιδέες καικαι υλικόυλικό απόαπό παλαιότερεςπαλαιότερες διαφάνειεςδιαφάνειες τουτου κκ. . ΚαραμπαρμπούνηΚαραμπαρμπούνη))ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 2015, 2015‐‐20162016

∇

Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 1

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕΕ. . ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

((ΜεΜε ιδέεςιδέες καικαι υλικόυλικό απόαπό παλαιότερεςπαλαιότερες διαφάνειεςδιαφάνειες τουτου κκ. . ΚαραμπαρμπούνηΚαραμπαρμπούνη))ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN N ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20155‐‐20120166

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Τα εισαγωγικά κεφάλαια των παρακάτω βιβλίων αποτελούν μέρος μόνο τηςπλούσιας διαθέσιμης βιβλιογραφίας που υπάρχει για τα θέματα που θίγονται σταεπόμενα.

J. Mardsen & A. TrombaJ. Mardsen & A. Tromba: ΔιανυσματικόςΔιανυσματικός ΛογισμόςΛογισμός (Vector Calculus)(Vector Calculus), 3rd Edition, Απόδοση στα Ελληνικά Α. Γιαννόπουλος, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης(1992) ISBN: 978‐9607309457.

Susan J. Colley: Susan J. Colley: Vector CalculusVector Calculus, Pearson 4th Edition (2011) ISBN: 978‐0321780652.

Adrian Banner: Adrian Banner: The Calculus LifesaverThe Calculus Lifesaver, Princeton University Press, 1st Edition (2007) ISBN: 978‐0691130880.


ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

Το σημείο P του επιπέδου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας r και της γωνίας θ: P(r,P(r,θθ))

Πολικές Συντεταγμένες Επιπέδου

sinθr y cosθrx

==

2πθ0r0<≤∞<≤

όπου



Σχέση Πολικών & Καρτεσιανών Συντεταγμένων

sinθr y cosθrx

==

2πθ0r0<≤∞<≤

όπου

xx

yy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

xyatan θ

yxr 22

dθcosθrdrsinθdydθsinθrdrcosθdx

+=−= ΟΟ γεωμετρικόςγεωμετρικός τόποςτόπος r=const.r=const.

στιςστις πολικέςπολικές συντεταγμένεςσυντεταγμένεςείναιείναι έναςένας κύκλοςκύκλος..



Το σημείο P του χώρου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας r, της γωνίας θκαι της καρτεσιανής συντεταγμένης z: P(r, P(r, θθ, z, z))

Κυλινδρικές Συντεταγμένες

zzsinθr y cosθrx

===

Κυλινδρικές συντεταγμένες σε Καρτεσιανές

Καρτεσιανές συντεταγμένες σε Κυλινδρικές

zzxyatan θ

yxr 22

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

ΟΟ γεωμετρικόςγεωμετρικός τόποςτόπος r=const.r=const. στιςστις κυλινδρικέςκυλινδρικέςσυντεταγμένεςσυντεταγμένες είναιείναι ηη επιφάνειαεπιφάνεια κυλίνδρουκυλίνδρου..



Το σημείο P του χώρου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας ρ και των γωνιών θ και φ: P(P(ρρ, , θθ, , φφ))

Σφαιρικές Συντεταγμένες

cosφρzsinθsinφρ y cosθsinφρx

===

πφ02πθ0

ρ0

≤≤<≤∞<≤

όπουΟΟ γεωμετρικόςγεωμετρικός τόποςτόπος ρρ=const.=const.στιςστις σφαιρικέςσφαιρικές συντεταγμένεςσυντεταγμένεςείναιείναι ηη επιφάνειαεπιφάνεια σφαίραςσφαίρας..




cosφρzsinθsinφρ y cosθsinφρx

===

Σφαιρικές συντεταγμένες σε Καρτεσιανές

Καρτεσιανές συντεταγμένες σε Σφαιρικές

( )ρzacosz

yxatanφ

xyatan θ

zyxρ

22

222

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

++=



cosφρzθ θsinφρr

===

( )zratanφ

θ θzrρ 22

=

=

+=

Σχέση Κυλινδρικών Σφαιρικών Συντεταγμένων

P(P(ρρ, , θθ, , φφ))P(r, P(r, θθ, z, z))



Παράδειγμα

Το σημείο του χώρου P με ΚαρτεσιανέςΣυντεταγμένες (+1, ‐1, +1) έχει:

x

y

z

rr

rr

ρ

θθφφ

PP

( )1z

47π11-atan θ

21)(1r 22

+=

==

=−+=

Κυλινδρικές Συντεταγμένες

( )o

222

54.7)3acos(1/z4

7π11-atan θ

311)(1ρ

≈=

==

=+−+=



ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

Δxf(x)Δx)f(x

dxdf(x)f lim

0Δx

−+==′

→

ΠαράγωγοςΠαράγωγος ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης ΜιαςΜιας ΜεταβλητήςΜεταβλητής

Εάν η συνάρτηση έχει περισσότερες μεταβλητές {x1, x2, … xi … xn}, τότε η μερικήμερική παράγωγοςπαράγωγος τηςσυνάρτησης αυτής ωςως προςπρος μιαμια μεταβλητήμεταβλητή xxii ορίζεται ως το όριο:

ΜερικήΜερική ΠαράγωγοςΠαράγωγος ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης ΠολλώνΠολλών ΜεταβλητώνΜεταβλητών

Δx)x...x...,x,f(x)x...Δxx...,x,f(x

xf ni21ni21

0Δxilim

−+=

∂∂

→

Δηλαδή, ελέγχεται η μεταβολήμεταβολή της συνάρτησης f μόνομόνο ωςως προςπρος τηντην μεταβλητήμεταβλητή xxii , , θεωρώνταςόλες τις άλλες μεταβλητές της σταθερές.

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα

22

32

3yxyf,2xy

xf

yyxy)f(x,

+=∂∂

=∂∂

+=


ΠΑΡΑΓΩΓΟΣΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠαράγωγοςΠαράγωγος ΣύνθετηςΣύνθετης ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης ΠολλώνΠολλών ΜεταβήτώνΜεταβήτών

Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης ff (x(x , y), y) ως προς την μεταβλητή tt, όταν x=x(t)x=x(t) και y=y(t)y=y(t)δίνεται από τον κανόνα της αλυσίδας:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

==dtdy

yf

dtdx

xf

dty(t))df(x(t),

dtdf

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα

344222

2

4t5tt1)2t(t2tdtdyx

dtdx2xy

dtdy

yf

dtdx

xf

dtdf

1ty(t)tx(t)

yxy)f(x,+=++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+==

=

Αντίστοιχα το διαφορικόδιαφορικό df df δίνεται από τη σχέση:

dyyfdx

xfdf ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

ΕπαλήθευσηΕπαλήθευση

344522 4t5tdtdftt1)(t)(tf(t) +=⇒+=+=


ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

1rr

2rr

kzjyixrrrr zyx ++=++=rrrr

ΔιάνυσμαΔιάνυσμα ΘέσηςΘέσης

( ) ( )

kzjyixr

k)zz(j)yy(i)xx(r

kzjyixkzjyixrrr

121212

11122212

Δ+Δ+Δ=Δ

−+−+−=Δ

++−++=−=Δ

r

r

rrrΜετατόπισηΜετατόπιση

ktzj

tyi

tx

tkzjyix

trvav Δ

Δ+

ΔΔ

+ΔΔ

=Δ

Δ+Δ+Δ=

ΔΔ

=r

r

ΜέσηΜέση ΤαχύτηταΤαχύτητα

kdtdzj

dtdyi

dtdx)kzjyix(

dtd

dtrdv

trlimv

0t++=++==⇒

ΔΔ

=→Δ

rr

rr

ΤαχύτηταΤαχύτητα


ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

kdtdzj

dtdyi

dtdx)kzjyix(

dtd

dtrdv ++=++==r

r

ΤαχύτηταΤαχύτητα

2z

2y

2x

zyx

vvvv

kvjvivv

++=

++=r

tv

tvva 12

av ΔΔ

=Δ−

=rrr

r

ΜέσηΜέση ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση

kdtdvj

dtdv

idtdv)kvjviv(

dtd

dtvda

tvlima zyx

zyx0t++=++==⇒

ΔΔ

=→Δ

rr

rr

ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση

2z

2y

2x

zyx

aaaa

kajaiaa

++=

++=r


ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

ΚατάΚατά τητη κίνησηκίνηση τουτου σώματοςσώματος απόαπό τοτο ΑΑ στοστο ΒΒηη μετατόπισημετατόπιση ΔΔss πάνωπάνω στηνστην καμπύληκαμπύλη δίνεταιδίνεταιαπόαπό τοτο τόξοτόξο ΑΒΑΒ. .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

=⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

ΔΔ

=ΔΔ

=

→Δ→Δ

→Δ→Δ

tslim

srlimv

ts

srlim

trlimv

0t0s

0t0tr

r

rrr

ΣτοΣτο όριοόριο αυτόαυτό τοτο ΔΔs s γίνεταιγίνεται ίσοίσο μεμε τοτο μέτρομέτρο ΔΔrr, , οπότεοπότε οο πρώτοςπρώτος όροςόροςαντιπροσωπεύειαντιπροσωπεύει έναένα μοναδιαίομοναδιαίο διάνυσμαδιάνυσμα, , εφαπτόμενοεφαπτόμενο στηστη διαδρομήδιαδρομή((καμπύληκαμπύλη) ) πουπου περιγράφειπεριγράφει τηντην κίνησηκίνηση τουτου σώματοςσώματος..

Tvr

vdtds

tslim

udtrd

srlim

0t

T0s

==ΔΔ

==ΔΔ

→Δ

→Δ

rrr

vudtdsuv TT

rrr==



ΕφαπτομενικήΕφαπτομενική ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΑλλαγήΑλλαγή στοστο μέτρομέτρο τηςτης ταχύτηταςταχύτηταςTar

Σώμα κινείται στην τροχιά C και τηχρονική στιγμή t έχει ταχύτητα v καιεπιτάχυνση a. Η επιτάχυνση a έχει πάντακατεύθυνση προς τα κοίλα της τροχιάς.

Μπορούμε να αναλύσουμε τηνεπιτάχυνση σε δύο κάθετες συνιστώσες: Σε μια εφαπτομενική στην τροχιά και σεμια κάθετη συνιστώσα.

Tar

x

y

Nar a

rCC

vr

ΚάθετηΚάθετη ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΑλλαγήΑλλαγή στηστη διεύθυνσηδιεύθυνση τηςτης ταχύτηταςταχύτηταςNar



vdtud

dtdvu)vu(

dtda

dtvda T

TT

rrrr

rr

+==⇒=Tur

Nur

'uTr

rr 'uT

rTur

Tudr

x

y

dφΌταν η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα uT αλλάζειαλλάζεικατεύθυνσηκατεύθυνση, , οπότε χρειάζεται ναυπολογισθεί η παράγωγός του ως προςτον χρόνο.

Στο αντίστοιχο κεφάλαιο της ΚινηματικήςΚινηματικής θα αποδειχθεί πως

όπου το μοναδιαίο διάνυσμα uN είναι κάθετο στην εφαπτομενική διεύθυνση τηςτροχιάς και ρρ η ακτίνα καμπυλότητας.

ρvuud NT

rr=


ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΤΟΝΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟΧΩΡΟ

kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇r

Η έννοια της παραγώγισης ενός βαθμωτού ή διανυσματικού πεδίου στον χώροδιευκολύνεται με την εισαγωγή του τελεστή (ΑνάδελταΑνάδελτα ή NablaNabla), ο οποίος ορίζεταιως:

∇

Διακρίνονται οι τρεις παρακάτω περιπτώσεις, ανάλογα με το εάν το πεδίο (η συνάρτηση) στο οποίο ο τελεστής αυτός επιδρά είναι βαθμωτό ή διανυσματικό:

ΟΝΟΜΑΣΙΑΟΝΟΜΑΣΙΑ ΟΡΙΣΜΑΟΡΙΣΜΑ ΤΡΟΠΟΣΤΡΟΠΟΣΔΡΑΣΗΣΔΡΑΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ

ΚλίσηΚλίση ((grad)grad) ΒαθμωτόΒαθμωτό ΔιανυσματικόΔιανυσματικό

ΑπόκλισηΑπόκλιση ((div)div) ΔιανυσματικόΔιανυσματικό ΒαθμωτόΒαθμωτό

ΣτροβιλισμόςΣτροβιλισμός ((curl)curl) ΔιανυσματικόΔιανυσματικό ΔιανυσματικόΔιανυσματικό

f∇r

Frr⋅∇

Frr

×∇


ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΒΑΘΜΩΤΟΥΒΑΘΜΩΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ

kzfj

yfi

xfffgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=r

Ως κλίση ενός βαθμωτού πεδίου (συνάρτησης) f(x,y,z) ορίζεται ως το διανυσματικόπεδίο:

Το gradf gradf δίνει την παράγωγοπαράγωγο του βαθμωτού πεδίουανάανά κατεύθυνσηκατεύθυνση. Προφανώς το εσωτερικό γινόμενο

είναι το μέγεθος της παραγώγου (μεταβολή τουπεδίου) ως προς την κατεύθυνση του μοναδιαίουδιανύσματος ee.

( ) ef rr⋅∇



kzfj

yfi

xfffgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=r

j2yi2xfgradf

yxy)f(x, 22

+=∇=

+=r

j2yi2xfgradf

yxy)f(x, 22

−=∇=

−=r



kzfj

yfi

xfffgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=r


ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ

kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇r


211yF

xFFjyixF 21 =+=

∂∂

+∂∂

=⋅∇⇒+=rrr

( )zF

yF

xFkFjFiFk

zj

yi

xFFdiv 321

321 ∂∂

+∂∂

+∂∂

=++⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇=rrr

Η απόκλισηαπόκλιση ((divergence) divergence) ενός διανυσματικού πεδίου είναιβαθμωτόβαθμωτό μέγεθος. Προσομοιώνει την ροήροή υποθετικούρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτονταςπως το διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζειτην ταχύτηταταχύτητα του ρευστού.

Στο παράδειγμα αυτό έχουμε σταθερήσταθερή ((θετικήθετική) ) ροήροή ((εκροήεκροή) ) σε κάθε σημείο του χώρου.



kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇r


000yF

xFFjxiyF 21 =+=

∂∂

+∂∂

=⋅∇⇒−=rrr

( )zF

yF

xFkFjFiFk

zj

yi

xFFdiv 321

321 ∂∂

+∂∂

+∂∂

=++⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇=rrr

Η απόκλισηαπόκλιση ((divergence) divergence) ενός διανυσματικού πεδίου είναιβαθμωτόβαθμωτό μέγεθος. Προσομοιώνει την ροήροή υποθετικούρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτονταςπως το διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζειτην ταχύτηταταχύτητα του ρευστού.

Στο παράδειγμα αυτό έχουμε μηδενικήμηδενική ροήροή σε κάθε σημείοτου χώρου (το ρευστό μόνο στροβιλίζεται).



kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇r

( )321

321

FFFzyx

kji

kFjFiFkz

jy

ix

FFcurl∂∂

∂∂

∂∂

=++×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇=rrr

Η στροβιλισμόςστροβιλισμός ((curl) curl) ενός διανυσματικού πεδίου είναι διανυσματικόδιανυσματικό μέγεθος. Δείχνειτον στροβιλισμόστροβιλισμό υποθετικού ρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτοντας πωςτο διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζει την ταχύτηταταχύτητα του ρευστού.

Όταν ένα διανυσματικό πεδίο έχει μηδενικόμηδενικό στροβιλισμόστροβιλισμό αποκαλείται αστρόβιλοαστρόβιλο πεδίοπεδίο.

Ένας πρακτικός τρόπος για να βρεθεί ο στροβιλισμός ενός πεδίου σε κάποιο σημείο τουείναι να μελετηθεί η στροφικήστροφική κίνησηκίνηση υποθετικού επίπεδου δίσκουδίσκου φερόμενου στο σημείοαυτό.



kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇r

( )321

321

FFFzyx

kji

kFjFiFkz

jy

ix

FFcurl∂∂

∂∂

∂∂

=++×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇=rrr


jx‐iyF =r

k‐2

0x‐yzyx

kji

FFFzyx

kji

F

321

=∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇rr



( )321

321

FFFzyx

kji

kFjFiFkz

jy

ix

FFcurl∂∂

∂∂

∂∂

=++×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇=rrr

k2F −=×∇rr

jx‐iyF =r



( )321

321

FFFzyx

kji

kFjFiFkz

jy

ix

FFcurl∂∂

∂∂

∂∂

=++×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇=rrr

k2xF −=×∇rr

jx‐F 2=r



kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇r

( )321

321

FFFzyx

kji

kFjFiFkz

jy

ix

FFcurl∂∂

∂∂

∂∂

=++×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇=rrr

Αριθμητικό Παράδειγμα

kz)y(xj2xz‐iyxF 2 −++=r

k2z)(xji1)(2x

zyx2xz‐yxzyx

kji

FFFzyx

kji

F 2

2321

+−−+=

−+∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇rr



0Fcurlrr

= 0Fcurlrr

≠

Σχηματικό παράδειγμα κίνησης ενός κλαδιού δέντρου στο υδάτινο ρεύμα μιαςλίμνης. Το κλαδί ακολουθεί την πορεία που καθορίζει το διάνυσμα τηςταχύτητας του ρευστού στην επιφάνεια της λίμνης. Εάν ο προσανατολισμός τουκλαδιού δεν αλλάζει (αριστερά), τότε δεν υπάρχει στροβιλισμός στο πεδίο τωνταχυτήτων (curlF=0). Στην αντίθετη περίπτωση ύπαρξης στροβιλισμού (δεξιά), το κλαδί πέραν από την μεταφορική εκτελεί και περιστροφική κίνηση.


02 Phys I Stiliaris

Documents

Transcript of 02 Phys I Stiliaris