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MATEMÁTICAS Y FÍSICA APLICADA II
TRIMESTRE 09/P
DRA. ROSA ELENA ÁLVAREZ MARTÍNEZ
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANAUNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANADIVISIÓN DE CIENCIAS Y ARTES PARA EL DISEÑODIVISIÓN DE CIENCIAS Y ARTES PARA EL DISEÑO
LICENCIATURA EN ARQUITECTURALICENCIATURA EN ARQUITECTURA
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• Bienvenida• Importante• Cómo consultar este material• Objetivo General• Objetivos Particulares• Actividades programadas• Autoevaluación• Lectura• Ejercicio complementario
ÍNDICEÍNDICE
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Fundamentación teóricaFlexión y esfuerzoVigasTipos de vigasCondiciones de apoyoTipos de cargaFlexión y esfuerzoFuerza cortanteMomento flexionanteConvención de signos
Ejercicios aplicados
ÍNDICEÍNDICE
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Participación en el foro
Errores más comunes
Instrumento de evaluación
Evaluación final
¿Tienes dudas?
Glosario
Lista de obras consultadas
ÍNDICEÍNDICE
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BIENVENIDABIENVENIDADurante esta sesión identificarás la forma de trabajo para este curso. Para ello será necesario que consultes la plataforma siguiendo las instrucciones, en el momento en el que te sea indicado.
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IMPORTANTEIMPORTANTEPara la acreditación de la sesión debes entregar todos los ejercicios marcados en cada uno de los temas.Es importante que en paralelo con tus clases presenciales, participes en las actividades y envíes lo que se te solicita en la plataforma, ya que así se evaluará tu avance académico, y permitirá interactuar y re-diseñar estrategias de estudio y aprendizaje que te ayuden a optimizar tu desempeño en el curso.
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CÓMO CONSULTAR ESTE CÓMO CONSULTAR ESTE MATERIALMATERIAL
El material con el que trabajarás durante esta sesión, se constituye básicamente de lecturas, que te permitirán obtener información necesaria acerca del tema, ya que a través de ellas, podrás llevar a cabo los ejercicios teóricos y prácticos posteriores, que a su vez te permitirán desarrollar tu aprendizaje.
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OBJETIVO GENERALOBJETIVO GENERAL
Definir el concepto de vigas estáticamente
determinadas
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OBJETIVOS PARTICULARESOBJETIVOS PARTICULARES Definir condiciones de apoyo y tipo de vigas. Describir los efectos cualitativos de la presencia de
esfuerzo cortante de una viga. Explicar las condiciones de equilibrio y las ecuaciones
utilizadas para obtener la ecuación de esfuerzo cortante. Cuantificar el esfuerzo cortante en una sección de viga
sometida a cargas. Verificar la distribución parabólica de los esfuerzos.
cortantes en una sección rectangular de una viga sometida a cargas.
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ACTIVIDADES PROGRAMADASACTIVIDADES PROGRAMADASActividad
No.Tipo de actividad Tiempo para la
actividadProducto de la actividad
1 Evaluación diagnóstica Actividad de repaso
2 Lectura Actividad de repaso
3 Ejercicio Complementario Actividad de repaso
4 Lectura Vigas estáticamente determinadas
5 Ejercicios de Aplicación
Ejercicio al tutor por correo
6 Foro Ejercicio al tutor por correo
7Actividad Evaluación Sumativa
Ejercicio al tutor por correo
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AUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓN
CUESTIONARIO en plataforma
Instrucciones de acceso a la plataforma para elaborar ejercicios complementarios a su evaluación diagnóstica
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LECTURA COMPLEMENTARIALECTURA COMPLEMENTARIA
García Malo. Carlos. (2002: 25-33) “Propiedades de las secciones planas”. Ed. Pearson. UAM Az. México.
Propiedades del acero. http://
www.resistenciadematerialesros.blogspot.com.
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FUERZA FUERZA CORTANTECORTANTE
EN VIGAS ESTÁTICAMENTE EN VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADASDETERMINADAS
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICAFUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
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FLEXIÓN Y ESFUERZOFLEXIÓN Y ESFUERZO
Generalidades
La flexión en vigas está constituida por deformaciones en el sentido longitudinal de
la viga.
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Considérese un par de vigas sometidas a momentos en sus Considérese un par de vigas sometidas a momentos en sus extremosextremos
C
T (1)
T
C(2)
Por convención, se dice que la viga no. 1 está sometida a un
momento positivo, mientras que la viga no. 2 está sometida a un
momento negativo.
En la viga 1, se puede observar que la fibra extrema superior está sometida a compresión y
por lo tanto, se acorta; mientras que la fibra extrema
inferior está sometida a tensión y por tanto, se alarga.
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También es posible observar que existe una fibra a una determinada altura, que no sufre deformación. A esta
fibra se le conoce como “EJE NEUTRO”.
Hablando de las fibras verticales, se observa que éstas se conservan rectas aún después de que la viga ha sido
flexionada.
Esto último se cumple cuando la sección transversal es simétrica con respecto a su eje vertical, situación que
se da en la mayoría de los casos y que además no actúa en la sección la Fuerza Cortante.
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La RESISTENCIA DE MATERIALES se desarrolló
a partir del estudio de las acciones internas de
los materiales estructurales que dan forma a
trabes
losas
muros
elementos de unión
columnas
zapatas
y otros como
remaches pasadores placas soldaduras
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Las fuerzas consideradas como acciones internas se producen de acuerdo
a los elementos de soporte que vienen a ser
fuerzas externas
o acciones externas
cuyos elementos son:
magnitud posición dirección y sentido.
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En la práctica profesional referida al análisis y diseño de as estructuras se ha establecido designar a las acciones internas
(también llamadas elementos mecánicos) como:
FUERZAS CORTANTESFUERZAS CORTANTES
MOMENTOS FLEXIONANTESMOMENTOS FLEXIONANTES
MOMENTOS DE TORSIÓNMOMENTOS DE TORSIÓN
ESFUERZOS Y DEFORMACIONESESFUERZOS Y DEFORMACIONES
Tensión, compresión, momento
En éste capítulo sólo se desarrollan los dos primeros temas.
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VIGASVIGAS
Se llama viga a aquel elemento estructural que soporta una carga determinada y que salva un claro determinado.
Una viga deberá estar apoyada, y los tipos de apoyo pueden ser:
•Apoyo empotrado
•Dos o más apoyos libres
•Apoyos articulados
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Una viga se dice que es estáticamente estáticamente
determinada determinada cuando cumple con las
condiciones de equilibrio:
∑ Fx = 0 movimientos horizontales
∑ Fy = 0 movimientos verticales
∑ MoF = 0 movimientos de rotación
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TIPOS DE VIGASTIPOS DE VIGAS
1) VIGA APOYADA: Es una pieza de carga transversalmente con
sus dos apoyos articulados siendo uno de ellos deslizable, así se
descarta la posibilidad de que existan reacciones horizontales y
momentos en los apoyos, por lo que las reacciones sólo serán
verticales.a bF
LRA RB
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Aplicando las condiciones de equilibrio:
Fa = RBL
haciendo M en Ro.
-F (a) + R1L = 0
RA + RB = F
De haber una fuerza inclinada, habría una componente horizontal que tendría que ser equilibrada en el apoyo
no deslizable.no deslizable.
RB=Fa
L
RA=Fa
L
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2) VIGA EN MÉNSULA: Es una pieza cargada transversalmente con un
extremo libre y el otro empotrado, en el que solo se impiden los
movimientos de rotación y vertical.
M
R L
Fa
Existencia de dos incógnitas:
M = FaM = Fa
R = FR = F
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3) VIGA APOYADA CON UN EXTREMO EN MÉNSULA: Pieza
cargada transversalmente con un apoyo articulado y el otro
deslizable, en éste punto prolongada en voladizo.
Estas condiciones destruyen la posibilidad de reacción horizontal.F
aL
RBRA
RBL = F (a + L)
RB = F (a + L)L
RA = - FaL
RA +RB = F
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Una fuerza concentrada o uniformemente repartida
(rectangular o triangular) se representa por un vector.
Una fuerza representa una acción y con ello, aparecerá
una reacción que llamaremos equilibranteequilibrante.
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•Apoyo deslizable:Apoyo deslizable: No hay resistencia al movimiento
horizontal. Implica que en él no habrá reacción horizontal.
•Apoyo articulado:Apoyo articulado: No tiene resistencia al movimiento de
rotación. Implica que no habrá momento.
•EmpotreEmpotre: Este apoyo existe sólo cuando la viga está en
“ménsula” porque de haber un segundo apoyo se convertiría
en una solución hiperestática.
CONDICIONES DE APOYOCONDICIONES DE APOYO
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Con la intención de poder comprender con más claridad los experimentos en laboratorio, se plantean a continuación ciertos
conceptos complementarios a esfuerzos y a flexión.
•Sección recta:Sección recta: entiéndase al área mínima que se obtiene la efectuar un corte en dicho material siendo por lo tanto necesario, que el plano del corte sea perpendicular al eje longitudinal del material.
•Esfuerzos principales:Esfuerzos principales: los esfuerzos principales yson un
máximo y un mínimo respectivamente y son normales entre sí. Se dice también que son esfuerzos que actúan en los planos donde el esfuerzo normal es máximo o mínimo y el esfuerzo cortante es nulo.
Esfuerzo normal máximo: sección rectaEsfuerzo normal mínimo: donde el ángulo = 90o
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La deformación producida por el esfuerzo cortante será máxima en el eje neutro y mínima en las fibras más alejadas de dicho eje.
En el plano neutro, donde el esfuerzo normal es nulo y el esfuerzo cortante es máximo, los esfuerzos principales son iguales y tienen una inclinación de 45o.
•DuctilidadDuctilidad:: es la propiedad de algunos cuerpos para soportar deformación plástica al estar sometidos a la tensión.
•MaleabilidadMaleabilidad:: permite la sección, soportar deformación plática al estar sometido a compresión.
•TenacidadTenacidad:: propiedad que permite al material soportar choque o golpe.
•RigidezRigidez:: propiedad que permite al material soportar una fatiga y sufrir una deformación muy pequeña.
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Aplicando los conceptos anteriores y considerando la siguiente sección de una viga, en donde actúan fuerzas en elementos
diferenciales de área, observamos:
Y
xdA
zz
x
Y
z
x
Y
M
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donde, estableciendo algunas ecuaciones de la estática, se tiene:
Fx = xdA = 0………………. (1)
My = z xdA = 0 ................... (2)
Mz = (-y x dA = M …...……. (3)
El signo (-) en la tercera ecuación, corresponde a la conversión del
signo de momentos positivos.
Considerando el eje X, que tiene un origen 0, podemos determinar
que, teniendo un tornillo en la posición indicada, y dándole vuelta
en la dirección el tornillo avanza en el sentido positivo del eje
X:
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Por otra parte, considerando una viga flexionada, cuya longitud inicial era L, se tiene:
K
EJ
D
L
eje neutro
Y
J K
Z Y
I
FALTA CONODenotando por p el radio del arco
DE, por el ángulo central correspondiente a CE y
observando que la longitud L del elemento no deformado se tiene:
L = p
![Page 33: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/33.jpg)
TIPOS DE CARGATIPOS DE CARGACarga
P R = P
Representación Resultante
R2/2
W
Wx
X
Wo
RL
3
R
WxWx
R = w L
R = Wo L2
R = 2 Wo L
Wx = Wo sen x 2L
Concentrada
Uniformemente distribuída
Distribuída Aler
Distribución senoidal
Wx = Wo x L
![Page 34: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/34.jpg)
Carga Representación Resultante
RX
R = Wxdx
x = Wx (x) dx
Distribución arbitraria
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Aislando a la derecha, después de haber
determinado la reacción del empotradoXNx
Vxn
Mx
m
P sen
P as
para determinar las reacciones Nx , Vx y Mx Fx = 0 ; Nx = P as Fy = 0 ; Vx = P sen M m-n = 0 ; Mx = - P (x) sen
![Page 36: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/36.jpg)
Ejemplo
n qA B
pm P w w
RHRA RB
P
L
MB = 0 ; RA (L) = WL L + P sen (L – a) 2
RA = W L + P sen (L –a) 2
Fx = 0 RH = P cos
![Page 37: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/37.jpg)
w
RHRA Vx
Mx
Nx
x
Fx = 0 ; Nx = RH = P as q
Fy = 0 Vx = RA – W (x)
M m-n = 0 Hx = RA (x) – w (x) x 2
Mx = RA (x) – w x 2
2
De las ecuaciones se puede concluir que la fuerza normal Nx es
constante; mientras que la fuerza cortante Vx y el momento flexión
Mx son funciones de x.
![Page 38: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/38.jpg)
FLEXIÓN Y ESFUERZOFLEXIÓN Y ESFUERZO
Retomando la flexión en vigas está constituido por deformaciones
en el sentido longitudinal de la viga.
momento +momento +
momento -momento -
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FUERZA CORTANTEFUERZA CORTANTEEs la suma algebraica de las fuerzas de un sistema determinado en
equilibrio, a la izquierda o a la derecha de la sección de viga considerada.
En general, las vigas son de sección regular y tienen un plano vertical de
simetría en el que se considera que actúan cargas y reacciones y en el que
por lo tanto se efectúa “la Flexión”; si la viga está en equilibrio, cargas y
reacciones constituirán un sistema coplanar también en equilibrio.
Este sistema externo ejercerá cierta acción interna en la viga, lo que puede
ser investigado tomando en cualquier parte de su longitud una porción
diferencial de viga. Si se aisla esta porción elemental y se determinan las
fuerzas y momentos que actúan en sus caras, se habrán investigado las
acciones internas a que está sometida la VIGA FLEXIONADA en el punto
considerado.
![Page 40: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/40.jpg)
MOMENTO FLEXIONANTEMOMENTO FLEXIONANTEEs igual a la suma algebraica de los momentos de un sistema de fuerzas
determinado en equilibrio, a la izquierda o a la derecha de la sección
considerada.
El cálculo del momento flexionante establece la FLEXIÓN DE LA VIGA
a = flecha
a
P L/2L/2
elástica
La concavidad de la viga por la flexión puede ser
El momento es máximo donde el cortante vale cero. El cortante es máximo en los apoyos.
![Page 41: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/41.jpg)
+ -
FUERZA CORTANTE
+ -
MOMENTO FLEXIONANTE
CONVENCIÓN DE SIGNOSCONVENCIÓN DE SIGNOS
![Page 42: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/42.jpg)
La fuerza cortante es máxima en los apoyos
RoL
F1 F2 F3
R1
XX1
X2
En “x” En “x” En “x”
Ro R´o Ro R´o R´1 R1
Al cortar una viga siempre hay una fuerza y se produce un par. Si la suma de fuerzas a la izquierda es hacia arriba, las de la derecha serán hacia
abajo y el cortante entonces es positivo.
+ -
V = + V = -
Vc = V
b d
![Page 43: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/43.jpg)
El mayor interés se muestra en la obtención de la fuerza cortante máxima y del mayor momento flexionante, pero ¿cómo obtener éstas
máximas?
RA RB
RH
P W
RBRA
P sen
Vx
a
x
Mx
MV
P
+
X
R
VX Diagrama de cortante
-MX X
Diagrama de momento
![Page 44: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/44.jpg)
EJERCICIOSEJERCICIOS
A continuación se te presentan una serie ejercicios
que deberás resolver de forma individual o colectiva
y mandarlos a tu profesora por medio de correo
electrónico o medio de la plataforma indicada.
![Page 45: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: 02 FUERZA CORTANTE.ppt](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062410/5695d4d91a28ab9b02a30387/html5/thumbnails/49.jpg)
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PARTICIPACIÓN EN EL FOROPARTICIPACIÓN EN EL FORO
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ERRORES MÁS COMUNESERRORES MÁS COMUNES
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INSTRUMENTO DE EVALUACIÓNINSTRUMENTO DE EVALUACIÓN
ASPECTOASPECTO CriteriosCriterios ValorValorMáximoMáximo
MBMB BB MM RECOMENDACIONESRECOMENDACIONES
EjerciciosEjerciciosde Aplicaciónde Aplicación
EjerciciosEjerciciosde Aplicaciónde Aplicación
ForoForo
Evaluación Evaluación SumativaSumativa
TOTALTOTAL
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EVALUACIÓN FINALEVALUACIÓN FINAL
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¿TIENES DUDAS?¿TIENES DUDAS?
Escribe a tu profesora al siguiente correo electrónico y a la brevedad tendrás su respuesta en tu correo
asignado
[email protected]@azc.correo.uam.mx
CORREO DE PLATAFORMACORREO DE PLATAFORMA
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GLOSARIOGLOSARIO
FLEXIÓNESFUERZOEJE NEUTROMAGNITUDPOSICIÓNDIRECCIÓNSENTIDOTENSIÓN
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GLOSARIOGLOSARIO
COMPRENSIÓN
VIGAS
MÉNSULA
EQUILIBRIO
APOYO
CARGA
CONVENCIÓN DE SIGNOS
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