EASA OEB Final Report Eurocopter AS365 EC 155 B B1!02!08022012
02 ec no_lineales_v4.128
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OutlineIntroduccion
Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Metodos NumericosSolucion de Ecuaciones No Lineales:
raices de ecuaciones
Luis E. Sierra1
Universidad Industrial de SantanderEscuela Ingenierıa de Petroleos
Bucaramanga 16 Nov 2007
1Ing. Petroleos [email protected]
Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
OutlineIntroduccion
Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
CONTENIDO
1 Introduccion
2 Metodos CerradosGraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
3 Metodos AbiertosIteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
4 Sistema de Ecuaciones no Lineales
Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
OutlineIntroduccion
Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Introduccion
Determine la raiz de
f (x) = log(x)− sen(x)f (x) = sen(x)tan(x)− |x |f (x) =
√x − cos(x)
f (x) = 10 ∗ cos(x)− x
Lo puede hacer de forma explıcita ?
Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
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Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Metodos Cerrados
Aprovecha el cambio de signo de la funcion en la vecindad de laraız.
Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
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Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Metodo grafico
Empleando herramientas de visualizacion de funciones comognuplot.
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Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Metodo de biseccion
Es un metodo que se basa en el teorema del valor intermedio
Suponga que f (x) es una funcion continua en [a, b] con f (a) yf (b) de signos diferentes. Entonces existe un numero p en (a, b)t.q. f (p) = 0
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Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
De forma iterativa lo que se hace es:
Calcular un valor medio en el intervalo [ai , bi ] designado por
pi =ai + bi
2(1)
Si f (pi ) = 0 entonces p = pi , listo
De lo contrario evaluar los signos de f (pi ) y f (bi ) si sonopuestos entonces p ∈ [pi , bi ] y se hace ai+1 = pi y bi+1 = biy se calcula Pi+1
De no cumplirse el literal anterior entonces ai+1 = ai ybi+1 = pi y calcular pi+1
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Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Ejercicio
Determinar la raiz para f (x) =√
x − cos(x) en el intervalo [0, 1.5]
Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
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Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Ejercicio
Determinar la raiz para f (x) =√
x − cos(x) en el intervalo [0, 1.5]
Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
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Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Algoritmo
Entrada a, b, TOL, Numero iteraciones NoPaso 1: tome i=1, FA=f(a)Paso 2: Mientras i<=No haga paso 3-6
Paso 3: Tome p=(a+b)/2; calcular pFP=f(p)
Paso 4: Si FP=0 o (b-a)/2<TOL entoncessalida p Parar
Paso 5: Si FA*FP>0 entonces tome a=p;(Calcular ai,bi)FA=FP
Paso 6: Si no tomar b=pPaso 7: Salida
Implementar en c++ empleando el editor gvim y elcompilador g++
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Metodo de la Falsa Posicion o Interpolacion lineal
Es un metodo que a diferencia del metodo de biseccion consideralas magnitudes de las funciones f (ai y f (bi ). para ubicar una falsaposicion de la raiz por medio de una lınea recta. De aquı sunombre.
tan(θ) = f (b)b−p = − f (a)
p−a
p = af (b)−bf (a)f (b)−f (a)
p = b − f (b)(b − a)
f (b)− f (a)(2)
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Algoritmo
Entrada a, b, TOL, NoPaso 1: Tome i=2;
qa=f(a); qb=f(b);PAso 2: Mientras i<=No haga paso 3-7
Paso 3: Tome p=b-qb(b-a)/(qb-qa). (Calcula pi)Paso 4: Si |p-pi|<TOL entonces
Salida (p)(procedimiento termindoexitosamente). Parar
Paso 5: Tome i=1+1pi=p; qi=f(pi)
Paso 6: Si qi*qb<0 entonces tome a=p;qa=qb;
Paso 7 Tome b=p;qa=qi
Paso 8: SALIDA (El metodo supero las No iteraciones.Termino sin exito)Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Falsa posicion modificado
Determinar la raiz de f (x) = x10 − 1 en el intervalo [0, 1.3]empleando biseccion y falsa posicion. Observar que ocurre.
modidicacion
En este metodo se divide a la mitad el valor de la funcion en elpunto del intervalo que se esta presentando estancamiento
Implementar esta condicion en el codigo de falsaposicion y evaluar el ejercicio. Que observa?
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Falsa posicion modificado
Determinar la raiz de f (x) = x10 − 1 en el intervalo [0, 1.3]empleando biseccion y falsa posicion. Observar que ocurre.
modidicacion
En este metodo se divide a la mitad el valor de la funcion en elpunto del intervalo que se esta presentando estancamiento
Implementar esta condicion en el codigo de falsaposicion y evaluar el ejercicio. Que observa?
Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones
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Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental
Metodo de busqueda incremental
Realizar busquedas incrementales evaluando el signo de la funcion
Si existen multiple raices, dependiendo de la longitud delincremento las puede pasar por alto
La solucion parcial es evaluar f′(a) y
f′(b) para identificar la presencia de
maximos o mınimos en el intervalo.
Es necesario complementar con graficasy comprension del problema fısico.
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Metodos CerradosMetodos Abiertos
Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
Metodos Abiertos
Son metodos que parten de un valor o intervalo que nonecesariamente contiene la raiz.
Estos metodos pueden converger o diverger.
Si el metodo converge por lo general lo hace mas rapido que losmetodos cerrados.
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
Iteracion de Punto Fijo
Punto fijo
Un punto fijo de una funcion g es un numero k para el cualg(k)=k. Ej. g(x) = x2 − 2; g(-1)=-1 y g(2)=2
Emcontrar raıces y puntos fijos son equivalentes en el sentido que:
Para encontrar una raız f(p)=0, podemos definir una funcion gcon punto fijo en p de diversas formas donde solo algunasconvergen. Si la funcion g tiene punto fijo en p entonces la funciondefinida por f(x)=x-g(x) tiene cero en p.
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
se garantiza existencia y unicidad del punto fijo con el siguienteteorema
Teorema de punto fijo
Sea g ∈ C [a, b] t.q g(x) ∈ [a, b] para toda x en [a,b]. Ademassuponer que existe g
′en (a,b) y una constante 0 < k < 1 t.q
‖g ′(x)‖ ≤ k para toda x ∈ (a, b)
Entonces la sucesion definida por pn = g(pn−1) con n ≥ 1converge al unico valor fijo p en [a,b]
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
Algoritmo
Entrada f(x),po, NoPaso 1 Tome i=1Paso 2 Mientras i<=No haga paso 3-6
Paso 3 Definimos la funci\’on g(x) (Despejando f(x)convenientemente para que x=g(x) y g’(x)<1)p=g(po)
Paso 4 Si |p-po| < TOLSalida (p) Termina exitosamente
Paso 5 Tome i=1+1Paso 6 po=p
Paso 7 Salida Supero las iteraciones NoTerminado sin exito
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
Metodo de Newton-Raphson
Si aproximamos la funcion f(x) por la serie de Taylor
f (x) = f (x) + f′(x)(x − x) + f
′′(ε)(x) (x−x)2
2
f (p) = 0 = f (x) + f′(x)(p − x) + f
′′(ε)(x) (p−x)2
2
El termino (p − x)2 es bastante pequeno entonces: p ≈ x − f (x)
f ′ (x)
pn = pn−1 −f (pn−1)
f ′(pn−1)(3)
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
convergencia
El siguiente teorema de convergencia para el metodo de Newtonmuestra la importancia de la eleccion de po
Teorema
Sea f ∈ C [a, b]. Si p ∈ [a, b] t.q. f(p)=0 y f′(p) 6= 0 entonces
existe δ > 0 t.q. el metodo de Newton genera una sucesion [pn]∞n=1
converge a p para cualquier aproximacion inicial p0 ∈ [p − δ, p + δ]
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
Metodo de la secante
Es una modificacion al metodo de Newton para superar lacondicion que f
′(x) 6= 0. Para esto:
f′(pn−1) ≈
f (pn−1)− f (pn−2)
pn−1 − pn−2
Remplazando en el metodo de Newton-Raphson obtenemos
pn = pn−1 −f (pn−1)(pn−1 − pn−2)
f (pn−1)− f (pn−2)(4)
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
Secante modificado
f′(pn−1) ≈
f (pn−1 + δpn−1)− f (pn−1)
δpn−1
Remplazando en la en el metodo de Newton-Raphson obtenemos
pn = pn−1 −δpn−1f (pn−1)
f (pn−1 + δpn−1)− f (pn−1)(5)
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
Raıces multiples
Teorema
La funcion f ∈ Cm[a, b] tiene un cero de multiplicidad m en p y(a,b) si y solo si f (p) = f
′(p) = ... = f m−1(p) = 0 pero fm(p) 6= 0
La funcion tiene raız sencilla en p si f(p)=0 pero f′(p) 6= 0
.
Si tiene multiples raıces f(x) se puede escribir comof (x) = (x − p)mq(x), donde el limx→pq(x) 6= 0
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
Raıces multiples pares no presentan cambio de signo
Figure: exp(x)(x − 1)3
Figure: exp(x)(x − 1)2
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Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
El metodo de Newton-Raphson en los puntos de raices multiplesdisminuye su velocidad de converegencia de un orden cuadratico auno lineal Para mantener un orden cuadraico es necesario que:
pi = pi−1 −mf (pi−1)
f ′(pi−1)
.otra opcion es tomar u(x) = f (x)
f′ (x) entonces
pi = pi−1 − u(pp−1)/u′(p − 1), donde las raıces de u(x) son lasraıces de f(x), remplanzando se obtiene:
pi = pi−1 −f (pi−1)f
′(pi−1)
[f ′(pi−1)]2 − f (pi−1)f′′(pi−1)
(6)
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples
El metodo de Newton-Raphson en los puntos de raices multiplesdisminuye su velocidad de converegencia de un orden cuadratico auno lineal Para mantener un orden cuadraico es necesario que:
pi = pi−1 −mf (pi−1)
f ′(pi−1).otra opcion es tomar u(x) = f (x)
f′ (x) entonces
pi = pi−1 − u(pp−1)/u′(p − 1), donde las raıces de u(x) son lasraıces de f(x), remplanzando se obtiene:
pi = pi−1 −f (pi−1)f
′(pi−1)
[f ′(pi−1)]2 − f (pi−1)f′′(pi−1)
(6)
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Sistema de Ecuaciones No Lineales
Un sistema de ecuaciones es no lineal si no se puede expresar cadauna de sus ecuaciones como
f (x) = a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn
f1(x1, x2, x3, ..., xn = 0f2(x1, x2, x3, ..., xn = 0
.fn(x1, x2, x3, ..., xn = 0
.Haciendo la expancion por series de Taylor:
fi (x + ∆x) = fi (x) +n∑
j=1
∂fi∂xj
∆xj + O(∆x2)
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Truncando la serie y colocando de forma matricial
f(x + ∆x) = f(x) + J(x)∆x = 0
donde J(x) es la matriz jacobiana Jij = ∂fi∂xj
∂fi∂xj
≈fi (x + ejh)− fi (x)
h
∆x = ejhh es un pequeno incrementoej vector unitario en la direccion xj
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Pasos para el metodo de Newton
1 Estimat un vector solucion x
2 Evaluar f(x)
3 Computar la matriz jacobiana J(x)
4 Plantear el sistema de ecuaciones y solucionar para ∆X
5 Calcular el nuevo vector x y repetir el paso 2-5 hasta alcanzarel criterio de parada
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Ejemplo
Determine el punto de interseccion entre el circulo x2 + y2 = 3 y lahiperbola xy=1
f1(x , y) = x2 + y2 − 3 = 0f2(x , y) = xy − 1 = 0
J(x , y) =
[∂f1/∂x ∂f2/∂y∂f2/∂x ∂f2/∂y
]=
[2x 2yy x
]
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
El sistema de ecuaciones lineales J(x)∆x = −f(x) relacionadas conel metodo de Newton-Raphson es:.
[2x 2yy x
] [∆x∆y
]=
[−x2 − y2 + 3−xy + 1
]Tomando el vector de valores inicialesestimado de x = [x0 y0] = [0.5 1.5]
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
1ra itiracion: Sustituimos x0 = 0.5, y0 = 1.5 en la ecuacionanterior [
1.0 3.01.5 0.5
] [∆x∆y
]=
[0.500.25
]Solucionamos el sistema para obtener ∆x1 = ∆y1 = 0.125
Entoncesx1 = 0.5 + 0.125 = y y1 = 1.5 + 0.125 = 1.625
2da iteracion: Los valores de x1 y y1 son sustituidos en el sistema[1.250 3.2501.625 0.625
] [∆x∆y
]=
[−0.031250−0.015625
]Entonces ∆x2 = ∆y2 = −0.00694 yx2 = x1 + ∆x2 = 0.625− 0.00694 = 0.61806y2 = y1 + ∆y2 = 1.625− 0.00694 = 1.61806
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Bibliografıa
BURDEN Richard L. & FAIRES Douglas J.
Analisis Numerico. 7ed Thomson Learning Mexico 2002
CHAPRA Steven C. & CANALE Raymound P.
Metodos Numericos para ingenieros. 4ed. McGrawHill Mexico 2002
.
Beamer LaTeX
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Sistema de Ecuaciones no Lineales
Nunca consideres el estudio como una obligacion, sino comouna oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso
mundo del saber
Albert Einstein
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