01 Variable Aleatoria Continua 1

8/17/2019 01 Variable Aleatoria Continua 1

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Variable

aleatoriacontinua


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Cada resultado de un experimento aleatorio puedeasociarse a un número real. La función que asociaun número real a cada elemento de un espaciomuestra se denomina variable aleatoria .Ejemplo:

Lanzamiento de tres monedasResultado Variable aleatoria

(c, c, c)(c, c, s) ! (c, s, c) ! (s, c,

c)"

(c, s, s) ! (s, s, c) ! (s, c,s)

#

(s, s, s) $


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Clasi%cación de &ariablesaleatoriaEn forma similar a como se clasi%caron las &ariablescuantitati&as, las &ariables aleatorias pueden ser: discretas 'continuas.

na variable aleatoria discreta es aquella que puede asumiruna cantidad %nita de &alores, o una cantidad in%nitanumerable de &alores.

Ejemplo : En una muestra aleatoria de personas, la cantidadde ellos que tiene ojos de color caf* es una &ariable aleatoriadiscreta, 'a que los posibles &alores que puede tomar son

+ , ", #, $, , -

En cambio, una variable aleatoria continua es la que puedetomar cualquier &alor num*rico en un inter&alo o conjunto deinter&alos.

Ejemplo: La estatura de una persona esco ida al a/arcorresponde a una &ariable aleatoria continua, 'a que puedetomar cualquier &alor posible en un inter&alo.


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Ejemplo: completa la tabla indicando, en cada caso, sila &ariable aleatoria es discreta o continua.

Variable aleatoria X Posibles valoresde x

Tipo de variable

Cantidad de respuestascorrectas al responder "pre untas en una prueba.Cantidad de calor0as quemadaspor # personas al reali/ar unejercicio f0sico

Cantidad de ampolletasdefectuosas al re&isar ampolletas

1iempo que demoran "personas para armar la primeracada de un cubo rubi2


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3istribución deprobabilidad de una

&ariable aleatoriaEn una &ariable aleatoria discreta la distribución deprobabilidad se describe mediante una función deprobabilidad f (x). Esta función muestra laprobabilidad de que la &ariable tome un &alor

particular.En cambio, en las &ariables aleatorias continuas, lafunción de probabilidad es llamada función dedensidad de probabilidad (tambi*n se denota f ( x )

4(a 5 6 5b)

7 diferencia de la función deprobabilidad, la función dedensidad no determinadirectamente dic8a probabilidad,sin embar o, el 9rea bajo la

ra%ca de f (x) entre dos puntos,a ' b, determina laprobabilidad de !ue la


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" #

f(x)"

'

x

El 9rea bajo la cur&a es i uala ". El dominio de f estaentre , #;

" #

f(x)"

'

x


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Ejercicio: 7 partir de la función f, de%nida en el inter&alo <, ! "; ' cu'a r9%ca se muestra en la % ura si uiente:

a.3etermina si f puede ser la función de densidad de una V#$ .

b.Calcula 4(6 = , ), 4(6 5 ), 4( , 5 6 5 ") ' 4(6 > #).


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%istribución de

probabilidad &ormal


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La manera r9%ca de representar una distribuciónnormal, es la si uiente:

En este caso, decimos que la &ariable aleatoria 6 tienedistribución normal con media ' ' des&iaciónest9ndar , ' la denotamos como X ) &('* . ?u

r9%ca es una cur&a con forma de campana.

+mportante: El &alor de los par9metros ' ' in@u'enen la forma de la r9%ca de la función de densidad dela distribución normal.


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4or ejemplo, las si uientes r9%cas muestran ejemplos dedistribuciones con la misma media A, pero diferentedes&iación est9ndar B:

6

D( , #) D( , ")

,bservación: Lades&iación est9ndardepende de cu9ndispersos est*n losdatos: a ma'or

des&iación est9ndar,la r9%ca es m9s baja ' m9s anc8a, 'a quelos datos seencuentran m9s

dispersos.


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La si uiente ra%ca corresponde a las funcionesde densidad de tres &ariables aleatorias condistribución normal, con diferente media ' lamisma des&iación est9ndar.

D( , ")D( $ ,")

D($ , ")

Fbser&ación: 1odas

tienen la mismaforma sin embar o eleje de simetr0a de lasfunciones cambia 'aque lasdistribucionesposeen mediasdiferentes.


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Ftraspropiedades• Los extremos se prolon an de modo inde%nido en ambas

direcciones ', teóricamente, nunca tocan el eje 8ori/ontalaunque se aproximan a el.

• Las probabilidades para la &ariable aleatoria con distribuciónnormal se de%nen mediante 9reas bajo la cur&a:Como la cur&a normal

representa una función de

densidad, entonces el 9reatotal bajo la cur&a debe seri ual a ".

7dem9s, como ladistribución essim*trica, el 9rea bajo lacur&a a la i/quierda de lamedia es , ' el 9rea bajola cur&a a la derec8a de la


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4ara la distribución normal se cumple que:

G El HI,#H J de los &alores de una &ariablealeatoria normal esta dentro de mas o menos unades&iación est9ndar de su media.

G El K , J de los &alores de una &ariablealeatoria normal esta dentro de mas o menos dosdes&iaciones est9ndar de su media.

G El KK,M$ J de los &alores de una &ariablealeatoria normal esta dentro de mas o menos tres

des&iaciones est9ndar de su media.


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Ejemplo:". En un 8ospital, las estaturas, en cent0metros, de los reci*n

nacidos se distribu'en &(-.* / . NCual es la probabilidadde que un reci*n nacido mida menos de H cmO

#. 3e un cole io mixto e resaron #" &arones ' ## damas.Las estaturas de los &arones se distribu'en &(0*102 3*- , 'las de las damas, &(0*.-2 3*4 , en metros. a. NCu9ntos

&arones miden m9s de ",M" mO b. NCu9ntas damas miden menos de ",H mO c. ?i se selecciona a un alumno al a/ar, Ncu9l es la

probabilidad de que mida a lom9s

",HM mO

". Los tiempos, en se undos, reali/ados en las pr9cticas deatletismo del Cole io Cordillera se distribu'en &(0/*52 3*5

' los tiempos del Cole io Entrela os, &(0/*/2 0 .3etermina qu* porcentaje de atletas:a. del Cole io Cordillera demoraron m9s de "#,I s.

b. del Cole io Cordillera demoraron menos de "$,H s.c. del Cole io Entrela os demoraron m9s de " ,# s.


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3istribución normal

est9ndar?i tenemos una &ariable aleatoria continua condistribución normal, en la que la media es i ual a 'la des&iación est9ndar i ual a ", es decir, A = ' B= ", entonces la &ariable aleatoria tienedistribución normal est6ndar ' se denota X )

N (3* 0 .4ara el calculo de probabilidades en distribuciónnormal est9ndar se 8an construido tablas quepresentan las 9reas bajo las cur&as ', por lo tanto,permiten determinar de manera r9pida lasprobabilidades.


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Es decir, la

probabilidad deque la &ariablealeatoria tomeun &alor menoro i ual a ", " es

,K# M$.


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Ejemplo /: 3ada una &ariable aleatoria continuaque distribu'e

N ( , "), calcula la probabilidad de que tome un &alorentre ,## ' ",$ .4ara determinar la probabilidadde que la &ariable aleatoriatome un &alor entre ,## ' ",$ ,debemos calcular la diferencia

entre cada probabilidad, esdecir: 4( ,## 5 X 5 ",$ ) = 4( X 5 ",$ ) < 4( X 5 ,##)

< , IM H= ,$# $

4or lo tanto, la probabilidadde que la &ariable aleatoria

tome un &alor entre ,## '" $ es $# $.

= ,K"" K


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Ejemplo 4: Calcula la probabilidad de que una &ariable aleatoria con distribución normalest9ndar tome un &alor ma'or que , H.

< ,M"##H

= ,#IMM

= "

4ara determinar laprobabilidad del 9rea pintadase puede calcular restando el9rea entre


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Ejemplo -: Calcula la probabilidad de que una &ariable aleatoria con distribución normalest9ndar tome un &alor menor que < ,M".

= " < ,MH"#

= ,#$II

En la tabla de distribuciónnormal no existen &aloresne ati&os, pero dado que ladistribución normal est9ndares sim*trica respecto al cero,se cumple que:

4or lo tanto, la probabilidad de que una &ariablealeatoria con distribución normal est9ndar tome un

&alor menor que ,M" es ,#$II.

4(6 5 < ,M") = " < 4(6 5 ,M")


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Ejemplo 7: ?i la ra%ca de la % ura representa lafunción de densidad de una V7C que distribu'e

N ( , "), determina el &alor de a, de modo que el9rea bajo la cur&a entre ' a sea , K M.

Esta parte

de lar9%ca esi ual a ,

Lue o, si sumamosesta 9rea con el9rea pintada,tenemos:

, Q , K M =,K K M.

Rinalmente, si nos %jamos en la tabla dedistribución normal, obser&amos que el &alor

,K K M se obtiene cuando a es i uala ",M .


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Ejercicios:1. Z es una &ariable aleatoria con distribución normal est9ndar.

tili/ando la tabla de la distribución normal, encuentra los &alores de z tales que: 7. P ( Z 5 z ) = ,HHHS. P ( Z 5 z ) = ,KI MMC. P ( Z > z ) = ,#$ MH3. P ( Z > z ) = , I H

E. P ( Z 5 z ) = ,I#H$KR. P ( Z > z ) = , $

G sando la tabla de la distribución normal, calcula lassi uientes probabilidades, asumiendo que Z es una &ariablealeatoria que distribu'e N ( , ").".4( Z 5 ",$ )

2.P ( Z 5 $, K)3.P ( Z 5 #,#")5.P ( Z 5 ," )6.P ( Z >


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#plicaciones de la

distribución normalLa tabla de distribución normal no solo nos permitecalcular probabilidades relacionadas con ladistribución normal est9ndar, sino que tambi*npodemos calcular probabilidades relacionadas concualquier distribución normal. Esto se debe a quetodas las distribuciones de probabilidades normalesse determinan a partir de la normal est9ndar.

4ara con&ertir cualquier distribución normal en unaest9ndar, debemos 8acerlo de la si uiente forma:

7 este procedimiento se le conoce como

tipi8cación .


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Ejemplo 0: El resultado de una prueba de Tmedio tiene una distribución N ( ,$! ,H). ?i "estudiantes rindieron la prueba, Ncu9l es laprobabilidad de que al esco er a un estudiante ala/ar este 8a'a lo rado al menos un H, O.


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Ejemplo /: ?e 8a calculado que el tiempo deespera en la %la de un banco tiene unadistribución N ("I, H), en minutos. Calcula laprobabilidad de que una persona ten a queesperar entre " ' # minutos en la %la..

Decesitamos calcular la probabilidad P (" 5 x 5# ), que equi&ale a la diferencia entre P (x 5 # ) '

P (x 5 " ).

P ( Z 5 ",$$) = " 4( Z 5 ",$$) = " ,K I# =, K"MH

9inalmente: P (" 5 x 5 # ) = P (x 5 # ) < P (x 5" )

= ,H#K$ < , K"MH =

Cuando x ="Cuando x =#

P ( Z 5 ,$$) = ,H#K$


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Ejercicios". Considera la &ariable aleatoria 6 U D(#, $). sando la tabla

de la distribución normal est9ndar, calcula las si uientes

probabilidades.". 4(6 > )#. 4(6 5 ",")$. 4(6 > #,$)

. 4(6 > a) = ,H. 4(6 > a) = ,


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