01 Sesión - Funciones Reales.pptx

8/17/2019 01 Sesión - Funciones Reales.pptx

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MATEMÁTICA II Ms. Ylder Heli Vargas Alva

Matemática IFunciones: Dominio, Rango, Técnicas de Graficaciónde funciones básicas, Modelación.

Ms. Ylder Helí Vargas Alva


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• Magister en Ciencias Económicas con Mención en

Administración de Negocios (MBA• !e "ro#esión$

% Administrador de Em"resas.% Matem&tico.

• 'erente de eca)dación * Control de !e)da % +ATT• !ocente en di#erentes ,niversidades de Tr)-illo.

Cargos desem"eados en el +ervicio de Administración Tri/)taria de Tr)-illo$• 'erente de 0iscali1ación * 2rientación al Contri/)*ente• es"onsa/le de la 2#icina de 3laneamiento4 3res)")esto * Estadística.

• 5e#e de la 2#icina de Control de !e)da.• 5e#e del !e"artamento de eca)dación * Control de !e)da.• 'erente de 2"eraciones.• 'erente de eca)dación * Control de !e)da.• 5e#e del Área de Estadística.• Asistente en di#erentes Áreas.

Ms. Ylder Heli Vargas l!a


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• Casado hace 8 años, 8 meses y 16 días

(3,181)

• Tengo cuatro hijos de 18, 16, 10 y 1 año.

• Mi rincia! "a!or es !a con#an$a

• Mi %orta!e$a rincia! es !a creati"idad y !a

ra$&n.

• Mi rincia! de'i!idad es !a imaciencia con !as

situaciones (aun arendiendo a con"i"ir con e!!a)

• Mis ho''ies son nseñar, !eer, "er "ideos

moti"aciona!es, "er %ut'o!.

• *eortes %ut'o!.

+!der e!i -argas !"a


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R"G#$ D" %&'V(V"'%( "' %#$"

"' V()R%(*' F+"R D"# +#RT(%(%(*'

"' %+#-+("R M&M"'T&

'D(" "$ D+"& D" #V"RDD

“Hay que vaciar la mente

para recibir nuevos

conocimientos”+' D"$%'$& D" /0 M('+T&$


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678asistencia a

clases

9 "r&cticascali#icadas

79E:&menes3arciales

Control de

;ect)ra

Tra/a-os'r)"ales eIndivid)ales

%#(F(%%(*' D" #&$ RT(%('T"$

32ME!I2 MAY2 2I',A; A


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FUNCIONESIntroducción

>Ha esc)c?ado #rases como @el :ito est& )n #)nción deltra/a-o ard)o * @la demanda est& )n #)nción del "recio.

;a "ala/ra función se )sa a men)do "ara s)gerir )narelación o )na de"endencia de )na cantidad con res"ectoa otra. Como tal ve1 se"a4 en matem&ticas el conce"to de)na #)nción "osee )na inter"retación similar "eroligeramente m&s es"eciali1ada.

/ndice


7/80MATEMÁTICA II Ms. Ylder Heli Vargas Alva

¿CUÁNDO RECOLECTAR PECES?


,n di/)-o dice m&s D)e mil "ala/ras re1a )n dic?o "o")lar.

Y en matem&ticas se "odría decir @,na grica dice m&s D)e mil "ala/ras *4 en e#ecto4 en m)c?asocasiones ")ede o/tenerse valiosa in#ormación de las gricas. 3or e-em"lo4 o/serve la sig)ientegrica D)e re"resenta el nmero de "eces en )n "iscic)ltivo d)rante )n "eriodo de =7 meses.

;a grica nos @dice D)e al inicio ?a/ía 9=77 "eces4 *

D)e el nmero de stos al "rinci"io a)menta/ar&"idamente * a)nD)e seg)ían creciendo en nmero4este a)mento de la "o/lación de "eces era cada ve1m&s lento.

Tam/in se ")ede ver D)e a largo "la1o el nmero de"eces "arece acercarse a 974777. +i el res"onsa/le dela @gran-a de "eces tiene D)e decidir el mes m&sadec)ado "ara recolectar 9=77 "eces de esta gran-a4>c)&l es el mes en D)e se de/e reali1ar larecolección

El me-or mes "ara ?acer la recolección es aD)l en elD)e sea menor el tiem"o necesario "ara D)e serec)"ere el nmero de "eces D)e se retiren.



En la vida cotidiana * en el est)dio cientí#ico4 no siem"re /asta connmeros "ara descri/ir matem&ticamente #enómenos o res)ltados delan&lisis de estos4 sino D)e "ara ello se ?ace necesario #rec)entementeesta/lecer corres"ondencias entre elementos de dos con-)ntos4 de tal#orma D)e elementos de )n con-)nto estn relacionados de alg)na#orma con )no o m&s elementos de otro con-)nto. Este ti"o decorres"ondencia es "arte #)ndamental de la matem&tica en general * al se asocian los conce"tos de #)nción * relación.




,na #)nción e:"resa la idea de D)e )na cantidad de"ende o est& determinada "or

otra. ;os e-em"los sig)ientes aclaran esta idea$

E-em"lo



,na #)nción # es )na regla de corres"ondencia D)e asocia a

cada o/-eto : en )n con-)nto % denominado dominio de la#)nción (Df % )n solo valor # (: de )n seg)ndo con-)nto. El

con-)nto de todos los valores así o/tenidos se denomina rangode la #)nción (# .

Notación$*#(: @+e lee * es ig)al a # de :

3iense en )na #)nción como )na m&D)ina D)e toma como entrada )n valor : * "rod)ce )nasalida # (:. (Vase la #ig)ra. Cada valor de entrada se ?ace corres"onder con )n solo valor desalida. No o/stante4 ")ede s)ceder D)e di#erentes valores de entrada den el mismo valor desalida.

FUNCIONESDEFINICIÓN



,na #)nción de )n con-)nto J en )n con-)nto Y es)na regla de corres"ondencia D)e asigna a cadaelemento : en J e:actamente )n elemento * en Y.

FUNCIONESDEFINICIÓN

,na #)nción s)ele denotarse "or )na letra como f 4 g o h. Entonces "odemos re"resentar )na#)nción f de )n con-)nto X en )n con-)nto Y "or medio de la notación$ f $ JY

El con-)nto X se llama dominio de f . El con-)nto de elementos corres"ondientes y en elcon-)nto Y se denomina rango de la #)nción.

El nico elemento y en el rango D)e corres"onde a )n elemento x selecto en el dominio X sedenomina !alor de la #)nción en x 4 o imagen de x 4 * se escri/e f ( x . Esta e:"resión se lee @fde x o @f en x 4 * se escri/e y = f ( x .



"6"M#&$

a +ea X el con-)nto de est)diantes en )na clase. +ea f la regla D)e asignaa cada est)diante s) cali#icación #inal. !ado D)e cada est)diante tiene)na sola cali#icación #inal4 esta regla de#ine )na #)nción. En este caso4 eldominio es K * el rango es el con-)nto de K.

/ El valor de los activos de )na em"resa es )na #)nción del tiem"o. AD)íel dominio es el con-)nto de K.4 * el rango de la #)nción es el con-)nto

K

FUNCIONESEjem!o" de Funcione"



+

-aria'!e independiente (en este caso)

2ue uede tomar di%erentes "a!ores

-aria'!e dependiente (en este caso y)2ue deende de !os "a!ores tomados or

En la #)nción *#(: e:isten dos ti"os de varia/les

FUNCIONES#$ri$%!e"& Deendiente e Indeendiente



FUNCIÓN ' RELACIÓN

• Ha* D)e tener en c)enta D)e @)na #)nción es )na relación4 "ero notoda relación es )na #)nción4 "ero >D) nos D)iere decir esto

• ecordando los con-)ntos de salida * de llegada en este caso Df

es el con-)nto de salida * Rf es el con-)nto de llegada$

Df Rf

*:

FUNCIONESFunción ( Re!$ción



• B)eno D)e nos D)iere decir esto4 "ara D)e sea #)nción solo )nelemento del con-)nto de salida le corres"onde a )n soloelemento del con-)nto de llegada4 * si esto no se c)m"le *a noes #)nción sim"lemente ser& )na relación$

ABC

<9G

ABC

<9G

Relación Función




PRUE)A DE LA RECTA #ERTICAL

• 'ricamente el rango se )/ica en el e-e x * el dominio en el e-e y

• 3ara sa/er si )na grica corres"onde a )na #)nción4 se )sa la 3,EBA !E;A ECTA VETICA;K

– Consiste en tra1ar )na recta vertical "or c)alD)ier "arte de la grica4 – +i la recta vertical corta a la grica en )n solo ")nto4 la grica

corres"onde a )na #)nciónF caso contrario no.




ESTE DIA*RA+A¿REPRESENTA UNA FUNCIÓN?

3

a

b

, '

c




ESTE DIA*RA+A¿REPRESENTA UNA FUNCIÓN?

a

b

c

, '




ESTA TA)LA DE #ALORES¿REPRESENTA UNA FUNCIÓN?

x y

-.

/

0

/

-1

2

0

0


FUNCIONES



FUNCIONESDominio ( r$n3o

3ara es"eci#icar "or com"leto )na #)nción4 de/emos esta/lecer4 adem&s de la regla

de corres"ondencia4 el dominio de la #)nción (!#.

3or e-em"lo4 si F es la #)nción de#inida "or F ( x x 9 L < con dominio %


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"7em5los:!etermine los dominios nat)rales "ara$

$+%(*'a !e/emos e:cl)ir al G del dominio "orD)e reD)eriría )na división entre cero. Así4 el

dominio nat)ral es x : x ≠ G. Esto se ")ede leer como @el con-)nto de las x, talesD)e x no es ig)al a G.

/ 3ara evitar la raí1 c)adrada de )n nmero negativo de/emos elegir t, de modoD)e P % t 9 ,Q 7. Así4 t de/e satis#acer R t R S G. 3or lo tanto4 el dominio nat)ral est $R t R S G4 D)e mediante la notación de intervalos ")ede escri/irse como %G4 GU.

c A?ora de/emos evitar la división entre cero y las raíces c)adradas de nmerosnegativos4 de modo D)e e:cl)imos a %G * G del dominio nat)ral. 3or lo tanto4 eldominio nat)ral es el intervalo (%G4 G.

FUNCIONES


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"7em5los:!etermine los dominios "ara$


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FUNCIONESFunción in(ecti4$

Función inyectiva

• Es in*ectiva si a elementos distintos del con-)nto J (dominio les corres"ondenelementos distintos en el con-)nto Y

FUNCIONES


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FUNCIONESFunción in(ecti4$

FUNCIONES


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FUNCIONESFunción So%re(ecti4$

• Es so/re*ectiva si est& a"licada so/re todo el rango4 es decir4 c)andocada elemento de Y es la imagen de como mínimo )n elemento de J

FUNCIONES


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FUNCIONESFunción So%re(ecti4$


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FUNCIONES


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FUNCIONES*r56ic$" de Funcione"

C)ando el dominio * el rango de )na #)nción son con-)ntos de nmeros reales4 "odemosdescri/ir la #)nción mediante el tra1o de s) grica en )n "lano coordenado. ;a gráfica de una

función f sim"lemente es la grica de la ec)ación y f ( x .

,n sistema de coordenadas se #orma "or la intersección de dos rectas n)mricas )na?ori1ontal * otra vertical llamados e-esF el ")nto de intersección se denomina origen.

II I

III IV

(,y)

y

,n ")nto c)alesD)iera D)eda re"resentadoen este "lano "or medio de s)scoordenadas (:4*

FUNCIONES


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'ra#icar )na #)nción D)iere decirre"resentar en )n sistema decoordenadas todos s)s "aresordenados.

3or e-em"lo si la #)nción es *:9W 9

alg)nos de los "ares ordenadosserían$

(7474 (9494 (


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ESTA *RÁFICA¿REPRESENTA UNA FUNCIÓN?


FUNCIONES


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(n2ersecciones3ara gra#icar )na #)nción de#inida "or )na ec)ación y = f ( x 4 )na /)ena idea s)ele ser

determinar "rimero si la grica de f tiene intersecciones.

ec)erde D)e todos los ")ntos so/re el e-e y son de la #orma (74 y . Entonces4 si 7 es eldominio de )na #)nción f 4 la in2ersección y es el ")nto so/re el e-e y c)*a coordenada y esf (7F en otras "ala/ras4 (74 f (7.

!e manera seme-ante4 todos los ")ntos so/re el e-e : tienen la #orma (:4 7. Esto signi#ica D)e"ara encontrar las intersecciones : de la grica de * #(:4 se determinan los valores de : D)e?acen * 7. Es decir4 es necesario resolver la ec)ación #(: 7 "ara :.

FUNCIONES


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FUNCIONES


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FUNCIONESTr$"!$ción de 6uncione"

;a o/servación de cómo se constr)*e )na #)nción a "artir de otras m&s sencillas ")ede ser degran a*)da al gra#icar. 3odemos ?acer esta "reg)nta$ >cómo est&n relacionadas las gricas de$

y f ( x y f ( x % G y f ( x L 9 y f ( x % G L 9

Como e-em"lo4 considere f ( x R x R. ;as c)atro gricas corres"ondientes se m)estran enla sig)iente #ig)ra$

FUNCIONES


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;a #ig)ra = o#rece )na il)stración "ara la #)nción f ( x x G L x 9.

FUNCIONES


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;os mismos "rinci"ios se a"lican a la sit)ación general. +e il)stran en la sig)iente #ig)ra con ? *

"ositivas. +i ? Z 74 la traslación es ?acia la i1D)ierda4 si Z 7 la traslación es ?acia a/a-o.

FUNCIONES


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%a2álogo 5arcial de funciones ,na #)nción de la#orma f ( x k 4 donde k es )na constante (nmeroreal4 se denomina función cons2an2e. +) grica es)na recta ?ori1ontal.

;a #)nción f ( x x se denomina función iden2idad. +)grica es )na recta D)e "asa "or el origen con"endiente


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Funcione" de6inid$" or $rte"

,na #)nción f ")ede im"licar dos o m&s e:"resiones o #órm)las4 cada )na de#inida en"artes distintas so/re el dominio de f . ,na #)nción de#inida de esta manera se denominafunción definida 5or 5ar2es. 3or e-em"lo$

no son dos #)nciones4 sino )na sola #)nción donde la regla de corres"ondencia est& dadaen dos "artes. En este caso4 )na "arte se )sa "ara los nmeros reales negativos ( x Z 7 *la otra "arte "ara los nmeros reales no negativos ( :Q7F el dominio de f es la )nión de losintervalos (%[47,74L [(% [4 [ .

3or e-em"lo4 ")esto D)e % Z 74 la regla indica D)e se eleve al c)adrado el nmero$ f (% (%9


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E-em"lo

FUNCIONES


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FUNCIONES


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FUNCIONES


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FUNCIONES


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• +)ma de #)nciones $ (# L g(: #(: L g(:!ominio !(# L g !#]!g

• !i#erencia de #)nciones $ (#%g(: #(:%g(:!ominio !(#%g !#]!g

• 3rod)cto de #)nciones $ (#^g(: #(:^g(:!ominio !(# . g !#]!g

• !ivisión de #)nciones $ (#Wg(:#(:Wg(:!ominio !(#Wg!#]!g % :_ W g(: 7

Oer$cione" con Funcione"

Al ig)al D)e dos nmeros a * b ")eden s)marse "ara "rod)cir )n n)evo nmero a L b4 tam/in dos#)nciones f * g ")eden s)marse "ara "rod)cir )na n)eva #)nción f L g.

FUNCIONES


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Ejem!o

F F F

Calc)lando !ominio$


FUNCIONES


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F F F


FUNCIONES


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F F F


FUNCIONES


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E7E+PLO


FUNCIONES


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Como"ición de 6uncione"

! rinciio, !e edimos 2ue ensase en una %unci&n como una

m72uina. ue reci'e x como entrada, tra'aja so're x y roduce f ( x )como sa!ida.

Con %recuencia, dos m72uinas se onen una tras otra ara roduciruna sa!ida m7s com!eja9 de! mismo modo, dos %unciones f y g.

:i f act;a so're x ara roducir f ( x ) y!uego g act;a so're f ( x ) ara roducirg(f ( x )), decimos 2ue hemoscompuesto g con f .


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FUNCIONESC i ió d 6 i


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FUNCIONESF i Li !


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Funcione" Line$!e"

Es de la forma:

bmx ybmx x f +=+= o ;)(

* :%<* 6:LG* 7.=:%=

o

En donde:

m es la pendiente% es la intersección con el eje y

E-em"los$

FUNCIONESF i Li !


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Funcione" Line$!e"

En donde$ m es la "endiente

b es la intersección con el e-e y

FUNCIONESF i C d 5ti


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Funcione" Cu$dr5tic$"

FUNCIONESFuncione" Cu$dr5tic$"


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/. Veri#icar la @concavidad (a/ert)ra.

• E-em"lo$ determinar las concavidades en cada caso$

<

<

K 9`74 Cóncava ?acia arri/a

K %GZ74 Cóncava ?acia a/a-o

K %


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>CM2 'A0ICA ;A 0,NCIN C,A!ÁTICA

89 Encontrar en vrtice (V de la "ar&/ola$ @C2M3;ETAN!2 C,A!A!2+

!onde$ V(?4 adem&s$

E-em"lo$ Encontrar el vrtice de la sig)iente "ar&/ola.

2( ) f x ax bx c= + +

2

, ( )2 4

b bh k f h c

a a= − = = −

2( ) 6 5 f x x x= + +2 2 26 6( ) 6 ( ) ( ) 5

2 2 f x x x⇒ = + + − +

2( ) 6 9 9 5 f x x x⇒ = + + − +2( ) ( 3) 4 f x x⇒ = + − : 3, 4

( 3, 4)

Donde h k

V

= − = −

∴ = − −

FUNCIONESFuncione" Cu$dr5tic$"


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. Hallamos las intersecciones (si es D)e lo ?)/iese$(74#(74(:


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B. Gráfica.

Cóncava ?acia arri/a (


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• 'ra#icar la #)nción c)adr&tica * determinar el dominio * rango de la misma$

2

2

2

2

( ) 4 5

( ) 2 4 9

( ) 2

( ) 3 4

f x x x

f x x x

f x x x

f x x x

= + +

= − +

= − +

= + −

FUNCIONESFuncione" E"eci$!e"


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FUNCIONES POLINO+IALES

Funciones ('&M(#"$El e:"onente de la varia/le es ma*or a 9

#(: #(: an:nLan%


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FUNCIONES E,PONENCIALES

Tienen la #orma f@


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FUNCIONES LO*AR8T+ICAS

Tiene !a %ormay=loga(x) so!o sí =ay

! !ogaritmo a%ecta a !a "aria'!e

Funcione" E"eci$!e"

FUNCIONES+ode!$miento


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El "roceso de #orm)lar los "ro/lemas en leng)a-e matem&tico se denominamodelación matem&tica4 "or lo tanto )n modelo matem&tico ")ede descri/ir con"recisión el "ro/lema en c)estión.

"s2ra2egias 5ara Modelar Funciones

I. Com"rensión del "ro/lema$ ;eer4 ?acer esD)ema4 identi#icar cantidades.II. 3lanteamiento$ Hacer relaciones entre cantidades.III. esol)ción del "ro/lema "lanteado.IV. An&lisis de es)ltados.

M)c?as #)nciones se originan en "ro/lemas geomtricos4 #ísicos4 económicos4 etc.

+ode!$miento

FUNCIONES+ode!$miento - Ejercicio"


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G. +e reD)iere cercar )n terreno rectang)lar con 977 m de malla4 si : e * son las

dimensiones de los lados. a.%E:"rese el &rea como #)nción de :. /.%!iga c)al es eldominio de esta #)nción teniendo en c)enta las restricciones.

. ,n lote rectang)lar va a cercarse en tres de s)s lados. +i el &rea del lote es de G7metros c)adrados4 e:"rese la longit)d de la cerca como )na #)nción de la longit)ddel lado no cercado.

=. ,na com"aía de a)to/)ses ?a ado"tado la sig)iente "olítica de "recios "ara losgr)"os D)e deseen alD)ilar a)to/)ses. A los gr)"os D)e contengan )n m&:imo de 7"ersonas se les co/rar& )na s)ma #i-a de b9477.77 (7 veces b\7. En gr)"os D)econtengan entre 7 * 7 "ersonas4 cada )na "agar& b\7.77 menos =7 centavos "or

cada "ersona D)e "ase de las 7. ;a tari#a m&s /a-a de la com"aía de b7.77 "or"ersona se o#recer& a gr)"os D)e contengan 7 miem/ros o m&s. E:"rese losingresos de la com"aía de a)to/)ses como )na #)nción del tamao del gr)"o.

+ode!$miento Ejercicio"



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+ode!$miento Ejercicio"



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j



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j



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j



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j



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j

+e va a constr)ir )na ca-a rectang)lar sin ta"a a "artir de )na l&mina met&lica de G7 cm delargo "or 97 cm de anc?o. 3ara ello se van a recortar c)adrados de lado : en lasesD)inas * l)ego se van a do/lar los lados ?acia arri/a. E:"resar el vol)men (V de la ca-acomo #)nción de (:.

FUNCIONESE7ERCICIOS


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Ejercicio"


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Ejercicio"

\. ;os costos mens)ales de )n "eD)eo #a/ricante est&n dados4 enmiles de dólares4 "or C


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Ejercicio"

. (Costo de instalación de )na línea tele#ónica ,na líneatele#ónica de/e tenderse entre dos ")e/los sit)ados enorillas o")estas de )n río en ")ntos A * B. El anc?o delrío es de < ilómetro * B est& sit)ado 9 ilómetros río

a/a-o de A. Tiene )n costo de c dólares "or ilómetrotender la línea "or tierra * 9c dólares "or ilómetro /a-oel ag)a. ;a línea tele#ónica de/er& seg)ir la orilla del ríoem"e1ando en A )na distancia : (en ilómetros4 * l)ego

cr)1ar el río diagonalmente en línea recta ?acia B.!etermine el costo total de la línea como #)nción de :.

F

F F F

FF

FUNCIONESE7ERCICIOS


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C. $olución:

;a #ig)ra il)stra este "ro/lema. ;a línea tele#ónica se e:tiende de ! a"4 )na distancia x a lo largo de la orilla * l)ego diagonalmente de " a#$ El costo del segmento !" es cx mientras D)e el costo de "# es9c("#$ El costo total (llammosle y est& dado "or$

y= cx + 9c("#

F

F F F

BC9 B!9 L C!9 3ero B! < (el anc?o del río * C!A!%AC9%:3or tanto4 CB9


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P. (0)nción de costo de la electricidad ;a electricidad se co/ra a los

cons)midores a )na tari#a de +W.


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F F F

,n detallista ")ede com"rar naran-as al ma*oristaa los "recios sig)ientes de ac)erdo a los tramos$+W. 9=.77 "or ilo si adD)iere =7 ilos o menosF +W.

97.77 "or ilo en el caso de cantidades "or encimade =7 ilos * ?asta de 7 ilos * +W.


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FUNCIONES LO*ARIT+ICAS& APLICACIONES

• "l enfriamien2o de un cuer5o

;a le* del en#riamiento de los c)er"os de Neton esta/lece D)e el en#riamiento de)n c)er"o es "ro"orcional4 en cada instante4 a la di#erencia con la tem"erat)raam/iente.

;a le* dice D)e si T7 es la tem"erat)ra inicial con D)e introd)cimos )n c)er"o en )n

am/iente con )na tem"erat)ra de Ta grados4 al ca/o de )n tiem"o t la tem"erat)ra

del c)er"o es$ T(t Ta L (T7 X Ta eX t

donde es )na constante4 llamada la constante de en#riamiento4 * D)e es "artic)larde cada c)er"o.E-em"lo

En n)estra cocina ?ace 97o

C * sacamos de la ca1)ela )n termómetro D)e est& a \7o

C. 3asados


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FUNCIONES LO*ARIT+ICAS& APLICACIONES•%recimien2o de 5oblacionesEl economista /rit&nico T?omas Malt?)s "ro")so en


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Desin2egración radioac2i!a

Alg)nos &tomos son inesta/les * se desintegran es"ont&neamente emitiendoradiaciones. +e ?a o/servado D)e el tiem"o en D)e determinada s)/stancia se red)cea la mitad4 llamado vida media4 es )na constante característica de ella e inde"endientede la cantidad D)e ?a*a.

;a le* de )t?er#ord so/re la desintegración radiactiva dice D)e el nmero de &tomosde )n elemento radiactivo trans#ormados en )n tiem"o determinado es "ro"orcional alnmero de &tomos de ese elemento D)e estn "resentes en la s)/stancia4 en"artic)lar4 la #órm)la D)e descri/e la desintegración es de la #orma$

N(t N7 eX t

donde N7 es la "o/lación inicial4 * es la constante de desintegración radiactiva.

FUNCIONESE7ERCICIOS


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K ;a vida media de los elementos radiactivos ")ede )tili1arse a veces "aradeterminar la #ec?a de s)cesos del "asado de la Tierra. ;as edades de las rocas dem&s de 9777 millones de aos ")eden esta/lecerse mediante la desintegraciónradiactiva del )ranio (de =77 millones de aos de vida media.

En )n organismo vivo4 cada gramo de car/ono contiene


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"7em5loHallar en la #órm)la de desintegración del C

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